02-01_03-OperaMatriz-18Sep2014.pdf

M. en C. Carolina Yolanda Castañeda Roldán

18 Septiembre 2014

Algebra Lineal ACF-0903

2.0 Matrices y determinantes

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Índice

2

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

2.2 Operaciones con matrices.

2.3 Clasificación de las matrices.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

2.6 Definición de determinante de una matriz.

2.7 Propiedades de los determinantes.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

2.1.1 Definición de matriz

Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de mxnnúmeros dispuestos en m renglones y n columnas. El símbolo mxn se lee "mxn".

A

a11 a12 . . a1n

a 21 . . . a2n

. . . . .

. . . . .

a m1 a m2 . . amn

Donde cada elemento :aij = es cualquier número

real que se encuentra en la posición (i,j), llamado ij-ésimo elemento, siendo:i = número de fila o renglónj = número de columna

2.1.1 Definición de matriz

A

a11 a12 . . a1n

a 21 . . . a2n

. . . . .

. . . . .

a m1 a m2 . . amn

Cada columna recibe el nombre de vector columna o vector columna j:

a1j

a2j

.

.

amj

Si m = n la matriz se llama cuadrada, en caso contrario es rectangular.

Cada fila recibe el nombre de vector fila o vector renglón i:

a i1 a i2 . . a in

.

2.1.2 Notación de matriz a) Notación con paréntesis cuadrados

3047

0500

4753

2461

C3)

431

210

431

B2)43

21A1)

b) Notación con paréntesis redondos

30

20

10

A3)

030

020

010

A2)

987

654

321

A1)

2.1.3 Orden de una matriz• Las matrices son mxn

• La m para las filas y la n para las columnas

• El número de elementos de una matriz se obtiene multiplicando el número de filas por el de columnas: mxn

• El producto mxn se llama orden de matriz o tamaño de una matriz

01a6a(5x2)tamaño

105

94

83

72

61

=A2)

2a3a(3x2)tamaño

13

02

35

A1)

5212

2112

2.2 Operaciones con matrices2.2.1 Una constante por una matriz

Matemáticamente se escribe como: kA = k*aij

kA es entonces un múltiplo escalar de la matriz

Ejemplo 1:Con k=3 ycalcular kA:

41

32A

123

96

41

323

Solución:

2.2.2 Suma de matrices• Dos matrices A y B pueden sumarse dando la matriz C, si y

solo si tienen la misma dimensión.

• C = A + B o bién para todo ij

Ejemplo 1:Calcular A+B

222243

21;

41

32

xx

BA

ijijij baC

84

53

43

21

41

32BAC

Solución:

2.2.3 Resta de matrices• Dos matrices A y B pueden restarse dando la matriz C, si y solo

si tienen la misma dimensión.

• C = A - B o bién para todo ij

Ejemplo 1:Calcular A-B

222243

21;

41

32

xx

BA

ijijij baC

02

11

43

21

41

32BAC

Solución:

2.2.4 Multiplicación de matricesC = AB solo si el número de columnas de A es igual al número de

renglones de B.

C ij a ik b kj a i1b1j a i2b2 j ...... a in b njk1

n

para cada i = 1, 2,…, m para cada j = 1, 2,…..., p

mxp mxn nxp

mxp=

C = A B

2.2.4 Multiplicación de matricesEjemplo 1:Calcular AB

2x32x21087

965By

43

21A

674(10)3(9)C

504(8)3(6)C

434(7)3(5)C

292(10)1(9)C

222(8)1(6)C

192(7)1(5)C

23

22

21

13

12

11

Solución:2x3 2x2 2x3

2x3=

C = A B

2x3675043

292219C

1087

965

43

21ABC

2.2.5 Potencias de una matriz cuadrada

Ejemplo 1:Sea:

Sea A una matriz cuadrada. AA = A2

AAA = A3

AA……A = An cuando hay n factores de A

A = A1

A0 = I

32

11A

1) Calcular A1, A2, A3

A A1 1 1

2 3

, A2

1 1

2 3

1 1

2 3

3 4

8 11

,

A3A

2A3 4

8 11

1 1

2 3

11 15

30 41

2.2.6 Transpuesta de una matrizDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz

que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Ejemplo 1:

Calcular A sabiendo que:t

Solución:

ijji aa t

2.2.7 Operaciones combinadas de matricesLas operaciones combinadas toman en cuenta la +,-, * por un escalar y

hacen combinaciones con ellas.

Ejemplo 1:Usando las matrices A y B, calcular las siguientes operacionesmatriciales:

A 4 1 3

2 0 1

B

1 5 7

0 1 3

1) A +B4 1 3

2 0 1

1 5 7

0 1 3

3 4 10

2 1 4

2) 3A 34 1 3

2 0 1

12 -3 9

6 0 3

3) 0B 01 5 7

0 1 3

0 0 0

0 0 0

13-5-4

29-27-13

1550

35255

204

62-8

310

7515

102

31425B-2A4)

2.2.7 Operaciones combinadas de matrices

5) Dada la matriz A, B y D, encontrar C:

A 1 2

3 4

B

4 5

6 7

D

1 3

2 0

A + B + C = D

1 2

3 4

4 5

6 7

C

1 3

2 0

5 7

9 11

C

1 3

2 0

5 7

9 11

5 7

9 11

C

1 3

2 0

5 7

9 11

0 0

0 0

C

-6 -10

-7 -11

C -6 -10

-7 -11

Solución:

