02 Flexión Vigas Apuntes 2 2010-2-6dpp

Hormign Armado I

1

Unidad 3 - Diseo de vigas3.1. Diseo para flexin. Secciones rectangulares y seccin T

3.1.1. Anlisis y diseo a flexin de vigas3.1.2. Anlisis para la seccin No Agrietada (Fase I)3.1.3. Anlisis para seccin agrietada (Fase II)3.1.4. Anlisis para la seccin en estado ltimo

3.1.4.1. Flexin en vigas simplemente armadas3.1.4.2. Flexin en vigas doblemente armadas

3.1.5. Flexin en vigas T3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III)

3.1.6 Diseo de vigas a flexin3.1.6.1 Diseo de vigas simplemente armadas3.1.6.2 Diseo de vigas doblemente armadas3.1.6.3 Diseo de vigas T

3.2 Diseo para esfuerzos de corte

3.1.1 Anlisis y diseo de vigas

Las vigas de hormign armado, sometidas a esfuerzos de flexin, se disean colocando el refuerzo de acero en el lado traccionado de la viga, a fin de suplir la ineficiencia del hormign para resistir tracciones.

Cuando en una viga la carga se aumenta gradualmente desde cero hasta la carga ltima de falla, se pueden observar tres etapas.

a) Fase I: Seccin No Agrietadab) Fase II: Seccin Agrietadac) Fase III: Seccin en estado ltimo

FASE I: SECCION NO AGRIETADA

Para valores bajos de la carga P, en que la traccin del hormign (en la fibra ms traccionada) no ha excedido el valor lmite de la rotura a traccin, toda la seccin contribuye a la resistencia.

Las tensiones tanto del hormign como del acero estn dentro del lmite elstico y no hay agrietamiento en la viga.

FASE I: Seccin no agrietada.Comportamiento elstico.

3.1.1 Anlisis y diseo de vigas FASE II: SECCION AGRIETADA- Al aumentar la carga P, la tensin de traccin mxima en el hormign alcanza el valor de rotura y se producen fisuras en los puntos de momento mximo.

- Estas fisuras se propagan hasta el eje neutro, donde las tensiones de compresin detienen su avance.

- A medida que la carga aumenta, el eje neutro se desplaza hacia arriba, y las grietas se siguen propagando.

- Las fisuras son muy pequeas y no causan problemas desde el punto de vista esttico o de corrosin.

- En una seccin agrietada las barras de acero de refuerzo resisten toda la traccin.

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FASE II: Seccin agrietada.Comportamiento no lineal

3.1.1 Anlisis y diseo de vigas FASE III: SECCION EN ESTADO LTIMOEn esta fase se alcanza eventualmente la carga ltima o de falla, la que se puede generar de 2 maneras:

1)- Si la cuanta de acero es moderadamente baja, el acero alcanza su tensin de fluencia para algn valor de la carga. En ese instante, las grietas de traccin comienzan a ensancharse y a propagarse hacia arriba, creciendo las deformaciones en el hormign, hasta que la fibra ms comprimida alcanza una deformacin unitaria igual a u = 0,003.- El hormign falla por compresin para una carga levemente mayor que la que produce la fluencia del acero.

- Esta falla se denomina falla por tensin falla por comprensin secundaria, y se desarrolla en forma gradual y claramente identificable por el tamao de las grietas y la magnitud de la deformacin.

FASE III: SECCION EN ESTADO LTIMO

En esta fase se alcanza eventualmente la carga ltima o de falla, la que se puede generar de 2 maneras:

2)- Si la cuanta de acero es alta, la capacidad a compresin del hormign puede agotarse antes de que el acero comience a fluir.

- El hormign falla por compresin primaria cuando la deformacin se hace igual a u = 0,003.- Esta falla es brusca y casi explosiva y ocurre sin aviso previo.

FASE III: Seccin en estado ltimo.

3.1.1 Anlisis y diseo de vigas

Seccin original Seccin transformada

rct ff < cs EEn =

3.1.2. Anlisis para la seccin No Agrietada (Fase I)

Comportamiento elstico fs < fy ; fct < fr

3.1.2. Anlisis para la seccin No Agrietada (Fase I)

El Momento de agrietamiento, segn frmula de Navier:

t

trtrcr y

IfWfM ==

cr f2f = [ ]2'c cm/Kgf;

Para secciones rectangulares:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2s2s33t xdA1ndxA1nxhb31xb

31I +++=

Hormign Armado I

3

( ) ( )kd

dkdfnfkkfnf cscs

== ;1ccc

sss

sss

EfEfEf

==

=

3.1.3. Anlisis para seccin agrietada (Fase II)

Comportamiento elstico fs < fy ; fc 0.45 fc

==

=kdd'dkd

'kd

ssc


La compatibilidad de deformaciones permite escribir la siguiente relacin geomtrica para la curvatura:

Las resultantes de las fuerzas internas horizontales:

( ) ( ) ( )( ) ( )

kd'dkdffdondef'fACPara

Ak

k1fnT;Akd

dkdf1nC;bfdk21C

cccsss

scsscscc

)'A( s)'A( s ==

===


NOTA: Se debe descontar el rea de acero en compresin del rea bruta de la cabeza en compresin, o bien, suponer que la tensin del acero vale fs fc(As)

Haciendo equilibrio de las fuerzas internas horizontales:

( ) ( ) ( ) scsscscc

sc

Ak

k1fnT;Akd

dkdf1nC;bfdk21C

TCC

===

=+

( )( ) ( ) 0AnAdd1nkA1nAnkbd

21

ssss2 =

+++

Se resuelve la ecuacin cuadrtica en k, para encontrar el eje neutro x=kd


Haciendo equilibrio de momento c/r a As:

