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Programación de aula de Matemáticas II 2.º Bachillerato

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MATEMÁTICAS II

A la hora de proceder a estructurar en unidades didácticas, la distribución y la concreción de obje-tivos, contenidos y criterios de evaluación para cada uno de los cursos, la editorial Guadiel ha apli-cado una serie de criterios, de manera que permitan una enseñanza integrada. Así, las secuencias de aprendizaje están organizadas según los siguientes criterios:

Adecuación. Todo contenido de aprendizaje está íntimamente ligado a los conocimientos previos del alumno/a.

Continuidad. Los contenidos se van asumiendo a lo largo de un curso, ciclo o etapa.

Progresión. El estudio en forma helicoidal de un contenido facilita la progresión. Los contenidos, una vez asimilados, son retomados constantemente a lo largo del proceso educativo, para que no sean olvidados. Unas veces se cambia su tipología (por ejemplo, si se han estudiado como proced-imientos, se retoman como valores); otras veces se retoman como contenidos interdisciplinarios en otras materias.

Interdisciplinariedad. Esto supone que los contenidos aprendidos en una materia sirven para avan-zar en otras y que los contenidos correspondientes a un eje vertebrador de una materia sirven para aprender los contenidos de otros ejes vertebradores de la propia materia, es decir, que permiten dar unidad al aprendizaje entre diversas materias.

Priorización. Se parte siempre de un contenido que actúa como eje organizador y, en torno a él, se van integrando otros contenidos.

Integración y equilibrio. Los contenidos seleccionados deben cubrir todas las capacidades que se enuncian en los objetivos y los criterios de evaluación. Asimismo, se busca la armonía y el equilib-rio en el tratamiento de conceptos, procedimientos y valores. También, deben trabajarse los valores transversales.

Contextualización. Presentar los contenidos en contextos reales contribuye a enriquecer el propio contenido y facilita la construcción de aprendizajes significativos. Por ello, siempre que ha sido posible, se han identificado entornos cercanos relacionados con los conceptos que se introducen para poder profundizar sobre ellos de una manera más natural y fluida.

Aplicación de las TIC. En consonancia con la realidad cotidiana de uso de la red, en todas las unidades se proponen enlaces a páginas web, para reforzar o ampliar los contenidos tratados, para ejercitarse con la práctica de actividades interactivas o bien para acceder a recursos on line que fa-cilitan el cálculo y/o la resolución de ejercicios diversos. También se propone la utilización de di-versas herramientas informáticas como hojas de cálculo, programas de representación gráfica…



Unidades

Aritmética y álgebra

1. Matrices

2. Determinantes

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Geometría

4. Vectores en el espacio (I)

5. Vectores en el espacio (II)

6. Geometría afín

7. Geometría métrica

8. Curvas y superficies

Análisis

9. Límites

10. Continuidad

11. Derivadas

12. Aplicaciones de las derivadas

13. Integrales y aplicaciones



1. Matrices

Objetivos didácticos

Conocer, representar y clasificar las matrices.

Efectuar operaciones con matrices.

Utilizar las matrices para organizar información, representar relaciones...

Contenidos

Conceptos

Matriz.

Matriz numérica.

Igualdad de matrices.

Matriz cuadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identidad y nula.

Matriz escalonada.

Rango de una matriz escalonada.

Transformaciones elementales.

Matrices equivalentes.

Rango de una matriz.

Matriz suma, matriz diferencia, matriz producto por un número real y matriz producto.

Propiedades de las operaciones con matrices.

Matriz inversa.

Trasposición de matrices y matriz traspuesta.

Grafo y matriz asociada a un grafo.

Procedimientos

Representación de matrices.

Clasificación de matrices según su dimensión y según sus elementos.

Obtención del rango de una matriz.

Obtención de la matriz suma, de la matriz diferencia, de la matriz producto por un número real y de la matriz producto de dos matrices.

Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

Obtención de la matriz traspuesta de una matriz.

Asociación de una matriz a un grafo.



Interpretación de una matriz asociada a un grafo y de su cuadrado.

Utilización de la calculadora para efectuar operaciones con matrices.

Cálculo de la potencia n-ésima de una matriz sencilla.

Valores

Valoración de la utilidad de las matrices como herramienta para organizar información, representar relaciones…

Reconocer la importancia de los algoritmos de cálculo que facilitan el trabajo con matrices.

Actividades de aprendizaje

La primera página de la unidad contiene una imagen acompañada de un texto que nos muestran las aplicaciones de las matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.

Los «Objetivos» detallados en la presentación de la unidad muestran las capacidades que se pretende que el alumno/a desarrolle a lo largo de ésta.

Un esquema muestra la organización de los contenidos de la unidad.

La «Preparación de la unidad» contiene definiciones, ejemplos y actividades con la finalidad de evocar los contenidos necesarios para abordarla.

A lo largo de la unidad, el desarrollo de un contenido suele culminar con uno o varios ejercicios resueltos.

1. Matrices numéricas

Se introduce el concepto de matriz y su nomenclatura asociada: fila, columna, dimensión. A continuación, se indica cómo representar una matriz y sus elementos y se enuncia la característica que deben tener dos matrices para ser iguales.

Se presenta el lenguaje matemático que simplifica la notación y una aplicación de las matrices.

Se clasifican las matrices según su dimensión y sus elementos y se da la definición de cada tipo y un ejemplo.

Se introduce el concepto de rango de una matriz. El procedimiento consiste en:

Presentar varias matrices escalonadas, definir este concepto y el de rango de una matriz escalonada.

Ver que existen una serie de operaciones con las filas de una matriz que permiten transformarla en una matriz escalonada.

Definir el concepto de matrices equivalentes.

Definir el rango de una matriz como el rango de una matriz escalonada equivalente.

Se muestra, mediante dos ejemplos, cómo obtener el rango de una matriz.

2. Operaciones con matrices



Se presentan las operaciones de adición de matrices, multiplicación de una matriz por un número real, multiplicación de matrices y trasposición de matrices.

En la multiplicación de matrices se define el producto de una matriz fila por una matriz columna y, a continuación, se amplía al caso general. Al observar que existe una matriz elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas, se le da el nombre de matriz identidad y se simboliza.

Se introduce la matriz inversa a partir de la matriz identidad. Seguidamente, se explican dos métodos para el cálculo de la matriz inversa: a partir de la definición, planteando un sistema de ecuaciones lineales y por el método de Gauss-Jordan.

Se presenta una operación propia de las matrices, la trasposición, remarcando los elementos de una fila de una matriz y la situación de los mismos elementos en la traspuesta. A continuación, se enuncian las propiedades de la trasposición.

Se introducen dos tipos de matrices, la simétrica y la antisimétrica, en cuya definición interviene la traspuesta de la matriz.

Se propone un enlace a una página web para reforzar de forma interactiva los conceptos tratados acerca de las matrices.

3. Matriz asociada a un grafo

Se presenta una nueva aplicación de las matrices como herramienta para representar una relación entre los elementos de un conjunto.

Se explica el funcionamiento general de una calculadora preparada para trabajar con matrices.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las matrices. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Resolver una ecuación matricial por dos métodos diferentes: mediante el planteamiento de un sistema y utilizando la matriz inversa.

Calcular la potencia n-ésima de una matriz sencilla por el método de inducción completa.

En la «Organización de conocimientos» se presentan de manera esquemática los principales contenidos de la unidad, mostrando la relación que existe entre unos y otros.

En el apartado «Actividades»:

Se presenta una lista de conceptos y procedimientos para que el alumno/a repase los conceptos y los procedimientos básicos de la unidad y pueda afrontar con éxito la resolución de las restantes actividades.

Se plantean varias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno.



Se proponen diversos ejercicios y problemas para que el alumno repase lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución, si ésta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.

Finalmente, se formulan dos actividades cuya resolución requiere la utilización de las TIC.

Actividades de evaluación

La «Propuesta de evaluación» plantea una serie de ejercicios y problemas, del mismo tipo que los de las pruebas de selectividad, para comprobar las capacidades desarrolladas a lo largo de la unidad.

Efectuar diversas operaciones con matrices (suma, resta, producto por un número real, producto y trasposición) y comprobar algunas de las propiedades de las matrices.

Indicar la condición para que exista la matriz inversa de una matriz cuadrada y obtener la matriz inversa de una matriz determinada.

Calcular el rango de una matriz.

Interpretar la matriz asociada a un grafo y escribir la correspondiente a una relación determinada.

Obtener la potencia n-ésima de una matriz.



2. Determinantes


Conocer el concepto de determinante, así como la manera de representarlo y calcularlo.

Obtener el rango de una matriz mediante el cálculo de determinantes.

Aplicar el cálculo de determinantes para hallar la inversa de una matriz.

Contenidos

Conceptos

Determinantes de orden uno, dos y tres.

Regla de Sarrus.

Determinantes de orden n.

Menor complementario y adjunto de un elemento.

Determinante de una matriz.

Propiedades de los determinantes.

Menor de orden k de una matriz.

Procedimientos

Cálculo de determinantes de orden uno, dos y tres mediante su definición.

Cálculo de determinantes de orden tres mediante la regla de Sarrus.

Determinación del menor complementario y del adjunto de un elemento.

Desarrollo de un determinante por filas o por columnas.

Aplicación de las propiedades de los determinantes al cálculo de éstos.

Cálculo de determinantes por el método de Gauss.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes.

Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.

Uso de la calculadora en el cálculo de determinantes.

Valores

Aprecio de los determinantes como instrumento para el cálculo matricial.

Costumbre de considerar todas las estrategias posibles antes de resolver un ejercicio o problema, y de interpretar la solución obtenida.







La «Preparación de la unidad» contiene definiciones y ejemplos con la finalidad de evocar los contenidos necesarios para abordarla.

1. Determinantes de orden uno, dos y tres

Se define el determinante de una matriz como un número asociado y se indica su simbolización.

Se presenta la definición de los determinantes de orden uno, dos y tres. Cada definición se acompaña de un ejemplo concreto y en el caso de orden tres se da también la regla de Sarrus.

