MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y

APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

INTERPOLACIÓN DIRECTA.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Interpolación directa.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 20

3.3.- INTERPOLACIÓN DIRECTA.

En el caso más usual, se desea pasar un polinomio por los datos. Este polinomio es

de la siguiente forma convencional

n

n

n

nn xaxaxaxaaxP

1

1

2

210 ...)( (3.1)

Un método directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en el

hecho de que se requieren 1n puntos para determinar los 1n coeficientes. Así, se

utiliza un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para calcular las ia . Por

ejemplo, suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parábola

2

2102 )( xaxaaxP (3.4)

Se requiere de tres puntos ))(,( 00 xfx , ))(,( 11 xfx y ))(,( 22 xfx . Cada uno se sustituye en

la ecuación (3.1).

2

020100 )( xaxaaxf

2

121101)( xaxaaxf (3.5)

2

222102 )( xaxaaxf

De esta manera, las ix son los puntos conocidos, y las ia las incógnitas. Como hay el

mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la ecuación (3.5) se podría resolver con

uno de los métodos de eliminación del capítulo 2.

Debe observarse que el procedimiento anterior no es el método de interpolación más

eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio. Cualquiera que sea la técnica

empleada, se debe hacer una advertencia. Sistemas como los de la ecuación (3.5) están

notoriamente mal condicionados. Ya sea que se resuelvan con un método de eliminación o

con un algoritmo más eficiente, los coeficientes resultantes pueden ser bastante inexactos,

en particular para n grandes. Si se usan para una interpolación subsecuente, a menudo dan

resultados erróneos.

Ejemplo 3.3.

Con los datos

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

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)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

Determine el polinomio de interpolación de grado 3.

Solución.

Polinomio de grado 3:

3

3

2

2103 )( axaxaaxP (3.6)

El problema de interpolación es encontrar los valores de las constantes 3210 ,,, aaaa que

hagan que el polinomio (3.6) pase por los datos, es decir, )()(3 ii xfxP .

Sustituyendo los cuatro valores de ix se genera el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4

incógnitas:

250.4)5.0()5.0()5.0( 3

3

2

210 aaaa

314.2)1.0()1.0()1.0( 3

3

2

210 aaaa

304.0)6.0()6.0()6.0( 3

3

2

210 aaaa

000.4)0.1()0.1()0.1( 3

3

2

210 aaaa

En forma matricial:

000.4

304.0

314.2

250.4

)0.1()0.1(0.11

)6.0()6.0(6.01

)1.0()1.0(1.01

)5.0()5.0(5.01

3

2

1

0

32

32

32

32

a

a

a

a

000.4

304.0

314.2

250.4

000.1000.1000.1000.1

216.0360.0600.0000.1

001.0010.0100.0000.1

125.0250.0500.0000.1

3

2

1

0

a

a

a

a

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior aplicando cualquiera de las técnicas

discutidas en el capítulo 2, obtenemos los valores de los coeficientes 3210 ,,, aaaa :

20 a , 31 a , 12 a y 43 a .

Una vez que se tienen los valores de los coeficientes se puede escribir el polinomio de

interpolación

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32

3 432)( xxxxP

Y se puede interpolar para cualquier valor de x.

Este resultado concuerda con lo indicado en el ejemplo ilustrativo 3.4.

En general, dados unos datos de la forma

ix 0x 1x … 1nx nx

)( ixf )( 0xf )( 1xf … )( 1nxf )( nxf

El polinomio de orden n está dado por n

n

n

nn xaxaxaaxP

1

110 ...)( donde los

coeficientes ia se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones dado por

n

n

n

n

n

nnn

n

nnn

n

n

f

f

f

f

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

1

1

0

1

1

0

12

1

1

2

11

1

1

2

11

1

0

2

00

1

1

1

1

(3.7)

A la forma anterior de obtener directamente los coeficientes ia generando un sistema de n

ecuaciones con n incógnitas se le denomina interpolación directa. El método de

interpolación directa tiene el problema de que las ecuaciones que se generan están mal

condicionadas en el caso general a medida que se incrementa el orden del polinomio de

interpolación debido a que se tienen valores de 1n

ix . Debido a lo anterior se han ideado

otros métodos de interpolación.

El polinomio de interpolación es único, es decir, existe solamente un polinomio de

orden n que pase por n+1 datos. Los demás métodos de interpolación escriben este

polinomio de formas que resultan más sencillas de evaluar.

Ejercicios propuestos.

12. Dados los datos

ix 1 3

)( ixf –0.5 3.5

Determine el polinomio de interpolación de orden 1. Compare con lo indicado en el

ejemplo ilustrativo 3.2.

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13. Dados los datos.

ix 0 2 3

)( ixf 1 3 –2

Determine el polinomio de interpolación de orden 2. Compare con lo indicado en el

ejemplo ilustrativo 3.3.

14. Dados los datos

ix 0.4 2.5 4.3 5.0 6.0

)( ixf 1.00 0.50 2.00 2.55 4.00

Determine el polinomio de interpolación de orden 4.

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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

12. xxP 25.2)(1

13. 2

2 251)( xxxP

14. 432

4 0323126.04580773.03330476.22102393.43392979.2)( xxxxxP