02 Cuieet Potencial Campo Electrico

5/10/2018 02 Cuieet Potencial Campo Electrico - slidepdf.com

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POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO.CONCEPTO, ANÁLISIS Y SIMULACIÓN EN UNENTORNO DIDÁCTICO.

J.S. Artal; J. Letosa; A. Usón; M. Samplón y F.J. ArcegaDepartamento Ingeniería Eléctrica. Escuela de Ingeniería Técnica Industrial.

Universidad de Zaragoza.

María de Luna nº3-5. Edificio C ‘Torres Quevedo’.

50018. Zaragoza.

Tlfno.:976 762152. Fax.: 976 762226.

[email protected].

Palabras clave: Potencial y campo eléctrico, simulación y análisis, Método de Elementos Finitos.

Resumen.

La asignatura de Electricidad y Magnetismo se ubica, en los nuevos planes de estudio de lasIngenierías Técnicas Industriales, como asignatura anual de primer curso. La disyuntiva entre

impartirla con una orientación fundamentada y teórica en espera de que otras asignaturas

posteriores desarrollen su aplicabilidad o realizar la conexión con la práctica en la misma

asignatura ha sido un dilema habitual agravado por la limitación temporal para su impartición. En

este sentido unos de los fenómenos más atractivos para las estudiantes entre los contenidos de la

materia que nos ocupa es el campo eléctrico, líneas o superficies equipotenciales y la rupturadieléctrica, [1]. A su vez, son unos conceptos que por su dificultad en la experimentación y

complejidad de la explicación teórica que conllevan, resultan difíciles de asimilar. Por todo ello,proponemos en este documento una simulación y demostración de los mismos, para su exhibición

en clase o laboratorio.

Nuestra experiencia docente en una materia fundamental para la ingeniería eléctrica como es el

electromagnetismo, nos pone en evidencia la importancia de potenciar algunos recursos

complementarios a las clases de pizarra para mejorar el proceso enseñanza-aprendizaje. El

contenido conceptual y la herramienta matemática necesaria para desarrollarlo hace que los

estudiantes pierdan motivación e interés en la materia, si no se conecta con cuestiones que

evidencien su relevancia industrial [2], [3], aplicaciones tecnológicas [4], [5] y su utilidad práctica

[6]. En el presente documento se desarrolla una simulación numérica que ilustra los diferentes

teoremas y magnitudes eléctricas analizadas, así como familiariza al estudiante con algunos de losconceptos que se exponen en un curso básico de electromagnetismo [7], [8].

El objetivo de estos ejemplos es el análisis cualitativo y posterior estudio cuantitativo mediante el

uso del Método de Elementos Finitos (MEF) [9], [10] como entorno didáctico, de algunaspropiedades y características de los campos eléctricos alrededor de los conductores. De esta

manera, se efectuará la simulación del potencial, campo eléctrico, y superficies equipotenciales

alrededor de un conductor de forma predeterminada (esférico, cilíndrico, plano, puntiagudo,...).



1. INTRODUCCIÓN.

Tanto en los nuevos planes de estudio de las Ingeniería Técnicas Industriales (dentro de sus especialidades de

electrónica y especialmente de electricidad) como en los antiguos, el cuerpo de teoría asociado al campo

eléctrico y magnético adquiere relevancia propia bien como asignatura independiente o bien enmarcada dentro

de una asignatura de carácter más amplio como Fundamentos Físicos de la Ingeniería. La impartición de estebloque de materia a los estudiantes tiene como uno de sus objetivos básicos introducir los conceptos y leyesbásicas sobre las que se apoyará gran parte de los contenidos técnicos que vendrán después. Esto, junto con el

agravante del factor tiempo, invariablemente más escaso que lo que se desearía, ha colocado tradicionalmente al

profesor encargado de la asignatura frente a la disyuntiva de orientar su asignatura a una exposición rigurosa y

fundamentada de conceptos (dejando la aplicabilidad para asignaturas posteriores como máquinas eléctricas,

electrónica, instalaciones eléctricas...), o bien sacrificar parte del rigor en beneficio de una mayor conexión con

usos prácticos de los conceptos que se están exponiendo. Por otra parte, el hecho de que la mayor parte del

contenido teórico de la asignatura quedase concluido en el siglo pasado y que la estructura expositiva también

esté bastante establecida en sus pocas variantes, tal y como evidencian el gran número de libros que con carácter

docente se han editado sobre el tema y que presentan en líneas generales una organización bastante similar, hace

que la praxis de la asignatura de Electricidad y Magnetismo pueda caer en un inmovilismo docente, recogiendo

los modelos establecidos y repitiéndolos sin mayores cambios año tras año.

La difusión generalizada de la informática, básicamente a través de los ordenadores personales, ha supuesto una

revolución que, lógicamente, también está alcanzando al ámbito educativo al que se están incorporando a través

del la triple vertiente muchas veces interdependiente de potencia multimedia, potencia de comunicación y

finalmente materialización, mediante adecuados programas de simulación, del mundo virtual como eslabón

intermedio entre el mundo real, orgánico y físico, y el mundo imaginario.

La aplicación del método de elementos finitos (MEF) a la resolución de problemas de electromagnetismo ha

quedado hasta ahora circunscrita al ámbito de la investigación [9], [10], [11], fundamentalmente debido al precio

del software. Esta tendencia está comenzando a cambiar y es predecible que en el transcurso de unos años su uso

quede completamente generalizado. El MEF, desde un punto de vista docente, aporta la posibilidad de poder

abordar situaciones que tradicionalmente no eran posibles dada la complejidad o imposibilidad práctica de susolución analítica, como son los efectos de borde en los condensadores o el efecto de las burbujas en los medios

dieléctricos. Un uso adecuado en el ámbito docente del MEF ha de pasar por dos condicionantes:

Demostración al estudiante de la fiabilidad del método.Si bien la experiencia indica que el estudiante medio va a confiar en cualquier resultado que provenga

de un programa de ordenador mínimamente avalado por un profesor o simplemente por una interface

vistosa, conviene implantar en él una cierta desconfianza sistemática hacia los resultados obtenidos

por ordenador hasta que no vengan refrendados por algún método en el que pueda confiar. En este

sentido, la simulación previa de casos conocidos y solubles analíticamente va a permitir por un lado

la introducción expositiva del método y, por otro, la comparación de los resultados teóricos y los

obtenidos por simulación así como la acotación del error cometido en las simulaciones.

Uso de un adecuado sistema de postprocesado.

Al hilo de lo apuntado por F. Sáez Vacas “No hay conocimiento sin información y sin trabajo paraprocesarla” (F. Sáez Vacas “La sociedad informatizada: Apuntes para una patología de la técnica”

Claves de Razón Práctica, 10 de marzo de 1991.), la presentación al estudiante de un conjunto mas o

menos grande de simulaciones (información) no va a aportarle gran cosa si no se le invita a realizar un

trabajo de análisis, reflexión y comprensión de los mismos (trabajo de procesado). De aquí se sigue

que un buen sistema de postprocesado tiene, desde el punto de vista didáctico, casi mayor importancia

que el propio motor de simulación. El MEF simplemente aporta matrices de números, el

postprocesador mapas gráficos de vectores, líneas de campos vectoriales, campos escalares como

campos de color, etc., con los que el estudiante puede captar cualitativamente lo que está sucediendo

realmente en el sistema bajo estudio.

El presente documento pretende mostrar un posible conjunto de simulaciones mediante el MEF para ilustrar los

conceptos de campo y potencial eléctrico dentro de un curso de electricidad y magnetismo de un primer curso de

una titulación de ingeniería. Se han estructurado en orden ascendente de complejidad, siguiendo una líneacoincidente con la trayectoria expositiva tradicional de esta materia y revisando, en las últimas simulaciones,



algunos efectos que si bien se suelen mencionar brevemente por su complejidad analítica, resultan de

importancia en su aplicación en el mundo real y alejado de las idealizaciones de pizarra.