Dado M se encuentra fs, fs y fcDado fc se encuentra fs, fs y M

( ) ( )3kddCddCM cs +=( ) ( ) ( )

+=

3kddbfdk

21ddA

kddkdf1nM csc


Para el caso del diseo a flexin por tensiones admisibles para cargas de servicio:

fc fc adm = 0,45 fc (tensin en la fibra extrema en compresin)

0,5 fy (A440-280H)fs fs adm =

0,4 fy (A630-420H)


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3.1.3. Anlisis para seccin agrietada (Fase II)Ejemplos de Momentos de Inercia Fisurados Ejemplos de Momentos de Inercia Fisurados


La capacidad ltima a momento de vigas de hormign armado siempre se obtiene cuando la fibra ms comprimida alcanza su mxima capacidad de deformacin.

Esta situacin se puede producir antes o despus de que el acero traccionado haya entrado en fluencia, dando a lugar a una falla frgil o dctil.

3.1.4. Anlisis para la seccin en estado ltimo (Fase III)

3.1.4.1. Para secciones simplemente armadas (As=0):

65,0pero,140

)30f(85,0Mpa30f

85,0Mpa30f

1c

1c

1c

>=>=

3.1.4. Anlisis para la seccin en estado ltimo (Fase III)

Tipos de Falla:

Falla frgil

Falla balanceada

Falla dctil

3.1.4.3.1.4. AnAnlisis para la seccilisis para la seccin en estado n en estado ltimoltimo(Fase III) (Fase III) SecciSeccin Simplemente Armadan Simplemente Armada

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Falla Dctil:

Del equilibrio de fuerzas internas, se tiene:

( ) ( )2adT2adCMfb85.0

fAa

fAbaf85.0TC

ff

cn

c

ys

yscc

ysys

==

===

=>


Seccin de hormign simplemente armado cuando alcanza la resistencia nominal a flexin.

Falla Balanceada:


Falla Balanceada:

=

===

=+=

==

2adfA2

adCM

fAbaf85,0TC

cadc

ff

bysb

bcnb

ysbbcc

b1byu

ub

ysys


Falla Balanceada:

Cuanta de balance

+==

+=

yu

u

y

csbb

yu

u

y

csb

ff

dbA

dbffA

85.0

85.0

1

1


Falla frgil:

( ) ( )22085.0

85.0

21

1

adTadCM

dEAcEAbcfccdEAbcfTC

ccdEf

ccd

ff

cn

ussussc

usscc

ussus

ysys

==

=+

==

==

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Perfiles de deformacin en la resistencia a flexin de una seccin.

Relaciones tensin-deformacin fuerza-deformacin

Conceptos Fundamentales de Mecnica Estructural

Concepto de elasticidad, que se refiere a la reversibilidad de las deformaciones.

Conceptos Fundamentales de Mecnica Estructural

FASE II: Comportamiento elstico fs < fy ; fc 0.45 fc

FASE I: Comportamiento elstico fs < fy ; fct < fr

RECORDEMOS:

En general, la condicin de falla o rotura del hormign armado se produce cuando la deformacin unitaria de compresin en el hormign cmax llega a la capacidad lmite de deformacin del hormign u.

El valor de u se ha medido en el laboratorio, y para fines prcticos se adopta convencionalmente el valor estipulado por el cdigo ACI-318 u = 0.003.

La condicin indicada de rotura se basa en las propiedades de los aceros ms comunes que se usan en el hormign armado, las que permiten asegurar que no puede surgir la falla del acero debido a su gran capacidad de deformacin antes de la rotura por traccin (material dctil), ya que dicha capacidad es del orden del 20% (us = 0,20).

3.1.4.2. Flexin en vigas doblemente armadas

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Seccin de hormign armado doblemente armada cuando se alcanza la resistencia nominal a flexin.


En forma general, las fuerzas internas resultantes son:

compresin en el hormign Cc = 0,85 fc a b compresin en el acero Cs = As (fs 0,85 fc) traccin en el acero T = As fsNOTA: Se debe descontar el rea de compresin del rea bruta de la cabeza de compresin, o bien, suponer que la tensin del acero vale

( fs 0,85 fc )

3.1.4.2. Flexin en vigas doblemente armadas Por equilibrio de las fuerzas internas, escribimos:

( ) ( )1fAf850fAbaf850TCC sscsscsc =+=+ ',''',

De la compatibilidad geomtrica (diagrama de deformaciones), se tiene:

Ecuacin para determinar la profundidad de la fibra neutra (eje neutro).

( )2cuandoa

da0030c

dc0030dcc

0030ys

1s

s

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3.1.4.2. Flexin en vigas doblemente armadas Si fs = fy s y

fs< fy s < yrea en compresin debajo del esfuerzo de fluencia. Este caso puede ocurrir en vigas anchas de poca altura, vigas con recubrimiento de hormign sobre As mayor que el habitual.

De (5):

De (2):

( ) yscssc fAf850fAbaf850 =+ ',''',

( ) :)()(....','' 5en2luego8Ea

da0030Ef s1sss==


NOTA: siempre verificar supuestos, es decir, fs < fy ; como, reemplazando a.

( )

( ) 0dE0030AafAf850AE0030Aabf850afAaf850AdE0030AaE0030Aabf850

afAf850Aa

daE0030Abaf850

1ssyscsss2

c

yscs1ssss2

c

yscs1

ssc

=+=+

=+

','',','',

','',','',

/','','',

A2CA4BB

a2 =

A B C

( ) ( )'',''', ddf850fA2adbaf850 csscnM +

=

1) Ambas armaduras en fluencia fs = fs = fy

El momento resistente total se puede considerar como la suma de dos partes.

