05 ecuacion de razon de crecimiento

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 4: REGRESIÓN POR

MÍNIMOS CUADRADOS.

LINEALIZACIÓN. ECUACIÓN DE

RAZÓN DEL CRECIMIENTO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Ecuación de razón del crecimiento.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 84

4.7.- ECUACIÓN DE RAZÓN DEL CRECIMIENTO.

Un tercer ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de razón del crecimiento

xb

xay

3

3 (4.30)

donde 3a y 3b son coeficientes constantes. Este modelo particularmente es adecuado para

caracterizar la razón de crecimiento poblacional bajo condiciones limitantes, también

representa una relación no lineal entre y y x (Figura 4.27) que se iguala o “satura” conforme

x aumenta.

Figura 4.27. Diagrama de dispersión para el modelo de la razón del crecimiento.

La ecuación (4.30) es linealizada al invertirla

xa

xb

y 3

31

33

3 11

axa

b

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160

y

x



para dar

xa

b

ay

111

3

3

3

(4.31)

De esta forma, una gráfica de y

1 contra

x

1 será lineal, con pendiente

3

3

a

b y una intersección

con el eje de las ordenadas 3

1

a (Figura 4.28).

Figura 4.28. Gráfica de y

1 contra

x

1 para el modelo de razón del crecimiento.

Modificando apropiadamente las ecuaciones (4.4) y (4.5):

2

11

2

1111

2

3 ])/1([)/1(

)/1()/1()/1()/1()/1(1

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.32)

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

1/y

1/x



2

11

2

111

3

3

])/1([)/1(

)/1()/1()/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a

b (4.33)

El coeficiente de correlación se determina aplicando la modificación apropiada de la

ecuación (4.10).

2

11

22

11

2

111

])/1([)/1(])/1([)/1(

)/(1()/1()/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.34)

Ejemplo 4.6.

[CC] Ajuste un modelo de razón de crecimiento a

i ix iy

1 0.75 0.8

2 2 1.3

3 2.5 1.2

4 4 1.6

5 6 1.7

6 8 1.8

7 8.5 1.7

Grafique los datos y la ecuación. Encuentre el error estándar.

Solución.

El modelo de razón de crecimiento se corresponde a la ecuación

xb

xay

3

3 (4.30)

cuya forma linealizada es

xa

b

ay

111

3

3

3

(4.31)

El diagrama de dispersión de los datos se muestra en la figura 4.29.



Figura 4.29. Diagrama de dispersión de los datos del ejemplo 4.6.

En la figura 4.29 se observa que los datos se ajustan a una curva de razón del crecimiento.

En la tabla siguiente se completa la columna de ix/1 y iy/1 con el objeto de linealizar el

modelo de razón del crecimiento de acuerdo con la ecuación (4.31).

i ix iy ix/1 iy/1

1 0.75 0.8 1.3333333 1.2500000

2 2 1.3 0.5000000 0.7692308

3 2.5 1.2 0.4000000 0.8333333

4 4 1.6 0.2500000 0.6250000

5 6 1.7 0.1666667 0.5882353

6 8 1.8 0.1250000 0.5555556

7 8.5 1.7 0.1176471 0.5882353

La gráfica de iy/1 vs ix/1 se muestra en la figura 4.30.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

x



Figura 4.30. Gráfica de iy/1 vs ix/1 de los datos del ejemplo 4.6.

En la figura 4.30 se observa que iy/1 vs ix/1 se ajusta a un modelo lineal.

Para encontrar la recta de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos (Ecuación 4.31),

extendemos la tabla y sumamos las columnas como se muestra en las cinco últimas

columnas de la tabla

i ix iy ix/1 iy/1 2)/1( ix )/1()/1( ii yx 2)/1( iy

1 0.75 0.8 1.3333333 1.2500000 1.7777778 1.6666667 1.5625000

2 2 1.3 0.5000000 0.7692308 0.2500000 0.3846154 0.5917160

3 2.5 1.2 0.4000000 0.8333333 0.1600000 0.3333333 0.6944444

4 4 1.6 0.2500000 0.6250000 0.0625000 0.1562500 0.3906250

5 6 1.7 0.1666667 0.5882353 0.0277778 0.0980392 0.3460208

6 8 1.8 0.1250000 0.5555556 0.0156250 0.0694444 0.3086420

7 8.5 1.7 0.1176471 0.5882353 0.0138408 0.0692042 0.3460208

31.75 10.1 2.8926471 5.2095902 2.3075214 2.7775532 4.2399689

Al sustituir en las ecuaciones (4.32) y (4.33), obtenemos:

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

1/y

1/x



2

11

2

1111

2

3 ])/1([)/1(

)/1()/1()/1()/1()/1(1

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.32)

2

3 )8926471.2(3075214.27

8926471.27775532.22095902.53075214.21

a

5120919.01

3

a

De esta manera:

9527744.13 a

2

11

2

111

3

3

])/1([)/1(

)/1()/1()/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a

b (4.33)

2

3

3

)8926471.2(3075214.27

2095902.58926471.27775532.27

a

b

5617508.03

3 a

b

33 5617508.0 ab

9527744.15617508.03 b

0969726.13 b

La mejor ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es, de acuerdo con la

ecuación (4.31):

xa

b

ay

111

3

3

3

(4.31)

xy

5617508.05120919.0

1

Ó, de acuerdo con la ecuación (4.30):



xb

xay

3

3 (4.30)

x

xy

0969726.1

9527744.1

La tabla siguiente muestra los valores observados con los valores obtenidos usando

esta aproximación.

i ix iy x

xy

0969726.1

9527744.1ˆ

2

Promedio

11

ii yy

2

Estimado

11

ii yy

1 0.75 0.8 0.7929629 0.2558061 0.0001231

2 2 1.3 1.2610860 0.0006252 0.0005634

3 2.5 1.2 1.3572347 0.0079399 0.0093202

4 4 1.6 1.5324975 0.0142151 0.0007579

5 6 1.7 1.6509359 0.0243335 0.0003056

6 8 1.8 1.7172961 0.0355970 0.0007158

7 8.5 1.7 1.7295645 0.0243335 0.0001011

31.75 10.1 10.0415775 0.3628503 0.0118871

El error estándar del estimado es, de acuerdo con la ecuación (4.6):

2/

n

SS r

xy (4.6)

27

0118871.0/

xyS

0487588.0/ xyS

El coeficiente de determinación es, de acuerdo con la ecuación (4.9):

t

rt

S

SSr

2

(4.9)

3628503.0

0118871.03628503.02 r

9672397.02 r

Y el coeficiente de correlación es

2rr



9672397.0r

9834834.0r

El coeficiente de correlación es, de acuerdo con la ecuación (3.50):

2

11

22

11

2

111

])/1([)/1(])/1([)/1(

)/(1()/1()/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.34)

22 )2095902.5()2399689.4(7)8926471.2(3075214.27

2095902.58926471.27775532.27

r

5399522.27852426.7

3733664.4

r

9834834.0r

Ejercicios propuestos.

54. [CC] Con los datos

ix 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

iy 16 25 32 33 38 36 39 40 42 42

Utilice regresión por mínimos cuadrados para ajustar a) una línea recta, b) una parábola, c)

una ecuación de potencias y d) una ecuación de razón de crecimiento. Grafique los datos

junto con todas las curvas. ¿Es mejor alguna de las curvas? Si es así, justifique.

Ingeniería Química / Bioingeniería.

55. [SM] Una ecuación mucho más exacta para las isotermas de adsorción del tipo I

(Problema 52) la dedujo Irving Langmuir por consideraciones teóricas. Para ello postuló

que los gases al ser absorbidos por la superficie del sólido forman únicamente una capa de

espesor monomolecular. Además visualizó que el proceso de adsorción consta de dos

acciones opuestas, una de condensación de las moléculas de la fase de gas sobre la

superficie, y una evaporación de las situadas en la superficie hacia el gas. Estas dos

velocidades, condensación y desorción, alcanzan un momento en que se hacen iguales y

entonces se establece el equilibrio.



La ecuación Pb

Pay

1 es la isoterma de absorción de Langmuir. Las constantes a y b son

características del sistema en consideración y se evalúan a partir de los datos

experimentales. Su magnitud depende también de la temperatura. La validez de la ecuación

de Langmuir se verifica fácilmente al tomar los recíprocos. Así resulta

Paa

b

y

111

Puesto que a y b son constantes, al graficar y

1 contra

P

1 debe resultar una línea recta cuya

pendiente es a

1 y su ordenada en el origen vale

a

b.

a) [FD] La siguiente tabla indica el número de mililitros ( v ) de nitrógeno (calculados a 0ºC

y a 1 atm) adsorbidos por gramo de carbón activado a 0ºC a distintas presiones:

mmHg ,P 3.93 12.98 22.94 34.01 56.23

mL/g ,v 0.987 3.04 5.08 7.04 10.31

Construir una gráfica con los datos de acuerdo con la isoterma de Langmuir, y determinar

las constantes.

b) Ajuste los datos del problema 53 a) a la isoterma de Langmuir. Calcule y a 7.0 atm.

c) Además de la representación de y

1 frente a

P

1, existe otra forma de representar la

isoterma de Langmuir para obtener una línea recta. ¿Cuál es esta forma? Resuelva

nuevamente el ítem a) utilizando esta forma de la isoterma de Langmuir.

56. [CC] En la enfermedad de Alzheimer, el número de neuronas en la corteza decrece

conforme la enfermedad progresa. Los siguientes datos se tomaron para determinar el

número de receptores neurotransmisores aún presentes en el cerebro con esta enfermedad.

El neurotransmisor libre ( ][F ) se incubó con tejido y se midió la concentración que une

específicamente a un receptor ( ][B ). Cuando la unión es específica con un receptor, la

concentración unida está relacionada a la concentración libre mediante la siguiente relación



][

][][ max

Fk

FBB

Si la unión no es específica (no se une a un receptor), entonces la relación entre el

neurotransmisor unido y el libre deberá ser lineal:

][][ FKB NS

Usando los datos que se dan a continuación determine si la unión es específica o no

específica. Explique por qué cree esto usando una comparación de la suma de los cuadrados

de los residuos. ¿Cuál es la concentración de receptores aun presentes en el cerebro

enfermo (el número de receptores será igual al máximo de transmirores unidos, maxB )?

][F , nM ][B , nM

0 0

0.1 10.5705556

0.2 19.03

0.5 36.6134615

0.7 44.4383333

1 52.9277778

2 68.1571429

5 82.6465517

7 86.3064103

10 89.462963

20 94.3461538

50 101.003937



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

54. a) xy 0.495757620.6666667ˆ , 3.7280672/ xyS , 0.82011342 r , 0.9056012r .

b) 20.01545451.345757612.1666667ˆ xxy , 2.1504052/ xyS , 0.94763032 r ,

0.9734631r .

c) 0.39502929.6582828ˆ xy , 0.0836772/ xyS , 0.930901192 r , 0.96483221r .

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60

y

x

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60

y

x



d) x

xy

11.1467951

52.2420142ˆ , 0.0011289/ xyS , 0.99197302 r , 0.9959784r .

La mejor curva es la del modelo de la razón de crecimiento. Tiene el menor error estándar

del estimado y el mejor coeficiente de correlación.

Ingeniería Química / Bioquímica.

55. a) x

xy

0.00741801

0.2583587ˆ

, 0.0013183/ xyS , 0.99999092 r , 0.9999954r .

b) x

xy

0.37627931

66.5330179ˆ

, 0.0001087/ xyS , 0.99580982 r , 0.9979027r .

c) Pb

Pay

1. Al reacomodar esta ecuación:

Pb

Pay

1, y finalmente: P

a

b

ay

P

1,

lo cual significa que al graficar y

P versus P se obtiene una recta cuya pendiente es

a

1 y

cuya intersección es a

b.

56. Se trata de una unión no específica. Para la regresión lineal 28.1048504/ xyS y

0.6428533r mientras que para el modelo de la razón de crecimiento 0.0002248/ xyS y

0.9999662r . x

xy

0.8185421

97.0008521ˆ . El número de receptores aún presentes en el cerebro

enfermo es 97.0008521.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60

y

x

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