105964329 Metodo de Rotaciones

UNIDAD III

UNIDAD III.- METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS INDETERMINADOS

OBJETIVOS:

1. Analizar sistemas indeterminados aplicando el Mtodo de las Fuerzas, determinando:

Las reacciones y fuerzas internas de la estructura

Diagramas de esfuerzos en la estructura

2. Analizar sistemas indeterminados utilizando el Mtodo de los desplazamientos (mtodo de las rotaciones).

3. Aplicar el mtodo de las rotaciones en sistemas hiperestticos con un solo grado de desplazabilidad, determinando:

Los momentos en los extremos de los miembros de la estructura.

Los diagramas de momentos de la estructura

4. Determinar los grados de desplazabilidad de una estructura

5. Establecer la imagen cinemtica de una estructura.

INTRODUCCIN

El anlisis de una estructura indeterminada es, desde luego, ms complicado que el de una estructura determinada correspondiente. Esto puede considerarse una pequea desventaja, ya que el anlisis representa generalmente un pequeo porcentaje del costo total. El anlisis estructural normalmente incluye toda la labor relacionada con la evaluacin de esfuerzos axiales, esfuerzos de corte y momentos flexionantes causados por cualquier accin que debe resistir la estructura. Cuando una estructura indeterminada se analiza por un mtodo se necesita la solucin de ecuaciones simultneas que requieren una ecuacin para cada grado de indeterminacin.

En este curso se analizarn dos mtodos para resolver estos sistemas: el mtodo de las fuerzas y el mtodo de los desplazamientos (mtodo de las rotaciones). Ambos mtodos se basan principalmente en resolver un sistema de ecuaciones lineales, del mismo orden del grado de indeterminacin. Si se utiliza el mtodo de las fuerzas, se usar el grado de indeterminacin esttica, si se aplica el mtodo de los desplazamientos, se usar el grado indeterminacin geomtrica o grados de hipergeometra.

La eleccin para aplicar cualquiera de estos mtodos se fundamenta en seleccionar aquel que tenga el menor grado de indeterminacin correspondiente, ya que a mayor nmero de incgnitas mayor ser el tiempo de solucin, tanto en forma manual como con el uso de computadoras, lo cual resulta costoso.

METODO DE LAS FUERZAS

A este mtodo tambin se le llama mtodo general o mtodo de las deformaciones consistentes, donde las incgnitas son las fuerzas redundantes de la estructura.

Las redundantes de una estructura son aquellas fuerzas en exceso de las fuerzas primarias o las sobrantes o superabundantes de las necesarias para mantener el equilibrio esttico.

En este mtodo se necesita que sea definida una estructura primaria, la cual debe ser isosttica (determinada) y estable, las fuerzas de esta estructura son las fuerzas primarias y pueden encontrarse solo por equilibrio. Hay ms de una estructura primaria para una estructura indeterminada, y se selecciona la menos compleja dependiendo de las incgnitas que deseamos encontrar. As por ejemplo en la siguiente estructura indeterminada, se tiene:

Es indeterminada en dos (2) grados, por lo tanto, dos redundantes. La estructura primaria debe ser isosttica y estable, podran ser cualquiera de los siguientes sistemas:

1)

2)

3)

De estos sistemas isostticos, el 1 y el 2 cumplen con las condiciones de sistema primario, ya que adems de ser determinados son estables, lo que no ocurre con el caso 3, el cual a pesar de ser isosttico por tener 3 unidades de vinculacin, dos en B y una en A, no es estable, ya que los sistemas de apoyo le permiten movimiento inmediato, como la una rotacin alrededor del punto A.

Por otra parte, en el proceso del mtodo de las fuerzas se imponen los requisitos de compatibilidad de la estructura. En efecto, se determina el valor particular de las redundantes debido a una distribucin dada de cargas que provoca que la estructura se deforme de acuerdo con todas las condiciones de los soportes. En esencia, se encuentra aquellas fuerzas redundantes que dan desplazamientos consistentes con condiciones conocidas en los soportes o con alguna condicin de compatibilidad interna.

El mtodo de las fuerzas se basa en el concepto en que los desplazamientos de la estructura debido a las cargas aplicadas y a las fuerzas redundantes dan como resultado una condicin desplazada que satisface la compatibilidad de la estructura, internamente y en los soportes. Adems se manipulan a las ecuaciones de equilibrio, las de compatibilidad y las relaciones entre fuerzas y desplazamientos para obtener un sistema de n ecuaciones con n incgnitas.