3.1.4.2. Flexin en vigas doblemente armadas(Otro enfoque de anlisis)

1) Ambas armaduras en fluencia fs = fs = fy

( )( ) ( )2/

2

1

21

adfAAMddfAM

MMM

yssn

ysn

nnn

==

+=( )

( )44444 844444 76 TC

baffAA

a

fAAbafc

y

yss

yssy

=

=

=

85.0

85.0


2) Acero en compresin por debajo de la fluencia fs < fy ; fs = fy

yssscc fAfAbcfTC 85.0 1 =+= ( ) 085.0 21 = dEAcEAfAbcf ussussysc ( )

cdcEf ussss

== ;;

( ) ( )ddfAadbafM sscn + 285.0


Para vigas doblemente armadas, se tienen los casos:

1) Toda la armadura fluye

2) Fluye slo la armadura en traccin

3) Fluye slo la armadura en compresin

4) Deformaciones elsticas en el aceroysys

ysys

ysys

ysys

ffyff

ffyff

ffyff

ffyff

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Por otra parte, podemos determinar la profundidad mnima de la fibra neutra para la cual el acero en compresin est en fluencia


Pero la profundidad de la fibra neutra est determinada por la ec. (5) (1) y recordando que amin = 1 cmin, resulta:

'' = s

u

dcc Despejando c, para s = y, se tiene:

ys

s

yu

u

fE0030E0030ddc

==

,,''min

( )y

cysmincymins fbd1/'f85,0f'Aba'f85,0fA* +=

Refuerzo mnimo en traccin para que el acero en compresin est en fluencia:


+ f

'f85,01'fE003,0

E003,0d'd

f'f85,0*

y

c

ys

s

y

c1min

Cuanta de traccin balanceada, para la cual el hormign alcanza u y s = y:

f'f'

fE003,0E003,0

f'f85,0

y

s

ys

s

y

c1b ++=

( )'85,0' ff cs

( )f'fcon'f

'f85,0'fys

s

cs =

(9)

Si la condicin (9) no se cumple, las relaciones (6), (7) y (8) permiten determinar Mn, a y fs.

En resumen, dada una cuanta :1) Si , ambas armaduras fluyen.

2) Si , la armadura en traccin fluye, pero la armadura en compresin no.

3) Si , la armadura en compresin fluye, pero la armadura en traccin no.

4) Si , ambas armaduras en rango elstico.

Los casos 3) y 4) conducen a una falla frgil, indeseada.

bmin y*

bmin y* >

bmin y* > hf )

La zona en compresin est formada por dos bloques. Es necesario determinar la posicin del eje neutro dentro del ala.

Nuevamente, debido a la gran rea en compresin del hormign, generalmente se asume que el acero en tensin fluye.

3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III) 3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III)

Viga T de hormign armado cuando se alcanza la resistencia nominal a flexin.

CASO 2: Eje neutro en el alma

Para obtener la cuanta de balance de una viga T:

Dividiendo por

dcyu

u +=

( ) ysfwcwc fAhbbfbcfTC 85.085.0 1 =+=

( )db

Adbf

hbbf85,0w

sf

wy

fwcf

fbwb

==

+=)( yw fdb

3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III)


Para determinar la resistencia nominal a la flexin, se separa la armadura en tensin en dos partes:

Asf representa el rea de acero cuya capacidad en fluencia se equilibra con la fuerza de compresin Cf de las alas sobresalientes.

( )sfssfs AAAA +=


3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III)3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III)

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1) Por equilibrio de fuerzas entre Asf y Cf:

2) Por equilibrio de momento entre Asf y Cf:

( ) ( ) fwy

csffwcysf hbbf

fAhbbffA 85.085.0

==

=2hdfAM fysfnf

( )

=2hdhbbf850M ffwcnf .



3) Por equilibrio de fuerzas entre As -Asf y Cw:

Notar que Asw = As Asf

4) Por equilibrio de momento entre As -Asf y Cw:

( ) ( )wc

ysfswcysfs bf

fAAabaffAA

85.0

85.0 ==

( )

=2adfAAM ysfsnw



5) Finalmente, el momento resistente nominal total de la viga es:

donde:

( ) fwy

csf hbbf

fA 85.0

=

( )

+

=+=

2adfAA

2hdfAM

MMM

ysfsf

ysfn

nwnfn

( )wc

ysfs

bffAA

a85.0

=

3.1.5.1 Anlisis a flexin en vigas T (Fase III)CASO 2: Eje neutro en el alma - Cuanta mxima

Si la ec. (1) se divide por bw d:


minmax = dbA

AAhaSiw

swssf

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )dbbbhf850

f1A

1almadbalaAA

wwfcy

s

wsfs

maxmax

maxmax

', +

=

+=

( ) ( )almadb

Adb

Adb

A

fw

wsf

fwsf

ws

w

max

max

=

+=

Viga rectangular con bw y d

La ecuacin general para el clculo de Asmax en una seccin T cuando a > hf puede ser desarrollada como sigue:

La mxima rea de acero es igual a Cc / fy, entonces:


Notar que s = 0,005 > y fs = fy

( )[ ]db3750hbbff

850A w1fwy

cs += ,',max

( )[ ]wfwc bahbbf850C += ',( )

d3750ca

almaelpara375000500030

0030dc0050y0030Para

11

sc

==

=+===

,

,,,

,,,

Otras secciones


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RelaciRelacin Momento n Momento CurvaturaCurvatura

Comportamiento Comportamiento InelInelsticostico

IntroducciIntroduccinn

Como se ha mencionado anteriormente, no es posible por razones econmicas resistir las fuerzas ssmicas solamente en rgimen elstico. Se debe dotar a la estructura de la capacidad de deformarse plsticamente ms all del lmite elstico, sin que sufra un deterioro estructural significativo a fin que ella pueda absorber y disipar cantidades importantes de energa.