Así, se comienza con una revisión de la interacción entre cargas estáticas y generalización a superficies cargadas:planos infinitos y conductores cilíndricos. A partir de ahí, mediante la superposición de dos de estos planos se

alcanza el concepto de condensador, analizado de forma ideal en un principio y posteriormente haciendo

hincapié en los efectos de borde, y los fenómenos de ruptura del dieléctrico de su interior, así como el efecto dediscontinuidades del material (burbujas).

2. OBJETIVOS.

Los objetivos educativos que se pretenden conseguir con estas simulaciones son los siguientes:

Fundamentar al estudiante los conceptos de campo eléctrico y potencial eléctrico.

No sólo mediante su introducción teórica sino a través de su aplicación en diversas situaciones en las

cuales pueda visualizar y, por tanto, atrapar intuitivamente estos conceptos.

Familiarizar al estudiante con programas de simulación.

El uso de programas de simulación empieza a ser práctica habitual en otras asignaturas (matemáticas,

teoría de circuitos, regulación automática...) y constituirá en el futuro una opción generalizada.

Exponer y analizar en clase problemas de importancia práctica no solubles analíticamente.

Situaciones como el efecto de las burbujas en un dieléctrico con la importancia práctica que conlleva

(aceite de transformadores, etc.) han sido en ocasiones desatendidas debido a la gran cantidad de

tiempo necesario para tratarlas adecuadamente.

Motivar al estudiante mostrándole la posibilidad de modelar, comprender y manejar sistemas

electromagnéticos cuya solución queda fuera de la capacidad de sus herramientas matemáticas.

A partir del conocimiento de los conceptos (campo y potencial eléctrico) así como de las leyes básicas

del electromagnetismo (rotacional del campo eléctrico, teorema de Gauss) mostrar al estudiante que es

capaz de interpretar los resultados obtenidos por las simulaciones de situaciones más complejas y que

esa capacidad podrá emplearla en otras situaciones que se le presenten y que no estén recogidas entre

las mostradas en clase.

3. CARGAS ESTÁTICAS.

Todos los fenómenos electrostáticos con los que generalmente se comienza un curso elemental deelectromagnetismo tienen su origen en un desequilibrio en el número de cargas positivas y negativas en la

materia de estudio [1], [7]. Así como el concepto de sumas y restas de cargas de distintos signos es muy

elemental, los fenómenos a los que da lugar (ley de Coulomb, ley de Gauss, …) acaban siendo abstractos y de

difícil comprensión por los alumnos. Una de las mayores dificultades procede de que son magnitudes vectoriales

con las que los alumnos todavía no se encuentran familiarizados. Problemas clásicos de resolución teórica son

los dipolos –con cargas puntuales, distribuciones lineales de cargas, …- distribuciones planas y uniformes de

carga, distribuciones cilíndricas y esféricas, etc.

Todos estos ejemplos pueden ser resueltos de forma simbólica pero el gran número de operaciones matemáticas

que exigen provocan la pérdida de una visión más global del sistema y, como consecuencia, una desmotivacióndel alumno. Con objeto de tener accesible en tiempo real una herramienta que permita una adecuada

visualización espacial del problema que acaba de ser resuelto teóricamente en pizarra, se propone la resolución

del mismo haciendo uso del método de elementos finitos (MEF) del que se ha hablado con anterioridad.

Se han escogido para ilustrar estas ideas, dos ejemplos de sencilla resolución. Uno de ellos se refiere a la

aplicación directa de la Ley en Gauss en una distribución volumétrica de carga. El otro no puede resolverse

directamente mediante la aplicación de esta ley sino mediante el concepto de cargas imagen [8].

3.1. DISTRIBUCIÓN VOLUMÉTRICA DE CARGA, PLANA E INFINITA.

Este ejemplo práctico simula un sólido de permitividad0ε cuyo espesor es despreciable respecto a las otras dos

dimensiones y que se encuentra con una carga neta positiva distribuida uniformemente en su volumen. Esta



carga origina en los puntos del sólido y los que rodean a ese sólido un campo electrostático que puede calcularse

fácilmente por medio de la ley de Gauss (y apoyándose en las condiciones de simetría que aparecen). Conocido

el vector intensidad de campo eléctrico E

y aplicando la definición de la diferencia de potencial V Δ podemos

calcular el potencial en cualquier punto del espacio respecto a una determinada referencia.

Figura 1. Diagrama y Datos del ejemplo de análisis.

Como datos de partida se conocerán el espesor de la distribución d y la densidad volumétrica de cargaV ρ .

Mediante el desarrollo teórico y tomando la referencia de potencial en una de las paredes del sólido se calculará

el campo y potencial eléctrico.

2 ;

00

d z z E

QS d E V

Z

ENC

S

±≤∀⋅=⇒=∫∫ ε

ρ

ε

2

;

42

)(2

2

02 /

2 / d z z

d V l d E

q

W z V V

Z

Z

d

Z d ±≤∀⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −⋅

⋅

=⇒−== ∫ →

ε

ρ

Para la comprobación numérica de los resultados se introducen en el programa de elementos finitos los

parámetros de estudio anteriores. Los resultados, figura 2, permiten validar las expresiones simbólicas obtenidas

en la pizarra, y observar en 3 dimensiones la geometría del campo eléctrico.

Figura 2. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) entre la superficie del

sólido y un punto interior.

Desde el punto de vista docente, la distribución cuadrática de potenciales puntuales nos permiten hacer el símil

con la energía potencial gravitatoria. Al avanzar hacia el interior del sólido el proceso físico de trabajo es similar

al realizado cuando se sube por una ladera de una montaña. En el punto de máxima altura se consigue el punto

z

y

x

d

z=0

z=+d/2 z=-d/2

ρV

V (z=+d/2)=0V

Q ENC =ρV ×S× d V (z=-d/2)=0V

S

x

z

DATOS:

ρ V =3× 10-12

C/m3

d=10 mm

V (Z=+d/2)=0 V V (Z=-d/2)=0 V



de máxima energía gravitatoria. El descenso por la ladera da lugar a una disminución de la energía potencial

gravitatoria equivalente a la disminución en el potencial puntual obtenido al alejarnos del centro de la

distribución infinita de carga, figura 3.

Figura 3. Gráficas que representan la variación del módulo del campo eléctrico (izquierda) y el potencial eléctrico

(derecha) con la distancia a una de las superficies del sólido.

3.2. CONDUCTORES CILÍNDRICOS INFINITOS A POTENCIAL CONSTANTE.

Si en lugar de trabajar con dieléctricos y cargas reales fijas en el espacio se estudian conductores, las cargas

dejan de estar fijas en las superficies y ya no pueden aplicarse los principios elementales de resolución

anteriormente utilizados. Un procedimiento que permite el cálculo analítico de ciertos problemas electrostáticos

donde intervienen conductores es el método de las imágenes, figura 4. Para aplicar este sistema y validarlo

mediante el MEF se escogió el problema de dos cables conductores paralelos de radio R separados una distancia

d y sometidos a una diferencia de potencial V+

y V-. La imposición de una superficie equipotencial para cada uno

de los conductores provoca la aparición de una distribución superficial de carga no uniforme.


Este problema puede ser tratado como dos distribuciones lineales infinitas de carga, que se encuentran

ligeramente desplazadas con respecto a los ejes de los cables conductores (método de las imágenes). Los nuevos

parámetros del modelo vienen determinados por las ecuaciones; [8].

( )( )η πε λ

λ πε η senh ;

2cosh

12 ;2 00 ⋅=⋅⋅=⋅= +

+ RaV R D/ arc

V

Las expresiones que se obtienen para el potencial puntual y el módulo del campo electrostático mediante este

método son las siguientes: [8].

-Q +Q

+λ-λ

a a

D

R

ϕ

r- r+ r

P B

- +

E r Eϕ

E

-V +V

DATOS:

V +=+100 V

V -=-100 V R=2,5 mm

D=15 mm



( ) ( )ϕ⋅

πε

+⋅λ=ϕ⋅

πε

−⋅λ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

πελ

=−+

ϕ−+−

+ senr r

ar a E ;cos

r r

ar a E ;

r

r lnV r P 22

0

22

22

0

22

02

Para la comprobación numérica de los resultados anteriores se escogieron dos puntos en el espacioPA(x,y)=(0,10) y PB(x,y)=(5,5). Los resultados obtenidos fueron los mostrados a continuación:

( ) ( )

( ) ( ) V V m

V E y x

V V m

V E y x

PA PB

B

PA PA

A

9,49 ;75,113465,5,PPunto

0 ;65,401110,0,PPunto

−==⇒=

==⇒=

Como se hizo en el caso anterior, el problema se puede resolver numéricamente mediante el programa de

elementos finitos obteniéndose las siguientes distribuciones de potenciales y módulos de campo electrostático,

figura 5.

Figura 5. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el espacio que separalos cables conductores.

Figura 6. Gráficas que representan la variación del potencial eléctrico (izquierda) y módulo del campo eléctrico (derecha) a

lo largo de la línea que une los cables y es perpendicular a los ejes.

Los resultados numéricos para los puntos de análisis, obtenidos mediante el MEF son:



( ) ( )

( ) ( ) V V m

V E y x

V V m

V E y x

PA PB

B

PA PA

A

03,48 ;425,115445,5,PPunto

11,0 ;308,401910,0,PPunto

−==⇒=

+==⇒=

También podemos observar fácilmente mediante este programa, como se modifican estas magnitudes a lo largo

de una línea de estudio. Para ello tomamos como ejemplo el eje que separa a ambos conductores, figura 6.

Un ejemplo que, siendo geométricamente similar al anterior, no posee una fácil resolución analítica es cuandoambos cables conductores se encuentran sometidos al mismo potencial V+. El potencial del plano equidistante de

ambos conductores es distinto de cero, con lo cual no puede aplicarse el método de las imágenes. En este caso,

utilizar una herramienta de simulación como el programa del MEF nos permite conocer tanto la distribución del

campo eléctrico como el potencial en cualquier punto del espacio, figura 7.

Figura 7. Distribución del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el espacio que separa los

conductores que se encuentran a V +.

El valor del módulo de E

y del potencial puntual V en los puntos PA y PB, calculados para la nueva situación

electrostática mediante el MEF,

( ) ( )

( ) ( ) V V m

V E y x

V V m

V E y x

PA PB

B

PA PA

A

20,70 ;541,72985,5,PPunto

89,38 ;521,546410,0,PPunto

+==⇒=

+==⇒=

Figura 8. Potencial (izquierda) y campo eléctrico (derecha) a lo largo de la línea que une los conductores.



Las gráficas anteriores, figura 8, representan la nueva distribución del campo eléctrico y potencial puntual en el

espacio a lo largo de la línea que une los cables y es perpendicular a los conductores.

Resulta interesante comparar las líneas de campo eléctrico que se producen entre los conductores cuando se

encuentran sometidos a distinto potencial V+=+100V, V-=-100V –caso A- y cuando se hayan conectados al

mismo potencial V+=+100V –caso B-, figura 9.

Figura 9. Distribución de las líneas de campo eléctrico entre los conductores para las 2 situaciones analizadas.

4. CONDENSADORES.

El estudio de los condensadores reúne y emplea en un problema aplicado todos los conceptos electrostáticos. El

cálculo de la capacidad del condensador en función de su geometría, la carga de sus placas, la energía

electrostática almacenada, etc. justifica a los alumnos la necesidad de introducir los conceptos electrostáticos

previamente expuestos. Por ello presentamos una serie de ejemplos sencillos de condensadores que ilustran losconceptos básicos tales como líneas equipotenciales, campos eléctricos, efecto de borde, densidades de carga y

energía. La representación espacial de las líneas de campo y superficies equipotenciales obtenidas mediante el

MEF es un documento de gran valor didáctico por su claridad y descriptibilidad.

4.1. CONDENSADOR PLANO.

En este ejemplo analizaremos el caso de un condensador plano de placas circulares y paralelas, figura 10.

