1. Funciones Medibles...funciones continuas lo eran para la construccion de la integral de Cauchy....

Funcionesmedibles.Funcionesintegrables–Lebesgue.

Relacion con laintegral deRiemann

Funciones Medibles

Funciones simples

Integracion de . . .

Integral de . . .

Funciones . . .

JJ II

J I

1. Funciones Medibles

Hasta ahora hemos estudiado la medida de Lebesgue definida sobre los conjuntos de Rn y suspropiedades. Vamos a aplicar ahora esta teorıa al estudio de las funciones escalares de variasvariables .

Definicion (Funciones medibles – Lebesgue). Sea E ⊆ Rn E ∈ M, y f : E → R. Se dice quef es medible – Lebesgue si para todo abierto G en R, la imagen inversa

f−1(G) = {x ∈ E, f(x) ∈ G}

es un conjunto medible de Rn

Observaciones:

1. En primer lugar, E = f−1(R) debe ser medible. Solo tiene sentido hablar de funcionesmedibles si estan definidas en conjuntos medibles.



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2. Son equivalentes:

(a) f medible –Lebesgue

(b) Para todo conjunto C ⊆ R cerrado, f−1(C) ∈ M

(c) Para todo rectangulo R ⊆ R, f−1(R) ∈ M

En efecto, si f es medible y C es cerrado, el complementario R \ C es abierto, luegof−1(R \ C), es medible, y por tanto

f−1(C) = E \ f−1(R \ C)

tambien es medible. Ası (1) implica (2)

Que (2) implica (3) es trivial, porque los rectangulos son cerrados.

Por ultimo, supongamos que se verifica la hipotesis (3). Si G es un abierto, se puede poner

como union numerable de rectangulos G =∞⋃

n=1

Rn, de modo que

f−1(G) = f−1(∞⋃

n=1

Rn) =∞⋃

n=1

f−1(Rn)

sera medible. Por tanto f es medible.



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3. Un conjunto A ⊆ Rn es medible si y solo si su funcion caracterıstica

χA : Rn −→ R, χA(x) =

{0 si x /∈ A1 si x ∈ A

es medible.

En efecto, supongamos que A es medible, y sea G un abierto cualquiera en R. Si estudiamoscomo es χ−1

A (G), tenemos

χ−1A (G) =

∅ si 0 6∈ G, 1 6∈ GR \ A si 0 ∈ G, 1 6∈ GA si 0 6∈ G, 1 ∈ GR si 0 ∈ G, 1 ∈ G

y en cualquier caso es medible.

Recıprocamente, si χA es medible, tomando como G un abierto que contenga al 1 y no al0, como G = (1/2, 3/2), se tiene A = χ−1

A (G), y por tanto A es medible.



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La familia de las funciones medibles son la base sobre la que construir la integral, como lasfunciones continuas lo eran para la construccion de la integral de Cauchy. De hecho, lo primeroque vamos a ver es que toda funcion continua es medible:

Teorema.Toda funcion continua definida en un conjunto medible es medible.

Demostracion:

Sea E un conjunto medible en Rn, y f : E −→ R una funcion continua. Si G es un conjuntoabierto en R, sabemos que por las propiedades de las funciones continuas f−1(G) es abierto enE, es decir, existe un conjunto abierto U ⊆ Rn tal que f−1(G) = E ∩ U . Ası E es medible pordefinicion de funcion medible, y U es medible por ser abierto, luego f−1(G) es medible.

Por tanto f es medible. �

Ademas la composicion de una funcion medible con una funcion continua tambien es medible(ojo, no la composicion de dos funciones medibles); ası por ejemplo si f(x) es medible, entoncesg(x) = sen(f(x)) tambien es medible :

Teorema.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, f : E −→ R una funcion medible, y g : f(E) −→ R continua en f(E).Entonces g ◦ f es medible.



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Demostracion:Sea G un abierto cualquiera en R. Como g : f(E) −→ R es continua, g−1(G) es abierto def(E), es decir, existe una abierto U de R tal que g−1(G) = U ∩ f(E). Y entonces

(g ◦ f)−1(G) = f−1(g−1(G)) = f−1(U ∩ f(E)) = f−1(U)

es medible. Ası pues g ◦ f es medible. �

Vamos a ver tambien que el lımite de una sucesion de funciones medibles es medible, y algunosotros resultados parecidos. Para ello es util la siguiente caracterizacion de las funciones medibles:

Teorema.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y f : E −→ R. Son equivalentes:

1. f es medible

2. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f(x) < a} ∈ M

3. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f(x) ≤ a} ∈ M

4. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f(x) > a} ∈ M

5. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f(x) ≥ a} ∈ M



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Demostracion:Es claro que (1) implica las propiedades (2), (3), (4) y (5) ya que

{x ∈ E : f(x) < a} = f−1(−∞, a)

{x ∈ E : f(x) ≤ a} = f−1(−∞, a]

{x ∈ E : f(x) > a} = f−1(a,∞)

y

{x ∈ E : f(x) ≥ a} = f−1[a,∞)

son imagenes inversas por f de conjuntos abiertos o cerrados segun el caso.Vamos a ver ahora que las propiedades (2) a (5) son equivalentes entre si.En primer lugar, si suponemos que se verifica (2), es decir que los conjuntos del tipo {x ∈

E : f(x) < a} son medibles para todo a ∈ R, poniendo

{x ∈ E : f(x) ≤ a} =∞⋂

n=1

{x ∈ E : f(x) < a +1

n}

se tiene que los conjuntos del tipo {x ∈ E : f(x) ≤ a} son interseccion numerable de conjuntosmedibles, y por tanto son medibles, lo que prueba la propiedad (3).



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En segundo lugar,

{x ∈ E : f(x) > a} = E \ {x ∈ E : f(x) ≤ a}

luego (3) implica (4).En tercer lugar, si se verifica (4), razonando como antes y poniendo

{x ∈ E : f(x) ≥ a} =∞⋂

n=1

{x ∈ E : f(x) > a− 1

n}

se tiene (5).Y en cuarto lugar, si se verifica (5), como

{x ∈ E : f(x) < a} = E \ {x ∈ E : f(x) ≥ a}

se tiene tambien (1).Para terminar la demostracion, una vez visto que las ultimas cuatro propiedades son equiva-

lentes entre si, utilizando las propiedades (3) y (5) se tiene que para todo rectangulo R = [a, b]en R,

f−1[a, b] = {x ∈ E : a ≤ f(x) ≤ b} = {x ∈ E : f(x) < b} ∩ {x ∈ E : f(x) ≥ a}

sera medible, y por tanto f es medible, y se tiene (1). �



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Corolario 1.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y sean fn : E −→ R funciones medibles. Entonces, si existen, lasfunciones

g(x) = supn

fn(x)

h(x) = infn

fn(x)

j(x) = lim infn

fn(x)

k(x) = lim supn

fn(x)

l(x) = limn

fn(x)

son medibles.

Y tambien el producto de un numero por una funcion medible es una funcion medible.

Corolario 2.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y sea f : E −→ R medible. Para todo α ∈ R se tiene αf es medible.

Observaciones:



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1. El primer corolario se aplica por supuesto tambien a familias finitas de funciones: sif1, . . . , fk son funciones medibles en un conjunto E, las funciones f(x) = max{fi(x), 1 ≤i ≤ k} y g(x) = min{fi(x), 1 ≤ i ≤ k} son medibles.

2. Como consecuencia, las funciones f+(x) = max{f(x), 0} y f−(x) = −min{f(x), 0} =max{−f(x), 0} son medibles.

f f+

f−



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2. Funciones simples

El siguiente objetivo es demostrar que la suma de funciones medibles es medible, pero esto esbastante mas difıcil. Para llegar a este resultado, vamos a introducir un tipo especial de funciones,que vamos a utilizar tambien como base para la construccion de la integral de estas funcionesmedibles: las funciones simples.

Definicion (Funciones Simples). Sea E ⊆ Rn, E ∈ M; se llama funcion simple en E a unafuncion medible s : E −→ R que solo toma un numero finito de valores, es decir, tal ques(E) = {a0, a1, . . . , ak} es finito.

Llamando Ai = s−1({ai}) = {x ∈ E : s(x) = ai}, estos conjuntos son medibles (por serimagenes inversas de cerrados), y verifican

• Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j

• E =k⋃

i=0

Ai

• y se puede escribir s(x) de la forma s(x) =k∑

i=1

aiχAi(x) combinacion lineal de funciones

caracterısticas de conjuntos Ai,



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De hecho, las funciones simples son las combinaciones lineales de funciones caracterısticasde conjuntos medibles: cualquier combinacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntosmedibles se puede descomponer como otra combinacion lineal respecto a una familia de conjuntosmedibles disjuntos dos a dos cuya union es todo el conjunto E

Es facil verlo con un ejemplo sencillo: si

s(x) = a1χA1(x) + a2χA2(x)

con Ai subconjuntos medibles de E, podemos escribir

s(x) = a1χA1\A2(x) + a2χA2\A1(x) + (a1 + a2)χA1∩A2(x) + 0χE\(A1∪A2)(x)

Una descomposicion de este tipo la llamaremos “elemental”.

Si S1 y S2 son dos funciones simples, S1 =m∑

i=1

aiχAiy S2 =

k∑j=1

bjχBj, (descom-

posiciones elementales), se puede conseguir una descomposicion elemental de ambas con respectoa la misma familia de conjuntos, {Bi ∩ Aj}i,j



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A1 A2B1

B2

A1 ∩B1

A1 ∩B2

A2 ∩B1

A2 ∩B2

A1 ∩B1 A2 ∩B1

A1 ∩B2A2 ∩B2

a1

a1

a1

a2

a2

a2

b2

b2b2

b1

b1 b1



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En general, como los conjuntos Bj son disjuntos dos a dos y ∪kj=1Bj = E, entonces

χE(x) = χ∪kj=1Bj

(x) =k∑

j=1

χBj(x) = 1

y podemos poner

S1(x) =m∑

i=1

χAi(x) =

m∑i=1

χAi(x)

( k∑j=1

χBj(x)

)=

=m∑

i=1

ai

k∑j=1

χAi(x)χBj

(x) =

m,k∑i=1,j=1

aiχAi∩Bj(x)

Y analogamente

S2(x) =k∑

j=1

bjχBj(x) =

k,m∑j=1,i=1

bjχBj∩Ai(x)

Ası es facil demostrar que la suma de dos funciones simples es una funcion simple: si S1 =∑mi=1 aiχAi

y s2 =∑m

i=1 biχAi, la suma S1 + S2, es



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(S1 + S2)(x) = S1(x) + S2(x) =m∑

i=1

(ai + bi)χAi

a1 + b1

a2 + b1

a1 + b2

a2 + b2

A1 ∩B1 A2 ∩B1

A1 ∩B2 A2 ∩B2

Analogamente S1 · S2 =∑m

i=1 ai · biχAi, y S1/S2 =

∑mi=1(ai/bi)χAi

son funciones simples(si S2(x) 6= 0 para todo x ∈ E en el caso del cociente). Y evidentemente, para todo α ∈ R,αS1 =

∑mi=1 α · aiχAi

es tambien una funcion simple.



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El siguiente teorema es fundamental para la construccion de la integral:

Teorema (Aproximacion de funciones medibles).Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y f : E −→ R una funcion medible no negativa. Existe una sucesion{sn}n de funciones simples de E en R, tales que

1. 0 ≤ sn(x) ≤ sn+1(x) para todo x ∈ E, para todo n ∈ N

2. limn

sn(x) = f(x) para todo x ∈ E

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)Sea n ∈ N fijo. Se definen los conjuntos

En0 = {x ∈ E, f(x) ≥ n}

y

Eni = {x ∈ E, (i− 1)2−n ≤ f(x) < i2−n}; 1 ≤ i ≤ n2n

que son conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, y se definen las funciones

sn(x) =

{(i− 1)2−n si x ∈ En

i ; 1 ≤ i ≤ n2n

n si x ∈ E0



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es decir,

sn(x) =n2n∑i=1

i− 1

2nχEn

i(x) + nχEn

0(x)

Veamos un esquema grafico de la construccion de los conjuntos y de las funciones, para n = 1y n = 2



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1/2

f

1

s1(x)

E10 E1

1E1

2 E20 E2

2 E23 E2

4 E25 E2

6 E27 E2

8

1/2

1/4

3/4

5/4

6/4

7/4

2f

s2(x)

1

En este caso, el conjunto E21 es vacıo.

La idea es dividir el eje vertical en bandas horizontales de anchura 2−n, y construir unafunciones escalonadas cuyos escalones estan definidos por estas bandas, que esten siempre pordebajo de la grafica de f , pero lo mas cerca posible.

Es evidente por la definicion que para todo x ∈ E y para todo n ∈ N, sn(x) ≥ 0.



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En segundo lugar, dado n ∈ N, poniendo el intervalo[(i− 1)

2n,

i

2n

]=

[2(i− 1)

2n+1,

2i

2n+1

]=

[2(i− 1)

2n+1,2i− 1

2n+1

]∪

[2i− 1

2n+1,

2i

2n+1

]se tiene

Eni = {x ∈ E,

(i− 1)

2n≤ f(x) <

i

2n} =

= {x ∈ E,2(i− 1)

2n+1≤ f(x) <

2i

2n+1} =

= {x ∈ E,2(i− 1)

2n+1≤ f(x) <

2i− 1

2n+1} ∪

∪ {x ∈ E,2i− 1

2n+1≤ f(x) <

2i

2n+1} =

= En+12(i−2) ∪ En+1

2i−1

Ası que si x ∈ Eni , para algun i entre 1 y n2n, pueden ocurrir dos cosas:

O bien x ∈ En+12(i−1), y entonces

sn+1(x) =2(i− 1)

2n+1=

i− 1

2n= sn(x)



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o bien x ∈ En+12i−1 y entonces

sn+1(x) =2i− 1

2n+1>

i− 1

2n= sn(x)

Y si x ∈ En0 , es decir, si f(x) ≥ n, tambien pueden ocurrir dos cosas:

O bien f(x) ≥ (n + 1), en cuyo caso sn+1(x) = n + 1 > n = sn(x)O por el contrario n ≤ f(x) < n + 1, y entonces

f(x) ∈ [n, n + 1] =

(n+1)2n+1⋃k=n2n+1+1

[k − 1

2n+1,

k

2n+1]

luego

sn+1(x) =k − 1

2n+1≥ n = sn(x)

Es decir, siempre sn(x) ≤ sn+1(x)Para terminar la demostracion falta ver que limn sn(x) = f(x), pero esto es claro: dado

x ∈ E, sea n0 un numero natural tal que f(x) < n0. Por la definicion de las funciones sn, paratodo n ≥ n0 la distancia f(x) − sn(x) es menor que 2−n que es la anchura de los escalones desn, luego en efecto

limn|f(x)− sn(x)| ≤ lim

n2−n = 0



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J(Volver al enunciado) �

Como consecuencia:

Teorema.Toda funcion medible es lımite puntual de una sucesion de funciones simples.

Corolario 3.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y f, g : E −→ R dos funciones medibles. Entonces:

1. f + g y f − g son medibles

2. f · g es medible

3. Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ E, f/g es medible

4. |f | es medible

Una ultima propiedad de las funciones medibles que utilizaremos con frecuencia es la siguiente:si dos funciones son iguales en “casi todos los puntos de E”, o ambas son medibles, o ningunade las dos lo es.

Proposicion.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y f, g : E −→ R dos funciones tales que existe un conjunto Z ⊆ E conm(Z) = 0 y f(x) = g(x) para todo x ∈ E \ Z. Entonces f es medible si y solo si g es medible.



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Demostracion:Supongamos que f es medible. Para ver que g es medible, sea U un abierto de cualquiera de

R; podemos poner

g−1(U) =(g−1(U) ∩ (E \ Z)

)∪

(g−1(U) ∩ Z

)De aquı, el primer conjunto es

g−1(U) ∩ (E \ Z) = {x ∈ E \ Z : g(x) ∈ U} =

= {x ∈ E \ Z : f(x) ∈ U} = f−1(U) ∩ (E \ Z)

que es medible por ser f medible y Z medible.Y el segundo conjunto es un subconjunto de Z, luego tambien tiene que tener medida cero,

como Z, y por tanto es medible.Entonces g−1(U) es medible.Ası pues g es una funcion medible. Analogamente, cambiando los lugares de f y de g se

prueba que si g es medible, f tambien lo es. �

En otras palabras, este resultado muestra que si una funcion f no es medible, no se puede“arreglar” cambiando los valores de la funcion en un conjunto de puntos de medida cero; y que,recıprocamente, si f es medible, tampoco se va a “estropear” si se cambian sus valores en unconjunto de puntos de medida cero.

El hecho de que una de propiedad se verifique en “casi todos los puntos” de un conjunto E,es una caracterıstica fundamental de la teorıa de Lebesgue, y recibe un nombre:



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Definicion (Propiedad en casi todo punto).Sea E ⊆ Rn, E ∈ M. Se dice que una cierta propiedad P se verifica en casi todo punto de Esi existe un conjunto Z ⊆ E con m(Z) = 0, tal que P se verifica para todo x ∈ E \ Z.



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3. Integracion de funciones simples

Vamos ahora a construir la integral de Lebesgue de funciones medibles. La idea es construir laintegral de Lebesgue primero para funciones simples, luego para funciones medibles no negati-vas, y por ultimo para funciones medibles cualesquiera. En cada caso demostraremos algunaspropiedades elementales que son necesarias para el paso siguiente, y que van encaminadas ademostrar las propiedades elementales de cualquier procedimiento de integracion: la linealidad yla monotonıa de la integral, es decir, que la integral de la suma es la suma de las integrales, quela integral de un numero por una funcion es el producto del numero por la integral de la funcion,y que si una funcion es mayor que otra en el mismo conjunto, su integral es tambien mayor.

Definicion (Integral de una funcion simple no negativa).

Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y sea s : E −→ R una funcion simple no negativa, s =k∑

i=1

aiχAi, con

ai ≥ 0 para todo i, 1 ≤ i ≤ k, Ai ∩Aj = ∅ si i 6= j, y ∪ki=1Ai = E Se define la integral de s en

E por∫E

s =k∑

i=1

aim(Ai)

con el convenio de que 0 · ∞ = 0



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Observaciones:

1. La definicion es correcta, en el sentido de que el resultado de la integral no depende de ladescomposicion de s como combinacion lineal de funciones caracterısticas, incluso aunquelos conjuntos no sean disjuntos dos a dos.

Vamos a ver que esto es cierto con un ejemplo sencillo: supongamos que s = aχA +bχB, donde A y B son subconjuntos medibles de un conjunto E, pero no necesariamentedisjuntos. Podemos obtener una descomposicion elemental de s de la forma

s = aχA\B + (a + b)χA∩B + bχB\A + 0χE\(A∪B)

Aplicando entonces la definicion de la integral

∫E

s = am(A \B) + (a + b)m(A ∩B) + bm(B \ A)+

+0m(E \ (A ∪B)) =

= a (m(A \B) + m(A ∩B)) + b(m(A ∩B) + m(B \ A)) =

= am(A) + bm(B)

(utilizando que A y B son medibles)



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2. La razon de definir la integral solo para funciones no negativas es asegurar que la suma∑mi=1 aim(Ai) este bien definida, que no pueda dar lugar a algo del tipo ∞−∞.

3. La integral sera no negativa, pero puede valer infinito

0 ≤∫

E

s ≤ ∞

4. Geometricamente, la integral de s es la suma de los “volumenes”, o mejor habrıa que decirla suma de las medidas, de los prismas de base los conjuntos Ai y alturas respectivas ai

A1A2

A3A4

a1

a2

a3

a4



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Proposicion.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y sean s1, s2 : E −→ R funciones simples no negativas. Entonces:

1.

∫E

(s1 + s2) =

∫E

s1 +

∫E

s2

2. Para todo α ∈ R, α ≥ 0,

∫E

αs1 = α

∫E

s1

3. Si existe Z ⊆ E con m(Z) = 0, tal que s1(x) ≤ s2(x) para todo x ∈ E \ Z, entonces∫E

s1 ≤∫

E

s2

Demostracion:

Consideremos para s1 y para s2 descomposiciones elementales respecto a la misma familia deconjuntos, s1 =

∑mi=1 aiχAi

y s2 =∑m

i=1 biχAi.

Las demostraciones de los apartados (1) y (2) son triviales.Para el apartado (3), sea Z ⊆ E un conjunto de medida cero tal que s1(x) ≤ s2(x) para

todo x ∈ E \ Z. Entonces para cada conjunto Ai, como Z es medible, se tiene

m(Ai) = m(Ai ∩ Z) + m(Ai \ Z) = m(Ai \ Z)

ya que Ai ∩ Z tiene medida cero.



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Ademas, si existe algun punto x ∈ Ai \ Z, s1(x) = ai ≤ s2(x) = bi luego

aim(Ai \ Z) ≤ bim(Ai \ Z)

y si Ai \ Z = ∅, tambien trivialmente

aim(Ai \ Z) = 0 = bim(Ai \ Z)

Por tanto∫E

s1 =m∑

i=1

aim(Ai) =m∑

i=1

aim(Ai \ Z) ≤

≤m∑

i=1

bim(Ai \ Z) =m∑

i=1

bim(Ai) =

∫E

s2

�



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4. Integral de funciones no negativas

Definicion.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y f : E −→ R una funcion medible con f(x) ≥ 0 para todo x ∈ E. Sedefine la integral de f en E por∫

E

f = sup{∫

E

s, s funcion simple, 0 ≤ s ≤ f}

Observaciones:

1. Se puede sustituir la condicion 0 ≤ s ≤ f en E, por la condicion 0 ≤ s(x) ≤ f(x) en casitodo E.

2. La integral de una funcion medible no negativa sera siempre no negativa tambien, peropuede ser infinita.

3. Geometricamente el significado de esta integral es similar a las sumas inferiores de Riemann.La diferencia fundamental esta en los conjuntos Ai que utilizamos para dividir el conjuntoE: podemos escoger cualquier clase de conjuntos medibles, no solamente rectangulos.



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A1 A2 A3 A4

a1

a2

a3

a4

f

La proposicion siguiente es consecuencia inmediata de las propiedades de la integral de fun-ciones simples no negativas:

Proposicion.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y sean f, g : E −→ R funciones medibles no negativas. Se tiene:

a) Si f ≤ g en casi todo E, entonces

∫E

f ≤∫

E

g

b) Si f = g en casi todo E, entonces

∫E

f =

∫E

g

c) Si α > 0,

∫E

αf = α

∫E

f



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5. Funciones Integrables–Lebesgue. Relacion con la Integralde Riemann.

Aunque la definicion de la integral de Lebesgue es correcta para cualquier funcion medible nonegativa, solo vamos a llamar integrables a las funciones cuya integral es finita; mas exactamente,

Definicion (Funcion Integrable Lebesgue).Sea E ⊆ Rn, E ∈ M y f : E −→ R. Se dice que f es integrable – Lebesgue en E si es medible

y

∫E

|f | < ∞. Se define entonces la integral en E de f por∫E

f =

∫E

f+ −∫

E

f−

Observaciones:Observese que

∫E

f esta bien definida, en el sentido de que como 0 ≤ f+ ≤ |f |, entonces0 ≤

∫E

f+ ≤∫

E|f | < ∞; y tambien 0 ≤ f− ≤ |f |, ası que 0 ≤

∫E

f− ≤∫

E|f | < ∞. Si f

es integrable, su integral es un numero.

Proposicion.Sea E ⊆ Rn, E ∈ M, y f : E −→ R integrable. Entonces

|∫

E

f | ≤∫

E

|f |



Funciones Medibles

Funciones simples


Integral de . . .

Funciones . . .

JJ II

J I

Demostracion:

De las desigualdades 0 ≤∫

Ef+ ≤

∫E|f | < ∞ y 0 ≤

∫E

f− ≤∫

E|f | < ∞ se

deduce

−∫

E

|f | ≤∫

E

f+ −∫

E

f− ≤∫

E

|f |

luego en efecto

|∫

E

f | ≤∫

E

|f |

�



Funciones Medibles

Funciones simples


Integral de . . .

Funciones . . .

JJ II

J I

Tendremos que demostrar que esta forma de integrar tiene las propiedades fundamentalesque debe tener cualquier metodo de integracion, alguna de las cuales hemos ido demostrandoen las casos anteriores para funciones simples y funciones medibles no negativas: la linealidadde la integral, y la aditividad con respecto al dominio. Pero vamos a dejar el estudio de estaspropiedades hasta el proximo capıtulo.

