OS NATU

HISTORIA DE LOS NÚMEROS NATURALES.

ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES.

VALOR POSICIONAL Y SUMA DE NÚMEROS NATURALES.

PROPIEDADES DE LA SUMA.

RESTA DE NÚMEROS NATURALES.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

HISTORIA DE LOS NÚMEROS

Un número es una expresión de cantidad con respecto a la unidad.

Antes de que existieran los números, el ser humano utilizaba otros

métodos para contar, utilizaban piedras, palitos de madera, nudos

en una cuerda, los dedos, por la necesidad un poco más tarde

empezaron aparecer lo símbolos gráficos para contar en las

diferentes culturas, es por eso que existen varios tipos de

numeraciones como la maya, la egipcia, la romana, la arábiga entre

otras, pero la que más utilizamos hoy en día es la numeración

arábiga, está hecha en base 10, y tienen la siguiente forma por la

cantidad de ángulos que tienen los símbolos.

[11]

ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto, se llaman de esa manera porque fueron los primeros números utilizados por las primeras civilizaciones. Estos números se pueden definir de dos maneras:

Definición con cero:

Definición sin cero:

Los números naturales es un conjunto ordenado esto quiere decir que tiene números menores y mayores.

Un número es menor que otro si está a la izquierda (ANTECESOR) de éste, y es mayor si se encuentra a la derecha (SUCESOR).

“5” es mayor que dos porque está a la derecha. ”2” es menor que “5” porque está a la izquierda.

Para denotar que un número es mayor que otro utilizamos los siguientes símbolos, donde la abertura apunta siempre al mayor.

VALOR POSICIONAL

El valor posicional es el valor que tiene el dígito según en la posición

en el número.

Centena de

millón

Decena de

millón

Unidad de

millón

Centena de mil

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

Para escribir un número lo hacemos de derecha a izquierda.

Ejemplo: representar según su valor posicional 3.567.432

Centena de

millón

Decena de

millón

Unidad de

millón

Centena de mil

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

3 5 6 7 4 3 2

SUMA DE NÚMEROS NATURALES

Consiste en combinar o añadir dos o más cantidades para obtener una

cantidad final, se representa con el signo "+" (más) sus componentes

son:

Sumandos

Resultado 2 + 4 = 6

Se suman según el valor posicional, unidades con unidades, decenas

con decenas y así sucesivamente con los dígitos de los diferentes

números, si se pasa de 9 lleva la cantidad del dígito izquierdo

obtenido a el siguiente valor posicional de izquierda a derecha.

EJEMPLO: 7654 + 8536

Se suman las unidades.

Centena de mil

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

7 6 5 4

+ 8 5 3 6

0

Se suman las decenas uno que se lleva.

Centena de mil

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

7 6 5 4

+ 8 5 3 6

9 0

6+4 = 10

Se coloca el 0

y se lleva 1

1

1

Y se suma así sucesivamente.

Centena de mil

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

7 6 5 4

+ 8 5 3 6

1 6 2 9 0

[12]

1 1 1

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS

NATURALES

Clausurativa: La suma de dos números naturales es otro número

natural.

Si 𝒂 ∈ 𝑵 y 𝒃 ∈ 𝑵, entonces (𝒂 + 𝒃) ∈ 𝑵

Ejemplo: 5 y 4 son números naturales y el resultado de 5 + 4 = 9,

donde 9 pertenece al conjunto de los números naturales.

Asociativa: Cuando se suman tres o más números Naturales, la suma

siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.

𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑁 → a + b = b + a

Ejemplo:

(𝟓 + 𝟒) + 𝟑 = 𝟗 𝟓 + (𝟒 + 𝟑) = 𝟗

(𝟗) + 𝟑 = 𝟏𝟐 𝟓 + (𝟕) = 𝟏𝟐

Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.

Sean a y b, ∈ 𝑁 → a + b = b + a

Ejemplo:

𝟓 + 𝟒 = 𝟗 𝟒 + 𝟓 = 𝟗

Modulativa o elemento neutro: Existe un número natural tal que al

sumarlo con otro no cambia el resultado.

𝒂 + 𝒃 = 𝒂

Este número en el conjunto de los números naturales es el “0” (cero)

Ejemplo:

𝟔 + 𝟎 = 𝟔

[13]

RESTA DE NÚMEROS NATURALES

Es una operación inversa a la suma consiste en hallar uno de los

sumandos. Los componentes de la resta son:

2 - 4 = 6 Sustraendo

Diferencia Minuendo

En los números naturales el minuendo siempre es mayor que el

sustraendo y la diferencia.