2. Determinantes de orden n

Se razona la necesidad de calcular un determinante de orden n a partir del determinante de orden n – 1 y no mediante una fórmula general, excesivamente larga y difícil de recordar.

Se plantea la necesidad de conocer el menor complementario y el adjunto de un elemento de la matriz de orden n y se definen ambos conceptos, primero, para una matriz y un elemento determinados y después, en general.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conceptos del cálculo y las propiedades de los determinantes.

Se pone de manifiesto que la expresión de un determinante de orden tres coincide con la suma de los elementos de la primera columna por sus adjuntos y se establece la definición general por recurrencia.

3. Propiedades de los determinantes y aplicaciones

Se presentan las propiedades de los determinantes y su aplicación al cálculo de determinantes. Para facilitar la notación, se introduce al mismo tiempo la noción de combinación lineal de líneas.

Se presenta un ejemplo en el que la aplicación de estas propiedades permite demostrar, sin necesidad de efectuar cálculos, la anulación de un determinante.

Se presentan las propiedades como un medio para simplificar el cálculo de determinantes.

Se introduce el método de Gauss para el cálculo de determinantes. Primero se demuestra que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal. Así se llegan a enunciar los pasos para calcular un determinante por el método de Gauss.

4. Cálculos con determinantes

Se introduce el cálculo del rango de una matriz mediante determinantes a partir de los siguientes pasos:



Se define el concepto de menor y se muestra, para una matriz concreta, un posible menor de orden uno, otro de orden dos y un tercero de orden tres, indicando en cada caso cómo se obtiene.

Se ejemplifica el procedimiento de orlar un menor partiendo del menor de orden dos obtenido anteriormente.

Se muestra el procedimiento general para obtener el rango de una matriz, enumerando en una tabla sus etapas y ejemplificando cada una de ellas mediante la matriz ya considerada.

Se introduce el método de cálculo de la matriz inversa mediante determinantes a partir de los siguientes pasos:

Se presenta una propiedad que relaciona el producto de una matriz por la matriz de adjuntos de la traspuesta y la matriz inversa.

Se muestra la expresión que permite calcular la matriz inversa a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta.

Se propone un enlace a una página web con algunos ejemplos sobre el cálculo de matrices inversas con determinantes.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los determinantes. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Calcular un determinante de orden n aplicando las propiedades de los determinantes hasta llegar a una matriz triangular.

Calcular el rango de una matriz 3 x 4 dependiente de un parámetro.

Calcular el rango de una matriz 4 x 4, también dependiente de un parámetro.

En la «Organización de conocimientos», se presentan de manera esquemática los principales contenidos de la unidad, mostrando la relación que existe entre unos y otros.










Calcular determinantes de orden uno, dos y tres.

Determinar las condiciones de anulación de un determinante.

Obtener el rango de una matriz por menores.

Determinar la invertibilidad de una matriz a partir de los valores de sus parámetros y calcular la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta.





Aplicar diversos procedimientos (método de Gauss, método de la matriz inversa y regla de Cramer) para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Conocer el teorema de Rouché-Frobenius y aplicarlo para clasificar sistemas de ecuaciones lineales.

Estudiar y resolver sistemas dependientes de un sistema.

Contenidos

Conceptos

Ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Sistemas escalonados.

Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Matriz asociada a un sistema y matriz ampliada asociada a un sistema.

Teorema de Rouché-Frobenius.

Sistemas resolubles por Cramer.

Procedimientos

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Expresión de un sistema en notación matricial.

Resolución de sistemas por el método de Gauss.

Aplicación del método de Gauss para la clasificación de sistemas según sus soluciones.

Resolución de sistemas por la matriz inversa.

Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius para la clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Resolución de sistemas por la regla de Cramer.

Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros utilizando el método de Gauss, el teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.

Resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en

diferentes ámbitos.









1. Ecuaciones lineales

Se presenta la definición de ecuación lineal con n incógnitas y los conceptos asociados: coeficientes, término independiente y solución.

Se identifican estos conceptos definidos en una ecuación concreta.


Se define el sistema de ecuaciones lineales y se introduce su notación usual. Asimismo, se define el concepto de solución de un sistema.

Se presenta la clasificación de los sistemas según sus soluciones, ejemplificándolo en el caso de sistemas con dos incógnitas.

3. Resolución y clasificación de sistemas

Se introduce el método de Gauss para resolver y clasificar sistemas:

Se presenta a partir de un sistema de ecuaciones escalonado que se soluciona por sustitución regresiva.

Se reflexiona que siempre que se encuentre un sistema escalonado equivalente al inicial, puede resolverse con la misma facilidad y se identifica este método como método de Gauss.

Se recuerdan las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente.

Se introducen los conceptos de matriz asociada al sistema y matriz ampliada asociada al sistema, y se resuelve de nuevo el ejemplo anterior utilizando la notación matricial.

Se presentan en forma de tabla los diferentes casos que pueden presentarse al aplicar el método de Gauss, identificándolos con los diferentes tipos de sistemas.

Se propone un enlace a una página web para ampliar de forma interactiva los conceptos tratados acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.

Se introduce la utilización de la matriz inversa como método para resolver sistemas:

Se expresa el sistema en forma matricial y se comprueba que la solución puede hallarse a partir de la matriz inversa suponiendo que la matriz asociada al sistema es regular.

Se ejemplifica con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.



Se presenta el teorema de Rouché-Frobenius como método para clasificar sistemas:

Se enuncia el teorema de Rouché-Frobenius y se muestra, en forma de organigrama, cómo proceder para llegar a la clasificación de un sistema.

Se describe el proceso mediante varios ejemplos resueltos.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conceptos acerca de la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

Se expone la utilización de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones:

Se presenta la regla de Cramer como un método que permite hallar las soluciones del sistema siempre que la matriz asociada al sistema sea regular.

Se presenta la expresión de cada solución.

Se ejemplifica con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Discutir y resolver un sistema de ecuaciones que depende de un parámetro mediante el método de Gauss.

Resolver un problema en el que interviene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

En la «Organización de conocimientos» se presentan de manera esquemática los principales contenidos de la unidad, mostrando la relación que existe entre unos y otros.








Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.



Utilizar el método de Gauss para la clasificación de sistemas de ecuaciones y hallar su solución si existen.

Hallar las soluciones de un sistema utilizando la regla de Cramer

Resolver un sistema mediante la matriz inversa.

Aplicar el teorema de Rouché-Frobenius para discutir un sistema dependiente de un parámetro o de ninguno.

Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones indicando: la elección de las incógnitas, el planteamiento del sistema de ecuaciones, su resolución y la comprobación de las soluciones.



4. Vectores en el espacio (I)


Conocer los conceptos de vector fijo y vector libre en el espacio.

Efectuar operaciones con vectores d el espacio, tanto gráficamente como a partir de sus coordenadas.

Utilizar los vectores para establecer un sistema de referencia en el espacio.

Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos sencillos.

Contenidos

Conceptos

Magnitud escalar y vectorial.

Vector fijo del espacio.

Dirección, módulo y sentido de un vector fijo.

Equipolencia de vectores fijos.

Vector libre del espacio.

Dirección, módulo y sentido de un vector libre.

Operaciones con vectores libres: adición y multiplicación por un número real.

Propiedades de las operaciones con vectores libres.

Combinación lineal de vectores.

Dependencia e independencia lineal de vectores en V3.

Rango de un conjunto de vectores.

Base de V3.

Componentes de un vector en una base.

Sistema de referencia en el espacio.

Coordenadas de un punto del espacio.

Componentes de un vector determinado por dos puntos.

Punto medio de un segmento.

Procedimientos

Realización gráfica de operaciones con vectores en el espacio.

Expresión de un vector de V3 como combinación lineal de otros vectores. En concreto, expresión de un vector de V3 como combinación lineal de tres vectores no nulos y no coplanarios.

Determinación de las componentes de un vector en una base.



Determinación de la dependencia o la independencia de un conjunto de vectores y de su rango.

Realización de operaciones con componentes.

Determinación de la dependencia o la independencia lineal de un conjunto de vectores.

Obtención de las coordenadas de un punto de espacio en un sistema de referencia.

Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.

Obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento y, en general, de los puntos que dividen un segmento en partes iguales.

Cálculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro en función de las coordenadas de los vértices.

Valores

Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y, en general, de problemas de los ámbito científico y tecnológico.


La primera página de la unidad contiene una imagen acompañada de un texto que nos muestran las aplicaciones de las Matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.





1. Vectores

Se recuerda la diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales, poniendo así de manifiesto la necesidad del uso de los vectores.

Se define el concepto de vector fijo y se explica qué se entiende por dirección, módulo y sentido de un vector fijo.

Se da la definición de los vectores fijos equipolentes y la de vector libre para explicar qué son la dirección, el módulo y el sentido de un vector libre.

Se propone un enlace a una página web para repasar de forma interactiva los conocimientos sobre vectores adquiridos en cursos anteriores.

2. Operaciones con vectores libres

Se introducen gráficamente la adición de vectores libres y el producto de un vector libre por un número real.



Se citan las principales propiedades que verifican estas operaciones, observando que el conjunto de los vectores libres del espacio con las dos operaciones definidas tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.

Se define la diferencia de vectores libres del espacio como la suma del vector opuesto y se recuerda la regla del paralelogramo.

Mediante un ejemplo resuelto se demuestra que la adición de vectores libres es una operación bien definida, esto es, que no depende de los representantes elegidos para llevarla a cabo.

Se define el concepto de combinación lineal de vectores de V3 y se presenta el procedimiento para expresar cualquier vector libre del espacio como combinación lineal de tres vectores no nulos y no coplanarios.

Se introducen los conceptos de dependencia e independencia lineal, así como el de rango de un conjunto de vectores libres del espacio.

Se establecen los conceptos de base de V3 y de componentes de un vector en una base. Todos estos conceptos se desarrollan en un ejemplo resuelto.

Se halla la expresión de la suma de dos vectores y del producto de un vector por un número real en componentes.

Se aplican las operaciones con componentes para tratar la determinación de la dependencia o la independencia lineal de un conjunto de vectores y el cálculo del rango de un conjunto de vectores.

Se propone un enlace a una página web para reforzar de forma interactiva los conocimientos sobre vectores en el espacio.

3. Coordenadas de un punto del espacio

Se definen los conceptos de sistema de referencia y de vector posición de un punto.

Se explica el procedimiento que permite asignar unas coordenadas a cada punto del espacio. Un ejemplo ilustra el procedimiento antes citado poniendo de manifiesto que las coordenadas de un punto del espacio dependen del sistema de referencia elegido.

Se muestran dos aplicaciones sencillas del uso de coordenadas para la resolución de problemas geométricos:

El cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.

El cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los vectores. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Hallar la resultante de varias fuerzas.

Demostrar que las componentes de un vector de V3 en una determinada base son únicas.

Dados tres vectores, alguna de cuyas componentes depende de cierto parámetro, hallar los valores de ese parámetro que convierten los tres vectores en linealmente dependientes.



Comprobar que tres vectores dados forman base y hallar las componentes de otro vector en la base formada por los tres primeros.

Dividir un segmento en partes iguales.

Resolver sistemas de ecuaciones vectoriales para hallar las componentes de un vector en una base.

Hallar las coordenadas del baricentro de un tetraedro.









Efectuar operaciones con vectores libres del espacio, tanto gráfica como analíticamente.

Expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.

Averiguar si un conjunto de vectores libres del espacio son linealmente dependientes o independientes.

Averiguar si un conjunto de vectores libres del espacio forman base de V3 y determinar las componentes de otro vector de V3 en la base dada.

Dadas las coordenadas de dos puntos del espacio, hallar el punto medio del segmento, así como las coordenadas de los puntos que dividen dicho segmento en, por ejemplo, tres partes iguales.



5. Vectores en el espacio (II)


Calcular productos escalares, vectoriales y mixtos a partir de su definición y a partir de sus propiedades.

Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos (cálculo de áreas y volúmenes) y físicos (cálculo de trabajos, momentos de inercia...).

Contenidos

Conceptos

Producto escalar de dos vectores libres del espacio.

Significado geométrico de la anulación del producto escalar.

Relación entre el módulo de un vector y el producto escalar de dicho vector por sí mismo.

Base ortogonal y base ortonormal.

Propiedades del producto escalar.

Interpretación geométrica del producto escalar.

Expresión analítica del producto escalar en una base ortonormal.

Producto vectorial de dos vectores libres del espacio.

Propiedades del producto vectorial.

Interpretación geométrica del producto vectorial.

Expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal.

Producto mixto de tres vectores libres del espacio.

Significado geométrico de la anulación del producto mixto.

Propiedades del producto mixto.

Interpretación geométrica del producto mixto.

Expresión analítica del producto mixto en una base ortonormal.

Cosenos directores de un vector en una base ortonormal.

Procedimientos

Cálculo del producto escalar de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal.

Cálculo del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores a partir del producto escalar.

Obtención de un vector perpendicular o paralelo a otro, que tenga un módulo determinado.

Aplicación del producto escalar a la demostración de teoremas geométricos sencillos.

Aplicación del producto escalar a la obtención del trabajo realizado por una fuerza.



Cálculo del producto vectorial de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal.

Obtención de un vector perpendicular a otros dos vectores, que tenga un módulo determinado.

Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de polígonos, especialmente de paralelogramos y triángulos.

Aplicación del producto vectorial al cálculo del momento de una fuerza, del momento cinético y de la fuerza magnética.

Cálculo del producto mixto de tres vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal.

Aplicación del producto mixto al cálculo de volúmenes de poliedros, especialmente paralelepípedos y tetraedros.

Valores

Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y físicos.







1. Producto escalar

Se define el producto escalar de dos vectores libres del espacio, operación ya conocida para dos vectores libres del plano.

Se deducen las condiciones de perpendicularidad de dos vectores libres del espacio no nulos y la expresión del módulo de cualquier vector libre del espacio.

Se definen los conceptos de base ortogonal y de base ortonormal a partir de la perpendicularidad de dos vectores.

Se citan las principales propiedades del producto escalar y se interpreta geométricamente en términos de proyecciones ortogonales.

Se calcula el producto escalar de dos vectores a partir de sus componentes en una base ortonormal, se explica cómo calcular el módulo de cada uno y el ángulo que forman y cómo obtener vectores ortogonales o paralelos a uno dado, de longitud determinada.



Se muestran algunas aplicaciones del producto escalar a la geometría (demostración del teorema de Pitágoras y del teorema que enuncia que cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto) y a la física (cálculo del trabajo realizado por una fuerza).

2. Producto vectorial

Se presenta la definición de producto vectorial de dos vectores libres del espacio y se citan sus principales propiedades.

Se indica la interpretación del producto vectorial de dos vectores libres del espacio como el área del paralelogramo construido sobre ellos.

Se deduce la expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal y aplicación en un ejemplo resuelto.

Se muestran algunas aplicaciones del producto vectorial: obtención de un vector de módulo determinado y perpendicular a dos ya dados, cálculo del área de triángulos y paralelogramos y cálculo de magnitudes físicas (momento de una fuerza, momento cinético y fuerza magnética).

3. Producto mixto

Se define el producto mixto de tres vectores libres del espacio y se enumeran sus principales propiedades. Se observa que tres vectores libres del espacio son linealmente dependientes si, y sólo si, su producto mixto vale 0.

Se indica la interpretación del producto mixto de tres vectores libres del espacio como el volumen del paralelepípedo construido sobre ellos.

Se deduce la expresión analítica del producto mixto en una base ortonormal y se aplica en un ejemplo resuelto.

Se muestran, mediante ejemplos resueltos, algunas aplicaciones del producto mixto: obtención del volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro.

Se propone un enlace a una página web para reforzar de forma interactiva los conocimientos sobre algebra vectorial.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los vectores. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Buscar los ángulos que forma un vector con cada uno de los de la base a partir de los cosenos directores, conociendo sus componentes en dicha base ortonormal.

Efectuar operaciones con vectores y determinar el ángulo que forman dos vectores combinación lineal de otros dos vectores, conocidos sus módulos y el ángulo que forman entre ellos.

Determinar un parámetro del que dependen las componentes de tres vectores para que el volumen del paralelepípedo construido sobre ellos tenga un valor dado y para que los tres vectores sean linealmente dependientes.

Hallar el volumen de un tetraedro determinando previamente una o más coordenadas desconocidas de sus cuatro vértices a partir de las condiciones descritas en el enunciado.







Se proponen varios ejercicios y problemas para que el alumno repase lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución, si ésta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.




Hallar productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores libres del espacio conociendo sus componentes en una base ortonormal.

Calcular los ángulos determinados por dos vectores y averiguar si dos vectores son o no perpendiculares.

Hallar el módulo de un vector y el ángulo entre dos vectores a partir del producto escalar.

Obtener vectores paralelos o perpendiculares a uno dado, de módulo determinado.

Demostrar algún teorema geométrico sencillo usando el producto escalar.

Averiguar si tres vectores son o no linealmente dependientes a partir de su producto mixto.

Enfrentarse a situaciones geométricas diversas, resolubles vectorialmente.



6. Geometría afín


Expresar las rectas y los planos del espacio mediante sus diferentes ecuaciones.

Determinar la posición relativa de dos rectas, de dos planos, de tres planos, de una recta y un plano en el espacio, así como la de rectas y planos respecto de la referencia.

Contenidos

Conceptos

Ecuaciones de una recta en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuaciones continuas y ecuaciones implícitas.

Ecuaciones de un plano en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación general.

Posición relativa de dos rectas en el espacio: coincidentes, paralelas, secantes, que se cruzan.

Posición relativa de dos planos en el espacio: coincidentes, paralelos, secantes.

Haz de planos paralelos y haz de planos secantes.

Posición relativa de tres planos: coincidentes, secantes en una recta, dos coincidentes y secantes al tercero, secantes en un punto, paralelos y distintos dos a dos, dos planos coincidentes y paralelos al tercero, secantes dos a dos, dos planos paralelos y secantes al tercero.

Posición relativa de recta y plano: recta contenida en el plano, recta y plano paralelos, recta y plano secantes.

Posición relativa de rectas y planos respecto de los ejes y los planos de referencia.

Procedimientos

Obtención de la ecuación de una recta dados un vector director y un punto o bien dos puntos.

Obtención de las diferentes formas de expresión de una recta a partir de una ecuación dada.

Identificación de puntos que pertenecen a una recta dada.

Identificación de vectores directores de una recta dada.

Escritura de las ecuaciones de un plano dados un punto y dos vectores linealmente independientes, dos puntos y un vector o bien tres puntos no alineados.

Obtención de las diferentes formas de expresión de un plano a partir de una ecuación dada.

Identificación de puntos y rectas que están incluidos en un determinado plano.

Estudio de la posición relativa de dos rectas si sus ecuaciones vienen dadas en forma implícita o vectorial.

Estudio de la posición relativa de dos y de tres planos a partir de sus ecuaciones generales mediante el análisis de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales correspondiente.



Estudio de la posición relativa de una recta y un plano si sus ecuaciones vienen dadas en forma vectorial o continua.

Discusión de la posición relativa de una recta y un plano mediante el estudio de las soluciones del sistema formado por sus ecuaciones implícitas y general.

Determinación de un plano que contiene un punto y pertenece a un haz de planos secantes.

Determinación de un plano que contiene un punto y es paralelo a otro plano.

Interpretación de las ecuaciones implícitas de la recta como la intersección de dos planos e identificación de la recta como intersección de éstos.

Valores

Valoración de las ventajas que supone la planificación de la resolución de un problema, lo que permite elegir el mejor procedimiento de resolución, y de la importancia de la representación gráfica en geometría.







