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UNIDAD 3- ANÁLISIS DE LAS

DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

CALCULO DIFERENCIAL

PRESENTADO POR:

JHEISSON ORLANDO CABEZAS VERA

JULIO CESAR MARTINEZ

DIANA CAROLINA OLARTE SANDOVAL

DIEGO FERNANDO GUTIERREZ

GRUPO: 100410_530

TUTOR:

HENRY EDILSON RIVERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

2015

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Tabla de contenido

INTRODUCCION ............................................................................................... 3

EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................ 4

CONCLUSIONES ............................................................................................ 14

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 15

3

INTRODUCCION

El presente trabajo tiene como énfasis el desarrollo de los ejercicios propuestos

por la guía de actividades, basados en la unidad número tres (3), el cual hace

referencia a análisis de las derivadas y sus aplicaciones, donde a través de los

conocimientos adquiridos desde el entorno de conocimiento que proporciona el

curso como de la investigación individual de cada participante se pudieron

consolidar los ejercicios y comprobar su resultado para obtener el producto final

de esta unidad.

Para su ejecución se desarrolló a fondo el tema de las derivadas donde

aplicamos las derivadas de una variable, las derivadas de una función

exponencial natural, desarrollaremos la derivadas de funciones trigonométricas

con la derivada de Seno y Coseno.

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

𝟏. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟏

𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

𝑦′ = 2𝑥 − 2 − 0

𝑦′ = 2𝑥 − 2

Para x=1

= 2(1) − 2 = 0

𝟐. 𝒔𝒊 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 −𝟏

𝒙𝟒− 𝑰𝒏 𝟒 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒇΄(𝟏)

𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 −4

𝑥5− 0 =

4(𝑥8 + 1)

𝑥5

4((1)8 + 1)

(1)5= 8

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

3. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟐𝒙

𝑓΄ 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos 2𝑥 2

𝑓΄ 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos 2𝑥

𝒚′ = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒖) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒖) ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝒖)

𝒖 = 𝟐𝒙 = 𝟐

5

𝑑𝑦

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥= (𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝒖) ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝒖)) ∗ 𝟐

𝒇′(𝒙) = 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 ∗ 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙

𝟒. 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏𝒙𝟕

𝒍𝒏 𝒙𝟑

Por la propiedad del logaritmo de una potencia es igual al producto

del exponente por el logaritmo de la base:

𝒍𝒏𝒙𝟕

𝒍𝒏 𝒙𝟑 =𝟕𝒍𝒏𝒙

𝟑𝒍𝒏𝒙=

𝟕𝒍𝒏𝒙

𝟑𝒍𝒏𝒙=

𝟕

𝟑

𝒇′(𝒙) =𝟕

𝟑= 𝟎

𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝒆𝒙

𝑓΄𝑥 = 𝑒𝑥 ∙1−𝑥∙𝑒𝑥

[𝑒𝑥]2 =𝑒𝑥−𝑥𝑒𝑥

[𝑒𝑥]2

𝑓΄𝑥 = 𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2 − 𝑥𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2 = 1

𝑒𝑥 − 𝑥

𝑒𝑥

𝑓΄𝑥 = 1

𝑒𝑥 1 − 𝑥

Derivadas de orden superior. (Puntos 6 y 7)

𝟔. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 ∶ 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙

𝑑

𝑑𝑥(𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙))

6

Entonces se toma la salida constante (𝑎. 𝑓) = 𝑎. 𝑓

2𝑑

𝑑𝑥( 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙))

Y aplicamos la regla de

𝑑𝑓(𝑢)

𝑑𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Donde 2𝑥 = 𝑢

2𝑑

𝑑𝑢( 𝒔𝒆𝒏 (𝒖))

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

Entonces derivamos

2𝑑

𝑑𝑢( 𝒔𝒆𝒏 (𝒖)) = cos (𝑢)

Ahora se toma la salida constante (𝑎. 𝑓) = 𝑎. 𝑓

2𝑑

𝑑𝑥(𝑥)

Derivamos

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = 1 = 2 ∗ 1 = 2

De momento llevamos

2cos (𝑢)2

Sustituimos 𝑢 = 2𝑥

2cos (2𝑥)2

Simplificamos

4cos (2𝑥)

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Primera derivada

4cos 2𝑥

𝑑

𝑑𝑥(𝟒𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙))

Entonces se toma la salida constante (𝑎. 𝑓) = 𝑎. 𝑓

4𝑑

𝑑𝑥(𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙))

Y aplicamos la regla de

𝑑𝑓(𝑢)

𝑑𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Donde 2𝑥 = 𝑢

4𝑑

𝑑𝑢(𝒄𝒐𝒔 (𝒖))

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

Derivamos

𝑑

𝑑𝑢(𝒄𝒐𝒔 (𝒖)) = −𝑠𝑒𝑛(𝑢)

Ahora se toma la salida constante (𝑎. 𝑓) = 𝑎. 𝑓

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

2𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = 1 = 2 ∗ 1 = 2

De momento llevamos

4(−𝑠𝑒 𝑛(𝑢))2

8

Sustituimos 𝑢 = 2𝑥

4(−𝑠𝑒 𝑛(2𝑥))2

Simplificamos

−8𝑠𝑒 𝑛(2𝑥)

Segunda derivada

−8𝑠𝑒𝑛 2𝑥

𝑑

𝑑𝑥(−𝟖𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙))

Entonces se toma la salida constante (𝑎. 𝑓) = 𝑎. 𝑓

−8𝑑

𝑑𝑥(𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙))

Y aplicamos la regla de

𝑑𝑓(𝑢)

𝑑𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Donde 2𝑥 = 𝑢

−8𝑑

𝑑𝑢(𝒔𝒆𝒏 (𝒖))

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

Derivamos

𝑑

𝑑𝑢(𝒔𝒆𝒏 (𝒖)) = 𝑐𝑜𝑠(𝑢)

Ahora se toma la salida constante (𝑎. 𝑓) = 𝑎. 𝑓

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

2𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = 1 = 2 ∗ 1 = 2

9

De momento llevamos

−8 𝑐𝑜𝑠(𝑢) 2

Sustituimos 𝑢 = 2𝑥

−8 cos(2𝑥) 2

Simplificamos

−16 cos(2𝑥)

Tercera derivada

−16𝑐𝑜𝑠 2𝑥

𝒇΄𝒙 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 ∙ 𝟐 = 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙

𝒇΄΄𝒙 = −𝟖𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙

𝒇΄΄΄𝒙 = −𝟏𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙

𝟕. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 ∶ 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙𝒍𝒏𝒙

𝑓΄𝑥 = (𝑒𝑥 ∙1

𝑥) + 𝑒𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 =

𝑒𝑥

𝑥+ 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥

𝒅

𝒅𝒙(

𝑒𝑥

𝑥) =

𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 1

𝑥2=

𝑥𝑒𝑥

𝑥2−

𝑒𝑥

𝑥2=

𝑒𝑥

𝑥−

𝑒𝑥

𝑥2= 𝑒𝑥 (

1

𝑥−

1

𝑥2)

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 = (𝑒𝑥 ∙

1

𝑥) + 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 =

𝑒𝑥

𝑥+ 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥

𝑓΄΄𝑥 = (𝑒𝑥 (1

𝑥−

1

𝑥2)) + (

𝑒𝑥

𝑥+ 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥)

𝑓΄΄𝑥 = 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 + (2

𝑥−

1

𝑥2) 𝑒𝑥

𝟖. 𝑼𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑳΄𝑯𝒐𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆: 𝒍𝒊𝒎𝒙−𝟐

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐

Solución 1

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𝑙𝑖𝑚𝑥−2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑓΄𝑥 =2𝑥 + 2

2𝑥 − 1

𝑙𝑖𝑚𝑥−2 = 2𝑥 + 2

2𝑥 − 1 =

2 + 2 + 2

2 + 2 − 1=

6

3= 2

Solución 2

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 (𝟐)𝟐 + 𝟐(𝟐) − 𝟖

(𝟐)𝟐 − (𝟐) − 𝟐=

𝟒 + 𝟒 − 𝟖

𝟒 − 𝟐 − 𝟐=

𝟎

𝟎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Entonces aplicamos la regla de L'Hopital

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐= 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

𝑑𝑑𝑥

(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖)𝑑

𝑑𝑥(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐)

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟎

𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟎

Solución aplicando la regla de L'Hopital

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟎

𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟎= 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

𝑑𝑑𝑥

(𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟎)𝑑

𝑑𝑥(𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟎)

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𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐

𝟐

Solución sin aplicación de L'Hopital

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟎

𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟎

Entonces podemos decir que:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐 + 𝟎

𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟎

Reorganizamos

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟎 + 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟎=

𝟐𝒙 + 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟏

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟏

Ahora aplicamos de la regla del cociente

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐(𝟐𝒙 + 𝟐)

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏)

𝟐𝒙 − 𝟏 Es un polinomio, por lo tanto

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟐(𝟐) − 𝟏 = 𝟒 − 𝟏 = 𝟑

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐(𝟐𝒙 + 𝟐)

𝟑

𝟐𝒙 + 𝟐 Es un polinomio, por lo tanto

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𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐(𝟐𝒙 + 𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟐 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔

𝟔

𝟑= 𝟐

9. De la curva (𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 Hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 = 2𝑥 − 1

𝑓′′(𝑥) = 2

2𝑥 − 1

2𝑥 = 1

𝑥 =1

2

Puntos críticos: Reemplazamos el resultado en la función para encontrar los

puntos críticos.

𝐟(𝐱) = (𝟏

𝟐)

𝟐

–𝟏

𝟐=

𝟏

𝟒−

𝟏

𝟐= −

𝟏

𝟒

Así tenemos que los puntos críticos están dados por las coordenadas.

(1

2, −

1

4)

b. Los puntos de inflexión si los hay: No hay puntos de inflexión por ser la

segunda derivada una constante.

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento.

¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de

ese pedido sea el mínimo?

𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝐶 (𝑥)

𝐶𝑇(𝑥) =100.000.000

𝑥+ 100𝑥 + 50

13

𝑐𝑡′(𝑥) = −100.000.000

𝑥2+ 100

Despejamos para saber el valor mínimo.

−100.000.000

𝑥2+ 100 = 0

𝑥2 = −100.000.000

−100

𝑥2 = 1.000.000

𝑥 = 1.000

Realizamos la segunda derivada.

𝑐𝑡′′(𝑥)= −

100.000.000

𝑥2+ 100 =

200.000.000𝑥

𝑥4=

200.000.000

𝑥3

Evaluamos el valor que obtuvimos

200.000.000

10003= 0.2

Como 0.2 > 0 decimos que el valor es un mínimo.

Por lo tanto la cantidad para que el costo sea mínimo es de 1000 bultos.

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CONCLUSIONES

A través de la solución de los ejercicios se desarrollan habilidades que

nos permiten desenvolvernos no solo en el campo académico si no

también profesional y personal.

El desarrollo del trabajo colaborativo de la guía número tres (3) permitió

conocer conceptos con respecto a análisis de las derivadas y sus

aplicaciones, donde mediante el desarrollo de cada uno de los ejercicios

planteados, el estudiante iba despejando dudas con respecto a la

solución de cada ejercicio.

Este trabajo nos permito aplicar y desarrollar el proceso adecuado para

la solución de ejercicios de Derivadas de funciones trigonométricas.

Logramos Interrelacionar las diferentes operaciones en la solución de

ejercicios de funciones trigonométricas exponenciales.

Para el resultado óptimo aprendimos a aplicar la regla de la cadena para

derivar funciones compuestas.

Utilizamos la función logarítmica en el desarrollo de algunos de los

ejercicios.

15

BIBLIOGRAFÍA

Galván, D. y otros (2012), Cálculo diferencial: un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. México DF. Pág. 162 242. Disponible en: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=319#

Canal julioprofenet – Julio ríos (1 de Dic, 2010). “Limite resuelto con Regla de L'Hopital”. Tomado de Internet el 10 de abril de 2015: https://www.youtube.com/watch?v=CqsNjPWC8XA