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Funciones de Varias Variables y Dominios

Introducción

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables

independientes. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza df.w , el

volumen de un cilindro circular recto .hπ.rh)V(r,V 2 , el área de un triángulo

b.hA son todas funciones de dos variables.

El volumen de una caja rectangular l . a . hh)a,V(l,V es una función de tres

variables.

Denotaremos una función de dos o más variables de la forma usual:

1yxy)f(x,z 22 ó xyzz)y,f(x,w

Definición (funciones de dos variables)

Sea 2RD , si a cada par ordenado Dyx ),( hacemos corresponder un número real

z = f( x , y ), entonces decimos que f es una función de yx, , y escribimos

RRDf 2: . Al conjunto lo llamaremos dominio de f y al correspondiente

conjunto de valores z = f( x , y ) lo llamamos recorrido de f. Llamaremos a las

variables x ,y variables independientes y a la variable z variable dependiente.

Observación : de manera análoga podemos definir funciones de tres o más variables,

RRDf n : . En todo caso el dominio será un subconjunto de y el recorrido un

subconjunto de . Para efectos del curso nos limitaremos ha estudiar los casos n = 2 ,

3 .

Ejemplo 1

Expresar en forma de conjunto y dibujar el dominio de las siguientes funciones:

1- )y(x9y)f(x, 22 2- yx

xyy)g(x,

2

Solución

Para 1

Para hallar el dominio de f recuerde que el argumento de una raíz cuadrada debe ser

positivo o cero:

9yx y9 yx

9yx 0)y(x9

2222

2222

2

Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3 y su circunferencia, como se

muestra en la figura 1.

Figura 1: dominio de f(x,y)

Por lo tanto el dominio de la función viene dado por el conjunto:

92y2 x/2Ry)(x,f

D , que en esencia es el conjunto de todos los pares

ordenados dentro de la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio r = 3,Tal

como se muestra en la figura 1.

Para 2

Para hallar el dominio de g recuerde que en un cociente el denominador no puede ser

cero, y como el argumento del radical debe ser positivo, entonces:

x y oyx 22 , y como en el numerador no existe ninguna restricción, se

puede afirmar que:

El dominio de g corresponde al exterior de la parábola 2xy , sin incluir la parábola

misma.

Al expresar el dominio de g en forma de conjunto, se tiene que escribir así:

2xy /2Ry)(x,gD , lo cual se muestra en la figura 2.

3

Figura 2: dominio de g(x,y)

Ejemplo 2: Determine el dominio de la función:

Solución:

Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que

Por lo que el dominio de f al escribirlo en forma de conjunto se tendrá:

92y2x1 /2Ry)(x,f

D

Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.

Figura 3: dominio de f(x,y)

4

Ejemplo 3

Encontrar el dominio de las siguientes funciones.

a)x

yxy)f(x,

22

b) 22 y4x16y)f(x,

Solución

a) La función f está definida en todos los pares ordenados (x,y) tales que x sea

distinto de cero ( ya que está en el denominador) y 9yx 22 . Por lo tanto,

el dominio al escribirlo en forma de conjunto nos quedará:

92y2 x 0 x/2Ry)(x,f

D , lo cual representa al conjunto de todos

los puntos que están fuera del círculo 9yx 22 o en la circunferencia, excepto

los del eje y, como se muestra en la figura 4.

Figura 4

b) La función f está definida en todos los puntos (x,y) tales que 164 22 yx .

Es decir, el conjunto dominio está formado por todos los puntos al interior de la elipse

116

2y

4

2x , incluyendo la frontera, como muestra la figura 5.

Figura 5

Al escribirlo en forma conjunto: nos queda:

1

16

2y

4

2x /2Ry)(x,

fD

5

Nota: Para encontrar las imágenes de una función de varias variables, lo que se hace es

sustituir los valores de las variables en la función y operar.

Por ejemplo:

Dada yx

xyy)g(x,

2

Hallar 2) g(2,

Solución:

22

2

4

222

2(2)2) g(2,

Por lo tanto: 222) g(2,

Y así la imagen de g en (2,2) es 22 .

Nota: esto debe hacer en la primera parte de la guía 1.