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ECUACIONES EMPRICAS

1. OBJETIVOS

1.1 Determinar la ecuacin emprica del periodo del pndulo simple

1.2 Desarrollar mtodos grficos y analticos para tener informacin del experimento en estudio.

2. FUNDAMENTO TERICO

La Fsica es una ciencia experimental por excelencia y como tal en el estudio de un fenmeno fsico, no se puede dejar de realizar mediciones. Generalmente, en el Laboratorio, al empezar el estudio de un fenmeno fsico, se obtiene un conjunto de valores correspondientes a dos variables, una dependiente de la otra. Esta dependencia entre variables se puede expresar matemticamente mediante una ecuacin que toma el nombre de ecuacin emprica.

Variable. Es una cantidad a la cual se le puede asignar, durante un proceso de anlisis, un nmero ilimitado de valores.

Constante. Es una cantidad que tiene un valor fijo durante un proceso de anlisis. Se distinguen dos tipos de constantes: las absolutas y las arbitrarias; las absolutas tienen el mismo valor en todos los procesos (por ejemplo: (, e, 3), en tanto que las arbitrarias pueden tener un valor diferente en cada proceso particular. En Fsica se acostumbra llamar parmetros a stas ltimas.

Funcin. Cuando dos variables x e y estn relacionadas de forma tal que para cada valor de x le corresponde uno de y, se dice que y es una funcin de x y se denota de la siguiente manera:

y = f(x)donde: y es la variable dependiente o funcin, y x es la variable independiente. Durante un experimento a la variable independiente se le dan valores predeterminados y el valor de la variable dependiente es observado y medido subsecuentemente.

Para deducir la correcta ecuacin emprica es necesario obtener un buen grfico de nuestros datos experimentales, por lo que debemos tener en cuenta lo siguiente:

1. Trazar en papel milimetrado dos ejes perpendiculares. En el eje horizontal se anotan los valores de la variable independiente (x) y en el eje vertical los valores de la variable dependiente (y).

2. Elegir escalas apropiadas en cada uno de los ejes, de acuerdo al rango de variacin de los datos. En este aspecto es recomendable usar las escalas: 1:1; 1:2; 1:5. Es decir que, si el conjunto de valores de la variable x es: 1,4 kg; 2,8 kg; 3,6 kg; 4,0 kg; 5,8 kg debemos usar la escala 1:1. Esto significa que 1 kg del valor de la variable debe ser representado por 1 cm en el correspondiente eje sobre el milimetrado. En algunos casos es conveniente usar potencias de 10. As por ejemplo, si los valores de alguna de las variables son: 0,003; 0,015; 0,018; 0,025, podremos escribir: 3(103; 15(103; 18(103; 25(103.

3. Tratar en lo posible que el grfico ocupe la mayor parte del papel milimetrado y tenga un ubicacin simtrica con respecto a los dos ejes. Se puede utilizar diferentes escalas en cada uno de los ejes.

4. Trazar una lnea contnua y ntida que pase por entre los puntos, de forma tal que estos queden uniformemente distribuidos a ambos lados de la lnea.

5. Comparar la lnea obtenida con cada una de las curvas tipo que se muestran en las Figuras 1, 2 y 3 y por similitud asignar la ecuacin emprica que le corresponde.

Figura 1. Relacin Lineal

y = k xn, para n < 0

y = k xn , para 0 < n < 1 y = k xn, para n > 1

Figura 2. Relacin Potencial

y = k e a x, para a > 0 y = k e a x , para a < 0

Figura 3. Relacin Exponencial

De las grficas anteriores la relacin lineal es la ms importante porque es la ms usada para deducir la ecuacin emprica de un fenmeno en estudio. Por lo tanto, en la ecuacin de la recta

y = A + B x

(1)

debemos reconocer las siguientes constantes importantes :

Pendiente : B, es la tangente del ngulo de inclinacin de la recta. Es decir que: B = tan (.

Intercepto: A, es la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje vertical (y). Cuando la recta pasa por el origen, A = 0 y su ecuacin es la relacin proporcional:

y = B x (2)

Linealizacin de una Curva. La mayor informacin de un fenmeno se puede obtener, cuando los valores de sus variables pueden representarse mediante una lnea recta . Por esta razn es conveniente convertir en una relacin lineal la relacin de variables de cualquier otra curva que obtengamos experimentalmente. Para ello se hace una transformacin de variables en ambos miembros de la ecuacin emprica obtenida. Este proceso se denomina Linealizacin de la Curva.

Ejemplo: Si el grfico de los datos experimentales es una de las curvas de potencias que se muestran en la Figura 2, su ecuacin emprica tendr la forma

y = k xn

(3)

donde k y n son constantes a determinar.

a) Esta ecuacin puede ser linealizada tomando logaritmos a ambos miembros:

ln y = ln k + n ln x

(4)

y haciendo el siguiente cambio de codificacin:

Y = ln y; X = ln x; A= ln k ; B = n.

la ecuacin (3) se transforma en :

Y = A + B X

(5)

que es la ecuacin de una recta y consecuentemente el grfico de las nuevas variables Y vs X debe ser una lnea recta.

b) En el caso que se conociera el valor de la constante n de la ecuacin (3) la forma de linealizar esta curva es haciendo el siguiente cambio de variables:

Y = y , X = xn , B = k

con lo cual la nueva ecuacin es el de una recta del tipo:

Y = BX (6)

Determinacin de las Constantes.

Mtodo Grfico. Este mtodo consiste en determinar directamente la pendiente y el intercepto a partir de la grfica. Para hallar la pendiente de la recta se eligen dos (2) puntos de sta que no sean los puntos experimentales. Por ejemplo: P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y entonces el valor de la pendiente se obtiene usando la frmula:

==

(7)

El valor del intercepto se lee en el punto de corte de la recta graficada o su prolongacion con el eje de ordenadas.

