M. en C. Carolina Yolanda Castañeda Roldán
18 Septiembre 2014
Algebra Lineal ACF-0903
2.0 Matrices y determinantes
Índice
2
2.1 Definición de matriz, notación y orden.
2.2 Operaciones con matrices.
2.3 Clasificación de las matrices.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
2.6 Definición de determinante de una matriz.
2.7 Propiedades de los determinantes.
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
2.9 Aplicación de matrices y determinantes.
2.1.1 Definición de matriz
Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de mxnnúmeros dispuestos en m renglones y n columnas. El símbolo mxn se lee "mxn".
A
a11 a12 . . a1n
a 21 . . . a2n
. . . . .
. . . . .
a m1 a m2 . . amn
Donde cada elemento :aij = es cualquier número
real que se encuentra en la posición (i,j), llamado ij-ésimo elemento, siendo:i = número de fila o renglónj = número de columna
2.1.1 Definición de matriz
A
a11 a12 . . a1n
a 21 . . . a2n
. . . . .
. . . . .
a m1 a m2 . . amn
Cada columna recibe el nombre de vector columna o vector columna j:
a1j
a2j
.
.
amj
Si m = n la matriz se llama cuadrada, en caso contrario es rectangular.
Cada fila recibe el nombre de vector fila o vector renglón i:
a i1 a i2 . . a in
.
2.1.2 Notación de matriz a) Notación con paréntesis cuadrados
3047
0500
4753
2461
C3)
431
210
431
B2)43
21A1)
b) Notación con paréntesis redondos
30
20
10
A3)
030
020
010
A2)
987
654
321
A1)
2.1.3 Orden de una matriz• Las matrices son mxn
• La m para las filas y la n para las columnas
• El número de elementos de una matriz se obtiene multiplicando el número de filas por el de columnas: mxn
• El producto mxn se llama orden de matriz o tamaño de una matriz
01a6a(5x2)tamaño
105
94
83
72
61
=A2)
2a3a(3x2)tamaño
13
02
35
A1)
5212
2112
2.2 Operaciones con matrices2.2.1 Una constante por una matriz
Matemáticamente se escribe como: kA = k*aij
kA es entonces un múltiplo escalar de la matriz
Ejemplo 1:Con k=3 ycalcular kA:
41
32A
123
96
41
323
Solución:
2.2.2 Suma de matrices• Dos matrices A y B pueden sumarse dando la matriz C, si y
solo si tienen la misma dimensión.
• C = A + B o bién para todo ij
Ejemplo 1:Calcular A+B
222243
21;
41
32
xx
BA
ijijij baC
84
53
43
21
41
32BAC
Solución:
2.2.2 Suma de matrices• Dos matrices A y B pueden sumarse dando la matriz C, si y
solo si tienen la misma dimensión.
• C = A + B o bién para todo ij
Ejemplo 1:Calcular A+B
222243
21;
41
32
xx
BA
ijijij baC
84
53
43
21
41
32BAC
Solución:
2.2.3 Resta de matrices• Dos matrices A y B pueden restarse dando la matriz C, si y solo
si tienen la misma dimensión.
• C = A - B o bién para todo ij
Ejemplo 1:Calcular A-B
222243
21;
41
32
xx
BA
ijijij baC
02
11
43
21
41
32BAC
Solución:
2.2.4 Multiplicación de matricesC = AB solo si el número de columnas de A es igual al número de
renglones de B.
C ij a ik b kj a i1b1j a i2b2 j ...... a in b njk1
n
para cada i = 1, 2,…, m para cada j = 1, 2,…..., p
mxp mxn nxp
mxp=
C = A B
2.2.4 Multiplicación de matricesEjemplo 1:Calcular AB
2x32x21087
965By
43
21A
674(10)3(9)C
504(8)3(6)C
434(7)3(5)C
292(10)1(9)C
222(8)1(6)C
192(7)1(5)C
23
22
21
13
12
11
Solución:2x3 2x2 2x3
2x3=
C = A B
2x3675043
292219C
1087
965
43
21ABC
2.2.5 Potencias de una matriz cuadrada
Ejemplo 1:Sea:
Sea A una matriz cuadrada. AA = A2
AAA = A3
AA……A = An cuando hay n factores de A
A = A1
A0 = I
32
11A
1) Calcular A1, A2, A3
A A1 1 1
2 3
, A2
1 1
2 3
1 1
2 3
3 4
8 11
,
A3A
2A3 4
8 11
1 1
2 3
11 15
30 41
2.2.6 Transpuesta de una matrizDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz
que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Ejemplo 1:
Calcular A sabiendo que:t
Solución:
ijji aa t
2.2.7 Operaciones combinadas de matricesLas operaciones combinadas toman en cuenta la +,-, * por un escalar y
hacen combinaciones con ellas.