A esta propiedad se le denomina DUCTILIDADDUCTILIDAD.

Relacin Momento Curvatura Comportamiento Inelstico


Para alcanzar esta condicin es necesario eliminar las fuentes potenciales de falla frgil. En consecuencia, es necesario impedir una falla de corte del hormign, una ruptura brusca del acero, una prdida repentina del anclaje y adherencia, un prematuro aplastamiento y prdida del recubrimiento acompaado por pandeo local de las armaduras.

Tambin la degradacin de rigidez y resistencia bajo cargas cclicas debe ser minimizada o demorada lo suficiente para permitir la supervivencia de la estructura.



Muchos cdigos especifican que el hormign armado debe ser dctil en zonas crticas donde se prevla formacin de una rtula plstica en un anlisis inelstico (hormign confinado con armadura transversal).

Muchas veces, los requerimientos de las norma no han sido especficos, y no ha sido clara la definicin de factor de ductilidad, que puede ser expresado en trminos de DESPLAZAMIENTOSDESPLAZAMIENTOS, ROTACIROTACINN o CURVATURACURVATURA.



El factor de ductilidad por desplazamiento _=_u./.y donde u es la mxima deformacin lateral y y es la deformacin lateral a la primera fluencia, es el valor corrientemente determinado en un anlisis dinmico no lineal.

Algunos anlisis dinmicos determinan el factor de ductilidad por rotacin de un elemento, u / y donde u es la mxima rotacin en el extremo de un elemento y y es la rotacin en el extremo del elemento a la primera fluencia.



La informacin que requiere el proyectista respecto al comportamiento de una seccin dada concierne ms bien al factor de ductilidad por curvatura u / y donde u = mxima curvatura o curvatura ltima en la seccin y y es la curvatura en la seccin a la primera fluencia.

El valor El valor u / u / y resulta ser un pary resulta ser un parmetro de metro de mayor significado para las demandas de ductilidad mayor significado para las demandas de ductilidad que los otros que los otros ndices mencionadosndices mencionados..


Hormign Armado I

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Debe reconocerse que pueden existir diferencias apreciables entre los factores de ductilidad expresados.

Ser mayor el valor u / y que el valor u / y, puesto que una vez producida la fluencia, la deformacin se concentra en las rtulas plsticas y los desplazamientos subsiguientes se producen principalmente por rotacin en ellas.



Teniendo en cuenta lo sealado anteriormente, resulta de gran importancia introducir los conceptos bsicos para determinar la relacin momento curvatura en vigas rectangulares. Para ello se desarrollar un ejercicio en donde se obtendr la relacin momento - curvatura para una viga de seccin rectangular simplemente armada.


Se considerar el comportamiento de una seccin simplemente armada a travs de la relacin momento-curvatura de una seccin rectangular, variando el momento hasta llegar a la rotura de uno de los dos materiales.

Ejercicio Momento Curvatura Comportamiento Inelstico

Desarrollar la relacin momento-curvatura hasta la rotura, para una viga de seccin 20 x 40 cm, As = 216 = 4,02 cm2, fc = 200 Kg/cm2, fy = 2800 Kg/cm2, y se usar d = 37 cm.Para este anlisis las relaciones tensin-deformacin de los materiales se simplificarn en la forma indicada en la Fig. 1.


Figura 1 Curvas tensin-deformacin idealizadas

fs = Es s si s < y (2.a)fs = fy si s y (2.b)


=

o

c2

o

ccc 2'ff

ucocc si'ff =

Para el hormign:

Para el acero:

(1.a)

(1.b)

En la Fig. 2 se muestran las distribuciones de deformaciones y tensiones para el caso en que el hormign se cumple cmax o y fcmax fc.


Figura 2 Distribucin de deformaciones y de tensiones para fcmax fc.

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Se desarrollan a continuacin algunas frmulas tiles para la resultante de la parbola y su punto de aplicacin. La resultante de compresiones es:


dx2'bdxbCo

c

2

o

cc

c

0

c

0c ff

==

Pero c = (x/c) cmax, luego:

(3)


El punto de aplicacin de la resultante C es:

dxxbfCx

c

c=0

1


Para el caso particular en que cmax = o , es decir, la parbola completa, se obtiene:

(5.a)

(5.b)

cb'32C fc=

c85x =

(4)

A continuacin se calcularn cuatro puntos de la curva momento-curvatura, definidos en la forma siguiente:

P1 un punto tal que cmax o, en particular se tomar(cmax/o) = 0,25 y muy probablemente se tendr que s

Hormign Armado I

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Imponiendo la condicin C = T se determina la profundidad del eje neutro:

Conocido c puede evaluarse s = 0,00119, comprobndose que s < y = 0,00133.La ubicacin de la resultante C est determinada por la Ec. (4):

( ) cm9510cc3760474c2 ,, ==

( ) ( )( ) cm2177250

31250

25041250

32

9510x2

2

,,,

,,, =

=


Pero:

Luego el momento resistente es:

( ) mT343T26733cdxTM ==+= ,,Y la curva correspondiente a este momento flector se obtiene de:

cm110645c

6c /,max

==

Kg510037c67916CT ,, ===


Punto P2: Se siguen los mismos pasos anteriores, pero ahora se conoce la deformacin s. En primer lugar, es necesario determinar la profundidad del eje neutro c.