Antes vamos a ver que la integral de Lebesgue generaliza a la de Riemann, en el sentidode que si E es un rectangulo y f : E −→ R es integrable–Riemann, entonces f es medible,integrable–Lebesgue, y ademas las dos integrales coinciden. Llamaremos (R)

∫E

f a la integralde Riemann de f en E, y (L)

∫E

f a la integral de Lebesgue.

Teorema (Relacion con la Integral de Riemann).Sea E un rectangulo en Rn, y f : E −→ R una funcion integrable

Riemann. Entonces f es tambien integrable Lebesgue, y

(R)

∫E

f = (L)

∫E

(f )

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)Observemos en primer lugar que como E es un rectangulo, es un conjunto medible Lebesgue.

Vamos a demostrar que f es medible Lebesgue, que es integrable, y que su integral de Lebesguecoincide con su integral de Riemann.



Funciones Medibles

Funciones simples


Integral de . . .

Funciones . . .

JJ II

J I

Como f es integrable Riemann, es acotada, y existe un conjunto Z ⊆ E con m(Z) = 0 demodo que la restriccion de f a E \ Z es continua.

Sea G un abierto de R. Podemos poner

f−1(G) =(f−1(G) ∩ Z

)∪

(f−1(G) ∩ (E \ Z)

)De estos dos conjuntos f−1(G) ∩ Z ⊆ Z, luego tiene medida cero y por tanto es medible

Lebesgue.Y f−1(G) ∩ (E \ Z) = (f |E\Z)−1(G) que es un abierto de E \ Z por la continuidad de f en

ese conjunto, luego existe un abierto U de Rn de modo que

f−1(G) ∩ (E \ Z) = U ∩ (E \ Z)

que es medible.Ası pues, para todo abierto G de R, f−1(G) es medible, y por tanto f es medible Lebesgue.Por otro lado, de la acotacion de F se tiene que existe M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para

todo x de E, o lo que es lo mismo, |f | ≤ MχE. Entonces por las propiedades de la integral deLebesgue de funciones medibles no negativas,∫

E

|f | ≤∫

E

MχE = M m(E) = Mv(E) < ∞

Para demostrar la igualdad entre las dos integrales, supongamos primero que f es no negativa.



Funciones Medibles

Funciones simples


Integral de . . .

Funciones . . .

JJ II

J I

Para cada particion P de E, definimos la funcion simple

s(x) =∑

R∈RP

MR(f) χR(x)

Esta funcion verifica 0 ≤ f(x) ≤ s(x) para todo x ∈ E, y por las propiedades de laintegral de Lebesgue de funciones medibles no negativas, entonces

(L)

∫E

f ≤ (L)

∫E

s =∑

R∈RP

MR(f) m(R) = S(f, P )

Tomando ınfimos entre todas las particiones de E, se tiene

(L)

∫E

f ≤ (R)

∫E

f

Definimos ahora la funcion simple

k(x) =∑

R∈RP

mR(f) χR0(x)

Esta funcion verifica que 0 ≤ k(x) ≤ f(x) para todo x ∈ E, y por las propiedades de laintegral de Lebesgue de funciones medibles no negativas,

(L)

∫E

f ≥ (L)

∫E

k =∑

R∈RP

mR(f) m(R0) = S(f, P )



Funciones Medibles

Funciones simples


Integral de . . .

Funciones . . .

JJ II

J I

Tomando supremos entre todas las particiones de E, se tiene

(L)

∫E

f ≥ (R)

∫E

f

Para terminar, en el caso general (sin suponer que f es no negativa), basta considerar lasfunciones f+ y f−: Si f es integrable Riemann, tambien f+ y f− son integrables Riemann, yademas como f = f+ − f−, se tiene

(R)

∫E

f = (R)

∫E

f+ − (R)

∫E

f− = (L)

∫E

f+ − (L)

∫E

f− = (L)

∫E

f

con lo que queda demostrado el teorema.J(Volver al enunciado) �

1. Funciones Medibles...funciones continuas lo eran para la construccion de la integral de Cauchy....

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