1

¿Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección de objetos

considerada como un todo.

Los objetos de un conjunto son llamados elementos o miembros del conjunto.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc.

Un conjunto no posee elementos repetidos.

2

Ejemplo

a A (a pertenece a A) b A (b no pertenece a A)

a

Relación de pertenencia

e

i

b

co

u

V

3

Formas de expresión de un conjunto Para indicar un conjunto de utilizan llaves.

Hay distintas formas de expresarlo Enumerando sus elementos

A = {a, e, i, o, u}

Indicando alguna caracterización de sus elementos

A = { x / x es una vocal }

Tal que

4

Conjunto vacío

Es aquel que no contiene elementos Representación: o {} Ejemplo:

B = { x / x N ^ 2x = 1}

B es un conjunto que no contiene elementos dado que ningún número natural

multiplicado por 2 puede dar como resultado 1

B = {}

5

Cardinalidad de un conjunto

Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto

Ejemplo:

La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5

La cardinalidad de B = { x / x N ^ 2x = 1} es 0

Un conjunto puede contener infinitos elementos.

6

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos o si ambos son vacíos

Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }

A = B ?

A = C ?

7

Subconjuntos de un conjunto

Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es también elemento de A, diremos que B es un subconjunto de A B es una parte de A B está incluido A.

Esto se simboliza como B A

B

A

8

Subconjuntos de conjuntos

Dados los conjuntos A = { 0 , 3 } B = { x / x (x – 3) = 0 } C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }

A C C A pues 1 C y 1 A.

9

Conjunto de partes de un conjunto Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto

de partes de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A, y lo denotaremos P(A).

En otras palabras:

P(A) = { B / B A }

10

Conjunto de partes de un conjunto Ejemplos

A = {1} A tiene 1 elemento

P(A) = { {}, {1} } P(A) tiene 2 elementos

A = {1, 2} A tiene 2 elementos

P(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} } P(A) tiene 4 elementos

11

Operaciones de conjuntos

Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos a partir de otros existentes: Unión Intersección Diferencia Complemento

12

Operaciones de Conjuntos

A B = {x / x A x B }

UNION

13

Operaciones de Conjuntos

A B = { x / x A x B }

INTERSECCION

14

Operaciones de Conjuntos

B – A = {x / x B x A }

DIFERENCIA

15

Operaciones de Conjuntos

Si A B CBA= {x / x B x A }

CBA = B – A

COMPLEMENTO

B

A

16

Ejercicios Dados los conjuntos

A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}

Calcular A B = A B = A – B = B – A = A B C = A – ( B – C) =

{ 1,2 }

{ 1, 2, 3, 4, 5 }

{ 3 }{ 4, 5 }

{ 2 }

{ 2, 3 }

17

EjercicioColorear la parte que representa el conjunto

(A B) – ( A C)

18

EjercicioColorear la parte que representa el conjunto

(A B) – ( A C)

19

Autoevaluación

En esta dirección

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evaluteo.htm

hay una autoevaluación de conjuntos.

20

Producto Cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.

A × B = { (x,y) / x A ^ y B }

21

Producto Cartesiano

Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

Note que A tiene 3 elementos

B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

22

Producto Cartesiano

Ejemplo: A = { oro, copa, basto, espada }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1), (copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }

Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

23

Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

24

Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

25

Producto Cartesiano

Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

26

Gráfico cartesiano Dados los conjuntos

A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }

el gráfico cartesiano de A x B es:

La primera componente de cada

elemento del producto cartesiano es la

abscisa

La segunda componente de cada

elemento del producto cartesiano es la

ordenada

27

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R –1 x 1 } B = R

28

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R 2 x < 5 }B = { x / x R 1 < x 3}

29

Relación entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados

de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

30

Relación entre elementos de conjuntos Se llama relación entre los conjuntos A y B a un

subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par

ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

31

Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los

elementos de A con los de B

b está relacionado

con 1

3 es el correspondiente

de d

32

Conjuntos de salida y de llegada de un relación A es el conjunto de salida y B es el conjunto

de llegada

33

Dominio de una relación

Dom(R) = x / xA (x,y) R

Dom(R) = {b, c, d}

34

Imagen de una relación

Im(R) = y / yB (x,y) R

Im(R) = {1, 3, 4}

35

Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y

significa que (x,y) R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R.