( )

( )7cd

ccdc

631cbfCT

Kg112562800024fAT

10333311012

2800Ef

ycyc

2

o

c

o

cc

ys

36s

yys

==

==

===

====

maxmax

maxmax'

,

,,


La Tabla 1 muestra el procedimiento para determinar por tanteo el valor de c (hasta que se iguale a T = 11256 Kg).

tanteo de c cmax de (7) cmax / o C (Kg) de (6)10 0,4938 x 10-3 0,24690 9063 C < T12 0,6400 x 10-3 0,32000 13721 C > T11 0,5641 x 10-3 0,28205 11243 C = T

Tabla 1 - Determinacin por tanteo de la profundidad del eje neutro

Luego, la profundidad del eje neutro es c = 11 cm y la ubicacin de la resultante C es:

( ) ( )( ) cm2387282050

31282050

28205041282050

32

11x2

2

,,,

,,=

=


Luego, el momento resistente y la curvatura correspondiente son respectivamente:

( ) ( )cm110351

111056410

mT7431137238711256cdxTM

63

/,,

,.

===+=+=


Punto P3: Ahora se conoce la deformacin mxima del hormign y se espera que s > y

Usando la Ec. (5.a), se tiene:

0020oc ,max ==

( )cm1108473

22140020

mT993221437638211256M

cm6382221485x

cm2214cTC

Kg11256fAT

c672666cbf32C

6

ys

c

/,,,

,,,

,,

,

,'

===+=

====

====

Hormign Armado I

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Verificacin de s

)sup(,,max uestolocumplese00133001550c

cdcs >==


La distribucin parablica ocupa 2/3 del valor de c. En la figura (3), se denomina C a la resultante de compresiones de la parbola y C a la resultante del bloque rectangular con fc = 200 Kg/cm2.

Punto P4: Tambin se conoce la deformacin mxima del hormign, pero el clculo de la resultante de compresiones en el hormign es algo ms complicada, como lo lustra la Figura (3). Adems, se puede anticipar que s > y. Como:

0030uc ,max ==


Figura 3 Distribucin de deformaciones y tensiones en el hormign para la condicin de rotura.


Kg4824CKg6432C

cm6183cTC

Kg11256Tc113111CCC

c3313333c20200

3cbfC

c771777c3220200

32c

32bf

32C

c

c

==

==

==+=

===

===

'''

,

,'''

,'''

,''


( ) ( )

027700030c

cd

cm11082961830030

mT04436482489346432M

c65cdCc

2410cdCM

s

6

,,

/,,

,,,

'''

==

==

=+=

++

+=


Figura 4 Curva momento-curvatura

El resumen de los cuatro puntos calculados de la relacin momento curvatura se muestra en la Tabla 2 y su grfico en la figura 4.

Punto c (cm) cmax fcmax s fs M (Kg/cm2) (Kg/cm2) (T-m) (1/cm)

P1 10,95 0,500 x 10-3 87,5 0,00119 < y 2499 3,34 45,6 x 10-6P2 11,00 0,564 x 10-3 96,9 0,00133 = y 2800 3,74 51,3 x 10-6P3 4,22 2,0 x 10-3 200 0,00155 > y 2800 3,99 473,8 x 10-6P4 3,62 3,0 x 10-3 200 0,00277 > y 2800 4,00 829,0 x 10-6

Tabla 2 - Resumen de los puntos de la curva M -

Hormign Armado I

18

La ductilidad de la seccin se define a travs de la razn:


16,163,51

829 ===

y

u

Por ductilidad entendemos la capacidad de un elemento para deformarse, pasado el rango elstico en montos importantes hasta la ruptura.

Distinguiremos entre ductilidad requerida y ductilidad proveda:

Ductilidad proveda (p) es la capacidad dada por diseo de deformacin desde la fluencia a la ruptura.

Ductilidad requerida (d) es la deformacin no lineal inelstica que un sismo demanda a un elemento.


En lo diseos se deber cumplir que d < p1. Siempre es necesario proveer resistencia2. Siempre proveer ductilidad. Por ejemplo, confinamiento del Ho.

La ductilidad es necesaria cuando se sobrepasa el lmite de fluencia en la armadura de traccin.

Esta ductilidad se necesita principalmente como mecanismodisipador de energa.

En el caso de los elementos estructurales tipo barra, la ductilidad estar dada por el giro de las secciones.


Diferentes idealizaciones de relaciones momento-curvatura para falla primaria por traccin en vigas simplemente armadas.

Grficos Momento-Curvatura para una viga de seccionesA (As=5,94 cm2), B (As=17,1 cm2) y C (As=30,42 cm2)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004 0.00045 0.0005 0.00055 0.0006

Seccin ASeccin B

Seccin C

Mom

ento

(105

, kg

-cm

)

Curvatura (cm-1)

50.8cm

45.72cm

25.4 cm

As

Concreto f'c = 280 kg/cmEc = 253,103 kg/cm (tensin y compresin)e r = 0.00014f r = 35.43 kg/cmAcero fy = 4,200 kg/cmEs = 2'038,900 kg/cm

Seccin A: As = 5.94 cmSeccin B: As = 17.1 cmSeccin C: As = 30.42 cm (

(3 varillas de 5/8") (6 varillas de 3/4")

6 varillas de 1") DiseDiseo de vigas o de vigas a flexia flexinn

Hormign Armado I

19

Un buen diseo de vigas debe respetar los requisitos de seguridad y serviciabilidad.