Primero mostraremos la solución despreciando efectos de borde, que puede resolverse tanto con el programa de

elementos finitos como analíticamente. Con ello se pretende que el alumno verifique la fiabilidad de los

resultados obtenidos con este tipo de programas. Después se simularán los efectos de borde en las placas delcondensador, en cuanto a distribución de cargas en la placa conductora y la deformación de las líneas de campo

eléctrico.


+V

-V

x y

z

+σ S

-σ S

+V

-V

+ + ++

- - --

d

R

ε0 E

D

2 RS ⋅π=

ΔV

DATOS:

V +=+100 V V -=0 V d=6 mm R=10 mm

ε 0=8,85× 10-12

F/m



Tomamos dos placas circulares de radio R separadas una distancia d con una diferencia de potencial entre las

placas V Δ y un medio de permitividad 0 εtal y como se nos muestra en la figura anterior. La solución analítica

viene dada por las expresiones.

mC

mkV

d V V E A B 7

0 10475,1ED ;66,16 −⋅=⋅==−=

ε

siendo la capacidad C asociada a este condensador plano y la energía almacenada:

J V C Energía pF d

S C 920 10315.2

2

1 ;463,0 −⋅=Δ⋅==

⋅=ε

Los resultados obtenidos mediante el MEF permiten validar las expresiones anteriores, fácilmente calculadas, y

observar en tres dimensiones la geometría del potencial eléctrico, figuras 11 y 12.

Figura 11. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en un condensador plano.

Figura 12. Variación del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el interior de un

condensador plano.

Los resultados del análisis por medio de la simulación mediante el MEF son,

m

C

m

kV E 7

104756,1D ;666,16−⋅==



J dV D E Energía pF V

S D

V

QC

V

3169,22

1 ;463,0 =⋅⋅==

⋅== ∫

En el problema se han supuesto condiciones ideales para su cálculo, es decir, se ha considerado despreciable el

efecto de los bordes en las placas del condensador. El programa de resolución numérica nos permite apreciar lavariación del potencial y campo eléctrico en los extremos y trazar, del mismo modo, la trayectoria que

describirán las líneas de campo al considerar un condensador real.

En la gráfica de la figura 13 se muestra la densidad de carga real superficial en la placa del condensador. Como

puede apreciarse se produce un incremento considerable cuando nos aproximamos al extremo de la placa

conductora ocasionado por el efecto de borde.

Figura 13. Efecto de deformación de líneas de E

y acumulación de cargas en las superficies de radio de curvatura pequeño.

4.2. CONDENSADOR CILÍNDRICO FINITO.

Otro caso interesante de analizar es el condensador cilíndrico, observando los cambios que se producen en las

magnitudes de estudio en función de su geometría y con respecto al condensador plano, figura 14. En este tipo de

condensador las líneas de campo eléctrico describen trayectorias perpendiculares a las placas conductoras, como

sucede en el condensador plano. Su nueva geometría es radial, deformándose las líneas en las superficies planasque limitan el condensador.


Partimos de dos conductores cilíndricos de radios1 R y

2 R con una diferencia de potencial entre las placas V Δ y

un medio lineal, homogéneo e isótropo de permitividad0

5 ε ⋅ , tal y como se nos muestra en la figura anterior. De

esta manera la resolución analítica será,

x

y

z

R1

L

ε

R 2

P r

±ΔV

E

E

E

E

05 ε⋅=ε

+

++

+

++

-

-

-

-

-

- +σS

−σ S

DATOS:

ΔV=1 kV R1=2 mm R2=4 mm

ε =5×ε 0

S=2π R× L



1

2

0

1

20

ln10

;1

10 R

R

L

QV l d E V

r L

Q E

QS d E

R

RS ⋅

=Δ⇒⋅−=Δ⋅⋅

=⇒=⋅ ∫ ∫∫ πε πε ε

2

8

2

1

1038396714421

m

C

r

, E D;

m

V

r

,

r

R

R

ln

V E ⋅

⋅=⋅ε=⋅=⋅

Δ=

−

siendo la carga Q y la capacidad C por unidad de longitud en el condensador cilíndrico:

m

pF

V

QC

m

C

R

R

V LQ 4,0 ;10011,4

ln

10 7

2

10 =

Δ=⋅=

Δ⋅= −πε

Una vez aplicado el MEF, y para no dificultar el visionado de las líneas equipotenciales junto con la distribución

de las magnitudes en el objeto simulado, se tomará ¼ del condensador cilíndrico haciendo uso de su simetría

radial, figuras 15 y 16.