Para restar se organizan según su valor posicional, y se resta de abajo

hacia arriba. Si el dígito de arriba es menor debe pedir prestado a su

dígito ubicado a mano izquierda y así sucesivamente:

EJEMPLO: 5234 – 3536

Se restan las unidades de arriba hacia abajo, como la unidad de

arriba es menor que la de abajo, la decena de arriba le presta 1, es

decir la operación queda 14 – 6 y la decena queda en 2.

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

5 2 3 4

- 3 5 3 6

1 6 9 8

Se hace lo mismo sucesivamente.

14 2

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

5 2 3 4

- 3 5 3 6

1 6 9 8

[14]

2 1 4 14

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La multiplicación es una operación que se origina de sumar un mismo

número una misma cantidad de veces.

En forma de multiplicación se escribe:

Los componentes de una multiplicación son:

Para multiplicar números con dos o más cifras hay que tener en

cuenta como se organizan y valor posicional.

Ejemplo: 328 x 536

Se organiza un número arriba y otro abajo, para que sea menos

compleja el de abajo puede ser el que menos cifras tenga.

2 x 4 = 6 2 x 4 = 6

2 + 2 + 2+ 2 + 2 = 10 5 veces

2 x 4 = 6

2 x 5 = 10

Factores

Producto

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

3 2 8

x 3 6

Se multiplican las unidades del número de abajo con los dígitos del

número de arriba de izquierda a derecha, teniendo en cuenta que las

decenas se las sumamos al siguiente producto y así sucesivamente.

Decena de mil

Unidad de mil

Centena Decena unidad

3 2 8

x 3 6

1 9 3 8

Se hace lo mismo con las decenas pero empezamos a colocar el

resultado de los productos en las decenas y cuando se terminen los

dígitos del número de abajo se suma de forma vertical.

1 4

[15]

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE

NÚMEROS NATURALES

Las propiedades de la multiplicación son las mismas de la suma de

números naturales:

Clausurativa: Sea "a" y "b" números naturales, entonces:

a x b= c

Donde “c” también pertenece a los naturales.

Ejemplo: 5 y 3 son números naturales, entonces:

5 x 3 = 15

15 también es un número natural.

Conmutativa: El orden de los factores no cambia el producto:

a.b=b.a

Ejemplo:

5 x 4 = 20

4 x 5 = 20

Asociativa: se pueden asociar las multiplicaciones para facilitar el

proceso mental.

(a.b).c=a.(b.c)

Ejemplo:

(5 x 4) x 2 = 20 x 2 = 40

5 x (4 x 2) = 5 x 8 = 40

Distributiva: se obtiene la misma respuesta cuando multiplicas un

conjunto de números por otro número que cuando se hace cada

multiplicación por separado.

a(b+c)=a.b+a.c

Ejemplo:

5 x ( 3 + 4)= 5 x 7 =35

5 x 3 + 5 x 4=15 + 20= 35

Modulativa: todo número multiplicado por “1” da el mismo número.

a.1=a

Ejemplo:

500x1=500

[16]

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La división es una operación inversa a la multiplicación y su objetivo

es encontrar uno de los factores.

Cuantas veces está el “5” en el “100”.

Qué número multiplicado por “5” da “100”.

Los componentes de la división exacta son:

Las divisiones pueden ser exactas e inexactas, las exactas es donde

el residuo es cero y las inexactas el residuo es diferente de cero. Los

componentes de la división inexacta son:

20 x 5 = 100

100 ÷ 5 = 20 Cociente Dividendo

Divisor

100 ÷ 5 = 20

Para dividir hay que tener en cuenta el siguiente procedimiento:

Ejemplo:

Se organiza de la siguiente manera los números.

Se escoge en el dividendo (de izquierda a derecha) un número que

contenga al divisor, en este caso es el 2457.

Cociente

Divisor Dividendo

Residuo

Ahora se organiza el número seleccionado en el punto anterior y el

divisor según su valor posicional.

Se multiplica el divisor por el número hallado en este caso el 3.

Se ubica debajo del dividendo provisional y se resta.

Se debe bajar el siguiente dígito del dividendo, luego se hace el

mismo procedimiento hasta llegar a un número menor que el divisor

(si es inexacta) o llegar a cero (si es exacta).

8 6 2 2

8 6 2 2 -

9 8 1 0

2 4 5 7

3

Un número multiplicado por 7 de cercano al 24. En este caso es el 3.

[17]

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La potenciación es una operación que sale de multiplicar un mismo

número una cantidad de veces.

2x2x2x2x2x2 = 26

8 6 2 2 -

9 8 1 0

2 4 5 7

3 2 5

1 5 1 2

3 7 8 0

3 7 8 0 -

0

0

Sus componentes son:

a b= c

“a” es la base, “b” el exponente y “c” la potencia.

Para realizar una potencia, se multiplica el número la cantidad de

veces que indica el exponente.

2x2x2x2x2x2 = 26=64

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE

NÚMEROS NATURALES

Exponente cero: cuando el exponente es cero el resultado de la

potencia es “1”.

a0=1

Exponente uno: cuando el exponente es uno el resultado de la

potencia es la misma base.

a1=a

Multiplicación de bases iguales: se suman los exponentes y se deja

la misma base.

am .an =am+n

División de bases iguales: se restan los exponentes y se deja la misma

base.

𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛

Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes y se deja la

misma base

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛

Potencia de una multiplicación: se eleva cada factor a la potencia.

(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛

Potencia de una división: se eleva el numerador y denominador a la

misma potencia.

(𝑎

𝑏)

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

[18]

RADICACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES

Los componentes de la radicación son:

La radicación es una operación inversa a la potenciación por eso la

podemos expresar así:

√𝑎𝑛

= 𝑏 𝑏𝑛 = 𝑎

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE

NÚMEROS NATURALES

Raíz de una potencia o potencia de una raíz: se coloca en forma de

exponente fraccionario donde la potencia es el numerador y el índice

el denominador.

√𝑎𝑏𝑛= ( √𝑎

𝑛)

𝑏= 𝑎

𝑏𝑛⁄

Raíz de una multiplicación: Se le asigna la raíz a cada uno de los

factores.

√𝑎𝑛

= 𝑏

Radicando

v

Raíz Índice

Como raíz

Como potencia

√𝑎. 𝑏𝑛

= √𝑎 𝑛

. √𝑏𝑛

Raíz de una división: Se le asigna la raíz al dividendo y al divisor

(numerador y denominador)

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

Raíz de una raíz: se multiplican los índices de las raíces.

√ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎 𝑛.𝑚

Raíz de cero y uno:

√1𝑛

= 1 √0𝑛

= 0

RAÍZ EXACTA

Las propiedades nos sirven para encontrar la raíz exacta de un

número.

Ejemplo: hallar la raíz cuadrada exacta de “625”.

Se descompone el número en factores primos.

625 5 125 5 25 5

5 5 1

Se organiza en múltiplos de la raíz.

√625 = √54

Se aplican las propiedades de la radicación.

√54 = 52 = 25

La raíz cuadrada de “625” es “25”, es decir “25” multiplicado por sí

mismo 2 veces es “625”.

[19]

BIBLIOGRAFÍA

[1] Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible

en: www.wikipedia.com

[2] Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia

España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com

[3]

Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de

video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en

http://www.youtube,com

[4] Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López.

Delta 6. Ed Norma. 2008

[5] Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López.

Delta 7. Ed Norma. 2008

[6] William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix

Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 6. Ed Educar. 2012.

[7] William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix

Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 7. Ed Educar. 2012.

[8] Aurelio Baldor. Aritmética de Baldor. Publicaciones

cultural Mexico.1997

SOFTWARE

[9] Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en:

www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro

[10] Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en: www.atubecatcher.es

VIDEOS

[11]

Aprende ciencia. Historia de los números naturales.

2008Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=xmJiBMylH3A

[12]

Aprendopolis. Suma de números naturales. 2013

Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=WAucYao8whY

[13]

Aprendopolis. Propiedades de la suma de números

naturales. 2013. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=NVe9UVwJ7EE

[14]

César Moisés Grillo Soliz. Resta de números naturales.

2012. Disponible en :

https://www.youtube.com/watch?v=va8CubsC6B4

[15]

Aprendopolis. Multiplicación de números naturales. 2013.

Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=4qdOjfmJVR8

[16] Tareasplus.Propiedades de la multiplicación de números

naturales. 2013. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=RM1VZ1GSz6k

[17] El numérico. División de números naturales.2012.

Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=MXQ81TFXdZQ

[18] El numérico. Propiedades de la potenciación de números

naturales. 2012. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=Z4SvSY91o_A

[19] Gustavo Ohm. Raíz exacta.2013. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=OiBnnJJjIqM