Seguridad: Resistencia Nominal > Resistencia Requerida.

Con respecto a la serviciabilidad (control de deformaciones), el cdigo ACI318 en el artculo 9.5 propone alturas mnimos (h) para vigas que no soporten o estn ligadas a elementos susceptibles de ser daados por las deformaciones.

3.1.6 Diseo de vigas a flexin 3.1.6 Diseo de vigas a flexin

3.1.6 Diseo de vigas a flexin 3.1.6 Diseo de vigas a flexin

3.1.6 Diseo de vigas a flexin

NOTA:NOTA:Los lLos lmites indicados en la tabla 9.5(a) puedes ser insuficientes mites indicados en la tabla 9.5(a) puedes ser insuficientes para el control de deformaciones, especialmente en el caso de para el control de deformaciones, especialmente en el caso de voladizos.voladizos.

Definiciones del factor Definiciones del factor segsegn ACI 318n ACI 318--08089Con anterioridad a la edicin del ACI318-2002, el

reglamento especificaba la magnitud del factor para los casos de carga axial o de flexin, o ambos, en trminos del tipo de carga.

9Para estos casos, el factor queda, ahora, determinado por las condiciones de deformacin unitaria en las secciones transversales t, en el estado de resistencia nominal.

9De esta manera, desde el ACI 318-02, se trabaja en funcin de las deformaciones unitarias netas del acero ms traccionado t9Y, dependiendo del valor de t, se definen los siguientes

tipo de secciones.


Hormign Armado I

20

Secciones controladas por compresiSecciones controladas por compresinn: esto ocurre cuando la deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero ms traccionado es igual o menor que el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin, justo cuando el hormign en compresin alcanza su lmite de deformacin unitaria de 0,003.

El lmite de deformacin unitaria controlada por compresin es la deformacin unitaria neta de traccin de la armadura en condiciones de deformacin unitaria balanceada (deformacin de fluencia), es decir:


yt 65,070,0

== Elementos con zunchos segn 10.9.3

Elementos con estribos

Donde se puede esperar una condiciDonde se puede esperar una condicin de falla frn de falla frgil, sin gil, sin un claro aviso de una falla inminente.un claro aviso de una falla inminente.

70,075,0

== Elementos con zunchos segn 10.9.3

Elementos con estribos

ACI318-08

Apndice C

ACI318-08

Secciones controladas por tracciSecciones controladas por traccinn: esto ocurre cuando la deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero ms traccionado es igual o mayor a 0,005, justo cuando el hormign en compresin alcanza su lmite de deformacin unitaria asumido de 0,003, es decir:


005,0t 9,0=Donde se puede esperar un claro aviso previo a la falla con deformaciones y agrietamiento excesivo.

Este lmite es importante ya que es el lmite de aplicacin de = 0,9.

Para ACI318-08 y Apndice C del ACI318-08

Comentarios del factor Comentarios del factor de reduccide reduccin de resistencian de resistencia9Se usa un factor ms bajo para las secciones

controladas por compresin que para las secciones controladas por traccin, porque las secciones las secciones controladas por compresicontroladas por compresin tienen menor ductilidadn tienen menor ductilidad, son ms sensibles a las variaciones en la resistencia del hormign y, en general, se presentan en elementos que soportan mayores reas de cargadas que las secciones controladas por traccin.

9A los elementos con zunchos se les asigna un ms alto que para las columnas con estribos ya que poseen poseen mayor ductilidad o tenacidadmayor ductilidad o tenacidad.


Los parmetros crticos en este lmite se indican con el subndice t. En base a la figura, por similitud de tringulos:

ct = 0,375 dt


Figura - Deformaciones especficas en el lmite para secciones controladas por traccin

9Los elementos sometidos a flexin en general son controlados por traccin mientras que los elementos en compresin en general son controlados por compresin.

9Algunas secciones, como aquellas de carga axial pequea y momento de flexin grande, tendrn deformaciones unitarias netas de traccin en el acero de refuerzo ms traccionado entre los lmites mencionados.

9Estas secciones se encuentran en una regin de transicin entre las secciones controladas por compresin y por traccin.


005,0

Hormign Armado I

21

VariaciVariacin de n de en funcien funcin de la deformacin de la deformacin neta por traccin neta por traccin n tt, y de la , y de la relacirelacin c/n c/ddtt para armadura con para armadura con ffyy = 4200 = 4200 KgKg/cm/cm22:


De acuerdo al cuerpo principal del ACI 318-08

VariaciVariacin de n de en funcien funcin de la deformacin de la deformacin neta por traccin neta por traccin n tt, y de la , y de la relacirelacin c/n c/ddtt para armadura con para armadura con ffyy = 4200 = 4200 KgKg/cm/cm22:


De acuerdo al Apndice C del ACI 318-08

Secciones no controladas ni por tracciSecciones no controladas ni por traccin ni por compresin ni por compresinn: en estos casos el valor se debe interpolar linealmente, tomando como extremos los dos casos anteriores, es decir:


005,0

Hormign Armado I

22

El cdigo actual define los lmites de armadura en trminos de la deformacin unitaria neta de traccin t, no en trminos de la relacin balanceada /b como ocurra anteriormente.Sin embargo, para secciones rectangulares, existe una relacin sencilla entre t y /b, considerando la figura siguiente:

3.1.6 Diseo de vigas a flexinCuantCuanta ma mxima (xima (maxmax) en elementos solicitados por flexi) en elementos solicitados por flexinn