Las n ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos en la direccin de las fuerzas redundantes, y las n incgnitas son las fuerzas redundantes. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones lineales para las redundantes, es posible encontrar las fuerzas finales de los miembros y el desplazamiento libre.

Las ecuaciones de condicin de deflexin de una estructura o ecuaciones de compatibilidad, se obtienen por superposicin de desplazamientos causados por las cargas aplicadas, los esfuerzos y las cargas redundantes individuales. Los coeficientes de estos esfuerzos y reacciones redundantes son las deflexiones debidas a las reacciones y esfuerzos unitarios que pueden calcularse por el mtodo de trabajo virtual (principio de las fuerzas virtuales). Estas ecuaciones de compatibilidad, se escriben una por cada punto de aplicacin de una componente de esfuerzo (incgnita) o reaccin redundante y matemticamente se expresan as:

D1 = D10 + d11.X1 + d12.X2 + d13.X3 +d1n.Xn

D2 = D20 + d21.X1 + d22.X2 + d23.X3 +...d2n.Xn

D3 = D30 + d31.X1 + d32.X2 + d33.X3 +d3n.Xn

. ..

Dn = Dn0 + dn1.X1 + dn2.X2 + dn3.X3 +dnn.Xn

Donde:

El miembro de la izquierda de cada ecuacin (Di), representa el valor del desplazamiento total (asentamiento) en el punto de aplicacin y direccin de la fuerza redundante respectiva. Este valor es casi siempre conocido o preestablecido.

El miembro de la derecha de cada ecuacin representa la suma de todas las componentes de deflexin causada por las cargas reales y las componentes redundantes en el punto de aplicacin y en la direccin de la componente redundante respectiva.

As se tiene que:

D1: representa el desplazamiento total (asentamiento o deformacin) en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X1.

D2: representa el desplazamiento total en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X2

D3: Representa el desplazamiento total en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X3.

El termino Di0: representa la deflexin en el punto de aplicacin y direccin de la redundante Xi debido al caso de carga 0. Estos trminos se determinan aplicando trabajo virtual, donde el sistema real es el caso de cargas reales de la estructura y el sistema virtual es el caso de carga donde la redundante respectiva j, es igual a 1. As por ejemplo:

D10: Representa la deflexin en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X1 debido al caso de carga 0. As el sistema virtual ser el caso 1, donde la redundante X1 es igual a 1, y el sistema real es el caso de cargas 0 sistema de cargas de la estructura original.

D20: Representa la deflexin en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X2 debido al caso de carga 0.

D30: Representa la deflexin en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X3 debido al caso de carga 0.

El Trmino dij: Representa la deflexin en el punto de aplicacin y direccin de la redundante Xi debido al caso de carga j. Este termino se determina aplicando trabajo virtual, donde el sistema virtual es el caso donde la redundante Xi es igual a 1, y el sistema real es el caso de carga donde la redundante Xj es igual a 1. As por Ejemplo:

d12: Representa la deflexin en el punto de aplicacin y direccin de la redundante X1 debido al caso de carga 2. As, el caso virtual es donde la redundante X1 es igual a 1, y el caso real es donde la redundante X2 es igual 1.Procedimiento general.

Los pasos generales pueden resumirse como sigue:

1. Se identifican los grados de indeterminacin esttica de la estructura (n)

2. Se selecciona el sistema primario de la estructura real

3. Se divide la estructura primaria en (n + 1) casos isostticos, y se aplica el principio de superposicin de efectos.

4. Se establecen las ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos, una por cada grado de indeterminacin (n).

5. Se determina mediante el mtodo de trabajo virtual cada uno de los desplazamientos en los puntos de aplicacin y direccin de las redundantes, debido a cada caso de carga (cargas reales y las redundantes como cargas), Dio, dij, siendo i, el punto de aplicacin de la redundante y j o, el caso de carga que produce la respectiva deflexin.

6. Se sustituyen cada uno de los resultados del paso anterior en las ecuaciones de compatibilidad.

7. Se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos.

8. Se determinan las fuerzas finales en la estructura original debidas tanto a las cargas aplicadas como a las redundantes.

9. Se pueden construir los diagramas de los esfuerzos respectivos de la estructura, si son requeridos.

EJEMPLO #1:

En el siguiente prtico plano use el mtodo de las fuerzas y determine: la reaccin de momento en A. El producto del mdulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccin es, EI = 5.200 ton.m2.

Solucin:

Grado de indeterminacin Esttica: Ie = 3NM +NR NJ NC

Ie = 3x2 + 5 -3x3 -1 = 1 n = 1 se analizarn 2 casos isostticos: caso 0, caso 1.

Sistema Primario = caso 0 + caso 1

Anlisis del caso (0)

Calculo de Reacciones:

MCA=0 + -2x2+Rayx5 = 0 RAy = 0,8t

Fy=0 + RDy 2+0,8 = 0 RDy = 1,2 t

MCD=0 + 1x3x1,5-1,2x4+3. RDx = 0 RDx = 0,1t

Fx=0 + -1x3-0,1+ RAx = 0 RAx = 3,1t

Despiece:

Diagramas de Momentos flectores:

Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD

2,4tm 2,4tm 2,5m 2,5m

+ + +

3m 2m

1,125 tm



MCD=0 + 3 RCx -4 RCy = 0

MAD=0 + 3 RCx 9 RCy+1 = 0

RCx = 0,26t

RCy = 0,2t

Fy=0 + RCv RAy = 0 RAy = 0,2 t

Fx=0 + -RCx + RAx = 0 RAx = 0,26 t

Despiece:



1 5m

0,4 0,4

+ +

3m 2m

Ecuacin De Compatibilidad De Los Desplazamientos:

D1 = D10 + d11.X1

Aplicacin de Trabajo Virtual (mtodo grafico): donde se interceptan los diagramas correspondientes, el real y el virtual, segn tabla:

1xDij + Ri.i = 1/EI [ Mx. Mx`dx ]

2,4 1 2,4 0,4

1xD10+(-0,001x0,2)= 1/2EI ( + + 0,4 + +

3m 3m 2m 2m

= 1/5200 L/6F (B1+2B2 ) + 1/1,5 ( 1/3 ABL )

1xD10-0,0002 = 1/2x5200 (3/6x2,4(1+2x0,4) + 1/3 (2,4x0,4x2 )

D10 = 0,0004692 1 1

1xd11 = 1/2EI + +

5m 5m

1xd11= 1/2x5200 (1/3 F.FL) d11 = 1/10400 =1/3x1x1x5

d11= 0,00016

D1 = D10 + d11.X1

0 = 0,0004692 + 0,00016 X1 X1 = -2,93t-m

X1 = 2,93t-m

EJEMPLO #2

En el siguiente prtico plano use el mtodo de las fuerzas y determine: El momento en la junta E. El producto del mdulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccin es, EI = 4.200 ton.m2.

Solucin:

Grado de indeterminacin Esttica: IND = 3NM +NR NJ NC

IND = 3x3 + 4 -3x4 = 1 n = 1 se analizarn 2 casos isostticos: caso 0, caso 1.

Sistema Primario = caso 0 + caso 1



MD=0 + -2 - 2x3x3,5 + 2xRAy = 0 RAy = 11,5t

Fy=0 + -2x3 + 8,5 - RDy = 0 RDy = 5,5 t

Fx=0 + - REx = 0 REx = 0 t

Despiece:



4m 3m 2m

+ + -

25,5 25,5

3m



MA=0 + 1-2RAy = 0 RAy = 0,5t

Fy=0 + RDv 0,5= 0 RDy = 0,5t

Fx=0 + RDx = 0 RDx = 0t

Despiece:



3m 4m

- - + 2m

3m - 1,5 1,5 1,5

Ecuacin De Compatibilidad De Los Desplazamientos:

D1 = D10 + d11.X1

Aplicacin de Trabajo Virtual (mtodo grafico): donde se interceptan los diagramas correspondientes, el real y el virtual, segn tabla:

1xDij + Ri.i = 1/EI [ Mx. Mx`dx ] 25,5 1,5 25,5 1,5

1x D10+(0,5x0,01)=1/EI ( + - )+1/2( - + ) +

27,5 16,5 1,5 16,5 1

+ 1/1,5 ( - + - - )

=1/5200 ( 5/12ABL )+ 1/2(ABL) + 1/1,5(L/6(2A1 +A2)B + 1/6 ABL)

