06_Equilibrio

8/16/2019 06_Equilibrio

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Universidad Federico Santa MaríaDepartamento de Obras Civiles

Estática de Estructuras (CIV-131)M. Valdebenito

Equilibrio


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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)

Condición de Equilibrio• Un cuerpo está en equil ibrio cuando las fuerzas externas actuando

forman un sistem a equiv alente de fuerzas nu lo

• Note que definición abarca cuerpos en reposo y en movimiento convelocidad constante

• Equilibrio estático : caso especial – Resultante de fuerzas nula – Cuerpo en reposo

2

0 F 1n

1ii

0 F r M M 2

2

22 n

1nn j j j

nn

1 j j

n

1 j j

Resultante de fuerza

Resultante de momento


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Condición de Equilibrio• Caso bidimensional

– 3 ecuaciones de equilibrio algebraicas – Por ejemplo:

• Las ecuaciones de equilibrio pueden ser calculadas respecto decualquier pun to

• Existen inf ini tos s is temas de ecuaciones de equilibrio

3

0 F

1n

1ii 0 M

2n

1 j j

0e F 1n

1i xi

0e F 1n

1i yi

0e M

2n

1 j z j


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Condición de Equilibrio

4

00e F 1n

1i xi

0 R R P e F 21n

1i yi

1 0 R3 P

0 L R3 PLe M

2

2

n

1 j z j , A

2

P

L 2LR 1 R 2x

y

z

A B

Sumatoria defuerzas

respecto apunto A

• Caso bidimensional – Note que aunque existan infinitos sistemas de ecuaciones, solo 3

son l inealmente ind ependientes – Ejemplo: cuerpo rígido en equilibrio estático


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5

00e F 1n

1i xi

0 R3 P 2

0 L R3 PL2e M

1

1

n

1 j z j , B

2

Sumatoria defuerzas

respecto apunto B 0 R R P e F 21

n

1i yi

1



P

L 2LR 1 R 2x

y

z

A B


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6

Sistema de ecuaciones A Sistema de ecuaciones B

0 R R P 21

0 R3 P 2 0 R3 P 2 1

0 R R P 21 (1A)

(2A)

(1B)

(2B)



3*(1B) – (2B) 0 R3 P 2

P

L 2LR 1 R 2x

y

z

A B


7/27USM – Estática de Estructuras (CIV-131)

Condición de Equilibrio• Caso tridimensional

– 6 ecuaciones de equilibrio algebraicas – Por ejemplo:

• Las ecuaciones de equilibrio pueden ser calculadas respecto decua lquier pun to

• Existen inf ini tos s is temas de ecuaciones de equilibrio; so lo 6 sonlinealm ente ind ependientes

7

0 F 1n

1ii 0 M

2n

1 j j

0e F 1n

1i xi

0e F 1n

1i yi 0e M

2n

1 j y j

0e F 1n

1i z i

0e M 2n

1 j x j

0e M 2n

1 j z j


8/27USM – Estática de Estructuras (CIV-131)

Condición de Equilibrio• Aplicación de ecuaciones de equilibrio

– Deben incluir tod as las fuerzas externas y todos losmo mentos ex ternos actuando sobre el sistema en estudio

8

F

R2

R1

F

F

R4

R3

R6

R5

– Ejemplo: edificio de marcos de 3 pisos y carga lateral

F

F

F

h

h

h

L L

M1

M2

M1

M2


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9

0 R R R F 3e F 6 42n

1i xi

1

0 R R Rh3 LR LR2hF 2hF M M e M 6 423121n

1 j z j , A

2

Sumatoria de fuerzas respecto a punto A

0 R R Re F 531n

1i yi

1

– Ejemplo: edificiode marcos de 3pisos y cargalateral F

R2

R1

F

F

R4

R 3

R 6

R 5

M1

M2

A

x

y

z


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– Deben incluir tod as las fuerzas externas y todos losmo mentos ex ternos actuando sobre el sistema en estudio

– Fuerzas externas se clasifican en:

• Cargas (o fuerzas activas): se originan por cargas de uso delsistema; generalmente son conocidas. Ejemplo: carga deviento, peso propio, uso, etc.

• Reacciones (o fuerzas reactivas): aparecen en los apoyos

asociadas a restricciones al giro o desplazamiento;generalmente son incógnitas a determinar

– Al aplicar ecuaciones de equilibrio, cargas y reacciones sontratadas de la misma manera (como fuerzas externas)

10


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– Ejemplo: cargas y reacciones en una estructura

11

F

F

F

R1

R 2

R 3

M2

R4

R5


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– Cómo se trata la fuerza gravitacional?• Fuerza gravitacional es una carg a (fu erza activ a)• Representación: carga distribuida• Representación alternativa: resultante actuando a través del

centroide

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Pesopropio

Peso propio(fuerzaequivalente)

CL

CL


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Condición de Equilibrio• Las ecuaciones de equilibrio pueden ser utilizadas para determinar

incógnitas asociadas a un problema (por ejemplo, reacciones,coordenada que describa posición de equilibrio) – Paso 1: Escoja el sistema a estudiar (puede estar compuesto de

uno o más cuerpos rígidos). Imagine que el sistema es “ aisladodel entorno” y dibuje su forma. Establezca un sistema

coordenado apropiado e identifique dimensiones del sistema

13

Lx

y

z


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Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio

– Paso 2: Dibuje un diagrama de cuerpo libre. Esto es, unarepresentación esquemática de un cierto sistema y las fuerzasque actúan sobre el sistema. Note que el diagrama de cuerpolibre debe incluir todas las fuerzas y momentos

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w

R 1

R2

R3

L

x

y

z

(peso propio porunidad de longitud)


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– Paso 2: Identifique todas las fuerzas externas y momentosexternos que actúan sobre la estructura

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Tipos defuerzas externa

Carga

Peso propio

Reacciones • Si un apoyo impide eldesplazamiento en una ciertadirección, el apoyo ejerce unafuerza sobre el sistema en esadirección

• Si un apoyo impide la rotación,entonces el apoyo ejerce unmomento sobre el sistema


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– Paso 2: Identifique todas las fuerzas externas y momentosexternos que actúan sobre la estructura

– Las fuerzas con ocid as deben ser dibujadas indicandomagnitud, dirección y sentido

16

– Para las fuerzasdesconocidas :

• Fuerza es dibujada endiagrama a través de suscomponentes

• Magnitud es una incógnita• Dirección es asumida

R1

R2

R3


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– Paso 3: aplique ecuaciones de equilibrio incluyendo todas lasfuerzas externas (incluya fuerzas conocidas y desconocidas)

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w

R1

R2

R3

L

xy

z

wL

R 1

R2

L

L/2

R3


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18

x

y

z

wL

R1

R 2

L

L/2

R3

0 Re F 2

n

1i xi

1

02

Lw L Re M

2

1

n

1 j z j , A

2

Sumatoria de fuerzas respecto a punto A

0 R RwLe F 31n

1i yi

1

2wL

R;0 R;2

wL R 321

A


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– Note que el s igno de la incógnita indica si la dirección asumidapara una fuerza desconocida era adecuado o no

19

x

y

z

wL

R1

R 2

L

L/2

R3

2

wL R;0 R;

2

wL R 321

A


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– Siempre es una buena idea hacer la sumatoria de momentosrespecto de un punto que esté contenido en una o más líneas deacción de las fuerzas (preferentemente, fuerzas desconocidas)

20

x

y

z

wL

R1

R 2

L

L/2

R3

A

B

L/40

2 L

w L Re M 2

1

n

1 j z j , A

2

04

Lw

4 L

R4 L3

Re M 2

31

n

1 j z j , B

2


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Determinación Estática• Grados de libertad

– Corresponden a las diferentes posibilidades que tiene unsistema (ya sea completo o alguna de sus partes) dedesplazarse como cuerpo rígido

– El número de grados de libertad corresponde al núm ero d ecoo rdenadas independientes requeridas para especificar laposición o configuración del sistema

– Caso partícula en espacio bidimensional: 2 grados de libertad

21

x

y 11 y , x


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– Caso partícula en espacio tridimensional: 3 grados de libertad

22

111 z , y , x

x

z

y


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– Caso cuerpo rígido en espacio bidimensional: 3 grados delibertad

– Cuerpo rígido en espacio tridimensional: 6 grados de libertad

23

x

y

11 y , x

1


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– Los apoyos de un sistema restringen los desplazamientos decuerpo rígido dism inuyen los g rados d e liber tad dels is tema

– De acuerdo al número de restricciones existentes, sistemas sepueden clasificar de dos maneras

24

Tipos desistemas

Mecanismos

Sistemas con

configuraciónde equilibrioestable

Sistemasisostáticos

Sistemashiperestáticos


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Mecanismos• Definición

– Sistemas que carecen de restricciones necesarias para evitardesplazamientos de cuerpo rígido

– Poseen uno o más grados de libertad• Problema habitual

– Determinar configuración de equilibrio

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• Ejemplo: peso W unido a una barra sinpeso; la barra y el disco (también sinpeso) están pivoteados en O. El

resorte no se encuentra deformadocuando θ=0. Determine una expresiónque se cumpla para la posición deequilibrio


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Sistemas Isostáticos• Definición

– Los sistemas que poseen un numero mínimo de requerido deapoyos o vínculos con una disposición adecuada para evitar losdesplazamientos de cuerpo rígido son denominados sis temasis os táti co s o est átic am ent e d eterm in ado s

– Para resolver este tipo de problemas basta con imponer lascondiciones de equilibrio estático

• Problema habitual – Determinar reacciones

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• Ejemplo: determine el valor de lareacción en A, la reacción en B y latensión en el cable OD. No existe roceen ninguna de las superficies lisas


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Sistemas Hiperestáticos• Definición

– Los sistemas que poseen más apoyos o vínculos que losnecesarios para mantener una configuración de equilibrioestable se denominan si st em as h ip erest átic os oestáticam ente ind eterm inad os

– Para resolver este tipo de problema se deben incorporar lasleyes constitutivas de los materiales del sistema y lacompatibilidad geométrica.

• Problema habitual – No se analiza en este curso

27

• Ejemplo: edificio de 3pisos revisadoanteriormente

F

F

F

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