Considerando la figura anterior para la condicin balanceada, se tiene:

Similarmente, para cualquier cuanta de acero, se tiene:

y dividiendo

Dividiendo ambos lados por d:

(1)


111 '85,0'85,0 fdf

ffAac

c

yb

c

ysbbb ===

1'85,0 fdfc

c

y=

bbcc =

=

dc

dc b

b

Del tringulo del diagrama de deformaciones unitarias

Despejando t, se obtiene:

(2)


( ) dccdccdc

t

tt

003,0003,0

003,0003,0003,0

=+==

tdc

+= 003,0003,0

( ) 003,0003,0 =

dct

Similarmente:

(3)

De la ec. (1) y (3);


Efdccdc

sy

b

y

b

+==

003,0003,0

003,0

+

=

=

Efdc

dc

syb

b

b 003,0003,0

Sustituyendo el valor en la ec. (2), se tiene:

(4)

Para fy = 4200 Kg/cm2 y Es = 2,1106 Kg/cm2, se obtiene:

cuya grfica se muestra en la figura siguiente


( ) 003,0003,0

003,0003,0

+== bsy

ttEf

dc

003,0005,0

= bt

Relacin entre la cuanta balanceada y la deformacin unitaria neta de traccin


Hormign Armado I

23

Para determinar la cuanta mxima max, para una viga simplemente armada, se tiene considerando la ec. (4), lo siguiente:

a) Para la condicin de t 0,005 (secci(seccin controlada por n controlada por traccitraccin)n). De la ec. (4):


b)005,0(ts

y

max 003,0E

f003,0

++

=

++ b

sy)005,0(t

Ef003,0003,0

005,0003,0Ef003,0

)005,0(tb

syt =

+=

++

003,0E

f003,0

)005,0(t

s

y

b

As, para fy = 4200 Kg/cm2, se tiene:

max = 0,625 b

Notar que asociado al lmite 0,005 es 0,9.

Es decir, el lmite de 0,005 de deformacin unitaria neta a al traccin corresponde a una relacin /b de 0,625 para las secciones rectangulares con acero de refuerzo con fy = 4200 Kg/cm2.


bmax 008,0005,0=

Por otra parte, segn punto 10.3.5 de ACI 318-08; Para elementos no preesforzados en flexin y elementos no preesforzados con carga axial mayorada de compresin menor a 0,10 fc Ag, t en el estado de resistencia nominal no debe ser menor a 0,004.

Nota: Esta limitacin no se aplica a elementos preesforzados.


9 El objetivo de esta limitacin es restringir la cuanta de refuerzo en vigas a aproximadamente el mismo valor que se exiga en la ediciones anteriores del ACI 318-02.

9 De esta manera el lmite de 0,75 b (del ACI318-99) tiene como resultado una deformacin unitaria neta de traccin en el acero extremo en traccin para el estado de resistencia nominal de 0,00376.

9 El lmite propuesto de 0,004 es levemente ms conservador.

9 El factor asociado al lmite 0,004 es 0,812.


b) Para la condicin de t 0,004 (elementos sometidos a (elementos sometidos a flexiflexin S.A.)n S.A.)

As, para fy = 4200 Kg/cm2, se tiene:

max = 0,714 bNotar que asociado al lmite 0,004 es 0,812.


bmax 007,0005,0=

b)004,0(ts

y

max 003,0E

f003,0

++

=

Para vigas doblemente armadas y considerando el descuento del rea de acero en compresin del rea bruta de la cabeza de compresin, se tiene:


++

=

b

0050t

sy

y

c0030

00308501 E

f

ff

,

,','),(

max ys ff =';

ys ff

Hormign Armado I

24

Sin considerar el descuento del rea de acero en compresin:


( )

++

= b0050t

sy

0030

0030 Ef

,

,

),(max' ys ff =';

ys ff

Hormign Armado I

25

[ ][ ]cmfff

cmff

2

yy

c

2

y

cw

Kg145

4

Kg5

8

/'

/'

min

min

=

=

OBS: Para los elementos que tienen un ala traccionada, por ejemplo, vigas T en voladizo, se reemplazar b en la cuanta mnima por 2b o por el ancho del ala, cualquiera sea el valor que resulte menor, es decir:

3.1.6 Diseo de vigas a flexinCuantCuanta ma mnima (nima (minmin) en elementos solicitados a flexi) en elementos solicitados a flexinn

Proceso de diseProceso de diseoo

En que es el coeficiente de minoracin

3.1.6.1 Diseo de vigas simplemente armadas

nu MM

005,0t 9,0=

005,0ty

Hormign Armado I

26


4) Determinar bd2requerido con

5) Dimensionar de modo que bd2 bd2requerido

Tener en cuenta que h debe cumplir con las restricciones del control de deformaciones y que generalmente b 15 cm, h 2 b 3 b y d 0,90 h 0,95 h.

6) Determinar definitivo con (3) As = b d

7) Verificar la capacidad de momento Mu Mn

dbMR 2

nn = Procedimiento de diseo

b) Si adems de las solicitaciones (MD, ML, ME) se conocen las dimensiones de la seccin, se puede calcular la armadura de refuerzo requerida directamente con la ec. (3).


Debe comprobarse que min max Segn ACI318 punto 10.5.3 se puede aceptar < minsiempre que

As > 1.33 As (requerido)

=

fRm211

m1

y

n dbMR 2

nn =

'f85,0fm

c

y=

No vlido para Elementos sometidos a flexin en marcos especiales resistentes a momento (max=0,025)

No es comn que se requiera acero en compresin en diseo ltimo en condiciones de resistencia.

