0331 - Actualización en Geometría:Simulación por Ordenador

Guillermo Gallego Bonet

28 febrero 2012

Guión

• Sistema de formación de la imagen. – Matriz de proyección.

• Geometría Epipolar– Descripción geométrica

– Descripción algebraica: matriz Fundamental

• Trabajar con imágenes digitales en Octave

Proyección cónica (perspectiva)

Recordar los elementos del modelo de cámara con de ojo de aguja (pinhole):

Proyección cónica (perspectiva)

Elementos del modelo de cámara con de ojo de aguja (pinhole):• Plano (virtual) de la imagen ∏: plano de proyección• Centro de la proyección C (centro óptico o foco): pinhole.• Distancia focal f: distancia entre ∏ y C.• Eje óptico o principal: recta perpendicular a ∏ y que pasa por C.• Punto principal: intersección entre ∏ y el eje óptico. Suele estar cerca del centro de la imagen.• Proyección x (o imagen) del punto 3D X: punto de intersección entre la recta PC y el plano ∏.

Matriz de proyección

Una cámara de ojo de aguja con proyección perspectiva se describe en coordenadas homogéneas mediante una matriz de proyección de tamaño 3x4.

=

Punto de la imagen Punto del espacio

El centro óptico verifica P C = 0. Ejemplo: si P = (I | 0), entonces C = (0,0,0,1)

P tiene 11 grados de libertad ( 12-1 [factor de escala])

Información de la matriz de proyección

El centro óptico verifica P C = 0. Ejemplo: si P = (I | 0), entonces C = (0,0,0,1)

P tiene 11 grados de libertad ( 12-1 [factor de escala])

Las columnas de P son las proyecciones de los puntos 3DE1=(1,0,0,0), E2=(0,1,0,0), E3=(0,0,1,0) y E4=(0,0,0,1).Los puntos E1, E2 y E3, ¿dónde están?¿Qué representan sus proyecciones: pi~ PEi?El punto e4, ¿qué representa? ¿Quién es p4 ~ PE4?

Información de la matriz de proyección

Ecuación de un plano: ax + by + cz + d = 0.

En coordenadas homogéneas (x,y,z,1) ~ (X,Y,Z,W), la ecuación es

aX + bY + cZ + dW = 0

Coordenadas homogéneas del plano: π = (a,b,c,d)

¿Cómo queda la ecuación del plano en coordenadas homogéneas?

Información de la matriz de proyección

Ecuación de un plano: ax + by + cz + d = 0.

En coordenadas homogéneas (x,y,z,1) ~ (X,Y,Z,W), la ecuación es

aX + bY + cZ + dW = 0

Coordenadas homogéneas del plano: π = (a,b,c,d)

Ecuación del plano (producto escalar)π·X = 0.

Información de la matriz de proyección

Ecuación del plano : π·X = 0.

Sean πj las filas de la matriz de proyección P. Dichas filas son las coordenadas homogéneas de 3 planos: los planos axiales y el plano principal.

Ejemplo: calcular x ~ P X

Información de la matriz de proyección

Ecuación del plano : π·X = 0.

Sean πj las filas de la matriz de proyección P. Dichas filas son las coordenadas homogéneas de 3 planos: los planos axiales y el plano principal.

Ejemplo: los puntos 3D X tales que π2 ·X = 0 son los que se proyectan sobre la recta y = 0 en el plano de la imagen, es decir, son los puntos del espacio definidos por el centro óptico de la cámara y el eje x del plano de la imagen: estos puntos forman un plano (ver figura).

El punto X y los centros ópticos de dos cámaras forman el plano epipolar. Las proyecciónes de X en las dos vistas x, x’ están sobre dicho plano.

Línea de base (baseline): segmento (contenido en el plano epipolar) que une los centros ópticos de las dos cámaras.

¿Dónde corta el plano epipolar a los planos de las imágenes?

¿Hay algún punto especial?

Geometría epipolar (2 cámaras)

El punto X y los centros ópticos de dos cámaras forman el plano epipolar. Las proyecciónes de X en las dos vistas x, x’ están sobre dicho plano.

Línea de base (baseline): segmento (contenido en el plano epipolar) que une los centros ópticos de las dos cámaras.

Epipolos: proyecciones de los centros ópticos. Puntos de corte de la línea de base con los planos de las imágenes.

El plano epipolar corta a los planos de las imágenes en las rectas epipolares.

Las rectas epipolares pasan por el epipolo.

Geometría epipolar (2 cámaras)

Correspondencia de puntos.

Si retro-proyectamos un punto x, obtenemos una recta del espacio que pasa por el centro óptico de la primera cámara (un rayo óptico).

¿Cuál es la imagen de esta recta en la otra vista/cámara?

Geometría epipolar

Correspondencia de puntos.

¿Cuál es la imagen de esta recta en la otra vista/cámara?

El punto 3D X está sobre el rayo óptico, de tal forma que su proyección en la segunda cámara esté sobre la recta epipolar l’.

Geometría epipolar

Haz de planos.

La línea de base corta a cada (plano de la) imagen en los epipolos, e y e’.

Cualquier plano que contiene a la línea de base es un plano epipolar y corta a las imágenes en sendas rectas epipolares l y l’.

Geometría epipolar

Haz de planos.

A medida que se mueve un punto 3D X, el plano epipolar correspondiente “rota” sobre la línea de base. Esta familia es el haz de planos epipolares.

Esta es la geometría epipolar y sólo depende de los parámetros de las cámaras y de su posición relativa.

Geometría epipolar

Haz de planos.

Todas las rectas epipolares de una imagen se cortan en el epipolo.

Un plano epipolar establece una correspondencia entre las rectas de dos imágenes.

Geometría epipolar

Geometría epipolar. Ejemplo 1.

Cámaras en posición convergente

Puntos correspondientes y rectas epipolares

Geometría epipolar. Ejemplo 1.

Tipo de movimiento entre las dós cámaras: rotación y traslación.

Observando las rectas epipolares, ¿se puede intuir la posición de “la otra” cámara?¿Dónde están los epipolos?

Geometría epipolar. Ejemplo 2.

Movimiento paralelo al plano de la imagen

Rectas epipolares paralelas. Epipolos en el infinito

Geometría epipolar. Ejemplo 3.

Movimiento de traslación puro (sin rotación).

El epipolo es un punto fijo (mismo punto en ambas imágenes).Los puntos parecen moverse sobre rectas epipolares, emergiendo desde el epipolo

Geometría epipolar. Ejemplo 3.

Movimiento de traslación puro (sin rotación).

El epipolo es un punto fijo (mismo punto en ambas imágenes).Los puntos parecen moverse sobre rectas epipolares, emergiendo desde el epipolo

Geometría epipolar

La matriz fundamental F es la representación algebraica de la geometría epipolar.

Hemos visto que hay una correspondencia punto – recta epipolar: x → l’. Dado un punto en la primera imagen, el punto correspondiente en la segunda imagen está sobre la recta epipolar que es la proyección del rayo óptico que pasa por x.

Ecuación:

l’ = F x

Restricción epipolar

La matriz F devuelve la recta epipolar asociada a un punto x: l’ = F x

La restricción epipolar dice que el punto correspondiente, x’, está sobre la recta epipolar l’:

x’ · l’ = 0, es decir, x’ · (F x) =0.

Restricción epipolar

La matriz F devuelve la recta epipolar asociada a un punto x: l’ = F x

La restricción epipolar dice que el punto correspondiente, x’, está sobre la recta epipolar l’:

x’ · l’ = 0, es decir, x’ · (F x) =0.

Distinguir el movimiento de la cámara

¿Posición relativa de las cámaras?

¿Y qué se puede decir de esta posición relativa?

Distinguir el movimiento de la cámara

¿Posición relativa de las cámaras?

¿Y qué se puede decir de esta posición relativa?

Distinguir el movimiento de la cámara

Rotación de la cámara. Mismo centro óptico. Homografía

Rotación y traslación de la cámaraDistintos centro ópticos (línea de base no nula).Matriz fundamental.

Propiedades de la matriz fundamental

• F matriz homogénea (i.e., salvo proporcionalidad).

• F es singular: tiene rango 2. Tiene 7 grados de libertad.

Propiedades de la matriz fundamental

• F matriz homogénea (i.e., salvo proporcionalidad).

• F es singular: tiene rango 2. Tiene 7 grados de libertad.

• Rectas epipolares:– l’ = F x es la recta epipolar correspondiente a x

– l = FT x’ es la recta epipolar correspondiente a x’

Propiedades de la matriz fundamental

• F matriz homogénea (i.e., salvo proporcionalidad).

• F es singular: tiene rango 2. Tiene 7 grados de libertad.

• Rectas epipolares:– l’ = F x es la recta epipolar correspondiente a x

– l = FT x’ es la recta epipolar correspondiente a x’

• Epipolos:– El epipolo e satisface F e = 0.

– El epipolo e’ satisface FT e’ = 0.

Propiedades de la matriz fundamental

• F matriz homogénea (i.e., salvo proporcionalidad).

• F es singular: tiene rango 2. Tiene 7 grados de libertad.

• Rectas epipolares:– l’ = F x es la recta epipolar correspondiente a x

– l = FT x’ es la recta epipolar correspondiente a x’

• Epipolos:– El epipolo e satisface F e = 0.

– El epipolo e’ satisface FT e’ = 0.

• La matriz F se puede calcular dadas las matrices de proyección de las dos cámaras.– F=[e’] xP’P+, donde P+ es la seudo-inversa de P, e’=P’C, siendo C

el centro óptico de la primera cámara, PC=0, y [·] x es la matriz del producto vecorial.

Matriz Fundamental

• Lectura adicional: notas del curso del día 14-02-2012. – Derivación de la matriz fundamental.– Estimación de la matriz fundamental (capítulo)

mediante mínimos cuadrados.

Ha sido un placer poder dar esta clase con vosotros. ¡Gracias!