0809 Analisis Seccional a CERES

ANÁLISIS SECCIONALIntroducción. Diagramas momento-

curvatura

ETSI Caminos, C. y P.

Universidade da Coruña

HORMIGHORMIGÓÓN ARMADO Y PRETENSADON ARMADO Y PRETENSADO

ANANÁÁLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccióónn. . DiagramasDiagramas MM--cc

1. Definiciones y nomenclatura

Funcionamiento habitual de una viga biapoyada:– Tracciones en fibra inferior– Compresiones en fibra superior

R

Compresiones

Tracciones

R (radio de curvatura)

P

δ



Fibraneutra

P

Compresión

Tracción

R (radio de curvatura)

Flecha, δ



As Armadura traccionadaAs’ Armadura comprimida

h Cantob Ancho

d Canto útilx Prof. de la fibra neutra

r Recubrimiento

x d'r

rr r

cdg

A 's

As

h

b

d


1. Hormigón: curva tensión-deformación

Deformación de plastificación

( )0

0.530

0.002 , 50 MPa

0.002 0.000085 50 , 50 MPac ck

c ck ck

f

f f

ε

ε

= ≤

= + − >4

0.0035 , 50 MPa

1000.0035 0.0144 , 50 MPa100

cu ck

ckc ck

f

f f

ε

ε

= ≤

−⎛ ⎞= + >⎜ ⎟⎝ ⎠

Deformación de rotura a flexión simple


(excepcionalmente, para SD, )

1. Acero: curva tensión-deformación

Deformación de plastificación

max 0.010ε =

Deformación de rotura a flexión simple

(según tipo de acero)

max 0.020ε =


2. Comportamiento bajo carga creciente

En el trabajo de una viga bajo flexión se observa un doble trabajo:– La deformación (δ) de la

viga bajo la carga P creciente: análisis P/ δ

– Las progresivas curvatura (c = 1/r) y deformación (ε) de cada sección bajo el momento creciente M: análisis M/c


2. Comportamiento bajo carga creciente

FASE I: Hormigón no fisurado– Comportamiento lineal

FASE II: Hormigón fisurado– El hormigón se mantiene lineal en

compresión– Comportamiento lineal con menor

rigidezFASE III: Hormigón plastificado– Fase de prerrotura– Acaba cuando el acero, el hormigón

o ambos alcanzan su deformación de rotura

Aumento del momento

en la sección

0

Mfis

MII

Mu

NO FIS.

FIS.

PRE-ROTURA


2. Diagrama P-δ

P

δI II III


2. Diagramas P-δ y M-c

Diagramas P-δ (carga/flecha)– Análisis del comportamiento de una viga bajo una

carga que se incrementa

Diagramas M-c (momento/curvatura)– Análisis del comportamiento de una sección

– M es función de P– δ es función de c

⇒ existe analogía entre las curvas P-δ y M-c

2

2

1 d y Mcr dx EI

= ≈ =δ


2. Análisis tensodeformacional de la sección

1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas permanecen planas

tras la deformación (hipótesis de Navier)

2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS

3. EQUILIBRIO– Las acciones internas deben equilibrar las

acciones externas



1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas

permanecen planas tras la deformación (hipótesis de Navier)

2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO

– Las acciones internas deben equilibrar las acciones externas


2. Análisis tensodeformacionalde la sección

1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas permanecen

planas tras la deformación (hipótesis de Navier)


3. EQUILIBRIO– Las acciones internas deben

equilibrar las acciones externas



1. COMPATIBILIDAD– Las secciones planas

permanecen planas tras la deformación (hipótesis de Navier)


3. EQUILIBRIO– Las acciones internas

deben equilibrar las acciones externas


2. Análisis de la curva M-c

Caracterización del comportamiento de la sección a través de momentos representativos

cI II III

Mu

MII

Mfis

Mfis Momento de fisuración

MII Final fase II (plastificación del hormigón)

Mu Rotura (momento último)


2. Fase I: hormigón no fisurado

Comportamiento elástico-lineal de la sección

– Acaba cuando la fibra inferior alcanza su resistencia a tracción fct: M = Mfis (momento de fisuración)

( )2

21

1 d y Mcr dx EI

= ≈ =δ


2. Fase II: hormigón fisurado

Comportamiento cuasielástico de la sección

– Se desprecia la aportación de rigidez del hormigón fisurado

– Acaba cuando el hormigón plastifica: M = MII

( )2

McEI

=


2. Fase III: hormigón plastificado

Comportamiento no lineal de la sección

– Acaba cuando uno de los materiales rompe: M = Mu

Rotura dúctil Rotura frágil


2. Fase I: Momento de fisuraciónh

b

dx

ε t

εc

α

σt

σc

Sección rectangular:

't

fisI fMv

= −

2

6t

fisbh fM =

c c cEσ ε=


2. Fase I: Rigidezh

b

dx

ε t

εc

α

σt

σc

Sección bruta:

Sección homogeneizada:

c bM E I c=

c c cEσ ε=

c hM E I c=

1M K c=


2. Fase I: Hormigón no fisurado. Tensiones

C=T ; σc = σt

M = 0.5·σc·(b·0.5h)·(2/3 h) =1/6·σc·b·h2

σc = σt = 6·M/(b·h2)

C=0.5σc·(b·0.5h)

T=0.5σs·(b·0.5·h)

2/3 h

b

1/2 h=x

1/2 h

σt

σc

Diagrama tensiones

M

σc = σt = M·y/Igdonde y = 0.5·h

Ig = b·h3/12

ó

Cuando σt = fr , comienza a fisurar la secciónMomento de fisuración, Mfis = ft·Ig/(0.5·h) = (ft·b·h2)/6


h

b

d

Zona comprimida

Zonatraccionada

Deformaciones Tensiones

2. Fase I: Hormigón no fisurado. Deformaciones y curvatura

α

σc

σt

εc

εt

x

Curvatura = c = α ~ tg α = εc/x = (σc/E)/x = σc/(0.5· h· E)σc=0.5· h· E· cM = 1/6· σc· b· h2 = (1/12· b· h3 )· E· c = E· I· c = K1· cK1= rigidez en FASE 1Relación lineal entre Momento y curvaturaPara M = Mfis c = cfis

σc = E · εc

M


2. Fase I: sección homogeneizada

Coeficiente de equivalencia: n = Es/EcSe sustituye el área de acero As por área de hormigón nAs

Ejercicio: calcular área y momento de inercia homogeneizados para sección rectangular de canto h, ancho b, canto útil d y sección de acero As

DESCONTAR LOS HUECOS

QUE EL ACERO DEJA EN EL HORMIGÓNAs

As E s nAs E c

nA s


2. Fase II: Hormigón comprimido (rango elástico), hormigón traccionado fisurado

εs

fy

Zona comprimida

Zona tracciónfisurada

deformaciones

fc

Diagrama simplificado del hormigón a compresión (bilineal)

εc

Diagrama del acero

Es

0.0035

tensionesM > Mfis

εc < 0.002; σc < fc

εs < εy ; σs < fyεc < 0.002

h

b

d

Fs = σs· Asεs = σs/ Es < εy

M

0.002

εy


2. Fase II: análisis de la sección fisurada

σt

σ < fc

s s y

c

C

T

x/3

zh

b

dx

ε = σ /E < εs

ε < 0.002c

c s

x d xε ε

=−

12 c

s s

C b x

T A

σ

σ

=

=SE DESPRECIA LA APORTACIÓN

DEL HORMIGÓN FISURADO


2. Fase II: análisis tensional

12 c

s s

C b x

T A

σ

σ

=

=

12 3c

xM C z b x dσ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

c s

x d xε ε

=−

; ; /c c c s s s s cE E n E Eσ ε σ ε= = =

( )c s cs

n n d xx d x xσ σ σσ −

= ⇒ =−

2

( ) 12

( )2

cs c

s

n d xA b xx

b xA d xn

σ σ⋅ ⋅ −⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅⇒ ⋅ − =

1 2 1s

s

n A b dxb n A

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

sc

Ab d

ρ = ⇒

3s sxM T z A dσ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Resultantes de fuerzas:

Momento en torno a armadura:

Mom. en torno a cdg de compresiones:

Compatibilidad de deformaciones:

Ecuaciones constitutivas:21 1c

c

x nd n

ρρ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= c


2. Fase II: análisis tensional

La profundidad x no depende del momento

Si el acero y el hormigón comprimido se comportan linealmente, la posición de x no cambia

La altura de fisura no varía durante la Fase II

21 1cc

x nd n

ρρ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠


2. Fase II: rigidez respecto del acero

1 1s s

s s s

Tcd x d x E d x A E

ε σ= = =

− − − ⋅

13

3s s

x MM T z T d cxd x A E d

⎛ ⎞= = − ⇒ =⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3s sxM d x A E d c⎛ ⎞= − − ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )2 3s sxK E A d x d⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Relación entre tensión del acero y curvatura:

Sustituyendo T = M/z,

Relación entre momento y curvatura:

RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIÓN


2. Fase II: rigidez respecto del hormigón

1 1 2c c

c c

Ccx x E x b x E

ε σ= = =

1 2 1 2

3

c

cc

C Mcxx x b x E x b x d E

ε= = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 3 cb xM x d E c⎛ ⎞= − ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

2 2 3cb x xK E d⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Relación entre compresión del hormigón y curvatura:

Sustituyendo M = C/z,

Relación entre momento y curvatura:

RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIÓN


La Fase II finaliza cuando uno de los materiales plastifica:– Hormigón:

– Acero:

2. Fase II: momento MII

,2, ,2 3 2 3

c plasc c plas II c c plas c

b x b xM x d E E x dx

εε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

2

2 3 2 3y

s y II c y cb x b x xM x d E E d

d x d xε

ε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

,min ; 2 3 2 ( ) 3II c plas c y cb x b x xM E x d E d

d xε ε

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭


h

b

d

Tensionescompresiónfcfy

Es 0.0035

2. Fase III: Hormigón comprimido en rango no elástico: Prerrotura

εc < 0.0035deformaciones tensiones

εs < 0.01

M >> Mfis

εc < 0.0035; σc = fc

εs > εy ; σs = fy

Fs = σs· As

εc

Diagrama real del hormigón a compresiónDiagrama del acero

Zona tracciónfisurada

Zona comprimida

εs

M


2. Fase III: prerroturah

b

dx

ε < 0.010s

ε < 0.0035c

σt

σ = fc c

C

T

z


Si está plastificado el acero, éste no puede aportar más carga (T = As fy)El momento sólo se puede incrementar aumentando el brazo de palanca zPara conseguir el equilibrio de fuerzas debe crecer la curvatura para que el hormigón trabaje más (reduciendo la profundidad)Se produce un leve incremento de carga y la curvatura crecerá en función de la situación deformacional de los dos materiales

2. Fase III: acero plastificado


Si ha plastificado el hormigón, el agotamiento está cercano: sólo queda el 1.5‰ de deformaciónEs posible alcanzar la rotura con un leve aumento de la carga sin que ni siquiera el acero haya plastificado ⇒

⇒ situación de rotura frágilEsta condición corresponde a un menor aprovechamiento de materiales, motivado por condicionantes geométricos

2. Fase III: hormigón plastificado


2. Fase III: resumen


Fase I: se tiene en cuenta en la inercia homogeneizada

Fase II: los equilibrios de fuerzas y momentos son ahora

2. Influencia de la armadura comprimida

12 c s s

s s

C b x A

T A

σ σ

σ

′ ′= +

=

( )12 3c s s

xM b x d A d dσ σ⎛ ⎞ ′ ′ ′= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠



' 'c s s c s snx d x x d x d x x d

ε ε ε σ σ σ= = ⇒ = =

′ ′− − − −

s

ε < 0.002c σ < fc

s s y

c

C

T

x/3

z

ε 's

d'

A ' σ 's s

h

b

dx

ε = σ /E < ε


Profundidad de la fibra neutra:

Rigidez fisurada:


( ) ( )( )2

' ' '1 2 1

's s s s

s s

n A A b d A d Ax

b n A A

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

22 '( ') ( ')

2 3c s sb xK E x d E A x d d d⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )( )2

' '/' 1 2 1

's s

s ss s

d dx nd n

ρ ρρ ρ

ρ ρ

⎛ ⎞+⎜ ⎟= + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

sc

sc

Abd

Abd

ρ

ρ

=

′′ =


Incremento de ductilidad de la sección para armados a tracción supercríticos

Mejora el funcionamiento de secciones de hormigón armado con cantos reducidos (cuantías de armadura elevadas)

Caso límite: armadura simétrica, habitual en elementos que pueden sufrir momentos de signos opuestos



Ejemplo: M/c en fases 1 y 2

DatosEJEMPLO SECCIÓN canto h 500 mm ancho b 300 mm As2 1472.621556 mm^2 redondos 3 redondos diámetro 25 mm rec (cdg) 50 mm As1 2945.243113 mm^2 redondos 6 redondos diámetro 25 mm rec (cdg) 50 mm

b = ancho

d = canto útil

x = profundidad hasta F.N.

As1 = As = área de armadura traccionada

recubrimiento

As2 = A’s = área de armadura comprimida

h = canto

canto util d 450 = h - d



DatosMATERIALES

n 6.71616852 = Es/Ec

HORMIGÓN fc 35 MPa fct 2.246973709 MPa = fct,k=0,21 (fck)2/3 Ec 29778.88351 MPa = Ej = 8.500 (fcm,j)1/3

ec1 0.002 ecu 0.0035

diagrama lineal lineal 1

parabólico 0

ACERO

fy 500 MPa Es 200000 MPa ey 0.0025 = fy/Es

esu 0.01

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def h. comp

tens

hor

m

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def a. tracc

tens

ace

ro



Fase 1: Sección bruta

Inercia 3125000000 mm^4 0.003125 m^4 bh3/12 rigidez EcI (K1) 9.3059E+13 N mm^2

Mfis 28087171.36 N mm 28.0871714 kN m = ft·Ib/(0.5·h) = (ft·b·h2)/6 c1fis 3.01821E-07 mm-1 0.30182108 km-1 = Mfis/K1

ec1fis 7.54553E-05 = c1fis ▪ h/2 es1fis 6.03642E-05 = c1fis ▪ (d-h/2)



Fase 1:Sección homogeneizadacdg hom (desde fibra inferior) 240.3936132 mm

x 259.6063868 mm I hom 3364052900 mm^4 0.00336405 m^4 Ih

rigidez Ec Ih (K1) 1.00178E+14 N mm^2 Mfis 31444006.87 N mm 31.4440069 kN m = ft·Ih/x c1fis 3.13882E-07 mm-1 0.31388218 km-1

ec1fis 8.14858E-05 = c1fis ▪ x es1fis 5.97612E-05 = c1fis ▪ (d-x)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35curv (km-1)

M (k

N m

)

600

500

400

300

200

100

0

100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5



Fase 2: Sin intervención de As2

x2 186.4325135 mm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅

⋅+⋅⋅

= 1Andb

21bAn

xs

s

rigidez K2 6.02162E+13 N mm^2 ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅⋅−=3x

dEAxdK ss2

M2 según horm. 645983824 N mm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅⋅⋅ε3x

dx2b

Ecplas,c

M2 según acero 571164854.3 N mm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅−

⋅⋅⋅ε3x

d)xd(

x2b

E2

cy

M2 (min ant.) 571164854.3 N mm 571.164854 kN m Plastifica el acero c2 9.48524E-06 mm-1 9.48523672 km-1 = M2 / K2

c2 fis 5.22185E-07 mm-1 0.52218523 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.001768357 = c2 ▪ x2 es2 0.0025 = c2 ▪ (d - x2)



Fase 2: Con intervención de As2

x2 170.2077363 mm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅⋅+⋅⋅

⋅+⋅+⋅

= 1)AA(n

)A'dAd(b21b

)AA(nx 2s

,s

'ss

'ss

rigidez K2 6.50528E+13 N mm^2 )'dd(AE)'dx(3x

dx2b

EK 'ss

2c2 −⋅⋅⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅⋅=

M2 según horm. 764393267.2 N mm = k2 ·0,002 / x2 M2 según acero 581260030.1 N mm = K2 ·εy / (d – x2)

M2 (min ant.) 581260030.1 N mm 581.26003 kN m Plastifica el acero c2 8.9352E-06 mm-1 8.93520059 km-1 = M2 / K2

c2 fis 4.83361E-07 mm-1 0.48336114 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.00152084 = c2 ·x2 es2 0.0025 = c2 ·(d – x2)



Fase 2: Gráficos

600

500

400

300

200

100

0

100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10curv (km-1)

M (k

N m

)05

10152025303540

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def h. comp

tens

hor

m

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

def a. tracc

tens

ace

ro


Ejemplo: M/c en fase 3 (caso similar)

-550

-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

-8 -6 -4 -2 0 2 4

450

460

470

480

490

500

510

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00c

M

6t0c

6t2c

6t4c

6t6c


Influencia de diversos factores

2φ29

254 mm

508 mm 457 mm

28 MPa414 MPa

27

54

81

108

136

163

190

217

244

Mom

ento

kN

m

19.7 39.4 59.1 78.7

Curvatura 1/km


Influencia del axil

Fase II⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅==

⋅⋅=⋅⋅=

ANf

xIMM

AENcIEM

ctfisI

c

c

ε

ε

NM

M N ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅=−⋅+

⋅−⋅⋅⋅=

321

21

xdxbydNM

AxbN

cG

ssc

σ

σσ

Fase I

x y KII ya no son ctes

Fase III– N tiende a agotar el hormigón comprimido antes Fragilización– Se pueden alcanzar valores de M mayores si hay poco acero


Influencia del axil

EJEMPLO1 Momento - Curvatura

1/r [km-1]181614121086420

Mk

[kN

·m]

450400350300250

200150100

500


1/r [km-1]2826242220181614121086420

Mk

[kN

·m]

500450400350300250200150100

500

As1=6φ25 ; As2=0φ25

As1=6φ25 ; As2=4φ25


Nk= 0.0 Nk= 768.7 Nk= 1537.4 Nk= 2306.1Nk= 3074.9

1/r [km-1]2826242220181614121086420

Mk

[kN

·m]

650

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0


Nk= 0.0 Nk= 671.6 Nk= 1343.1 Nk= 2014.7Nk= 2686.2

1/r [km-1]181614121086420

Mk

[kN

·m]

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

As1=6φ25 ; As2=0φ25

As1=6φ25 ; As2=4φ25

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