2.3 Clasificación de las matricesMatrices con nombres específicos

2x5

3x3

00000

000000cerooNulaMatriz

000

000

000

A2)

Matriz

987

654

321

A1)

3) A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz unitaria o Matriz Identidad

4) A

1 2 3

0 4 5

0 0 6

Matriz triangular superior

5) A

1 0 0

2 3 0

4 5 6

Matriz Triangular Inferior


diagonalMatriz

600

030

001

A7)

principal

diagonallaforman

a,a,a:dondejipara0a

jipara0ateniendoKroneckerdedeltad

:donde,gonalMatriz_Dia

a00

0a0

00a

A6)

332211

ij

ij

ij

33

22

11

Cabe aclarar que si:

escalarunksiendojipara0a

jiparakateniendoKroneckerdedeltad

identidadmatrizjipara0a

jipara1ateniendoKroneckerdedeltad

ij

ij

ij

ij

ij

ij


d ij delta de Kronecker teniendoaij k para i j

aij 0 para i j

donde : k 0 i j

escalarMatrizdeademásdiagonalMatriz

8000

0800

0080

0008

A8) 4x4

escalar MatrizydiagonalMatriz2-0

02-A9) 2x2

bandadeMatriz

511-0

1501-

1-051

01-15

A10) 4x4

bandadeMatriz

4100

1410

0141

0014

A11)

2.3 Clasificación de las matrices

Matrices con nombres específicos

rrectangulaMatriz396

301A15)

rrectangulaMatriz

53

20

21

A14)

(cuadrada)AsimétricaMatriz

915

183

884

A13)

(cuadrada)SimétricaMatriz

218

153

834

A12)

A12 =a21

2.3 Clasificación de las matricesLos vectores son matrices de (mx1) o de (1xn)

columnavectorofilaMatrizn...21A17)

columnavectorocolumnaMatriz

m

.

.

.

2

1

A16)

1xn

mx1

El nombre de los vectores generalmente se escribe con letras minúsculas:

renglónVector85,-1,21)

cerovectornulovector=renglónVector=00,0,0,=o20)

ceroVector0

0=o19)

columnaVector

1

3

2

=a18)

1x3

1x4

2x1

Una matriz tiene deesta forma a losvectores como unsubconjunto

Matrices

Vectores

2.3.1 Matriz de Coeficientes y Matriz aumentada

SEL de m ecuaciones con n incógnitas (mxn)

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

bxa......xaxa

..................................................

..................................................

bxa......xaxa

bxa......xaxa

Dado un 1) SEL ===> M. de Coeficientes2) SEL ===> M. Aumentada


A

a11 a12 . . a1n

a 21 . . . a2n

. . . . .

. . . . .

a m1 a m2 . . amn

M. de Coeficientes

2.3.1 Matriz de Coeficientes y Matriz aumentada

SEL de m ecuaciones con n incógnitas (mxn)

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

bxa......xaxa

..................................................

..................................................

bxa......xaxa

bxa......xaxa

Dado un 1) SEL ===> M. de Coeficientes2) SEL ===> M. Aumentada


mb

b

b

Aumentada

.

.

a..aa

.....

.....

a...a

a..aa

.M

2

1

mnm2m1

2n21

1n1211

M. Aumentada

2.3.1 Matriz de Coeficientes y Matriz aumentada2.3 Clasificación de las matrices

Ejemplo 1:Calcular la matriz de coeficientes y la matrizaumentada del SEL:

4 x1- 7 x2 + 8 x3 = 363x1 - 5x3 + 5x4 = 7

0

0

|

|

5503

0874AumentadaM.

5503

0874esCoeficientdeM.

Solución:

Tarea

1) Investigar las propiedades de la suma y dar 3 ejemplos de cada una (son 11 aproximadamente)

2) Investigar las propiedades de la multiplicación y dar 3 ejemplos de cada una (son 7 aproximadamente)

3) Investigar las propiedades de la transpuesta y dar 3 ejemplos de cada una (son 7 aproximadamente

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

01

20,

31

23,

72

51,

31

11DCBA

Ecuación matricial Ecuación matricial

1. C1 = A+B 2. C2 = B-D

3. C3 = AC 4. C4 = BCt

5. C5 = k1B - k2D, con k1 =3 y k2 = -2

6. A-B-E = CD

7. AB-2B = CD-E 8. Et+AC-2BA=0

9. ABCD= E-DA 10. AtBt +CDE = 0

A partir de las siguientes matrices realizar las operaciones matriciales que marca la tabla

Tarea

1) Una tienda de ropa vende de pantalón, camisa y saco.Tiene 3 sucursales. En la primera tiene en bodega 300 pantalones, 200

camisas y 300 sacos.En la segunda sucursal tiene en bodega 250 pantalones y 120 camisas y

150 sacos. En la tercera sucursal dispone de 120 pantalones, 35 camisas y 80 sacos.

¿Cuál es la matriz que representa a la tienda y lo que tiene en bodega en sus diferentes sucursales?

Ejercicio 1:

Solución:

Referencias

• Álgebra Lineal. Stanley I. Grossman Mc GrawHill. 6ª. Edición. 2000

• Álgebra Intermedia Jerome E. Kaufmann/Karen Matemáticas International Thomson.2000

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