Dr. Eberardo Osorio Rojas

FISICA I

Módulo: 2 Unidad: IV Semana:08

TRABAJO Y ENERGIA

II. Introducción

Trabajo, potencia y energía son

conceptos que a diario utilizamos, pero

muchas veces de manera poco clara.

La ciencia a través de los años pudo

superar esta dificultad y hoy en día se

distingue bien un concepto de otro y se

ha podido establecer las relaciones

cualitativas y cuantitativas entre ellas.

Unidades

En el Sistema Internacional, es el JOULE (newton por metro).

Donde 1 Joule (J) es el trabajo realizado por una fuerza

de 1 newton para provocar el desplazamiento de un

cuerpo igual a 1 metro en la misma dirección de la fuerza

rFW

NewtonF 1

metror 1

……………………(1)

…………………(2)

………..………(3)

Remplazando las ecuaciones (3) y (2) en la ecuación 1

JouleNmmetroNewtonW 1111

II. Introducción Durante siglos el hombre intentó construir la

máquina del movimiento perpetuo, pero nadie lo

consiguió jamás.

Este aparente fracaso, fue motivación para que

los científicos Mayer y Joule descubrieran el

principio de conservación de la energía.. “La

energía no se crea ni se destruye solo se

transforma”.

Cuando una máquina entrega energía lo que

realmente hace es trasformar una clase de

energía a otra.

III. DEFINICIÓN DE TRABAJO MECANICO

• La idea general y

frecuente que se tiene del

trabajo es muy amplio. Se

asocia al hecho de

realizar alguna tarea o

cumplir con un cierto rol.

Incluso se relaciona con

toda actividad que

provoca cansancio.

En física, sin embargo, el concepto de trabajo es mucho más restringida, más específico. En física se dice que una fuerza realiza trabajo cuando es capaz de desplazar un cuerpo. Aquí encontramos dos conceptos esenciales para el trabajo mecánico, según la física; la fuerza y el movimiento.

El motor realiza trabajo mecánico. La fuerza que aplica es capaz de mover el auto.

F F F

IV. TRABAJO DE UNA FUERZA

• Considere una partícula de

masa m que se mueve a lo

largo de la curva C, bajo la

acción de la fuerza F.

En un intervalo de tiempo

dt la partícula experimenta

un desplazamiento

El trabajo se define como

Usando la definición de

producto escalar

• Donde θ es el ángulo

entre el

desplazamiento y la

fuerza

.d U F d r

c o sd U F d s

'A A d r

IV. TRABAJO DE UNA FUERZA

• Expresando el vector desplazamiento en

componentes rectangulares, el trabajo

realizado por la fuerza F se expresa

• El trabajo es una magnitud escalar es decir

tiene magnitud y signo pero no dirección. Las

dimensiones de trabajo son longitud por fuerza

y sus unidades son

c o s

x y z

d U F d r

F d s

d U F d x F d y F d z

1 J 1 N 1 m 1ft lb 1 .356 Jjou le

5.4. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE

• El trabajo de hecho por fuerza constante en magnitud y dirección es

definida como la distancia movida por la componente de la fuerza en la

dirección del desplazamiento

TRABAJO DE UNA FUERZA

•Se denomina trabajo W , al producto fuerza por el desplazamiento.

Donde:

• F es la fuerza (Newton)

• d es desplazamiento

• θ el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento.

W = F Cosθ*d

d

F

F Cosθ

θ

• Si 0°, el

W = F Cos 0° d = F d

Si 90° el trabajo es cero

• Si el ángulo 180°,

decimos que el cos180° = –1

• W = - Fd

Trabajo de una Fuerza Elástica

• La fuerza elástica esta definida por:

F = kx ; K = constante X = deformación

• Energía Potencial Elástica :

Ep = (1/2)kx2 = (1/2)(F/x)x2 = (1/2)(F.x)

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de Unidades es el julio

1 Joule = 1 Newton . metro

POTENCIA

Es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo.

•P es la potencia

•E es la energía o trabajo

•t es el tiempo

•d es distancia

•V es velocidad. vFt

dF

t

WP .

Energía Potencial: Ep = mgh donde : m= masa , g = gravedad ; h = altura Energía Cinética: Ek = (1/2)mv2

donde : m = masa ; v = velocidad

• La unidad de potencia en el Sistema internacional (SI) es el vatio= Watt (W), el cual es equivalente a un joule por segundo.

realizado Total trabajo

útil trabajo

LA EFICIENCIA, es la calidad con la que una máquina realiza su trabajo.

• Si el bloque de 5Kg se desplaza 10 m a velocidad constante, el trabajo realizado por la fuerza “F” es: (u=0.2); g=10m/s2

2da Ley de Newton

F – f = m a

Fd - fd = m (0)

• Un bloque sube por una rampa que forma 30° con la horizontal y con una rapidez constante de 8m/s. El peso total del bloque es de 800 N. Calcule la potencia que debe mantener bloque.

30°

F

800sen30°

X

y

•Calcule el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo

entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0°, 60°, 90°, 135°, 180°

W = F . d Cos

ENERGIA MECANICA

• E = Energía mecánica

• Ep = Energía potencial

• Ek = Energía Cinética

• Epe = Energía Potencial Elástica

• E = Ep + Ek + Epe

•Una masa de 8Kg suspendida de un resorte de k=40N/m. La deformación es (0.3) ½ m

•Calcular la energía mecánica con respecto al suelo. En base a la información del gráfico

g=10 m/s2

• Se observa que un cuerpo de 4 Kg al pasar por el punto A posee una rapidez de 36 Km/h. Hallar la energía mecánica que posee el cuerpo en “B”

g= 10 m/s2

•Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.

Solución

La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·X = 1000*(0.05)

F=50N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante el área.

El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J

W=1.25 J

5.7. TRABAJO DE LA FUERZA DE GRAVEDAD

2

1

1 2 1 2

1 2 2 1

ˆ ˆ ˆ.( )

( )

y

y

d U W j d x i d y j W d y

U W d y W y W y

U W y y W y

El trabajo del peso se obtiene

multiplicando el peso W del cuerpo por el

desplazamiento vertical y.

El trabajo del peso es positivo cuando y < 0 es decir

cuando el cuerpo desciende

VI. ENERGÍA CINÉTICA:

t t

t

d v d v d s d vF m a m m m v

d t d s d t d s

F d s m v d v

2 2

1 1

2 21 1

2 12 2

1 2 2 1

s v

t

s v

F d s m v d v m v m v

U T T

21

2T m v

Principio Trabajo- Energía Cinética

• Expresa la relación entre el trabajo y la energía cinética esto es

• Ecuación que expresa que cuando una partícula se mueve de A1 a A2 bajo la acción de

una fuerza F, el trabajo es igual a la variación de la energía cinética. A esta expresión

se llama teorema de las fuerzas vivas. Reordenando la ecuación anterior se tiene

• La energía cinética definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de

una masa dada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Su unidad SI es el

Joule.

1 2 2 1U T T

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1

2 2T U T m v U m v

VII. POTENCIA Y EFICIENCIA

• La potencia es el trabajo por

unidad de tiempo.

• La potencia es una base del

criterio para elegir un motor, sea

térmico o eléctrico.

• Para realizar una cantidad de

trabajo dada puede emplearse un

motor pequeño o una gran

central eléctrica, la diferencia es

que el motor más pequeño

demora un tiempo más grande

que la central eléctrica.

• Si U es el trabajo realizado en

un intervalo de tiempo t

• La potencia media desarrollada

durante ese intervalo d tiempo es

• Remplazando dU por el producto

escalar F.dr, se tiene

m

UP

t

..

.

F d r d rP F

d t d t

P F v

POTENCIA Y EFICIENCIA • Como la potencial es el trabajo

por unidad de tiempo sus

unidades serán el joule/segundo

unidad que se llama Watt (W)

• Existen otros múltiplos como

• Otra unidad es el caballo de

vapor

EFICIENCIA También conocido

como rendimiento de una

máquina se define como

Debido a las perdidas de energía

por fricción la eficiencia es menor

que 1

J m1 W (w a tt) 1 1 N

s s

3

6

9

1 1 0

1 1 0

1 1 0

k W W a tts

M W W a tts

G W W

1 736C V W atts

tra b a jo u til iza b le

tra b a jo c o n su m id o

0 1

Ejemplo 12 Un automóvil de 19,62 kN de peso baja por una pendiente de 5° a una

velocidad de 100 km/h cuando el conductor pisa los frenos reduciendo

una fuerza constante de frenado (acción de la carretera sobre los

neumáticos) de 7 kN. Calcular la distancia que se mueve el vehículo

hasta que se detiene

• En las figuras se muestra las posiciones

inicial y final del auto así como su DCL

• energía cinética

1

22 21 1

1 12 2

1

k m 1 0 0 0 m 1 h1 0 0 2 7 .7 8 m s

h 1 k m 3 6 0 0 s

2 0 0 0 k g 2 7 .7 8 m / s

7 7 1 .7 3 k J

v

T m v

T

2 20 0v T

1 2

1 2

7 k N 1 9 .6 2 k N s in 5

5 .2 9 k N

U x x

U x

1 1 2 2

7 7 1 .7 3 k J 5 .2 9 k N 0

T U T

x

145.9 mx

5°

19.62Sen5°

f=7

•Dos bloques están unidos por un cable inextensible como se indica en la figura. Si el sistema

parte del reposo. Determinar la velocidad del bloque A tras haberse desplazado 2m. Suponer

que el coeficiente de rozamiento cinético k = 0,25 y que la polea es de peso despreciable y

sin fricción.

Vo=0

Fc

f

N

Ek1+U1-2= Ek2

0 + Fc(2) – f(2) = (1/2)ma.V²

Fc(2) – 490 (2) = (1/2)(200)V²

Wa= mg= 200Kg(9.8m/s²)= 1960 N

f = μ.N = 0.25(1960 N)= 490 N

Ek1=0

Wb=300Kg(9.8)= 2940

Ek1 +U1-2= Ek2

0 + 2940(2) –Fc(2) = (1/2)(300)V²

2940(2) – 490(2) = (100+150)V²

V= 4.43 m/s

Ejemplo 15

• Una vagoneta de 1000 kg parte del reposo en el punto 1 y

desciende, sin fricción, por la vía mostrada. (a) Determine

la fuerza que la vía ejerce sobre la vagoneta en el punto 2

en donde el radio de curvatura es de 6 m, (b) determinar el

mínimo valor de radio de curvatura del punto 3 para que la

vagoneta permanezca sobre la vía

Solución

2 21

1 2 2 22

1 2

2

1 1 2 2 2

2

2 2

10

2

1 2 m

1: 0 1 2 m

2

2 4 2 4 9 .8 1 1 5 .3 m s

WT T m v v

g

U W

T U T m g m v

v g v

:n n

F m a 2

2

2

2 1 2 m g

6 m

5 m g

C n

C

vm g N m a m m

N

Solución

1 1 3 3

2

3

2

3

3

10 1 2 m 4 .5 m

2

1 5 1 5 9 .8 1

1 2 .1 m s

T U T

m g m v

v g

v

:n n

F m a

31 5 m

El peso del cilindro D es 300 kg, mientras

que el del contrapeso es de 400 kg. Determine: (a) La

potencia desarrollada por el motor eléctrico cuando el

cilindro sube a velocidad constante de 2,5 m/s. (b) La

potencia desarrollada por el motor eléctrico M cuando

posee una velocidad instantánea de 2,5 m/s y una

aceleración de 0,75 m/s2

Solución DCL del contrapeso C:

DCL del cuerpo D:

SOLUCIÓN 2 21

20 .7 5 m s 0 .3 7 5 m s

D C Da a a

C:

(400) (9 .81) 2 400 0 .375 18 .87 NT T

D:

(3 0 0 ) (9 .8 1) 3 0 0 (0 .7 5 )

1 8 8 7 (3 0 0 ) (9 .8 1) 2 2 5 1 2 8 1 N

F T

F F

(1 2 8 1 N ) (2 .5 m / s ) 3 2 0 3 J / sD

P o te n c ia F v

A

B

Calcular la

velocidad del

bloque

A después de

desplazarse 6 m.

Solución:

A

B

A

1 B

2

1 2

Energía cinética:

Trabajo::

Ek2 = (1/2)(W/g)VA^2 ( 1+ 1/4)= (5/8)W/g)VA^2

2

2

8

5

AkV

g

WE

Trabajo : U1-2 = F*dA + F*dB

WVg

WU

A8.1

8

5 2

21

8.1

8

5 2

A

Vg

smVA

/31.5

ENERGIA POTENCIAL: De un peso

• Consideremos un cuerpo de peso W

que se mueve sobre una trayectoria

curva desde A1 hasta A2. El trabajo

de la fuerza de gravedad (peso) es.

• El trabajo es independiente de la

trayectoria seguida y depende sólo

de los valores inicial y final de la

función Wy. Esta función recibe el

nombre de ENERGÍA POTENCIAL

DEL CUERPO respecto a la

gravedad W y se representa por Vg.

• Entonces se tiene

• Para medir Vg se usa un

nivel de referencia

2

1

1 2 1 2

y

y

U W d y W y W y

1 21 2

g gU V V

.g

V W y m g y

ENERGIA POTENCIAL ELASTICA

• Cuando un cuerpo es sometido a

una fuerza elástica, el trabajo

realizado por dicha fuerza es

• El trabajo es independiente de la

trayectoria por tanto dicho trabajo

puede expresarse como

1 2 1 2

2

( ) ( )

1

2

e e

e

U V V

y la e n e rg ía p o te n c ia l se rá

V k x

EJEMPLO 01 • Un collar de 9 kg desliza sin rozamiento a lo largo de una guía vertical

como se muestra en la figura. El collar unido al muelle tiene una longitud

natural de 100 mm y una constante de 540 N/m. Si el collar parte del

reposo en la posición 1, determine la velocidad del collar cuando pasa

por la posición 2 tras haberse desplazado 150 mm

Solución • Aplicando el principio de conservación

de la energía entre las posiciones 1 y 2 tenemos

Posición 1:

221 1

12 2

1

1

5 4 0 N m 0 .1 m 2 .7 J

2 .7 J

0

e

e g

V kx

V V V

T

Posición 2:

221 1

22 2

2

2 2 21

2 2 2 22

5 4 0 N m 0 .1 5 m 6 .1 J

9 )(9 .8 1 N 0 .1 5 m 1 3 .3 J

(6 .1 J ) (1 3 .3 5 ) 7 .2 J

19 4 .5

2

e

g

e g

V k x

V W y

V V V

T m v v v

Conservación de la energía:

1 1 2 2

2

20 2 .7 J 4 .5 7 .2 J

T V T V

v

2

1 .4 8 m sv

LR

Ejemplo 02 • La pastilla de 200 g se comprime contra el muelle de

constante k = 540 N/m y luego se suelta desde el reposo

en A. Despreciando la fricción. Determine la menor

compresión del muelle para que la pastilla recorra el bucle

ABCDE sin perder nunca el contacto con el mismo

Solución

:n n

F m a

2

2 2 2 20 .6 m 9 .8 1 m s 5 .8 9 m s

n D

D

W m a m g m v r

v r g

2 2 21 1

1 2 2

1

0 5 4 0 N m 2 7 0

0

e gV V V kx x x

T

2

21

2 2

0 (0 .2 )(9 .8 1) (1 .2 ) 2 .3 5 J

1(0 .2 ) (5 .8 9 ) 0 .5 8 9 J

2

e g

D

V V V W y

T m v

1 1 2 2

20 2 7 0 0 .5 8 9 J 2 .3 5 J

T V T V

x

0 .104 m 104 m mx

Cuando la pastilla pase por D su energía cinética

debe ser mínima y su energía potencial es

máxima

Aplicando el principio de conservación se la energía

VD=2.42m/s

Trabajo: El producto de se denomina fuerza

efectiva , y es la proyección de la fuerza en dirección del

desplazamiento, es decir:

)cos( F

F)(Fsen

)cos( F

rFW

)cos(

• Ejemplo:

• Si el cuerpo se desplaza horizontalmente (1 metro) y se ejerce un

trabajo perpendicular a ella (100 newton), el trabajo realizado por esta

fuerza es:

O sea el cargar el peso de la mochila horizontalmente, no se hace trabajo, porque la fuerza (el peso) y el desplazamiento son perpendiculares.

Fuerza

Desplazamiento

Fuerza

Desplazamiento

rFW

)cos(

)1)(90cos(100 mNW

0)1)(0(100 mNW

Gráficos Trabajo

• Fuerza v/s desplazamiento

El área es el trabajo

W = F x d

W = F x d

W = 10N x 25m = 250 J

0 d (m)

Fuerza

(newton)

10

W = F x d

25

La Fuerza es constante

Gráficos Trabajo

• Fuerza v/s desplazamiento

La Fuerza varía

El área es el trabajo

W = F x d

2

JmNdF

W 1002

2010

2

Trabajo y Energía Cinética 2

0

2

1mvE

oc

2

2

1mvE

fc

F m

0v v

F m

dsFW

B

A

netnet

Donde la maFnet

Según la segunda Ley de Newton

Remplazando en la ecuación (1)

B

A

B

A

B

A

B

A

netvdvmmvdvds

dt

dvmmadsW

A B

22

2

2

1

2

1

2AB

B

A

netmvmv

vmW

inicialfinalABCCCCAB

EEEEmvmvW 22

2

1

2

1

Entonces:

Cuando se realiza trabajo sobre un sistema y el

único cambio que se produce en el sistema es el de

su rapidez, el trabajo realizado por la fuerza neta

es igual al cambio de su energía cinética

cinéticanetaFuerzaEW

Ejemplo

• Para detener un paquete de 60 kg el cual se desliza por una superficie

horizontal se emplea un muelle de constante k = 20 kN/m y está

inicialmente comprimido 120 mm mediante unos cables. Sabiendo que el

paquete lleva una velocidad de 2,5 m/s en la posición mostrada y que la

compresión adicional máxima del muelle es 40 mm. Determine: (a) el

coeficiente de rozamiento entre el paquete y la superficie, (b) la velocidad

del paquete cuando vuelve a pasar por la posición indicada

Solución • Aplicando el principio trabajo-energía cinética entre la posición inicial y el punto en el cual el resorte se encuentra completamente comprimido.

221 1

1 1 22 26 0 k g 2 .5 m s 1 8 7 .5 J 0T m v T

1 2

2

1 26 0 k g 9 .8 1 m s 0 .6 4 0 m 3 7 7 J

k kf

k kf

U W x m g x

U

m in 0

m a x 0

1

1 2 m in m a x2

1

2

2 0 k N m 0 .1 2 0 m 2 4 0 0 N

2 0 k N m 0 .1 6 0 m 3 2 0 0 N

2 4 0 0 N 3 2 0 0 N 0 .0 4 0 m 1 1 2 .0 J

e

P k x

P k x x

U P P x

1 2 1 2 1 23 7 7 J 1 1 2 J

kf eU U U

1 1 2 2:

1 8 7 .5 J - 3 7 7 J 1 1 2 J 0k

T U T

0 .2 0

k

Solución • Aplicando el principio trabajo - energía

cinética entre el punto de rebote y el punto donde partio inicialmente se tiene

2 21 1

2 3 3 32 20 60 kgT T m v v

2 3 2 3 2 3

2 3

3 7 7 J 1 1 2 J

3 6 .5 J

kf eU U U

U

2 2 3 3

21

32

:

0 3 6 .5 J 6 0 k g

T U T

v

31 .1 0 3 m sv

GRACIAS