1. Rectas en el espacio

Se indica que una recta en el espacio queda determinada por un punto y una dirección.

Se considera un sistema de referencia en el que sitúan un punto y un vector director y, a partir de las relaciones observadas en una figura, se obtiene la ecuación vectorial de la recta.

Se aplican transformaciones sencillas a esta ecuación para obtener las restantes ecuaciones de una recta. De forma paralela se desarrolla un ejemplo con una recta concreta, que se expresa, sucesivamente, mediante las distintas ecuaciones de la recta.

En un cuadro del margen, se explica cómo proceder para hallar la ecuación vectorial de la recta a partir de dos puntos.

A partir de ejemplos resueltos, se observa cómo obtener las ecuaciones de una recta, cómo determinar si un punto o un vector pertenecen a una recta, cómo obtener puntos y vectores directores conocidas las ecuaciones de una recta y cómo se transforman unas ecuaciones en las otras.

2. Planos en el espacio



Se indica que un plano en el espacio puede quedar determinado por un punto y dos direcciones diferentes, que pueden venir dadas por dos vectores directores linealmente independientes.

En el margen, se amplía esta información para dar todos los casos posibles en que puede ser determinado un plano.

Se considera un sistema de referencia en el que se sitúan un punto y dos vectores directores y, a partir de las relaciones observadas en una figura, se obtiene la ecuación vectorial del plano.

Se aplican transformaciones a esta ecuación para obtener las restantes ecuaciones de un plano. De forma paralela, se desarrolla un ejemplo con un plano concreto que se expresa, sucesivamente, mediante las distintas ecuaciones del plano.

En el margen, se presenta cómo obtener la ecuación del plano a partir de tres puntos.

Los ejemplos resueltos permiten observar cómo obtener las ecuaciones de un plano, cómo determinar si un punto o un vector director pertenecen a un plano, cómo obtener puntos y vectores directores conocidas las ecuaciones de un plano y cómo se transforman unas ecuaciones en las otras.

3. Posiciones relativas

Se describen la posición relativa de dos rectas, de dos planos, de tres planos y de una recta y un plano.

Cada uno de los casos se desarrolla escribiendo las ecuaciones implícitas de las rectas y/o las ecuaciones generales de los planos, considerando la matriz y la matriz ampliada asociadas al sistema de ecuaciones, hallando los rangos de la matriz y de la matriz ampliada y, a partir de los valores obtenidos, determinando las posiciones relativas.

Se presentan en forma de tabla los rangos y una imagen en la que se aprecian dichas posiciones relativas.

En los casos de dos rectas y de recta y plano, se consideran las ecuaciones vectoriales de ambos y se determina su posición relativa a partir del estudio de la relación de dependencia o independencia lineal de sus vectores directores.

En los casos de posiciones relativas de planos se estudian los haces de planos paralelos y los de planos secantes con ayuda de una imagen.

Se propone un enlace a una página web en la que visualizar las posiciones de tres planos entre sí.

Se desarrollan las características de los planos que pertenecen a un haz de planos secantes a partir de sus ecuaciones generales y, de manera paralela, se resuelve un ejemplo en el que se aplican estos conocimientos y cómo determinar un plano concreto del haz dado dicho haz y un punto del plano.

Uno o más ejemplos permiten observar cómo se aplican estos procedimientos en casos concretos.

Se propone un enlace a una página web con aplicaciones interactivas sobre las posiciones relativas entre elementos.



Por último, se presentan, en dos grandes tablas, las posiciones relativas de algunas rectas y planos respecto de los de referencia.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de la geometría. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Discutir las posiciones relativas de dos rectas, dadas por ecuaciones que contienen un parámetro.

Determinar el plano que contiene una recta y que cumple otra condición, utilizando dos procedimientos diferentes.

Determinar la recta que contiene un punto y corta dos rectas dadas, y la recta que contiene un punto, está situada en el mismo plano que otra recta y es, además, paralela a otro plano.









Escribir las diferentes ecuaciones de una recta determinada por un punto y un vector director o por dos puntos.

Enumerar las diferentes ecuaciones de un plano determinado por un punto y dos vectores directores, por dos puntos y un vector director o por tres puntos.

Hallar la posición relativa de rectas y planos tanto a partir de la discusión del sistema formado por sus ecuaciones implícitas o generales como a partir del análisis de la dependencia de sus vectores directores.

Estudiar la posición relativa de dos elementos del espacio en caso de que sus ecuaciones dependan de un parámetro.



Obtener la ecuación del haz de planos secantes que contiene una recta y la del haz de planos paralelos a uno dado.

Resolver problemas de intersección que puedan plantearse con elementos geométricos del espacio.

Resolver diversos problemas geométricos mediante métodos que incluyen el uso de haces de planos.



7. Geometría métrica


Determinar y calcular el ángulo entre dos elementos del espacio (dos rectas, dos planos, plano y recta).

Conocer y hallar las distancias entre dos elementos del espacio (dos puntos, punto y recta, punto y plano, dos rectas, dos planos, recta y plano).

Resolver diversos problemas métricos.

Contenidos Conceptos

Ángulo entre dos rectas.

Rectas perpendiculares.

Ángulo entre dos planos.

Planos perpendiculares.

Ángulo entre recta y plano.

Recta y plano perpendiculares.

Distancia entre dos puntos.

Distancia de un punto a una recta.

Distancia de un punto a un plano.

Distancia entre dos rectas.

Distancia entre dos planos.

Distancia entre recta y plano.

Plano mediador y plano bisector.

Perpendicular común.

Puntos simétricos respecto de un punto.

Puntos simétricos respecto de una recta.

Puntos simétricos respecto de un plano.

Procedimientos

Cálculo del ángulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano.

Determinación de la perpendicularidad de dos rectas, de dos planos y de una recta y un plano.

Cálculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre dos rectas, entre dos planos y entre recta y plano.

Determinación del plano mediador de un segmento conocidos sus extremos.



Determinación de los planos bisectores de dos planos dados.

Obtención de la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan.

Obtención del punto simétrico a otro punto respecto de un tercer punto, de una recta o de un plano.

Valores

Valoración de la búsqueda y la aplicación de nuevas estrategias para la resolución de problemas geométricos.







1. Ángulos entre elementos del espacio

Se describen las posibles posiciones relativas entre dos rectas y se define el ángulo que forman en cada caso.

Se deduce la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas que se cruzan y se da a entender que la fórmula hallada puede utilizarse, para todas las rectas, sea cual sea su posición relativa. Un ejemplo resuelto permite observar cómo se calcula en la práctica el ángulo entre dos rectas.

Se definen las rectas perpendiculares y cómo determinarlas. Un ejemplo resuelto permite aplicar estos conceptos.

Se utilizan los mismos pasos para el ángulo entre dos planos y para el ángulo entre una recta y un plano. Se describen las posibles posiciones relativas, se define el ángulo que forman en cada caso y se deduce la fórmula para calcular el ángulo que forman dos planos secantes y una recta que corta al plano.

Se definen planos perpendiculares y recta y plano perpendiculares a partir de la definición de ángulo, y se deduce cómo determinarlos.

2. Distancias entre elementos del espacio

Se explica cómo determinar la distancia entre dos puntos, entre un punto y un plano, entre dos rectas, entre dos planos y entre recta y plano a partir del siguiente esquema:

Se define la distancia entre los dos elementos, se enuncian sus propiedades y se ilustra mediante un ejemplo resuelto.



Se diferencian sus posibles posiciones relativas y se determina la distancia en cada caso.

A continuación, se deduce la fórmula para calcular la distancia entre los dos elementos y se demuestra, mediante unos ejemplos, cómo se calcula la distancia buscada.

En el caso del cálculo de la distancia de un punto a un plano, se aprovecha el resultado para hallar la fórmula general de la distancia de un plano al origen de coordenadas.

Además se desarrollan algunos conceptos que complementan los contenidos estudiados (proyección ortogonal de un punto sobre una recta, de un punto sobre un plano, descripción e identificación de las posiciones relativas de dos rectas, de dos planos, condición de paralelismo entre dos planos, entre recta y plano...).

Se propone un enlace a una página web para repasar los conceptos de ángulos y distancias entre elementos del espacio.

3. Resolución de problemas métricos

Se hallan los puntos del espacio que equidistan de los extremos de un segmento y que coinciden con el plano mediador. Un ejemplo resuelto permite observar cómo se calcula en un caso concreto.

Se determinan los puntos que equidistan de dos planos dados, se identifican con sus planos bisectores y se observa su cálculo mediante un ejemplo resuelto.

Se presentan de forma paralela dos procedimientos para hallar la recta perpendicular común a dos rectas dadas, se describen los pasos de los procedimientos y se desarrollan en un ejemplo resuelto.

Se introducen los conceptos de centro de simetría, eje de simetría y plano de simetría para desarrollar los conceptos y los procedimientos de cálculo del punto simétrico de un punto respecto de otro punto, respecto de una recta o respecto de un plano. En un ejemplo resuelto, se observa cómo se calcula el simétrico de un punto respecto de un punto dado, de una recta dada y de un plano dado.

Se propone un enlace a una página web con un resumen de los conceptos aprendidos en la unidad y applets que facilitan la comprobación de los resultados de las actividades.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de la geometría métrica. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Determinar el plano perpendicular a una recta y que pasa por un punto.

Hallar la ecuación de un plano que contiene una recta y que además verifica otra condición.

Calcular los parámetros de las ecuaciones de unas rectas para que cumplan una serie de condiciones.

Hallar la ecuación de la proyección ortogonal de una recta sobre un plano, conocidas las ecuaciones de ambos elementos geométricos.











Calcular el ángulo entre dos rectas y entre dos planos.

Determinar el valor de un parámetro para que un plano y una recta sean paralelos.

Calcular la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre dos rectas, de una recta a un plano y entre dos planos.

Comprobar la posición relativa de dos rectas.

Hallar la ecuación de la perpendicular común a dos rectas.

Escribir las ecuaciones de los planos equidistantes a otro dado.

Resolver problemas métricos que puedan plantearse con elementos geométricos del espacio y sus posiciones relativas.

Determinar el punto simétrico a un punto respecto de una recta.

Hallar la proyección de un punto sobre un plano y determinar su distancia.

Determinar la ecuación de un plano que contiene un punto, y es perpendicular a una recta.



8. Curvas y superficies

Objetivos didácticos Reconocer las curvas más importantes en el plano y en el espacio así como los diferentes

tipos de ecuaciones que los definen.

Identificar las superficies más elementales a partir de sus características principales y de sus ecuaciones.

Utilizar las coordenadas cilíndricas y esféricas en el espacio.

Contenidos

Conceptos

Sistema de coordenadas cartesianas en el plano.

Curvas del plano: curvas algebraicas y curvas trascendentes.

Ecuación implícita, ecuación explícita y ecuaciones paramétricas de una curva del plano en coordenadas cartesianas.

Posiciones relativas de cónicas y rectas. Tangentes y normales a cónicas.

Sistema de coordenadas polares en el plano.

Ecuación polar de una curva del plano: ecuación polar de la recta, de la circunferencia y de otras curvas planas de interés (cónicas y espirales).

Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.

Superficies en el espacio: superficies algebraicas y superficies trascendentes.

Ecuación implícita, ecuación explícita y ecuaciones paramétricas de una superficie en el espacio en coordenadas cartesianas.

Cuádricas: ecuación reducida y principales características.

Curvas en el espacio: curvas planas y curvas alabeadas.

Ecuaciones implícitas, explícitas y paramétricas de una curva en el espacio.

Hélices cilíndricas y hélices cónicas.

Sistema de coordenadas cilíndricas.

Sistema de coordenadas esféricas.

Procedimientos

Determinación de la ecuación implícita de una curva del plano en coordenadas cartesianas a partir de las ecuaciones paramétricas y viceversa.

Determinación de posiciones relativas entre cónicas y rectas en el plano.

Cálculo de la tangente a una cónica por un punto dado y de la normal a la tangente en dicho punto.



Obtención de las coordenadas polares de un punto del plano a partir de sus coordenadas cartesianas y viceversa.

Determinación de la ecuación polar de una curva del plano a partir de su ecuación implícita en coordenadas cartesianas y viceversa.

Obtención de las coordenadas cilíndricas o esféricas de un punto del espacio a partir de sus coordenadas cartesianas y viceversa.

Valores

Conveniencia del uso de coordenadas adecuadas para obtener ecuaciones de curvas y superficies que faciliten su manejo.

Valoración del uso de coordenadas polares en el plano, y de cilíndricas y esféricas en el espacio, al manipular algunas curvas y superficies.

Valoración de la utilidad de las curvas y superficies en la resolución de problemas de aplicación a otras áreas.


La primera página de la unidad contiene una imagen acompañada de un texto que nos muestran las aplicaciones de las Matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.





1. Curvas en el plano en coordenadas cartesianas

Se recuerda qué es un sistema de coordenadas cartesianas en el plano y cómo asignar coordenadas cartesianas a cada uno de los puntos.

Se introduce la noción de curva del plano a partir de tres ejemplos: recta, circunferencia y sinusoide. Se observa que las curvas del plano son conjuntos de puntos cuyas coordenadas cartesianas verifican una ecuación del tipo F (x, y) = 0, llamada ecuación implícita de la curva del plano.

En el margen, puede leerse una clasificación de las curvas del plano en algebraicas y trascendentes.

Se habla de otra forma de determinar una curva en el plano, distintas de la ecuación implícita: la ecuación explícita.

Se introducen las ecuaciones paramétricas y se demuestra, mediante un ejemplo, que no son únicas.



Se explica el procedimiento que debe seguirse para obtener la ecuación implícita de una curva del plano a partir de sus ecuaciones paramétricas en dos situaciones concretas.

Seguidamente, se muestra un procedimiento para obtener las ecuaciones paramétricas a partir de la ecuación implícita en el caso de una circunferencia centrada en el origen de radio r y de las definiciones de seno y coseno.

Se ilustra en una tabla la ecuación implícita y las ecuaciones paramétricas más utilizadas de algunas curvas en el plano así como el significado del parámetro elegido.

Se presentan las distintas posiciones relativas de una recta respecto a un cónica y se explica el procedimiento para hallar la ecuación de una recta tangente a un cónica que pase por un punto dado y la perpendicular a dicha tangente.

Se propone un enlace a una página web para ampliar los conocimientos sobre las cónicas.

2. Curvas en el plano en coordenadas polares

Se explica qué es un sistema de coordenadas polares en el plano y cómo asignar coordenadas polares a cada uno de los puntos.

En una tabla se muestra la relación existente entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares de un mismo punto. Se dan los procedimientos para pasar de coordenadas polares a cartesianas y viceversa.

Se da el concepto de ecuación polar de una curva en el plano. A partir de las relaciones existentes entre coordenadas cartesianas y polares, se explica cómo obtener la ecuación polar de una curva del plano, conocida su ecuación implícita cartesiana, y viceversa.

Se obtiene la forma general de la ecuación polar de la recta y la circunferencia a partir de sus ecuaciones implícitas y se considera el caso en que se toma el sistema de referencia con origen en la recta o en el centro de la circunferencia, respectivamente.

En una tabla se muestran la representación gráfica y la ecuación polar de diferentes curvas de interés en algunos campos científico-tecnológicos (elipse, hipérbola, parábola, espiral de Arquímedes, espiral logarítmica y espiral hiperbólica), especificándose el sistema de referencia escogido.

Se propone un enlace a una página web con aplicaciones interactivas de refuerzo acerca de las curvas en el plano.

3. Superficies en el espacio en coordenadas cartesianas

Se recuerda qué es un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio, y cómo asignar coordenadas cartesianas a cada uno de los puntos.

Se introduce la noción de superficie del espacio a partir del plano. Se observa que el conjunto de puntos del espacio que forman una superficie cumple una ecuación del tipo F (x, y, z) = 0, llamada ecuación implícita de la superficie. En el margen, se explica qué es la ecuación explícita de una superficie.

Se clasifican las superficies en algebraicas y trascendentes, y se citan las cuádricas como ejemplos típicos de superficies del espacio. En un ejemplo se demuestra que la esfera es una



cuádrica y se da la forma general de su ecuación en función de su radio y de las coordenadas de su centro.

Se explica qué son las ecuaciones paramétricas de una superficie y se da la forma general de las ecuaciones paramétricas de la esfera. Se muestra un procedimiento para obtener una parametrización de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio r a partir de la ecuación implícita.

Se consideran los principales tipos de cuádrica y se muestra, de cada uno de ellos, su representación gráfica, su ecuación reducida y sus principales características.

4. Curvas en el espacio en coordenadas cartesianas

Se introduce la noción de curva del espacio. Se clasifican las curvas del espacio en planas y alabeadas.

Se introduce la definición de ecuaciones implícitas y explícitas en coordenadas cartesianas de curvas en el espacio en general.

Se da otra forma de caracterizar las curvas del espacio, las ecuaciones paramétricas, y se observa su interpretación física.

Se describen en una tabla los dos tipos de curvas alabeadas más importantes (las hélices cilíndricas y las hélices cónicas), dando también su interpretación física.

5. Coordenadas no cartesianas en el espacio

Se presentan dos tipos de sistemas de coordenadas no cartesianas del espacio: sistema de coordenadas cilíndricas y de coordenadas esféricas.

Se define qué es un sistema de coordenadas cilíndricas y cómo asignarlas a un punto cualquiera del espacio. Se explican en una tabla los procedimientos para pasar de coordenadas cilíndricas a cartesianas y de cartesianas a cilíndricas, acompañados de sendos ejemplos.

Se define qué es un sistema de coordenadas esféricas y cómo asignarlas a un punto cualquiera del espacio. Se explican en una tabla los procedimientos para pasar de coordenadas esféricas a cartesianas y de cartesianas a esféricas, acompañados de sendos ejemplos.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las curvas y las superficies. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Hallar la ecuación polar de una cónica, conociendo su ecuación implícita cartesiana.

Dado un cuerpo celeste que gira alrededor de otro describiendo una órbita elíptica de foco el segundo cuerpo, calcular las distancias mínima y máxima entre ambos cuerpos.

Dadas las ecuaciones implícitas cartesianas de un plano y una esfera, en la que alguna viene dada en función de un parámetro, determinar su posición relativa en función de ese parámetro y hallar el radio de la circunferencia intersección cuando sean secantes.

Identificar cuádricas a partir de su ecuación implícita cartesiana.

Demostrar que una curva del espacio, descrita a partir de sus ecuaciones paramétricas, está contenida en determinada superficie del espacio.



Determinar la longitud de una espira de una hélice cilíndrica a partir de sus ecuaciones paramétricas.









Deducir la ecuación implícita, la ecuación explícita y unas ecuaciones paramétricas de curvas del plano y saber pasar de unas a otras.

Determinar la posición relativa de una circunferencia respecto de una recta y de otra circunferencia.

Identificar cónicas a partir de sus ecuaciones y hallar los elementos característicos de cada una de ellas.

Expresar puntos del plano expresados en coordenadas cartesianas en coordenadas polares y viceversa.

Hallar las coordenadas cilíndricas y esféricas de puntos expresados en coordenadas cartesianas.

Reconocer si un punto pertenece a una curva expresada en ecuaciones paramétricas.

Obtener la ecuación implícita de superficies del espacio a partir de las ecuaciones paramétricas.

Determinar el centro y el radio de una esfera conociendo alguna de las ecuaciones que la determinan.

Determinar la ecuación de un plano tangente a una esfera en un punto.

Hallar un punto perteneciente a una esfera y hallar el diametralmente opuesto.



Aplicar los conceptos de posición relativa de curvas a problemas de trayectorias.



9. Límites


Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.

Calcular y efectuar operaciones con límites.

