02 Solucion Ec Equilibrio

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Dinámica de Estructuras (CIV–235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Solución de la Ecuación de

Equilibrio – Sistemas de 1 Grado

de Libertad

Introducción

• Respuesta dinámica de sistemas lineales elásticos modelados

considerando 1 grado de libertad es caracterizada a través de la

ecuación clásica de movimiento

• En esta ecuación:

– 𝑥(𝑡): posición del sistema (función del tiempo)

– 𝑓(𝑡): acción externa (función del tiempo)

– 𝑚: masa, propiedades de inercia del sistema

– 𝑐: factor de disipación de energía (modelo de amortiguamiento

viscoso)

– 𝑘: rigidez (fuerzas elásticas – restitución)

USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2

Generalidades

f(t)

x(t)k

m

c

Introducción

• Estudiar la solución de la ecuación de movimiento para 2 casos

particulares

– Caso homogéneo (𝑓 𝑡 = 0), vibraciones libres

– Caso de cargas externas del tipo armónicas (por ejemplo, la fuerza

externa es 𝑓 𝑡 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡 )

• Solución para otros casos de fuerzas más generales serán estudiados

en capítulos posteriores


Objetivo

Análisis del Caso Homogéneo

• Problema a estudiar

– Caso homogéneo (𝑓 𝑡 = 0)

– Equivale a vibraciones libres de la estructura debido a una

perturbación inicial, ya sea en la posición (𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0) y/o

velocidad ( 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0)


Generalidades

𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0

𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0


• Ecuación de movimiento

• Solución

• La ecuación característica debe ser igual a cero. Luego, los valores

característicos 𝜆1, 𝜆2 (o sea, las raíces de esta ecuación) son:


Generalidades

Al reemplazar solución

se determina que:

ecuación característica

asociada al problema


• Resulta útil introducir 2 definiciones

– Frecuencia natural de oscilación (𝜔𝑛)

– Razón de amortiguamiento crítico

• Considerando estas definiciones, los valores característicos 𝜆1, 𝜆2son:


Generalidades


• Caso particular en el que no existe disipación de energía

• Los valores característicos corresponden a números imaginarios

• La solución de la ecuación diferencial de movimiento es:

• O alternativamente:


Caso Particular 1 (𝑐 = 0)

𝐴1, 𝐴2: números reales

• 𝐴: Amplitud de la oscilación

• 𝜔𝑛: Frecuencia de la oscilación

• 𝜙: Ángulo de fase

Definición:


• Para determinar constantes de la solución, se requiere de las

condiciones iniciales 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0 y 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0 (ecuación diferencial

de movimiento de 2º orden)

• Se puede demostrar que la solución de la ecuación de movimiento

puede ser expresada como:




• Es útil introducir las siguientes definiciones



Nombre Símbolo Definición Unidad

Frecuencia angular

𝜔𝑛 𝜔𝑛 =𝑘

𝑚[rad/s]

Frecuencia 𝑓𝑛 𝑓𝑛 =𝜔𝑛2𝜋

[hz]

Período natural

𝑇𝑛 𝑇𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛=1

𝑓𝑛[s]


• Ejemplo:

– Sistema: 𝑚=10 kg,

𝑘=1000 N/m, c=0

– Condiciones iniciales:

𝑥0=2 m, 𝑥0=20 m/s

– Solución



0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo

De

sp

laza

mie

nto

Caso No Amortiguado: Oscilaciones Libres

x(t)

k

m

𝜔𝑛=10 rad/s, 𝑇𝑛=0.63 s2𝜋−𝜙

𝑤𝑛=0.55 s

𝑇𝑛 =0.63 s

𝐴 =2.8 m


• En este caso, el amortiguamiento 𝑐 asume un valor tal que la raíz

asociada a los valores característicos se hace cero

• En este caso, el amortiguamiento 𝑐 es idéntico al amortiguamiento

crítico 𝑐𝑐𝑟


Caso Particular 2 (𝑐 = 2 𝑘𝑚)

Definición: amortiguamiento crítico


• Note que razón de amortiguamiento crítico 𝑑 adopta el valor 1 en este

caso

• Dado que 𝑐 = 𝑐𝑐𝑟, los valores críticos son idénticos, reales y negativos

• La solución de la ecuación de movimiento es:



Note que esta solución

no es periódica


• Ejemplo


𝑘=1000 N/m,

c=200 kg/s

– Condiciones

iniciales: 𝑥0=2 m,

𝑥0=80 m/s

– Solución



0 1 2 30

1

2

3

4

5

Tiempo

D

esp

laza

mie

nto

Caso Amortiguamiento Critico: No hay Oscilación

x(t)

k

mc



asociada a los valores característicos adopta valores reales

• Note que razón de amortiguamiento crítico 𝑑 adopta un valor mayor que

1 en este caso


Caso Particular 3 (𝑐 > 2 𝑘𝑚)


• Dado que 𝑐 > 𝑐𝑐𝑟, los valores críticos son reales, distintos y negativos




Note que esta solución

no es periódica

0 0.2 0.4 0.60

0.5

1

1.5

2

Tiempo

D

esp

laza

mie

nto

Caso SobreAmortiguado: No hay Oscilación


• Ejemplo


𝑘=1000 N/m,

c=220 kg/s

– Condiciones


𝑥0= –22 m/s

– Solución



x(t)

k

mc



asociada a los valores característicos adopta valores imaginarios

• Note que razón de amortiguamiento crítico 𝑑 adopta un valor menor

que 1 en este caso


Caso Particular 4 (𝑐 < 2 𝑘𝑚)


• En vista de que la razón de amortiguamiento crítico asume valores 0 <𝑑 < 1, los valores propios son números complejos


• Se introduce la siguiente definición



Frecuencia modulada

o amortiguada


• Considerando la última definición, es posible demostrar que la solución

de la ecuación de movimiento puede ser expresada como:

• O alternativamente como:

• Note que la solución es oscilatoria y converge a la posición de equilibrio

estático



𝐴1, 𝐴2: números

reales


• Se puede demostrar que la solución de la ecuación de movimiento con

condiciones iniciales 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0 y 𝑥 𝑡 = 0 = 𝑥0 puede ser

expresada como:




• Ejemplo


𝑘=1000 N/m,

d=10%

– Condiciones


𝑥0= 17.9 m/s

– Solución



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo

D

esp

laza

mie

nto

Caso SubAmortiguado

x(t)

k

mc

𝜔𝑛=10 rad/s, 𝜔𝑑=9.95 rad/s


• Se ha demostrado que el comportamiento del modelo físico depende

fundamentalmente de la razón de amortiguamiento crítico

• Valores típicos considerados para la razón de amortiguamiento crítico

– Estructuras de hormigón armado ⇒ 𝑑 ≈ 5%

– Estructuras de acero ⇒ 𝑑 ≈ 2%


Resumen


• Ejemplos: casos sobre-, sin y subamortiguado


Resumen

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

Tiempo

SobreAmortiguado

d 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

Tiempo

D

espla

zam

iento

No Amortiguado

d = 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

Tiempo

SubAmortiguado

d < 1


• Ejemplos: casos sobre-, sin y subamortiguado (superpuestos,

normalizados por desplazamiento máximo)


Resumen

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Casos: Sobreamortiguado - No Amortiguado - Subamortiguado

Tiempo

d 1

d = 0

d < 1


• Se asume que se dispone de mediciones de la oscilación libre de un

sistema estructural caracterizado por medio de 1 GL


Aplicación: Determinación de 𝑑

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2

-1

0

1

2

3 Determinación de Razón de Amortiguamiento (d)

Tiempo

D

esp

laza

mie

nto

En este caso, se asume

que la ecuación de

movimiento es de la

forma (para 𝑑 < 1):


• Se consideran los desplazamientos en los tiempos 𝑡∗ y 𝑡∗ + 2𝜋 𝜔𝑑

• El logaritmo de la razón entre estos desplazamientos se denomina

decremento logarítmico 𝛿

• La información sobre 𝛿 permite calcular la razón de amortiguamiento

crítico




• En caso que los desplazamientos en los tiempos 𝑡∗ y 𝑡∗ + 2𝜋 𝜔𝑑 sean

similares, es posible considerar desplazamientos en los tiempos 𝑡∗ y

𝑡∗ + 𝑛 2𝜋 𝜔𝑑 (donde 𝑛 es un número natural mayor que 1)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2

-1

0

1

2

3 Determinación de Razón de Amortiguamiento (d)

Tiempo

D

esp

laza

mie

nto

• Luego, el decremento

logarítmico se define como:

• La razón de

amortiguamiento se estima

como:

Fuerzas Armónicas

• Se considera cargas descritas por funciones de tipo seno/coseno

• Alternativamente, las cargas pueden ser expresadas mediante notación

compleja

• Modelo considerado


Formulación

𝜔: Frecuencia de la señal

F0: Amplitud de la señal

k

c

m

Fuerzas Armónicas

• La ecuación de movimiento de este sistema es:

• De manera normalizada

• La solución de esta ecuación diferencial es:


Solución de la Ecuación de Movimiento

Note que la frecuencia 𝜔 no es

necesariamente igual 𝜔𝑛 o 𝜔𝑑 ya que

son totalmente independientes

𝑥𝐻 𝑡 : Respuesta libre

𝑥𝑃 𝑡 : Respuesta forzada

Fuerzas Armónicas

• Las respuestas libre (𝑥𝐻(𝑡)) y forzada (𝑥𝑃(𝑡)) tienen la forma:

• Las constantes de la solución particular son iguales a:


Solución de la Ecuación de Movimiento

amplitud modulación

amplitud Frecuencia de la excitación

Note que 𝑅 es la razón entre

la frecuencia de la excitación

y la frecuencia natural

Fuerzas Armónicas

1) Las constantes 𝐴 y 𝜙 dependen exclusivamente de las condiciones

iniciales

2) Si 𝑑 ≠ 0, 𝑥𝐻(𝑡) → 0 cuando 𝑡 → ∞ entonces para 𝑡 ≫ 𝑇𝑛, 𝑥 𝑡 se puede

aproximar como:


Observaciones

𝐴 y 𝜙

(solución estacionaria)

Fuerzas Armónicas

• La solución de la

ecuación de movimiento

para un sistema excitado

por una carga armónica

puede tener el siguiente

aspecto


Observaciones

0 2 4 6 8 10 12-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo

D

esp

laza

mie

nto

Respuesta Transiente y Estacionaria

Transiente

Estacionaria

Fuerzas Armónicas

• Resulta de interés examinar la amplitud 𝐵 de la solución estacionaria

• Para estudiar esta amplitud, se define el factor de amplificación

dinámica (𝐹𝐴𝐷)

• Es posible demostrar que el factor de amplificación dinámica es:


Amplitud de la Solución Estacionaria

F(t)=F0km

Amplitud dinámica

“Amplitud” estática

Depende de la razón 𝑅entre frecuencias y la razón

de amortiguamiento crítico 𝑑

Fuerzas Armónicas

• Factor de amplificación

dinámica



0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8 Factor de Amplificación Dinámica

F

AD

Amplif. Dinámica

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=100%

Para el caso en que

R = 1 y (teóricamente)

𝑑 = 0, 𝐹𝐴𝐷 tiende a

infinito (resonancia)

Fuerzas Armónicas

• El máximo del factor de amplificación dinámica puede ser determinado

al aplicar conceptos de cálculo diferencial

– Máximo de FAD = 𝐻 𝑅, 𝑑 ⟺ mínimo de g 𝑅, 𝑑 donde:

– Al minimizar la función 𝑔(𝑅, 𝑑) (asumiendo 𝑑 fijo), se encuentran 2

soluciones

• La solución 𝑅 = 0 es válida para 𝑑 > 1 2 ≈ 0.707

– El hecho que 𝑅 = 0 implica 𝜔 = 0

– Esto es equivalente al caso estático (𝜔 ≪ 𝜔𝑛)



Fuerzas Armónicas

• La solución 𝑅 = 1 − 2𝑑2 es válida para 𝑑 < 1 2 ≈ 0.707

– En este caso el factor de amplificación dinámica máximo 𝐹𝐴𝐷𝑚𝑎𝑥es:

– En este caso, la amplitud de la solución estacionaria máxima es

igual a:



Fuerzas Armónicas

– Para aplicaciones de ingeniería civil, es habitual que 𝑑 ≪ 1

El valor máximo del factor de amplificación dinámica se produce

para un valor 𝑅 tendiente a 1 (por izquierda)

Para el cálculo del valor máximo del factor de amplificación

dinámica, se considera la aproximación 2𝑑 1 − 𝑑2 ≈ 2𝑑. Luego,

la solución estacionaria máxima es:

Donde 𝑥𝑒𝑠𝑡: respuesta del sistema si la carga 𝐹0 es aplicada de

manera estática



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