Figura 15. Distribución del módulo (izquierda) y líneas del campo eléctrico en el interior de un condensador cilíndrico.

Figura 16. Variación radial del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el interior de unconductor cilíndrico.

A continuación se efectúa una comprobación numérica de los resultados obtenidos mediante el método analítico

y los mostrados en el MEF. Para ello calcularemos las variables en un punto situado sobre el radio, R=3mm.

Igualmente se compara la carga acumulada Q , la capacidad asociada C y la energía por unidad de longitud en

el condensador de estudio, tabla 1.



MAGNITUD UNIDAD TEÓRICO MEF|E| R=3mm kV/m 480,9 482,36

|D| R=3mm C/m2 2,12× 10-5 2,135× 10-5

V R=3mm V 415,03 415,196

Q C/m 4,011× 10-7 4,013× 10-7

C pF/m 401,113 401,293

Energía J/m200,557 × 10-6 200,646 × 10-6

Tabla 1. Relación de las magnitudes obtenidas analíticamente y por el método de elementos finitos.

4.3. CONDENSADOR PLANO CON DIELÉCTRICOS DIFERENTES.

Un ejemplo clásico que se puede encontrar en cualquier libro de electromagnetismo es el basado en un

condensador plano con dos o más dieléctricos diferentes [1], [7], [8]. A este tipo de estructura geométrica se le

denomina tipo sándwich, figura 17. Este caso puede resolverse de una forma sencilla por el método de

superposición o, en su defecto, mediante los conceptos de asociación de condensadores. De la misma manera que

en los ejemplos expuestos anteriormente, se resolverá el condensador analíticamente para posteriormente y deuna forma resumida efectuar una comparación con el método numérico.


Tomamos dos superficies conductoras paralelas de dimensiones l l 2× separadas una distancia d con una

diferencia de potencial entre las placas V Δ y con dos medios dieléctricos en su interior de permitividad01 ε ε =

y02 200 ε ε ⋅= tal y como se muestra en el dibujo anterior,

2

5

22

7

121 1095,2D ;1047,1DD ;66,16m

C

m

C E

m

kV

d

V E E E −− ⋅=⋅=⇒⋅==

Δ===

ε

siendo ahora la cargaT Q y la capacidad total

T C asociada al condensador:

( ) ( ) pF d

S C C D DS QQQ T T 411,7 ;10411,7 21

10

2121 =+=⋅=+⋅=+= − ε ε

La energía total almacenada por el condensador y el módulo de la fuerza F

que ejerce el dieléctrico2ε sobre la

superficie de la placa vendrán dadas por:

N dS F J V C EnergíaS

S

T T

6

2

2

8210174,6

2 ;10706,3

2

1 −− ⋅=⋅⋅

=⋅=Δ⋅= ∫ ε

σ

x

y

z

+V

-V

+ + ++

- - --

ΔV

+V

-V

+σ S1

-σ S1

+σ S2

-σ S2

l

d

l l

ε12 D

ε21 D

DATOS:

V +=+100 V V -=0 V

d=6 mml=5 mm

ε 1=ε 0

ε 2=200×ε 0



Ahora se introduce el modelo en el programa de elementos finitos para su comprobación numérica, figuras 18 y

19. Los resultados nos permiten observar mediante un proyector de transparencias la geometría y distribuciones

en el espacio de los campos eléctricos en el interior de los dieléctricos. Los resultados del MEF son.

pF C C Qm

C

m

kV

E T T 378,7 ;10378,7 ;109514,2D ;666,16

105

=⋅=⋅==

−−

∫ ∫ −− ⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=S

Z Z

V

T N dS D E F J dV D E Energía 68 10147,62

1 ;10704,3

2

1

Figura 18. Distribución del potencial eléctrico (izquierda) y vector desplazamiento (derecha) entre las placas del condensador.