Ejemplo 1:Usando las matrices A y B, calcular las siguientes operacionesmatriciales:
A 4 1 3
2 0 1
B
1 5 7
0 1 3
1) A +B4 1 3
2 0 1
1 5 7
0 1 3
3 4 10
2 1 4
2) 3A 34 1 3
2 0 1
12 -3 9
6 0 3
3) 0B 01 5 7
0 1 3
0 0 0
0 0 0
13-5-4
29-27-13
1550
35255
204
62-8
310
7515
102
31425B-2A4)
2.2.7 Operaciones combinadas de matrices
5) Dada la matriz A, B y D, encontrar C:
A 1 2
3 4
B
4 5
6 7
D
1 3
2 0
A + B + C = D
1 2
3 4
4 5
6 7
C
1 3
2 0
5 7
9 11
C
1 3
2 0
5 7
9 11
5 7
9 11
C
1 3
2 0
5 7
9 11
0 0
0 0
C
-6 -10
-7 -11
C -6 -10
-7 -11
Solución:
2.3 Clasificación de las matricesMatrices con nombres específicos
2x5
3x3
00000
000000cerooNulaMatriz
000
000
000
A2)
Matriz
987
654
321
A1)
3) A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz unitaria o Matriz Identidad
4) A
1 2 3
0 4 5
0 0 6
Matriz triangular superior
5) A
1 0 0
2 3 0
4 5 6
Matriz Triangular Inferior
2.3 Clasificación de las matricesMatrices con nombres específicos
diagonalMatriz
600
030
001
A7)
principal
diagonallaforman
a,a,a:dondejipara0a
jipara0ateniendoKroneckerdedeltad
:donde,gonalMatriz_Dia
a00
0a0
00a
A6)
332211
ij
ij
ij
33
22
11
Cabe aclarar que si:
escalarunksiendojipara0a
jiparakateniendoKroneckerdedeltad
identidadmatrizjipara0a
jipara1ateniendoKroneckerdedeltad
ij
ij
ij
ij
ij
ij
2.3 Clasificación de las matricesMatrices con nombres específicos
d ij delta de Kronecker teniendoaij k para i j
aij 0 para i j
donde : k 0 i j
escalarMatrizdeademásdiagonalMatriz
8000
0800
0080
0008
A8) 4x4
escalar MatrizydiagonalMatriz2-0
02-A9) 2x2
bandadeMatriz
511-0
1501-
1-051
01-15
A10) 4x4
bandadeMatriz
4100
1410
0141
0014
A11)
2.3 Clasificación de las matrices
Matrices con nombres específicos
rrectangulaMatriz396
301A15)
rrectangulaMatriz
53
20
21
A14)
(cuadrada)AsimétricaMatriz
915
183
884
A13)
(cuadrada)SimétricaMatriz
218
153
834
A12)
A12 =a21
2.3 Clasificación de las matricesLos vectores son matrices de (mx1) o de (1xn)
columnavectorofilaMatrizn...21A17)
columnavectorocolumnaMatriz
m
.
.
.
2
1
A16)
1xn
mx1
El nombre de los vectores generalmente se escribe con letras minúsculas:
renglónVector85,-1,21)
cerovectornulovector=renglónVector=00,0,0,=o20)
ceroVector0
0=o19)
columnaVector
1
3
2
=a18)
1x3
1x4
2x1
Una matriz tiene deesta forma a losvectores como unsubconjunto
Matrices
Vectores
2.3.1 Matriz de Coeficientes y Matriz aumentada
SEL de m ecuaciones con n incógnitas (mxn)
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
bxa......xaxa
..................................................
..................................................
bxa......xaxa
bxa......xaxa
Dado un 1) SEL ===> M. de Coeficientes2) SEL ===> M. Aumentada
2.3 Clasificación de las matrices
A
a11 a12 . . a1n
a 21 . . . a2n
. . . . .
. . . . .
a m1 a m2 . . amn
M. de Coeficientes
2.3.1 Matriz de Coeficientes y Matriz aumentada
SEL de m ecuaciones con n incógnitas (mxn)
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
bxa......xaxa
..................................................
..................................................
bxa......xaxa
bxa......xaxa
Dado un 1) SEL ===> M. de Coeficientes2) SEL ===> M. Aumentada
2.3 Clasificación de las matrices
mb
b
b
Aumentada
.
.
a..aa
.....
.....
a...a
a..aa
.M
2
1
mnm2m1
2n21
1n1211
M. Aumentada
2.3.1 Matriz de Coeficientes y Matriz aumentada2.3 Clasificación de las matrices
Ejemplo 1:Calcular la matriz de coeficientes y la matrizaumentada del SEL:
4 x1- 7 x2 + 8 x3 = 363x1 - 5x3 + 5x4 = 7
0
0
|
|
5503
0874AumentadaM.
5503
0874esCoeficientdeM.
Solución:
Tarea
1) Investigar las propiedades de la suma y dar 3 ejemplos de cada una (son 11 aproximadamente)
2) Investigar las propiedades de la multiplicación y dar 3 ejemplos de cada una (son 7 aproximadamente)
3) Investigar las propiedades de la transpuesta y dar 3 ejemplos de cada una (son 7 aproximadamente
Ejercicio 1:
Ejercicio 2:
01
20,
31
23,
72
51,
31
11DCBA
Ecuación matricial Ecuación matricial
1. C1 = A+B 2. C2 = B-D
3. C3 = AC 4. C4 = BCt
5. C5 = k1B - k2D, con k1 =3 y k2 = -2
6. A-B-E = CD
7. AB-2B = CD-E 8. Et+AC-2BA=0
9. ABCD= E-DA 10. AtBt +CDE = 0
A partir de las siguientes matrices realizar las operaciones matriciales que marca la tabla
Tarea
1) Una tienda de ropa vende de pantalón, camisa y saco.Tiene 3 sucursales. En la primera tiene en bodega 300 pantalones, 200
camisas y 300 sacos.En la segunda sucursal tiene en bodega 250 pantalones y 120 camisas y
150 sacos. En la tercera sucursal dispone de 120 pantalones, 35 camisas y 80 sacos.
¿Cuál es la matriz que representa a la tienda y lo que tiene en bodega en sus diferentes sucursales?
Ejercicio 1:
Solución: