1. Algunas Ideas Generales sobre Métodos Numéricos · integración de una función por el método...

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Introducción 1 - 1

1. Algunas Ideas Generales sobre Métodos Numéricos

1.1 Introducción

En ciencia y tecnología son comunes los problemas para los que no es posible hallar una

solución analítica. Es frecuente entonces reducir el problema a un caso particular, o

simplificar el modelo de modo que pueda ser analizado. Hay, sin embargo, situaciones

en que un modelo simplificado no es apropiado para describir los aspectos que son

importantes en el comportamiento. Se recurre entonces a soluciones numéricas. La

magnitud del trabajo es función de la precisión que se requiere. En los últimos 50 años,

gracias a las computadoras digitales, las posibilidades para utilizar eficientemente los

métodos numéricos han aumentado enormemente; y los puntos de vista con relación a

ellos han ciertamente cambiado.

En la mayor parte de los métodos numéricos se aplican ideas relativamente simples.

Una idea frecuente es la de iteración, es decir, la repetición de un proceso en forma tal

que se obtienen cada vez mejores aproximaciones a la solución. Para ilustrar el uso de

iteraciones considérese la solución de cx =3 . En este caso x es la raíz cúbica de c .

Esta ecuación puede reescribirse como:

+=2

23

1

x

cxx

Empezando con la aproximación inicial 00 ≠≈ xx , se puede iterar con:

+=+ 21 2

3

1

n

nnx

cxx

Esta es una aplicación del conocido método de Newton para hallar raíces de una

ecuación no lineal. Por ejemplo, para el caso 2=c (es decir 23 =x ) y con 10 =x se

obtienen:

333.1)1(

212

3

121 =

+⋅=x

889263.1)333.1(

2333.12

3

122 =

+⋅=x

y así sucesivamente:

4504939331.2593 =x

1805009211.2594 =x

8950499211.2595 =x

Una interpretación geométrica de la

iteración se muestra en la figura.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x

y

Puede en este caso probarse que el proceso converge siempre, para cualquier selección

de x0. Si xn tiene t dígitos correctos, xn+1 tendrá por lo menos 2t –1 dígitos correctos.

Sin embargo, no todos los procesos iterativos funcionan. Por ejemplo, podría escribirse 2

1 2 nn xx =+ , lo que produce resultados alternados y obviamente no converge.

xy =

)/22( 231 xxy +=


Otra idea frecuente es la de aproximar localmente una función complicada por una

función lineal (o quizás parabólica u otra relativamente simple). Esto es lo que se hace

al interpolar entre dos líneas de una tabla, o en procesos tales como el método de

Newton – Raphson para mejorar la aproximación a una raíz de una función 0)( =xf , la

integración de una función por el método de los trapecios, la solución de una ecuación

diferencial ),( yxfy =′ por el método de Euler, por citar sólo algunos de los métodos más

conocidos.

En muchos casos se obtiene un conjunto de resultados en una sucesión de etapas, para

cada una de las cuales se consideran como datos los resultados de la etapa anterior.

Tales procesos se denominan de recursión. Son muy poderosos, pero deben ser

utilizados con propiedad. La “Regla de Horner” para evaluar un polinomio tal como

nnnn axaxaxaxp ++++= −

−1

110)( K proporciona un ejemplo simple de recursión. El

polinomio p(x) puede evaluarse realizando las operaciones:

00 =p

001 axpp +=

M

112 axpp +=

)(1 xpaxpp nnn =+= −

La acumulación de errores en un proceso de este tipo puede ser importante.

El ejemplo siguiente ilustra también el uso de una recursión y el fenómeno conocido

como “inestabilidad numérica”. Supóngase que se requiere calcular, para n = 0, 1, 2, ...

∫ +=

1

0 5dx

x

xy

n

n

Puede observarse que los valores de yn decrecen con n. Además:

ndxxdx

x

xxdx

x

xdx

x

xyy n

nnn

nn

1

5

)5(

5

5

55

1

0

11

0

11

0

11

01 ==

++=

++

+=+ ∫∫∫∫

−−−

−

y por lo tanto: yn = 1/n – 5yn-1. Esta expresión podría permitir determinar los sucesivos

yn a partir de un valor inicial, como y0. Sabiendo que:

( )[ ] 182.05

65

510

1

00 ≈

=+=+

= ∫ LnxLndxx

xy

n

Se obtienen (en todos los cálculos de este ejemplo se han considerado sólo tres cifras

significativas):

18200 .y ≈

090051 01 .yy ≈−=

050.05 121

2 ≈−= yy

083.05 231

3 ≈−= yy ¡Sorprendente que se obtenga y3 > y2 !

165.05 341

4 −≈−= yy ¡Absurdo!

L03.15 451

5 ≈−= yy

Los malos resultados se deben a que las aproximaciones y el uso de un número finito de

dígitos introducen errores, que se “propagan” a etapas posteriores del cálculo. La forma


en que estos errores se propagan (o disipan) es decisiva en la utilidad de un método

numérico dado.

En el proceso utilizado, un pequeño error ε en yo se multiplica por –5 en el cálculo de

y1. Sin tener en consideración los errores introducidos en los redondeos de este paso, se

produce un error de 25 ε en y2. El resultado del paso k está afectado por el error inicial

multiplicado por (-5)k. A esto deben agregarse los efectos de los errores introducidos en

todos los pasos intermedios. Si se hubieran utilizado más cifras decimales en los

cálculos, los resultados absurdos habrían también aparecido, aunque un tanto más

adelante en el proceso. La inestabilidad numérica puede evitarse seleccionando un

algoritmo más adecuado. Así, utilizando la fórmula “en la otra dirección”:

−= nyn

y1

5

1 1-n

el error queda dividido por 5 en cada paso. Sabiendo que yn decrece cuando n crece,

pueden iniciarse los cálculos con algo tan pobre como 010 =y , obteniéndose:

( ) 020.00101

51

9 =−=y

( ) 019.0991

51

8 ≈−= yy

( ) 021.0881

51

7 ≈−= yy

( ) 025.0771

51

6 ≈−= yy

y así sucesivamente:

y5 ≈ 0.028

y4 ≈ 0.034

y3 ≈ 0.043

y2 ≈ 0.058

y1 ≈ 0.088

y0 ≈ 0.182 ¡Correcto! (a pesar de la errada información inicial)

Sin embargo, no debe creerse que el utilizar fórmulas “al revés” es el remedio para todos

los problemas numéricos. Cualquier proceso que se plantee no será siempre aplicable,

ni en todos los casos el más efectivo.

1.2 Fuentes de Error

Los resultados numéricos están afectados por errores provenientes de diversas fuentes.

En primer lugar deben citarse errores en los datos, puesto que ellos son en general

resultado de mediciones o estimaciones imperfectas. Es de esperar que los errores

relativos en los resultados sean del mismo orden de magnitud (o menores) que aquellos

de los datos. Sin embargo, éste no siempre es el caso: se dice entonces que el

problema es “mal condicionado”, es decir, la solución es muy sensible a pequeños

errores en los datos. Dificultades de este tipo pueden también no ser debidas a la

formulación del problema, sino a un mal condicionamiento del método numérico utilizado.

Un segundo grupo de errores es debido a simplificaciones en el modelo matemático del

problema y a la truncación de expresiones (series por ejemplo), cuyo objetivo es evitar

que la formulación se complique más allá de lo que razonablemente puede manejarse.

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5

n

Y

n creciente

n decreciente


Más importantes desde el punto de vista de los métodos numéricos son los errores de

truncación y redondeo. Éstos son función del procedimiento empleado y de las

características de operación de la computadora. La mayor parte de las computadoras

trabajan internamente con sistemas de numeración binarios, octales o hexadecimales y

tienen dos “tipos” de aritmética: de punto fijo (o “enteros”) y de punto flotante (o “reales”).

La aritmética de punto fijo es exacta, pero está limitada a números enteros y a un rango

pequeño. En consecuencia, la mayor parte de las operaciones se efectúan con la

aritmética de punto flotante. En la aritmética de punto flotante la representación interna

de un número es de la forma: qma 10⋅= , donde mes la mantisa y q el exponente.

Sólo se almacenan t cifras (en base b ) de la mantisa, y por lo tanto cualquier número

puede ser representado con un error relativo que no excede 121 −tb (habitualmente entre

10-6 y 10-15). Para q se usa un número finito de posiciones de memoria y en

consecuencia existe un “rango” aceptable (en general muy grande) para los números con

punto flotante.

Las operaciones aritméticas en punto flotante tienen propiedades algo diferentes de

aquellas correspondientes en la aritmética “exacta”. Así por ejemplo, la suma (o resta)

no es estrictamente asociativa.

0101234567.0 ⋅=a 410123567.0 ⋅=b

bc −=

El esquema siguiente indica como se efectúa la suma en “punto flotante”: 4101234567.0 ⋅→b 4100000123.0 ⋅→a (las cuatro cifras finales se recortan)

4101234690.0 ⋅→+ ba 4101234567.0 ⋅−→c

( ) 1230000.0100000123.0 4 =⋅→++ cba

mientras que 0101234567.0)( ⋅=++ acb . El orden de las operaciones sí afecta los

resultados.

Esto es válido también para operaciones de otro tipo. Por ejemplo, las raíces de

022 =++ cbxx podrían obtenerse de: cbbx −±−= 2 . Sin embargo el proceso

alternativo (y teóricamente equivalente):

cbbsignobx −−−= 21 )(

12 x

cx =

tiene mucho menos acumulación de error, especialmente cuando c es pequeño, porque

evita la resta de dos números del mismo orden de magnitud. Considérese, por ejemplo,

la ecuación: 01642 =+− xx . Trabajando con 5 cifras significativas:

321

1 10984.63984.3132102332 −⋅±=+≈+=x

321

2 10016.0984.3132102332 −⋅±=−≈−=x


El error relativo en 2x es muy grande. La resta se ha hecho en forma exacta; la causa

del error está más bien en el redondeo previo de la raíz cuadrada. Si en cambio se toma

12 1 xx = se obtiene:

0000005.0015629.010

2

1984.63

1

32 ±=

⋅±=

−x

con un error relativo del mismo orden que el de 1x .

Finalmente, deben mencionarse errores humanos y errores de la computadora. Estos

últimos son prácticamente inexistentes, los primeros son en cambio la causa de muchos

resultados inesperados.

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Álgebra Lineal 2 - 1

2. ÁLGEBRA LINEAL

2.1 Definiciones

Una matriz ΑΑΑΑ = (aij), de orden n x m, es un conjunto de números dispuestos en n filas y m

columnas.

=

nmnnn

m

m

m

a....aaa

.....

a....aaa

a....aaa

a....aaa

321

3333231

2232221

1131211

A

Un elemento, aij, se identifica por dos sub – índices, el primero de los cuales denota la

fila y el segundo la columna. Si m = 1 se tiene una matriz columna o "vector" de

dimensión n:

=

3

2

1

b

b

b

Mb

Si en cambio n = 1, se tiene una matriz fila: [ ]mccc K21=c . Si n = m se dice que

la matriz es cuadrada (de orden n). Por ejemplo:

=

25681161

642781

16941

4321

A

=

4

3

2

1

000

000

000

000

d

d

d

d

D

=

1000

0100

0010

0001

nI

A, D e In son matrices cuadradas. La matriz [ ]nddddiag K21=D es una matriz diagonal, cuyos elementos son todos cero, excepto aquellos ubicados en la diagonal

principal (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha). Un caso particular es el

de [ ] ( )ijdiag δ== 111 KnI , que es una matriz unidad (o identidad) de orden n. La

matriz identidad tiene en el álgebra matricial un papel similar al uno en álgebra común.

Por otro lado, el equivalente del cero es una matriz nula (no necesariamente cuadrada),

cuyos elementos son todos ceros.

Las matrices cuadradas cuyos elementos tienen simetría conjugada: ∗= jiij aa (donde *

indica conjugada compleja) se denominan Hermitianas. Por ejemplo:

+−−+++−−

−+

=

43210

323123

1152

02321

ii

iii

iii

ii

H 1−=i

es una matriz Hermitiana. Si todos los elementos de una matriz Hermitiana son reales,

es decir jiij aa = , se tiene una matriz simétrica.


Una matriz cuadrada en la que la mayor parte de los elementos son ceros y los

elementos con valor significativo están agrupados alrededor de la diagonal principal se

denomina matriz banda. Por ejemplo:

−−−

−−−−

−

=

11

121

121

121

11

B

Las líneas paralelas a la diagonal principal se llaman codiagonales. El número total de

diagonal y codiagonales con elementos significativos en el ancho de banda (3 en este

ejemplo). Para matrices simétricas puede también hablarse de un ancho de semi – banda; que incluye a la diagonal principal (2 en el ejemplo precedente). Una matriz

banda tiene baja densidad. Por densidad se entiende la razón entre el número de

elementos con valor significativo y el número total de elementos.

Si en una matriz cuadrada todos los elementos por encima (o por debajo) de la diagonal

principal son cero se dice que ésta es una matriz triangular inferior (superior):

=

nmnnn lLlll

K

Llll

Lll

Ll

321

333231

2221

11

0

00

000

L

=

nm

n

n

n

u

uu

uuu

uuuu

L

K

L

L

L

000

00

0

333

22322

1131211

U

En lo que sigue se usan letras negritas para denotar matrices. Para las matrices

columna y para las matrices filas se usan minúsculas, mientras que para las matrices

rectangulares (incluyendo las matrices cuadradas) se usan mayúsculas. En todos los

casos, los elementos de una matriz se indican en minúsculas.

2.2 Operaciones Básicas con Matrices

Subdivisión o partición . El conjunto de elementos de una matriz A puede ser dividido

en otros más pequeños mediante líneas horizontales y/o verticales. Las distintas partes,

A11, A12, etc. son submatrices de la matriz A. Las submatrices pueden tratarse como

elementos comunes de una matriz, excepto que deben operarse según las reglas del

álgebra matricial.

Igualdad . Dos matrices, A, B, del mismo orden, son iguales si cada elemento de una es

igual al correspondiente elemento de la otra. A = B implica ijij ba = para todo i, j.

Suma (resta). La suma (o diferencia) de dos matrices A, B del mismo orden es una

tercera matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumando (restando)

algebraicamente los correspondientes elementos de las dos matrices originales:

CBA =± ijijij cba =±

La suma (resta) de matrices es asociativa y conmutativa:

( ) ( )CBACBA ++=++ ABBA +=+


Derivada e integral . Análogamente, puede definirse la derivada de una matriz:

ijij

ba

=∂∂

⇒=∂∂

ααB

A

y la integral de una matriz en forma similar.

Multiplicación por un escalar . El producto de una matriz por un escalar es otra matriz

del mismo orden cuyos elementos son los de la matriz original multiplicados por el

escalar:

ijij ba =⇒= αα BA

Multiplicación de dos matrices . Dos matrices, A (m x p) y B (p x n) pueden ser

multiplicadas en el orden A B sólo si son conformables para el producto, es decir, si el

número de columnas de A es igual al número de filas de B. El producto C (m x n) es

una matriz cuyos elementos se obtienen de:

njmibacp

kkjikij ,1,1

1

==⋅=∑=

Por ejemplo, si:

=4310

264

135

A

=23

42

51

B

BAC ⋅=

702443510

22322614

14312315

32

21

11

=⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅=

c

c

c

K

=⇒

7028

4822

3914

C

La multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, pero en general no es

conmutativa:

CBACBA )()( ⋅=⋅ ACABCBA +=+ )( BAAB ≠

Siendo el orden de multiplicación importante, es frecuente enfatizarlo, diciendo por

ejemplo que en el producto AB la matriz A premultiplica a B, o bien que B postmultiplica

a A. En algunos casos BAAB = ; se dice entonces que A y B son conmutables.

Es fácil verificar que el producto de dos matrices triangulares inferiores (superiores) es

otra matriz triangular inferior (superior).

Transposición . La transpuesta AT de una matriz A es aquella cuyas filas son las

columnas de A (y viceversa). Si )( ijT b== BA , entonces jiij ab = :

=63

52

41

A

=

654

321TA

La transpuesta de una matriz simétrica es obviamente la matriz original. Productos del

tipo AAT resultan siempre en matrices simétricas. Lo mismo puede decirse de

productos SAAT si S es simétrica.

Cuando se transpone un producto matricial la secuencia de los factores debe invertirse:


( ) TTTT ABCCAB KK =

Determinante de una matriz cuadrada . Es un número que resulta de:

∑±==!

321detn

nrkji aaaa KAA

Donde cada término de la suma incluye un solo elemento de cada fila y de cada

columna. Si en estos productos se considera a los elementos ordenados por filas 1, 2, ..

n, los índices de las columnas en cada término de la suma pueden ser obtenidos como

permutación del orden normal. Según el número de cambios requeridos para esta

permutación sea par o impar se asigna al producto correspondiente el signo + o -. La

suma incluye las n! permutaciones posibles.

Las siguientes propiedades facilitan el cómputo de la determinante de una matriz

cuadrada A cualquiera:

• Si se intercambian dos filas (columnas) la determinante cambia de signo.

• La determinante de una matriz, A , es igual a la determinante de su transpuesta.

• El valor de la determinante de una matriz A no se altera si una columna (fila)

multiplicada por un escalar se suma algebraicamente a otra columna (fila):

bcada

bcd

ba

dc

ba−=

−=

0detdet

• En consecuencia, la determinante de una matriz con dos filas (o columnas) iguales (o

proporcionales) es cero. Más aún,si dos o más columnas (filas) de una matriz A son

linealmente dependientes, es decir α1a1+ α2a2+ α3a3+...+ αn-1an-1+ αnan = 0 para un

conjunto de coeficientes αi de los que por lo menos uno es distinto de cero, la

determinante es cero. Se dice entonces que la matriz A es singular. Considérese por

ejemplo el caso:

=110

121

011

A

A es singular puesto que: ( ) ( ) ( )

=

+

−+

0

0

0

1

1

0

1

1

2

1

1

0

1

1

1

• La determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su

diagonal principal.

• Para un producto matricial se cumple que:

( ) )det()det()det(det CBACBA KK ⋅=⋅

Así, por ejemplo, si:

=

=

24000

24600

12620

4321

1671

0131

0011

0001

25681161

642781

16941

4321

A

entonces: ( ) ( ) 288246211)det( =⋅⋅⋅⋅=A


Inversa de una matriz . Si una matriz A es no singular, es posible obtener su “inversa”,

A-1, que satisface:

nIAAAA == −− 11 ( ) AA =−− 11

Obviamente nn II =−1 . La inversa de una matriz diagonal es otra matriz diagonal, cuyos

elementos son inversas de los elementos de la matriz original. La inversa de una matriz

triangular (inferior o superior) es otra matriz triangular del mismo tipo.

La inversión de matrices permite efectuar la operación equivalente a la división del

álgebra común.

CABCAB 1−=⇒= (véanse los comentarios del ítem 2.5.5)

Para la inversa de un producto matricial se cumple:

( ) 1111 −−−− = ABCCAB KK

Una matriz Q se denomina ortogonal si: nT IQQ = . Particularmente, si Q es una matriz

cuadrada se tiene entonces que TQQ =−1 . Por ejemplo:

−=

θθθθ

cossen

sencosR

es ortogonal, puesto que:

TRR =

−=−

θθθθ

cossen

sencos1

.

Refiriéndose a una matriz con coeficientes complejos, U, se dice que ésta es unitaria si

IUU =*

2.3 Espacios y Subespacios Vectoriales

Una matriz columna de orden n es un conjunto números que pueden ser interpretados

como componentes de un vector en un espacio de dimensión n.

Se dice que un conjunto de vectores v1 v2 v3 .... v5 son linealmente dependientes si

existen números α1 α2 α3 .... α5, no todos cero, tales que:

055332211 =++++ vvvv αααα K

Alternativamente, puede decirse que los vectores son linealmente dependientes si uno

cualquiera de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros:

∑≠

=ri

iir c vv (y linealmente independientes si esto no es posible).

p vectores linealmente independientes de orden n ( pn ≥ ) conforman una base de un

espacio vectorial de dimensión p. Por otro lado, q vectores, de los que p ( qp ≤ ) son

linealmente independientes, están contenidos en un espacio de dimensión p.

Si los vectores linealmente independientes x1 x2 .... xp constituyen una base de un

espacio vectorial de dimensión p, un sub – conjunto de estos puede considerarse como

base de un sub – espacio contenido en el espacio vectorial original.


Las columnas (o filas) de una matriz rectangular A pueden tratarse como vectores. El

número de vectores linealmente independientes define el “rango” de la matriz. Una

matriz cuadrada es no singular si su rango es igual al orden de la matriz, es decir si

todas las columnas son linealmente independientes. Lo contrario implica que una o más

columnas (filas) pueden obtenerse como combinación lineal de las otras y la

determinante es cero.

2.4 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Se ha estimado que un 75% de los problemas de ingeniería se presenta, en alguna

etapa del trabajo, la solución de un sistema de ecuaciones lineales:

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

=++++⋅⋅⋅

=++++=++++

=++++

K

K

K

K

332211

33333232131

22323222121

11313212111

(2.1a)

o bien: bAx =

=

nnnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

MM

K

L

K

K

K

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

(2.1b)

En las secciones siguientes se supone que el sistema de ecuaciones tiene solución

única, es decir, que 0)det( ≠A .

La solución de sistemas de ecuaciones es un buen ejemplo de las diferencias entre las

matemáticas “clásicas” y los métodos numéricos modernos. Así, la Regla de Cramer:

=

nnnjnn

nj

nj

nj

nnnnn

n

n

n

j

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

abaa

abaa

abaa

abaa

x

KK

L

KK

KK

KK

KK

L

KK

KK

KK

21

333231

222221

111211

21

333231

222221

111211

det

det

(2.2)

si bien proporciona fórmulas explícitas es tremendamente ineficiente cuando se trata de

resolver sistemas con más de 3 incógnitas (excepto para casos muy especiales de la

matriz de coeficientes).

Muchos métodos frecuentemente utilizados en ingeniería, como por ejemplo los métodos

de elementos finitos para la solución de ecuaciones en derivadas parciales, resultan en


el planteamiento de grandes sistemas de ecuaciones lineales. El costo de análisis y en

muchos casos la factibilidad de un modelo suficientemente preciso dependen en gran

medida de la forma de almacenamiento de las ecuaciones y de la eficiencia del algoritmo

utilizado en su solución.

2.5 Métodos Directos para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Este acápite considera métodos que, de no haber errores de redondeo, producen la

solución exacta en un número finito de pasos. Para sistemas Ax = b, en los que A es de

alta densidad, los métodos directos son en general los más eficientes (para las

computadoras actualmente utilizadas). Sin embargo, cuando un gran número de

elementos de A son cero, y en especial cuando A es definida positiva ( 0>AxxT para

cualquier 0≠x ), puede ser más conveniente utilizar un método iterativo en que se

obtiene una secuencia de soluciones aproximadas que convergen a la solución exacta.

2.5.1. Sistemas Triangulares

La solución de sistemas de ecuaciones lineales es particularmente simple cuando la

matriz de coeficientes es triangular. Por ejemplo, considérese un sistema Ux = b en el

que U es triangular superior:

nnnn

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxu

bxuxu

bxuxu

bxuxuxu

bxuxuxuxu

==+

=++=+++=++++

−−− 11,1

33333

22323222

11313212111

KK

K

K

K

(2.3)

Si U es no singular ( 0≠iiu para todo i), las incógnitas pueden evaluarse en el orden: n,

n-1, n-2, n-3, ... 2, 1:

nn

nn u

bx = (2.4a)

−= ∑

+=

n

ik

kikiii

i xubu

x1

1 (2.4b)

Este proceso se denomina “sustitución inversa”. Análogamente, para un sistema Lx = b,

en el que L es una matriz triangular inferior no singular ( 0≠iil para todo i), puede

utilizarse una sustitución directa o “reducción”:

11

11 l

bx = (2.5a)

−= ∑

−

=

1

1

1 i

k

kikiii

i xlbl

x (2.5b)

En ambos casos, la solución del sistema requiere n divisiones y ( )121 −nn operaciones

de multiplicación y suma (casi lo mismo que para multiplicar una matriz triangular por un

vector).


2.5.2 Método de Gauss

Éste es el más importante de los métodos directos para la solución de sistemas de

ecuaciones lineales. La idea básica está en combinar las distintas ecuaciones para ir

eliminando incógnitas en forma sistemática y obtener finalmente un sistema triangular,

fácil de resolver. Considérese el sistema de orden n:

)1()1(3

)1(32

)1(21

)1(1

)1(3

)1(33

)1(332

)1(321

)1(31

)1(2

)1(23

)1(232

)1(221

)1(21

)1(1

)1(13

)1(132

)1(121

)1(11

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

=++++

=++++

=++++

=++++

K

KK

K

K

K

(2.6)

o en forma compacta: Ax = b. En lo que sigue se supone que A es no singular.

Supóngase también que 011 ≠a . Puede entonces eliminarse x1 de la ecuación i si de

ésta se resta la ecuación 1 multiplicada por:

)1(11

)1(1

1a

al ii = (2.7a)

Con ello se obtiene:

)2()2(3

)2(32

)2(2

)2(3

)2(33

)2(332

)2(32

)2(2

)2(23

)2(232

)2(22

)1(1

)1(13

)1(132

)1(121

)1(11

nnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

=+++

=+++

=+++

=++++

K

KK

K

K

K

(2.7b)

donde

)1(11

)1()2(

)1(11

)1()2(

blbb

alaa

iii

jiijij

−=

−= (2.7c)

En forma similar, puede eliminarse x2 de las ecuaciones i = 3,4,..n restando de la

ecuación i la ecuación 2 multiplicada por:

)2(22

)2(2

2a

al ii =

y así sucesivamente hasta obtener el sistema triangular:

)()(

)3(3

)3(33

)3(33

)2(2

)2(23

)2(232

)2(22

)1(1

)1(13

)1(132

)1(121

)1(11

nnn

nnn

nn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

=

=++

=+++

=++++

KK

K

K

K

(2.8)

o en notación matricial: Ux = b.

Los elementos )1(1,1

)3(33

)2(22

)1(11 ,, −

−−n

nnaaaa K que se usan como divisores en esta reducción

se llaman “pivotes”. El proceso – tal como ha sido planteado hasta el momento – falla si

alguno de estos es cero. Esto en general no ocurre si la matriz A tiene diagonal


dominante (es decir, si ∑≠

>ij

ijii aa ) o si A es simétrica (AT = A) y definida positiva

(vTAv > 0 para v arbitrario).

El siguiente ejemplo ilustra el proceso:

=

190

44

10

2

25681161

642781

16941

4321

)1(

)1(

)1(

4

3

2

1

x

x

x

x

Los números indicados a la izquierda (entre paréntesis) son los factores l i1 por los que es

necesario multiplicar la ecuación 1 antes de restarla de la ecuación i, para lograr el

objetivo de eliminar x1 de la segunda y las siguientes ecuaciones.

=

188

42

8

2

25278140

602460

12620

4321

)7(

)3(

4

3

2

1

x

x

x

x

Análogamente:

=

132

18

8

2

1683600

24600

12620

4321

)6( 4

3

2

1

x

x

x

x

=

24

18

8

2

24000

24600

12620

4321

4

3

2

1

x

x

x

x

finalmente:

2432

81262

18246

2424

4321

432

43

4

=+++=++

=+=

xxxx

xxx

xx

x

1

1

1

1

1

2

3

4

−==

−==

x

x

x

x

Para estimar el esfuerzo de cómputo es habitual referirse al número de "operaciones"

requeridas. La costumbre es contar como una operación a la combinación de una suma

(o resta, o simplemente una copia) con una multiplicación (o división). Esta práctica

proviene de las épocas en que el tiempo requerido para efectuar una multiplicación o una

división era un orden de magnitud mayor que el necesario para una suma o una resta,

pudiendo despreciarse estas últimas. La reducción de la matriz de coeficientes requiere

de un número de operaciones de orden 33

1 n . La reducción del segundo miembro y la

sustitución inversa requieren aproximadamente n2 operaciones. Si se tuvieran varios

sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes: Ax = b1, Ay = b2, ... sólo

se requeriría efectuar la reducción de A una vez, por lo que el número de operaciones

sería siempre aproximadamente 33

1 n . Más precisamente, se hacen nnn 3223

31 2 ++


operaciones para resolver un sistema de n ecuaciones lineales, pero si n es grande sólo

el primer término es importante.

El proceso antes descrito falla cuando se presenta un pivote, )(iiia , igual a cero. Un

ejemplo simple de tal situación es el siguiente:

=

1

2

1

221

211

111

3

2

1

x

x

x

La matriz de coeficientes no es singular y el sistema tiene una solución única

( )T111 −=x . Sin embargo, después del primer paso (efectuado en el orden indicado

anteriormente), se obtiene:

=

0

1

1

110

100

111

3

2

1

x

x

x

y siendo 0)2(22 =a , no es posible proseguir como habitualmente. La solución es en este

caso obvia: intercambiar las ecuaciones (filas) 2 y 3. En general, si 0)( =iiia , algún otro

elemento de la misma columna, )(ijia , debe ser distinto de cero (lo contrario implicaría

una dependencia lineal de por lo menos dos de las ecuaciones, es decir la singularidad

de A). Intercambiando las filas j e i puede entonces continuarse la reducción. Dados los

elementos )(ijia de la columna i, es conveniente escoger como pivote aquel de máximo

valor absoluto, puesto que el uso de pivotes pequeños introduce fuertes errores en la

solución. El ejemplo siguiente es ilustrativo:

=

× −

9

7

11

1103

2

111

x

x

Trabajando con 10 cifras significativas se obtiene:

( )

×−=

×−× −

102

1

10

11

10333333333.37

7

10333333333.30

110000000000.3

x

x

de donde: 72 =x

01 =x

La solución correcta es, sin embargo, 21 =x . Es fácil comprobar que no se presenta

este problema si se evita el pivote pequeño intercambiando previamente las ecuaciones:

=

× − 7

9

1103

11

2

111 x

x

El intercambio de filas al que se ha hecho referencia se denomina “intercambio parcial”.

Alternativamente, puede pensarse en un “intercambio completo”, en que se selecciona el

siguiente pivote como el elemento de máximo valor absoluto entre todos los elementos

de la sub matriz por reducirse. Se intercambian entonces filas (ecuaciones) y columnas

(incógnitas) para continuar el proceso como se ha descrito.


El intercambio parcial es generalmente satisfactorio, desde el punto de vista de la

estabilidad numérica, y requiere bastante menos trabajo que el proceso con intercambio

total.

2.5.3 Descomposición A = LU

Supóngase que A es tal que el proceso de reducción del método de Gauss puede

efectuarse sin necesidad de intercambiar filas o columnas. En tal caso, la

descomposición A = LU donde L es una matriz triangular inferior con 1=iil y U es una

matriz triangular superior, es única. Esto puede probarse fácilmente por inducción. Para

el caso del primer ejemplo:

=

24000

24600

12620

4321

1671

0131

0011

0001

25681161

642781

16941

4321

Los elementos de L son justamente los coeficientes ijl usados durante la reducción; U

es en cambio ¡la matriz A reducida!

Se ha mencionado anteriormente que varios sistemas de ecuaciones con la misma

matriz de coeficientes pueden ser resueltos simultáneamente. Sin embargo, no siempre

se conocen desde un principio todos los vectores de coeficientes del segundo miembro.

Por ejemplo, puede querer resolverse Ax1 = b y Ax2 = x1. Aún en este caso, al resolver

el segundo sistema no es necesario volver a reducir la matriz A como al inicio. El

sistema Ax = b es equivalente a LUx = b, o bien a los dos sistemas triangulares: Ly = b

, Ux = y. Siendo L y U conocidos, estos dos sistemas pueden resolverse en O(n2)

operaciones. L y U pueden almacenarse en las mismas posiciones de memoria que en

la matriz A: Como )()( iii

ikiki aal = se determina con el objeto de hacer 0)1( =+i

kia ,

kil puede almacenarse en las posición de kia . Por otro lado, no es necesario almacenar

los elementos de la diagonal de L (que son todos iguales a 1). Dado que los elementos

de U son aquellos de la matriz reducida, el efecto de la reducción o descomposición en

la distribución de memoria es de la forma:

⇒

nnnnn

n

n

n

nnnnn

n

n

n

ulll

uull

uuul

uuuu

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

K

L

K

K

K

K

L

K

K

K

321

3333231

2232221

1131211

321

3333231

2232221

1131211

Para el ejemplo precedente:

⇒

24671

24631

12621

4321

25681161

642781

16941

4321

En los casos en los que se efectúan intercambios de filas y/o columnas es siempre

posible (si A no es singular) obtener factores triangulares L y U tales que LU = A’,


donde A’ es la matriz que resulta de efectuar los intercambios mencionados en la matriz

original A.

2.5.4 Otros Métodos Directos

Todos los métodos tratados en esta sección pueden considerarse como variantes del

método de Gauss.

Una posible alternativa es la de calcular los elementos de L y U mediante las fórmulas:

nkkjulauk

pjppkjkjk ⋅⋅⋅+=−= ∑

−

=

,1,1

1

(2.9a)

nkiulau

lk

pkppiki

kkki ⋅⋅⋅+=

−= ∑

−

=

,11 1

1

(2.9b)

en lugar de efectuar “reducciones” como anteriormente. Esta modificación (Doolitle) es

conveniente cuando se usan calculadoras manuales, ya que evita la escritura de muchos

resultados intermedios. Su uso en computadoras es ventajoso si las operaciones se

hacen con una precisión mayor que aquella con la que se almacenan los resultados.

El método de Crout efectúa la factorización A = LDR, donde L es la misma matriz

triangular inferior obtenida durante el proceso de Gauss, D es una matriz diagonal y R es

una matriz triangular superior con coeficientes 1 en su diagonal principal. D y R están

relacionados con la U de Gauss.

ijd

ur

ud

ii

ijij

iiii

>=

= (2.10)

En particular, para A simétrica: R = LT. Este método no posee ventajas ni desventajas

con relación al de Gauss, bien sea en cuanto a estabilidad numérica y precisión, como

en el número de operaciones necesarias.

Si durante el proceso de reducción se usa la ecuación i para eliminar xi, no sólo de las

ecuaciones que siguen a la i sino también de la ecuaciones precedentes, se tiene el

método de Gauss – Jordan. Para el ejemplo antes considerado:

=

190

44

10

2

25681161

642781

16941

4321

4

3

2

1

x

x

x

x

=

188

42

8

2

25278140

602460

12620

4321

4

3

2

1

x

x

x

x


−

=

−−

132

18

8

6

1683600

24600

12620

8301

4

3

2

1

x

x

x

x

Nótese que se utilizó la segunda ecuación para reducir no solamente las ecuaciones 3 y

4, sino también la ecuación 1. Análogamente:

−=

−

24

18

10

3

24000

24600

12020

4001

4

3

2

1

x

x

x

x

−

−

=

24

6

2

1

24000

0600

0020

0001

4

3

2

1

x

x

x

x

de donde se obtiene fácilmente la solución.

El método de Gauss- Jordan es más simple de programar, pero requiere casi 1.5 veces

el número de operaciones del método de Gauss tradicional.

Finalmente, para concluir esta sección, debe mencionarse que el método de Gauss es

aplicable también a sistemas de ecuaciones con coeficientes complejos. Por ejemplo:

−+−

=

−++

−

i

i

i

x

x

x

i

ii

i

211

48

24

310

121

012

3

2

1

−+−

=

−+

−

i

i

i

x

x

x

i

i

i

211

35

24

310

110

012

3

2

1

+−

=

+−

3

35

24

100

110

012

3

2

1

i

i

x

x

x

i

i

de donde:

[ ] 1)1(2)24(

2)1(3)35(

3

21

1

2

3

=−−−==+−+=

=

iix

iix

x

2.5.5 Inversión de Matrices

Si la inversa, A-1, de una matriz A se conoce, la solución de un sistema Ax = b puede

escribirse x = A-1b. Podría entonces parecer conveniente determinar A-1, en especial si

se tienen varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes. Sin

embargo, la solución puede ser obtenida con mucho menos operaciones – y en general

con mucha más precisión – utilizando la descomposición A = LU. La solución de los dos

sistemas triangulares Ly = b y Ux = y requiere sólo O(n2) operaciones (por cada

columna de b ó x). Por otro lado, la multiplicación A-1b también demanda O(n2)


operaciones. Sin embargo, la determinación de A-1 requiere aproximadamente el triple

de trabajo que para obtener L y U. El número de operaciones necesarias para obtener

la inversa de una matriz cuadrada (no simétrica) de orden n es 12 23 +−+ nnn .

No obstante esto, en algunos casos se necesita la inversa en forma explícita. La inversa

puede obtenerse de un modo eficiente resolviendo n sistemas de ecuaciones lineales:

AX = In, donde X = A-1. El siguiente ejemplo utiliza una variante del método de Gauss

con este objeto:

=413

312

111

A

En la columna de la izquierda se tienen la matriz A y sus sucesivas modificaciones. A la

derecha se presentan la matriz I y las modificaciones obtenidas efectuando sobre las

filas las mismas operaciones que en A:

413

312

111

100

010

001

−−

120

110

111

−−

103

012

001

−−

100

110

201

−−

−

121

012

011

100

010

001

1

121

111

231−=

−−−

−A

Alternativamente, si la descomposición A = LU de una matriz A se conoce, la inversa

puede obtenerse de A-1 = U-1L-1, también en O(n2) operaciones. Si en los cómputos

para L y U se hacen intercambios de filas, el producto U-1L-1 resulta la inversa de una

cierta matriz A’. La matriz A-1 puede obtenerse a partir de (A’)-1 intercambiando

columnas en secuencia inversa a los cambios de fila durante el proceso.

Para la matriz antes considerada:

LUA =

−−

=

100

110

111

123

012

001

413

312

111

La inversa de una matriz triangular es otra matriz del mismo tipo, fácil de determinar.

Para una matriz triangular inferior, L, cada columna de la matriz inversa L-1 puede ser

obtenida por sustitución directa o “reducción”: LY = In.

0=ijy ji < (2.11a)


−= ∑

−

=

11 i

jkkjikij

iiij yl

ly δ ji ≥ (2.11b)

En forma análoga, la inversa, U-1, de una matriz triangular superior, U, es también una

matriz triangular superior. Cada fila i, puede determinarse mediante UZ = In:

−= ∑

−

=

11 j

ikkjikij

jjij uz

uz δ ji ≤ (2.12a)

0=ijz ji > (2.12b)

Para las matrices L y U del ejemplo considerado:

−−−=

−−= −−

100

110

211

121

012

00111 UL

−−−

−== −−−

121

111

231111 LUA

2.5.6 Casos Especiales

Matrices Simétricas Definidas Positivas.

Para una matriz simétrica: )1()1(kjjk aa = . Si se efectúa la reducción de Gauss sin

intercambio de filas y/o columnas se tiene también que: )()( ikj

ijk aa = para ji < , nk ≤ .

En otras palabras, la sub – matriz que debe aún reducirse en un paso dado es también

simétrica. Esto puede probarse por inducción, teniendo en cuenta las condiciones

iniciales de simetría y además que:

)()(

)()()()()1( i

ijiii

ikii

kji

ijkii

kji

kj aa

aaalaa −=−=+ (2.13a)

)()(

)()()()()1( i

ikiii

ijii

jki

ikjiijk

ijk a

a

aaalaa −=−=+ (2.13b)

Puede observarse que, si los coeficientes en la etapa i son simétricos, aquellos en la

etapa 1+i también lo son, puesto que se obtienen operando del mismo modo con

números iguales.

Considérese, por ejemplo, el sistema de ecuaciones con coeficientes simétricos:

=

−−−

−−−

0

0

1

0

5410

4641

1464

0145

4

3

2

1

x

x

x

x

En las sucesivas etapas del proceso de eliminación, las sub matrices que quedan por

reducir siguen siendo simétricas:


=

−−−

−−

0

0

1

0

5410

40

10

0145

4

3

2

1

529

516

516

514

x

x

x

x

−

=

−−

−−

145

78

4

3

2

1

1465

720

720

715

516

514 1

0

00

00

10

0145

x

x

x

x

=

−−

−

6778

4

3

2

1

65

720

715

516

514 1

0

000

00

10

0145

x

x

x

x

de donde

=

7

12

13

8

5

1

4

3

2

1

x

x

x

x

La simetría de la matriz por reducirse permite hacer: )()( iii

iikki aal = (utilizando )(i

ika en

lugar de )(ikia ) y restringir los cálculos de: )()()1( i

ijkii

kji

kj alaa −=+ a las columnas njk ≤≤ ,

en lugar de nji ≤≤ . El número de operaciones para la reducción es entonces

)( 26

1 nO , aproximadamente la mitad que para el caso general.

También los requerimientos de memoria pueden reducirse, almacenando los coeficientes

de la matriz en un arreglo monodimensional. Para el caso de una matriz simétrica de

alta densidad el siguiente esquema de numeración de los coeficientes es apropiado:

+ )1(

15

1410

1396

12853

117421

21 nn

MM

MM

MM

MM

MM

MM

Es evidente que intercambios de filas y columnas destruyen la simetría, a menos que se

tome siempre como pivote un elemento de la diagonal principal. Tales intercambios no

son necesarios si la matriz es definida positiva (xTAx > 0 para x arbitraria, no nula), ya

que en tal caso:

0)( >kiia nki ≤≥ ,1

)()(2)( kjj

kii

kij aaa ≤ njik ≤≤ , (2.14)

)()1( 2 kii

kii aa ≤+ nik ≤<

Estas condiciones garantizan que no se presentan pivotes pequeños.

Para el caso de matrices simétricas definidas positivas puede también utilizarse el

método de Cholesky. Éste método efectúa la descomposición A = RTR, donde R es una

matriz triangular superior cuyos elementos pueden obtenerse (por filas) de:


21

1

1

2

−= ∑

−

=

i

ppiiiii rar (2.15a)

L,2,11 1

1

++=

−= ∑

−

=

iijrrar

ri

ppjpiij

iiij (2.15b)

Para el ejemplo anterior se obtiene:

( ) == 21

1111 ar 2.2360

== 111212 rar -1.7888

== 111313 rar 0.44721

== 111414 rar 0

( ) =−= 21

2122222 rar 1.6733

( ) =−= 2213122323 rrrar -1.9123

( ) =−= 2214122424 rrrar 0.5976

( ) =−−= 21

223

2133333 rrar 1.4639

( ) =−−= 33242314133434 rrrrrar -1.9518

( ) =−−−= 21

234

224

2144444 rrrar 0.9129

es decir:

−−

−

=

9129.0000

9518.14639.100

5976.09123.16733.10

04472.07888.12360.2

R

El sistema Ax = b puede entonces rescribirse como RTRx = b o bien RTy = b; Rx = y

Resolviendo el primer sistema triangular:

=

2781.1

7808.0

5976.0

0

y

y finalmente:

=

7

12

13

8

5

1x

Puede anotarse que R está relacionada con las L y U de Gauss mediante RT= LD;

R = D –1U; donde D = diag ( )nnuuu L2211 .


Matrices Banda.

Los sistemas de ecuaciones en que los coeficientes forman matrices banda son

frecuentes. Tales sistemas se resuelven eficientemente por el método de Gauss y otros

similares, ya que éstos conservan la estructura de banda de las matrices: A = LU:

−−

−−

−−

−−

=

−−−

−−−−

−

10000

11000

01100

00110

00011

11000

01100

00110

00011

00001

21000

12100

01210

00121

00011

Nótese que A–1 = U–1L–1 no es una matriz banda:

=−

11111

12222

12333

12344

12345

1A

y por lo tanto no conviene hallar 1−A en forma explícita.

Particularmente simples de tratar son los sistemas con matrices banda simétricas y

definidas positivas (no se requieren intercambios de filas y/o columnas). Dos posibles

esquemas para almacenar los coeficientes en un arreglo monodimensional son en este

caso:

)21()14(

)20(

7

136

19125

18114

17103

1692

1581

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=A

Las posiciones tales como 14, 20 y 21 no se usan, pero se requieren para tener un

número fijo de coeficientes en cada codiagonal, lo que facilita la programación. Siendo

el ancho de la semibanda, m, mucho menor que el número de ecuaciones, n, las

posiciones de memoria “perdidas” son despreciables. Este esquema de almacenamiento

(y su variante por filas) es apropiado cuando el ancho de banda es aproximadamente

constante.

Otra posibilidad es:

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

20

1917

181612

15119

141086

13753

421

A


Esta forma de almacenamiento es más eficiente cuando el ancho de banda es variable

(como ocurre en la mayor parte de los problemas reales). Se guardan los coeficientes

por columnas, desde el “perfil” superior a la diagonal principal. Se requiere un arreglo de

apuntadores o índices que indican las posiciones ocupadas por los coeficientes de la

diagonal principal (que son los más referidos durante el proceso de solución). Nótese

que al aplicar el método de Gauss (o cualquier variante de ese procedimiento) no se

producen valores significativos por encima del perfil original y por lo tanto no se requiere

más memoria que aquella en la situación inicial.

Se necesitan nm posiciones de memoria (donde n es el orden de la matriz y m << n el

ancho de semibanda), mucho menos que las n2 posiciones para la matriz completa o las

( )121 +nn para una matriz simétrica de alta densidad. Por otro lado, la reducción de la

matriz de coeficientes demanda sólo ( )22

1 nmO operaciones, ya que:

0=ijl excepto para mjij +<≤

0=iju excepto para miji +<≤

Esto debe compararse con ( )36

1 nO operaciones para reducir una matriz simétrica de

alta densidad. La reducción del segundo miembro y la sustitución inversa requieren

( )nmO 2 , en lugar de ( )2nO operaciones. En la práctica, rara vez se tiene un ancho de

banda constante, pero aún así estos estimadores son útiles, si se considera m como la

media cuadrática de los anchos de semibanda en las ecuaciones.

Un caso especial es aquel en que la matriz de coeficientes es “tridiagonal”:

=

−−

−

−−−

n

n

n

n

nn

nnn

c

c

c

c

c

x

x

x

x

x

ab

bab

bab

bab

ba

1

3

2

1

1

3

2

1

1

112

332

221

11

MMO (2.16)

Los únicos coeficientes significativos son aquellos de la diagonal principal y de dos

codiagonales, es decir, dos líneas paralelas a la referida diagonal.

Se observa que al descomponer la matriz de coeficientes, A, en sus factores triangulares

LU los factores mantienen la estructura banda:

=

−

−

−

−

−−−

n

n

n

n

nn

nnn

r

b

r

br

br

br

q

q

q

q

ab

bab

bab

bab

ba

1

4

33

22

11

1

2

2

1

1

112

332

221

11

1

1

1

1

1

O

OOOO

La determinación de los iq y ir es muy simple:


iiii

iii

bqar

n,,ia/bq

ar

−=−==

=

++ 11

11

121 L (2.17a)

y, considerando L y = c:

12111

11

−=−==

++ n,,iyqcy

cy

iiii L (2.17b)

de donde se obtiene x resolviendo U x = y:

1211 ,,nir/)xby(x

r/yx

iiiii

nnn

L−=−==

+

Para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con matriz de coeficientes tridiagonal

se requieren sólo 45 −n operaciones. Como se indicó anteriormente, se cuenta como

una operación la combinación de una multiplicación o división con una suma, resta o

almacenamiento del resultado.

Grandes sistemas de ecuaciones lineales

(con matrices de coeficientes banda, simétricas y definidas positivas).

Cuando la memoria de la computadora es insuficiente para almacenar todos los

coeficientes del sistema de ecuaciones, se recurre al disco. El acceso a este medio es

(en términos relativos) muy lento y en lo posible debe tratar de minimizarse su uso.

Es frecuente subdividir la información de sistemas de ecuaciones excesivamente

grandes en “bloques” de una o más ecuaciones (o columnas).

Los datos de cada bloque se almacenan en disco. Éstos son leídos a la memoria

principal conforme van siendo utilizados y regrabados en la memoria auxiliar una vez

operados. La solución del sistema de ecuaciones por el método de Gauss (u otro similar)

requiere mantener en memoria principal la información de por lo menos dos bloques en

forma simultánea. Así por ejemplo, durante el proceso de reducción, las ecuaciones del

bloque k deben ser utilizadas para reducir ecuaciones del mismo bloque y de los bloques

sucesivos k+1, k+2, ...., k+n (n en general es pequeña), lo que implica que, estando el

bloque k en memoria, los bloques sucesivos deben ser leídos, parcialmente reducidos, y

regrabados en secuencia. Algo similar ocurre con el proceso de sustitución inversa.

2.6. Errores en la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En la solución práctica de grandes sistemas de ecuaciones lineales se realizan millones

de operaciones y en cada una ocurren errores de redondeo, ¿Cómo afectan estos

errores a los resultados? ¿Cómo puede estimarse la magnitud del error en la solución?

Podría pensarse que, habiendo resuelto el sistema A x = b, la magnitud del residuo r = b – A x sea una buena medida del error introducido en x. !Esto es falso! Considérese por ejemplo:

A =

659.0913.0

563.0780.0 b =

254.0

217.0


Y supóngase que se ha resuelto A x = b obteniendo x1 = (0.341 -0.087)T ¿Qué tan

buena es esta solución?

r1 = b – A x1 = (10-6 0)T

Por otro lado si se afirma que la solución es x2 = (0.999 -1.001)T se obtiene el residuo.

r2 = b – A x2 = (1.343x10-3 1.572x10-3)T

¿Es x1 mejor solución que x2? No. La solución exacta es x = (1 -1)T.

Aunque la magnitud del vector residuo r = b – A x no da una indicación directa del error

en x, es posible utilizar residuos para estimar el error e incluso para corregir la solución.

Esto se discute más adelante.

2.6.1 Normas de Vectores y Matrices

Con el propósito de discutir los errores al resolver sistemas de ecuaciones lineales, se

define como norma (o medida) de un vector:

∞≤≤++= pxx pppp

1)( /121 Kx (2.18a)

Dos casos particulares son de interés:

2/122

212

)( K++= xxx (norma Euclidiana) (2.18b)

ixmáx=∞x (máximo valor absoluto) (2.18c)

Es relativamente fácil probar que:

0≥x sólo hay igualdad si x = 0

xx aa = (2.19)

yxyx +≤+

Estas propiedades son familiares en relación a la norma Euclidiana o “longitud” de un

vector.

La norma de una matriz cuadrada, A , puede ser definida en forma consistente con la

definición de norma de un vector:

p

p

pmáx

x

xAA = ( )0x ≠ (2.20a)

La norma 2

A es 2/1

máxλ , donde máxλ es el máximo valor característico de ATA (ver

capítulo 3). Por otro lado:

∑=

∞=

n

1j

iji

amáxA (2.20b)

Estas normas satisfacen condiciones similares a las normas de vectores. Además:

BABA ≤ (2.21)


2.6.2 Condicionamiento de una matriz:

En esta ecuación se analizan los efectos de una pequeña perturbación Aδ en la matriz

A, o de una perturbación bδ en b.

Si x es la solución exacta de A x = b, cuando se considera la matriz de coeficientes

AA δ+ la solución resulta xx δ+ :

bxxAA =δ+δ+ )()( (2.22)

de donde:

)(1 xxAAx δ+δ−=δ −

tomando normas:

xxAAx δ+δ≤δ −1

y dividiendo entre xx δ+ :

( )A

AA

xx

x δΚ≤

δ+δ

(2.23)

donde ( ) 1−= AAAK (2.24)

es el número de condicionamiento de la matriz A. Dado que 2/1

2

1−− λ= mínA , donde

minλ es el menor valor característico de la matriz ATA, puede escribirse:

( ) ( ) 2/1

2 / mínmáxK λλ=A (2.25)

Por otro lado: para una perturbación bδ en b:

bbxxA δ+=δ+ )( (2.26)

de donde:

bAx δ=δ −1

bAx δ≤δ −1

y dado que b = A x, lo que implica A

bx ≥

se obtiene:

( )b

bA

x

x δ≤

δK (2.27)

Las ecuaciones (2.23) y (2.27) indican que, si ( )AK es grande, pequeños cambios en A

o en b pueden originar cambios importantes en la solución.

Si se tienen errores relativos de orden ∈ tanto en A como en b, (2.23) y (2.27) pueden

combinarse, para escribir:

xAx )(2 K∈≤δ (2.28)


Los errores de redondeo introducidos en el proceso de solución pueden ser

considerados como equivalentes a perturbaciones en las matrices A y b iniciales. ( )AK

es también un buen indicador de los efectos de los errores de redondeo en la solución.

La expresión (3) implica que si A y b están dadas con t cifras significativas, el número de

cifras que puede esperarse sean correctas en la solución, s, puede estimarse mediante:

[ ])(log10 AKts −≥ (2.29)

Para el ejemplo precedente: ∞A = 0.913 + 0.659 = 1.572

además:

−−

=−

780.0913.0563.0659.0

1061A

de donde ∞

−1A = 0.913 x 106 + 0.780 x 106 = 1.693 x 106

( )∞

−∞∞ = 1AAAK = 1.572 x 1.693 x 106 = 2.7 x 106

Alternativamente, trabajando con normas Euclidianas:

=

751250.0040807.1

0040807.1441969.1AAT

cuyos valores característicos son máxλ = 2.1932, mínλ = 4.56 x 10-13

de donde ( ) ( ) 2/1mínmáx2 / λλ=AK = 2.2 x 106

Ambos resultados indican un mal condicionamiento de la matriz A.

Note que en el ejemplo anterior la matriz A no era simétrica, por lo que fue necesario

evaluar los valores característicos de AAT . Si A fuera simétrica, los valores

característicos de AAT serían exactamente los cuadrados de los valores característicos

de A.

2.6.3 Errores de redondeo en la solución de sistema s de ecuaciones lineales por el método de Gauss (y otros métodos de elimina ción similares)

Las relaciones teóricas utilizadas en la reducción son:

)()( / iii

ikiki aal =

)()()1( iijki

ikj

ikj alaa −=+

(2.30)

)()()1( iiki

ik

ik blbb −=+

Sin embargo, como resultado de los errores de redondeo, los valores calculados (aquí

indicados en barras) satisfacen:

)1)(/( 1

)()(δ+=

i

ii

i

kiki aal

)1))(1(( 32

)()()1(δ+δ+−=

+ iijki

ikj

ikj alaa (2.31)

)1))(1(( 54

)()()1(δ+δ+−=

+ i

iki

i

k

i

k blbb

donde ∈≤δ i , siendo ∈ el máximo error relativo de redondeo. Alternativamente puede

escribirse:


)()()(/)(

iii

iki

ikiki aeal +=

)()()()1( ikj

iijki

ikj

ikj ealaa +−=

+ (2.32)

)()()()1(

ik

i

iki

i

k

i

k eblbb +−=+

y puede probarse que:

)()(

i

kii

ki ae ∈≤

∈≤+ )1()(

)( ,.3i

kj

i

kji

kj aamáxe (2.33)

∈≤+ )1()(

)( ,.3i

k

i

ki

k bbmáxc

Por otro lado, considerando que . kjkj aa =)1(, 1=kkl , pueden utilizarse las expresiones

precedentes para escribir kja en función de los )1(

, ijki al . (es decir los elementos de las

matrices L y U). Se obtiene así:

( ) ∑∑==

=+s

i

iijki

r

i

ikjkj alea

1

)(

1

(2.34a)

donde r = min (k-1,j), s = min (k, j). Por otro lado, teniendo en cuenta que kk bb =)1(, se

obtiene:

( ) ∑∑=

−

=

=+k

i

i

iki

k

i

ikk blcb

1

)(1

1

(2.34b)

Esto demuestra que las matrices calculadas:

)( kil=L

)()(i

ija=U

)( )(iib=y

No son factores exactos de A y b sino de A + ∆A y b + ∆b:

ULAA =∆+

yLbb =∆+

Los elementos de ∆A son sumatorias de los ( )ikje ; los elementos de ∆b son sumatorias

de los ( )ikc . Las expresiones (4) dan una medida de estas perturbaciones. Obsérvese

que las expresiones (2.23) y (2.27) son aplicables también en este caso, y un valor de

)(AK alto indica que los errores de redondeo tendrán efectos importantes en la

solución.

Por otro lado, las expresiones (2.33) y (2.34) indican que es conveniente limitar el

crecimiento de los )(ikja , )(i

kb . Este es el propósito al realizar intercambios de filas y/o

columnas.

Finalmente, debe mencionarse que en el proceso de sustitución inversa, para obtener x

resolviendo yxU = , los errores acumulados son despreciables en términos relativos a

los que resultan de la reducción.


Las ecuaciones precedentes permiten una estimación a-posteriori de la magnitud del

error. A-priori puede establecerse (1):

)1(

,

)(

,,

ijji

kij

kjin

amáx

amáxg = (2.35)

teniendo que:

12 −≤ nng para intercambio parcial (filas)

n 25.08.1 Lnn ng ≤ para intercambio total.

Estos límites son teóricos. Nótese por ejemplo que para un sistema de orden 100 se

tendría 29103.6 xgn ≤ para intercambio parcial y 18≤ng para intercambio completo, lo

que justificaría el trabajo adicional necesario para la segunda alternativa. Sin embargo,

en la práctica rara vez se observa un ng mayor que 10, aún con intercambio parcial.

Para matrices simétricas definidas positivas se tiene que 1≤ng .

2.6.4 Algunas consideraciones relativas a unidades. Equilibrio de las ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones A x = b... los aij, bi, xj pueden expresarse en diversos

sistemas de unidades. Un cambio de unidades equivale a considerar b = D1 b’; x = D2 x’

y por lo tanto (D1 A D2) x’ == D1 b’. En estas expresiones las matrices D1 y D2 son

diagonales. Puede demostrarse que, si se utilizan los mismos pivotes y las D1 y D2 solo

contienen potencias enteras de la base del sistema de numeración utilizado, los

resultados son los mismos (habida cuenta de los cambios de unidades).

Sin embargo las unidades utilizadas pueden afectar la selección de pivotes,

especialmente si sólo se hace intercambio parcial.

En tal caso, es recomendable equilibrar las ecuaciones. Para las incógnitas deben

seleccionarse escalas que reflejen su importancia relativa. Las ecuaciones deben

multiplicarse por factores D1 tales que:

11

=≤≤ ij

njamáx i=1,2,3,...n

2.6.5 Método iterativo para mejorar la solución

Considérese el sistema de ecuaciones bAx = para el que se tiene la solución

aproximada )0(x . Si x es la solución exacta, se tiene que:

)0()0( xxx ∆+=

y entonces:

)0()0( rxA =∆

donde: )0()0( Axbr −=

Al determinar . )0(x . se obtienen los factores triangulares aproximados L y U tales que

AAUL ∆+= , siendo A∆ pequeño. Esta descomposición requiere aproximadamente

( )33

1 nO operaciones.

A partir de )0(x puede determinarse )0(r en ( )2nO operaciones y resolverse:


rzL =

zxU =∆

también en ( )2nO operaciones. Dado que L y U no son los factores exactos de A , y

además se introducen nuevos errores de redondeo, es necesario iterar:

)()( ii xAbr −= )()( ii rzL = (2.36)

)()( ii zxU =∆ )()()1( kkk xxx ∆+=+

Pero nada se ganaría si las operaciones se hicieran siempre con el mismo número de cifras significativas empleadas en los cómputos originales. Si los ija ib ix están dados con t dígitos, el cómputo de los residuos:

∑=

−=n

j

kjiji

ki xabr

1

)()(

debe hacerse con t2 dígitos (para minimizar errores de cancelación). Sin embargo, el

almacenamiento de los resultados puede hacerse en precisión simple, es decir, con t

dígitos.

Los vectores )1(x∆ y )2(x permiten también estimar el número de condicionamiento:

( ))2(

)1(1

x

xA

∆

ε≤κ

n (2.37)

donde n es el orden del sistema y ∈ es el máximo error relativo de redondeo (al operar

en precisión simple). Si )1(x∆ no es mucho menor que )1(x , o lo que es lo mismo,

si ( ) εκ nA no es mucho menor que 1, el proceso iterativo no es adecuado. En tal caso,

la única alternativa sería operar con mayor precisión en toda la solución.

Considérese, por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

−=

.0

1

.0

623

2117

375

3

2

1

x

x

x

y supóngase que la computadora opera en base 10 con 3 cifras significativas. La

factorización de la matriz de coeficientes, ULA = , resulta en:

−

−=

17.0

20.220.1

00.300.700.5

00.183.160.0

00.140.1

00.1

623

2117

375

De la reducción del segundo miembro, es decir la solución de byL = se obtiene:

( )T83.100.100.0 −−=y

Finalmente por sustitución inversa, es decir resolviendo yxU = , se determina

( )Tx 8.106.203.35)1( −−=


Para esta solución aproximada se tiene el residuo:

( )T100.0100.0100.0)1()1( =−= xAbr

El cómputo de los ∑− jiji xab deben hacerse en doble precisión, almacenándose los

resultados ir en precisión simple.

Resolviendo los dos sistemas triangulares: )1(rzL = y zxU =∆ )1( se obtiene:

( ) T195.0391.0685.0)1( −−=∆x

Y entonces:

( ) T0.110.210.36)1()1()2( −−=∆+= xxx

(redondeado a 3 cifras significativas). Este resultado es mejor que )1(x (en este caso el

resultado es exacto, aunque debería decirse que por accidente).

Puede verificarse fácilmente que la matriz A del ejemplo anterior es bien condicionada.

Por otro lado, considérese nuevamente el sistema:

=

254.0

217.0

659.0913.0

563.0780.0

2

1

x

x

para el cual se obtuvo anteriormente ( )Aκ de orden 2 x 106. Supóngase que se opera

en base 10 con 6 cifras significativas:

⋅

=

−6103

000563.0000780.0

00000.105117.1

00000.1

659.0913.0

563.0780.0

se pierden cifras significativas en el elemento 22a de esta última matriz al restar dos

números que solo difieren en la última cifra almacenada). De aquí resultan:

( ) T333333.0803518.0)1( −=x

( )T66)1( 10692.010139.0 −− ⋅⋅=r

No obstante ser este residuo “pequeño”, se obtiene la corrección:

( ) T433176.0348127.0)1( −=∆x

( ) T900156.0455391.0)1()1()2( −=∆+= xxx

y es obvio que este resultado difiere más de la solución exacta ( ) T11 −=x que la

aproximación )1(x antes obtenida. ¡Para resolver este sistema de ecuaciones se

requiere trabajar con un mínimo de 8 cifras significativas!

2.7.Métodos Iterativos para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En los acápites siguientes se tratan dos tipos distintos de métodos iterativos. Estos

procesos pueden ser muy eficientes cuando la matriz de coeficientes, A , es de baja

densidad, más aún si la evaluación de productos de la forma Av no requiere la previa

determinación y el almacenamiento de A en forma explícita.


2.7.1 Métodos de Relajación

Estos procedimientos son adecuados sólo cuando la diagonal principal de la matriz de

coeficientes es dominante. En general, se considera una aproximación inicial, tal como

0x =)0( , y ésta es sucesivamente mejorada hasta obtener una solución suficientemente

precisa.

Considérese el sistema de orden n : bxA = , con 0≠iia para todo i . En el método de

Jacobi se calculan las aproximaciones L)3()2()1( ,, xxx mediante:

−= ∑

≠

+

ij

kjiji

ii

ki xab

ax )()1( 1

(2.38)

La aproximación es arbitraria; con frecuencia 0x =)0( . Si los )1( +kix se determinan en el

orden habitual, al determinar )1( +krx ya se han previamente obtenido las nuevas

aproximaciones )1(1

)1(2

)1(1 , +

−++ k

rkk xxx L . Sin embargo, en el método de Jacobi no se hace

uso de estas nuevas aproximaciones hasta la iteración siguiente, difiriendo en esto del

método de Gauss - Seidel:

−−= ∑∑

+=

−

=

++n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

)(1

1

)1()1( 1 (2.39)

Nótese que sólo se requiere almacenar las últimas aproximaciones a los ix .

En el ejemplo siguiente se usan las dos alternativas:

−−

=

−−−−−−

−−

75.2

1

75.2

1

5110

1501

1051

0115

4

3

2

1

x

x

x

x

La solución exacta es

( )T50.025.050.025.0 −−=x

Con el método de Jacobi se obtienen las sucesivas aproximaciones:

k )(1

kx )(2kx )(

3kx )(

4kx

0 0 0 0 0

1 0.2 0.55 -0.2 -0.55

2 0.27 0.48 -0.27 -0.48

3 0.242 0.508 -0.242 -0.508

4 0.2532 0.4968 -0.2532 -0.4968

5 0.24872 0.50128 -0.24872 -0.50128

6 0.250512 0.499488 -0.250512 -0.499488

7 0.249795 0.500205 -0.249795 -0.500205

8 0.250082 0.499918 -0.250082 -0.499918

9 0.249967 0.500033 -0.249967 -0.500033

10 0.250013 0.499987 -0.250013 -0.499987

11 0.249995 0.500005 -0.249995 -0.500005

12 0.250002 0.499998 -0.250002 -0.499998


k )(1

kx )(2kx )(

3kx )(

4kx

13 0.249999 0.500001 -0.249999 -0.500001

14 0.250000 0.500000 -0.250000 -0.500000

15 0.250000 0.500000 -0.250000 -0.500000

La convergencia es mejor con el método de Gauss – Seidel:

k )(1

kx )(2kx )(

3kx )(

4kx

0 0 0 0 0

1 0.2 0.59 -0.16 -0.464

2 0.286 0.5144 -0.2356 -0.49424

3 0.255760 0.502304 -0.247696 -0.499078

4 0.250922 0.500369 -0.249631 -0.499853

5 0.250147 0.500059 -0.249941 -0.499976

6 0.250024 0.500009 -0.249991 -0.499996

7 0.250004 0.500002 -0.249998 -0.499999

8 0.250001 0.500000 -0.250000 -0.500000

9 0.250000 0.500000 -0.250000 -0.500000

En algunos casos la convergencia puede acelerarse con sobrerelajación:

)()()1( ki

ki

ki rxx β+=+ (2.40a)

−−= ∑∑

=

−

=

+n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki xaxab

ar )(

1

1

)1()( 1 (2.40b)

El valor óptimo de β depende de A e incluso de la aproximación )(kx . Cuanto mayores sean los valores absolutos de los términos de la diagonal principal, respecto a la suma de los valores absolutos de los restantes coeficientes de la misma fila, más se aproxima β a 1. Para el ejemplo precedente, utilizando 05.1=β se obtienen:

k )(1

kx )(2kx )(

3kx )(

4kx

0 0 0 0 0

1 0.210000 0.621600 -0.165900 -0.481803

2 0.295197 0.507233 -0.240892 -0.497478

3 0.251172 0.500414 -0.249680 -0.499972

4 0.250096 0.500005 -0.249990 -0.499998

5 0.249998 0.500000 -0.250000 -0.500000

6 0.250000 0.500000 -0.250000 -0.500000

Estos métodos no son necesariamente más precisos que los procesos de eliminación. El

ejemplo al inicio de la sección 2.6 muestra que si el sistema es mal condicionado puede

aceptarse como correcta una solución totalmente equivocada, pero con la que se tiene

un residuo “pequeño”.


2.7.2 Convergencia

En esta sección se analiza la convergencia de los métodos de relajación. Un paso típico

en la solución de bxA = puede escribirse como:

fxGx +=+ )()1( kk (2.41)

Esto puede verse más fácilmente si se considera la descomposición:

( )si TITDA ++= (2.42)

donde D es una matriz diagonal, con elementos iia ; iT y sT son matrices triangulares,

inferior y superior respectivamente, con ceros en la diagonal principal, cuyos coeficientes

son los iiij aa . Por ejemplo:

−+

+

−

=

−−

00

0

10

01

0

00

20

02

21

1221

21

Con esta notación, para el método de Jacobi se tiene:

( ) bDxTTx 1)()1( −+ ++−= ksi

k (2.43a)

es decir: ( )si TTG +−= (2.43b)

mientras que para el método de Gauss-Seidel puede escribirse:

bDxTxTx 1)()1()1( −++ +−−= ks

ki

k (2.44a)

y por lo tanto: ( ) si TTIG 1−+−= (2.44b)

De modo similar, para el método de sobre relajación se tiene:

( ) ( )[ ]si TITIG β−β−β+= − 11 (2.45)

Por otro lado, dado, que la solución exacta, x , debe cumplir la ecuación (2.41), se tiene

que:

fxGx += (2.46)

y restando (2.46) de (2.41):

( ) ( )xxGxx −=−+ )()1( kk (2.47a)

de donde:

( ) ( ) ( ) ( )xxGxxGxxGxx −==−=−=− +−+ )0(1)1(2)()1( kkkkL (2.47b)

Además, si nφφφφ L321 ,, son los vectores característicos de la matriz G , a los que

corresponden los valores característicos nλλλλ L321 ,, , puede escribirse:

( ) nn φα++φα+φα+φα=− L332211)0( xx

ya que los vectores característicos constituyen una base completa. Es relativamente

fácil probar que:

( ) ( ) nknn

kkkkk φλα++φλα+φλα+φλα=−=− L333222111)0()( xxGxx (2.47c)

Para tener convergencia:

( ) 0xx =−∞→

)(k

kLim (2.48a)


y por tanto se requiere 1<λ i para todo i , o lo que es lo mismo:

( ) 1≤λ=ρ ii

máxG (2.48b)

( )Gρ se denomina el radio espectral de la matriz G .

Para k suficientemente grande el error se multiplica por ( )Gρ en cada paso, es decir se

tiene aproximadamente ( )[ ]Gρ− 10log cifras decimales exactas adicionales en cada

paso.

No es práctico determinar con gran precisión los valores característicos de G (esto

significaría más trabajo que resolver el sistema de ecuaciones), pero ciertos límites

pueden ser fácilmente establecidos.

Para el método de Jacobi: iiijij aag −= si ji ≠ (2.49a)

0=iig

y utilizando el teorema de Gerschgorin (véase el capítulo relativo a la evaluación de

valores y vectores característicos):

( ) ∑≤λ=ρj

iji

ii

gmáxmáxG o bien ∑i

jij

gmáx (2.49b)

con lo que la condición de convergencia ( ) 1≤ρ G puede rescribirse:

∑≠=

>n

jii

ijjj aa1

∑≠=

>n

ijj

ijii aa1

(2.49c)

Estas son condiciones suficientes pero no necesarias. La convergencia es más rápida

cuanto más fuertes son las desigualdades.

Para el método de Gauss – Seidel ( ) ( )[ ]iii

srmáx −=ρ 1G (2.50a)

donde:

∑+=

>n

ij ii

ij

i a

ar

1

∑−

=

>1

1

i

j ii

iji a

as (2.50b)

y finalmente se concluye que las condiciones para la convergencia son las mismas que

para el método de Jacobi (aunque en general el método de Gauss -Seidel converge más

rápidamente).

Un análisis similar del método de sobre relajación permite establecer la condición

adicional: 20 ≤β<

2.7.3 Métodos de Máxima Gradiente y de Gradiente Co njugada

En la primera parte de esta sección se consideran métodos para la solución de sistemas

de ecuaciones bxA = con matriz A simétrica y definida positiva, es decir, 0>vAvT

para todo vector v no nulo.

Considérese la función:

bxxAxx TTf −=21)( (2.51)

Si x es la solución exacta de bxA = se tiene que:


( ) ( )( ) ( )xxAxx

bxxAxbxxAxxx

−−=

−−−=−T

TTTTff

21

21

21)()(

Pero, siendo A definida positiva: ( ) ( ) 021 ≥−− xxAxx T

Y por lo tanto 0)()( ≥− xx ff , es decir, )()( xx ff ≥ (2.52)

La igualdad solo se da si xx = . La solución de bxA = es entonces equivalente a una

minimización de )(xf .

Dada la aproximación inicial )0(x , a la que corresponden el residuo )0()0( xAbr −= y el

valor )(xf , debe determinarse una nueva aproximación, )1(x , tal que )()( )0()1( xx ff < .

Para reducir el valor de )(xf lo más rápidamente posible, la corrección debe hacerse en

la dirección de máxima gradiente. Debe entonces determinarse esta dirección, z , tal

que:

0

)0( )(=α

α+α

zxfd

d

sea máxima (en valor absoluto). Siendo bxxAxx TTf −=21)( , puede escribirse:

)(

)()()()()0()0(2

21

)0()0()0(21)0(

xrzzAz

bzxzxAzxzx

f

fTT

TT

+α−α=

α+−α+α+=α+ (2.53a)

de donde:

)0(

0

)0( )( rzzx Tfd

d −=α+α =α

Esto significa que debe tomarse la dirección )0(rz = (2.53b)

Ahora puede determinarse 0α de modo que )( )0(0

)0( rx α+f sea un mínimo.

Rescribiendo (2.53a) con )0(rz = y derivando con respecto a α :

0)( )0()0()0()0()0()0( =−α=α+α

rrrArrxTT

fd

d

de donde:

)0()0(

)0()0(

0rAr

rrT

T

=α

(dado que A es definida positiva, nunca se presenta el caso 0)0()0( =rArT

)

Finalmente:

)0(0

)0()1( rxx α+=

El proceso puede repetirse en sucesivos ciclos:

)()( kk xAbr −= (2.54a)

)()(

)()(

kTk

kTk

krAr

rr=α (2.54b)

)()()1( kk

kk rxx α+=+ (2.54c)


Este método es siempre convergente, pero no puede conocerse a priori en cuantos

ciclos se tendrá la precisión requerida.

En los párrafos siguientes se estudia una modificación de este proceso, el método de

Gradiente Conjugada, para el que – al menos en teoría - puede garantizarse la

convergencia en un número de pasos igual o inferior al orden del sistema de ecuaciones.

Considérese el sistema de ecuaciones de orden n , bxA = . Dada una solución

aproximada, )0(x , la solución exacta, x , puede escribirse como:

xxx ∆+= )0(

x∆ puede expresarse como combinación lineal de n vectores linealmente

independientes. En particular, si se consideran vectores 12210 ,,, −− nn sssss L , que

satisfacen las relaciones de ortogonalidad:

ijijTi c δ=sAs

puede escribirse:

11)1()(

)()1(

11)1()2(

00)0()1(

−−−

+

α+==

α+=

α+=

α+=

nnnn

kkkk

sxxx

sxx

sxx

sxx

LL

LL

alternativamente:

∑−

=

α+=1

0

)0(n

k

kk sxx (2.55)

Suponiendo que los vectores ks son conocidos, los coeficientes kα pueden obtenerse

utilizando las relaciones de ortogonalidad ya mencionadas. Dado que:

( ) ∑−

=

α=−=−=1

)()()(n

ik

kkiii sAxxAxAbr (2.56)

premultiplicando por Tjs se obtiene:

01

)( =α=∑−

=

n

ik

kTjk

iTj sAsrs si ij < (2.57)

jTjj sAsα= si ij ≥

de donde puede escribirse:

jTj

jTj

jsAs

rs )(

=α (2.58a)

Alternativamente, puede utilizarse

jTj

jTj

jsAs

rr )()(

=α (2.58b)


La expresión alternativa )()( )0(j

Tj

Tjj sAsrs=α no es conveniente, por la acumulación

de errores de redondeo.

Dado que los 12210 ,,, −− nn sssss L son n vectores linealmente independientes en un

espacio n -dimensional, el error siempre puede ser expresado como una combinación

lineal de estos vectores , es decir el proceso debería llegar a la solución exacta (salvo

errores de redondeo) en n pasos.

El vector 1+ks se obtiene eliminando de )1( +kr la componente según ksA :

kkk

k srs β−= ++

)1(1 (2.59)

donde:

kTk

kTk

ksAs

rAs )1( +

=β (2.60)

En el proceso de determinación de pueden tenerse errores de cancelación importantes si

son aproximadamente paralelos.

Es relativamente fácil probar que si kssss L210 ,, son A -ortogonales, entonces 1+ks

calculado con (2.59) resulta también A -ortogonal a todos los vectores previamente

hallados. Para empezar, con ks :

( ) ( ) 0)1(´

)1()1(1 =−=β−=

+++

+ kTk

kTk

TkkT

kkkkT

kkTk sAs

sAs

rAsrAssrAssAs

Por otro lado, de (2.57) se concluye que:

j

Tkj

Tk sArsAs )(

1 =+

y

( ))()1(1 jj

jj rrsA −

α= −

y por lo tanto, para kj < :

011 )()()1()(

1 =

α−

α= −

+jTk

j

jTk

jj

Tk rrrrsAs

El método de gradiente conjugada puede resumirse en los pasos siguientes:

Dado )0(x , determinar )0(0

)0( xAbsr −==

Y luego para 12,1,0 −= nk L :

kk sAq = (no se requiere A en forma explícita)

kTk

kTk

kqs

rr )()(

=α

kkkk sxx α+=+ )()1( (2.61)

kk

kk qrr α−=+ )()1(

)()(

)1()1()1(

kTk

kTk

kTk

k

Tk

krr

rr

qs

qr +++

−==β


kkk

k srs β−= ++

)1(1

Como ejemplo, considérese la solución del sistema de ecuaciones bAx= definido por:

−−−

−=

210

121

012

A

=4

0

0

b

Con la aproximación inicial 0)0( =x se obtienen:

)0(0

)0( xAbsr −== ( )T400

00 sAq = ( )T840 −

)()( 00)0()0(

0 qsrr TT=α

1/2

00)0()1( sxx α+= ( )T200

00)0()1( qrr α−= ( )T020

)()( 000)1(

0 qsqr TT=β

1/4

00)1(

1 srs β−= ( )T120

11 sAq = ( )T032−

)()( 11)1()1(

1 qsrr TT=α

2/3

11)1()2( sxx α+= ( )T38340

11)1()2( qrr α−= ( )T0034

)()( 111)2(

1 qsqr TT=β

4/9

11)2(

2 srs β−= ( )T949834

22 sAq = ( )T00916

)()( 22)2()2(

2 qsrr TT=α

3/4

22)2()3( sxx α+= ( )T321

El método de gradiente conjugada puede ser generalizado para resolver cualquier

sistema de ecuaciones bxA = (con A no singular):

Con )0(x arbitrario, se obtiene )0(0

)0( xAbsr −==

Y luego para 12,1,0 −= nk L :

kT

k sAq = (no se requiere A en forma explícita)

kTk

kTk

kqq

rr )()(

=α

kkkk qxx α+=+ )()1( (2.62)


kkkk qArr α−=+ )()1(

)()(

)1()1(

kTk

kTk

krr

rr ++

−=β

kkk

k srs β−= ++

)1(1

2.8 Sistemas Sobre-Determinados de Ecuaciones Linea les

El problema de determinación de los parámetros de un modelo lineal para aproximar un

conjunto de datos es frecuente. A fin de reducir la influencia de errores de medición, es

habitual hacer más mediciones que las estrictamente necesarias, de donde resultan más

ecuaciones que incógnitas.

Dada una matriz A de orden nm× ( nm> ) y un vector b de orden m , se requiere

determinar x de modo tal que xA sea la mejor aproximación posible a b .

Un proceso simple (y muy adecuado si los errores en los ib son estadísticamente

independientes) es el método de mínimos cuadrados, que consiste en minimizar la

magnitud del residuo xAbr −= (o minimizar rrr T=2) con respecto a las x . Dado

que:

xAAxbAxbbrr TTTTTTf +−== 2 (2.63)

y por lo tanto:

0xAAbAx

=+−=∂∂ TTf

22

el método de mínimos cuadrados puede formularse como la solución del sistema de

ecuaciones normales:

( ) bAxAA TT = (2.64)

Si ( )naaaaA L321= , la matriz simétrica AAC T= tiene elementos jTiijc aa= .

La matriz C es no singular sólo si todas las columnas ka de la matriz A son linealmente independientes.

Para formar las ecuaciones normales se requieren ( )321 +nmn operaciones. Para

resolver el sistema ( )36

1 nO operaciones. La mayor parte del trabajo está en formar las

ecuaciones normales.

Considérese por ejemplo

=

−−

1

2

1

3

2

1

101

110

011

100

010

001

3

2

1

x

x

x

las ecuaciones normales son en este caso:


−=

−−−−−−

6

1

1

311

131

113

3

2

1

x

x

x

de donde:

( )T375.125.1=x

Un método alternativo (y numéricamente mejor condicionado) se basa en al descomposición de la matriz de coeficientes, A , en el producto de una matriz ortogonal, Q , y una matriz triangular superior, R (en el capítulo relativo a valores y vectores característicos se describen procedimientos que pueden ser empleados para esto).

Al tenerse RQA = (2.65)

las ecuaciones normales ( ) bAxAA TT = pueden rescribirse:

( ) 0=− AxbAT

( ) 0=− xRQbQR TT

y dado que IQQ =T se obtiene:

( ) 0=− xRbQR TT

La matriz R no es singular y por tanto:

bQxR T= (2.66)

La matriz R es la misma que se obtendría al descomponer AAT en dos factores

triangulares por el método de Cholesky. Para el ejemplo precedente:

−−−

−−−

−==

−−

=4142.100

8165.06330.10

5774.05774.07321.1

3536.02041.05774.0

3536.06124.00

04082.05774.0

7071.000

3536.06124.00

3536.02041.05774.0

101

110

011

100

010

001

QRA

de donde:

−==

−−−

=2426.4

4082.0

5774.0

4142.100

8165.06330.10

5774.05774.07321.1

3

2

1

bQxR T

x

x

x

y finalmente: ( )T375.125.1=x

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Valores y Vectores Característicos 3 - 1

3. Valores y Vectores Característicos

3.1. Introducción

El producto de una matriz cuadrada, A, por un vector (matriz columna), x, es otro vector,

cuyas componentes son habitualmente no proporcionales a x. Sin embargo, puede

existir un vector φφφφ no nulo tal que:

A φ φ φ φ = λ φ φ φ φ (3.1a)

Se dice entonces que φφφφ es un vector característico (también llamado vector propio,

eigenvector o modo) de la matriz A. El correspondiente escalar λ es un valor

característico (también llamado valor propio, autovalor o eigenvalor). Nótese que si un

vector satisface las ecuaciones (3.1a) también un múltiplo arbitrario (un vector "paralelo")

es solución. Sin embargo, se trata esencialmente de la misma solución; los vectores

característicos sólo se califican como distintos si sus componentes no son

proporcionales.

Por ejemplo,

=

−−

1

11

1

1

21

12

−=

−

−−

1

13

1

1

21

12

en este caso

=1

11φφφφ y

−=

1

12φφφφ son vectores característicos, a los que corresponden

los valores propios 1 y 3, respectivamente. Otros vectores, no paralelos a los dos antes

mencionados, no cumplen la condición (3.1a):

=

−−

3

0

2

1

21

12

El vector

3

0 no puede expresarse como un múltiplo de

2

1.

El problema clásico de valores y vectores característicos consiste en la determinación de

los vectores φφφφ y los correspondientes escalares λ para los que se cumple (3.1a). Con

frecuencia se presenta el problema general:

A φ φ φ φ = λ B φφφφ (3.1b)

En muchas aplicaciones las matrices A y B son simétricas y definidas positivas. En

algunos casos se hacen hipótesis simplificadoras que resultan en B diagonal. El

problema clásico, definido en (3.1a), corresponde al caso particular B = I.

3.1.1 Conversión del Problema General a la Forma C lásica

Un problema de la forma general (3.1b) puede convertirse a otro equivalente de la forma

clásica (3.1a). Así por ejemplo, si B es no singular puede determinarse:

B-1 A φ φ φ φ = λ φ φ φ φ (3.2)


Sin embargo, si A y B son simétricas (como es, por ejemplo, el caso en problemas de

vibración, en los que esas matrices son respectivamente rigideces y masas) conviene

más hacer la descomposición (Cholesky):

B = RT R (3.3a)

y efectuar entonces el cambio de variables

φ φ φ φ = R-1 z (3.3b)

con lo que se obtiene:

(R-1)T A R-1 z = λ z (3.3c)

Esto es particularmente fácil si B es diagonal.

B = B½ B½

φ φ φ φ = B-½ z (3.4)

B-½ A B-½ z = H z = λ z

Donde ji

ijij

bb

ah = .

Nótese que los valores característicos son los mismos que los del problema original; los

correspondientes vectores característicos se relacionan mediante (3.4b).

3.1.2 Polinomio Característico y Valores Propios

Las ecuaciones A φ φ φ φ = λ B φφφφ pueden también rescribirse como:

(A - λ B) φφφφ = 0 (3.5a)

que tiene soluciones no triviales sólo si la matriz (A - λ B) es singular, es decir, si:

( ) ( ) 0det =λ−=λ BAp (3.5b)

( )λp se denomina polinomio característico. Siendo A y B matrices cuadradas de orden

n, ( )λp es un polinomio de grado n, cuyas raíces son λ1, λ2, ٠٠٠ λn. En lo que sigue se

supone, sin perder generalidad, que: nλ≤⋅⋅⋅≤λ≤λ≤λ 321

3.1.3 Independencia Lineal de los Vectores Caracte rísticos

Asociado a cada uno de los n valores característicos λ i se tiene un vector φφφφi. Si λ i es

una raíz de multiplicidad m, el correspondiente vector φφφφi puede obtenerse resolviendo el

sistema de ecuaciones homogéneas: (A - λ i B) φφφφi = 0 suponiendo m componentes

arbitrarias en φφφφi.

Los vectores característicos correspondientes a valores característicos distintos son

linealmente independientes. Supóngase que éste no fuera el caso, pudiéndose obtener

uno de los vectores como combinación lineal de otros que sí son linealmente

independientes:

∑=

=j

i

iis c1

φφφφφφφφ (3.6a)

Y entonces:


∑∑==

==j

i

iιi

j

i

iis λcc11

φφφφφφφφΑφΑφΑφΑφ ΒΒΒΒΑΑΑΑ (3.6b)

Por otro lado, por la definición del problema, (3.1b):

∑=

==j

i

isisss λcλ

1

φφφφφφφφΑφΑφΑφΑφ ΒΒΒΒΒΒΒΒ (3.6c)

Restando (3.6b) de (3.6c) se obtiene: ( ) 0=λ−∑=

j

i

iisi λc1

ΒφΒφΒφΒφ

Si isλ λ≠ debería entonces tenerse ci = 0 para todo i, lo que se opone a la hipótesis.

Excepcionalmente pueden presentarse valores característicos repetidos. Aún en este

caso es factible obtener vectores característicos linealmente independientes. Sin

embargo, el conjunto de vectores asociados a los valores característicos repetidos define

un subespacio, tal que cualquier vector del subespacio (es decir una combinación lineal

de aquellos tomados como base) es también un vector característico:

A φφφφ i = λ i B φφφφi

A φφφφ i = λ i B φφφφi (3.7)

A ( c1 φφφφ1 + c2 φφφφ2 + c3 φφφφ3 + … ) = λ i B ( c1 φφφφ1 + c2 φφφφ2 + c3 φφφφ3 + … )

Teniéndose n vectores característicos linealmente independientes de dimensión n, estos

constituyen una base completa. Cualquier otro vector de tal dimensión puede

expresarse como combinación lineal de los vectores característicos:

v = α1 φφφφ1 + α2 φφφφ2 + α3 φφφφ3 + … + αn φφφφn (3.8)

Por ejemplo, con los vectores característicos antes obtenidos:

−−

=

1

1

1

1

2

121

23

3.1.4 Ortogonalidad de los Vectores Característico s

Si las matrices A y B son Hermitianas (o simplemente simétricas) y definidas positivas,

los valores característicos de A φφφφ = λ B φ φ φ φ son todos reales y positivos. Para probar

esto basta considerar:

rsrrs φφφφφφφφφφφφφφφφ BΑ** λ= (3.9a)

srssr φφφφφφφφφφφφφφφφ BΑ** λ= (3.9b)

El superíndice * denota aquí conjugada traspuesta. La conjugada transpuesta de la

segunda de estas expresiones es (recuérdese que sλ es un escalar):

rssrs φφφφφφφφφφφφφφφφ BΑ*** λ= (3.9c)

y al ser A y B Hermitianas (es decir A* = A y B* = B), restando (3.9c) de (3.9a) se

obtiene:

( ) 0** =λ−λ rssr φφφφφφφφ B (3.9d)

Si r=s, al ser B una matriz definida positiva se tendría 0>rr φφφφφφφφ B* . Por lo tanto, siendo

sr λ=λ , se tendría 0=λ−λ *rr lo que implica que todos los λ son números reales. Si


además A es definida positiva, es decir 0>rr φφφφφφφφ A* , se concluye que los valores

característicos son todos positivos.

Por otro lado, si sr λ≠λ se tiene que 0≠λ−λ *sr y en consecuencia (3.9d) implica que:

rsrrs b δ=φφφφφφφφ B* (es decir, cero si sr ≠ ) (3.10a)

y además, observando las expresiones precedentes:

rsrrs a δ=φφφφφφφφ A* (3.10b)

Las propiedades de ortogonalidad expresadas en (3.10) son la base para la

descomposición modal utilizada al resolver sistemas de ecuaciones diferenciales en

aplicaciones tales como el análisis sísmico lineal.

Refiriéndose nuevamente al ejemplo inicial:

( ) 21

1

21

1211 =

−−

( ) 61

1

21

1211 =

−

−−

−

( ) 01

1

21

1211 =

−

−−

3.1.5 Normalización de los Vectores Característic os

Como se mencionó anteriormente los vectores característicos se definen por la

proporción de sus elementos, pudiéndose escalar o "normalizar" en forma arbitraria. Es

frecuente escalarlos de modo que:

rsrs δ=φφφφφφφφ B* (3.11a)

Se dice entonces que los vectores están normalizados respecto a la matriz B. En tal

caso se tiene también:

rsrrs δλ=φφφφφφφφ A* (3.11b)

3.1.6 Cociente de Rayleigh

Si se conoce un vector característico φφφφi, el correspondiente valor λ i puede determinarse

con el cociente de Rayleigh:

( )i

Ti

iTi

i φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

B

Α=ρ (3.12)

Esta expresión puede aplicarse también con aproximaciones a los vectores propios. Si x

es una aproximación a un vector característico con un error de orden ε, el cociente de

Rayleigh, ρ(x), aproxima el correspondiente valor característico con un error de orden ε 2.

3.1.7 Teorema de Gershgorin

Supóngase que iλ es un valor característico de la matriz A y que iφφφφ es el

correspondiente vector, con componentes L321 vvv :


iii φφφφφφφφ λ=A (3.13a)

La componente de mayor valor absoluto en iφφφφ es sv . Dividiendo la ecuación s en (3.13a)

entre sv e intercambiando ambos miembros:

++++

+

=λ

s

nsnss

ss

ssi v

vaa

v

va

v

va LL

22

11 (3.13b)

y por lo tanto:

snssssi aaaa +++++=−λ LL 021 (3.13c)

En consecuencia, cada valor característico iλ está dentro de por lo menos uno de los

círculos con centro en ssa y radio igual a la suma de los valores absolutos de la

correspondiente fila s.

Por ejemplo, considerando la matriz:

−−

=41

12A

que es definida positiva, puede asegurarse que sus valores característicos (que son

números reales) están dentro de los intervalos (1,3) y (3,5). Efectivamente, en este caso

23±=λ .

3.1.8 Formas polinómicas

Supóngase que se conocen los valores y vectores característicos de una matriz, A:

A φφφφ = λ φφφφ (3.14a)

¿Cuáles son los valores característicos de la matriz A2 = A A?

(AA) φφφφ = A (A φφφφ) = A (λ φφφφ) = λ (A φφφφ)= λ2 φφφφ

Este resultado puede extenderse para la matriz Ak (siendo k un exponente). Los

vectores característicos son los mismos que los de la matriz A, mientras que los

correspondientes valores característicos son λk:

Ak φφφφ = λk φφφφ (3.14b)

Esto es incluso válido para exponentes negativos. Por ejemplo, multiplicando ambos

miembros de (3.15a) por λ-1A-1 se obtiene:

A-1 φφφφ = λ-1 φφφφ (3.14c)

Por otro lado, combinando linealmente expresiones de la forma (3.14b) y teniendo en

cuenta que A0 = I (así como λ0 = 1):

(c0 I+ c1 A+ c2 A2 + c3 A

3 +...) φφφφ = (c0 + c1 λ+ c2 λ2 + c3 λ3 +...) φφφφ (3.14d)

Por ejemplo, si:

−−

=21

12A

tiene valores característicos 1 y 3, la matriz:

−−

==54

452 AAA


tiene valores característicos 1 y 9 (es decir, los cuadrados de 1 y 3). Los vectores

característicos son los mismos para ambas matrices.

3.2 Métodos de Iteración con Vectores

Los métodos que se presentan en esta sección son los más eficientes cuando sólo se

requieren un valor característico y su vector asociado, o en todo caso cuando el número

de valores y vectores característicos por determinar es pequeño.

3.2.1 Iteración Directa

En la iteración "directa" se considera un vector inicial 0x y se obtiene una secuencia de

vectores corregidos, kx , mediante:

jj xAxB =+1 (3.15a)

1

11

+

++ =

j

jj r

xx (3.15b)

donde rj+1 es un escalar que normaliza el vector utilizado en la iteración. Lo habitual es

tomar rj+1 como el elemento de máximo valor absoluto en 1+jx , lo que significa escalar el

vector de aproximación de modo que la mayor componente sea igual a 1..

Este proceso converge al vector característico nφφφφ , asociado al valor característico de

mayor módulo, nλ . En efecto, la aproximación inicial x0 puede escribirse como:

x0 = α1 φφφφ1 + α2 φφφφ2 + α3 φφφφ3 + … + αn-1 φφφφn-1 + αn φφφφn (3.16a)

Recuérdese que los n vectores característicos son linealmente independientes y

constituyen una base completa en el espacio de dimensión n. Entonces (suponiendo

que B no es singular):

∑∑ λα=α= iiiii φφφφφφφφ BAxA 0 (3.16b)

01

1 AxBx −= = (α1 λ1) φφφφ1 + (α2 λ2) φφφφ2 + …+ (αn λn) φφφφn (3.16c)

y por lo tanto:

( )∑ λα=n

iir11

1x φφφφi (3.16d)

Se observa que, si las componentes de x0 eran αi, aquellas de x1 resultan proporcionales

a αi λi. Repitiendo pasos análogos a los indicados en (3.18), puede comprobarse que la

aproximación xk puede expresarse como combinación lineal de los vectores

característicos con coeficientes proporcionales a kiiλα (en este caso k es un exponente).

En consecuencia, si 121 λ≥≥λ≥λ≥λ −− Lnnn , las componentes según φφφφn crecen

más rápidamente que las otras y se tiene que:

=∞→ k

kLim x φφφφn (3.17a)

nkk

rLim λ=∞→

(3.17b)

Esto es válido aún cuando αn = 0 puesto que, por lo menos al tratar con grandes

matrices, los errores de redondeo (debidos a la aritmética imperfecta del computador)

introducen siempre una componente según φφφφn. La convergencia es muy rápida si


1−λ>>λ nn o si x0 es aproximadamente paralelo a φφφφn (es decir, si la componente αn

es importante en relación a las demás). En cambio, si los últimos valores característicos

son similares la convergencia es en general muy lenta. Por otro lado, no se tienen

dificultades para el caso (más académico que práctico) en que 1−λ=λ nn : en tal caso el

proceso converge a un vector característico que resulta ser la proyección de x0 en el

subespacio definido por los vectores φφφφn y φφφφn-1.

Considérese por ejemplo el problema A φ φ φ φ = λ B φφφφ con las matrices:

−−−

−=

110

132

025

A

=300

020

001

B

Aún cuando en este caso se tienen matrices simétricas, el procedimiento descrito se

aplica a matrices cuadradas cualesquiera.

En este caso se obtienen:

k x k Ax k 1+kx r k+1 ρ (xk+1)

0 1.00000 5.00000 5.00000 5.00000

0.00000 -2.00000 -1.00000

0.00000 0.00000 0.00000 5.481481

1 1.00000 5.40000 5.40000 5.40000

-0.20000 -2.60000 -1.30000

0.00000 0.20000 0.06667 5.502594

2 1.00000 5.48148 5.48148 5.48148

-0.24074 -2.73457 -1.36728

0.01235 0.25309 0.08436 5.503559

3 1.00000 5.49887 5.49887 5.49887

-0.24944 -2.76370 -1.38185

0.01539 0.26483 0.08828 5.503603

4 1.00000 5.50259 5.50259 5.50259

-0.25130 -2.76994 -1.38497

0.01605 0.26735 0.08912 5.503605

5 1.00000 5.50339 5.50339 5.50339

-0.25169 -2.77128 -1.38564

0.01620 0.26789 0.08930 5.503605

6 1.00000 5.50356 5.50356 5.50356

-0.25178 -2.77156 -1.38578

0.01623 0.26801 0.08934 5.503605

El procedimiento converge al valor característico: φφφφ3 =

−01623.0

25180.0

00000.1

que corresponde al valor característico de mayor módulo, λ3 = 5.503605.


El valor de r es aproximadamente λn, pero el cociente de Rayleigh, ρ(x)" proporciona

siempre una aproximación mejor.

3.2.2 Iteración Inversa

El proceso de iteración directa antes descrito converge al vector característico asociado

al valor característico de mayor módulo. Éste puede ser útil al considerar el

condicionamiento de las matrices de coeficientes en grandes sistemas de ecuaciones, o

al analizar la estabilidad numérica de ciertos métodos para integrar sistemas de

ecuaciones diferenciales, pero por lo general tiene poca importancia en la respuesta del

sistema estudiado. Para determinar la respuesta de un sistema se requieren más bien

los valores característicos de menor módulo y sus vectores asociados.

Para determinar el vector característico asociado al valor propio de menor módulo (el

modo fundamental) puede usarse una "iteración inversa":

jj xBxA =+1 (3.18a)

1

11

+

++ =

j

jj r

xx (3.18b)

En este caso si:

x0 = α1 φφφφ1 + α2 φφφφ2 + α3 φφφφ3 + … + αn-1 φφφφn-1 + αn φφφφn (3.19a)

la aproximación xk puede expresarse como combinación lineal de los vectores

característicos con coeficientes proporcionales a kii λα (nuevamente, k es aquí un

exponente):

xk = k1

1

λα

φφφφ1 + k2

2

λα

φφφφ2 + k3

3

λα

φφφφ3 + … + kn

n

1

1

−

−

λα

φφφφn-1 + kn

n

λα

φφφφn (3.19b)

En consecuencia, si nλ≤⋅⋅⋅≤λ≤λ≤λ 321 al emplear la iteración inversa se tiene

que:

=∞→ k

kLim x φφφφ1 (3.20a)

1

1

λ=

∞→ kk

rLim (3.20b)

Los comentarios anteriores relativos a la convergencia de la iteración directa son

también válidos. En este caso la velocidad de convergencia depende de la razón λ2 / λ1.

Para las matrices del caso anterior y considerando, por ejemplo, el vector inicial:

=2

1

0

0x

se obtiene el vector asociado al valor característico de menor módulo, es decir, λ1.

Nótese que r es ahora una aproximación de 1 / λ1, mientras que en la iteración directa lo

era de λn. También en este caso se observa que el cociente de Rayleigh es siempre una

mejor aproximación al valor característico.


k x k Bx k 1+kx r k+1 ρ (xk+1)

0 0.00000 0.00000 2.66667 12.66667

1.00000 2.00000 6.66667

2.00000 6.00000 12.66667 0.154734

1 0.21053 0.21053 1.42105 6.44737

0.52632 1.05263 3.44737

1.00000 3.00000 6.44737 0.154625

2 0.22041 0.22041 1.42993 6.46463

0.53469 1.06939 3.46463

1.00000 3.00000 6.46463 0.154624

3 0.22119 0.22119 1.43102 6.46696

0.53594 1.07187 3.46696

1.00000 3.00000 6.46696 0.154624

4 0.22128 0.22128 1.43116 6.46727

0.53610 1.07221 3.46727

1.00000 3.00000 6.46727 0.154624

5 0.22129 0.22129 1.43118 6.46731

0.53613 1.07225 3.46731

1.00000 3.00000 6.46731 0.154624

6 0.22129 0.22129 1.43118 6.46731

0.53613 1.07226 3.46731

1.00000 3.00000 6.46731 0.154624

En muchas aplicaciones B es diagonal y A no lo es, por lo que la iteración directa es

más simple. Sin embargo, un paso típico de la iteración inversa requiere

aproximadamente el mismo número de operaciones que un paso de iteración directa.

Supóngase que se tienen matrices de orden n y que A es una matriz de alta densidad

(es decir, con pocos coeficientes no significativos). El número de operaciones

requeridas para efectuar el producto Ax es de orden n2. Aquí se cuenta como una

"operación" la combinación de una multiplicación o división con una suma o resta.

También se ha supuesto que n es grande, por lo que n2 es mucho mayor que n. La

división de Ax entre los coeficientes (de la diagonal principal) de B requiere un número

de operaciones de orden n, que puede despreciarse. Es interesante observar que si

previamente se realizó (una sola vez) la factorización A = LU, la solución del sistema de

ecuaciones Ax = b requiere también un número de operaciones de orden n2, mientras

que el producto Bx demanda sólo n operaciones. Por otro lado, si la matriz A es de baja

densidad y tiene un ancho de semibanda promedio m, tanto un producto de la forma Ax

como la solución de las ecuaciones Ax = b requieren aproximadamente mn operaciones.

3.2.3 Traslación

La velocidad de convergencia de la iteración inversa depende de las razones 1 / λi. Si

12 λ≈λ la convergencia es lenta; siendo en cambio muy rápida si 21 λ<<λ . La

convergencia puede acelerarse mediante una "traslación" 1λ≈µ :


A φ φ φ φ = λ B φφφφ (3.21a)

(A - µB) φ φ φ φ = (λ−µ) B φφφφ (3.21b)

Nótese que el nuevo sistema (3.21b) tiene los mismos vectores característicos que el

sistema original (3.21a) y valores característicos λ i - µ. Desde el punto de vista del

polinomio característico, se ha trasladado el origen:

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7

µµµµ

p( µµ µµ

)

Si 1λ≈µ puede lograrse que:

µ−λ>>µ−λ 21

y por tanto:

µ−λ<<

µ−λ 21

11

,

con lo que la convergencia mejora en forma apreciable.

Para el ejemplo anterior, efectuando una traslación µ = 0.154 se tiene:

−−−

−=−

538.010

1692.22

02846.4

154.0 BA

y por iteración inversa:


0 0.00000 0.00000 692.29 3129.01

1.00000 2.00000 1677.41

2.00000 6.00000 3129.01 0.000624

1 0.22125 0.22125 354.79 1603.26

0.53608 1.07216 859.55

1.00000 3.00000 1603.26 0.000624

2 0.22130 0.22130 354.80 1603.29

0.53613 1.07226 859.57

1.00000 3.00000 1603.29 0.000624

Se obtienen: λ1 = 0.154 + 0.000624 = 0.154624 y φφφφ1 =

00000.153613.022129.0

.

El siguiente algoritmo usa el cociente de Rayleigh para efectuar la traslación. Iniciando

el proceso con 00 xBy = y µ0 = 0:

( ) kkk yxBA =µ− +1


11 ++ = kk xBy

11

11

++

++ +µ=µ

kTk

kTk

kkyx

yx (3.22)

( ) 121

111 +−

+++ = kkTkk yyxy

En relación con las expresiones precedentes:

By =∞→ k

kLim φφφφ1 (3.23a)

1λ=µ∞→ k

kLim (3.23b)

La convergencia es cúbica.

3.2.4 Determinación de Otros Vectores Característi cos

En los párrafos precedentes se ha visto cómo mediante iteración directa o inversa

pueden obtenerse φφφφn o φφφφ1 respectivamente. Podría determinarse un valor característico

intermedio y su vector asociado por iteración inversa con una traslación adecuada; sin

embargo, esto requeriría un procedimiento previo para definir la traslación.

En los que sigue se describe la determinación de sucesivos vectores característicos

aprovechando las condiciones de ortogonalidad para el caso en que las matrices A y B

son simétricas. La idea básica consiste en iterar con vectores ortogonales a los

previamente obtenidos. Desafortunadamente, el proceso acumula los errores de los

vectores previos y cada nuevo vector se determina siempre con menos precisión que el

anterior. En la práctica se observa que se pierde una cifra significativa por cada nuevo

vector; por tanto, no es factible determinar por este método más de unos 10 vectores

característicos. En algunas aplicaciones esto puede no ser suficiente.

A partir de un vector arbitrario:

v = α1 φφφφ1 + α2 φφφφ2 + α3 φφφφ3 + ... + αn φφφφn (3.24a)

puede obtenerse un vector ortogonal a los vectores característicos ya conocidos

haciendo uso de las relaciones de ortogonalidad:

φφφφiT B v = α1 φφφφi

T B φφφφ1 + α2 φφφφiT B φφφφ2 + ... + αn φφφφi

T B φφφφn

φφφφiT B v = αi φφφφi

T B φφφφi (3.24b)

es decir:

αi = ( φφφφiT B v ) / ( φφφφi

T B φφφφi ) (3.24c)

Luego es suficiente restar de v los αi φφφφi para obtener un vector que (salvo por la

imprecisión en la aritmética no tiene componentes según los vectores característicos

previamente hallados.

Para el ejemplo antes tratado, suponiendo que se haya obtenido el primer vector

característico:

φφφφ1 =

000000000.1

536128843.0

221295029.0


y considerando v =

010

se obtiene α1 = 0.295889928, de donde:

x0 = v - α1 φφφφ1 =

−

−

29589.0

84136.0

06548.0

es un vector ortogonal a φφφφ1. Si se hace una iteración inversa con x0 se obtiene

(suponiendo que se operara con una aritmética infinitamente precisa) el vector

característico φφφφ2:


0 -0.06548 -0.06548 0.24319 0.64072

0.84136 1.68272 0.64072

-0.29589 -0.88767 -0.24696 1.20534

1 0.37956 0.37956 0.40775 0.82960

1.00000 2.00000 0.82960

-0.38544 -1.15631 -0.32671 1.17649

2 0.49150 0.49150 0.43668 0.84594

1.00000 2.00000 0.84594

-0.39382 -1.18147 -0.33553 1.17517

3 0.51620 0.51620 0.44210 0.84715

1.00000 2.00000 0.84715

-0.39663 -1.18990 -0.34275 1.17504

4 0.52187 0.52187 0.43603 0.82913

1.00000 2.00000 0.82913

-0.40460 -1.21379 -0.38466 1.17113

Es importante hacer notar que, como consecuencia de los errores de redondeo se

introducen en las aproximaciones xj componentes según los vectores característicos

originalmente eliminados.. En los resultados precedentes se tienen las siguientes

componentes según φφφφ1:

k α1

0 -1.565 x 10-6

1 -1.580 x 10-5

2 -0.000123

3 -0.000941

4 -0.007188

5 -0.056063

Como estas componentes tienden a crecer más rápidamente que la propia solución, es

necesario eliminarlas cada 4 ó 5 pasos, utilizando el mismo proceso inicial:


xj = v - ∑−

=

α1

1

j

i

i φφφφi (3.25)

Para el caso del ejemplo:

( )

−=

−−

−=

40787.0

03006.1

53829.0

000000000.1

536128843.0

221295029.0

056093.0

46393.0

00000.1

52588.0

0x

y luego de escalar este vector:

k x k Bx k x k+1 r k+1 ρ (xk+1)

5 0.52258 0.52258 0.44489 0.85094

1.00000 2.00000 0.85094

-0.39597 -1.18790 -0.33696 1.17511

6 0.52282 0.52282 0.44496 0.85098

1.00000 2.00000 0.85098

-0.39599 -1.18796 -0.33698 1.17511

7 0.52288

1.00000

-0.39599

se obtienen: 17511.185098.0

12 ==λ y φφφφ2 =

− 39599.000000.152288.0

3.2.5 Deflación

Otra alternativa es hacer una deflación, obteniendo un nuevo sistema φλ=φ BA~~

, de

orden menor, con los mismos valores característicos del problema original, excepto los

previamente determinados. En lo que sigue se aplica esta idea a un problema de la

forma clásica φφφφφφφφ λ=H .

Considérese una matriz ortogonal, P , cuya última columna es igual al vector

característico 1φ previamente determinado:

( )1121 φ= −npppP L (3.26)

Al hacer el cambio de variable zP=φ se obtiene zPzPH λ= y premultiplicando por TP : ( ) zzPHP λ=T . Sin embargo, al ser la última columna de P igual a 1φ y

suponiendo que ese vector haya sido normalizado de modo que 111 =φφT se tiene:

λ=

1

~

0

0HPHPT (3.27)

Esta matriz tiene los mismos valores característicos que la matriz original, H . Lo mismo

se puede decir de H~

, excepto por 1λ .

Hay múltiples posibilidades para formar P . En el proceso propuesto por Rutishauser se

hacen las operaciones equivalentes a trabajar con 121 −= nJJJP L , donde:


1

1

1

1

+

+

−=

k

k

k

k

kk

kkk cs

sc

columnacolumna

fila

fila

O

O

J (3.28a)

Nótese que ( ) 121121 −−= nTTT

nT JJJHJJJPHP LL , pudiéndose evaluar fácilmente los

sucesivos productos, ya que en cada caso sólo se alteran dos filas y dos columnas.

Los coeficientes kc y ks se determinan a partir de las componentes L321 xxx del

vector característico previamente hallado, 1φφφφ . Definiendo:

223

22

21

2kk xxxxq L+++= (3.28b)

se tiene:

1

1

1

+

+

+

=

=

k

kk

k

kk

q

xc

q

qs

(3.28c)

Para el ejemplo considerado anteriormente, sería necesario primero convertir el

problema a la forma clásica. Al ser B diagonal:

−−−

−==

−−

333333.0408248.00

408248.05.1414214.1

0414214.1521

21

BABH

Y para φφφφφφφφ λ=H pueden obtenerse (por iteración inversa):

Para φφφφφφφφ λ=H pueden obtenerse (por iteración inversa):

=90987.0

39827.0

11625.0

1φφφφ

Luego:

00000.1

90987.041489.041489.0

95994.028019.011625.0

3

222

111

====

===

q

csq

csq

Con el propósito de observar que, efectivamente, la última columna de P es igual a 1φ se está evaluando aquí la referida matriz:

−

−=90987.0414898.00

41489.090987.00

001

100

095994.028019.0

028019.095994.0

P

es decir:


−−=

90987.041489.00

39827.087342.028019.0

11625.025494.095994.0

P

de donde:

−−

=15462.000

019271.127561.0

027561.048594.5

PHPT

Nótese el 1λ en la esquina inferior derecha. Los valores característicos de

−−

=19271.127561.0

27561.048594.5~H son 1751.12 =λ y 5036.53 =λ , es decir, iguales a los

restantes valores característicos del problema original. Los correspondientes vectores resultan:

=9980.0

0638.02z y

−=

0638.0

9980.03z

de donde:

=−

021

kk

zPBφφφφ

El factor 21−

B se requiere para obtener los vectores del problema general en su forma

original.

3.3 Métodos de Transformación

Los métodos de este grupo son eficientes sólo si se requieren todos o una alta

proporción de los valores y vectores característicos. La idea básica de estos procesos

consiste en hacer un cambio de variables:

φ φ φ φ = P z (3.29a)

para transformar A φ φ φ φ = λ B φφφφ en:

( P-1A P ) z = λ ( P-1B P ) z (3.29b)

Este sistema tiene los mismos valores característicos que el sistema original y vectores

propios relacionados por (3.29a). Si las transformaciones son tales que las nuevas

matrices tienen valores y vectores característicos fáciles de determinar, se ha resuelto

indirectamente el problema original.

3.3.1 Método de Jacobi

El método de Jacobi (1846) puede considerarse como prototipo de los métodos de

transformación. En este procedimiento se transforma el problema original a uno de la

forma:

λ=

nnnn z

zz

b

bb

z

zz

a

aa

MOMO2

1

2

1

2

1

2

1

(3.30)


que tiene como vectores característicos las columnas de la matriz identidad y como

valores característicos los iii ba=λ . Los valores característicos del sistema original

son los mismos. P es en este caso una matriz ortogonal:

P-1 = PT (3.31)

cuyas columnas son la propia solución buscada. Ésta se determina mediante un

proceso iterativo que se describe a continuación.

En la forma que aquí se presenta, este método se aplica a problemas de la forma

clásica, A φ φ φ φ = λ φ φ φ φ, siendo A una matriz simétrica (real). Más adelante se consideran las

modificaciones requeridas para problemas de la forma general.

Empezando con A(0) = A y llamando φφφφ(0) a los vectores característicos del problema

original, el paso k del proceso se define como:

φφφφ(k) = Pk φφφφ(k+1) (3.32a)

A(k) ( Pk φφφφ(k+1) ) = λ ( Pk φφφφ(k+1) )

y si P es una matriz ortogonal, premultiplicando por PT se obtiene:

( PkTA(k) Pk ) φφφφ(k+1) = λ φφφφ(k+1)

Lo que equivale a considerar un problema similar al original:

A(k+1) φφφφ(k+1) = λ φφφφ(k+1) (3.32b)

Siendo:

A(k+1) = PkTA(k) Pk (3.32c)

Nótese que se mantiene la simetría de la matriz. Los valores característicos de esta

nueva matriz son los mismos de la matriz original; los correspondientes vectores se

relacionan por expresiones de la forma (3.32a).

En el método de Jacobi las matrices Pk corresponden a una rotación plana:

jfila

ifila

jcolicol

kk

kkk

θθθ−θ=

1

cossen

sencos

1

O

O

P (3.33)

El objetivo de un paso es hacer cero un coeficiente aij = aji. Puede verificarse

fácilmente que:

( ) ( ) 0sencossencos 22)(11 =θ−θ+θθ−== ++kk

kijkk

(k)ii

(k)jj

)(kji

)(kij aaaaa

(3.34a)

y por tanto:

40

22tg

)()(

)( π≤θ≤

−=θ kk

jjk

ii

kij

kaa

a (3.34b)

Sólo los elementos de dos filas y de dos columnas ( )ji, se alteran en cada paso.

Además, como se mantiene la simetría de la matriz A sólo deben calcularse los


coeficientes de la submatriz triangular superior (o inferior) de A(k+1). Con la notación

c = cos θ k; s = sen θ k:

( ) ( ) 0c

2

2

22)(11

2)()(2)(1

221

=−+−==

+=

++=

++

+

+

sacsaaaa

cacsa-sa a

sacsac aa

kij

(k)ii

(k)jj

)(kji

)(kij

kjj

kij

kii

)(kjj

(k)jj

(k)ij

(k)ii

)(kii

(3.35a)

casaaa

sacaaa

kjr

(k)ir

)(krj

)(kjr

kjr

(k)ir

)(kri

)(kir

)(11

)(11

+−==

+==++

++

(3.35b)

En un cierto paso se hacen cero los elementos aij y aji. Sin embargo, las sucesivas

rotaciones reintroducen valores significativos en estas posiciones, por lo que es

necesario repetir el proceso en varios "ciclos" para todos los elementos de fuera de la

diagonal principal. El proceso es convergente. Si en un ciclo dado los cocientes

[ ])()(

2)(

kjj

kii

kij

ijaa

a=γ (3.36)

son de orden ε, éstos se reducen a orden ε2 en el siguiente ciclo.

El número de ciclos completos necesarios para que la matriz A sea suficientemente

aproximada a una matriz diagonal depende del orden de la matriz. Para matrices de

orden 50 ó 60 pueden ser necesarios 8 a 10 ciclos. Cada ciclo demanda O(2n3)

operaciones.

Desde un punto de vista teórico sería más eficiente hacer cero los elementos aij en

orden decreciente de los ijγ , definidos por (3.36), pero las comparaciones necesarias

son relativamente lentas. Por eso se prefiere seguir un orden fijo en la selección de los

elementos y efectuar las rotaciones sólo si ijγ es mayor que una tolerancia, variable en

función del número de ciclo, m (por ejemplo 10-2m). La convergencia del proceso se

puede verificar con una medida similar.

Para determinar los vectores característicos es suficiente efectuar el producto de las

matrices Pk ya que:

φφφφ(k) = Pk φφφφ(k+1) (3.37a)

y por lo tanto:

φφφφ = φ φ φ φ(0) = P1 P2 P3 ... Pm (3.37b)

Para ilustrar el método de Jacobi considérese el problema A φ φ φ φ = λ φ φ φ φ con:

−−

=

4310

363-1

13-63-

013-2

)0(A

En el primer paso se hacen cero los coeficientes a12 y a21. En las expresiones

precedentes:

362 )0(21

)0(12

)0(22

)0(11 −==== aaaa


( ) ( )471858.0sen881675.0cos5.1

62

322tg =θ=θ⇒=

−−

=θ

=

1000

0100

0088167504718580

0047185808816750

1

..

.-.

P

==

4388167504718580

361168835338990

88167501168836055570

4718580533899003944490

1(0)T

1)1(

-..

-.-.-

..-.

..-.

PAPA

Luego se hacen cero los coeficientes a31:

533899.06394449.0 )1(31

)1(13

)1(33

)1(11 −==== aaaa

093978.0sen995574.0cos =θ=θ

=

1000

00.99557400.0939783

0010

00.0939783-00.995574

2P

==

403107388167501878350

031073050461030930

88167501030936055572929190

1878350029291903440510

2(1)T

2)2(

.-..

.-..-

..-..-

..-.

PAPA

Nótese que se tienen nuevamente valores significativos en las posiciones 12 y 21. Por

otro lado:

=

1000

00.99557400.0939783

00.0443444-0.8816750.469770

00.0828582-0.471858-0.877773

21PP

Procediendo en forma similar:

10309.30504.660555.7 )2(32

)2(23

)2(33

)2(22 −==== aaaa

615196.0sen788374.0cos =θ=θ

==

41.84721-2.559790.187835

1.84721-3.6289500.180203-

2.55979010.0270.23093-

0.1878350.180203-0.23093-0.344051

3(2)T

3)3( PAPA


=

1000

00.7848850.612474-0.0939783

00.5074430.722370.46977

00.355609-0.321026-0.877773

321 PPP

187835.04344051.0 )3(41

)3(14

)3(44

)3(11 ==== aaaa

0511758.0sen99869.0cos =θ=θ

==

0096348540115446220

854011628953008543420

5446220027103616270

00854342036162703344260

4(3)T

4)4(

..-.

.-..-

...-

.-.-.

PAPA

=

0.99869000.0511758-

0.004809410.7848850.612474-0.0938551

0.02404080.5074430.7223700.469154

0.04492070.355609-0.321026-0.876622

4321 PPPP

54462.200963.4027.10 )4(42

)4(24

)4(44

)4(22 ==== aaaa

343849.0sen939025.0cos −=θ=θ

==

07785374096101243450

7409616289536375008543420

0637509588103395760

12434500854342033957603344260

5(4)T

5)5(

..-.

.-..-.-

.-..-

..-.-.

PAPA

=

0.93779500.3433980.0511758-

0.2151150.7848850.573474-0.0938551

0.225811-0.5074430.6865900.469154

0.1525660.355609-0.286006-0.876622

54321 PPPPP

74096.107785.362895.3 )5(43

)5(34

)5(44

)5(33 −==== aaaa

649489.0sen760371.0cos =θ=θ

==

5907610414049003905980

011603548473701457220

414049048473709588103395760

03905980145722033957603344260

6(5)T

6)6(

..-.

..-.-

.-.-..-

..-.-.

PAPA

=≈

0.7130720.609087-0.3433980.0511758-

0.6733410.4570890.573474-0.0938551

0.1578780.5325070.6865900.469154

0.114957-0.369485-0.286006-0.876622

654321 PPPPPPΦ

con lo que termina un primer “ciclo”. Análogamente, al terminar el segundo ciclo:


=

1.5727900.00001490.0003418-

05.082720.00151550.0006033-

0.00001490.001515511.02680.007656-

0.0003418-0.0006033-0.007656-0.317649

)12(A

=≈

0.7225180.584532-0.3614670.0750522-

0.6515780.3996230.640155-0.0771368

0.2010620.5665800.6192080.505117

0.11397-0.421440-0.275908-0.856314

1221 PPPΦ L

y al finalizar el tercer ciclo:

=

1.57279

5.08272

11.0269

0.317644

)18(A

No se muestran los coeficientes con valor absoluto menor que 10-6. Los coeficientes

de la diagonal de A(18) son (aproximaciones a) los valores característicos de la matriz

A. Nótese que no se obtienen en orden ascendente o descendente. Las columnas del

producto 1821 PPP L son los correspondientes vectores, que se obtienen normalizados:

ΦΦΦΦT ΦΦΦΦ = I. Esto se comprueba fácilmente, ya que las matrices kP son todas

ortogonales.

=≈

0.7225370.584614-0.3613730.074671-

0.6515580.3997770.640107-0.076907

0.2009230.5663580.6189910.505686

0.114202-0.421478-0.276628-0.856032

1821 PPPΦ L

3.3.2 Caso de Matrices Hermitianas.

El método de Jacobi puede también emplearse para hallar los valores y vectores

característicos de una matriz Hermitiana, H , cuyos coeficientes (en general complejos)

tienen simetría conjugada. En este caso se hacen productos de la forma:

kk

kk UHUH )(*)1( =+ (3.38)

en los que kU es una matriz unitaria, es decir, tal que *1kk UU =− (el superíndice *

denota en este caso la conjugada traspuesta). Para hacer cero el coeficiente ijh se

utiliza:

jfila

ifila

jcolicol

i

ik

e

e

φφφ−φ=

θ

θ

1

cossen

sencos

1

O

O

U (3.39)

Suponiendo que:


icbh

ahk

ji

kii

+=

=)(

)(

dh

icbh

kjj

kij

=

−=)(

)(

(3.40a)

Las partes real e imaginaria de los nuevos coeficientes ( )ji, resultan:

( )( ) 02cossen2sensencossensencos

02sensen2cossencoscossencos222

222

=θφ−θφ−φ+θφφ−

=θφ−θφ−φ+θφφ−

ccbda

cbbad

de donde:

( )da

cbb

c

−θ+θ

=φ

=θ

sencos22tan

tan (3.40b)

3.3.3 Método de Jacobi Generalizado.

Es posible modificar el método de Jacobi "clásico" antes descrito para resolver

directamente el problema general A φ φ φ φ = λ B φφφφ.

En lo que sigue se supone que A y B son simétricas y que esta última es definida

positiva (y posiblemente no diagonal). Debe anotarse que si B fuera diagonal sería

más eficiente transformar el problema a la forma clásica.

Un paso del proceso general se define por:

A(k+1) = PkTA(k) Pk (3.41)

B(k+1) = PkTB(k) Pk

donde Pk es una matriz similar a la utilizada para el proceso clásico:

jfila

ifila

jcolicol

k

kk

γα=

1

1

1

1

O

O

P (3.42)

α y γ se determinan de:

( ) 01 )(11 =γ+γα++α== ++ (k)jjk

kijkk

(k)iik

)(kji

)(kij aaaaa

( ) 01 )(11 =γ+γα++α== ++ (k)jjk

kijkk

(k)iik

)(kji

)(kij bbbbb (3.43)

Estas dos ecuaciones son independientes, excepto en el caso en que

(k)jj

(k)jj

(k)ij

(k)ij

(k)ii

(k)ii

b

a

b

a

b

a== (3.44a)

en el que puede considerase, por ejemplo:

(k)jj

(k)ij

kka

a=γ=α 0 (3.44b)

Definiendo:


( ))()()()(21

3

)()()()(2

)()()()(1

kjj

kii

kjj

kii

kij

kii

kij

kii

kij

kjj

kij

kjj

abbac

abbac

abbac

−=

−=

−=

(3.45a)

212333 )( ccccsignocd ++=

se obtienen:

d

c

d

ckk

12 =α−=γ (3.45b)

El radical en la expresión de d es siempre positivo si B es una matriz definida positiva.

Puede observarse que si B fuera la matriz identidad se obtendrían: θ−=γ−=α tgkk .

Los comentarios precedentes relativos a la convergencia son también aquí aplicables.

El número de operaciones en cada ciclo es de O(3n3).

El siguiente ejemplo ilustra los aspectos nuevos introducidos en esta sección. Se

pretende determinar los valores y vectores característicos del sistema: A φ φ φ φ = λ B φφφφ,

donde:

−−

=11

11A

=

21

12B

Para estas pequeñas matrices con un paso es suficiente:

i=1, j=2

a11 = 1 a22 = 1 a12 = a21 = -1

b11 = 2 b22 = 2 b12 = b21 = 1

c1 = 3 c2 = 3 c3 = 0

d=3 α = -γk =1

A(1) = P1TA(0) P1 =

=

−

−−

−00

04

11

11

11

11

11

11

B(1) = P1TB(0) P1 =

=

−

−60

02

11

11

21

12

11

11

de donde:

λ2 = 4/2 = 2

λ1 = 0/6 = 0

ΦΦΦΦ = P1 diag (bi-½) =

−=

− 4082.07071.0

4082.07071.0

610

021

11

11

La post multiplicación de P1 sólo es necesaria para escalar los vectores de modo que

ijjTi δ=φφφφφφφφ B . Al igual que en el procedimiento clásico los valores característicos (y los

correspondientes vectores) no quedan necesariamente ordenados.

3.3.4 El Método QR

Este proceso se aplica al problema clásico A φφφφ = λ φφφφ, donde A no requiere ser

simétrica, pudiendo tener valores característicos cero (o incluso negativos). En el caso


más general, para una matriz A cualquiera, el método QR es poco eficiente, ya que

requiere O( 34 n3) operaciones por paso. Sin embargo, sólo se requieren O(4n2)

operaciones por paso si A es de la forma Hessemberg:

=

OL

K

5554

454443

35343332

2524232221

1514131211

000

00

0

aa

aaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

A (3.46)

es decir si es casi triangular superior, excepto por una codiagonal inferior. Para el caso

particular en que la matriz A es además simétrica (y por lo tanto tridiagonal):

=

OO

O43

332

221

11

ab

bab

bab

ba

A (3.47)

el método QR es aún más eficiente, requiriendo tan solo O(12n) por paso.

En todo caso es siempre posible efectuar la transformación a la forma Hessemberg

(tridiagonal si A y B son simétricas), requiriéndose un total de O( 35 n3) operaciones

(una sola vez).

Debe anotarse además que, a diferencia del método de Jacobi, el método QR mantiene

la posible configuración banda de la matriz y permite efectuar traslaciones (análogas a

las de una iteración inversa), tanto para acelerar la convergencia como para mejorar la

precisión en los valores característicos de interés. El objetivo del proceso conocido

como QR es la determinación de los valores característicos; conocidos estos, los

correspondientes vectores pueden obtenerse por iteración inversa con traslación.

Considerando A(0) = A, el paso básico del método QR consiste en hacer la

descomposición:

kkk RQA =)( (3.48a)

donde kQ es una matriz ortogonal (es decir, IQQ =kTk ) y kR es una matriz triangular

superior. Luego se efectúa el producto en orden cambiado:

kkk QRA =+ )1( (3.48b)

Obsérvese que premultiplicando (3.48a) por TkQ se obtiene:

kkT

k RAQ =)( (3.48c)

y por lo tanto:

kkT

kkkk QAQQRA )()1( ==+ (3.48d)


Nótese que si )(kA es simétrica )1( +kA también resulta simétrica. La expresión (3.48d)

indica además que )1( +kA es "similar" a )(kA : sus valores característicos son los

mismos, los correspondientes vectores se relacionan por una transformación lineal:

)()()( kkk φφφφφφφφ λ=A (3.49a)

al efectuar el cambio de variables:

)1()( += kk

k φφφφφφφφ Q (3.49b)

se obtiene:

)1()1()( ++ λ= kk

kk

k φφφφφφφφ QQA (3.49c)

( ) )1()1()( ++ λ= kkk

kTk φφφφφφφφQAQ (3.49d)

Ambas matrices tienen los mismos valores característicos (que en consecuencia son

los de la matriz original) y vectores característicos relacionados por (3.49b).

A medida que k crece )(kA converge a una matriz triangular superior (cuyos valores

característicos son los elementos de la diagonal principal); para el caso simétrico )(kA

converge a una matriz diagonal. Los valores característicos se obtienen en orden

descendente; así la aproximación al valor característico de menor módulo se obtiene en

la posición nn de la matriz.

La convergencia del proceso es análoga a la de la iteración inversa. Cuando en pasos

sucesivos se obtienen valores similares en el extremo inferior de la diagonal principal,

puede afirmarse que se tiene una aproximación al primer valor característico. La

convergencia puede acelerarse efectuando traslaciones:

)(knnk a=µ (3.50a)

IQRA kkkk µ−=+ )1( (3.50b)

Nótese que los valores característicos de esta nueva matriz son iguales a los de la

matriz original menos la translación. Cuando se logra que 0)( =knna puede hacerse una

traslación:

)(1,1

knnk a −−=µ (3.50c)

para mejorar la convergencia al segundo valor característico y análogamente se

procede para los otros valores requeridos. Por regla general se requieren sólo 2 pasos

por cada valor característico adicional. Al finalizar el proceso debe agregarse a los

valores λ obtenidos la suma de las traslaciones kµ efectuadas.

Los vectores característicos podrían obtenerse con el producto:

L321)0( QQQ=φφφφ (3.51)

pero este proceso es poco eficiente, siendo más conveniente obtener estos vectores

por iteraciones inversas con traslaciones iguales a los valores característicos ya

determinados. Esto permite también mejorar la precisión en los λ .

La determinación de Q y R en un paso puede hacerse en diversas formas. El proceso

más eficiente consiste en transformar A en una matriz triangular superior utilizando

matrices de rotación plana (como en el método de Jacobi):


( ) RAPPP =−TTT

nn 21311, L (3.52a)

y por lo tanto:

1,3121 −= nnPPPQ L (3.52b)

La matriz jiP , que permite hacer cero el coeficiente ji:

jfila

ifila

jcolicol

kk

kkk

θθθ−θ=

1

cossen

sencos

1

O

O

P (3.53a)

se obtiene mediante:

d

a kii

)(

cos =θ

d

a kji

)(

sen =θ (3.53b)

( ) ( )2)(2)( kii

kji aad +=

Sólo se requiere un ciclo de estas transformaciones para obtener R. No es necesario

iterar.

Para un ejemplo del proceso considérese la matriz:

=210

141

012)0(A

Esta es una matriz simétrica (lo cual no es un requisito para emplear el método QR) y,

siendo tridiagonal, tiene la “forma Hessemberg”.

Para transformar A en una matriz triangular superior R se hace primero cero el

coeficiente a21:

0.447214 sen0.894427cos

2.23606812 )0(21

011

=θ=θ=== daa )(

100

0.894427.447214

0.447214-.894427

21

=P

=210

.8944273.1304940

0.4472142.6832812.236068

)0(T21AP

Luego se hace cero a32, con lo que se obtiene una matriz triangular superior:


3042900sen9525790cos

286335311304943 )0(32

022

..

.da.a )(

=θ=θ===

.952579.3042900

.304290-.9525790

001

32

=P

==1.63299300

1.4605323.2863320

0.4472142.6832812.236068

)0(T21

T321 APPR

Y se completa el primer paso efectuando el producto:

===1.555556.4969040

.4969043.2444441.469694

01.4696943.200000

3221111(1) PPRQRA

Análogamente, en el segundo paso:

=100

0.908739.417365

0.417365-.908739

21P

=.978097.2081500

.208150-.9780970

001

32P

==1.42749000

.7654542.3872420

2.6896863.521363

)1(T21

T322

L

APPR

===1.396226.2971320

.2971322.281193.996351

0.9963514.322580

3221222(2) PPRQRA

Y en el tercer paso:

=100

0.974449.224610

0.224610-.974449

21P

=.989134.1470170

.147017-.9891340

001

32P

==1.3385000

.4916632.0210760

.0667391.4832714.435924

)2(T21

T323 APPR


===1.323944.1967800

.1967802.020318.453953

0.4539534.655737

3221333(3) PPRQRA

Suponiendo que el coeficiente 323944.1)3(33 =a sea una buena aproximación al primer

valor característico, se efectúa una traslación:

=−0.1967800

.196780.696375.453953

0.4539533.331794

323944.1(3) IA

obteniéndose en el cuarto paso:

=.055581-.017396-0

.017396-.678541.088938

0.0889383.405209(4)A

Se hace entonces una nueva traslación:

1.268362-.055581 k4 =µ=µ⇒=µ ∑

obteniéndose:

=.000413-.0000100

.000010.731767.018800

0.0188003.463559(5)A

y nuevamente:

1.267949-.000413 k5 =µ=µ⇒=µ ∑

obteniéndose:

=000

0.732056.003973

0.0039733.464096(6)A

Se observa ahora que el coeficiente a33 es menor que 10-6, lo que implica que λ1 es

aproximadamente igual a la suma de las traslaciones previamente realizadas.

Conviene luego hacer una traslación igual al resultado obtenido para a22 a fin de

mejorar la precisión para el segundo valor característico:

2.732051 k6 =µ=µ⇒=µ ∑

=−.732051-00

00.003973

0.0039732.732050

732051.0(6) IA

Y puede trabajarse con la submatriz de un orden menor:

=

0.003973

.0039732.732050(6)A


0.000307sen1cos

2.7320510.0039732.732050 )6(21

611

=θ=θ=== daa )(

==

1.000000.000307

.000307-1.000000721 QP

−==

000001.0

.0008402.732051)6(217 APR T

=

00

073205.2)7(A

Los coeficientes indicados como 0 son menores que 10-6. Los valores característicos

de esta matriz son 0 y 2.732051. Para obtener aquellos de la matriz original deben

sumarse las traslaciones:

λ1 = -0.732051 + 2 = 1.267949

λ2 = 0 + 2 = 2

λ3 = 2.732051 + 2 = 4.732051

3.3.5. Transformación a la Forma Hessemberg

Si el método QR se aplicara a una matriz cualquiera sería en general poco eficiente,

puesto que requiere ( )33

4 nO operaciones por paso. Para reducir el número de

operaciones a ( )24nO por paso debe previamente transformarse la matriz a la forma

"Hessemberg" (es decir, una matriz que es casi triangular superior, teniendo además

coeficientes significativos en la primera codiagonal inferior):

=

− nnnn

n

n

n

n

hh

hhh

hhhh

hhhhh

hhhhh

1,

44443

3343332

224232221

114131211

0000

00

0

OMMMM

L

L

L

L

H (3.54)

Si la matriz original fuera simétrica, la transformación a la forma Hessemberg, que

puede hacerse conservando la simetría, produce una matriz tridiagonal. En tal caso el

QR requiere apenas n12 operaciones por paso. Cabe anotar que la forma

Hessemberg (tridiagonal para el caso simétrico) no se pierde en los sucesivos pasos

del método QR.

La transformación a la forma Hessemberg sólo requiere hacerse una vez. Por lo tanto

las ( )33

5 nO que se gastan en la transformación están plenamente justificadas.

Entre los procedimientos que se encuentran en la literatura para efectuar la

transformación, se propone el cambio de variables φφφφφφφφ B= , con lo que el problema

original φφφφφφφφ λ=Α se reescribiría como φφφφφφφφ λ=− BΑB 1 o bien φφφφφφφφ λ=H . En este

caso HBΑB =−1 o, lo que es lo mismo, HBBΑ = . En el proceso original de

Hessemberg se usa una matriz B de la forma:


=

10

010

0010

00010

00001

432

4342

32

L

M

L

L

L

L

nnn bbb

bb

bB (3.55a)

con coeficientes arbitrarios en la primera columna (que por simplicidad se ha escrito

como la primera columna de la matriz identidad). Los coeficientes de las sucesivas

filas de H y columnas de B pueden entonces obtenerse con las expresiones:

∑ ∑+= =

−+=n

rk

r

k

krikkrikirir hbbaah1 1

1,2,1 += ri L (3.55b)

−+= ∑ ∑

+= =++

n

rk

r

k

krikkrikirrr

ri hbbaah

b1 1,1

1,

1 nri L,2+= (3.55c)

Este procedimiento podría fallar si en algún paso 0,1 =+ rrh . El proceso podría

recomenzarse con una primera columna de B diferente, lo que en general evitaría el

error, aunque esto no puede garantizarse. Por otro lado, el procedimiento antes

expuesto no mantiene la posible simetría de la matriz A .

También puede hacerse la transformación a la forma Hessemberg por rotaciones

planas (método de Givens) o reflexiones (Householder). El método de Householder

utiliza matrices ortogonales y simétricas, de la forma:

TwwIP 2−= (3.56)

donde w es un vector unitario: 1=wwT . Es fácil probar que 1−== PPP T .

La matriz P refleja al espacio en el "plano" que pasa por el orígen y es ortogonal a w .

Considérese un vector cualquiera uwv 10 α+α= donde 0=wuT . Entonces,

( )( ) uwuwwwIvP 10102 α+α−=α+α−= T . Nótese que la componente según w

ha cambiado de signo, es decir, el vector v ha sido reflejado en el plano ortogonal a

w .

La transformación de A en H mediante el método de Householder requiere 2−n

pasos ( n es aquí el orden del sistema) de la forma:

kk

kk PAPA )()1( =+ (3.57a)

donde:

( ) 1)(,1signo

2

+++=

=θ

θ−=

kkk

kkkk

kTk

k

Tkkkk

a evvw

ww

wwIP

(3.57b)

siendo:


=

+

+

)(

)(,2

)(,1

0

0

knk

kkk

kkkk

a

a

a

M

M

v una matriz que contiene los coeficientes de la columna k de

)(kA que están por debajo de la diagonal principal, y

=+

0

1

0

1

M

M

ke

la columna 1+k de la matriz identidad (de orden n).

Para que el proceso sea más eficiente, debe observarse que al premultiplicar A , cuyas

columnas son L321 aaa , por la matriz P , cada columna se modifica en forma

independiente. Las columnas de PAA = resultan:

( ) ( ) kjTkkjj

Tkkkj wawaawwIa θ−=θ−= (3.58a)

Igualmente, al postmultiplicar A por P las filas se modifican en forma independiente.

Llamando ahora ia a la fila i de la matriz PAA = , la correspondiente fila de PAA =

resulta:

( ) ( ) Tkkiki

Tkkkii wwaawwIaa θ−=θ−= (3.58b)

Por ejemplo, considérese la matriz:

)1(

4321

3432

2343

1234

AA =

=

Transformación de la primera columna a la forma Hessemberg:

=

1

2

3

0

1v 74166.31 =v

=

+

=+=

1

2

74166.6

0

0

0

1

0

74166.3

1

2

3

0

2111 evvw 03964.01 =θ

( )93096.023786.138619.100000.1)1(11 =θ AwT


=

3.069041.762140.613810

1.138091.524280.227620

4.27618-5.34522-5.34522-3.74166-

12300000.4

)1(1AP

−=θ

42543.0

22681.0

02190.2

00000.1

1)1(

11 wAP

==

2.643620.911282.25428-0

0.911281.070671.30143-0

2.25428-1.30143-8.285713.74166-

003.74166-00000.4

1)1(

1)2( PAPA

Transformación de la segunda columna a la forma Hessemberg:

−−

=

25428.2

30143.1

0

0

2v 60298.22 =v

−

−=

−

−

−=+=

25428.2

90441.3

0

0

0

1

0

0

60298.2

25428.2

30143.1

0

0

3222 evvw 09840.02 =θ

( )0.93647-0.61346-00000.10)2(22 =θ AwT

=

0.532540.47162-00

2.74510-1.32452-2.602980

2.25428-1.30143-8.285713.74166-

003.74166-00000.4

)2(2AP

=θ

0.06306

1.11774

1

0

2)2(

22 wAP

===

0.674700.22540-00

0.22540-3.039592.602980

02.602988.285713.74166-

003.74166-00000.4

2)2(

2)3( PAPAH


3.4 Métodos Mixtos

Los dos procesos que se describen en lo que sigue son adecuados para sistemas de

orden grande en el caso en que se requieran muchos vectores característicos.

3.4.1 Iteración con la Determinante de (A - µ B)

Los valores propios de φφφφφφφφ BA λ= son los ceros del polinomio característico

( ) ( ) 0det =λ−=λ BAp . Por ejemplo, si:

=

4200

2820

0282

0024

A

=

1000

0200

0020

0001

B

Las raíces del polinomio:

( )

0720864364644

4200

22820

02282

0024

det

234 =+λ−λ+λ−λ=

λ−λ−

λ−λ−

=λp

son los valores característicos. La determinación de los coeficientes del polinomio

característico es factible (utilizando, por ejemplo, el método de Hessemberg). Una vez

obtenidos los coeficientes del polinomio característico, se requiere determinar los

valores de λ para los que ( ) 0=λp . Sin embargo, éste es frecuentemente un

problema mal condicionado: pequeños errores en los coeficientes causan grandes

errores en las raíces. Por ello, los métodos en los que se hace una determinación

explícita del polinomio característico sólo son adecuados para pequeñas matrices.

Para matrices de orden elevado, pero con un ancho de banda comparativamente

pequeño, pueden determinarse los valores característicos por iteración, evaluando la

determinante de BA kµ− para una secuencia de valores kµ que se corrigen con

procesos tales como el método de la secante. Así, dadas las aproximaciones 1−µ k y

kµ a una raíz y habiéndose calculado ( ) BA 11 −− µ−=µ kkp y ( ) BA kkp µ−=µ se

obtiene una mejor aproximación, 1+µ k , mediante:

21)()()( 1

11 ≤η≤µ

µ−µµ−µ

η−µ=µ−

−+ k

kk

kkkk p

pp (3.59)

La evaluación de ( )µp no requiere tener el polinomio ( )λp en forma explícita.

Si BA µ− se descompone en el producto de una matriz triangular inferior, L , con

unos en la diagonal principal, por una matriz triangular superior, U , se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ULLUBA detdetdetdet ==µ−=µp (3.60a)

donde:

( )( ) L

L

44332211

44332211

det

1det

uuuu

llll

===

U

L (3.60b)


y por lo tanto: ( ) nnuuuuup L44332211=µ

La descomposición de BA µ− en factores triangulares LU requiere pocas

operaciones si el ancho de banda es pequeño.

Particularmente importante es el caso en el que las matrices A y B son simétricas y

definidas positivas (todos los valores característicos son reales y positivos). En tal caso

puede aplicarse la propiedad de Sturm: el número de coeficientes negativos en la

diagonal principal de U al hacer la descomposición LUBA =µ− es igual al número

de valores característicos menores que kµ . Esta propiedad, combinada con la

iteración (3.59) u otra similar, permite obtener una primera aproximación a una raíz. Sin

embargo, el proceso debe combinarse con iteraciones inversas usando el cociente de

Rayleigh para refinar los valores obtenidos.

Para las matrices A y B antes indicadas, con 5.1=µ :

=

=−

454.1000

2824.300

024.30

0025.2

1523.00

01588.0

001800.

0001

5.2200

2520

0252

0025.2

5.1 BA

( ) 25.47454.1824.34.35.25.1 =⋅⋅⋅=p

Análogamente se obtienen:

kµ )( kp µ Número de coeficientes negativos

en la diagonal principal de U

1.5 47.25 0

1λ 2.0 0 0

2.5 -8.75 1

2λ 3.0 0 1

3.5 11.25 2

4.0 16.00 2

4.5 11.25 2

3λ 5.0 0 2

5.5 -8.75 3

4λ 6.0 0 3

6.5 47.25 4

3.4.2 Iteración en Subespacio

El método tratado en la sección precedente es eficiente cuando las matrices tienen

ancho de banda relativamente pequeño. Cuando el ancho de banda es grande es más

adecuado un proceso de iteración en subespacio, como se describe en este acápite.

Este método tiene por objeto determinar en forma simultánea los p vectores

característicos asociados a los valores característicos de menor módulo. La idea

básica es que es mucho más fácil iterar para obtener un subespacio que contenga a

estos vectores que iterar para obtener cada uno de ellos por separado.

Se trabaja con una colección de q vectores linealmente independientes ( pq > ). Los

q vectores iniciales definen un subespacio que no necesariamente contiene a los p


vectores de interés. Si esos p vectores característicos si estuvieran contenidos en el

subespacio, sería suficiente proyectar φφφφφφφφ BA λ= para obtener el sistema

zBzA λ= , de orden nq << , que sería fácil de resolver por métodos de

transformación. Los valores característicos del problema proyectado serían los mismos

del problema original, mientras que sus vectores característicos, z , corresponderían a

las proyecciones de los vectores φφφφ en el subespacio. No siendo éste el caso, se hacen

iteraciones inversas para mejorar los q vectores con los que se trabaja, de modo que

el subespacio por ellos definido sea más y más “paralelo” a los p vectores propios de

interés.

En lo que sigue, se supone que A y B son matrices simétricas. Siendo kX los q

vectores de aproximación, en cada ciclo del proceso se realizan los pasos siguientes:

a. Iteración inversa:

kk BXXA =+1

La matriz A debe factorizarse antes de iniciar las iteraciones. Los vectores 1+kX

son más “paralelos” a los primeros p vectores característicos.

b. Proyección de A y B en el subespacio definido por los vectores 1+kX :

11)1(

+++ = k

Tk

k XAXA

11)1(

+++ = k

Tk

k XBXB

Las matrices )1( +kA y )1( +kB son cuadradas, simétricas, de orden q .

c. Solución del problema de valores y vectores característicos proyectado:

11)1(

1)1(

+++

++ = kk

kk

k ΛΛΛΛQBQA

1+kΛΛΛΛ es una matriz diagonal, cuyos coeficientes son los valores característicos del

problema proyectado. Si los 1+kX definen un subespacio que contiene a los p

primeros vectores propios, los p menores valores en 1+kΛΛΛΛ son parte de la solución

buscada.

d. Determinación de nuevos vectores:

111 +++ = kkk QXX

Como consecuencia de los pasos c y d:

( ) qkkT

kkkTk

Tkk

Tk ΛΛΛΛ=== +

++++++++ 1

)1(1111111 QAQQXAXQXAX

( ) qkkT

kkkTk

Tkk

Tk IQBQQXBXQXBX === +

++++++++ 1

)1(1111111

es decir, los vectores 1+kX satisfacen las condiciones de ortogonalidad, lo que asegura

que la iteración inversa no produce q vectores todos iguales a 1φφφφ .

Si en las 0X hay componentes según todos los p vectores característicos de interés:

( )LL pk

k λλλ=∞→

21diagLim ΛΛΛΛ

( )LL pk

k φφφφφφφφφφφφ 21diagLim =∞→X

Habiéndose obtenido en dos ciclos sucesivos los estimados )(kpλ y )1( +λ k

p para el mayor

de los valores característicos requeridos, el cociente )1()()1( ++ λλ−λ kp

kp

kp da una


medida adecuada del error relativo y es útil para verificar la convergencia.

Adicionalmente, debe comprobarse que los valores y vectores obtenidos corresponden

a los p menores valores característicos. Para ello puede usarse la propiedad de

Sturm, factorizando BA µ− en LU con valores de µ ligeramente mayores a los λ

calculados.

Si A y B son simétricas, de orden n , ancho de semibanda m , y A es definida

positiva, el número de operaciones iniciales requeridas es de ( )221 nmO ,

esencialmente para la factorización de A . En cada ciclo de la iteración, considerando

nq << , deben hacerse ( )( )324 ++ qmnqO operaciones. Esto puede reducirse a

( )( )322 ++ qmnqO cuando B es diagonal. Para el procedimiento como se ha

descrito en los párrafos precedentes, se trabaja con ( )8,2min += ppq .

Habitualmente unos 10 ciclos de iteración son suficientes para obtener 6 cifras

significativas correctas en los p valores y vectores característicos. Las operaciones

finales requieren ( )pnmO 221 operaciones adicionales.

Aproximación Inicial

Para iniciar el proceso se requieren q vectores linealmente independientes, agrupados

en 0X . Si A y B fueran diagonales, los vectores característicos serían las columnas

ke de la matriz identidad. Aún cuando A y B no sean diagonales, éste puede ser un

buen criterio para construir la aproximación inicial 0X . En particular, deberían

escogerse las columnas cuyo índice k corresponde a los máximos kkkk ab . Con el

propósito de introducir componentes según todos los vectores característicos, se

acostumbra además considerar dos columnas con componentes arbitrarios (que

podrían ser todos iguales a 1, o iguales a los kkkk ab ).

En algunas aplicaciones es fácil obtener una buena aproximación al primer vector

característico, por ejemplo, como solución de un sistema de ecuaciones de la forma

bxA =1 . Las sucesivas columnas kx para una excelente aproximación inicial pueden

entonces obtenerse como vectores de Ritz, mediante un proceso recursivo que

combina pasos de iteración inversa con ortogonalización:

1−= kk xByA

j

k

j jTj

jTk

kk xxBx

xByyx ∑

−

=

−=

1

1

Determinación de Grupos de Vectores Característicos Haciendo Traslaciones

Si se requieren muchos vectores característicos, el procedimiento estándar de iteración

en subespacio puede hacerse más eficiente utilizando sucesivas traslaciones en

combinación con procedimientos de eliminación de las componentes según los

vectores ya conocidos.

En este caso se trabaja con subespacios de dimensión q , con el propósito de

determinar grupos de 2qp ≈ vectores. Habitualmente ( )mq ,4máx= , siendo m el

ancho (promedio) de semibanda. Para cada grupo de vectores, se realizan cómputos

iniciales que incluyen:

a. Determinación de la traslación (el proceso se inicia con 0=µ )


1

~9.01.0 +λ+λ=µ nn

nλ es el último valor característico para el que se ha logrado convergencia;

1

~+λn es la aproximación al siguiente valor característico.

b. Factorización: ULBA =µ−

c. Determinación de q vectores de aproximación inicial, 0X .

La iteración incluye los pasos siguientes:

a. Eliminación de las componentes de kX según los vectores característicos

previamente determinados (ver acápite 3.2.4).

b. Iteración inversa:

11

1

++

+

==

kk

kk

YZUL

XBY

c. Proyección de BA µ− y B en el subespacio definido por los vectores 1+kY :

11)1(

+++ = k

Tk

k YZA

11)1(

+++ = k

Tk

k ZBZB

Las matrices )1( +kA y )1( +kB son cuadradas, simétricas, de orden q .

d. Solución del problema de valores y vectores característicos proyectado:

( ) 11)1(

1)1()1(

+++

+++ =µ+ kk

kk

kk ΛΛΛΛQBQBA

e. Determinación de nuevos vectores:

111 +++ = kkk QZX

f. Verificación de la convergencia

Como en el procedimiento estándar, debe verificarse que se tienen los valores

característicos correctos utilizando la propiedad de Sturm.

Ejemplo simple

Supóngase que se requieren dos vectores característicos de φφφφφφφφ BA λ= , siendo:

−−−

−−−

=

2100

1210

0121

0012

A

=

2

0

1

0

B

En este caso particular la iteración inversa produce en un solo paso el subespacio que

incluye a los dos primeros vectores característicos, ya que dos de los valores

característicos son infinitos. Para hacer más eficiente el proceso debe factorizarse

primero la matriz A :


LUA =

−−

−

−−

−=

25.1000

13333.100

015.10

0012

175.000

016667.0

0015.0

0001

Con la aproximación inicial:

=

01

00

10

00

0X

Se obtiene por iteración inversa:

=

02

00

10

00

0XB 01 XBXUL =

=

0.41.6

0.81.2

1.20.8

0.60.4

1X

Proyectando las matrices A y B en el subespacio definido por los vectores 1X :

==

2.18.0

8.02.311

)1( XAXA T

==

76.124.2

24.276.511

)1( XBXB T

se resuelve el problema proyectado (método de Jacobi generalizado):

1.00

50.0-

56.2 d

-0.64 c

56.2 c

28.1 c

3

2

1

=γ=α

−=⇒

===

−=

γα

=11

5.01

1

1P

=

20.10

000.6PAPT

=

96.00

012PBPT

de donde:

=

=

25.10

050.0

0

0

222

1111

ba

baΛΛΛΛ

−=

621020.1675288.0

310510.0675288.0Q

y finalmente se expresan los vectores en el sistema de referencia original:

( )2111

248408.0350577.0

124204.0350577.0

497816.0350577.0

248408.0675288.0

φφφφφφφφ=

−

== QXX

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Ecuaciones No Lineales 4 - 1

4. Ecuaciones No Lineales

4.1 Introducción

En general no es posible obtener las raíces de una ecuación no lineal ( ) 0=xf en forma

explícita, debiéndose utilizar métodos iterativos. Partiendo de una raíz aproximada, 0x ,

se obtiene una secuencia K321 ,, xxx que converge a la raíz deseada. Para algunos

métodos es suficiente conocer el intervalo [ ]ba, en que se halla la raíz; otros

procedimientos, de convergencia más rápida, requieren una aproximación inicial cercana

a la raíz. Puede ser conveniente empezar los cálculos con un método del primer tipo y

cambiar a un método de convergencia más rápida en la etapa final.

La primera parte de este capítulo considera el caso en que la raíz, x , es una raíz simple,

es decir, 0)( ≠′ xf . Las dificultades que se presentan en el caso de raíces múltiples se

discuten en la sección 4.6. La sección 4.7 revisa métodos específicos para extraer

“ceros" (raíces) de polinomios.

La parte final da algunas ideas para la solución de sistemas de ecuaciones no lineales,

un problema que ciertamente puede demandar mucho esfuerzo de cómputo.

4.2 Aproximaciones Iniciales

Pueden obtenerse aproximaciones iniciales a las raíces de ( ) 0=xf graficando o

tabulando la función.

Si 0)()( <⋅ oo bfaf , hay por lo menos una raíz, x , en el intervalo ( )oo ba , . En el

método de Bisección se definen una serie de intervalos K),(),(),( 221100 bababa ⊃⊃ .

El punto medio de un intervalo ),( ii ba es 2/)( iii bax += . Suponiendo que ( ) 0≠xf

(si este no es el caso, se ha hallado la raíz) se define el sub-intervalo ),( 11 ++ ii ba

mediante:

<⋅

<⋅=++

0)()(),(

0)()(),(),( 11

iiii

iiii

iixfafxa

bfxfsibxba

Introduciendo la notación xxnn −=ε , se tiene que ( )nn O εε 21

1 =+ . Como 3.31 210 −− ≈ , se requieren 3 ó 4 pasos para mejorar un dígito decimal en la aproximación.

La convergencia es prácticamente independiente de ( )xf . Por ejemplo, para la función:

( ) ( ) 0sen4

2

=−= xx

xf

puede iniciarse la iteración con

2

5.1

0

0

==

b

a

obteniéndose:

-1

-0.5

0

0.5

1

1 1.5 2 2.5x

f(x)


i ia ib ic ( )icf

1 1.5 2. 1.75 <0

2 1.75 2. 1.875 <0

3 1.875 2. 1.9375 >0

4 1.875 1.9375 1.90625 <0

5 1.90625 1.9375 ...

Se han subrayado las cifras correctas. Puede observarse que la convergencia es lenta.

4.3 Método de Newton – Raphson

Si 0x es suficientemente cercano a la raíz x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( 02

021

000 =+′′−+′−+= Lxfxxxfxxxfxf

Y despreciando términos de orden superior:

)(

)(

0

00 xf

xfxx

′−≈ .

Puede entonces pensarse en iterar con:

iii hxx +=+1 donde:

( )( )i

ii xf

xfh

′−=

expresión que define el método de Newton – Raphson (o simplemente de Newton). La

figura muestra una interpretación geométrica:

-0.25

0

0.25

0.5

1.75 2 2.25

x

f(x)

Por ejemplo, puede emplearse el método de Newton para extraer la raíz p de un

número c , lo que equivale a resolver:

0)( =−= cxxf p

1)(' −= pxpxf

Con el método de Newton:

ix1+ix


( )( )i

iii xf

xfxx

′−=+1

y por lo tanto:

+−=

−−= −−+ 111 )1(

1pi

ipi

pi

iix

cxp

pxp

cxxx

Para obtener la raíz cúbica de 2 se tendría:

+=+ 21

22

3

1

iii

xxx

e iniciando los cálculos con 10 =x :

i ix xxii −=ε

0 1 -0.259921

1 1.333 0.073412

2 1.2638889 0.003968

3 1.2599334934 1.244 510−⋅

4 1.25992105001778 1.229 1010−⋅

Puede observarse que la convergencia es muy rápida. Sin embargo este no siempre es

el caso. Considérese, por ejemplo, la ecuación:

( ) ( ) 02 =−−= xctgxxf

para la que ( )xecxf 2cos1)( +−=′

Los resultados obtenidos con dos distintas aproximaciones iniciales, 5.00 =x y 20 =x ,

son:

i ix para 5.00 =x ix para 20 =x

0 0.5 2.0

1 0.5986 -0.18504

2 0.628703 -0.44878

3 0.6308034 -1.49817

4 0.630812760 -676.133

5 -1140.538

6 -1163.343 ¡Diverge!

Las condiciones para la convergencia del método de Newton se revisan a continuación.

De la expansión de f en series de Taylor:

( ) ( )ηfxxxfxxxfxf nnnn ′′⋅−+′⋅−+== 2

2

1)()()()(0 η en intervalo ( )xx,

Dividiendo entre )( nxf ′ (que se supone distinto de cero):

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )nnnn

n

n

xf

fxxxxxx

xf

xf

′′′

−−=−=−+′ +

η221

1

( )( )

21 2

1n

nn xf

f εηε′′′

=∴ +


y cuando xxn → se tiene que 21 )(

)(

2

1nn xf

xf εε′′′

→+ .

Esto es válido sólo si ( ) 0≠′ xf , es decir si la raíz es simple. El caso de raíces múltiples

se revisa más adelante. El proceso converge cuando nn εε <+1 , es decir si:

10 <′′′ ffε . Si la raíz es simple y la aproximación inicial es adecuada, la convergencia

del método de Newton es cuadrática.

Con el método de Newton pueden también obtenerse raíces complejas. Esto requiere

que la aproximación inicial sea un número complejo. Por ejemplo, si:

01)( 2 =+= xxf se tendría:

( )( )

−=

′−=+

ii

i

iii x

xxf

xfxx

1.

2

11

e iniciando los cómputos con ix +=10 :

i ix

0 i+1

1 i75.025.0 +

2 i975.0075.0 +−

3 i9968.00017.0 +

4 i000004.1000005.0 +−

4.4 Método de la Secante y Otros Procesos del Mismo Tipo

Si en )(

)(1

n

nnn xf

xfxx

′−=+ la derivada )( nxf ′ se aproxima por

( )( )1

1

−

−

−−

nn

nn

xx

ff, donde nf

denota )( nxf , se tiene el método de la Secante:

nnn hxx +=+1

( ))( 1

1

−

−

−−

−=nn

nnnn ff

xxfh Se supone que 1−≠ nn ff

Para cada punto, n, solo debe evaluarse una función, nf , mientras que el método de

Newton requiere también la evaluación de nf ′ .

Es importante hacer notar que NO es conveniente rescribir estas expresiones en la

forma: ( )

( )1

111

−

−−+ −

⋅−⋅=

nn

nnnnn ff

fxfxx

ya que con esta última expresión pueden introducirse fuertes errores numéricos cuando

1−≈ nn xx y 01 >⋅ −nn ff .

En la tabla siguiente se resuelve )sen()( 241 xxxf −= para 2≈x por el método de la

secante:


n nx ( )nxf xxnn −=ε

0 1. -0.59147 -0.93

1 2. 0.090703 0.066

2 1.86704 -0.084980 -0.067

3 1.93135 -0.003177 -0.0024

4 1.93384 -0.000114 +0.00009

5 1.93375 -0.000005 52

1 10−⋅<

(en la gráfica adjunta casi no se aprecia

la diferencia entre la función y la

secante).

La convergencia de método de la

secante es en general más lenta que la

del método de Newton. Sin embargo,

se justifica usar este método si la

evaluación de ( )xf ′ requiere más del

44% del trabajo que se emplea en

evaluar ( )xf , ya que el mayor número

de iteraciones queda más que

compensado por el menor número de

operaciones realizadas en cada caso.

A esta conclusión se llega comparando

la convergencia de ambos métodos.

Para el método de la secante:

−−

−=−=−−

−++

1

111

nn

nnnnnnn ff

fxxεεεε

y siendo:

( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+== xfxfxfxff nnnn2

21 εε

se obtiene (despreciando términos de orden superior):

( )( )( ) ( )

=+′′−+′−

−+′′+′+=

−−

−+

L

K

)()(

)()(2

121

1

12

21

1xfxf

xfxf

nnnn

nnnnnn εεεε

εεεεεε

( ) ( )( )21

)()()()( 1212

21

KK +′′++′+′′+′+= − xfxfxfxf nnnnn εεεεε

121

1 )(

)(−+ ′

′′≈∴ nnn xf

xf εεε

Suponiendo entonces: βεε nn C=+1 y por lo tanto ( ) 1111

1 2

12

−−−+

+ ′′′

== nnnn Cf

fC εεεε βββ , de

donde se obtiene: ( ) K618.1511 212 =+=→+= βββ Es decir, la convergencia del

método de la secante es entre lineal y cuadrática.

-0.25

0

0.25

1.75 2x

f(x)


En el método de Falsa Posición la secante se toma entre los puntos ( )nn fx , y ( )rr fx , ,

donde nr < es el mayor índice para el cual 0<rn ff . Si ( )xf es continuo, este

método es siempre convergente. Sin embargo, la convergencia es de primer orden.

Otra alternativa es el método de Steffensen: ( )( )n

nnn xg

xfxx −=+1

donde: ( ) ( )( ) ( )( )n

nnnn xf

xfxfxfxg

−+=

cuya convergencia es de segundo orden: ( ) ( )( ) 2

1 1)(2

1nn xf

xf

xf εε ′+′′′

≈+

4.5. Otros Métodos Iterativos

Una ecuación de la forma ( ) 0=xf puede rescribirse como )(xgx = . Dada entonces

una aproximación 0x a una raíz x de ( ) 0=xf , la secuencia L,,, 321 xxx definida por:

( )nn xgx =+1 converge a x siempre que ( ) 1<′ xg en la región de interés. El

procedimiento puede ser más simple que otros y en algunos casos puede incluso

converger más rápidamente.

Por ejemplo, la ecuación:

01tg)2()( =−−= xxxf

es equivalente a )2(ctg xx −= . En este caso podría iterarse con nn xx −=+ 2ctg 1 o, lo

que es lo mismo, ( )nn xarcx −=+ 2ctg1 . Sin embargo, la iteración escrita al revés, es

decir nn xx ctg21 −=+ , no funciona.

En efecto, tomando 00 =x e iterando con nn xx −=+ 2ctg 1 se obtienen:

n xn

0 0.

1 0.464

2 0.577

3 0.6125

4 0.6245

5 0.6286

6 0.6301

...

10 0.6308017

...

20 0.630812760

Una interpretación gráfica del proceso se muestra en la figura.

En lo que sigue se analiza cómo se reducen los errores en este caso.

Si se considera nn xx ε+=

11 ++ ε+= nn xx

se tiene que ( ) ( )nn xx ε+−=ε+ + 2ctg 1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x

y(x)

ctg x 2-x


Suponiendo que xn <<ε +1 puede hacerse una expansión de la cotangente en series:

( ) ( ) nnn xO

xx ε−−=ε+

ε− +

+ 2sen

ctg 212

1

y siendo x la solución exacta, ésta satisface idénticamente la ecuación: )2(ctg xx −= ;

de donde se concluye que:

( ) nnn x ε≈ε≈ε + 312

1 sen

es decir nn ε<ε +1 y por lo tanto el proceso es convergente.

Si en cambio se considera la iteración nn xx ctg21 −=+ se tiene que nn ε≈ε + 31 y el

proceso no converge, aún cuando 0x sea muy cercano a la raíz x :

n xn

0 0.6

1 0.538

2 0.325

3 0.965

4 2.69

5 4.01

4.6. Condicionamiento de las Raíces: Raíces Múltip les

Si nx es una aproximación a una raíz x de 0)( =xf , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′−+′−+= xfxxxfxxxfxf nnn2

21

Para xxn ≈ puede escribirse:

( )( )xf

xfxx n

n ′≈−

Si el error en la evaluación de )( nxf es de ( )δO ( δ depende de la precisión de la

computadora y es independiente de x ) el error en la aproximación de la raíz xxn − es

de ( )

′δ

xfO . Entonces, si ( )xf ′ es muy pequeño se tiene que ( ) δ>>

′δ

xf y se dice

que la raíz x está mal condicionada.

El mismo argumento puede repetirse cuando se trata de una raíz de multiplicidad m ,

caso en el que::

( ) 0)()()( 1 ==′′=′ − xfxfxf mK .

En tal caso:

( ) ( )m

mnxf

mxx O

1

!

⋅δ=−

El exponente m1 implica que las raíces múltiples son en general mal condicionadas.


Considérese por ejemplo: ( ) 0122 =+−= xxxf , que tiene una raíz doble 1=x .

Supóngase que se trabaja con aritmética de punto flotante y 8 decimales en la mantisa.

Entonces 82

1 10−⋅=δ , y siendo ( ) 2=′′ xf se obtiene:

( ) 4421

228

21 107071.010

2

210 −−− =⋅=⋅⋅=− KOxxn

es decir, cualquier valor en el rango: 0,99992929 ≤≤ x 1,00007071 sería aceptado como

exacto, pudiéndose tener un error relativo de orden 510− .

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5

x

p(x)

Siendo las raíces múltiples mal condicionadas, es de esperarse que la separación

relativa de las raíces afecte el condicionamiento. Particularmente crítico es el caso en

que las raíces están más o menos uniformemente espaciadas, por ejemplo en:

( ) ( )( )( ) ( ) 0!202061521020321 181920 =+−+−=−−−−=ρ LL xxxxxxxx

Si en lugar del coeficiente 210 se tuviera un coeficiente (210 + ε), se obtendrían las

raíces:

0=ε 910−=ε

1 a 10 1 a 10

11 85.10

12

13

i11.038.12 ±

14

15

i72.037.14 ±

16

17

i88.057.16 ±

18

19

i35.067.18 ±

20 20

Este ejemplo es particularmente mal condicionado, pero son frecuentes las dificultades

análogas al evaluar los ceros (es decir, las raíces) de polinomios. La evaluación de las

raíces de un polinomio es un problema numérico que debe evitarse, a menos que los

datos iniciales hayan sido los coeficientes del polinomio en forma explícita.

Raíz bien condicionada

Raíz mal condicionada


Aparte de un mal condicionamiento, las raíces múltiples reducen el orden de la

convergencia. Así, por ejemplo, el método de Newton, cuya convergencia es cuadrática

cuando nx es aproximadamente una raíz simple:

( )( )

ε

′′′

=ε +2

1 2

1nn xf

xf

tiene convergencia lineal cuando la raíz es múltiple. Para una raíz de multiplicidad m :

( ) ( )211 1 nnmn O ε+ε−=ε +

El método de Newton modificado:

( )( )n

nnn xf

xfmxx

′−=+1

tiene todavía convergencia cuadrática, pero en general no es posible conocer m a priori.

Alternativamente, puede pensarse en procesos del tipo:

( ) ( )( )n

nn xf

xfxu

′=

( ) ( )( ) ( )n

n

nn xu

xf

xfxu

′′′

−=′ 1

( )( )n

nnn xu

xuxx

′−=+1

Pero nótese que esto es poco efectivo cuando la raíz es simple, puesto que se requiere

evaluar una función adicional, ( )nxf ′′ .

4.7. Métodos para Calcular Raíces de Polinomios

En esta sección se revisan algunos de los muchos métodos específicos para evaluar las

raíces (ceros) de polinomios: ( ) 012

21

1 =+++++=ρ −−−

nnnnn axaxaxaxx K

( )( )( ) ( ) 0321 =α−α−α−α− nxxxx K

Es frecuente subestimar las dificultades que se presentan en problemas de este tipo.

Los métodos mencionados en los acápites anteriores (Newton, secante y otros) son

también aquí aplicables, aunque pueden ser poco eficientes.

4.7.1 Método de Bernoulli

Este es un proceso "clásico", que en general resulta poco apropiado, porque se obtiene

primero la raíz de mayor módulo.

Se toman n valores arbitrarios ntttt L321 ,, (con 0≠nt ) y se calculan nuevos valores por

recursión:

∑=

−−=n

i

ipip tat1

Esta es una ecuación de diferencias, cuya solución puede escribirse como:


pnn

ppp rcrcrct +++= K2211

Las ri son raíces (distintas de cero) de:

( )∑=

−−=n

i

ini

n rar1

es decir, las ri son las raíces del polinomio: iir α= .

Por tanto:

pnn

ppp ccct α++α+α= K2211

y si 11 α≥≥α>α − Knn se tiene que:

nt

tLim α=

−ρ

ρ

∞→ρ1 .

Esto es análogo a una iteración directa para determinar un valor propio de una matriz.

También aquí la convergencia es lenta cuando 1−α≈α nn . El proceso converge a αn,

aún cuando 0=nc (gracias a los errores de redondeo). El inconveniente principal de

este método es que extrae primero la raíz de mayor módulo y la "deflación" con esta raíz

(que no es exacta) puede introducir errores importantes en las otras raíces.

Supóngase, por ejemplo, que:

( ) 75.025.025.12 234 −−+−= xxxxxf .

Con 0210 === ttt y 13 =t se obtienen:

k tk nk

k

t

tα≈

−1

4 2.0 2.0

5 2.75 1.375

6 3.25 1.1818

7 4.3125 1.3269

8 6.7500 1.5652

9 10.9844 1.6273

10 17.0469 1.5519

...

15 125.113 1.5104

16 188.240 1.5046

...

19 632.809 1.4986

20 949497 1.5004

Nótese que la convergencia es lenta. Esto es frecuente. Después de pocos pasos es

mejor cambiar a otros métodos (v.g. Newton - Rapshon).


4.7.2. Método de Graeffe (método de los cuadrados de las raíces)

Este es un proceso que puede ser empleado para mejorar el condicionamiento de las

raíces, pero es inadecuado para completar la extracción de las mismas.

Dado: ( ) 012

21

11 =+++++= −−−

nnnnn axaxaxaxxp K

O bien: ( )( )( ) ( ) 0)( 3211 =−−−−= nxxxxxp αααα K .

Puede formarse un nuevo polinomio

( ) ( ) ( ) ( ) )()()()(1 2223

222

221

211 n

n xxxxxpxpx ααααφ −−−−=−−= L .

Como ( )xφ solo contiene potencias pares de x , se puede definir:

( ) ( ) )()()()( 223

22

212 nxxxxxxp ααααφ −−−−== K

Es decir, ( ) 02 =xp tiene raíces 2221 ni ααα LL , que son justamente los cuadrados de

las raíces de ( ) 01 =xp . Del mismo modo pueden obtenerse ( ) ( ) ( )xpxpxp mL84 . Las

raíces de ( ) 0=xpm , son las miα donde rm 2= .

Si se tienen coeficientes L)(

3)(

2)(

1 ,, rrr aaa tales que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 012

21

1 =+++++= −−− r

nr

nnrnrn

m axaxaxaxxp K

los coeficientes a1(r+1), L

)1(3

)1(2 , ++ rr aa de ( )xp m2 resultan:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−+−= ∑

−

=−+

−+),min(

1

21 12)1(iin

j

rji

rji

jri

inri aaaa

Y para m (o r ) suficientemente grande, puede escribirse:

( )rm a11 ≈α ( )

( ) Kr

rm

a

a

1

22 ≈α

( )

( )rk

rkm

ka

a

1−

≈α

Estas expresiones permiten, en teoría, determinar los valores absolutos de las raíces.

Los signos deben obtenerse por sustitución en el polinomio original ( ) 0=xp .

Por ejemplo, considérese el polinomio ( ) 6116 23 −+−= xxxxp (cuyas raíces 1, 2, 3

están uniformemente espaciadas y por tanto están mal condicionadas):

r m a1 a2 a3

0 1 -6. 11. -6.

1 2 -14. 49. -36.

2 4 -98. 1393. -1296.

3 8 -6818.2 1.6864 x 106 -1.6796 x 106

4 16 -4.3112 x 107 2.8212 x 1012 -2.8212 x 1012

....

de donde 7161 103112.4 ⋅≈α

47

12162 105438.6

104.3112

102.8212 ⋅=⋅⋅≈α


99998.0102.8212

102.821112

12163 =

⋅⋅≈α

es decir 0003.31 ≈α 9998.12 ≈α 0000.13 ≈α

Las raíces de ( ) ( ) ( )Lxpxpxp 842 están mejor condicionadas en cada paso. Sin

embargo, se observa un crecimiento muy rápido de los coeficientes (posible "overflow")

por lo que no pueden realizarse muchos pasos.

4.7.3. Método de Laguerre

Un muy buen método para extraer raíces de polinomios es el de Laguerre. En este

método, las sucesivas aproximaciones a una raíz se calculan mediante:

)()(

)(1

kk

kkk

xHxp

xpnxx

±′−=+

donde n es el grado del polinomio y:

( ) ( )( )[ ])()()(11)( 2kkkk xpxpnxpnnxH ′′−′−−=

Como en otros casos, debe considerarse el signo que evita la cancelación, es decir,

aquel para el que kk xx −+1 resulta lo más pequeño posible.

El método de Laguerre requiere evaluar ( )kxp , ( )kxp′ y ( )kxp ′′ en cada paso, pero la

convergencia (para raíces simples) es cúbica. Si las raíces son reales, este método

converge siempre. Suponiendo que la aproximación inicial 0x esté en el intervalo entre

rα y 1+α r , converge a una de esas dos raíces. Si en cambio 10 α<x o nx α>0 el

proceso converge a 1α o nα , respectivamente.

Por ejemplo, considérese el polinomio:

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )0403201095841181246728422449453654636

876543212345678 =+−+−+−+−=

=−−−−−−−−=

xxxxxxxx

xxxxxxxxxp

Con la aproximación inicial 00 =x se obtienen:

kx ( )kxp ( )kxp′ ( )kxp ′′ ( )kxH

0 40320 -109584 236248 5.499492E+10

0.937418 369.916 -6836.714 31394.812 1.639940E+09

0.999940 0.302 -5041.569 26140.729 1.245010E+09

1.000000

En forma similar, con la aproximación inicial 5.20 =x :

kx ( )kxp ( )kxp′ ( )kxp ′′ ( )kxH

2.5 121.816 -132.750 -977.625 7.532588E+06

2.838696 42.391 -277.131 60.892 3.618725E+06

2.994301 1.374 -242.118 367.294 2.844179E+06

3.000000

Aunque este método puede ser usado también para extraer raíces complejas, en ese

caso no puede garantizarse la convergencia. Si se tuvieran pares de raíces complejas,


pero los coeficientes del polinomio fueran todos reales, sería aconsejable extraer

factores cuadráticos con el procedimiento descrito en la sección 4.7.4

4.7.4. Método de Bairstow (factorización iterativa de polinomios).

Un polinomio ( ) nnnnn axaxaxaxxp +++++= −

−−1

22

11 K puede expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s,rGs,rxFs,r,xqsrxxx ++⋅++= 2ρ .

Se requiere determinar sr, para que srxx ++2 sea un factor exacto de ( )xp , es decir,

para que se tenga ( ) ( ) 0,, == srGsrF . Siendo éste el caso, dos de las raíces (o un par

de raíces complejas) pueden obtenerse de 02 =++ srxx ; el resto de las raíces son los

ceros de ( )xq . Dados valores aproximados de sr, tales como nr y ns , se obtienen

valores mejorados, 1+nr y 1+ns , considerando:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,

1

,

111 ≈−+−+≈ ++++

nsnr

nn

nsnr

nnnnnn ds

dFss

dr

dFrrsrFsrF

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,

1,

111 ≈−+−+≈ ++++nsnr

nn

nsnrnnnnnn ds

dGss

dr

dGrrsrGsrG

de donde, con la notación ds

dGG

dr

dFF sr == L , se tiene:

nsnrrssr

ssnn GFGF

GFFGrr

,

1

−⋅−⋅

−=+

nsnrrssr

rrnn GFGF

GFFGss

,

1

−⋅−⋅

−=+

Dado que el polinomio original ( )xp es independiente de r y s , al derivar el polinomio

( ) ( ) GxFqsrxxxp ++⋅++= 2 con relación a r y s se obtienen:

( ) 0)(2 =++⋅+++ rrr GxFqsrxxxq

( ) 0)(2 =++⋅+++ sss GxFqsrxxq

es decir, los rF y rG son los coeficientes del residuo al dividir ( )xqx− entre

srxx ++2 mientras los sF y sG se obtienen como coeficientes del residuo al dividir

( )xq− también entre srxx ++2 .

La convergencia de este proceso depende de una buena aproximación inicial.

El siguiente ejemplo ilustra un paso del proceso. Supóngase que se tiene el polinomio:

( ) 02525145 234 =+−+−= xxxxxp y un factor aproximado 442 +− xx (es decir 4−=or , 40 +=s ). Dividiendo ( )xp entre

este factor (utilizando el procedimiento de Ruffini) se obtiene:

( )xp 1 -5 14 -25 25

40 =− r 4 -4 24

40 −=− s -4 4 -24

q(x) 1 -1 6 3 1


Y análogamente:

-xq(x) -1 1 -6 0

4 -4 -12

-4 4 12

-1 -3 -14 12

-q(x) -1 1 -6

4 -4

-4 4

-1 -3 -2

y de estos resultados:

1

3

==

G

F

12

14

,

,

=−=

r

r

G

F

2

3

,

,

−=−=

r

r

G

F

64=⋅−⋅= rssr GFGFw

( )( ) ( )( )4.0469

64

233141 −=−−−−−=r

( )( ) ( )( )4.7813

64

12314141 =−−−=s

es decir: 4.78134.0469211

2 +−=++ xxsxrx

En el siguiente paso se obtienen:

2547.1=F 6350.0−=G

1003.13−=rF 7920.14=rG

0938.3−=sF 5803.0−=sG

de donde 0973.42 −=r , 9732.42 =s . El factor exacto es 542 +− xx .

El método antes descrito es adecuado solo si la aproximación inicial es cercana al factor

exacto (esto es análogo a lo que ocurre con el método de Newton). Pueden también

utilizarse las mismas ideas para separar factores de grado mayor que 2.

4.7.5. Método de Jenkins y Traub

Este proceso tiene algunas similitudes con el método de iteración inversa para hallar

vectores característicos. Converge a la raíz de menor módulo (lo que es beneficioso

para una "deflación" adecuada; véase la sección 4.7.6) y permite efectuar translaciones

para acelerar la convergencia. Es probablemente el mejor de los métodos para extraer

raíces de polinomios (pero en algunos casos no es el más eficiente). El algoritmo tiene 3

etapas:

a. Dado el polinomio ini

n

i

xaxp −

=∑=

0

)( con 0,1 ≠= no aa , se determina:

( ) ( ) 1

0

0 )()( −−

=∑ −=′= in

i

n

i

xainxpxh


y por recursión:

( ) ( )( )

−=+ )(

)0(

)0()(

1)(1 xp

p

hxh

xxh

kkk L2,1,0=k

A medida que k crece, las razones entre los coeficientes de ( ) )(xh k y aquellos de ( ) )(1 xh k + tienden a hacerse constantes e iguales a la raíz de menor módulo:

( )

( ) )0(

)0(11 +≈α

k

k

h

h

b. En una segunda etapa, con una “translación” fija 10 rs ≈ , se determinan:

( )( )

( )( )

−

−=+ )(

)(

)()(

1)(

0

0

0

1 xpsp

shxh

sxxh

kkk

c. Y finalmente se refina la aproximación con translaciones variables en cada paso:

( ) ( )( ) ( ) 1

1

1 rsh

shss

kk

kk

kk ≈+=−

+

( )( )

( )( )

−

−=

+

+

+

+ )()(

)()(

1)(

1

1

1

1 xpsp

shxh

sxxh

k

kk

k

k

k

Cada paso de este método requiere )2( nO operaciones.

En lo que sigue se analiza cómo el proceso converge. El polinomio cuyas raíces se

buscan puede expresarse en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) 033

22

11 =α−α−α−= K

mmm xxxxp

donde L321 ,, mmm son las multiplicidades de las raíces.

El método se inicia con ( ) )()(0 xpxh ′= , que es un polinomio de grado 1−n . Este

polinomio puede escribirse en la forma:

( ) ( )( )∑ α−

=i

i x

xpcxh

)()( 00

donde ( )ii mc =0 . Puede probarse por inducción que los sucesivos polinomios

( ) ( ) ( )Lxhxhxh )3()2()1( son también polinomios de grado 1−n . Supóngase que:

( ) ( )( )∑ α−

= −−

i

ki

k

x

xpcxh

)()( 11

Entonces: ( )( )

( )( )

−

−=

−− )(

)(

)()(

1)(

11 xp

sp

shxh

sxxh

k

kk

k

k

k

( )( )

( )( )

( )

−−

−−= ∑∑ −−

ik

kki

ki

ki

k s

spc

sp

xp

x

xpc

sx αα)(

)(

)()(1 11

( )

( ) ( )( )

( )∑∑ −=

−−=

−

i

ki

iki

ki

x

xpc

x

xp

s

c

ααα)()(1

es decir, si ( ) )(1 xh k + es un polinomio de grado 1−n , también lo es ( ) )(xh k .


Además: ( )( )

)()()()()( 321

1

kiiii

i

ki

kik

i ssss

m

s

cc

−α−α−α−α=

−α=

−

K

y si se consideran translaciones js tales que: Kjjj sss −α<−α<−α 321

se tiene que (considerando multiplicidades mi iguales): K)(

3)(

2)(

1kkk ccc >> y por lo tanto:

( )( )

( ) )(

)(1

xh

xhLims

k

k

kki

−

∞→=−α

Esta expresión puede también usarse para determinar las translaciones más adecuadas:

( )

( )

( )

( ) )(

)(

)(

)(1

1k

kk

k

kk

kk

k

kksw

sws

sh

shss

′−=+=

−

+

donde:

( )( ) )(

)()(

xh

xpxw

kk =

La última expresión puede probarse considerando que:

( )( )

( )( )

ksxk

kk

k

kk

k xpsp

shxh

sxsh

=

−−

−

−= )(

)(

)()(

1)(

11

y utilizando la regla de L' Hospital.

Por otro lado, dado que 0)( =α ip , se tiene que ( ) 0)( =α ikw y por lo tanto:

( )

( ) )(

)(1

kk

kk

kksw

swss

′−=+

Esta expresión es análoga a la utilizada en el método de Newton. Considerando

kk sc −= 1α puede escribirse:

( )

( )2

1

121

1)(

)(kk

k

kw

wε

α′α′′

≈ε +

pero en este caso la función )(kw es variable en cada paso:

( ))(

)()(

)( xh

xpxw

kk =

( ) ( )( ) )()(

)()(

1

xpxgx

xpcxh k

ik +

α−=

Para 1α≈x se tiene: )()(

1

1

xgx

>>α−

y por lo tanto:

( )( )

( )( ) ( )11

1

)()(

)()(

α−+α−

==xxgc

x

xh

xpxw

kkk

puede aproximarse por:

( ) ( )[ ]K2)(

111)(

11)( )()()()( −− α−−α−= kkk cxxgcxxw

de donde:


( )2

1

111

)(kkk

c

gε

α≈ε +

pero ( ) ( )K1

)2(1

)1(1

1

)1(1)(

1−

−−−

εε=

ε=

−α=

kk

k

k

k

k

kk cc

s

cc

y entonces:

( ) 211 kkkk εεεβ=ε −+ L

( ) 211 −− εεβ=ε kkk K

de donde 11

31

−−+ ε⋅ε=ε kkk y considerando γ

+ ε⋅=ε kk C1 se obtiene finalmente 62.2=γ .

El orden de convergencia es superior al del método de Newton.

Considérese, por ejemplo, el polinomio: 12)( 2 +−= xxxp (cuyas raíces son iguales

=α=α 21 1). En este caso:

( ) 22)()(0 −=′= xxpxh

( ) ( )( )

22)()0(

)0()(

1)(

001 −=

−= xxp

p

hxh

xxh

y es evidente que, si se continuara con el proceso, ( ) 22 −= x)x(h n Es decir, en un paso

se tiene convergencia. Esto se debe a que en realidad se tiene una sola raíz con

multiplicidad 2.

( )

( ) 12

20

)(

)(1

1 =−−+=+=α

−

sh

shs

k

k

Para el siguiente ejemplo: 023)( 2 =+−= xxxp (cuyas raíces son =1α 1, =2α 2):

2x 1x 0x )( 1−ksh ks )( ksh )( ksp

1 )(xp 1. -3. 2.

2 ( ) )()(0 xpxh ′= 2. -3. 0. -3. 2.

3 1.5 )(xp 1.5 -4.5 3.

4 (2)+(3) 1.5 -2.5 0.

5 ( ) )(/)4( 1 xhx = 1.5 -2.5 -2.5 1.2 -0.70 -0.16

6 -4.375 )(xp -4.375 13.125 -8.750

7 (5)+(6) -4.375 14.625 -11.250

8 )2.1()7( −x/ -4.375 9.375 4.125 1.0303 4.8674 -0.029385

9 165.645 )x(p 165.645 -496.934 331.290

10 (8)+(9) 165.645 -501.309 340.664

11 )00303.1/()10( −x 165.645 -330.644 -159.979 .999878 -165.019 0.000122

12 1352450 )(xp 1 352 450 -4 057 350 2 704 900

13 (11)+(12) 1 352 450 -4 057 184 2 704 569

14 )999878./()13( −x 1 352 450 -2 704 899 -1 352 614 1.000000 ← La primera raíz


4.7.6 Deflación

El polinomio )x(p , de grado 1≥n , puede escribirse como: ( ) rxqaxxp +−= )()( , donde

( )xq es un polinomio de grado 1−n y )a(pr = . Si 1α=a es una raíz exacta de

( ) 0=xp , se tiene 0=r . Las raíces restantes son las raíces de ( ) 0=xq . Para el

cómputo de estas otras raíces puede entonces trabajarse con el cociente ( )xq en lugar

de ( ) 0=xp . Esto es una "deflación". La deflación puede repetirse a medida que se

obtienen otras raíces. Es evidente que esto ahorra operaciones.

Sin embargo, a medida que se calculan las raíces éstas no pueden obtenerse en forma

exacta y la deflación con una raíz que es solo aproximada produce un polinomio q(x) que

está afectado por esos errores.

Considérese, por ejemplo, 01001012 =+− xx , cuyas raíces exactas son =1α 1, =2α 100.

Si se obtiene primero la raíz 2α (aquella de mayor módulo) con un 0,1% de error:

≈2α 100.1, la deflación produce:

( )xp 1 -101. 100.

α2 100.1 100.1 -90.09

( )xq 1 -0.9 9.91

Es decir, se obtiene ( )90.x)x(q −= , y haciendo 0=)x(q resulta 901 .≈α . Nótese que

un error de 0,1% en 2α produce un error de 10% en 1α . Si en cambio se determina

primero la raíz menor, también con un error de 0,1%, ≈1α 1.001:

( )xp 1 -101. 100.

α1 1.001 1.001 -100.099

( )xq 1 -99.999 0.099

y de ( ) 099999 =−= .x)x(q : se obtiene 999992 .≈α :, con sólo un 0,001% de error.

En conclusión, los errores introducidos por la deflación son menores si las raíces se

determinan en orden ascendente de valores absolutos.

4.8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

En algunos problemas académicos la solución de sistemas de ecuaciones no lineales

puede ser hecha por simple eliminación. Por ejemplo, para determinar los puntos en los

que se intersectan el círculo 322 =+ yx y la hipérbola 122 =− yx , basta restar y

sumar ambas expresiones (obteniéndose 2±=x , 1±=y ).

Sin embargo, en la mayor parte de los casos prácticos será necesario iterar. Muchos de

los métodos antes descritos para resolver una ecuación no lineal pueden generalizarse

para resolver sistemas de ecuaciones no lineales:

( ) 0,,, 321 =ni xxxxf K ni K,3,2,1=

0xf =)(

Iteración directa

Un proceso simple puede ser obtenido rescribiendo estas ecuaciones como:


( )nii xxxxgx K,,, 321= ni K,3,2,1=

)(xgx =

lo que permite iterar con

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )kn

kkki

ki xxxxgx K,,, 321

1 =+

o bien con

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )kn

ki

kki

ki xxxxgx KK ,,, 1

12

11

1+

+++ =

Estos son los equivalentes no lineales de los métodos de Jacobi y Gauss – Seidel.

También aquí puede establecerse un criterio de convergencia similar a 1)( <′ xg .

Definiendo la matriz D, con coeficientes:

j

iij x

gxd

δδ

=)(

se tiene que los valores característicos de la matriz D deben ser tales que: 1<iλ . Con

frecuencia se presentan sistemas no lineales de la forma: )(xgax h+= donde las

ji xg δδ son finitas. Entonces, para h suficientemente pequeño, el proceso iterativo ( ) ( ) )(1 kk h xgax +=+ satisface las condiciones de convergencia.

Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones (no lineales):

)(cos

)(sen

21

21

yxy

yxx

−=

+=

Puede iterarse con:

)(cos

)(sen)()1(

21)1(

)()(21)1(

kkk

kkk

yxy

yxx

−=

+=++

+

Obteniéndose (con la aproximación inicial 0)0()0( == yx ):

k )(kx )(ky

1 0 0.5

2 0.239 712 729 0.483 158 048

3 0.330 770 125 0.494 205 706

4 0.367 265 691 0.495 976 965

5 0.379 977 102 0.496 639 778 ...

10 0.386 424 387 0.496 949 307 ... 20 0.386 450 795 0.496 950 555

Método de Newton

También el método de Newton - Raphson puede ser generalizado para sistemas de

ecuaciones no lineales:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0()()( 11 =−+≈ ++ kkkkk ) xxxDxfxf

En la sección 4.7.4 se presentó una aplicación de estas ideas. El proceso converge si ( )kx es suficientemente cercano a la solución exacta x , lo que es relativamente fácil


cuando las no linealidades no son muy fuertes y se combina el método de Newton -

Raphson con un proceso incremental.

Para el caso particular de dos ecuaciones no lineales:

0),(

0),(

2

1

==

yxf

yxf

puede escribirse:

=

−

−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

+

+

0

0

)()1(

)()1(

22

11

2

1

kk

kk

yy

xx

y

f

x

fy

f

x

f

f

f

expresión en la que 1f , 2f y sus derivadas se calculan con la aproximación )()( , kk yx .

Luego se obtienen:

∂∂

+∂∂

−

∂∂

−∂∂

−

=

+

+

x

ff

x

ff

y

ff

y

ff

dy

x

y

x

k

k

k

k

12

21

12

21

)(

)(

)1(

)1(1

siendo x

f

y

f

y

f

x

fd

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

== 2121)(det D .

Considérese, por ejemplo:

01)5.0()1(),(

01),(22

2

21

=−−+−=

=−+=

yxyxf

yxyxf

Estas ecuaciones tienen dos soluciones:

)472721581476.0,092790146215.1(

)550347344984.0,762549122125.0(

2

1

−==

r

r

Con la aproximación inicial )0,0( se obtienen:

k )(kx )(ky 1f 2f

0 0.000000 0.000000 -1.000000 0.250000

1 -0.375000 1.000000 0.140625 1.140625

2 0.125000 1.234375 0.250000 0.304932

3 0.095595 0.991726 0.000865 0.059743

4 0.125088 0.985223 0.000870 0.000912

5 0.125122 0.984344 0.000000 0.000001

6 0.125123 0.984344 0.000000 0.000000

Con otras aproximaciones iniciales, como por ejemplo )0,1( ó )1,1( − , se obtiene 2r

Método de Máxima Gradiente

El método de Newton tiene convergencia cuadrática, pero requiere una buena

aproximación inicial. Con tal fin, puede emplearse el método de máxima gradiente, cuya

convergencia es lenta pero está garantizada (siempre que D sea no singular).


La solución del sistema de ecuaciones no lineales 0xf =)( es aquella que hace mínima

la función:

[ ] ∑=

==n

ini

T xxxfF1

21 ),,()()()( Lxfxfx

Partiendo de una aproximación )0(x se hacen correcciones de la forma:

fDxxx Tk

kk

kk F αα 2)()()1( −=∇−=+

kα debe ser tal que )()( )()1( kk FF xx <+ .

Aproximaciones

La evaluación de los 2n coeficientes de la matriz ( ) )kxD ( , es decir: jiij xfd ∂∂=

puede requerir demasiadas operaciones, por lo que es común volver a evaluar D solo

cada cierto número, m , de pasos (y no en cada paso). Se tiene así el método de

Newton - Raphson modificado:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0()( 1 =−+ + kkpk ) xxxDxf mpppk ++= K,1, .

Esto también ahorra muchas operaciones al resolver el sistema de ecuaciones lineales

para determinar las x(k+1), puesto que la matriz D solo debe reducirse cada m pasos.

También pueden utilizarse métodos análogos al método de la secante. Una

aproximación frecuente es:

( )j

ijji

j

iij h

fhf

x

fd

)()(

xexx

−+≈=

δδ

donde je es la columna j de la matriz identidad de orden n , y los 0≠jh son

arbitrarios, por ejemplo: ( ) ( )kj

kjj xxh −= −1 (esto es el método de la secante, que da un

orden de convergencia de aproximadamente 1.6). Si en cambio se toma ( ) )(fh kjj x=

se obtiene una generalización del método de Steffensen.

Otra posibilidad consiste en derivar 0=)( xf con respecto a un parámetro, α :

0=+⋅αδ

δαδ

δδδ fx

x

f

lo que permite utilizar muchos de los procesos para resolver sistemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias descritos en el capítulo 6. Por ejemplo, pueden considerarse

Dx

f=

δδ

xx

∆=∆ααδ

δ f

f∆=∆α

αδδ

y entonces:

( ) ( ) ( )kkk fxxD ∆=∆⋅)(

( ) ( ) ( )kkk xxx ∆+=+1

Este es el método de Euler, un proceso simple pero no siempre adecuado.

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Interpolación, Diferenciación e Integración 5 - 1

5. Interpolación, Diferenciación e Integración Numé rica

5.1. Diferencias Finitas

Dadas las abscisas kx , uniformemente espaciadas: hxx kk +=+1 , a las que

corresponden valores ( )kk xff ≈ , se definen las primeras diferencias finitas hacia

adelante como:

kkk fff −=∆ +1 .

Análogamente pueden definirse las segundas diferencias:

kkkkkk ffffff +−=∆−∆=∆ +++ 1212 2

y en general las diferencias finitas hacia adelante de orden n :

kn

kn

kn fff 1

11 −

+− ∆−∆=∆

( ) ink

n

i

ik

n fi

nf −+

=∑

−=∆

0

1

donde: ( )!!

!

ini

n

i

n

−=

Una tabla de diferencias es un arreglo de la forma:

k kf kf∆

kf2∆ kf3∆ kf4∆ kf5∆ kf6∆ kf7∆

0 0 0 0 0 1 -5 15 -35

1 0 0 0 1 -4 10 -20 35

2 0 0 1 -3 6 -10 15

3 0 1 -2 3 -4 5

4 1 -1 1 -1 1

5 0 0 0 0

6 0 0 0

7 0 0

8 0

Puede apreciarse como un pequeño error en las kf puede amplificarse en las

diferencias finitas altas, lo que puede ser útil para identificar posibles errores en una

tabla de ( )xf .

Las diferencias finitas tienen ciertas propiedades análogas a las derivadas. Así por

ejemplo: ( ) kkkk vcucvcuc ∆+∆=+∆ 2121

( ) kkkkkk uvvuvu ∆+∆=∆ +1

1+

∆−∆=

∆

kk

kkkk

k

k

vv

vuuv

v

u

( ) ( )∑∑−

=+

−

=

∆−−=∆1

0100

1

0

n

i

iinn

n

i

ii vuvuvuvu


En forma similar, pueden definirse diferencias finitas hacia atrás:

1−−=∇ kkk fff

111

−−− ∇−∇=∇ k

nk

nk

n fff

y diferencias centrales:

21

21 −+

−=kkk fffδ

112 2

21

21 −+−+

+−=−= kkkkkk ffffff δδδ .....

21

21

11

−−

+− −=

k

n

k

nk

n fff δδδ

Estas diferencias están relacionadas:

211 ++ =∇=∆

kkk fff δ

Y en general:

2nk

nnk

nk

n fff++ =∇=∆ δ

Para puntos con espaciamiento no uniforme pueden calcularse diferencias divididas:

],[)()(

],[ 0110

1010 xx

xx

xfxfxx =

−−

=

20

2110210

],[],[],,[

xx

xxxxxxx

−−

=

...

n

nnn xx

xxxxxxxxxx

−−

= −

0

21110210

],,[],,[],,,[

LLL

Por ejemplo:

k kx kf [ ] L1, +kk xx

0 0 -5 6 2 1 0 0

1 1 1 12 6 1 0

2 3 25 30 11 1

3 4 55 63 15

4 6 181 108

5 7 289

Para el caso de puntos con espaciamiento uniforme, h , las diferencias divididas pueden

relacionarse con diferencias finitas hacia delante:

ni

n

niiiihn

fxxxx

!],,,[ 21

∆=+++ L

y en forma similar con diferencias finitas centrales o hacia atrás.

Si )(xf es un polinomio de grado n , las diferencias finitas (de cualquier tipo) de orden

1+n o superior obtenidas con los )( kk xff = son cero. En el ejemplo anterior )(xf es

un polinomio de tercer grado.


5.2. Interpolación

Supóngase que se tiene una tabla de valores tales como:

nx )( kxf

0 1.000 000

0.1 0.995 004

0.2 0.980 067

0.3 0.955 336

0.4 0.921 061

0.5 0.877 582

Y se requiere calcular )25.0(f . Para ello, )(xf puede aproximarse localmente por una

función más simple, )(xg , tal que )()( kk xfxg = . El caso más común es aquel en que

)(xg es un polinomio, pero también son frecuentes las aproximaciones con funciones

trigonométricas, por ejemplo:

LL ++++++= xbxbxaxaaxg 2sensen2coscos)( 21210

En lo que sigue se hace énfasis en interpolaciones polinómicas. Dados 1+n puntos

)(, kk xfx , sólo un polinomio de grado n , ( )xpn , satisface las condiciones

)()( kkn xfxp = para todo k . Sus coeficientes, ia , podrían obtenerse resolviendo:

=

MMK

K

K

K

K

)(

)(

)(

)(

1

1

1

1

3

2

1

0

3

2

1

0

33

233

32

222

31

211

0200

xf

xf

xf

xf

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

pero esto no es práctico. Otros métodos más eficientes se revisan a continuación.

5.2.1 Fórmulas de Interpolación de Newton y Otras E xpresiones Análogas.

Para puntos uniformemente espaciados:

∑∞

=

∆+−−−+=+1

000 !

)1()2()1()(

j

j fj

jfhxf

ααααα L

Esta expresión es fácil de obtener considerando un operador E tal que 1+= kk ffE , es

decir ∆+=1E . Como nkkn ffE += , puede escribirse: 000 )1()( ffEhxf ααα ∆+==+ .

Generalmente se consideran solo algunos términos de esta serie.

Por ejemplo, despreciando las diferencias de orden 3 o superior:

=∆−+∆+≈+ kkkk fffhxf 221 )1()( αααα

21 2

)1()2(

2

)2()1(++

−+−+

−−= kkk fff

αααααα

Considerando los valores numéricos:

k kx )( kxf

2 0.2 0.980 067

3 0.3 0.955 336

4 0.4 0.921 061


(para los que 1.0=h ), el valor de )25.0(f podría obtenerse con 5.0=α :

( ) )921061.0(2

)5.0()5.0()955336.0()5.1()5.0()980067.0(

2

)5.1()5.0(5.02

−++

−−=+ hxf

de donde ( ) 895968.025.0 ≈f (el valor exacto es 912968.0 )

La expresión anterior es la fórmula de interpolación de Newton con diferencias finitas

hacia adelante. Similarmente puede escribirse la fórmula de Newton con diferencias

hacia atrás:

∑∞

=

∇−++++=+1 !

)1()2()1()(

j

nj

nn fj

jfhxf

ααααα L

o la fórmula de Newton con diferencias divididas:

[ ] [ ][ ] L+−−−+

+−−+−+=)()()(,,,

)()(,,)(,)(

2103210

102100100

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxfxf

Esta última expresión es válida también para puntos con espaciamiento no uniforme.

Considérese por ejemplo la tabla de diferencias divididas:

i ix if [ ]1, +ii xx [ ]2, +ii xx L [ ]3, +ii xx L [ ]4, +ii xx L

-1 0. 1.000 000 -0.099 667 -0.492 113 0.037 106 0.039 670

0 0.2 0.980 067 -0.247 301 -0.477 270 0.060 908 0.037 594

1 0.3 0.955 336 -0.342 755 -0.452 907 0.079 705

2 0.4 0.921 061 -0.478 627 -0.421 025

3 0.6 0.825 335 -0.604 934

4 0.7 0.764 842

+−−−+−−+= )3.025.0()2.025.0()477270.0()2.025.0()247301.0(980067.0)25.0(f 968914.0)4.025.0()3.025.0()2.025.0()060908.0( =+−−−+ L

(Este es el resultado con 5 términos, con 3 términos se obtiene 0.968 895)

Otra alternativa es interpolar con diferencias centrales:

L++−+−++=+++

21

21

3612

21 )1()1()1()(

kkkkk ffffhxf δαααδααδαα

L++−++++=+−−

21

21

3612

21 )1()1()1()(

kkkkk ffffhxf δαααδααδαα

Estas son las fórmulas de Gauss. Promediando las dos expresiones se obtiene la

fórmula de Stirling:

( ) L+

+

−++

++=+

−+−+21

21

21

21

332

22

12

)1(

22 kkkkkkk ffffffhxf δδααδαδδαα

5.2.2. Fórmula de Interpolación de Lagrange

Esta fórmula es más adecuada para análisis teóricos que para el cómputo práctico. El

polinomio de interpolación se obtiene como:

∑=

⋅=m

i

ii fxgxp0

)()(


Los polinomios )(xg i se obtienen multiplicando n binomios: ( )( )∏

≠= −

−=

m

ijj ji

ji xx

xxxg

0

)( .

Nótese que ijji xg δ=)( .

El siguiente ejemplo es ilustrativo:

k kx kf

0 0. -5.

1 1. 1.

2 3. 25.

)34()30()10(

)3()1()( 2

31

0 +−=−−−−

= xxxx

xg

)3()31()01(

)3()0()( 2

21

1 xxxx

xg +−=−−−−

=

)()13()03(

)1()0()( 2

61

2 xxxx

xg −=−−−−

=

542)()( 22

0

−+=⋅=∑=

xxfxgxpi

ii

5.2.3. Interpolación de Hermite.

En algunos casos es conveniente trabajar con los valores de la función, ( )xf y un cierto

número de sus derivadas ( ) )(),(),(),( xfxfxfxf mK′′′′′′ . Dados los valores

( )mkkkk ffff K,,, ′′′ en n puntos de abscisas kx , es posible determinar un polinomio ( )xp

de grado ( ) 11 −+ nm que satisfaga:

( ) ( )

1,1,0

,1,0)()(

−=

==

nj

mixfxp ji

ji

K

K

La interpolación de una función cuando una o más de sus derivadas son conocidas en

cada punto se llama interpolación de Hermite. ( )xp puede obtenerse utilizando la fórmula

de Newton con diferencias divididas y considerando que:

[ ] ( ) )()()(

, 001

0100

01

xfxx

xfxfLimxx

xx′=

−−

=→

[ ] [ ]( )10

100100

,)(,,

xx

xxxfxxx

−−′

=

También podrían usarse las expresiones de Lagrange, considerando primero puntos a

una distancia pequeña, ε , y luego identificando a las derivadas con los límites de

diversas expresiones para 0→ε .

El siguiente ejemplo es ilustrativo. Se trata de determinar un polinomio ( )xp de grado 3,

tal que: ( )( )( )( ) B

A

B

A

Lp

p

vLp

vp

θθ

=′=′==

0

0


k kx kf [ ]1, +kk xx [ ]21 ,, ++ kkk xxx [ ]321 ,,, +++ kkkk xxxx

0 0 Av Aθ LL

vv AAB θ−

−2

( )

23

2

LL

vv BAAB θθ ++

−

1 0 Av L

vv AB − 2L

vv

LABB −

−θ

2 L Bv Bθ

3 L Bv

Se han tomado datos de esta tabla siguiendo una trayectoria horizontal.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LxxLL

vvx

LL

vvxvxp BABAAAB

AA −−

++

−+−

−−

+−+= 2

23

2

20

200

θθθθ

( ) ( ) ( ) ( ) LLvvxp BABA θξξθξξξξξξ −−−+−++−= 1123231)( 223232 donde L

x=ξ .

5.2.4. Interpolación Inversa.

En la solución de 0)( =xf pueden obtenerse aproximaciones a una raíz, x , por

interpolación de una función inversa con ordenadas kx para abscisas de espaciamiento

no uniforme, )( kxf . Considérese, por ejemplo:

kx )( kxf

1. 1.76

2. 0.41

3. -0.16

4. -0.32

Usando la fórmula de Lagrange con 4 puntos:

)16.032.0()41.032.0()76.132.0(

)4()16.00()41.00()76.10(

)32.016.0()41.016.0()76.116.0(

)3()32.00()41.00()76.10(

)32.041.0()16.041.0()76.141.0(

)2()32.00()16.00()76.10(

)32.076.1()16.076.1()41.076.1(

)1()32.00()16.00()41.00(

+−−−−−+−−+

+−−−−−+−−+

+++−

++−+++−

++−≈x

37.2≈x

5.2.5. Generalización a Varias Dimensiones.

Las expresiones anteriores pueden fácilmente generalizarse para "mallas" de más

dimensiones. Así, si se tienen puntos con coordenadas kji zyx ,,

( lkmjni LLL 0;0;0 === ) las fórmulas de Lagrange resultan:

∑∑∑= = =

⋅⋅⋅=n

i

m

j

l

k

ijkzyx fzgygxgzyxpkji

0 0 0

)()()(),,(

donde ( )( )∏

≠= −

−=

n

irr ri

rxi xx

xxxg

0

)( y expresiones similares en las direcciones zy, .

Frecuentemente los puntos están uniformemente espaciados: xxx ii ∆+=+1

yyy ii ∆+=+1

zzz ii ∆+=+1


La figura muestra una zona de una malla bidimensional con espaciamiento uniforme.

Las coordenadas de un punto en la proximidad de A pueden definirse por dos

parámetros βα , (coordenadas relativas medidas en unidades yx ∆∆ , ).

∆

O

x

E

D C B

A

HGF

y∆ xα ∆

β ∆y

P

Usando la fórmula de Stirling, e incluyendo diferencias centrales hasta de 2° orden

inclusive, se obtiene:

( ) ∑∑+

−=

+

−=

=∆+∆+1

1

1

1

00 ,i j

ijji fbayyxxf βα

donde:

( )121

1 −= ααa ( )121

1 −= ββb

22 1 α−=a 2

2 1 β−=b

( )121

3 += ααa ( )121

3 += ββb

y es igualmente fácil desarrollar expresiones análogas considerando un número mayor o

menor de puntos en cada dirección. La presencia de bordes curvos introduce algunas

dificultades (no es posible seguir teniendo un espaciamiento uniforme).

Sin embargo, en muchos casos es necesario trabajar con mallas no regulares, como la

mostrada en la figura siguiente. Las diferencias finitas no son entonces la herramienta

más adecuada. El concepto de elementos finitos es útil y permite un tratamiento más

simple. La región en estudio se divide en subregiones o elementos, conectados en un

número finito de nudos con los elementos adyacentes.

El valor de una función, f , en un punto en el interior de un elemento se obtiene

interpolando los valores de la función en los nudos del elemento:

i

N

i

i fzyxNzyxf ⋅=∑=1

),,(),,(


Las funciones de interpolación deben satisfacer:

ijjjji zyxN δ=),,( ( jjj zyx ,, son las coordenadas del nudo j )

1),,(0

=∑=

N

i

i zyxN

Esto último es evidente si se supone cf i = para todo j y entonces czyxf =),,( .

Adicionalmente, las iN deben ser tales que se mantenga la continuidad de f (y en

algunos casos la continuidad de una o más derivadas) en los bordes entre elementos.

Es relativamente fácil construir estas funciones para elementos bidimensionales

rectangulares.

Por ejemplo, para un elemento con 4 nudos (con referencia al centroide):

4,3,2,1114

1),( =

+

+= ib

y

b

y

a

x

a

xyxN ii

i

b

4

1

a

3

2

a

b

X

Y

4

1b

b

a a

Y

2

3

X8 6

7

5

Y para un elemento con 8 nudos (con referencia al centroide):

−+

+

+= 1114

1

b

y

b

y

a

x

a

x

b

y

b

y

a

x

a

xN iiii

i 4,3,2,1=i


+

−=b

y

b

y

a

xN i

i 112

12

7,5=i

−

+=2

112

1

b

y

a

x

a

xN i

i 8,6=i

Estos son los dos elementos más simples de la familia de Serendip.

Las funciones de interpolación para los correspondientes elementos tridimensionales son

similares.

En subregiones triangulares las funciones de interpolación resultan más simples si se

escriben en coordenadas de área, L1, L2, L3.. Un punto en el interior de un triángulo

permite definir tres triángulos parciales, cuyas áreas divididas entre el área total del

triángulo son justamente las Li:

A

AL i

i =

En consecuencia:

1321 =++ LLL .

Las coordenadas yx, se relacionan con las

coordenadas de área mediante:

xxLi

ii =∑=

3

1

yyLi

jj =∑=

3

1

Por otro lado si el origen de coordenadas yx, está en el centroide del triángulo:


yA

cx

A

bL ii

i 223

1 ++=

donde:

kji yyb −=

jki xxc −=

kji ,, son permutaciones cíclicas de 3,2,1 .

Para un elemento con 3 nudos, el valor de una función, ),( yxf , puede obtenerse por

interpolación lineal de los tres valores nodales 321 ,, fff :

∑=

=3

1

),(i

ii fLyxf

es decir, ),(),( yxLyxN ii = .

En forma similar, para un elemento con 6 nudos (nudos adicionales al centro de cada lado), ),( yxf puede obtenerse por interpolación cuadrática de los valores nodales.

( )12 −= iii LLN 3,2,1=i

136

325

214

4

4

4

LLN

LLN

LLN

===

(Los elementos triangulares de mayor orden son en general poco útiles). Pueden escribirse fácilmente expresiones análogas para los correspondientes elementos tridimensionales.

1

2

3

1

3

26

4

5

Para elementos más complejos, la construcción de funciones de interpolación puede

simplificarse si se efectúa previamente un "mapeo" adecuado.

Por ejemplo, para el hexaedro de Serendip con 20 nudos:


( )∑=

⋅=20

1

,,),,(i

ii fNf ςηξςηξ

( )( )( )( )211181 −+++++= ςςηηξξςςηηξξ iiiiiiiN 8,1 L=i

( ) ( ) ( )iiii gggN ςςηηξξ ,,,= 20,9 L=i

donde: ( )iig ξξξξ += 1),( 21 si 1±=iξ

( )21),( ξξξ −=ig si 0=iξ .

Las coordenadas zyx ,, pueden asociarse con las ςηξ ,, usando las mismas funciones

de interpolación:

( ) i

i

i xNx ςηξ ,,20

1∑

=

=

( ) i

i

i yNy ∑=

=20

1

,, ςηξ

( ) i

i

i zNz ∑=

=20

1

,, ςηξ

en tal caso se dice que el elemento es isoparamétrico. También puede hablarse de

elementos sub-paramétricos o hiper-paramétricos, según las funciones utilizadas en el

mapeo sean de grado menor o mayor que aquellas con que se interpola la función, f .

Nótese que también es posible hacer mapeos con las coordenadas de área.

5.3. Derivación

Dados )()(),( 2211 nn xffxffxff ≈≈≈ K puede obtenerse una aproximación, )(xg , a la

función )(xf , tal que )()( ii xfxg = para ni K,2,1= . Este es el problema de interpolación

considerado en la sección 5.2. Entonces, las derivadas de )(xf podrían aproximarse,

localmente, por aquellas de )(xg . Sin embargo, debe tenerse presente que pequeños

errores en los valores de la función pueden amplificarse enormemente al calcular las

derivadas. A mayor orden de la derivada, mayores son las probabilidades de errores de

cancelación.

En lo que sigue se considera el caso de abscisas nxxx K,21 , con espaciamiento

uniforme, h . Para h suficientemente pequeño:

K+′′′±′′+′±=± )()()()()( 3612

21

iiiii xfhxfhxfhxfhxf

K−′′−−+=′ )()()()( 221

iiii xfhxfhxfxfh

de donde, con la notación )()()(i

mmi xff = :

)()(1 hOh

fhO

h

fff iii

i +∆

=+−

=′ +

y en forma similar se tienen:

)(1 hOh

fff ii

i +−

=′ −


)( 221

21

hOh

fff

ii

i +−

=′ −+

Incluyendo puntos más alejados pueden obtenerse expresiones del tipo:

)( 3261

121

131

hOh

fffff iiii

i +−+−−

=′ ++−

Pero las expresiones más simples son las más frecuentemente utilizadas.

Considérese por ejemplo los valores ( xcos ):

kx )( kxf )( kxf ′ h

f k∆

h

ff kk

211 −+ −

0. 1.000 000 0. 0.049 958

0.1 0.995 004 0.099 833 0.149 376 0.099 667

0.2 0.980 067 0.198 669 0.247 301 0.198 338

0.3 0.955 336 0.295 520 0.342 755 0.295 028

0.4 0.921 061 0.389 418 0.434 784 0.388 770

0.5 0.877 582 0.479 426

Igualmente, )(xf ′′ puede ser aproximada por diferencias finitas de segundo orden:

( ) ( )222

211 2

)( hOfhOh

ffffxf i

iiiii +=+

+−=′′=′′ −+ δ

Por ejemplo, para la función de la tabla precedente:

97925.0)1.0(

955336.0)980067.0(2995004.0)2.0(

2−≈

+−≈′′f

El valor exacto es 980067.0)2.0(sen −=

y las derivadas de orden superior pueden ser aproximadas por las correspondientes

diferencias finitas.

Por ejemplo: m

im

mi

h

ff

∆≈)(

m

im

mi

h

ff

δ≈)(

Cuando se tienen 2 o más variables independientes, Ltyx ,, y mallas ortogonales de

puntos uniformemente espaciados, las derivadas parciales pueden aproximarse por

diferencias finitas trabajando separadamente con cada variable. Así por ejemplo, para

hyx =∆=∆ , el Laplaciano:

2

2

2

22

y

u

x

uu

∂∂+

∂∂=∇

en un punto de coordenadas ji yx , puede aproximarse por:

21,,1,

2,1,,12

5

22

h

uu

h

uuuu jijujijijiji

ij++−+ +−

++−

=∇

con un error de ( )2hO Nótese que en u2∇ y iju25∇ el símbolo ∇ no es el operador para

diferencias hacia atrás.


Al utilizar elementos finitos, las derivadas se obtienen operando exactamente con las

funciones de interpolación. Así, si: i

n

i

i fzyxNf ∑=

=1

),,( se tiene: i

n

i

i fx

N

x

f∑

= ∂∂

=∂∂

1

.

Algunos comentarios adicionales relativos al uso de elementos isoparamétricos son aquí necesarios. Para elementos isoparamétricos las funciones de interpolación iN están expresadas como función de Lςηξ ,, :

( ) i

n

i

i fNf ∑=

=1

,, ςηξ

y las coordenadas Lςηξ ,, están relacionadas con las Lzyx ,, mediante las mismas

funciones de interpolación, v.g.:

( ) i

n

i

i xNx ∑=

=1

,, ςηξ

Excepto para casos particulares de geometría muy simple, es prácticamente imposible

obtener expresiones explícitas para las Lςηξ ,, en función de las Lzyx ,, y lo mismo

puede decirse de las funciones de interpolación, ( )ςηξ ,,iN . Como consecuencia, en

general es fácil obtener derivadas con relación a las Lςηξ ,, , pero comparativamente

difícil obtener expresiones explícitas para las L,,,z

f

y

f

x

f

∂∂

∂∂

∂∂

. Su evaluación numérica

es, sin embargo, muy simple. Teniendo en cuenta que:

∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂∂∂

z

fy

fx

f

zyx

zyx

zyx

f

f

f

ςςς

ηηη

ξξξ

ς

η

ξ

O en notación más compacta: r

Jx ∂

∂=

∂∂ ff

. Los elementos de la matriz J y de r∂

∂ f se

obtienen con expresiones e la forma:

i

n

i

i

i

n

i

i

zNz

xNx

∑

∑

=

=

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

1

1

ηη

ξξM

Por otro lado, al obtenerse la matriz J puede hacerse el cambio de variables:

ςηξ ddddzdydx ⋅= )det( J

lo que facilita enormemente las integrales, ya que los límites de integración son en cada

caso 1− y 1+ .

5.4. Ecuaciones de Diferencias

Una fórmula de recursión del tipo: ( )nyyyyfy knnnnkn ,,,,, 121 −++++ = K se denomina

ecuación de diferencias de orden k . La solución de ecuaciones de diferencias tiene

cierta analogía con la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.


La ecuación

011 =+++++ −+−++ nkjknjknkn yayayay KK

es una ecuación de diferencias lineal, homogénea, de orden k , con coeficientes

constantes. Esta ecuación queda satisfecha por jj cry = . Los posibles valores de r

corresponden a las raíces de la ecuación característica:

0)( 12

21

1 =+++++= −−−

kkkkk ararararrp K .

Si la ecuación característica tiene k raíces distintas krrr K,, 21 la solución general de la

ecuación de diferencias (lineal, homogénea, con coeficientes constantes) puede

escribirse:

jkk

jjjj rcrcrcrcy K+++= 332211

Lo cual puede probarse por simple sustitución. Si en cambio se tiene una raíz de

multiplicidad m , deben considerarse términos jrjq )( , donde )( jq es un polinomio de

orden 1−m . En cualquier caso la solución tiene k constantes independientes.

Considérese por ejemplo: 065 12 =+− ++ nnn yyy , con condiciones iniciales 00 =y ,

11 =y . Por recursión con nnn yyy 65 12 −= ++ se obtienen:

5)0)(6()1)(5(2 =−=y

19)1)(6()5)(5(3 =−=y

65)5)(6()19)(5(4 =−=y

211)19)(6()65)(5(5 =−=y

Por otro lado, la ecuación característica es en este caso 0652 =+− rr , cuyas raíces

son 21 =r , 32 =r . La solución general es: nnn ccy 32 21 ⋅+⋅= y dadas las condiciones

iniciales:

0=n 021 =+ cc

1=n 132 21 =+ cc

se obtienen: 11 −=c y 12 =c , es decir nnny 23 −= .

Por ejemplo, 651681)2()3( 444 =−=−=y .

En cambio, 043 23 =+− ++ nnn yyy tiene la ecuación característica 043 23 =+− rr

cuyas raíces son 11 −=r , 232 == rr , y su solución general es entonces: nn

n ncccy )2)(()1( 321 ++−= .

La fórmula de recursión para los polinomios de Tchebicheff:

0)()(2)( 11 =+− −+ xTxxTxT nnn

es también una ecuación de diferencias lineal, homogénea, de orden 2, con coeficientes constantes (porque 1, -2x, 1 no son función de n). Su ecuación característica es:

0122 =+− rxr , con raíces 21 xixr −±= . Haciendo el cambio de variable θ= cosx

se tiene: θ±=θ±θ= ieir sencos . La solución general de la ecuación de diferencias es

( ) ( ) θ−θθ−θ+ +=+= ininninin ececececT 2121 . Con las condiciones iniciales 1)(0 =xT ,

θ== cos)(1 xxT se obtienen 21

21 == cc y finalmente θ=+= θ−θ neexT ininn cos)( 2

121 ,

donde xcosarc=θ .


La solución de una ecuación de diferencias lineal no homogénea puede obtenerse

sumando a la solución de la correspondiente ecuación homogénea una solución

particular. Los ejemplos siguientes son ilustrativos:

Considérese: nnn ayy =−+ 21 , con la condición inicial 10 =y . La correspondiente

ecuación homogénea, 021 =−+ nn yy , tiene la ecuación característica 02 =−r y su

solución es entonces nn cy )2(= . Para la solución particular puede tantearse una

solución de la forma nn ay α= , de donde nnn aaa =α−α + 21 y por lo tanto ( ) 12 −−=α a

(esto es, suponiendo que 2≠a ). La solución general es: ( ) nnn caay )2(2 +−= . Con

la condición inicial se halla ( ) 121 −−−= ac y finalmente ( ) ( )222 −−+= aay nnnn

(para 2≠a ). Para 2=a la regla de L' Hospital da: 122 −+= nnn ny .

Para la ecuación de diferencias nnnn nyyy )1(3265 12 −+=+− ++ puede considerarse la

solución particular: ncbany )1(−++= . Sustituyendo esta expresión en la ecuación e

identificando coeficientes se obtienen: 1=a , 23=b , 4

1=c . Por otro lado, la ecuación

característica es: 0652 =+− rr con raíces 21 =r , 32 =r . La solución general resulta

entonces nnnn ccny )3()2()1( 214

12

3 ++−++= .

5.5. Integración Numérica (Cuadratura)

La evaluación de una integral definida:

∫b

adxxf )(

en forma explícita es a veces muy difícil o prácticamente imposible. En tales casos

puede hacerse una aproximación numérica tal como las que se mencionan en esta

sección.

5.5.1 Regla de los Trapecios, Regla de Simpson y ot ras fórmulas interpolatorias.

Una posible forma de resolver el problema es aproximando, localmente, la función, ( )xf ,

por otra, ( )xg , más simple de integrar.

En la Regla de los Trapecios se aproxima ( )xf con segmentos de recta y entonces:

( ) [ ]∫ +−≈1

0

)()()( 100121

x

xxfxfxxdxxf

Esta expresión puede generalizarse para un intervalo [ ]nxx ,0 . Considerando abscisas

con espaciamiento uniforme hxx ii += −1 , para los que se tiene valores de la función

)( ii xff = puede hacerse interpolaciones lineales en cada subintervalo [ ]1, +ii xx para

obtener:

( ) ( )∫ +++++=≈ −

nx

xnn fffff

hhTdxxf

01210 222

2)( K

El error de truncación puede estimarse más fácilmente considerando primero el sub-

intervalo [ ]2,2 hh +− para el cual (siendo h pequeño):

K++′′′+′′+′+= )0()0()0()0()0()( 42413

612

21 IVfxfxfxfxfxf

e integrando:

∫+

−++′′+⋅=

2

2

)0(1920

)0(24

)0()(53h

h

IVfh

fh

fhdxxf L


Por otro lado:

( ) L±+′′′±′′+′±=± )0(384

)0(48

)0(8

)0(2

2432

0IVf

hf

hf

hf

hfhf

∫+

−−′′−

−+

=∴2

2

)0(480

)0(12222

)(53h

h

IVfh

fhh

fh

fh

dxxf K

Si h es pequeño el error local de truncación es de ( )3hO . Sin embargo, para integrar

entre límites a y b se requieren ( ) hab − subintervalos (este número es inversamente

proporcional a h ) y el error global es entonces de ( )2hO .

En la Regla de Simpson la aproximación local se hace interpolando con parábolas de 2°

grado. Considerando puntos con abscisas uniformemente espaciadas:

( )∫ +−++=2

0

)(90

43

)( 1

5

210

x

x

IV xfh

fffh

dxxf K

y en general, considerando un número par de subintervalos:

( ) ( )∫ +++++++++= −−

nx

xnnn hOffffffff

hdxxf

0

41243210 422424

3)( K

Esta fórmula es exacta cuando )(xf es un polinomio de hasta tercer grado.

Considérese por ejemplo: 912437609.15Ln5

1==∫ x

dx Para la función

xxf

1)( = se

obtienen los valores siguientes:

x )(xf x )(xf

1.00 1. 3.25 0.3076 9231

1.25 0.8 3.50 0.2857 1429

1.50 0.6666 6667 3.75 0.2666 6667

1.75 0.5714 2857 4.00 0.25

2.00 0.5 4.25 0.2352 9412

2.25 0.4444 4444 4.50 0.2222 2222

2.50 0.4 4.75 0.2105 2632

2.75 0.3636 3636 5.00 0.2

3.00 0.3333 3333

y utilizando la regla trapezoidal se obtienen aproximaciones a ∫5

1 x

dx.

Por ejemplo con 1=h :

( ) ( )[ ] KK 8336.12.025.0333.05.02.1121

5

1=++++≈∫ x

dx

y en forma similar h ( )hT

1.0 1.683 333

0.5 1.628 968

0.25 1.614 406

....

Con la regla de Simpson se obtienen:


h ( )hS

0.5 1.610846

0.25 1.609552

0.125 1.609446

Las fórmulas de los trapecios y de Simpson corresponden al grupo de fórmulas de

Newton - Cotes de intervalo cerrado. Algunas otras fórmulas de este grupo son la regla

de Simpson de los 83 :

( ) ( )73210 33

8

3)(

3

0

hOffffh

dxxfx

x++++=∫

y la regla de Bode:

( ) ( )943210 73212327

45

2)(

4

0

hOfffffh

dxxfx

x+++++=∫

También pueden obtenerse fórmulas que utilizan puntos uniformemente espaciados pero

no incluyen los valores de la función en uno o en los dos límites de la integral. Estas son

las fórmulas de Newton - Cotes de intervalo abierto. Por ejemplo:

( ) ( )3212

3)(

3

0

hOffh

dxxfx

x++=∫

( ) ( )5321 22

3

4)(

4

0

hOfffh

dxxfx

x++−=∫

5.5.2. Extrapolación de Richardson y el Método de R omberg

Si ( )hT es la aproximación de ∫b

adxxf )( obtenida de la aplicación de la regla de los

trapecios con intervalo h , puede escribirse:

∫ ++++=b

ahahahadxxfhT K

63

42

21)()(

( ) ( ) ( )∫ ++++=b

ahahahadxxfhT K

63

42

21 222)()2(

y entonces:

∫ +++=− b

ahahadxxf

hThTK

63

42)(

3

)2()(4

es decir ( ))2()(431 hThT − es una aproximación a ∫

b

adxxf )( con un error de truncación de

( )4hO , menor que el de ( )hT o ( )hT 2 . En forma similar, para la regla de Simpson:

∫ ++++=b

ahahahadxxfhS K

84

63

42)()(

∫ ++++=b

ahahahadxxfhS K

84

63

42 )2()2()2()()2(

y entonces:

( )( ) ∫ +++=

−− b

ahahadxxf

hShSK

84

634

4

)(12

)2()(2


es una aproximación mejor a la integral, con un error global de ( )6hO . Estos son dos

ejemplos de la extrapolación de Richardson.

Para la integral ∫5

1 x

dx considerada anteriormente:

( ) 333683.10,1 =T

( ) 968628.15,0 =T ( ) ( )( ) ( )5.0846610.10.15.0431 STT ==−

( ) 406614.125,0 =T ( ) ( )( ) ( )25.0552609.15.025.431 STT ==−

Obsérvese que estos resultados coinciden con los obtenidos de la regla de Simpson.

El método de Romberg considera inicialmente los resultados jT .1 , de aplicar la regla de

los trapecios con distintos grados de subdivisión, ( ) jj abh 2−= . Estas aproximaciones

tienen errores de truncación de ( )2jhO . No es necesario rehacer todos los cálculos para

cada nueva subdivisión, pudiéndose emplear la expresión:

( )∑−

=∆=

− ++=12

21

1,121

,1

j

ii

jjjj ihafhTT

Usando la extrapolación de Richardson se obtienen nuevas aproximaciones con errores

de ( )22 +ijhO :

( )( ) 12

22

,1,2

,1−

−= +

+ i

jijii

ji

TTT

Considérese nuevamente la integral: ∫5

1 x

dx. Con la regla de los trapecios se obtienen:

j jjh2

4= ( )∑−

==∆

+12

12

j

ii

jhiaf jT ,1

0 4. 2.4

1 2. 0.333 333 1.866 667

2 1. 0.75 1.683 333

3 0.5 1.574 603 1.628 968

4 0.25 3.199 689 1.614 406

5 0.125 6.427 862 1.610 686

Y de las sucesivas extrapolaciones:

j jT ,2 jT ,3 jT ,4 jT ,5 jT ,6

0

1 1.688 889

2 1.622 222 1.617 777

3 1.610 847 1.610 088 1.609 966

4 1.609 552 1.609 466 1.609 456 1.609 454

5 1.609 446 1.609 439 1.609 438 1.609 438 1.609 438

Las cifras subrayadas coinciden con las de la solución exacta.


5.5.3. Integración con puntos no equidistantes

Las fórmulas de integración con puntos equidistantes consideradas en la sección 5.5.1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )mm

b

axfcxfcxfcxfcdxxf ++++≈∫ L332211

con m puntos de integración y m parámetros mccc L21 , permiten integrar exactamente

polinomios de grado 1−m (y excepcionalmente de grado m , como en la regla de

Simpson). Si en cambio se toman puntos no equidistantes, para m puntos de

integración se tienen m2 parámetros: mwww L21 , y mxxx L21 , lo que permite integrar

exactamente polinomios hasta de grado 12 −m . Esta forma de integración numérica se

denomina de Gauss.

Con propósitos ilustrativos, considérese la fórmula de integración de Gauss con 3

puntos:

( ) ( ) ( ) ( )332211 xfwxfwxfwdxxfb

a++≈∫

Esta expresión será exacta si )(xf es un polinomio de grado igual o menor que 5 (es

decir, 2(3)-1) ¿Cuáles deben ser las abscisas 321 ,, xxx ? Esto se considera brevemente

en lo que sigue. El polinomio ( ) ( )( )( )321 xxxxxxxg −−−= , cuyas raíces son

precisamente las abscisas de integración, es de tercer grado. En consecuencia la

integración:

0)()()()( 332211 =++=∫ xgwxgwxgwdxxgb

a

es exacta. Lo mismo puede decirse de las integrales de los polinomios )(xgx y )(2 xgx

(que son de grado 4 y 5, respectivamente):

0)()()()( 333222111 =++=∫ xgxwxgxwxgxwxdxgxb

a

0)()()()( 32332

2221

211

2 =++=∫ xgxwxgxwxgxwxdxgxb

a

Es decir, 321 ,, xxx son los 3 ceros del polinomio ( )xg que satisface las condiciones de

ortogonalidad:

∫

∫

∫

=

=

=

b

a

b

a

b

a

dxxgx

dxxgx

dxxg

0)(

0)(

0)(

2

Con el cambio de variable ( ) ( )abzabx ++−= 21

21 se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211

1

1zFwzFwzFwdzzFdxxf

b

a++== ∫∫

+

−

y en tal caso las abscisas iz son los ceros del polinomio que satisface las condiciones:


∫

∫

∫

+

−

+

−

+

−

=

=

=

1

13

2

1

13

1

13

0)(

0)(

0)(

dzzPz

dzzPz

dzzP

)(3 zP es el polinomio de Legendre de grado 3. En general, cuando se consideran m

puntos de integración las iz son los ceros del polinomio de Legendre de grado m ,

)(zPm . En la tabla siguiente se indican algunos de estos polinomios y sus ceros:

m )(zPm iz

1 z 0.

2 ( )13 221 −z K57735.0±

3 ( )zz 35 321 − 0., K77459.0±

4 ( )33035 2481 +− zz K33998.0± , K86113.0±

5 ( )zzz 157063 3581 +− 0., K53846.0± , K90617.0±

para estos polinomios: 0)()()12()()1( 11 =++−+ −+ zPnzzPnzPn nnn .

Para determinar los "pesos" correspondientes mwww L21 , puede considerarse que:

0)()()()( 2211

1

1=+++=∫

+

−mm zFwzFwzFwdzzF K

debe ser exacta para 1)( =zF , zzF =)( ,... 1)( −= mzzF . En general:

)()1(

22

imi

izPz

w′−

= .

Las raíces, iz , de )(zPm y los correspondientes pesos, iw , pueden hallarse en tablas de

Abramovitz y Según1 u otras similares. Por ejemplo, para m=5:

iz iw

0. 0.56888 88888 88889

K056839310153846.0± 0.47862 86704 99366

K386649845990617.0± 0.23692 68850 56189

Siendo conocidas estas abscisas y pesos:

[ ]∫ +++−=b

amm xfwxfwxfwabdxxf )22112

1 ()()()()( K

donde: )()( 2

121 abzabx ii ++−=

Estas son las fórmulas de integración de Gauss - Legendre.

Considérese por ejemplo 47186931.02Ln2

1==∫ x

dx. En este caso 2,1 == ba ,

2/)3( += ii zx y se tiene:

1 Véase: "Handbook of Mathematical Functions".- M. Abramowitz e I.A. Segun, editores. Dover Publications Inc., N.Y. 1965


i iz ix ( )ixf iw

1 0. 1.5 0.666667 0.568889

2 -0.538469 1.230766 0.812502 0.478629

3 0.538469 1.769235 0.565216 0.478629

4 -0.906180 1.046910 0.955192 0.236927

5 0.906180 1.953090 0.512009 0.236927

y finalmente ∫ ∑=

=−≈2

1

5

1211 4693147.0)()12(

i

iix xfwdx .

Algunas de las múltiples variantes de integración Gaussiana se mencionan a

continuación (las correspondientes abscisas, ix , y pesos, iw , también pueden hallarse

en tablas):

Fórmula de Radau:

( )∫ ∑+

−

−

=

+−

≈1

1

1

12

)1(2

)(n

i

ii xfwfn

dxxf

Las abscisas son los ceros de ( )

( )x

xPxP nn

++−

1

)()(1 y los pesos: 2

1 ))((

)1(

in

ii

xnP

xw

−

−=

Fórmula de Lobatto:

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ ∑+

−

−

=

+−+−

≈1

1

1

1

111

2)(

n

i

ii xfwffnn

dxxf

La abscisa ix es el ( )01−i cero de )(1 xPn−′ y los pesos ( )[ ] ( )[ ] 21

112 −−

−−= ini xPnnw .

Integración de Gauss - Laguerre:

∑∫=

∞− ≈

n

i

iix xfwdxxfe

10

)()(

Las abscisas son los ceros de los polinomios de Laguerre, )(xLn

Los pesos resultan: ( ) ( ) ( )[ ] 21

2 1! −++= inii xLnxnw .

Integración de Gauss - Tchebicheff:

( )∫ ∑+

−=

≈−

1

11

21

)( n

i

ixfn

dxx

xf π

En este caso se tienen abscisas ( )n

ixi

π21cos −= .

5.5.4. Generalización a dos o más dimensiones.

Hasta el momento solo se ha considerado la integración en una dimensión. El proceso

para evaluar numéricamente integrales múltiples es análogo al proceso analítico, es

decir, se integra en una variable a la vez y en cada una de estas etapas las otras

variables se consideran como constantes. Por ejemplo:

∫∫ ∑ ∫ ∑∑= = =

≈≈n

i

n

i

m

j

jijiii yxfwwdyyxfwdydxyxf1 1 1

),(),(),(

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 6 - 1

6. Métodos de Diferencias Finitas para la

Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

6.1. Introducción

En muchos problemas de ciencia e ingeniería se plantean ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDO). Por ejemplo, ( )yxfy ,=′ con la condición inicial ( ) cay = . No

siempre es factible hallar una solución analítica de tales ecuaciones. En este capítulo se

revisan procedimientos numéricos de solución de EDO basados en la aproximación de

los operadores de derivación por diferencias finitas. Tales procedimientos son también

aplicables cuando se tienen sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como

por ejemplo:

( )yfy ,t=& (6.1a)

con condiciones iniciales:

( ) cy =0t (6.1b)

e incluso ecuaciones de orden superior: ( )yyyxfy ′′′=′′′ ,,, , que con algunos cambios

de variables pueden siempre convertirse en un sistema de ecuaciones diferenciales de

primer orden. Así:

3

22

yzxz

zyxy

+′+=′′−′−=′′

con condiciones iniciales ( )( ) 10

00

==

z

y y

( )( ) 00

10

=′=′

z

y

es equivalente a:

vz

uy

yvxv

zuxu

=′=′

++=′−−=′

3

22

con condiciones iniciales

( )( )( )( ) 00

10

10

00

====

v

u

z

y

Aunque la primera parte de este capítulo se refiere directamente al caso de las

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la sección 6.3 trata de

procedimientos específicos para el importante caso de sistemas de ecuaciones

diferenciales de segundo orden. La sección 6.5 se refiere a problemas de valor frontera,

un tema que – con otros métodos – se trata también en capítulos siguientes.

6.2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6.2.1 Método de Euler

Este es el método más simple para resolver EDO de primer orden ),( yxfy =′ con

cay =)( . El intervalo entre a y b se divide en subintervalos habitualmente iguales, de

longitud h , de modo que hnaxn += . Haciendo cy =0 se determinan sucesivamente

L4321 yyyy que son aproximaciones a los valores exactos

L)()()()( 4321 xyxyxyxy Para ello )( ixy′ se aproxima por ( ) hyyhy iii −=∆ +1 , de

donde resulta la fórmula de recursión:


( )iiii yxfhyy ,1 +=+ (6.2)

Este método es aplicable en situaciones en las que f podría ser una función bastante

complicada, o podría ser el resultado de operaciones y decisiones no expresables por

una simple fórmula, pero se presenta aquí un caso muy simple, con propósitos

didácticos.

Supóngase que: yy =′ con condición inicial 1)0( =y . La solución exacta es en este

caso conocida: xey = . Empleando el método de Euler: ( ) iiii yhyhyy +=+=+ 11 .

Con dos distintos intervalos 2.0=h y 1.0=h se obtienen:

Solución exacta Solución con 2.0=h Solución con 1.0=h

i ix ( ) ix

i exy = iy ifh Error iy ifh Error

0 0 1.000 1.000 0.200 0 1.000 0.100 0

1 0.1 1.105 1.100 0.110 -0.005

2 0.2 1.221 1.200 0.240 -0.021 1.210 0.121 -0.011

3 0.3 1.350 1.331 0.133 -0.019

4 0.4 1.492 1.440 0.244 -0.052 1.464 0.146 -0.023

5 0.5 1.649 1.610 0.161 -0.039

6 0.6 1.822 1.728 -0.094 1.771 -0.051

Se observa que el error es aproximadamente proporcional a h y que en este caso crece

con x .

El error de truncación local, es decir el error introducido en cada paso, es de ( )2hO . Sin

embargo, como el número de pasos que se realizan para integrar la EDO en un intervalo

dado es inversamente proporcional a h , el error global o total es de ( )hO . También

aquí podría emplearse la extrapolación de Richardson:

[ ] ( )2)2,(),(2)( hOhxyhxyxy +−≈

Esta expresión sería correcta para una extrapolación pasiva, es decir la que se hace

para mejorar algunos resultados y típicamente no en cada paso. En cambio, una

extrapolación activa, sería aquella que se realiza en cada paso, utilizándose los valores

así mejorados en los sucesivos pasos del proceso. En ciertos casos la extrapolación

pasiva puede ser más conveniente, por ser numéricamente más estable. Para el

ejemplo anterior, con extrapolación pasiva se obtiene:

ix ( ) ixi exy = )2.0,(xy )1.0,(xy )2.0,()1.0,(2 xyxy − Error

0.2 1.221 1.200 1.210 1.220 -0.001

0.4 1.492 1.440 1.464 1.488 -0.004

0.6 1.822 1.728 1.771 1.814 -0.008

La solución de la ecuación ),( yxfy =′ depende de la condición inicial cay =)( . Se

tiene así como solución una familia de curvas o trayectorias ),( cxy , que en el intervalo

de interés pueden ser convergentes o divergentes. Esta es una característica de la

ecuación diferencial, no del procedimiento numérico empleado en su solución. Los


errores de redondeo o de truncación producen un cambio de trayectoria (y pueden

entonces verse como equivalentes a resolver un problema con condiciones iniciales algo

distintas). Las figuras bosquejan soluciones numéricas obtenidas para el caso en que

las trayectorias divergen, en el que los errores tienden a acumularse; lo contrario ocurre

cuando las trayectorias son convergentes.

Para nxx = el error acumulado en la solución numérica está dado por: )( nnn xyy −=ε

))()(()( 111 nnnnnn xyxyyy −−−=ε−ε∴ +++

Para el método de Euler: ),(1 nnnn yxfhyy =−+

Por otro lado, de la expansión en series de Taylor:

L+′′+′+=+ )()()()( 221

1 nnnn xyhxyhxyxy

Se tiene que:

( )21 ))(,()()( hOxyxfhxyxy nnnn +=−+

Remplazando en la primera expresión:

[ ] ( )21 ))(,(),( hOxyxfyxfh nnnnnn +−=ε−ε +

Pero: L+∂∂−+=

==

)(

))(())(,(),(

nxyynxx

nnnnnn y

fxyyxyxfyxf

Y por el teorema del valor medio:

α==

α== ∂

∂ε=∂∂−=−

yxx

n

yxx

nnnnnnnn y

f

y

fxyyxyxfyxf ))(())(,(),(

De donde:

∂∂+ε≈ε

α==

+

ynxx

nn y

fh11

Si h es suficientemente pequeño y

α==∂

∂

ynxxy

fes negativa el método de Euler es adecuado.

Si en cambio si 0>∂∂ yf el error crece y el proceso sólo podría funcionar si el intervalo

fuera suficientemente pequeño. Tal es el caso del ejemplo precedente, pero no el del

ejemplo siguiente. Considérese la ecuación xyxy 2)(1000 2 +−=′ con 0)0( =y . Es

fácil verificar que la solución exacta es 2xy = , pero con el método de Euler se obtienen:

k kx )( kxy ky kε

0 0 0 0 0

1 0.01 0.0001 0 -0.0001

2 0.02 0.0004 0.0012 0.0008

3 0.03 0.0009 -0.0064 -0.0073

4 0.04 0.0016 0.0672 0.0656

5 0.05 0.0025 -0.5880 -0.5905


Los resultados muestran oscilaciones típicas de una inestabilidad numérica. Reduciendo

h no se elimina la inestabilidad; se requiere más bien cambiar de método.

Algunas alternativas, no siempre mejores, se presentan en las secciones siguientes.

6.2.2 Métodos de Runge Kutta

Estos métodos son, como el método de Euler, de paso simple. Es decir, sólo se requiere

conocer ny para determinar 1+ny . Las fórmulas de Runge – Kutta requieren evaluar

),( yxf en diversos puntos apropiadamente ubicados en el intervalo [ ]hxxx nnn +=+1, ,

ponderándose los resultados de modo de obtener un error de truncación del mayor orden

posible.

Considérese el caso en que ),( yxf se calcula en dos puntos en el intervalo [ ]1, +nn xx :

)ˆ,(),(

),(ˆ

1 yhxfhyxfhyy

yxfhyy

nnnnn

nnn

α+γ+β+=α+=

+

Siendo

( )2)ˆ(),()ˆ,( hOy

fyy

x

fhyxfyhxf

nyynxx

n

nyynxx

nnn +∂∂−+

∂∂α+=α+

==

==

Pero ),(ˆnnn yxfhyy α=− , por lo que se obtiene:

( )321 ),(),()( hO

y

fyxf

x

fhyxfhyy

nyynxx

nn

nyynxx

nnnn +

∂∂+

∂∂γα+γ+β+=

==

==+

Por otro lado, expandiendo )( hxy n + en series de Taylor:

( )3221 )()()()( hOxyhxyhxyhxy nnnn +′′+′+=+

Pero: 1)( +≈+ nn yhxy

nyynxx

nn

nyynxx

n

nnnnn

nn

y

fyxf

x

fxy

y

f

x

y

x

f

x

yy

yxfxyxfxy

yxy

==

== ∂

∂+∂∂≈′′⇒

∂∂

∂∂

+∂∂

=∂

′∂=′′

≈≈′≈

),()(

),())(,()(

)(

Sustituyendo estas expresiones e identificando coeficientes se obtienen:

21

1

=γα=γ+β

Con un error de truncación local de ( )3hO y global de ( )2hO .

De las infinitas alternativas de selección para γβα tres son las más comunes:

La fórmula del punto medio:

)ˆ,(

),(2

ˆ

21

1 yhxfhyy

yxfh

yy

nnn

nnn

++=

+=

+

El método de Heun, también conocido como Euler modificado:


[ ])ˆ,(),(2

),(ˆ

1 yhxfyxfh

yy

yxfhyy

nnnnn

nnn

+++=

+=

+

Puede anotarse que si f no fuera función de y este método equivale a evaluar la

integral:

∫+

+ ′+=1

1 )(nx

nxnn dxxyyy

por el método de los trapecios.

El método de Ralston:

( )( )

( )232

131

1

143

43

2

1

,

,

kkhyy

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

++=

++==

+

Análogamente, pueden obtenerse fórmulas con un error de truncación local de ( )4hO y

global de ( )3hO :

( )( )( )

( )32161

1

213

121

21

2

1

4

2,

,

,

kkkhyy

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

+++=+−+=

++==

+

o bien: ( )( )( )

( )3141

1

232

32

3

131

31

2

1

3

,

,

,

kkhyy

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

++=

++=

++==

+

Si f fuera independiente de y las expresiones precedentes equivalen al método de

Simpson.

El método comúnmente denominado de Runge – Kutta es un proceso con error global de

( )4hO :

( )( )( )( )

( )432161

1

34

221

21

3

121

21

2

1

22

,

,

,

,

kkkkhyy

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

nn

++++=++=

++=

++==

+

Que también coincide con la regla de Simpson en el caso en que f no es función de y :

[ ])()(4)(6

)( 21

1

1 hxfhxfxfh

dxxyyy nnn

nx

nxnn ++++≈′=− ∫

++

Como ejemplo de aplicación de este método, considérese la ecuación diferencial:

21

)( yxy +=′


con condición inicial 41.0)4.0( =y . Trabajando con 4.0=h , las operaciones en un paso

serían:

( )( )( )( )

( ) 934848.0934438.041.022

285805.1))292443.041.0()4.04.0((,

10823.1))174218.041.0()2.04.0((,

09087.1))18.041.0()2.04.0((,

9.0)41.04.0()(,

432161

1

34

221

21

3

121

21

2

1

21

21

21

21

21

=+=++++==+++=++=

=+++=++=

=+++=++=

=+=+==

+ kkkkhyy

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxyxfk

nn

nn

nn

nn

nnnn

Otro método de Runge – Kutta de cuarto orden (global) es el método de Gill:

( )( )( )( )

( )432161

1

321

221

4

221

121

21

3

121

21

2

1

)22()22(

)22(2,

)22()12(,

,

,

kkkkhyy

hkhkyhxfk

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

nn

+++−++=

++−+=

−+−++=

++==

+

Y muchas otras alternativas son posibles.

6.2.3 Estimación del Error y Control del Paso

Al utilizar los procedimientos de paso simple descritos en las secciones precedentes, el

intervalo h puede ajustarse en forma automática. Esto puede ser necesario al integrar

ecuaciones cuya solución varía lentamente en algunas regiones y muy rápidamente en

otras. Lo primero es poder estimar el error al integrar las ecuaciones con un cierto

intervalo.

Supóngase que se resuelve una ecuación diferencial con un procedimiento de Runge –

Kutta de cuarto orden (global) empleando un intervalo h2 . La solución, que en lo que

sigue se denomina hy2 , tendría un error de orden 4)2( h . Si paralelamente se obtuviera

la solución con intervalo h , en lo que sigue hy , ésta tendría un error de orden 4)(h .

Podría entonces eliminarse el término dominante del error haciendo una extrapolación

(pasiva). Para cada abscisa:

1515

16 22 hhh

hhcorregido

yyy

yyy

−+=

−=

Los resultados así obtenidos tendrían un error de orden 5)(h . Nótese que si se hiciera

una extrapolación activa habría que considerar el orden del error local.

Una alternativa más conveniente sería aprovechar los resultados parciales al usar un

proceso de orden m para determinar otra con un proceso de orden 1+m . Por ejemplo,

en el procedimiento de Runge - Kutta Cash – Karp se emplean las fórmulas de cuarto

orden (global):

)( 61771512

4594125

3621250

137837

1 kkkkhyy nn ++++=+

Y de quinto orden (global):

)( 641

533614277

42965552513

33844857518

1648278252

1 kkkkkhyy nn +++++=+


Que solamente requieren seis evaluaciones de la función:

( )( )( )( )( )( )hkhkhkhkhkyhxfk

hkhkhkhkyhxfk

hkhkhkyhxfk

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

nn

nn

54096253

411059244275

313824575

2512175

1552961631

87

6

42735

32770

225

15411

5

356

2109

1103

53

4

2409

1403

103

3

151

51

2

1

,

,

,

,

,

,

++++++=

+−+−+=

+−++=

+++=

++==

6.2.4 Métodos de Paso Múltiple

Los métodos tratados anteriormente permiten determinar 1+ny conociendo únicamente el

valor de la función en el punto inmediatamente precedente. Como alternativa a estos

métodos de paso simple pueden plantearse métodos de paso múltiple en los que el

cálculo de 1+ny requiere utilizar L21 −− nnn yyy .

Un método de este tipo resulta al aproximar y′ en la ecuación ),( yxfy =′ por una

diferencia central, con lo que se tiene:

),(211 nnnn yxfhyy += −+

Este es el método explícito del punto medio (en inglés conocido como leapfrog), un

método de doble paso, puesto que la expresión para obtener 1+ny requiere 1−ny e ny .

Algunas ventajas y desventajas de los métodos de pasos múltiples con relación a los

métodos de un solo paso pueden citarse:

• Para el mismo número de evaluaciones de la función ),( yxf se tiene un mayor

orden en el error de truncación. Así por ejemplo, el método explícito del punto medio

tiene un error local de ( )3hO , contra ( )2hO en el método de Euler, aún cuando

ambos requieren una sola nueva evaluación de la función ),( yxf en cada paso.

• Se presentan dificultades para arrancar el proceso, no siendo suficiente conocer 0y

sino además uno o más valores adicionales L21 yy . Estos valores deben

obtenerse con un procedimiento distinto, de orden igual o mayor que el método de

paso múltiple a emplearse.

• Es en general difícil (aunque no imposible) cambiar el intervalo de integración, h (lo

cual, en cambio, no es ningún problema en los métodos de paso simple). Esto

podría reducir la relativa eficiencia de los métodos de pasos múltiples.

• La inestabilidad numérica es un problema más frecuente en los métodos de paso

múltiple que en los métodos de paso simple. Éste y otros temas relacionados se

revisan en la sección 6.2.5.

Entre los métodos de paso múltiple que se encuentran en la literatura están los métodos

explícitos de Adams – Bashfort:

)( 1231211 knknnnnn ffffhyy −+−−+ β++β+β+β+= L

Y los correspondientes métodos implícitos de Adams – Moulton:

)( 123121101 +−−−++ β++β+β+β+β+= knknnnnnn fffffhyy L


En estas expresiones nf denota ),( nn yxf . Los coeficientes β pueden obtenerse

considerando que:

dxxyxfdxx

yxyxy

hnx

nx

hnx

nxnn ∫∫

++

+ =∂∂=− ))(,()()( 1

Y aproximando ),( yxf por un polinomio de interpolación escrito en términos de

diferencias finitas hacia atrás:

)( 3832

125

21

1 L+∇+∇+∇+=−+ nnnnnn ffffhyy (A-B)

)( 13

241

12

121

121

11 L+∇−∇−∇−=− +++++ nnnnnn ffffhyy (A-M)

Por otro lado, pueden escribirse expansiones en series de Taylor, obteniéndose las β

por identificación de coeficientes. Así, para la expresión explícita con 1=k :

)( 1211 −+ β+β+= nnnn ffhyy

))()(()()( 21 hxyxyhxyhxy nnnn −′β+′β+≈+

+′β+≈+ )()()( 1 nnn xyhxyhxy

( )L−′′′+′′−′β+ )()()( 221

2 nnn xyhxyhxyh

( )32

221 )()()()()()( hOxyhxyhxyhxy nnnn +′′β−+′β+β+≈+

Comparando con:

( )3221 )()()()( hOxyhxyhxyhxy nnnn +′′+′+=+

Se tiene que: 121 =β+β y 21

2 =β− , de donde: 23

1 =β y 21

2 −=β , es decir:

)3(2 11 −+ −+= nnnn ffh

yy

Algunos resultados similares se listan a continuación. El error de truncación local es de

( )2+khO y el global de ( )1+khO :

Métodos de Adams – Bashfort (explícitos):

k )( 1231211 knknnnnn ffffhyy −+−−+ β++β+β+β+= L

0 nnn fhyy +=+1 Euler

1 )3( 12

11 −+ −+= nnnn ffhyy

3 )9375955( 321241

1 −−−+ −+−+= nnnnnn ffffhyy

Métodos de Adams – Moulton (implícitos):

k )( 123121101 +−−−++ β++β+β+β+β+= knknnnnnn fffffhyy L

0 11 ++ += nnn fhyy Euler inverso

1 )( 121

1 nnnn ffhyy ++= ++ Crank Nicholson (regla trapezoidal)

3 )5199( 211241

1 −−++ +−++= nnnnnn ffffhyy


6.2.5 Procedimientos Predictor – Corrector

El error de truncación de una fórmula implícita de este tipo es siempre menor que el error

del correspondiente proceso explícito del mismo orden. Excepto en el caso trivial en que

la función ),( yxf es lineal, la solución de la(s) ecuación(es) que definen el proceso

implícito requiere iterar. Con tal fin, se utiliza como primera aproximación el resultado

obtenido con la fórmula explícita (predictor). Esta aproximación se refina utilizando

repetidamente la correspondiente fórmula implícita (que en este contexto se denomina

corrector). Por ejemplo:

),()0(1 nnnn yxfhyy +=+

),( )(11

)1(1

innn

in yxfhyy ++

++ +=

El superíndice se refiere en este caso a la iteración. Pueden, por supuesto, plantearse

métodos Predictor – Corrector en los que las expresiones empleadas no sean las de

Adams – Bashfort – Moulton. Tal es el caso del método de Milne (un procedimiento

débilmente estable, que no se recomienda): Error local

Predictor: )22( 2134

3)0(1 −−−+ +−+= nnnnn fffhyy ( ))(5

4514 ξvyhO

Corrector: )4( 1)(13

11

)1(1 −+−

++ +++= nn

inn

in fffhyy ( ))(5

901 ξ− vyhO

Supóngase, por ejemplo, la ecuación: 2xyy −=′ con condición inicial 2)0( 0 == yy . Se

ha obtenido (con algún otro método) 198980.1)1.0( 1 =≈ yy .

Con el predictor )3( 121)0(

1 −+ −+= nnnn ffhyy se tiene:

[ ][ ] 380921.10)198980.1(3.005.0198980.1

)()(305.02

200

2111

)0(2

=−⋅−+=

=+−+= yxyxyy

y luego con el corrector (en este caso la regla trapezoidal, también conocida como

método de Crank Nicholson):

)( 121

1 nnnn ffhyy ++= ++ se tiene:

[ ][ ] 675923.1)198980.1(1.0)380921.1(2.005.0198980.1

)()(05.022

211

2)0(221

)1(2

=⋅−⋅−+=

=+−+= yxyxyy

Y en forma similar:

590923.1

590923.1

587923.1

)4(2

)3(2

)2(2

=

=

=

y

y

y

El proceso es en este caso convergente. La solución exacta es en este caso

)1(2 2xy += , de donde 077923.1)2.0( =y

Si el intervalo de integración, h , es demasiado grande, se observan importantes

diferencias entre la aproximación inicial obtenida con el predictor, )0(1+ny , y el valor

corregido, )(1

kny + . En tal caso la convergencia es lenta, e incluso podría no producirse.

Por otro lado, diferencias insignificantes implican que h es innecesariamente pequeño.


6.2.6 Consistencia, Estabilidad y Convergencia

Al emplear una ecuación de diferencias en lugar de la ecuación diferencial, se introducen

errores de truncación en cada paso.

Por ejemplo, en el método de Euler, la expresión:

L+′′+′+=+ )(2

)()()(2

xyh

xyhxyhxy

se remplaza por:

),(1 nnnn yxfhyy +=+

teniéndose un error de orden 2h . A esto deben agregarse los errores debidos a la

aritmética imperfecta del ordenador.

Evidentemente no es posible determinar estos errores, pero si pueden hacerse algunas

estimaciones.

Al emplear un método numérico para resolver EDO, se espera que éste sea

convergente, lo que significa que al trabajar con intervalos, h , cada vez más pequeños,

las soluciones deben aproximar cada vez más a la solución exacta. Para que el

procedimiento numérico sea convergente debe ser consistente y estable.

Consistencia significa que en el límite 0→h la ecuación de diferencias que define el

método numérico resulta formalmente la ecuación diferencial. Refiriéndose nuevamente

al método de Euler, que puede escribirse:

h

yyyxf nn

nn

−= +1),(

se observa que:

)()()(

0n

nn

hxy

h

xyhxyLim ′=

−+→

Si en cambio se escribiera, por ejemplo, ),(21 nnnn yxfhyy +=+ no habría

consistencia.

Para que el procedimiento numérico sea convergente no es suficiente que sea

consistente. Se requiere además que sea estable. Un método es estable cuando los

errores de truncación y de redondeo, al propagarse durante el proceso, son siempre

pequeños en comparación con la solución exacta.

CONSISTENCIA + ESTABILIDAD ⇔ CONVERGENCIA

Alternativamente, podría decirse que un método es estable si, para condiciones iniciales

típicas y siempre que los errores de truncación y de redondeo sean pequeños, se tiene

convergencia.

Un ejemplo de inestabilidad numérica

Para una observación inicial sobre el tema de estabilidad, considérese la ecuación

diferencial yy −=′ , con condición inicial 1)0( =y , cuya solución exacta es xey −= . El

método de Euler podría ser apropiado en este caso. Sin embargo, supóngase que se

emplea la “regla explícita del punto medio”:


( )nnnn yxfhyy ,211 += −+

con intervalo 1.0=h , es decir:

nnn yyy 2.011 −= −+

Para iniciar el proceso no es suficiente conocer 1)0(0 == yy . Se requiere además 1y .

Supóngase que se calcula 96035418837904.01.01 === −− eey h , con 13 cifras

significativas correctas. Trabajando con aritmética de doble precisión se obtienen:

i ix ( )ixy iy ( )iii xyye −=

0 0.0 1.000000 1.000000 0.000000

1 0.1 0.904837 0.904837 0.000000

2 0.2 0.818731 0.819033 0.000302

3 0.3 0.740818 0.741031 0.000213

. . .

97 9.7 0.000061 -1.199394 -1.199455

98 9.8 0.000055 1.325440 1.325385

99 9.9 0.000050 -1.464482 -1.464532

100 10 0.000045 1.618337 1.618291

La solución exacta es exponencialmente decreciente, como se indica en línea gruesa en

la figura siguiente. Sin embargo, el procedimiento produce los resultados que se

presentan en línea más delgada. Después de aproximadamente 5=x se obtienen

valores con signos alternados, con amplitud cada vez mayor (que podría llegar a rebasar

el número máximo que puede almacenarse). Esto es una inestabilidad numérica.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 2 4 6 8 10 12x

y(x)

Si se reduce h o se aumenta el número de cifras en los cómputos el problema puede

posponerse, pero no evitarse. ¿A qué se debe esta inestabilidad?

Considérese la ecuación diferencial:

yy λ=′

para la cual el método explícito del punto medio resulta:


nnn yhyy λ+= −+ 211

Esta es una ecuación de diferencias lineal de orden 2. Definiendo hλ=α , la ecuación

característica es:

rr α+= 212

con las raíces:

( ) ( )42212

12

1 11 α+α+α+=α++α= Or

12

1

rr −=

Al comparar la primera de estas expresiones con la expansión en series:

( )43612

211 α+α+α+α+=α Oe

se concluye que:

( )4361

1 α+α−= α Oer

nxhnnn eeer λλα ==≈1

( ) ( ) nxnnnn err λ−− −≈−= 11 12

y en consecuencia:

( ) nxnnxnnn eCeCrCrCy λ−λ −+≈+= 212211 1

La solución de la ecuación de diferencias tiene dos “modos componentes”, el primero de

los cuales corresponde a la solución correcta, mientras que el segundo no debería

existir. En teoría se debería tener 11 =C y 02 =C , de modo que nxn ey λ≈ , pero no es

así, ni siquiera al iniciarse el proceso. Efectivamente, para el caso 1.0−=λ=α h , los

valores iniciales hacen que:

1210 =+= CCy 1.0

22111−=+= erCrCy

de donde, trabajando en doble precisión:

( ) ( ) 5121

1.02 10947469.7 −− ⋅≈−−= rrreC

y suponiendo que las operaciones siguientes se efectuaran con una aritmética

infinitamente precisa:

( ) 365645.110947469.7 1.0100510022 =⋅≈ − erC

Nótese que este resultado es similar al error observado para 10=x . Por otro lado, aún cuando inicialmente se tuviera 02 =C , los errores numéricos introducirían la componente extraña. El factor ( )n1− explica la alternancia de signos del error.

El procedimiento no funciona para λ negativo, porque en ese caso el modo extraño

( ) xn eC λ−− 21 tiende a crecer, mientras que la solución xeC λ1 es decreciente. Sin

embargo, si sirve para el caso (poco práctico) en que λ es positivo y la solución es exponencialmente creciente.

Región de estabilidad absoluta


Puede obtenerse valiosa información con relación al comportamiento de un método

numérico de solución de EDO al observarse cómo funciona con una ecuación de la

forma yy λ=′ , donde λ es una variable compleja, con condición inicial 1)0( =y . Con

referencia a esta ecuación, se define la región de estabilidad absoluta de un método

numérico como el lugar geométrico de los hλ para los que la solución es finita cuando

∞→n . Esto es equivalente a decir que las raíces de la ecuación característica

satisfacen 1≤ir .

Para 0→h se requiere que una de las raíces sea igual a 1 (esto es un requisito para

que el método sea consistente). Sin embargo, si dos o más raíces tienen módulo igual a

1 el método es débilmente estable y con frecuencia tiene problemas numéricos. Este es

el caso del método explícito del punto medio, del que se trató en el acápite anterior.