Reconocer los distintos tipos de indeterminación y resolver algunos casos.

Determinar gráficamente y algebraicamente las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.

Contenidos

Conceptos

Límite finito de una función en un punto.

Límites laterales finitos de una función en un punto.

Límite infinito de una función en un punto.

Límites laterales infinitos de una función en un punto.

Límite finito de una función en el infinito.

Límite infinito de una función en el infinito.

Propiedades de los límites.

Operaciones con límites.

Indeterminación.

Tipos de indeterminación.

Asíntotas verticales de una función.

Asíntotas horizontales de una función.

Asíntotas oblicuas de una función.

Procedimientos

Cálculo de límites de funciones en un punto mediante tablas de valores.

Cálculo de límites de funciones en un punto a partir de su gráfica.

Cálculo de límites de funciones en un punto utilizando las propiedades adecuadas.

Cálculo de límites en un punto de funciones definidas a trozos.

Cálculo sistemático de límites infinitos de funciones racionales en un punto.

Cálculo de límites de funciones en el infinito mediante tablas de valores.

Cálculo sistemático de límites de funciones en el infinito.

Resolución de indeterminaciones.



Obtención de las asíntotas verticales de una función.

Obtención de las asíntotas horizontales de una función.

Obtención de las asíntotas oblicuas de una función.

Valores

Valoración de la utilidad del cálculo de límites en el estudio de funciones.

Aprecio del valor que tienen los límites de funciones para resolver problemas de índole real.







1. Límites de funciones

Se introduce el concepto de límite finito de una función en un punto mediante la observación de una tabla de valores y de la gráfica de una determinada función en el entorno de un punto concreto, para llegar a la definición formal de límite.

Se explica el concepto de límites laterales de una función en un punto primero intuitivamente y después formalmente, y se establece la relación existente entre el límite y los límites laterales.

Se introduce el concepto de límite infinito de una función en un punto; se concluye la explicación proponiendo la definición formal de límite infinito de una función en el infinito.

Se introducen unas observaciones generales para poder calcular este tipo de límites y se muestra la manera de resolver la cuestión en algunos casos sencillos, poniendo de manifiesto que en ocasiones hay que considerar la lateralidad de los límites.

Se introduce el concepto de límite finito en el infinito observando sucesivas aproximaciones.

Se presentan varios gráficos que ilustren las tendencias aproximativas de las secuencias numéricas que se presentan.

Se propone, posteriormente, la definición formal de límite finito de una función en el infinito.

Utilizando un procedimiento análogo al anterior, se introduce el concepto de límite infinito de una función en el infinito, completando la explicación teórica con los correspondientes gráficos y la definición formal de límite infinito de una función en el infinito.

2. Características



Se dan algunas propiedades de los límites funcionales que nos permitirán el cálculo sistemático de límites.

En forma de tabla se da la fórmula, acompañada de un ejemplo, para el cálculo del límite de funciones polinómicas y racionales en un punto y en forma de ejemplos se calcula sistemáticamente el límite de otras funciones, en particular el límite de las funciones definidas a trozos.

Se hace notar que las propiedades de los límites se siguen verificando si alguna de las funciones tiene límite infinito o bien cuando se trata de límites en el infinito y se resumen, en forma de tabla, los diferentes casos determinados que pueden aparecer cuando operamos con límites.

3. Indeterminaciones

Se explica que al operar con límites finitos o infinitos, pueden aparecer casos de indeterminación y se indican los tipos de indeterminación que pueden surgir.

Se muestra cómo resolver los diferentes tipos de indeterminación, a excepción de dos de los tipos que, como se indica, se tratarán más adelante.

En el margen, se da el concepto de infinitésimos equivalentes mostrando los casos de equivalencia en el cero más típicos y explicando la utilidad de este concepto a la hora de resolver indeterminaciones y se propone un enlace a una página web en la que se explica la comparación de órdenes de infinito.

Se propone un enlace a una página web para reforzar el método de resolución de indeterminaciones.

4. Aplicaciones de los límites: asíntotas de una función

Se presentan los tres tipos de asíntotas a partir de la observación de la gráfica de una función.

A continuación, se da la definición formal de cada uno de los tipos de asíntotas.

En el caso de las asíntotas oblicuas se obtiene una fórmula que permite el cálculo sistemático de las citadas asíntotas.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los límites. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Aplicación de las definiciones formales de límite finito de una función en un punto.

Aplicación de las definiciones formales de límite finito de una función en el infinito.

Resolución de indeterminaciones en las que aparecen expresiones con radicales.

Resolución de indeterminaciones del tipo uno elevado a infinito cuando la variable tiende a un número real.

Obtención de parámetros que hagan que el límite de una función en un punto tenga un valor concreto.



Obtención de parámetros que hagan que las asíntotas de una función sean unas rectas determinadas.








La «Propuesta de evaluación» plantea una serie de ejercicios y problemas, del mismo tipo que los de las pruebas de selectividad para comprobar las capacidades desarrolladas a lo largo de la unidad.

Calcular sistemáticamente límites de funciones polinómicas y racionales, así como también de funciones obtenidas a partir de operaciones con otras funciones.

Calcular diversos tipos de límites de funciones a trozos así como hallar el valor de un parámetro para que el límite exista.

Resolver diferentes tipos de indeterminación.

Hallar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones a partir de la expresión analítica y de su representación gráfica.



10. Continuidad


Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.

Reconocer y clasificar los puntos en los que una función presenta una discontinuidad.

Conocer los teoremas más elementales relacionados con la continuidad.

Contenidos

Conceptos

Continuidad de una función en un punto.

Continuidad lateral de una función en un punto.

Continuidad de una función en un intervalo.

Discontinuidad de una función en un punto.

Tipos de discontinuidades.

Propiedades de las funciones continuas.

Continuidad de las funciones elementales.

Teorema de conservación del signo.

Teorema de Bolzano.

Teorema de los valores intermedios.

Teorema de Weierstrass.

Procedimientos

Comprobación de la continuidad o no de una función en un punto a partir de las tres condiciones de continuidad.

Comprobación de la continuidad de una función en un punto mediante la definición de límite.

Estudio de la continuidad lateral de una función en un punto.

Estudio de la continuidad de una función en un intervalo.

Determinación y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función.

Estudio de la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.

Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero en un intervalo dado y obtención de dicho cero con un determinado error.

Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero o si una ecuación tiene una solución real en un intervalo dado, así como su determinación con una cierta precisión.



Aplicación del teorema de los valores intermedios para comprobar si una función toma determinado valor en un intervalo dado, así como la obtención del punto del intervalo para el cual toma dicho valor.

Valores

Aprecio de la importancia de la continuidad para el estudio de las funciones.

Valoración de la continuidad para el estudio del comportamiento que siguen muchos fenómenos de la naturaleza.







1. Continuidad de una función en un punto

Se introduce la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto a partir de la observación de la gráfica de diversas funciones.

Se da la definición formal de continuidad en un punto aprovechándola para introducir la definición de función discontinua en un punto, y se comprueba la continuidad de una función en un punto.

Se observa que en la tercera condición de continuidad se resumen las anteriores, por lo que puede decirse que una función es continua en un punto si verifica dicha condición.

Se formaliza el concepto de continuidad usando la definición de límite.

Se introduce el concepto de continuidad lateral de una función en un punto y se observa la relación que existe con la continuidad de la función en dicho punto.

Se define la continuidad en un intervalo.

Se presenta una tabla con la clasificación de los diferentes tipos de discontinuidades, ilustrando cada uno de los casos y observando las condiciones de continuidad que se verifican y las que dejan de verificarse en cada situación.

Se observa que si la función presenta una discontinuidad evitable en un punto, puede definirse una nueva función y evitar la discontinuidad en este punto.

Se propone un esquema del proceso que debe seguirse para clasificar discontinuidades y se ilustra con tres ejemplos.



Se propone un enlace a una página web para repasar los conceptos relacionados con la continuidad de funciones.

2. Propiedades de las funciones continuas

Se obtienen algunas de las propiedades de las funciones continuas como consecuencia de las propiedades de los límites.

Se comprueba la continuidad en su dominio de algunas de las funciones elementales (potenciales, polinómicas, racionales e irracionales).

Se presentan en una tabla otras funciones elementales (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas), observando a partir de su gráfica que son continuas en todo su dominio.

3. Teoremas relativos a la continuidad

Se enuncia el teorema de conservación del signo y su justificación a partir de la observación de la gráfica de una función continua.

Se enuncia el teorema de Bolzano. Se muestra, mediante dos ejemplos, la utilidad de este teorema para la determinación de ceros de funciones y raíces de ecuaciones.

Se enuncia el teorema de los valores intermedios y se muestra, mediante un ejemplo, su aplicación para ver que una función toma un valor determinado en un intervalo.

Se enuncia el teorema de Weierstrass, se justifica de manera intuitiva y se observan tres consecuencias de este teorema.

Se propone un enlace a una página web para reforzar el aprendizaje de los teoremas relativos a la continuidad.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de la continuidad de una función. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para que sea continua en un punto o bien continua en todo su dominio.

Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para que ésta presente una discontinuidad evitable en un punto o bien una discontinuidad.

Aplicación del teorema de Bolzano para probar que las gráficas de dos funciones se cortan en algún punto y la determinación de éste en un intervalo de cierta amplitud.

Aplicación del teorema de Bolzano para obtener la aproximación de una raíz cúbica con un error determinado.











Estudiar la continuidad de una función.

Hallar los puntos de discontinuidad de una función y determinar el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de ellos.

Calcular el valor del parámetro que hace que una función sea continua en un punto.

Determinar la existencia de ceros de funciones y de raíces de ecuaciones, y obtener estos ceros y raíces con un error determinado utilizando el teorema de Bolzano.

Probar que una función toma un determinado valor en un intervalo dado y calcular el punto de este intervalo en el que la función toma dicho valor utilizando el teorema de los valores intermedios.

Analizar, teniendo en cuenta la continuidad de las funciones elementales, la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.



11. Derivadas


Conocer los conceptos de tasa de variación media y tasa de variación instantánea, y aplicarlos en problemas geométricos y físicos.

Calcular la función derivada de múltiples funciones a partir de las derivadas elementales y utilizando las reglas de derivación.

Conocer y aplicar el concepto de la diferencial de una función.

Contenidos

Conceptos

Tasa de variación media de una función.

Derivada de una función en un punto.

Derivadas laterales.

Función derivada.

Derivadas de orden superior.

Derivada de funciones elementales.

Función derivada y operaciones.

Derivación logarítmica.

Derivación implícita.

Diferencial de una función.

Procedimientos

Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

Identificación de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos.

Determinación de la velocidad media de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Obtención de la derivada de una función en un punto.

Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Determinación de la velocidad instantánea de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.

Identificación de puntos angulosos, de retroceso o de inflexión con tangente vertical.

Cálculo de derivadas de orden superior a partir de la definición formal.

Obtención de derivadas de funciones elementales.



Cálculo de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la función producto y de la función cociente.

Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta.

Determinación de la derivada de funciones inversas.

Obtención de derivadas de funciones del tipo exponencial-potencial por derivación logarítmica.

Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma implícita.

Obtención de valores aproximados de funciones utilizando el concepto de diferencial de una función.

Valores

Importancia de la derivabilidad para el estudio de las funciones.

Valoración de los procesos deductivos como instrumento básico en el trabajo matemático.

Reconocimiento de la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instrumento en el campo científico.







1. Tasa de variación media

Se introduce el concepto de tasa de variación media de una función en varios intervalos mediante una función que relaciona la temperatura y la profundidad en el interior de la Tierra para establecer lo rápido que varía una función en un intervalo.

Se propone la definición formal de tasa de variación media de una función en un intervalo.

Se da la interpretación geométrica de la TVM y se observa que dicha tasa coincide con la pendiente de la recta secante a la curva por los puntos que limitan el intervalo estudiado.

Se postula de una manera rigurosa la interpretación geométrica de la tasa de variación media.

2. Derivada de una función en un punto

Se calcula el límite de la TVM cuando el intervalo considerado tiende a cero y se formula de manera rigurosa la definición de derivada de una función en un punto dado.



Se propone un enlace a una página web con una aplicación interactiva que permite profundizar en la idea gráfica de la derivada de una función en un punto.

Se explica que si el intervalo en el que se considera la variación de una función se reduce a un punto, la tasa de variación instantánea correspondiente coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Se utiliza este resultado para obtener la ecuación punto-pendiente de la recta tangente a la función en un punto.

Se introduce el concepto de derivadas laterales de una función en un punto y se observa la relación que existe con la derivabilidad de la función en dicho punto a partir de la relación existente entre límites laterales y límite de una función en un punto.

Se propone un enlace a una página web con una aplicación interactiva que permite analizar los puntos de no derivabilidad de una función.

3. Función derivada

Se introduce el concepto de función derivada a partir de la derivada de la función en un punto.

Se define la función derivada segunda de una función de forma análoga a cómo se define función derivada y se comenta que, reiterando el proceso, pueden definirse todas las derivadas de orden superior.

Se deducen las fórmulas de las derivadas de funciones elementales (constante, potencial, logarítmica y seno).

Se obtienen las reglas para derivar las funciones suma, producto, cociente y compuesta, y se aplican las fórmulas obtenidas para derivar funciones concretas.

Se estudia la derivación de funciones inversas a partir de la definición de función y la regla de la cadena.

Se explica el método de derivación logarítmica presentando en una tabla el procedimiento para obtener la derivada de una función exponencial-potencial y un ejemplo, y se observa que, para poder aplicar este método de derivación, la función exponencial-potencial considerada ha de ser estrictamente positiva.

Se concreta para obtener la derivada de una función dada en forma implícita y que no puede expresarse explícitamente.

Se propone un enlace a una página web para repasar el cálculo de derivadas.

4. Diferencial de una función

Se introduce la notación de incrementos para la derivada de una función en un punto y, con ayuda de una interpretación gráfica de la situación, se obtiene una aproximación de la variación de la función a partir de la derivada de la función en un punto y el incremento de la variable considerado desde dicho punto.

Se demuestra cómo esta aproximación puede utilizarse para calcular valores aproximados de la función.



Se recogen, en forma de tabla, las principales derivadas de funciones simples y funciones compuestas.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las derivadas. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Obtener la fórmula de una derivada utilizando el método de inducción.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función dada implícitamente.

Comprobar la regla de derivación del producto de dos funciones a partir del método de derivación logarítmica.

Calcular la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal a la gráfica de una función, así como los puntos en los que la recta tangente es paralela a una recta dada.

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de una función, y comprobar los resultados obtenidos a partir de la gráfica de la función.









Determinar la pendiente de la recta secante de una función entre dos puntos.

Determinar la ecuación de la recta tangente de una función en un punto.

Calcular el valor de un parámetro de una función conocidas las condiciones de tangencia.

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de una función.

Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.



Aplicar el método de derivación de la función inversa o bien logarítmica en algún caso concreto.

Hallar la derivada segunda de una función.

12. Aplicaciones de las derivadas


Aplicar las derivadas al estudio del crecimiento y la curvatura de una función, y efectuar su representación gráfica.

Conocer los principales teoremas de diferenciación y algunas de sus aplicaciones (determinación de raíces, resolución de indeterminaciones).

Resolver problemas de optimización de funciones.

Contenidos

Conceptos

Relación entre crecimiento (decrecimiento) de una función en un punto y el signo de la derivada.

Extremos relativos.

Relación entre la curvatura (convexidad/concavidad) de una función en un punto y el signo de la derivada segunda.

Puntos de inflexión.

Teorema de Rolle y del valor medio de Lagrange.

Regla de L’Hôpital.

Optimización de funciones.

Procedimientos

Uso de la derivada primera de una función para estudiar la monotonía de una función en un punto o en un intervalo.

Determinación de los extremos relativos de una función.

Utilización de la derivada segunda de una función para estudiar la curvatura de una función, en un punto o en un intervalo.

Determinación de los puntos de inflexión de una función.

Organización mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una función.

Representación gráfica de una función a partir de los aspectos esenciales de su análisis.

Utilización de la calculadora gráfica para la representación gráfica de funciones.



Aplicación del teorema de Rolle para comprobar si la derivada de una función tiene un cero en un intervalo dado y obtención de dicho cero.

Aplicación del teorema de Lagrange para hallar el punto o los puntos en que la recta tangente a la función tiene una pendiente determinada.

Utilización de la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones.

Planteamiento y resolución de problemas de optimización.

Valores

Sistematización y orden en la presentación de datos para la representación gráfica de una función.

Interés por contrastar las soluciones obtenidas con los datos iniciales.

Aprecio del valor que tiene el estudio de funciones y la optimización de funciones para resolver problemas de índole real.







1. Derivada y monotonía de una función

Se define la derivada de una función en un punto obteniendo a partir de ésta las condiciones que ha de cumplir la función para que sea estrictamente creciente o decreciente en un punto.

Se justifica la condición de existencia de extremos relativo. Se observa a partir de un ejemplo concreto que esta condición es necesaria pero no suficiente.

Se define el tipo de extremo en función del signo de la derivada segunda.

El estudio de extremos relativos se completa mostrando los diferentes comportamientos de las pendientes de las rectas tangentes en un entorno de un extremo relativo, dependiendo del tipo del extremo relativo que consideremos.

Se establece el criterio para encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Se muestra cómo calcular estos intervalos de monotonía de una función mediante dos procedimientos, uno de cálculo de intervalos de igual signo de la función derivada primera mediante inecuaciones y otro más general para obtener estos intervalos sin tener que recurrir a la resolución de inecuaciones.



Se comenta que este procedimiento permitirá también determinar los puntos extremos de la función en caso de que la función sea continua.

En el margen, se explica cómo utilizar la calculadora gráfica para obtener la gráfica de una función.

2. Derivada y curvatura de una función

Se definen los conceptos de convexidad y concavidad en un punto a partir de las posiciones relativas entre la gráfica de la función y la recta tangente a ésta en dicho punto.

Se razonan intuitivamente las condiciones que ha de cumplir la derivada segunda de la función en un punto para que la función sea cóncava o convexa.

Se presenta el concepto de punto de inflexión de una función y se justifica la condición de existencia de éste. A partir de un ejemplo, se observa que aunque esta condición es necesaria no es suficiente. A continuación, se da una condición suficiente de punto de inflexión.

Se generaliza la determinación de extremos relativos o puntos de inflexión cuando se anulan derivadas sucesivas. En el margen, se resume a modo de esquema cómo proceder para saber si un punto es un extremo relativo o de inflexión.

Se establece el criterio para hallar intervalos de convexidad y concavidad de una función. Se muestra cómo calcular estos intervalos de monotonía de una función mediante el procedimiento de cálculo de intervalos de igual signo de la función derivada segunda y mediante un procedimiento más general que se ejemplifica en un caso concreto.

Se observa que este procedimiento permite también determinar los puntos de inflexión de la función si es continua.

3. Representación gráfica de funciones

Se analizan los siguientes aspectos: dominio, puntos de corte con los ejes, signo, simetría y periodicidad, asíntotas y ramas infinitas, intervalos de monotonía y extremos relativos, intervalos de curvatura y puntos de inflexión.

Se propone un enlace a una página web con un esquema que expone los pasos que hay que seguir para elaborar el estudio gráfico de una función.

Se explica el procedimiento para diseñar el gráfico de una función y se muestran dos ejemplos en los que se lleva a la práctica el proceso descrito, evitando cálculos excesivos.

4. Teoremas sobre funciones derivables

Se enuncia el teorema de Rolle y se da su demostración. A continuación, se interpreta geométricamente y se aplica en un ejemplo concreto.

Se enuncia el teorema del valor medio de Lagrange y se demuestra a partir del teorema de Rolle. Se interpreta geométricamente y se aplica en un ejemplo.