Ej: b R 1 porque (b,1) R

36

Relación definida en un conjunto Cuando los conjuntos de partida y de llegada

de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A.

Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A

37

Relación definida en un conjunto Ejemplo:

Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el

par (Ana,Luis) R. Note que los pares que verifiquen R son un

subconjunto de H x H.

38

Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y

R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos

Los vértices del grafo son los

elementos A y las aristas dirigidas representan los elementos de R

39

Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y

R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación y 0 que no hay relación

40

Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto Si establecemos una relación entre los elementos

de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación

Propiedad reflexiva

Propiedad simétrica

Propiedad asimétrica

Propiedad antisimétrica

Propiedad transitiva

41

Propiedad reflexiva La propiedad reflexiva dice que todos los elementos

de un conjunto están relacionados con si mismo

R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R

42

Propiedad simétrica La propiedad simétrica dice que si un elemento está

relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero

R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R

43

Propiedad Simétrica

Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes

relaciones en A2 son simétricas

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

44

Propiedad asimétrica Una relación es asimétrica si ningún par

ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

45

Propiedad antisimétrica Una relación es

antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

46

Propiedad antisimétrica

Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes

relaciones en A2 son antisimétricas

R = {(2, 2), (4, 4)}

S = {(2, 4)}

T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

47

Propiedad transitiva La propiedad transitiva dice que si un elemento está

relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.

R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R

48

Propiedad transitiva

Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes

relaciones en A2 son transitivas

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

49

Ejercicio

Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones

R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.

R2 = {(1, 1)}.

R3 = {(1, 2)}.

R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

50

Ejercicio

Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}

R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}

Escribir por extensión a R.

51

Casos especiales

Como casos especiales de las relaciones en un conjunto se define:

Relaciones de orden: Permite ordenar los elementos a través de la relación.

Relación de equivalencia: Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

52

Relación de orden La relación de orden es aquella en que los elementos

pueden ordenarse a través de la relación. Ejemplo

53

Relación de Orden

Pueden definirse dos tipos de relación: Relación de orden amplio. Relación de orden estricto.

54

Relación de orden amplio Una relación de orden amplio es aquella

que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

55

Relación de orden amplioEjemplo: R = “… es menor o igual que…”

56

Ejemplo: Indicar si las siguientes relaciones son de orden amplio

Sea A es el conjunto de los naturales y

R = {(x,y) / x,y A ^ “x divide a y”}

Sea A es el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado y

R = {(x,y) / x,y A ^ “x está incluído en y”}

57

Relación de orden estricto Una relación de orden estricto es aquella que

cumple con las propiedades asimétrica y transitiva, y no cumple con la propiedad reflexiva.

58

Relación de orden estrictoEjemplo: R = “… es menor que…”

59

Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los

elementos de un conjunto

60

Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los

elementos de un conjunto mediante su clasificación, determinando una partición del mismo en clases de equivalencia.

Se llama partición de un conjunto A, a todo

conjunto de subconjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, de modo que la unión de

dichos conjuntos formen el conjunto A.

61

Clase de Equivalencia Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto

sobre el que está definida, llamaremos clase de equivalencia del elemento a K, al subconjunto a de K formado por todos los elementos de K que están relacionados con a por R. Esto es:

a = {x / x K ^ a R x }

Así, llamamos

representante de la clase al elemento a y diremos que, si x a, a es equivalente a x

por R

62

Conjunto Cociente Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto

sobre el que está definida, llamaremos conjunto cociente K por R y lo notaremos K/R a la partición de K formada por todas las clases de equivalencia determinadas en K dada R.

Es decir, el conjunto cociente es el conjunto de todas las

clases de equivalencia que se puedan formar con los

elementos de K, dada R.

63

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres

humanos.

R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}

R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo.

R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x".

R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".

64

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres

humanos.

R= {(x, y) / x,y H ^ "x es compatriota de y"}

Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas.

El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias.

H/R es una partición de H.

65

Ejercicio

¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?

R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},

donde S = {a / a es cualquier persona}

S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.