03 - Angulos

ÁNGULO Tipos de ángulos

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Bisectriz de un ángulo mixtilíneo Bisectriz de un ángulo curvilíneo Bisectriz de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON LAS ESCUADRASCONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁSTRANSPORTAR UN ÁNGULOTRISECCIÓN DE UN ÁNGULO RECTOÁNGULOS CUYOS LADOS SON PERPENDICULARESRECTA CONCURRENTE CON OTRAS DOS QUE SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO OPERACIONES CON ÁNGULOS

Suma de ángulos Diferencia de ángulos Producto de un ángulo por un número natural Cociente entre un ángulo y un numero natural

ARCO CORRESPONDIENTE DE UN ÁNGULOÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULOS

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ÁNGULO

Se define un ángulo como la zona del espacio limitada por dos rectas que se cortan. Estas rectas se llaman lados del ángulo, y el punto de intersección, vértice del ángulo.

Medir un ángulo es comparar su abertura con otro que se toma como unidad. En el dibujo técnico la amplitud de los ángulos se miden en grados sexagesimales, porque 60 uni-dades de un orden forman una unidad del siguiente orden. En este sistema la unidad es el grado sexagesimal. 1 grado es la amplitud de un ángulo obtenido al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Por tanto, la circunferencia tiene 360 grados. A su vez, el grado está dividido en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. Su indicación es mediante ° (para el grado), ‘ (para el minuto) y “ (para el segundo). Ejemplo: 52° 23´36”. Para pasar de una uni-dad de orden superior a la inmediata inferior se multiplica por 60. Así: 1° = 60 ’ ; 1’ = 60 ” ;1° = 3600 ”La medición de un ángulo puede hacerse en sentido horario (posi-tivo) o en sentido contrario a las agujas del reloj (negativo). El útil que se utiliza para medir y transportar ángulos sexagesimales es el transportador de ángulos, consistente en un semicírculo gra-duado en 180°.Otra unidad de medida de los ángulos es el radian. Un ángulo medido en radianes es la relación que existe entre la longitud del arco del ángulo central que abarca y el radio de la circunferencia. Un radian es la medida del ángulo de vértice el centro de un círcu-lo de radio r que abarca un arco de longitud igual al radio. Se deduce que la circunferencia tiene 2 radianes porque aplicando la definición de radian en una circunferencia de radio la unidad cuando s abarca los 360 °, el valor de s se corresponde con la longitud de la circunferencia (2 r), siendo =(2 r) /r =2 radianes.

Tipos de ángulos

Ángulo recto. Es el que mide 90 .Ángulo agudo. Es el que mide menos de 90 .Ángulo obtuso. Es el que mide más de 90 .Ángulo llano. Es el que mide 180º.Ángulo complementario. Es lo que le falta para valer 90 .Ángulo suplementario. Es lo que le falta para valer 180 .Ángulos opuestos por el vértice. Son los que tienen un vértice en común y sus lados están en prolongación.Ángulos consecutivos. Son los que tienen un lado en común.


BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que pasando por su vértice lo divide en dos partes iguales. Sea un ángulo , el proceso a seguir para tra-zar su bisectriz es:1. Con centro en el vértice del ángulo A se traza un arco de circunferencia, que corta a los lados en los puntos B y C.2. Con centro en B y después en C, y abertura del compás mayor de la mitad de CB, se trazan arcos que se cortan en P.3. Se une P con el vértice A, siendo esta recta la bisectriz del ángulo.

Bisectriz de un ángulo mixtilíneo

Un ángulo mixtilíneo es aquel cuyos lados son una recta y un arco de circunferencia.Sea la recta r y el arco de circunferencia de centro O que se cortan en A, el proceso a se-guir para obtener la bisectriz de este ángulo es:1. En un punto cualquiera de r se traza una per-pendicular s, y se llevan sobre ella magnitudes iguales, que numeramos con 1, 2, 3, 4...2. En O se traza un radio cualquiera t y se pro-longa, llevándose a partir del arco magnitudes iguales a las trazadas sobre la recta s.3. Por las divisiones de s se trazan paralelas a la recta r, y sobre las correspondientes en t se trazan arcos concéntricos de centro O.4. Donde estos arcos encuentren a las corres-pondientes paralelas a r nos determinarán pun-

Ángulos adyacentes. Son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son semirrectas opuestas. Estos ángulos son suplementarios.

Bisectriz de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo

Dadas las rectas r y s, el proceso a seguir es:1. Se traza un recta cualquiera t que corte a las rec-tas dadas en los puntos A y B.2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que la rec-ta t determina con r y s, obteniendo los puntos M y N.3. Se une M con N, siendo esta recta la bisectriz bus-cada.

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON LAS ESCUADRAS

Se indican en la figura algunos de los ángulos que pueden construirse con el juego de plantillas (escuadra y cartabón).