Se enuncia la regla de L’Hôpital y se resalta su utilidad para el cálculo de límites cuando aparecen las indeterminaciones 0/0 e infinito partido por infinito, ya que se explica cómo reducir los otros tipos a estos dos.

Se aplica esta regla en siete tipos de indeterminación: 0/0, infinito partido por infinito, 0 por infinito, infinito menos infinito, infinito elevado a 0, 0 elevado a 0 y 1 elevado a infinito.



Se propone un enlace a una página web para ampliar los conocimientos acerca de la regla de L’Hôpital.

5. Optimización de funciones

Se comenta la utilidad del cálculo de extremos relativos, no sólo en problemas en ámbitos más generales cuyas situaciones se representan mediante funciones.

Se enumeran los pasos que deben seguirse para la resolución de un problema de optimización.

Se resuelven problemas del ámbito aritmético, geométrico y físico.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las aplicaciones de las derivadas. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Determinar una función polinómica de la que se conoce algún extremo relativo y punto de inflexión.

Comprobar que una ecuación polinómica presenta una única raíz en un intervalo dado.

Determinar la gráfica aproximada de una función a partir del gráfico de su función derivada.

Deducir la ley de Snell de la refracción.

Utilizar el teorema del valor medio para obtener la función cuya derivada es idénticamente nula.

Representar gráficamente una función irracional.











Obtener los extremos relativos y puntos de inflexión de una función.

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de la función.

Efectuar el estudio global y la representación gráfica de una función.

Resolver problemas de optimización.



13. Integrales y aplicaciones


Conocer los conceptos de primitiva y de integral indefinida de una función, y saber calcularlos.

Conocer el concepto de integral definida de una función continua y calcularla a partir de la regla de Barrow.

Calcular áreas de recintos planos limitados por curvas y volúmenes de sólidos de revolución.

Contenidos

Conceptos

Primitiva de una función.

Integral indefinida de una función.

Propiedades de la integral indefinida.

Integral indefinida inmediata.

Integral indefinida casi inmediata.

Integral definida entre a y b de una función continua en [a, b].

Propiedades de las integrales definidas.

Teorema del valor medio del cálculo integral.

Teorema fundamental del cálculo.

Regla de Barrow.

Procedimientos

Obtención de integrales indefinidas inmediatas.

Determinación de integrales indefinidas inmediatas.

Aplicación de las propiedades de la integral indefinida para calcular integrales de funciones sencillas por el método de descomposición.

Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

Cálculo de integrales indefinidas aplicando el método de integración por partes.

Cálculo de integrales indefinidas de funciones racionales con raíces reales (simples o múltiples).

Cálculo de integrales indefinidas de algunas funciones trigonométricas e irracionales mediante cambios de variable adecuados.

Determinación de la primitiva de una función que cumple una condición dada. Aproximación del cálculo del área de la figura plana que limita una función monótona y positiva en el



intervalo [a, b], el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b, a partir del cálculo de sumas inferiores y superiores.

Cálculo de integrales definidas a partir de la regla de Barrow.

Cálculo del área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y rectas verticales.

Cálculo del área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales.

Cálculo del volumen de un sólido de revolución.

Derivación de funciones cuya expresión analítica viene dada por una integral definida.

Cálculo de la variación del espacio recorrido y de la variación de velocidad experimentada entre dos instantes por un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea.

Cálculo del trabajo realizado por una fuerza que actúa en la dirección del movimiento al desplazar un cuerpo de un punto a otro.

Valores

Hábito de analizar los diferentes métodos de integración antes de abordar la resolución de una integral, con el fin de seleccionar el más adecuado.

Valoración de la utilidad de las integrales definidas en la resolución de diferentes problemas de aplicación a la geometría, a la física...







1. Primitivas e integrales indefinidas

Se plantea el problema inverso al de la obtención de la derivada de una función, se ilustra mediante un ejemplo y se da la definición de primitiva de una función dada.

Se observa que pueden existir diferentes primitivas de una misma función, concluyéndose que todas las funciones que difieran sólo en una constante de una primitiva cualquiera serán también primitivas de la función inicial.

Se demuestra a partir del teorema del valor medio que una función definida en un intervalo cerrado no puede tener otras primitivas que las que se obtienen sumando una constante a cualquiera de sus primitivas previamente fijada.



Se define el concepto de integral indefinida y se explican algunas cuestiones de notación.

Se enuncian y demuestran las propiedades más importantes de las integrales indefinidas y se muestran algunos ejemplos de aplicación.

Se muestra una tabla de integrales inmediatas y, a continuación, se explica cómo calcular integrales cuyo integrando es de la forma f (g (x)). g’(x) , siendo f (x) el integrando de una integral indefinida inmediata.

Se adjunta también una tabla de integrales inmediatas generalizadas, obtenida a partir de la tabla de integrales indefinidas inmediatas cambiando f (x) por f (g (x)). g’(x).

Se presenta la integración por descomposición tras observar que es una simple aplicación reiterada de las propiedades de las integrales indefinidas.

Se explica la integración por cambio de variable demostrando cómo proceder para aplicar este método y se ilustra con ejemplos.

Se propone la integración por partes tras justificar la fórmula correspondiente. Se especifican los pasos que hay que seguir para aplicar el método correctamente y se presentan varios ejemplos.

Se explican los métodos de integración de funciones racionales. Inicialmente se introduce el método general de integración para funciones racionales basado en la descomposición en suma de fracciones simples.

Se tratan algunos casos: el polinomio denominador tiene sólo raíces reales simples y el polinomio denominador tiene sólo una raíz real múltiple. En cada uno de estos casos, se da el procedimiento que debe seguirse y se aplica en un caso concreto a modo de ejemplo.

Se propone un enlace a una página web para reforzar los conocimientos acerca de los métodos básicos de integración.

2. Integral definida

Se plantea el problema consistente en calcular el área de la región plana limitada por la gráfica de una función, el eje de abscisas y dos rectas verticales.

Se explica el método de la sucesión de sumas inferiores, que aproxima el área buscada por defecto, y el método de la sucesión de sumas superiores, que aproxima el área buscada por exceso.

Se observa que el límite de ambas sucesiones es el área buscada y se da una aproximación con dos decimales correctos.

Se obtiene la definición rigurosa de integral definida entre a y b de una función continua en [a, b]. En el margen se comenta la definición de función integrable sobre un intervalo y, en el caso de que una función lo sea, el concepto de su integral definida en dicho intervalo.

Se enumeran las principales propiedades de la integral definida en un intervalo, justificando gráficamente y de forma intuitiva algunas de ellas.

3. Teoremas de integración

Se presenta el teorema del valor medio del cálculo integral y se demuestra a partir del teorema de Weierstrass y del teorema de los valores intermedios.



Se da una interpretación geométrica para una función positiva en un intervalo determinado.

Se enuncia el teorema fundamental del cálculo y se demuestra a partir del teorema anterior.

Se obtiene la regla de Barrow como consecuencia del teorema fundamental del cálculo. A continuación, se presenta en una tabla el procedimiento que debe seguirse, acompañado de un ejemplo.

Se propone un enlace a una página web para ampliar los conocimientos acerca de la integración en la que se introduce el concepto de integración numérica.

4. Aplicaciones

Se explica cómo aplicar la integrales al cálculo de áreas de figuras planas. Se comienza por el área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y dos rectas verticalmente, y se continúa con un ejemplo con el que se muestra cómo proceder si se pide calcular el área limitada por la gráfica de una función y el eje de abscisas.

Se explica cómo calcular el área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales y horizontales. Se aplica la fórmula hallada en un caso concreto a modo de ejemplo. Luego, se consideran dos ejemplos con los que se muestra cómo proceder si se pide calcular el área limitada por dos gráficas.

Se presenta el método para calcular el volumen de un sólido de revolución obteniendo una fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución generado por una función continua en un intervalo cerrado al girar en torno al eje de abscisas.

Se muestran algunas aplicaciones al cálculo de la física. Dentro de la cinemática se destacan dos: variación del espacio recorrido y variación de la velocidad experimentada entre dos instantes por un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Entre las aplicaciones a la dinámica, se cita el caso del trabajo realizado por una fuerza que actúa en la dirección del movimiento desplazando un cuerpo de un punto a otro. Como en los casos anteriores, se ilustra la fórmula presentada mediante un ejemplo.

En la última página del tema se recogen, en forma de tabla, las principales integrales indefinidas inmediatas e inmediatas generalizadas.

En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las integrales. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:

Determinar la primitiva de una función que cumple una condición dada.

Conocida la gráfica de una función, estudiar la monotonía y los extremos relativos de una de sus primitivas cualquiera.

Derivar una función cuya expresión analítica viene dada por una integral definida.

Dadas dos funciones, tal que la expresión analítica de una de ellas viene dada en función de un parámetro, hallar el valor de ese parámetro para que el área que encierran tenga un valor prefijado.



Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de una curva, la recta tangente a esta curva en un punto dado y el eje de abscisas.

Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar en torno al eje de ordenadas el arco de gráfica de una función continua entre dos abscisas determinadas.









Calcular una serie de integrales indefinidas inmediatas y casi inmediatas.

Resolver integrales indefinidas por el método de descomposición, aun en casos en los que el integrando no esté claramente expresado como combinación lineal de funciones fácilmente integrables.

Calcular integrales indefinidas por cambio de variable.

Hallar integrales indefinidas mediante el método de integración por partes, aun en el caso de que deba aplicarse este método reiteradamente.

Resolver integrales indefinidas de funciones racionales cuando el polinomio denominador tiene raíces reales simples y/o raíces reales múltiples.

Obtener la primitiva de una función que cumple una condición dada.

Calcular integrales definidas.

Calcular el área de figuras planas sencillas.

Determinar el volumen de un sólido de revolución obtenido girando en torno al eje de abscisas una función continua en un intervalo.

Resolver problemas de determinación de parámetros en cálculos de áreas.


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