Figura 19. Variación del módulo del campo eléctrico (izquierda) y vector desplazamiento (derecha) en el interior de losmedios dieléctricos del condensador.

5. RUPTURA DIELÉCTRICA.

Los fenómenos de ruptura dieléctrica son fáciles de estudiar cuando se plantean como sistemas aislados quetrabajan a carga constante, siempre y cuando su geometría sea sencilla. Mucho más complicado de entender y

analizar son los problemas reales de conductores con geometría compleja que se encuentran a una diferencia de

potencial constante, siendo sus cargas las que varían al modificarse las condiciones en los conductores. El

método de elementos finitos lo utilizaremos aquí para simular el incremento en los valores de campo eléctrico en

el entorno de un conductor con un radio de curvatura que tiende a cero cuando la diferencia de potencial respecto

a un plano conductor aumenta. Constituye una primera aproximación a lo que sucede en la punta de un

pararrayos durante una tormenta.



Figura 20. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) entre el plano conductor +

y la superficie puntiaguda-.

El plano conductor se supondrá a un potencial kV V 1=+ constante y el objeto puntiagudo puesto a tierra. En la

figura 20 se observa el ‘efecto llamarada’ (alta intensidad del campo eléctrico) que produce el elemento con un

radio de curvatura despreciable. Cualitativamente, la razón de este fenómeno es que las cargas negativas se

acumulan en la superficie del conductor que se encuentra más cerca a la placa positiva. Una cantidad

relativamente pequeña de carga en el extremo de la punta da lugar a una densidad superficial grande; y una alta

densidad de carga significa un elevado campo eléctrico justo en el exterior. Del mismo modo, puede apreciarse

con claridad las distintas superficies equipotenciales que existen entre los dos elementos que componen nuestro

ejemplo de estudio.

6. DISCONTINUIDADES EN LA MATERIA.

Un ejemplo utilizado comúnmente en las explicaciones teóricas de la asignatura consiste en el estudio de lasperturbaciones del campo eléctrico que en un medio dieléctrico provocan pequeñas burbujas de aire.

Inicialmente se pueden llegar a considerar inofensivas pero, estudiadas con detalle, dan lugar a la aparición de

campos eléctricos muy intensos en su interior que pueden llegar a provocar fenómenos de ruptura dieléctrica,

figura 21. Estos fenómenos dan lugar a degradaciones de aceites dieléctricos en transformadores, averías en

cadenas de aisladores en líneas de alta tensión, etc. En la gráfica de la figura 22 podemos observar la variación

del módulo del campo eléctrico en el interior del dieléctrico que contiene la burbuja, observando el máximo quealcanza en las paredes de la misma.

Figura 21. Distribución del módulo del campo eléctrico en el conjunto dieléctrico-burbuja (izquierda) y solamente en el

medio dieléctrico (derecha).



Figura 22. Distribución del módulo del campo eléctrico en la burbuja de aire (izquierda) y variación del módulo del campo

eléctrico en el conjunto dieléctrico-burbuja-dieléctrico (derecha).

7. CONCLUSIONES.

Es común a las asignaturas que introducen los fundamentos teóricos en las enseñanzas técnicas la conveniencia

de adaptar aplicaciones tecnológicas o con relevancia industrial al nivel de iniciación. Pese a que la tarea noresulta fácil habitualmente, ayuda a una mejor comprensión de la materia lo que permite que el estudiante

advierta la utilidad y la necesidad de su estudio incrementando su motivación e interés. A lo largo del presente

documento se han presentado diversos sistemas electromagnéticos, así como su análisis mediante el método de

elementos finitos. Se ha realizado una conexión entre los métodos tradicionales de análisis de estas situaciones,

restringidos a los casos ideales, y su generalización a casos más cercanos a la realidad. Se ha analizado la

viabilidad del uso de un programa de MEF como complemento docente en una asignatura de Electricidad y

Magnetismo y se ha señalado la importancia de contar con un sistema de postprocesado como herramienta

docente de análisis de resultados.

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02 Cuieet Potencial Campo Electrico

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