Bisectriz de un ángulo curvilíneo

Un ángulo curvilíneo es aquel cuyos lados son arcos de circunferencia.Sean los arcos de circunferencia de centros O

1 y O

2

que se cortan en A, el proceso a seguir para obtener la bisectriz de este ángulo es:1. En O

1 se traza un radio cualquiera t, llevándose a

partir del arco magnitudes iguales.2 En O

2 se traza otro radio cualquiera s y se prolon-

ga, llevándose a partir del arco magnitudes iguales a las anteriores.3. Por las divisiones de t y s se trazan circunferen-cias concéntricas con centro en O1 y en O2 respecti-vamente.4. Donde estos arcos se corten nos determinan pun-tos de la bisectriz.5. La unión a mano alzada de todos los puntos así obtenidos nos define la bisectriz de dicho ángulo.

tos de la bisectriz.5. La unión a mano alzada de todos los puntos así obtenidos nos define la bisectriz de dicho ángulo.


CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS

Como norma general cuando un ángulo no pueda ser construido con las escuadras, éste se construirá con el compás, y si tampoco fuera posible, utilizaremos el transportador de ángulos.Se indica a continuación la construcción de algunos de los ángulos más utilizados en el dibujo técnico.Ángulo de 90 . Su construcción se realiza trazando por un punto O de una recta una perpen-dicular.Ángulo de 45 . Primero se construye el de 90 y a éste se le traza su bisectriz.Ángulo de 22,5 . Se construye el ángulo de 45 , y después se divide en dos partes iguales trazando la bisectriz.Ángulo de 60 . Sobre una semirrecta se traza un arco de circunferencia obteniendo el punto A. Después con centro en A se traza otro arco con el mismo radio, que corta al anterior en P. Uniendo P con O se obtiene el lado del ángulo buscado.Ángulo de 30 . Se construye primero el de 60 y se le traza a éste su bisectriz.Ángulo de 15 . Se construye primero el de 30º y después se le traza su bisectriz.Ángulo de 75 . Se construyen los ángulos de 90 y 60 , obteniendo el ángulo de 30º, y después se traza la bisectriz de dicho ángulo, obteniendo así el ángulo de 75 , puesto que 60 +15 =75 .

TRANSPORTAR UN ÁNGULO

El transporte de un ángulo es una operación que se usa con frecuencia en los dibujos técnicos. Dado el ángulo de vértice A y la semirrecta r, el proceso a seguir es:1. Con centro en A se traza un arco cualquiera que corta a los lados del ángulo en B y C.2. Con la misma abertura del compás se traza otro arco haciendo centro en el extremo M de la semirrecta, obteniendo en ella el punto P.3. Se mide con el compás la abertura del ángu-lo BC y se traslada sobre el arco, trazado en la semirrecta a partir de P, obteniendo Q.4. Uniendo Q con M se obtiene el ángulo trans-portado.


OPERACIONES CON ÁNGULOS

Con los ángulos pueden realizarse las siguientes operaciones:

Suma de ángulos

Dados dos ángulos de vértices P y Q, para obtener el ángulo suma de ambos se procede del siguiente modo:1. Se traza una semirrecta de extremo M, vértice del ángulo suma a determinar.2. Sobre los ángulos dados, y con centro en el vértice de cada uno de ellos, se traza un arco, y sin modificar la abertura del compás, se traza otro arco con centro en el extremo M de la semirrecta.3. Se mide con el compás la aber-tura AB del ángulo P, y se tras-lada sobre el arco trazado en la semirrecta a partir de E, obte-niendo el punto F.4. Análogamente, se mide con el compás la abertura CD del otro ángulo y se traslada a continua-ción de F, obteniendo el punto G.5. Uniendo este último punto con el extremo M de la semirrecta se obtiene el ángulo suma.

ÁNGULOS CUYOS LADOS SON PERPENDICULARES

Cuando dos ángulos tienen sus lados perpendicu-lares, se cumple que dichos ángulos son iguales. En efecto, sean y los ángulos dados cuyos la-dos son perpendiculares. Se cumple que = . En la figura puede observarse que, si trasladamos el ángulo sobre el haciendo coincidir sus vérti-ces, se verifica que el ángulo = por tener sus lados paralelos. Por otro lado = , por ser igual su complementario, luego de aquí se deduce que

= .

TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO RECTO

Dado un ángulo recto, el proceso a seguir es:1. Se traza con centro en su vértice O un arco de cualquier radio que corta a los lados en A y B.2. Con centro en A y después en B, y radio AO se trazan arcos que se cortan con el anterior en P y Q.3. Uniendo P y Q con O tendremos dividido el án-gulo en tres partes iguales.