Casos ms frecuentes en que se requiere As:

- Cambiar el modo de falla en compresin a traccin (falla frgil a dctil)

- Para incrementar la ductilidad de la seccin- Para reducir las deformaciones debido a las cargas

sostenidas (creep)- Si hay inversin de esfuerzos (por ej. cargas ssmicas)- Por requerimientos de fabricacin (ejecucin)

3.1.6.2 Diseo de vigas doblemente armadas

Del Equilibrio de fuerzas(*)

De (*) para la situacin de balance:

s = y se obtiene:(**)


bffAfAa

c

ssss

'85,0''=

( )'85,0' ff cs

( )'''2

'85,0 ddfAadbafM sscn +

=

( ) dfff

a sybc

b '''85,01 =

( )'85,0' ff cs

( )'85,0' ff cs

De la compatibilidad de deformaciones:

que combinado (**) da origen:

Notar que:

El ACI 318 permite no descontar el rea ocupada por As y permite suponer fs=fy, con lo cual la ec. Anterior queda como:


( )'85,0' ff cs

dfE

Ecacdc ys

sbb

b

y

b 11 003,0

003,0003,0+===

ff

fEE

ff

y

s

ys

s

y

cb

''003,0

003,0'85,0 1 ++=

( )dbfCC

dbA

fCC

Ay

scb

sb

y

scsb

+==+=

El ACI limita la cantidad (-) o sea limita el acero en traccin que excede el acero en compresin de la siguiente manera:

Se debe verificar que efectivamente fs = fy


( )fE

Eff

ys

s

y

cb += 003,0

003,0'85,0' 1

( ) ( )'003,0

003,0'

)005,0(max

++

= bt

s

yE

f

Hormign Armado I

27

Refuerzo mnimo en traccin para que el acero en compresin est en fluencia:

+ f

ffE

Edd

ff

y

c

ys

s

y

c '85,01'003,0

003,0''85,0* 1min

3.1.6.2 Diseo de vigas doblemente armadas 3.1.6.2 Diseo de vigas doblemente armadas

Procedimiento de diseProcedimiento de diseooLo normal es que se conozcan las solicitaciones (MD, ML, ME) y se pida determinar las caractersticas de la seccin (dimensin y refuerzo). Un camino posible ser:

1) Se elige una seccin (b, d)

Tener en cuenta que h debe cumplir con las restricciones del control de deformaciones y que generalmente b 15 cm, h 2 b 3 b y d 0,90 h 0,95 h.

2) Seleccionar un valor apropiado de

max

min''

y

sff

( )'85,0' ff cs


3) Se determina el momento nominal de la seccin simplemente armada con:

4) Calcular Mu con las relaciones de las combinaciones de cargas y Mn REQUERIDO = Mu /

= cy

yn ff

dbfM

59.01 2


5) La diferencia de momento (Mn REQUERIDO Mn)

se toma agregando As = As ADICIONAL

6) Verificar que:As = b d + As ADICIONAL (fs / fy) As min = b d min


( )fddMM

Ay

nREQUERIDOnADICIONALs '

= ( ) 'f'ddMMA

s

nREQUERIDOnADICIONALs

=

( )'85,0' ff cs


Deformacin unitaria y distribucin de tensiones equivalente para una seccin rectangular con armadura de traccin y compresin.

3.1.6.3 Diseo de vigas TProcedimiento de diseProcedimiento de diseooLo normal es que se conozcan las solicitaciones (MD, ML, ME) y se pida determinar las caractersticas de la seccin (dimensin y refuerzo). Un camino posible ser:

1) Determinar el espesor estructural de la losa hf y el ancho efectivo b.Adems seleccionar bw y d, tomando en cuenta que h debe cumplir con las restricciones del control de deformaciones y que generalmente b 15 cm, h 2 b 3 b y d 0,90 h 0,95 h.

Si la viga es continua, bw y d deben ser capaces de resistir el momento negativo en los apoyos.

Hormign Armado I

28

2) Calcular Mu con las relaciones de las combinaciones de cargas y Mn REQUERIDO = Mu /

3) Determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, suponiendo comportamiento de seccin rectangular con bigual al ancho de ala (es decir, a hf);

3.1.6.3 Diseo de vigas T

', ffc

y850da =

=

fRm211

m1

y

n'f85,0

fmc

y= dbMR 2

nn =

NOTA:

Suponer seccin controlada por traccin = 0,9 y s 0,005.

4) Si a hf, determinar la armadura como si se tratara de una seccin rectangular de ancho bque slo tiene armadura de traccin.

5) Si a > hf, calcular la armadura Asf requerida y la resistencia al momento nominal Mnfcorrespondiente al ala saliente en compresin de la viga:


maxmin = chequeardbAs

( )db

Af

hbbf850fCA

w

sff

y

fwc

y

fsf === ',

=2hdfAM fysfnf

6) Calcular la resistencia al momento nominal requerido a ser soportado por el alma de la viga:

7) Calcular la armadura Asw requerida para desarrollar la resistencia al momento a ser soportado por el alma:


nfREQUERIDOnnw MMM =

y

wcsfssw f

baf850AAA

',==

', ffc

y850da =

=

fRm211

m1

y

n'f85,0

fmc

y=db

MR 2n

n =

8) Determinar la armadura total requerida:

9) Verificar que:

10) Verificar si la seccin es controlada por traccin, con = 0,9



swsfs AAA +=

( ) ( )almafw maxmin= db

As

ww

02 Flexión Vigas Apuntes 2 2010-2-6dpp

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