Mtodo Analtico o Estadstico. Este mtodo consiste en aplicar el mtodo de los cuadrados mnimos para calcular las constantes A y B. Este mtodo tiene la ventaja de minimizar los errores experimentales en la determinacin de A y B, para ello usamos las siguientes frmulas:

A = (8)

B = (9)

La dispersion de los puntos en torno a la recta de regresin est caracterizada por las diferencias en la forma dada por:

(Yj = Yj BXj-A (10)

La desviacin estandar de estas diferencias es:

sy = = (11)

y las incertidumbres en la pendiente y el intercepto son respectivamente:

(B = sy, (A = sy (12)

Para el caso de la ecuacin del periodo T del pndulo simple tenemos:

(13)

o bien

(14)

Si en esta ecuacin se reemplaza el coeficiente de L por la constante k y el exponente de L por la constante n, se tiene una expresin general, la cual se llama ecuacin emprica del periodo del pndulo simple:

T = k Ln (15)

Para linealizarla aplicamos logaritmos a ambos miembros de la Ecuacin 9 y tenemos:

ln T = ln k + n ln L (16)

y haciendo el cambio de variables: ln T = Y; ln L = X; ln k = A; n = B resulta la recta:

Y = A + B X (17)

La Ecuacin 15 (ecuacin emprica del periodo del pndulo simple) quedar determinada cuando se obtengan los valores numricos de k y n, estos parmetros se encuentran por cuadrados mnimos o graficando la recta y hallando el intercepto y la pendiente. Ntese que k = anti ln A

3. MATERIALES E INSTRUMENTOS ( )

MaterialesInstrumentosPrecisin

4. PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES ( ) 4.1 Instalar el equipo como se muestra en la Figura 3

4.2 Con una longitud pendular L = 20 cm hacer oscilar el pndulo con una amplitud angular menor a 15 y medir 5 veces el tiempo de 10 oscilaciones completas anotando los resultados en la Tabla 1, as como el valor promedio del periodo T calculado con la siguiente frmula T = (t1+t2+t3+t4+t5).

4.3 Repetir el paso anterior para las siguientes longitudes de L: 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80; 90 y 100 cm. Anotar estos valores en la Tabla 1.

Tabla 1

NL (cm)t1 (s)t2 (s)t3 (s)t4 (s)t5 (s)T (s)

1 10

2 20

3 30

4 40

5 50

6 60

7 70

8 80

9 90

10 100

5. PROCESAMIENTO Y ANLISIS ( )

Mtodo grfico

5.1 Con los datos de la Tabla 1 calcule los logaritmos naturales de L y de T y complete la Tabla 2.

Tabla 2

NL (cm)T (s)Ln LLn T

110

220

330

440

550

660

770

880

990

10100

5.2 Con los datos de la Tabla 2 construya, en papel milimetrado, la grfica T vs L. Observe que esta grfica es similar a una de las curvas tpicas de la Figura 2, por lo tanto, la dependencia entre T y L tiene la forma de la Ecuacin 3. Escriba esta ecuacin en trminos de T y L.

.............

5.3 Linealizacin de la curva. Usando los otros datos de la Tabla 2, construya en papel milimetrado la grfica ln T vs ln L. Determine en la misma grfica la pendiente B, el intercepto A y anote aqu los valores. Tambin calcule k y n . Recuerde que ln k = A; n = B

A = ....... B = ..

k = ....... n = ...

5.4 Escriba la ecuacin emprica T vs L (con valores numricos de k y n). .............................................................................................................................................

Mtodo estadstico

5.5 Para aplicar el mtodo de los cuadrados mnimos complete la Tabla 3, solo hasta la penltima columna.

Tabla 3NLj (cm)Tj (s)Xj = ln LYj = lnTXjYjXj2(Yj - BXj - A)2

110

220

330

440

550

660

770

880

990

10100

(

5.6 Con los datos de la Tabla 3, aplique las Frmulas 8 y 9, halle el intercepto A y la pendiente B, y con ellos los valores de k y n: A = .................................. B = ...........................................................

k = ............................ n = .......................................................

5.7. .Con los valores de A y B hallados en el item anterior, llene ahora la ltima columna de la Tabla 3 y con la Ecuacin 12 halle las incertidumbres en B y en A:

(B = .. (A = ...

5.8 .Considerando la propagacin de errores en mediciones indirectas, utilice (A y (B para determinar los errores (k y (n.

(k = ......... (n =

5.9 Escriba la relacin funcional entre T y L (ecuacin emprica del periodo del pndulo simple T = k Ln con valores numricos de k y n). .............................................................................................................................................

6. RESULTADOS ( )

MagnitudMtodo

GrficoEstadstico

Intercepto

Pendiente

Constante, k

Exponente, n

Ecuacin emprica

7. CONCLUSIONES ( )

7.1 Explique secuencialmente los pasos para obtener una ecuacin emprica?

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

7.2 Diga por qu los mtodos grfico y estadstico son complementarios?

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

7.3 Calcule la aceleracin de la gravedad local comparando la ecuacin emprica (mtodo estadstico) con la Ecuacin 14: .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

8. BILBIOGRAFIA ( )

(Indique: Autor, Ttulo, Editorial, fecha, edicin, pgina)

.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

9. PUNTUALIDAD ( )Milimetrado (1/2)

Milimetrado (2/2)

y

y

(

A

x

0

x

0

y = Bx

y = Bx + A

y

y

0

y

x

x

x

0

0

y

y

x

x

0

0

Figura. (3)

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_1266379190.unknown

_1266379208.unknown

_1266379213.unknown

_1266379220.unknown

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_1140876077.unknown

_1140876105.unknown

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