Diferencia de ángulos

Dados dos ángulos de vértices P y Q, para ob-tener el ángulo diferencia de ambos se proce-de del siguiente modo:1. Se traza una semirrecta de extremo M, vér-tice del ángulo diferencia a determinar.2. Sobre los ángulos dados, y con centro en el vértice de cada uno de ellos se traza un arco, y sin modificar la abertura del compás, se traza otro arco con centro en el extremo M de la semirrecta.3. Se mide con el compás la abertura AB del ángulo P, y se traslada sobre el arco trazado en la semirrecta a partir de E, obteniendo el punto F.4. Análogamente, se mide con el compás la abertura CD del otro ángulo, y se traslada a partir de F en sentido contrario, obteniendo el punto G.5. Uniendo este punto con el extremo M de la semirrecta se obtiene el ángulo diferencia.

Cociente entre un ángulo y un número naturalPara dividir un ángulo en partes iguales, como norma general se utiliza el transportador de ángulos. Como caso particular, puede usarse el compás cuando el número por el que se ha de dividir puede ser obtenido por divisiones su-cesivas del ángulo en dos partes iguales me-diante el trazando de la bisectriz. Así por ejem-plo, para dividir un ángulo en 4 partes iguales se traza la bisectriz del ángulo, quedando éste dividido en dos partes iguales. Dividiendo nue-vamente cada una de estas partes en dos, se obtiene un total de 4 partes iguales.

Producto de un ángulo por un número natural

El resultado es igual al ángulo suma de tantos ángulos iguales como indique el número na-tural. Por ejemplo, para multiplicar un ángulo de vértice P por 5 , se procede del siguiente modo:1. Se traza una semirrecta de extremo M, vértice del ángulo a determinar.2. Sobre el ángulo dado, y con centro en el vértice se traza un arco, y sin modifi-car la abertura del compás se traza otro arco con cen-tro en el extremo M de la semirrecta.3. Se mide con el compás la abertura AB del ángulo P, y se traslada sobre el arco trazado en la semirrecta a partir de C cinco veces, obteniendo el punto D.4. Uniendo el punto D con el extremo M de la semirrecta se obtiene el ángulo pedido.


ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Un ángulo en relación con la circunferencia puede ocupar las siguientes posiciones:Ángulo central. Cuando el vértice está situado en el centro de la circun-ferencia. Su valor es una fracción de los 360 que abarca toda la circun-ferencia.Ángulo inscrito. Cuando el vértice está situado sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes. Su valor es igual a la mitad del ángulo central que abarca un mismo arco. Para su demostración dibujamos un ángulo central con uno de sus lados coincidente con el diámetro de la cir-cunferencia. El triángulo OAN que se forma es isósceles por tener dos de sus lados iguales al radio de la circun-ferencia, luego el ángulo en N será igual al ángulo en A. De aquí se dedu-ce que: = 180-2 . Y por otro lado

= 180- . Sustituyendo el valor de en esta expresión, se obtiene:

=180-(180-2 ) = 2Ángulo semiinscrito. Cuando el vér-tice está sobre la circunferencia y sus lados son uno secante y el otro tangente a la circunferencia. Puede considerarse un caso particular del ángulo inscrito, puesto que la tangen-te es un caso límite de la secante. El valor del ángulo es igual que en el ángulo inscrito, es decir, la mitad del ángulo central que abarca. Su demos-tración es evidente cuando el lado que es secante se hace pasar por el centro de la circunferencia.

ARCO CORRESPONDIENTE DE UN ÁNGULO

Se denomina así el arco comprendido entre sus lados, que tiene como centro el vértice del ángulo.Si dos ángulos son iguales, sus arcos corres-pondientes descritos con el mismo radio tam-bién son iguales.

Ángulo interior. Cuando el vértice está en el círculo que define la circunferencia y los lados son secan-tes con ella. Su valor es igual a la semisuma de los dos centrales correspondientes, obtenidos al unir las cuerdas que definen sus lados. Para su demos-tración trazamos la cuerda AB que nos define el triángulo AOB. Deducimos que = 180 -( + ). Por otro lado: =180 - . Sustituyendo el valor de , se tiene: =180-(180- - ) = + .Pero como = /2 y = 1/2 , sustituyendo valo-res: =( +

1)/2

Ángulo exterior. Cuando su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son secantes con ella. Su valor es la semidiferencia entre los dos ángulos centrales correspondientes, obtenidos al unir las cuerdas que definen sus lados. Para su demostración trazamos la cuerda AB que nos define el triángulo AOB. Deducimos que = 180 -( + )= 180- - . Por otro lado =180 -

. Sustituyendo el valor de en la expresión anterior, se tiene: =180- -(180 - ) = - . Además como = /2 y =

1/2 , sustituyendo valores se obtiene que: =( -

1)/2 .

Ángulo circunscrito. Es un caso particular del ángulo exterior en el que los lados del ángulo son tangentes a la circunferencia. Su valor es =( -

1)/2 .

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