3 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

654

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si, al cortarse, forman 4 ángulos rectos. Para denotar que una recta es perpendicular a otra se utiliza el símbolo ⊥.

OA B

C

D

Si AB ⊥ CD , entonces∠ AOC = ∠ COB = ∠ BOD = ∠ DOA = 90º

Ú Teorema 1. Si por un punto exterior a una recta se traza una perpendicular y varias oblicuas, se verifi ca:

• • •

•A

CB D

a) El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menor que cualquier segmento de las oblicuas.

Si AC BD⊥ , entonces AC AB< y AC AD<

b) De 2 segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es mayor aquel que dista más.

Si BC CD< , entonces AB AD<

c) Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan al pie de la perpendicular, son iguales.

Si BC CD= , entonces AB AD=

Ú Teorema 2. Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en común y guardan siempre una misma distancia.

CDABA

C

B

Di

Ú Teorema 1. Dos rectas en el plano, paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.

Si CD AB y EF CD entonces EF ABACE

BDF

i i i

CAPÍTULO 3 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Rectas perpendiculares y paralelas

655

Ú Teorema 2. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella.

CA B

DP

Ú Teorema 3. Si una recta l1 es perpendicular a l 2, también es perpendicular a toda paralela a la recta l 2.

2l 3l

1l

Si 1l 2l y 2l 3l

Entonces:1l 3l

⊥

⊥

i

Ángulos opuestos por el vértice

Son aquellos que tienen el vértice común, y los lados de uno de los ángulos son la prolongación de los del otro.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales:∠ a = ∠ c y ∠ b = ∠ d

Ángulos contiguos

Son aquellos que tienen un lado y un vértice en común.∠ AOB es contiguo a ∠ BOC , entonces:

∠ AOB + ∠ BOC = ∠ AOC

Ángulos adyacentes

Son ángulos contiguos cuyos ángulos no comunes están alineados, esto es, suman 180º.

∠ AOB es adyacente a ∠ BOC , entonces:

∠ AOB + ∠ BOC = 180º

Rectas paralelas cortadas por una recta secante

Dadas las rectas, RR ' TT 'i y SS ' una recta secante, se forman los siguientes ángulos:

R R’

T’T

1 2

34

5 6

78

S

S’

Estos ángulos reciben los siguientes nombres:

Ángulos alternos internos. Ángulos internos no adyacentes situados en distinto lado de la secante; son iguales.

∠ 3 = ∠ 5; ∠ 4 = ∠ 6

c a

b

d

AO

B

C

OA

B

C

3 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

656

Ángulos alternos externos. Ángulos externos no adyacentes situados en distinto lado de la secante; son iguales.

∠ 1 = ∠ 7; ∠ 2 = ∠ 8

Ángulos correspondientes. Dos ángulos no adyacentes situados en un mismo lado de la secante; son iguales.

∠ 1 = ∠ 5; ∠ 4 = ∠ 8; ∠ 2 = ∠ 6; ∠ 3 = ∠ 7

Ángulos colaterales internos (suplementarios). Dos ángulos internos no adyacentes y situados del mismo lado de la secante; suman 180°.

∠ 4 + ∠ 5 = 180°; ∠ 3 + ∠ 6 = 180°

Ángulos colaterales externos (suplementarios). Ángulos externos no adyacentes situados del mismo lado de la secante; suman 180°.

∠ 1 + ∠ 8 = 180°; ∠ 2 + ∠ 7 = 180°

Si l1 l 2 , calcula el valor de los ángulos a, b, c, d, e, f, x, y 2x – 15°, de la siguiente fi gura:

2l2x – 15°

1la

b c

x

d e

f

Solución

Los ángulos x y 2x – 15° son colaterales externos, entonces:

x + (2x – 15°) = 180° → 3x – 15° = 180°

3x = 180° + 15º

3x = 195°

x =195

3

°

x = 65°

Los ángulos a y x son ángulos suplementarios:

a + x = 180° → a = 180° – x

a = 180° – 65°

a = 115°Para obtener los valores de los ángulos restantes, únicamente se toma la posición de cada par de ángulos:

∠ d = ∠ a por ser correspondientes, entonces ∠ d = 115°

∠ c = ∠ a por ser opuestos por el vértice, en consecuencia ∠ c = 115°

∠ e = ∠ x por ser correspondientes, se determina que ∠ e = 65°

∠ f = ∠ e por ser opuestos por el vértice, por tanto ∠ f = 65°

Luego, los valores de los ángulos son:

∠ a = 115° ∠ x = 65°

∠ d = 115° ∠ b = 65°

∠ c = 115° ∠ e = 65°

∠ 2x – 15° = 115° ∠ f = 65°

1

Ejem

plos

EJEMPLOS

CAPÍTULO 3 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Rectas perpendiculares y paralelas

657

Si l1 l 2 , obtén los valores de x y de y en la siguiente fi gura:

110°

2y1l

2lx – y

Solución

Los ángulos 110° y 2y son suplementarios:

2y + 110° = 180° donde y = 180 110

2

70

235

° ° °°

− = =

Los ángulos x – y y 110° son alternos internos, entonces,

x – y = 110° donde x – 35° = 110°

x = 110° + 35°

x = 145°

Finalmente, las soluciones son:x = 145°; y = 35°

22

Calcula el valor de cada uno de los ángulos que se indican en las fi guras siguientes:

1. 2. Si L1 2 L

a

b

2x

x

A B

CD a

b c

d e

fx

L1

L2

3x – 6°

3. Si L1 2 L

4.

L1

L2

a

b c

d e

f2x

D C

BA

c

43°

a

b

3x – 20°

EJERCICIO 7

3 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

658

5. Si L L1 2 , encuentra el valor 6. Si L L1 2 , halla el valor de xde los ángulos

133°a

b c

d e

f gL2

L1

L2

L1

3x – 5°

2x + 20°

7. Si L L1 2 , determina el valor de x, a y b

b

a

2x

4x + 24°

L1

L2

8. En la siguiente fi gura: A B , C D y el ∠ 3 = 110°. Determina la medida de los ángulos ∠ 4, ∠ 7, ∠ 1, ∠ 10,∠ 13 y ∠ 16

A

B

C D

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

En los ejercicios del 9 al 11 determina el valor de x y y

9. Si AB CD 10. Si AB CD

A B

C D

y x

115°

A B2x

x + 60°DC

y – 10°

11. Si AB CD

12. Si AB CD , encuentra la medida del ángulo R

D

A

C

Bx

2x

R

B C

+ 40°2x

A D

xy60°

CAPÍTULO 3 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Rectas perpendiculares y paralelas

659

En las siguientes fi guras encuentra la medida de los ángulos que se forman:

13. Si L L1 2 14. Si L L1 2

L1 L2

a b e 2x + 10°

3x – 12° c d f

L1

L2

y nm

2x + 20°3x + 5° s

rz

15. Si L L1 2

16. Si L L1 2

L1

L2

y

r

q

p

s k

x 5x – 30° L2

L1

z

p

q

ry

w

4x – 24°

2x – 12°

Resuelve los siguientes ejercicios:

17. Con base en el croquis que se muestra, ¿cuál de las siguientes afi rmaciones es verdadera?

Av. Cuauhtémoc

Yácatas

Uxmal

Xochicalco

Tajín

Petén

José María Vértiz 35°20’

Av. Diagonal deSan Antonio

Av. Xola

a) La calle de Uxmal es paralela a la de Tajín

b) La avenida Xola es perpendicular a la calle de Xochicalco

c ) La avenida Diagonal de San Antonio es paralela a la avenida Xola

d) El ángulo que forman la calle Petén y la avenida Diagonal de San Antonio es de 35° 20’

e) Las avenidas Xola y José María Vértiz son paralelas

f) Las avenidas Cuauhtémoc y José María Vértiz son paralelas

g) Las avenidas Diagonal de San Antonio y José María Vértiz son perpendiculares

Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente