04 ecuacion de potencias

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 4: REGRESIÓN POR

MÍNIMOS CUADRADOS.

LINEALIZACIÓN. ECUACIÓN DE

POTENCIAS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Ecuación de potencias.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 67

4.6.- ECUACIÓN DE POTENCIAS.

Otro ejemplo de modelo no lineal es la ecuación de potencias

2

2

bxay (4.23)

donde 2a y 2b son coeficientes constantes. Este modelo tiene muchas aplicaciones en todos

los campos de la ingeniería. Como se ilustra en la figura 4.20, la ecuación (para 1,02 b )

es no lineal.

Figura 4.20. Diagrama de dispersión para el modelo de la potencia.

La ecuación 4.23 es linealizada al aplicar el logaritmo natural. Se obtiene

)(lnln 2

2

bxay

)(lnlnln 2

2

bxay

xbay lnlnln 22 (4.24)

De este modo, una gráfica de yln contra xln dará una línea recta con pendiente 2b e

intersección con el eje de las ordenadas 2ln a (Figura 4.21).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6

y

x



Figura 4.21. Gráfica de yln contra xln para el modelo de la potencia.

Graficar y contra x sobre ejes logarítmicos (Figura 4.22) equivale a graficar yln

contra xln en ejes rectangulares. Si la gráfica es lineal en cualquiera de estos casos, x y y

estarán relacionadas por una función de la ley de potencia 2

2

bxay .

Obsérvese que las escalas horizontal y vertical en el papel logarítmico (Figura 4.22)

son no uniformes (desigualmente espaciadas). Cada una de las líneas verticales y

horizontales se enumeran de tal manera que abarquen la gama de valores de la variable

independiente y dependiente, respectivamente, con la escala apropiada. Cada una de las

líneas (verticales y horizontales) se enumeran tomando en cuenta la base del logaritmo. Si

es un logaritmo de base 10, los valores sucesivos de cada línea podrían ser 1100 ,

10101 , 100102 , 1000103 , 10000104 y así sucesivamente hasta completar la

gama de valores de las variables. De igual manera los valores podrían ser 0.001, 0.01, 0.1,

1, 10, 100,… Si la base del logaritmo es 2, entonces la escala vertical tendría los valores

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80

lny

ln x



120 , 221 , 422 , 823 , 1624 y así sucesivamente. De igual manera los valores

podrían ser 0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16…

Figura 4.22. Papel logarítmico.

Modificando apropiadamente las ecuaciones (4.4) y (4.5):

2

11

2

1111

2

2

])(ln[)(ln

)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln

ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.25)

2

11

2

111

2

])(ln[)(ln

)(ln)(ln)(ln)(ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

b (4.26)

El coeficiente de correlación se determina aplicando la modificación apropiada de la

ecuación (4.10).



2

11

22

11

2

111

])(ln[)(ln])(ln[)(ln

)(ln)(ln)(ln)(ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.27)

Ejemplo 4.5.

[MS] La tabla siguiente da los valores experimentales de la presión P de una masa dada de

gas correspondiente a varios valores del volumen V. Según los principios de la

termodinámica, una relación que tiene la forma CVP , donde y C son constantes,

debe existir entre las variables. a) Encuentre los valores de y C. b) Encuentre una

ecuación que relacione P y V. c) Calcule P cuando 3pulg 0.100V .

Volumen V

(pulg3)

Presión P

(lb/pulg2)

54.3 61.2

61.8 49.5

72.4 37.6

88.7 28.4

118.6 19.2

194.0 10.1

Solución.

El modelo potencial se corresponde a la ecuación

2

2

bxay (4.23)

cuya forma linealizada es

xbay lnlnln 22 (4.24)

En el caso de las variables involucradas en el problema tendremos:

Modelo: VCP (4.28)

Forma linealizada: VCP lnlnln (4.29)

El diagrama de dispersión (en escala milimétrica) de los datos se muestra en la figura 4.23.



Figura 4.23. Diagrama de dispersión de los datos del ejemplo 4.5.

En la figura 4.23 se observa que los datos se ajustan a una curva potencial.

El diagrama de dispersión (en escala logarítmica) de los datos se muestra en la figura 4.24.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200 250

P(l

b/p

ulg

2)

V (pulg3)



Figura 4.24. Diagrama de dispersión en escala logarítmica de los datos del ejemplo 4.5.

En la tabla siguiente se completa la columna de iVln y iPln con el objeto de linealizar el

modelo potencial de acuerdo con la ecuación (4.29).

i iV iP iVln iPln

1 54.3 61.2 3.9945242 4.1141472

2 61.8 49.5 4.1239034 3.9019727

3 72.4 37.6 4.2822063 3.6270041

4 88.7 28.4 4.4852599 3.3463891

5 118.6 19.2 4.7757565 2.9549103

6 194 10.1 5.2678582 2.3125354

La gráfica de iPln vs iVln se muestra en la figura 4.25.

1

10

100

10 100 1000

P(l

b/p

ulg

2)

V (pulg3)



Figura 4.25. iPln vs iVln de los datos del ejemplo 4.5.

En la figura 4.25 se observa que iPln vs iVln se ajusta a un modelo lineal.

Para encontrar la recta de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos (Ecuación 4.29),

extendemos la tabla y sumamos las columnas como se muestra en las cinco últimas

columnas de la tabla

i iV iP iVln iPln 2)(ln iV ii VP lnln 2)(ln iP

1 54.3 61.2 3.9945242 4.1141472 15.9562238 16.4340606 16.9262071

2 61.8 49.5 4.1239034 3.9019727 17.0065790 16.0913582 15.2253907

3 72.4 37.6 4.2822063 3.6270041 18.3372908 15.5315796 13.1551584

4 88.7 28.4 4.4852599 3.3463891 20.1175563 15.0094250 11.1983203

5 118.6 19.2 4.7757565 2.9549103 22.8078500 14.1119319 8.7314948

6 194 10.1 5.2678582 2.3125354 27.7503296 12.1821086 5.3478201

589.8 206 26.9295084 20.2569588 121.9758294 89.3604640 70.5843913

Al sustituir en las ecuaciones (4.25) y (4.26), obtenemos:

2.00

3.00

4.00

5.00

3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00

lnP

ln V



2

11

2

1111

2

])(ln[)(ln

)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln

ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

VVn

VPVPV

C (4.25)

2)9295084.26(9758294.1216

9295084.263604640.892569588.209758294.121ln

C

6785804.9ln C

De esta manera:

6785804.9eC

80725.15971C

2

11

2

111

])(ln[)(ln

)(ln)(ln)(ln)(ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

VVn

PVPVn

(4.26)

2)9295084.26(9758294.1216

2569588.209295084.263604640.896

4042040.1

4042040.1

b) La mejor ecuación potencial en el sentido de mínimos cuadrados es, de acuerdo con la

ecuación (4.28):

4042040.180725.15971 VP

c) Para 3pulg 0.100V :

4042040.1)100(80725.15971 P

2lb/pulg 83.22P

En la figura 4.26 se muestran los datos y la curva de regresión.



Figura 4.26. Diagrama de dispersión y curva de mínimos cuadrados de los datos del ejemplo 4.5.

La tabla siguiente muestra los valores observados con los valores obtenidos usando

esta aproximación.

i iV iP 4042040.1807.14971 VP

2)ln(ln yyi 2)ˆln(ln yyi

1 54.3 61.2 58.5249684 0.5446254 0.0019975

2 61.8 49.5 48.8023647 0.2764792 0.0002015

3 72.4 37.6 39.0752453 0.0629228 0.0014811

4 88.7 28.4 29.3813609 0.0008863 0.0011541

5 118.6 19.2 19.5396162 0.1774512 0.0003074

6 194 10.1 9.7906991 1.1312968 0.0009674

589.8 206 205.1142546 2.1936617 0.0061090

El error estándar del estimado es, de acuerdo con la ecuación (4.6):

2/

n

SS r

xy (4.6)

26

0061090.0/

xyS

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200 250

P(l

b/p

ulg

2)

V (pulg3)



0390799.0/ xyS

El coeficiente de determinación es, de acuerdo con la ecuación (4.9):

t

rt

S

SSr

2 (4.9)

1936617.2

0061090.01936617.22 r

9972152.02 r

Y el coeficiente de correlación es

2rr

9972152.0r

9986066.0r

El coeficiente de correlación es, de acuerdo con la ecuación (4.27):

2

11

22

11

2

111

])(ln[)(ln])(ln[)(ln

)(ln)(ln)(ln)(ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

PPnVVn

PVPVn

r (4.27)

22 )2569588.20()5843913.70(6)9295084.26(9758294.1216

2569588.209295084.263604640.896

r

1619680.136565537.6

3471582.9

r

9986066.0r

Un resultado negativo en el coeficiente de correlación indica que la relación entre las

variables es inversamente proporcional, esto es, con pendiente negativa.

Todos estos cálculos se pueden resumir con el uso de la calculadora CASIO fx-570 ES

PLUS.

- Entrar en el modo Estadística y a los cálculos de regresión potencial.

MODE 3 7

- Ingresar los datos.



- Obtener los parámetros de la regresión potencial.

Intersección:

AC SHIFT 1 5 1 =

Display:

A

15971.80709

Pendiente:

AC SHIFT 1 5 2 =

Display:

B

–1.404204005

Coeficiente de correlación:

AC SHIFT 1 5 3 =

Display:

r

–0.9986066196

El modelo de regresión potencial es 404204005.180709.15971 VP .

Estimación del valor de P para 100V :

AC 1 0 0 SHIFT 1 5 5 =

Display:

y100

24.82824637

Existe una mínima diferencia entre el valor estimado con la calculadora (24.82824637) y el

determinado en el ejemplo (23.27), puesto que en la calculadora se minimiza el error de

truncamiento.

La calculadora CASIO fx-570 ES PLUS NO muestra las sumas requeridas por las

ecuaciones (4.25), (4.26) y (4.27) que permiten calcular la intersección con el eje y, la

pendiente y el coeficiente de correlación. Las sumas que se muestran son en base a los

datos originales tal como si se tratara de una regresión lineal. El menú para las sumas se

encuentra con la siguiente secuencia de teclas:



AC SHIFT 1 3

Pero los valores encontrados allí no son de utilidad alguna en los cálculos para este tipo de

regresión potencial.

Ejercicios propuestos.

44. [BF] Construir la aproximación de mínimos cuadrados de la forma 2

2

bxay a los

datos del problema 3 y calcular el error.

45. [BF] Construir la aproximación de mínimos cuadrados de la forma 2

2

bxay a los

datos del problema 4 y calcular el error.

46. [CC] Ajuste una ecuación de potencias a los siguientes datos:

x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20 y 7 5.5 3.9 3.6 3.1 2.8 2.6 2.4 2.3 2.3

Grafique y contra x junto con la ecuación de potencias.

Ingeniería Química / Bioingeniería.

47. [RF] La relación entre la presión P y el volumen V de aire en un cilindro durante el

ascenso de un pistón en una compresora de aire puede expresarse como sigue:

CVP k

donde k y C son constantes. En una prueba de compresión se obtienen los siguientes

resultados:

(mmHg) P 760 1140 1520 2280 3040 3800

)(cm 3V 48.3 37.4 31.3 24.1 20.0 17.4

Determine los valores de k y C que se ajusten mejor a los datos.

48. [CC] En general, el área exterior A del cuerpo de un ser humano está relacionada con su

peso, W, y su altura, H. Midiendo a varios individuos con altura 180 cm y distintos pesos se

obtuvo la tabla siguiente:

(kg) W 70 75 77 80 82 84 87 90

)(m 2A 2.10 2.12 2.15 2.20 2.22 2.23 2.26 2.30

Demuestre que una ley de potencias, bWaA , ajusta los datos razonablemente bien.

Encuentre las constantes a y b, y prediga el área exterior de una persona de 95 kg.



49. [CC] Encuentre una ley de potencias que relacione la masa de un animal con su

metabolismo. La tabla siguiente muestra la masa de animales en [kg] y la rapidez del

metabolismo en [kcal/día]. Encontrar la pendiente de la ecuación que describa mejor esta

ley de potencias.

Masa, kg Metabolismo, kcal/día

Vaca 300 5600

Hombre 70 1700

Borrego 60 1100

Gallina 2 100

Rata 0.3 30

50. [RC] La ley de la velocidad expresa la relación de la velocidad de una reacción con la

constante de velocidad y la concentración de los reactivos, elevada a alguna potencia.

nAk ][Velocidad

Se ha estudiado, a cierta temperatura, la descomposición del pentóxido de dinitrógeno en el

disolvente tetracloruro de carbono (CCl4):

2252 ONO4ON2

]O[N 52 0.92 1.23 1.79 2.00 2.21

Velocidad inicial (M/s) 0.95×10–5

1.20×10–5

1.93×10–5

2.10×10–5

2.26×10–5

Determine la ley de velocidad para la reacción y calcule la constante de velocidad.

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

51. [CC] Los datos sobre la velocidad de deformación, , el tiempo en el cual la

deformación aumenta y el esfuerzo se muestran abajo. Usando una curva de la ley de

potencias ajuste

mB

encuentre los valores de B y de m. Grafique sus resultados usando una escala log – log.

Velocidad de deformación, min–1

0.0004 0.0011 0.0031

Tensión, MPa 5.775 8.577 12.555

52. [CC] La relación entre la tensión, , y la velocidad del esfuerzo cortante, , de un

fluido pseudoplástico (véase el problema 23), se puede expresar mediante la ecuación



n . Los siguientes datos corresponden a una solución de hidroxietilcelulosa en agua.

usando un ajuste por ley de potencias encuentre los valores de y n.

Velocidad del esfuerzo cortante, , 1/s 50 70 90 110 130

Esfuerzo cortante, , N/m2 5.99 7.45 8.56 9.09 10.25

53. [SM] La relación entre la cantidad de sustancia absorbida por un adsorbente y la

presión o concentración de equilibrio a una temperatura constante se denomina isoterma de

absorción. Se han observado en general cinco tipos de isotermas en la adsorción de gases

en sólidos.

En las isotermas tipo I, la cantidad de gas adsorbido para una cantidad dada de

adsorbente se incrementa con relativa rapidez con la presión y después más lentamente,

conforme la superficie comienza a cubrirse con moléculas de gas. Para representar la

variación de la cantidad de adsorción por unidad de área o de masa con la presión,

Freundlich prupuso la ecuación

nPky1

donde y es el peso o volumen de gas adsorbido por unidad de área o de masa de adsorbente,

P es la presión de equilibrio, y k y n son constantes empíricas que dependen de la

naturaleza del sólido y gas y de la temperatura. Esta ecuación se puede verificar de la

manera siguiente: al tomar logaritmos de ambos lados de la ecuación resulta:

Pn

ky ln1

lnln

Si graficamos yln contra el Pln , resulta una línea recta, cuya pendiente es igual a n

1 y la

ordenada en el origen kln .

a) [IL] Para el N2 adsorbido sobre una muestra de carbón activo a –77ºC, los volúmenes

adsorbidos (corregidos a 0ºC y 1 atm) por gramo de carbón activo son, frente a la presión

de N2:

/atmP 3.5 10.0 16.7 25.7 33.5 39.2

/g)/(cm 3v 101 136 153 162 165 166



Ajuste los datos a la isoterma de Freundlich y calcule los valores de k y n . Calcule y a

7.0 atm.

b) [SM] Se dan los datos siguientes para la adsorción del CO sobre negro de humo vegetal

a 0ºC. La presión se da en mmHg, mientras que x es el volumen del gas en cc, medidos en

las condiciones estándar, adsorbidos por 2.964 g de negro de humo:

P 73 180 309 540 882

x 7.5 16.5 25.1 38.1 52.3

Encontrar las constantes k y n de la ecuación de Freundlich.

c) [SM] En la adsorción de la acetona por el carbón activo, desde una solución acuosa a

18ºC, se obtuvieron los datos siguientes:

y , milimoles/g 0.208 0.618 1.075 1.50 2.08 2.88

C , milimoles/litro 2.34 4.65 41.03 88.62 177.69 268.97

Hallar las constantes k y n de la ecuación de Freundlich.

Sugerencia: La ecuación de estado de un gas ideal es TRCP , donde C es la

concentración molar.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

44. 2.01954146.2390295ˆ xy , 0.0001058/ xyS , 0.999999942 r , 0.99999997r .

45. 1.87200930.9501565ˆ xy , 0.0709112/ xyS , 0.997895572 r , 0.99894723r .

46. 0.530366310.0514631ˆ xy , 0.0891604/ xyS , 0.951516322 r , 0.97545698r .

Ingeniería Química / Bioingeniería.

47. 0.6356856243282.65905 VP , de donde 243282.65905C y 0.6356856k ,

0.0029177/ xyS , 0.999954932 r , 0.99997746r .

48. 0.37991140.4148889WA , de donde 0.4148889a y 0.3799114b , 0.0058081/ xyS ,

0.971126982 r , 0.98545775r . Para kg 95W : 2.34040807W .

49. 0.749690765.7681460ˆ xy , 0.2004997/ xyS , 0.993467472 r , 0.99672838r .

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

50. 1.0375397][0.0000101Velocidad A , de donde 0.0000101k , 0.0395790/ xyS ,

0.991937652 r , 0.99596066r .

51. 2.63630290.0000039 , de donde 0.0000039B y 2.6363029m , 0.0256178/ xyS

, 0.999686992 r , 0.99984348r .

52. 0.54297960.7276497 , de donde 0.7276497 y 0.5429796n , 0.0248136/ xyS ,

0.989118212 r , 0.99454422r .

53. a) 0.207500381.1563169Pv , de donde 4.8192701n , 0.0458844/ xyS ,

0.954486252 r , 0.97697812r . Para 7P , 4121.529141v .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25

y

x



b) 0.78161930.2739486Px , de donde 1.2793952n , 0.0500504/ xyS , 0.996736772 r ,

0.99836705r .

c) 0.46928230.0017198Py , de donde 2.1309136n , 0.2795880/ xyS , 0.930736242 r ,

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04 ecuacion de potencias

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