Considérese, por ejemplo, el método de Euler:

( )nnnn yxfhyy ,1 +=+

que aplicado a la ecuación yy λ=′ resulta:

( ) nnnn yhyhyy λ+=λ+=+ 11

La solución de esta ecuación de diferencias es de la forma nn ry = . Al sustituir esta

solución en la ecuación de diferencias se obtiene la ecuación característica:

hr λ+=1

La región de estabilidad absoluta queda definida por: 11 ≤λ+ h . Esta es el área

dentro de una circunferencia de radio 1 y con centro en (-1,0):

Región de estabilidad absoluta - Euler

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2

Re λh

Im λh

Puede concluirse que el método de Euler es apropiado para integrar ecuaciones cuya

solución es exponencialmente decreciente ( 0<λ ), pero no para el caso en que la

solución es oscilatoria y no amortiguada ( λ imaginaria pura).

Análogamente para el método de Euler inverso:

( ) 1111 , ++++ λ+=+= nnnnnn yhyyxfhyy

se obtiene:

hr

λ−=

1

1


La región de estabilidad absoluta, en la que 1≤r , es en este caso la región externa al

círculo de radio 1 y con centro en (1,0).

Región de estabilidad absolutaEuler Inverso

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

Re λh

Im λh

El método de Euler inverso sería apropiado para el caso en que la solución es

oscilatoria, amortiguada o no. No debería emplearse para integrar ecuaciones cuya

solución es exponencialmente creciente, ya que por consideraciones de estabilidad

requeriría un paso grande, lo que estaría en conflicto con los objetivos de precisión.

Todos los procesos de Runge Kutta del mismo orden tienen la misma región de

estabilidad absoluta. Por ejemplo, considérese un proceso de segundo orden, método

de Heun, también llamado Euler modificado:

( )( ) ( )[ ]yxfyxf

hyy

yxfhyy

nnnnn

nnn

ˆ,,2

,ˆ

11 ++ ++=

+=

que aplicado a la ecuación yy λ=′ resulta:

( )( )[ ] ( )[ ] nnnnnn

nnn

yhhyhyyh

yy

yhyhyy

221

1 12

1ˆ

λ+λ+=λ+λ+λ+=

λ+=λ+=

+

y por lo tanto : ( )2211 hhr λλ ++= . La condición 1≤r es satisfecha por todos los

puntos dentro del elipsoide que se muestra en la figura siguiente:

Región de estabilidad absolutaRunge Kutta - Segundo Orden

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1

Re λh

Im λh


Otros métodos de Runge Kutta de segundo orden, como el método del punto medio o el

método de Ralston, tienen exactamente la misma ecuación característica y por lo tanto la

misma región de estabilidad absoluta.

Para el “clásico” método de Runge Kutta:

( )( )( )( )

( )432161

1

34

221

21

3

121

21

2

1

22

,

,

,

,

kkkkyy

kyhxfhk

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

nn

nn

nn

nn

nn

++++=++=

++=

++==

+

se obtienen en este caso:

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) nn

n

n

n

n

yhhhhy

yhhhhk

yhhhk

yhhk

yhk

42413

612

21

1

3412

21

4

241

21

3

21

2

1

1

1

1

1

λ+λ+λ+λ+=

λ+λ+λ+λ=

λ+λ+λ=

λ+λ=λ=

+

Y resulta:

( ) ( ) ( )42413

612

211 hhhhr λ+λ+λ+λ+=

La expresión es la misma para cualquier otro método de Runge Kutta de cuarto orden

(global): La región de estabilidad absoluta es aquella dentro del límite indicado en la

figura siguiente:

Región de estabilidad absolutaRunge - Kutta 4o Orden

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1

Re (λh)

Im (λh)

Las mismas ideas pueden también aplicarse a métodos de pasos múltiples. Por

ejemplo, para la regla explícita del punto medio, a la que se hizo referencia al inicio de

esta sección:

( ) nnnnnn yhyyxfhyy λ+=+= −−+ 2,2 111

se obtienen las raíces de la ecuación característica:


( )( )21

21 hhr λ+±λ=

y para tener 1≤ir se requiere que hλ sea imaginaria pura, en el rango entre i− y

i+ . Debe observarse que este método es débilmente estable, porque para 0→h se

tiene 121 == rr .

Un mejor método de pasos múltiples es la regla trapezoidal o método de Crank –

Nicholson:

( ) ( )[ ]1121

1 ,, +++ ++= nnnnnn yxfyxfhyy

que para el caso yy λ=′ resulta:

( )121

1 ++ +λ+= nnnn yyhyy

de donde:

( ) ( )hrh λ+=λ− 21

21 11

y por lo tanto se requiere que: 11

1

21

21

≤−+

=h

hr

λλ

, es decir ( ) 0Re ≤hλ .

6.3. Métodos para EDO de Segundo Orden

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden siempre pueden rescribirse como un

sistema de ecuaciones de primer orden. Sin embargo, es más eficiente emplear

métodos más específicos, como los que se describen a continuación.

6.3.1 Runge Kutta

Para resolver EDO de la forma ),,( yyxfy ′=′′ , con condiciones iniciales 0)( yay = e

0)( yay ′=′ se encuentran en la literatura modificaciones de los métodos de Runge Kutta

como, por ejemplo, el proceso de cuarto orden (global):

( )( )( )( )

( )( )[ ]3216

11

432161

1

3321

4

221

181

21

21

3

121

181

21

21

2

1

22

,,

,,

,,

,,

kkkyhyy

kkkkyy

kykhyhyhxfhk

kykhyhyhxfhk

kykhyhyhxfhk

yyxfhk

nnn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

+++′+=

++++′=′+′+′++=

+′+′++=

+′+′++=

′=

+

+

6.3.2 Método de Diferencia Central

Este procedimiento se basa en sustituir las derivadas por sus aproximaciones con

diferencias centrales. Así al resolver:

( )tfkuum =+&&

se puede aproximar la segunda derivada con: 2

11

)(

2

t

uuuu nnn

n ∆+−

= +−&&

de donde resulta: ))(()(

22

11 nnnn uktfm

tuuu −∆+−= −+ .

Este método puede también escribirse en la forma sumada:


( ) nnn kutfum −=&&

tuuu nnn∆+=

−+&&&&

21

21

tuuunnn ∆+=

++211

&

cuya interpretación física es simple.

Cuando la ecuación es de la forma: ( )tfkuucum =++ &&& conviene aproximar la primera derivada mediante:

t

uuu nn

n ∆−

= −+

211&

Y no con una diferencia hacia atrás, que a primera vista podría parecer una mejor

elección. Esta consideración se relaciona con el tema de estabilidad, que se trata más

adelante. Con la aproximación antes mencionada se obtiene:

( ) 12212 2)()(

2

2)(−+

∆−

∆−

∆−−=

∆+

∆ nnnn ut

c

t

mu

t

mktfu

t

c

t

m

6.3.3 Método de Newmark

La familia de métodos de Newmark se basa en aproximaciones de la forma:

( )[ ]11 1 ++ −+∆+= nnnn uutuu &&&&&& δδ

( ) ( )[ ]1212

1 ++ −+∆+∆+= nnnnn uututuu &&&&& αα

El caso con 21=δ y 6

1=α corresponde a suponer que u&& (la aceleración) varía

linealmente en el intervalo. Aparentemente esa elección sería mejor que 21=δ y 4

1=α

(lo que físicamente se interpretaría como suponer una aceleración constante promedio).

Sin embargo, esta última elección es más apropiada, también por consideraciones de

estabilidad, a las que se hace referencia más adelante.

Al remplazar las aproximaciones en:

( )1111 ++++ =++ nnnn tfukucum &&&

se obtiene:

11ˆˆ

++ = nn fuk

donde:

camakk 10ˆ ++=

)ˆ54132011 nnnnnnnn uauau(ac)uauau(amff &&&&&& ++++++= ++

y los coeficientes 70 aa L son:

20)(

1

ta

∆=

α

ta

∆=

αδ

1 t

a∆

=α

12

12

13 −=

αa 14 −=

αδ

a

−∆= 225 α

δta

( )δ−∆= 16 ta ta ∆= δ7

Finalmente se pueden determinar los nuevos valores de u& y u&& mediante:

1761

32101

++

++

++=

−−−=

nnnn

nnnnn

uauauu

uaua)u(uau

&&&&&&

&&&&&


6.3.4 Estabilidad y Precisión

Todos los métodos para resolver EDO de segundo orden pueden ser escritos en la

forma:

nnn fbuAu +=+1

donde nu representa ahora el conjunto de resultados que describen la respuesta en el

paso n . Por ejemplo, para el método de diferencia central:

n

n

n

n

n

ft

t

u

ut

t

t

t

u

u

∆+∆

+

∆+∆−

−∆+

∆−=

−

+

0

1

)(

01

1

1

1

)(2 2

1

2

1

ωβωβωβ

ωβω

Los errores se comportan en forma análoga, pudiendo demostrarse que:

nn εεεεεεεε A=+1

y por lo tanto, para que los errores se reduzcan (es decir, para que el método sea estable) se requiere que:

1máx)( ≤= iλρ A

En esta expresión )(Aρ es el radio espectral y los iλ son los valores característicos de

A . Para el caso en que 0=β y se utiliza el método de diferencia central, la condición

1)( ≤Aρ se cumple cuando:

πωT

t =≤∆ 2

Se dice entonces que el método de diferencia central es condicionalmente estable. Si

t∆ excede el límite antes indicado se produce una inestabilidad numérica. El límite

corresponde a algo más que tres puntos por período, lo que sin embargo resulta

insuficiente para tener buena precisión. Con 10/Tt =∆ se introducen errores del orden

de 3% en cada paso, mientras que con 20/Tt =∆ los errores son del orden de 1%.

Para la familia de métodos de Newmark pueden también obtenerse las condiciones de

estabilidad:

2)5.0(25.0

50.0

δαδ

+≥

≥

Con una apropiada selección de los parámetros (lo habitual es 21=δ y 6

1=α ) se tiene

un procedimiento incondicionalmente estable, es decir estable para cualquier selección

de t∆ . Nuevamente, el intervalo de integración está limitado por la precisión.

Dos procesos a los que también se hace referencia en la literatura son los métodos de

Houbolt y de Wilson. Ambos métodos son también (para una selección apropiada de sus

parámetros) incondicionalmente estables, pero acumulan mucho más errores que el de

Newmark de aceleración constante y por tanto no son tan convenientes.

6.4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinaria s

6.4.1 Integración Directa

Cuando las EDO son no lineales, y en consecuencia no es factible la descomposición

modal a la que se hace referencia en la sección siguiente, cabe la posibilidad de integrar

directamente las ecuaciones en su forma original. Las expresiones son prácticamente


las mismas usadas para el caso de una sola ecuación diferencial, excepto que todas las

operaciones son realizadas con matrices. Así, por ejemplo, para resolver el sistema de

EDO de primer orden:

),( yfy x=′

Podría emplearse el método de Runge Kutta de cuarto orden:

( )( )( )( )

( )432161

1

34

221

21

3

121

21

2

1

22

,

,

,

,

kkkkyy

kyfk

kyfk

kyfk

yfk

++++=++=

++=

++==

+ h

hhx

hhx

hhx

x

nn

nn

nn

nn

nn

(como es habitual, las minúsculas en letras negritas denotan matrices columna).

Análogamente, para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden:

( )tfuKuM =+&&

podría emplearse el método de diferencia central:

( ) nnn t uKfuM −=&&

tnnn∆+=

−+uuu &&&&

21

21

tnnn ∆+=

++211 uuu &

El método de diferencia central es particularmente eficiente para el caso de EDO no

lineales si la matriz M es diagonal (una aproximación frecuente en ingeniería). Puede

anotarse que en el caso de ecuaciones no lineales no requiere obtenerse K

explícitamente, sino más bien el producto uK (lo que puede ser notoriamente más fácil).

Otra posibilidad para resolver ecuaciones de la forma 1111 ++++ =++ nnnn fuKuCuM &&& sería

el método de Newmark, en el que 1+nu se obtiene de:

11ˆˆ

++ = nn fuK

ULCMKK =++= 10ˆ aa

)ˆ54132011 nnnnnnnn aa(a)aa(a uuuCuuuMff &&&&&& ++++++= ++

y luego:

tttttt

ttttttt

aa

aaa

∆+∆+

∆+∆+

++=

−−−=

uuuu

uuuuu

&&&&&&

&&&&&

76

320 )(

Los coeficientes 70 aa L son los mismos de la sección 6.3.3.

Al resolver EDO no lineales el método de Newmark, en la forma antes descrita, requeriría

una nueva factorización ULK =ˆ en cada paso. El proceso podría mejorarse

descomponiendo K en dos partes y pasando los términos no lineales al segundo

miembro, como parte de 1ˆ

+nf .

6.4.2 Descomposición Modal

Cuando el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, y particularmente si las

matrices que definen el sistema de ecuaciones diferenciales son simétricas, el

procedimiento más eficiente se basa en la descomposición modal. Para mostrar en que


consiste la descomposición modal, supóngase que se tiene el sistema de ecuaciones

diferenciales:

)(tfAxxB =+&

Las matrices A y B son simétricas (y muy frecuentemente definidas positivas). La

descomposición modal emplea los vectores característicos ι

φφφφ obtenidos de:

iii φφφφφφφφ BA λ=

Estos vectores constituyen una base completa, y por lo tanto la solución )(tx puede

siempre expresarse como una combinación lineal de los referidos vectores:

∑= jjat φφφφ)(x

Nótese que, siendo las matrices A y B constantes, los vectores característicos ι

φφφφ no

son función de tiempo. Sin embargo, las componentes no pueden en general ser

constantes, puesto que la solución no los es. Por lo tanto:

∑= jj tat φφφφ)()( &&x

Al sustituir las expresiones anteriores en el sistema de ecuaciones diferenciales se tiene:

)(taa jjjj fAB =+∑∑ φφφφφφφφ&

Conviene ahora recordar las condiciones de ortogonalidad:

rsrs δ=φφφφφφφφ B*

rsrrs δλ=φφφφφφφφ A*

Para simplificar la presentación, se ha supuesto que los vectores característicos están

normalizados respecto a la matriz B .

Al pre multiplicar las ecuaciones por Τ

ιφφφφ :

)(taa Τ

ιjΤ

ιjjΤ

ιj fAB φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ =+∑∑ &

Se observa que la mayor parte de los productos que se tienen en cada suma son cero.

Sólo son distintos de cero aquellos en los que los dos índices i,j son iguales. En

consecuencia se obtienen ecuaciones “desacopladas”, independientes para cada

componente )(ta j :

)(taa Τ

ιiii fφφφφ=λ+&

Por otro lado, si las condiciones iniciales son 0)0( xx = , entonces:

∑== jja φφφφ)0()0(0 xx

y por lo tanto, al premultiplicar por BΤι

φφφφ :

0)0( xBΤιia φφφφ=

Resolver n de estas ecuaciones desacopladas es mucho más fácil que resolver un solo

sistema de ecuaciones diferenciales de orden n (puede aquí hacerse un paralelismo con

el caso de ecuaciones algebraicas). Además, en muchas situaciones prácticas se

observa que las componentes )(ta asociadas a los mayores valores característicos son


poco importantes, y pueden despreciarse. Por ello, se justifica plenamente el trabajo de

determinar previamente los valores característicos.

Las ecuaciones desacopladas puede resolverse con algunos de los procedimientos

numéricos tratados en la sección 6.2. Por ejemplo, si los valores característicos fueran

negativos podría emplearse el método de Euler. En el caso en que las funciones )(tf

son simples podría también pensarse en una solución analítica. Obtenidas cada una de

las componentes como función de tiempo, puede regresarse a la expresión:

∑= jjat φφφφ)(x

para hallar la solución )(tx .

Un caso frecuente es aquel en el que )()( 0 tgt ff = y la función )(tg está definida por

una colección de valores numéricos correspondientes a valores t uniformemente

espaciados. En un intervalo cualquiera puede hacerse la aproximación: btatg +=)( ,

de donde, para cada una de las ecuaciones desacopladas se tiene:

)(0 btaaa Τ

ιiii +=+ fφφφφλ&

Cuya solución puede obtenerse fácilmente (sumando la solución homogénea teC λ− y la

particular, de la forma BtA + ):

Conociendo ia al inicio del intervalo, puede obtenerse la constante C y calcularse

entonces el valor de ia al finalizar el intervalo. El proceso se repite análogamente para

los sucesivos intervalos.

Cabe anotar que este procedimiento es incondicionalmente estable. En realidad, sería

exacto si la función fuera efectivamente lineal por intervalos. La aproximación está en

haber descrito la función )(tg con un número finito de valores numéricos, a partir de los

cuales se está interpolando linealmente.

Las mismas ideas pueden aplicarse a sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de

segundo orden: fuKuCuM =++ &&& . En este caso podrían primero determinarse los

valores y vectores característicos del problema: φφφφφφφφ MK 2ω= . Aquí se ha supuesto que

K y M son no sólo simétricas, sino también definidas positivas, por lo que los 2ω=λ

son positivos.

Nuevamente, la solución puede escribirse como una combinación lineal de los vectores

característicos (que en lo que sigue se han supuesto normalizados respecto a M ):

∑= jj tat φφφφ)()(u

Los vectores característicos satisfacen las condiciones de ortogonalidad:

rsrs δ=φφφφφφφφ M*

rsrrs δω= 2* φφφφφφφφ K

Pero, salvo en algunos casos particulares, no podría afirmarse algo similar con la matriz

C . Sin embargo, hay aplicaciones en que la inclusión del término uC & es sólo un

artificio para introducir disipación en las ecuaciones lineales, que realmente podría

haberse considerado con una K variable, dependiente de u . En este contexto, podría

introducirse directamente la disipación en las ecuaciones desacopladas, no siendo

necesario determinar la matriz C :


)(2 2 taaa Τ

ιiiiii fφφφφ=++ ωωβ &&&

Estas ecuaciones pueden también ser resueltas numéricamente, por procedimientos

tales como el método de diferencia central o el método de Newmark de aceleración

constante.

En el caso frecuente en el que )()( 0 tgt ff = , estando )(tg definida por una colección de

valores numéricos a intervalos constantes, puede seguirse un procedimiento similar al

descrito antes para ecuaciones diferenciales de primer orden.

6.4.3 Consideraciones Adicionales

En el acápite 6.3.4 se mencionó que al resolver una ecuación diferencial de segundo

orden el intervalo está controlado por precisión y no por estabilidad. La situación es

diferente cuando se resuelven grandes sistemas de EDO. Los comentarios siguientes

parecieran referirse a sistemas de EDO lineales, pero realmente son también aplicables

a ecuaciones no lineales, que pueden ser linearizadas localmente.

Al integrar directamente un sistema de EDO se están haciendo operaciones equivalentes

a integrar las ecuaciones desacopladas; simplemente el sistema de referencia es

distinto. El procedimiento será estable cuando el intervalo de integración cumpla las

condiciones de estabilidad con todos y cada uno de los modos componentes. Por lo

tanto, para un método como el de la diferencia central:

π=

ω≤∆ mín

máx

Tt

2

Cuando se tiene un comportamiento no lineal los períodos T tienden a crecer (y los ω

tienden a reducirse), por lo que la estimación del t∆ sobre la base de las condiciones

iniciales es en general suficiente.

Por otro lado:

máxω<<≤ω≤ω L21

mínTTT >>≥≥ L21

y habitualmente al cumplir la condición de estabilidad se tendrán cientos y tal vez miles

de puntos por período para los modos asociados a las menores frecuencias, que son los

importantes en la respuesta. En resumen, al resolver grandes sistemas de EDO con un

procedimiento condicionalmente estable, satisfacer la condición de estabilidad implica

que se tiene también precisión.

En cambio, al emplear un método incondicionalmente estable es la precisión la que

siempre controla el intervalo de integración. Éste debe escogerse de modo que se

integren con suficiente precisión todos aquellos modos cuya participación en la

respuesta es significativa.

Considere el sistema de ecuaciones diferenciales 0Auu =+&& en la que la matriz A es:

=

5.2005.199

5.1995.200A

Los valores característicos de la matriz A son 1211 == ωλ y 4002

22 == ωλ . Supóngase que las condiciones iniciales son:


−=

99.0

01.1)0(u

=0

0)0(u&

En este caso es fácil obtener la solución exacta:

ttu 20cos1

101.0cos

1

1

+

−=

El primer modo, con 11 =ω y π21 =T es el importante en la solución. La contribución

del segundo modo, con 202 =ω y 10/2 π=T es comparativamente pequeña.

Supóngase ahora que se usa el proceso de diferencia central:

21

21

21

1 ++

−+

∆+=

∆+=−=

nnn

nnn

nn

t

t

uuu

uuu

Auu

&

&&&&

&&

con condiciones iniciales

−=

99.0

01.10u y

=∆+=0

0)0( 02

12

1 uuu &&&& t

Para integrar apropiadamente el primer modo sería suficiente considerar un t∆ del

orden de 3.020/1 ≈T . Sin embargo, es el segundo modo, poco importante en la

respuesta, el que en este caso controla la estabilidad. Se requiere reducir el intervalo,

de modo que: 1.0//2 22 ==<∆ πω Tt lo que indirectamente hace que se obtenga

precisión en la integración de la componente significativa. En las figuras siguientes se

muestran resultados obtenidos con 1001.0=∆t (el procedimiento es inestable) y con

09.0=∆t (procedimiento estable). Los resultados serían aún más precisos si nTT >>1 ,

como ocurre típicamente al resolver grandes sistemas de ecuaciones diferenciales.

-1000

-500

0

500

1000

0 2 4 6 8 10

t

u

Resultados obtenidos con 1001.0=∆t

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 2 4 6 8 10

t

u

Resultados obtenidos con 09.0=∆t

H. Scaletti - Métodos Numéricos: Transformadas de Fourier Discretas 8 - 1

8. Transformadas de Fourier Discretas

8.1 Introducción

En numerosos problemas de ingeniería, como por ejemplo al estudiar vibraciones

mecánicas, se tienen funciones periódicas. Una función )(tf es periódica, con período

T , si )()( tfTtf =+ para todo t . En tal caso )(tf puede ser expresada en series de

Fourier1:

( )∑ ∑∞

=

∞

−∞=

Ω=Ω+Ω+=1

021 )sen()(cos)(

j j

tijjjjj

jectbtaatf (8.1)

donde ( )Tjj /2π=Ω y T es el período. Puede demostrarse que:

)(),(, 21

21

00 kkkkkk ibacibacac +=−== − (8.2)

siendo 1−=i .

Por ejemplo, para la onda rectangular con período π2 :

<<<<−−

=π

πt

ttf

01

01)(

Se obtiene:

+++= L5

5sen

3

3sensen

4)(

xxxtf

π

En la figura se muestra la aproximación obtenida considerando 10 términos de la serie:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Si f y su primera derivada son continuas, la serie es convergente para todo t . Cuanto

más regular sea la función, mayor es la velocidad de convergencia. Si f y f ′ tienen un

número finito de discontinuidades finitas en cada período, la serie produce el valor medio

en cada uno de tales puntos.

En los procedimientos numéricos las funciones se expresan por colecciones de valores

)( nn tff = que habitualmente corresponden a abscisas uniformemente espaciadas:

tntn ∆= . Si la función es periódica podría definirse por una colección de N valores

1 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), ingeniero francés. En 1807 presentó a la Academia Francesa su teorema relativo a las series de F., que publicó posteriormente como parte de su Teoría Analítica del Calor.


numéricos 1210 ,,, −Nffff K siendo el período tNT ∆= . En lo que sigue, se denomina

a esto el caso discreto. Análogamente a la (8.1):

∑∞

−∞=

Ω==j

tijnn

njectff )( (8.3)

Nótese que ( ) njnNj titn

tN

jini

tntN

Nji

tieeeee

Ω∆

∆∆

∆+

Ω ===+π

ππ 2

22

, por lo que factorizando se puede escribir:

∑−

=

Ω=1

0

ˆN

j

tijn

njecf (8.4)

En la sección siguiente se revisan expresiones que permiten determinar los coeficientes

de tales series. Para simplificar la presentación se ha escrito jc en lugar de jc .

8.2 Ortogonalidad de las Funciones Armónicas

Caso continuo

Supóngase que se tienen dos funciones periódicas )()( Ttftf += y )()( Ttgtg += .

En lo que sigue se hace referencia al producto interno de tales funciones periódicas:

∫=T

dttgtfgf0

)()(),( (8.5)

donde )(tg indica la conjugada de )(tg .

Considérense ahora las funciones periódicas: ti

jjet

Ω=)(ϕ para K,2,1,0 ±±=j ,

siendo

=ΩT

jj

π2 e 1−=i . Nótese que )()( tTt ϕϕ =+ . Además:

tij

jetΩ−=)(ϕ

Puede observarse que:

=0

),(T

kj ϕϕ si kj =

si kj ≠

(8.6)

como se demuestra a continuación. Para kj = :

TdtdteeTT titi

jjjj === ∫∫

Ω−Ω

00),( ϕϕ

Para kj ≠ :

0/)(2

),(0)(2

0

/)(2

0=

−−===

−−Ω−Ω

∫∫ Tkji

eedtedtee

kjiTTtkji

T titikj

kj

πϕϕ

ππ

Caso discreto

En este caso el producto interno de dos funciones con igual período, T , cada una

expresada por una colección de N valores numéricos, se define como:

∑−

=

=1

0

),(N

nnn gfgf


Considerando nuevamente las funciones ti

jjet

ωϕ =)( se tiene: jn

N

iti

nj eet nj

π

ϕ2

)( == Ω y

entonces:

∑∑−

=

−−

=

−==

1

0

21

0

22

),(N

n

nN

kjiN

n

knN

ijn

N

i

kj eeeπππ

ϕϕ

Si kj − es un múltiplo de N se tiene que N

kj − es un entero y por lo tanto:

NN

mkj ==∑

−

=

1

0

1),( ϕϕ

Por otro lado, si kj − no es un múltiplo de N puede escribirse:

∑−

=

=1

0

),(N

n

nkj qϕϕ

donde

−

= N

kji

eqπ2

. Esta es la suma de N términos de una progresión geométrica, con

valor inicial 1 y razón q , que resulta:

01

11

1

1),( =

−−=

−−=

qq

qN

kj ϕϕ

Excepto para el caso antes mencionado, en que kj − es un múltiplo de N , para el que

se tiene 1=q . Resumiendo, para el caso discreto:

=0

),(N

kj ϕϕ si kj − es múltiplo de N

en otros casos

(8.7)

8.3 Coeficientes de Fourier

Si )(tf es periódica:

∑∑∞+

−∞=

∞

−∞=

==j

jjj

jtT

i

j tcectf )()(2

ϕπ

O en el caso discreto ∑∑−

=

−

=

==1

0

1

0

2

)(N

jnjj

N

j

jnN

i

jn tcecf ϕπ

Los coeficientes jc se denominan coeficientes de Fourier. Estos pueden determinarse

con el producto interno:

∑=j

kjjk cf ),(),( ϕϕϕ

Siendo 0),( =kj ϕϕ para kj ≠ se obtiene ),(),( kkkk cf ϕϕϕ = y por lo tanto (después

de cambiar k por j ):

dtetfT

cT jt

T

i

j ∫

−=

0

2

)(1

π

en el caso continuo (8.8)

∑−

=

−=

1

0

21 N

n

jnN

i

nj efN

cπ

en el caso discreto (8.9)


Cuando la función )(tf es real, los coeficientes jj ba , de la expresión (8.1) son también

reales. Los jc son en general números complejos, pero si )(tf es real tienen simetría

conjugada, es decir: kk cc =− , lo que puede observarse fácilmente en (8.2).

Las funciones de varias variables se tratan en forma análoga, considerando una variable

a la vez. Supóngase que se conocen los valores de la función periódica (en ambas

direcciones) ),( qp yxf que corresponden a abscisas xpxp ∆= y ordenadas yqyq ∆=

siendo 1,2,1,0 −= Mp K y 1,2,1,0 −= Nq K :

−

=

−

=

∑ ∑

== M

jpiM

j

N

k

N

kqi

jkqppq eecyxffππ 21

0

1

0

2

),( (8.10)

−−

=

−

=

−

∑ ∑

= M

jpiM

p

N

q

N

kqi

pqjk eefNM

cππ 21

0

1

0

211 (8.11)

8.3 Transformadas de Fourier

Supóngase una función )(tf no periódica, definida para ∞<<∞− t y tal que tiende a

cero cuando t tiende a más infinito o a menos infinito. En tal caso, puede obtenerse el

límite de (8.8) para ∞→T :

dtetfF ti∫

∞

∞−

Ω−=Ω )()( (8.12)

La función )(ΩF es la transformada de Fourier de )(tf . Análogamente, el límite de

(8.9) para ∞→T resulta:

ΩΩ= ∫∞

∞−

Ω deFtf ti)(2

1)(

π (8.13)

que se denomina transformada inversa. El factor )2/(1 π podría indistintamente tenerse

en (8.12) o en (8.13).

La tabla siguiente indica algunas propiedades de simetría de las transformadas de

Fourier: Función Transformada de Fourier

)(tf real )()( Ω=Ω− FF

)(tf imaginaria )()( Ω−=Ω− FF

)(tf simétrica )()( Ω=Ω− FF

)(tf antisimétrica )()( Ω−=Ω− FF

Si )(tf es simultáneamente real y simétrica )(ΩF es también real y simétrica; si )(tf

es imaginaria y antisimétrica )(ΩF es también antisimétrica pero real.

Puede también demostrarse que:

ΩΩ= ∫∫∞

∞−

∞

∞−dFtdtf

22)()(

Esto se conoce como el teorema de Parseval, que es de utilidad en diversas

aplicaciones.


Si )(ΩF es la transformada de Fourier de )(tf , entonces la transformada de Fourier de

)(tf& resulta )(ΩΩ Fi . Esto se verifica fácilmente haciendo una integración por partes.

En consecuencia, se concluye que la transformada de la derivada m-ésima es

)()( ΩΩ Fi m .

Si se tiene la ecuación diferencial lineal:

mtfuuutfkuucum /)(2)( 2 =++⇒=++ ωβω &&&&&&

en la que kcm ,, son constantes, se puede multiplicar por tie Ω− e integrar entre ∞− y

∞+ , para obtener:

dtetfdtetukdtetucdtetum titititi∫∫∫∫

∞

∞−

Ω−∞

∞−

Ω−∞

∞−

Ω−∞

∞−

Ω− =++ )()()()( &&&

Llamando )(ΩF a la transformada de )(tf , es decir: dtetfF ti∫

∞

∞−

Ω−=Ω )()(

y )(ΩU a la transformada de Fourier de )(tu : dtetuU ti∫

∞

∞−

Ω−=Ω )()(

se obtiene:

( ) )()(2 Ω=Ω+Ω+Ω− FUkcim

o bien:

)()()( ΩΩ=Ω FHU

donde ( ) 12)(−

+Ω+Ω−=Ω kcimH es una función de transferencia. Luego se obtiene

la función )(tu con la transformada inversa:

ΩΩ= ∫∞

∞−

Ω deUtu ti)(2

1)(

π

Las mismas ideas pueden aplicarse a la solución de sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales. Por ejemplo:

( ) )()()( Ω=ΩΩ+⇒=+′ Fixf cUBAcBuuA

En este caso )(ΩU denota una matriz columna que agrupa las transformadas de las

funciones agrupadas en )(tu . Luego:

ΩΩ= ∫∞

∞−

Ω det ti)(2

1)( Uu

π

8.4 Algoritmo de Cooley y Tukey 2

Las operaciones requeridas para obtener los coeficientes de Fourier:

∑−

=

−=

1

0

21 N

n

jnN

i

nj efN

cπ

(8.14)

son similares a las del proceso inverso:

∑−

=

=1

0

2N

j

jnN

i

jn ecfπ

(8.15)

2 Cooley, J.W. y Tukey, J.W. An algorithm for machine calculation of complex Fourier series. Math.Comp., 19:297-201, 1965.


Al realizar las operaciones como se indican en (8.14) y (8.15) se requerirían en cada

caso 2N multiplicaciones y sumas de números complejos. Con el algoritmo de

Transformada de Fourier Rápida (FFT por sus iniciales en inglés) se requieren sólo

NN 2log multiplicaciones y sumas. Esto es suponiendo que N es una potencia de 2 y

que el algoritmo se escribe en su forma más simple. Si, por ejemplo, 53665216 ==N ,

el algoritmo FFT resulta aproximadamente 4000 veces más rápido que el procedimiento

“convencional” antes indicado.

Para empezar, puede observarse que, dejando de lado el factor N/1 , las expresiones

(8.14) y (8.15) son ambas de la forma:

∑−

=

=1

0

N

n

jnnj ufc

±= N

i

euπ2

(8.16)

Nótese que 1=Nu . Los párrafos siguientes se refieren a (8.16), y son igualmente

aplicables a la determinación de los jc (análisis de Fourier) o a la de los nf (síntesis de

Fourier). Se presenta el algoritmo FFT en su forma más simple, suponiendo que N es

una potencia exacta de 2 , es decir, mN 2= . Sin embargo, pueden aplicarse ideas

similares cuando N es arbitrario.

Los valores nf pueden separarse en dos grupos, aquellos que ocupan las posiciones

pares: pn 2= y aquellos que ocupan las posiciones impares: 12 += pn . Luego:

∑∑−

=+

−

=

+=1

2

0

212

12

0

22 )()(

N

p

jpp

j

N

p

jppj ufuufc

Por otro lado, expresando j como qN +2/α , donde 1,0=α y ( )12/0 −<< Nq , se

tiene que:

pqpqpNpqp

Njp uuuuuu )()()()()()( 222222 === αα

qqiqN

qN

uueuuu −=== ±+ π22

Dividiendo los jc en dos grupos (para 1,0=α ) se obtienen:

qq

qq uc ϕφ += (8.17a)

qq

qq

N uc ϕφ +=+

2

(8.17b)

siendo ∑−

=

=1

2

0

22 )(

N

p

pqpq ufφ y ∑

−

=+=

12

0

212 )(

N

p

pqpq ufϕ “transformadas” con 2/N puntos.

Nótese que 2/

22 N

i

euπ±

= , expresión análoga a la de u pero con 2/N puntos.

Las qφ y qϕ se pueden a su vez obtener dividiendo cada sumatoria en dos partes. Si mN 2= , el mismo procedimiento puede sucesivamente repetirse hasta tener sumatorias

con un solo punto.

En la tabla siguiente se muestran los sucesivos reagrupamientos de los valores nf que

se harían para el caso particular 16=N :


1 FFT =N 16

2 FFT =N 8

4 FFT =N 4

8 FFT =N 2

16 FFT =N 1

0000 0 0 0 0 0 0000

0001 1 2 4 8 8 1000

0010 2 4 8 4 4 0100

0011 3 6 12 12 12 1100

0100 4 8 2 2 2 0010

0101 5 10 6 10 10 1010

0110 6 12 10 6 6 0110

0111 7 14 14 14 14 1110

1000 8 1 1 1 1 0001

1001 9 3 5 9 9 1001

1010 10 5 9 5 5 0101

1011 11 7 13 13 13 1101

1100 12 9 3 3 3 0011

1101 13 11 7 11 11 1011

1110 14 13 11 7 7 0111

1111 15 15 15 15 15 1111

Se indica además, a la izquierda, el número de orden original en un sistema de base 2.

A la derecha se observa que, al reagrupar los valores de la función, cada uno de estos

intercambia posición con aquel que corresponde a los bits en orden inverso.

La sucesiva subdivisión de los grupos en dos de la mitad de tamaño termina cuando

1=N y se tiene 12 =± ie π ; entonces los valores qφ y qϕ resultan iguales a los de las

correspondientes nf . Luego se usan expresiones como la (8.17) para obtener 2/N

FFT con dos puntos:

⇒== ± 12/2 ieu π 000 ϕφ +=c 001 ϕφ −=c

Y luego 4/N FFT con cuatro puntos:

⇒±== ± ieu i 4/2π 000 ϕφ +=c 002 ϕφ −=c

111 ϕφ ic ±=

113 ϕφ ic m=

Y así sucesivamente hasta combinar los resultados de 2 FFT con 2/N puntos para

producir la FFT con N puntos.

8.5 Algunas consideraciones prácticas

Para una función no periódica, como podría ser el registro de una componente de

aceleración sísmica, estrictamente no podría emplearse el algoritmo FFT, puesto que se

obtienen los coeficientes de una serie de Fourier y no propiamente la transformada. Sin

embargo, puede considerarse a la función como si fuera periódica agregándole

suficientes ceros como para asegurar que, dada la disipación existente en todos los

sistemas reales, no haya influencia significativa de un período sobre el siguiente.


En la figura se ilustra esta idea:

-200

-100

0

100

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160t

f (t)

Un aspecto importante es definir a que frecuencia jΩ corresponde cada uno de los

coeficientes jc . Siendo el período tNT ∆= se tiene T/21 π=∆Ω=Ω y por lo tanto

)/(2 tNjj ∆=Ω π .

La máxima frecuencia que se representa correctamente (denominada de Nyquist)

depende del intervalo t∆ al que se registra la función f y resulta 2/)/2( tmáx ∆=Ω π .

Las componentes a frecuencias más altas se interpretan como si correspondieran a

frecuencias incorrectas (alias).

0.0E+00

1.0E-05

2.0E-05

3.0E-05

4.0E-05

0 20 40 60 80Ω

|F( Ω )|

1. Algunas Ideas Generales sobre Métodos Numéricos · integración de una función por el método...

Documents

Transcript of 1. Algunas Ideas Generales sobre Métodos Numéricos · integración de una función por el método...