1x E+0,005=1/5200 5/12x25,5x(-1,5)x3 + 1/2((25,5)x(-1,5)x4

+ 1/1,5 ( 2/6(-2x27,5 - 16,5)x1,5 + 1/6(-16,5x-1x2) )

D10 = - 0,01719

1,5 1,5 1,5 1,5

1xd11= 1/EI ( - - + + +

3 3 4 4

1,5 1,5 1 1

+ + + - -

3 3 2 2

1xd11= 1/4200 1/3ABL + 1/2 ABL + 1/1,5(1/3ABL + 1/3ABL)

1xd11=1/4200 1/3(-1,5x-1,5x3)+1/2(1,5x1,5x4)+1/1,5(1/3x1,5x1,5x3 + 1/3x1x1) d11 = 0,002044D1 = D10 + d11.X1

0 = - 0,01719 + 0,002043 X1 X1 = 8,41 t-m

X1 = 8,41t-m

METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

TERMINOLOGIA BASICA

Desplazamientos de las juntas de una estructura: Son las posibilidades de desplazamientos de dichas juntas de acuerdo a la vinculacin existente. Sea la siguiente estructura, donde se muestran las componentes de desplazamientos de las juntas A, B, C y D. El vector desplazamiento en esta estructura es:

uB

vB

D = B

uC

vC

C

Siendo: uB, uC: el desplazamiento horizontal de la junta B y C respectivamente. vB, vC: el desplazamiento vertical de la junta B y C respectivamente. B, C: el desplazamiento rotacional de la junta B y C respectivamente.

Se toma el miembro de eje recto BC, y si genricamente se denotan como i, j, estos dos extremos del miembro, es decir, el extremo izquierdo como i, y el extremo derecho como j. Bajo la accin de las cargas o solicitaciones externas ese miembro se deforma, siendo i` j` el nuevo eje del miembro i j deformado, como se muestra en la siguiente figura.

Puede observarse que el desplazamiento de cada extremo tiene tres componentes: una componente horizontal u, una vertical v, y una angular o rotacional. Tambin se presenta una rotacin de la cuerda del miembro fij =fji, rotacin del miembro como cuerpo rgido, que por ser muy pequea puede considerarse igual a su tangente, es decir: tag fij = fij, de lo cual se deducen las siguientes expresiones:

Vj vi

ij = tg ij =

l

Vj - vi

i = i ij = i

l

Vj - vi

j = j ij = j

l

Como el ngulo ij es muy pequeo, puede considerarse el cambio de longitud l = uj ui.

Miembro infinitamente rgido axialmente: un miembro cualquiera se considera infinitamente rgido axialmente, cuando es indeformable en la direccin de su eje ongitudinal, ello equivale a establecer que no cambia de longitud, es decir:

l = uj ui = 0 ui = uj, con lo cual el nmero de grados de libertad del miembro ij se ha reducido a cinco, y son:

ui

vi

D = i

vj

j

Grados de Desplazabilidad de una estructura: Los miembros de una estructura son capaces de sufrir rotaciones como cuerpos rgidos de acuerdo a su vinculacin existente tanto interna como externa: Estas rotaciones (f), dependen por tanto de los desplazamientos de la estructura como cuerpos rgidos (grados de libertad como cuerpo rgido), y son independientes de las rotaciones que, como cuerpo elstico, puedan sufrir las juntas de dicha estructura.

Imagen Cinemtica: Se define como imagen cinemtica de una estructura, a aquella que resulta de eliminar las componentes de momento en los extremos de sus miembros, al colocar articulaciones o pasadores en todas las juntas de la estructura, obteniendo as un mecanismo cinemtica o hiposttico (inestable), es decir con grados de libertad (GL), pero como cuerpo rgido.

Se infiere entonces que: el nmero de grados de desplazabilidad (GD) de una estructura es igual al nmero de grados de libertad (GL) de su imagen cinemtica:

GD = GLDESCRIPCION DEL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

El mtodo de los desplazamientos se ocupa del anlisis de las estructuras indeterminadas geomtricamente; para ello utiliza las ecuaciones de equilibrio esttico, teniendo como incgnitas los desplazamientos. El nmero de desplazamientos incgnitas es igual a la indeterminacin geomtrica que posee la estructura. Esta indeterminacin geomtrica depende a su vez si se consideran o no las deformaciones por fuerza axial, Ig y I`g, respectivamente.

En este curso se analizarn estructuras indeterminadas geomtricamente despreciando las deformaciones por fuerza axial y de corte, I`g, en vista de que el ngulo de rotacin (fij) de los miembros de la estructura como cuerpo rgido es muy pequeo.

El mtodo de los desplazamientos se fundamente en la resolucin de dos sistemas: el sistema primario y el sistema complementario.

Caractersticas del Sistema Primario:

Es la misma estructura original, con todas sus solicitaciones externas Se le aplican en las juntas los vnculos necesarios para impedir todo grado de libertad o los desplazamientos incgnitas. Aparecen reacciones adicionales en las junta, producidas por los vnculos aadidos actuando en sentido antihorario.Caractersticas del Sistema Complementario:

Esta constituido por la estructura original, cuyas solicitaciones nicamente son las reacciones del sistema primario pero actuando en sentido contrario. En este sistema se manifiestan los grados de libertad o los desplazamientos incgnitas de la estructura, tanto como cuerpo rgido como cuerpo elstico.Momentos en los extremos de los miembros de la estructura: sean Mij, Mij y MijC, los momentos en el extremo i del miembro ij correspondiente a los sistemas: original, primario y al complementario respectivamente. Estos momentos sern positivos cuando giren en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativo cuando giren en el sentido contrario. Esta convencin de signos, se aplicar en adelante en el desarrollo del mtodo de los desplazamientos y es valida para cualquier momento, sea externo o interno, en un miembro o en una junta. En la siguiente figura se esquematiza esta convencin de signo adoptada.

Procedimiento General.

1. Se calcula el Grado de Indeterminacin Geomtrica: I`g = , donde representa las rotaciones de las juntas rgidas internas.2. Se determina el grado de desplazabilidad de la estructura, GD, obteniendo los grados de libertad de la imagen cinemtica.3. Se divide el sistema en dos subsistemas: primario y complementario4. Se analiza el sistema primario:a) Se determinan los momentos de empotramiento por cargas externas, para ello se utiliza la siguiente tabla donde se presentan los casos de cargas ms utilizados con sus respectivos valores de empotramiento:MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

MijMji

-

-

0

0

0

b) Se aplican las ecuaciones de rotacin al sistema primario para determinar los Mij05. Se analiza el sistema complementario:a) Se analiza la imagen cinemtica de la estructura original, haciendo girar a uno de sus miembros el grado de desplazabilidad ().b) Se determinan las rotaciones ij de cada miembro y los desplazamientos lineales en los puntos de aplicacin de las cargas externas aplicadas en la estructura original, todos en funcin de .c) Se aplican las ecuaciones de rotacin y se determinan los momentos complementarios MijC en funcin de las incgnitas, i y , que aportan las juntas rgidas del problema y el desplazamiento como cuerpo rgido de la estructura original, respectivamente. 6. Se suman los momentos primarios y los complementarios para obtener los momentos definitivos en los extremos de cada miembro:Mij = Mij0 + MijC7. Se aplica el equilibrio de juntas, a las juntas rgidas del problema, obteniendo as un nmero de ecuaciones igual al nmero de juntas rgidas de la estructura.8. Se aplica el principio de trabajo virtual para cuerpos rgidos, Wve=0, a la imagen cinemtica de la estructura con todas las cargas externas del problema original, encontrando as otra ecuacin en funcin de las incgnitas del problema, i y .9. Se tiene entonces un sistema de igual nmero de incgnitas que de ecuaciones, el cual se resuelve para las incgnitas del problema, i y .10. Los valores obtenidos de la solucin del sistema de ecuaciones, i y , se sustituyen en las ecuaciones de momentos definitivos y se determinan Mij los para cada uno de los extremos de los miembros.11. Se calculan las reacciones de la estructura original usando las ecuaciones de equilibrio esttico y se dibujan los diagramas de fuerza cortante y de momento. Ecuaciones de Rotacin para Miembros de Eje Recto y de Seccin Constante:

1) Si Mji es conocido, entonces se usar la siguiente formula:

2) Si Mij es conocido, entonces se usar la siguiente formula:

EJEMPLO:1.-Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el mtodo de los desplazamientos.

Solucin:1.-Se determina el Grado de Indeterminacin Geomtrica: I`g = ,2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los Grados de Libertad de la Imagen Cinemtica:

3.- Se determinan los Momentos de Empotramientos usando la tabla, dependiendo del tipo de carga:

MEAB = 0MEBA = -= -= -2,25t.mMEBC= = = 2,67t.mMECB= -= -= -2,67t.mMEBD= 0MEDB= 04.- Se determinan los Momentos Primarios:M0AB= 0M0BA=

M0BC=

M0CB=

M0BD= 0M0DB= 05.- Se determinan los Momentos Complementarios:MCAB= 0MCBA= 3EK (B AB ) = 3EK BMCBC= 2*1,5EK (2B + C 3 BC ) = 6EK BMCCB= 2*1,5EK (2C + B 3 BC ) = 3EK BMCBD= 2EK(2B + D 3 BD ) = 4EK BMCDB= 2EK(2D + B 3 BD ) = 2EK B6.-Se determinan los Momentos DefinitivosMij = Mij0 + MijCMAB= 0MBA= -2,25 + 3EK BMBC= 2,67 + 6K B MCB= -2,67 + 3EK BMBD= 4EK BMDB= 2EK B7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rgida Interna:MB= 3t.mMBA + MBC + MBD = 3-2,25 + 3EK B + 2,67 + 6EK B + 4EK B = 3 13EK B = 2,58 Ec. 18.-Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incgnitas EK B = 2,58/13 = 0,1984629.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los valores de los momentos en los extremos de los miembros.

MAB= 0MBA= -2,25 + 3*0,198462 = -1,65 t.mMBC= 2,67 + 6*0,198462= 3,86 t.mMCB= -2,67 + 3*0,198462= -2,07MBD= 4*0,198462= 0,79 t.mMDB= 2*0,198462= 0,40 t.mDespiece:

MAB= 0MBA= -1,65 t.mMBC= 3,86 t.mMCB= -2,07MBD= 0,79 t.mMDB= 0,40 t.mEJEMPLO 2.

Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el mtodo de los desplazamientos.

.Solucin:1.-Se determina el Grado de Indeterminacin Geomtrica: I`g = ,2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los Grados de Libertad de la Imagen Cinemtica:

3.- Momentos de Empotramiento: Segn tabla

MEAB= 0

MEBA=0

MEBC=0

MECB=-W2/8=-1x42/8 => MECB=-2t-m

MECD= Pab2/L2= 2x2x22/42 => MECD=1t-m

MEDC=-1t-m

4.- Se determinan los Momentos Primarios:M0AB= 0

M0BA=-3

M0BC=0

M0CB= MECB+1/2(M0BC MEBC) = -2M0CD=1t-m

M0DC=-1t-m

5.- Se determinan los Momentos Complementarios:MCAB= 0MCBA= 0MCBC= 0

MCCB= 3EK (C BC ) = 6EK c +3EK/4MCCD= 2EK(2C + D 3 CD ) = 8EK C - 6EK MCDC= 2EK(2D + C 3 CD ) = 4EK C - 6EK 6.-Se determinan los Momentos DefinitivosMij = Mij0 + MijCMAB= 0MBA= -3MBC= 0MCB= -2+6EK c +3EK/4MCD= 1+8EK C - 6EK MDC= -1+4EK C - 6EK 7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rgida Interna:MC= 0t.mMCB + MCD = 0-2+6EK c +3EK/4+1+8EK C - 6EK = 0 14EK C 21/4EK = 1 Ec. 18.-Se aplica trabajo virtual a la imagen cinemtica (cuerpo rgido) y se obtiene la segunda ecuacin: WvE = 0(MAB+MBA)AB+ (MBC+MCB)BC+(MCD+MDC)CD +1*4t/m*1/2 + 2t*3/2 = 0(-3) + (-2+6EK c +3EK/4)(-3/4 ) + (12EKc- 12EK ) /2 + 2 + 3 = 0(-3 + 1/2 -3/2EK c -3/16EK +6EK c-6EK + 5) = 0

9/2EK c + 99/16EK = -5/2 EC. 29.- resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incgnitas EK C = -0,06293 EK = -0,358289.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los momentos definitivos en los extremos de los miembros.

MAB= 0

MBA= -3MBC= 0MCB= -2+6EK c +3EK/4 = -2+6 (-0,06293) +3/4(-0,35828)= -2,64 t-m MCD= 1+8EK C - 6EK = 1+ 8(-0,06293)-6(-0,35828) = 2,64 t-mMDC= -1+4EK C - 6EK = -1 + 4(-0,06293)- 6(-0,35828) = 0,90 t-mBIBLIOGRAFA

MCCORMAC, Nelson. (2002) Anlisis Estructural: Mtodos clsicos y matriciales, 2da Edicin. Alfa omega, Mxico ASLAM, Kassimali. (2001), Anlisis Estructural, 2da Edicin, Thomson Editores s.a. de C. V., Mxico JEFFREY, Laible. (1998). Anlisis Estructural, Nueva Edictorial Interamericana, S.A. de C. V., Mxico.

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http//ing.unne.edu.ar/download.htm

http//www.ihp.edu.mx/publica/tubriales UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

FRANCISCO DE MIRANDA

AREA DE TECNOLOGIA

PROGRAMA INGENIERIA CIVIL

DPTO ESTRUCTURA

Trabajo presentado como requisitopara optar a la Categora deProfesor AsociadoAUTOR:

PROF. ZULAY ROSENDO DE MORA

Santa Ana de Coro, Enero 2006B

A

B

A

A

B

A

B

C

1,5EI

B

3m

3m

2EI

2m

4m

2t

A

D

Vd=0,001m

1t/m

2EI

C

1,5EI

B

3m

3m

2m

4m

2t

A

D

vD=0,001m

1t/m

X1

X1=1

vD=0,001m

2t

1t/m

3,1

vD=0,02m

2t

1t/m

3t

3,1

0,8

0,1

1,2

2,4

1,2

1,2

1,2

3,1

3,1

1,2

X1=1

5m

4m

3m

C

B

A

D

0,26

1t-m

0,263,6

0,2

0,26

0,2

1,28

0,26

0,2

vA=0,01m

C

A

D

B

3m

2m

1,5EI

EI

2EI

2t-m

2t/mEI

4m

vA=0,01

C

A

D

B

3m

2m

1,5EI

EI

2EI

2t-m

2t/mEI

X1

C

A

B

2t-m

2t/mEI

D

C

A

B

D

X1

4m

C

A

B

2t-m

2t/m

D

RAy

RDx

RDy

A

2t/mEI

C

B

B

2t-m

D

25,5t.m

5,5t

25,5t.m

27,5t.m

25,5t.m

11,5t

5,5t

5,5t

5,5t

16,5

27,5

C

A

B

D

RAy

RDy

1t.m

C

B

B

D

1,5t.m

0,5t

1,5t.m

1,5t.m

1,5t.m

0,5t

0,5t

0,5t

0,5t

0.5t

A

1t.m

B

C

vCC

C

C

B

B

uc

uB

D

A

I`

i

i

J`

j

ui

uj

vi

vj

i

i

ij

ij

l

l

ij

i

ij

-

+

j

J

i

i

TIPO DE CARGA

a

b

A

B

a

b

a

b

a

b

1)

2)

3)

4)

5)

6)

EMBED Equation.3

2t/m

EK

1,5EK

2EK

3m

4m

3m

A

B

C

3t.m

1

2

3

O2

O3

O1, O2, O3

Cada miembro tiene dos polos absolutos, por lo tanto ninguno de ellos puede realizar ningn tipo de movimiento como cuerpo rgido, entonces el grado de libertad de la imagen cinemtica es cero.; lo que implica que el grado de desplazabilidad de la estructura tambin sea cero, Esto es:

CLIC = GDE = 0

O1

EMBED Equation.3

C

A

B

D

3t.m

2EK

EK

4m

3tm

2m

3m

3m

1t/m

B

C

D

2t.

EK

A

O1

O24

O3

O23

O12

1

3

2

Cada miembro tiene un solo polo absoluto, indica que el sistema se mueve como cuerpo rgido, entonces se coloca un rodillo en la direccin del desplazamiento de uno de los miembros, si el sistema se estabiliza, entonces tiene un solo grado de libertad, sino ocurre as, se le siguen aadiendo rodillos hasta que se estabilice y el grado de libertad ser igual a la cantidad de rodillos necesarios para estabilizar la imagen cinemtica. En este caso el grado de libertad de la imagen cinemtica es igual a 1; lo que implica que el grado de desplazabilidad de la estructura tambin sea uno, los ij 0, en funcin de una rotacin de uno de los miembros (), Esto es:

CLIC = GDE = 0

O

1x4

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2t

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 101

_1161171420.unknown

_1161171433.unknown

_1161171442.unknown

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105964329 Metodo de Rotaciones

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