*10. Nmeros complejos

*Un nmero complejo z es un par ordenado de nmeros reales x e y, escrito como:

z = (x,y)(Notacin en componentes o coordenadas cartesianas). x se llama la parte real de z: Re(z) := xy se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=yDos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales e imaginarias son iguales:(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2 El conjunto de nmeros complejos, se denota por C:(William R. Hamilton)

*(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

(Los ingenieros elctricos a menudo usan j para evitar confusiones con el smbolo i, que asocian a la intensidad elctrica).Si x = 0 (z = i y), entonces z se dice que es un imaginario puro. Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un nmero real.z = x + i yUn nmero complejo z = (x,y) se escribe comnmente como (notacin algebraica o binmica, afijo en textos de antao):

*Suma y producto de nmeros complejosSumaProductoEn la facultad tenamos un profesor cojo al que llambamos el complejo.Tena una pierna real y otra imaginaria.Memorias de un estudiante de matemticas

*(1)(2)Ejemplos:De modo que podemos sustituir siempre: Esto nos permite una manera prctica de operar. Por ejemplo:

*La resta y la divisin se definen como operacionesinversas de la suma y la multiplicacin respectivamenteRestaDivisin(operacin inversa a la suma)(operacin inversa al producto)Qu es z ? Es un nmero complejo tal que: z z2 = z1, siempre que z20. Qu es z ? z + z2 = z1Ejercicio:demostrar que es cierto.

*Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7Im(z1) = 3,Im(z2) = 2z1+z2 = 11 + 5i,z1-z2 = 25+iz1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15iEjemplo:Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

*Complejo conjugadoEs sencillo demostrar que:El complejo conjugado de un nmero complejo z = x + i yse define como:

*Por ejemplo:

*Observemos que:En la prctica, obtenemos el cociente de dos nmeros complejos z1 / z2 multiplicando el numerador y denominador de por el complejo conjugado de z2.

*(1)(2)Ejemplos:Sean de nuevo: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

*A pesar de la sencillez del conjugado y sus propiedades, nos permite demostrar fcilmente cosas como esta:Un nmero es trascendente (o trascendental) si no es raz de ningn polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, nmero trascendente es antnimo de nmero algebraico (Wikipedia).

Sea la ecuacin:

C.

Si

es una raz de la ecuacin, entonces

es raz de la ecuacin:

Y en particular, si

,

,

y

son races de la misma ecuacin, y obtenemos el conocido teorema que nos dice que: las races no reales de la ecuacin anterior con coeficientes reales, aparecen en parejas de races conjugadas.

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*

*Sol.:Sol.:Demuestra el teorema del binomio para nmeros complejos:donde n es un entero positivo.Sugerencia: Usa induccin.

*La aventura de la ecuacin cbica"Cardano y Tartaglia. Las matemticas en el Renacimiento italiano".Francisco Martn Casalderrey, editorial Nivola"El desarrollo econmico y comercial en la Italia del siglo XII cre necesidades formativas nuevas. Junto con la seda y las especias se importan el sistema de numeracin hind, el lgebra rabe y las obras matemticas de la antigua Grecia. Las escuelas de baco difunden estos nuevos conocimientos formando a comerciantes y artesanos.Al comenzar el siglo XVI se empiezan a dar las condiciones para que las matemticas avancen. Del Ferro y Tartaglia resuelven la ecuacin de tercer grado, Ferrari la de cuarto y Cardano publica ambas soluciones en medio de una gran polmica.Todos los protagonistas de esta historia son hombres del Renacimiento, polmicos, vidos de saber y llenos de ideas."Francisco Martn Casalderrey

*La tragicomedia del nacimiento de los nmeros complejosLuca Pacioli (1445 - 1517)Luca Pacioli haba comparado la dificultad de la resolucin de la ecuacin de tercer grado con el viejo problema de la cuadratura del crculo."El crculo y el cuadrado sobre estas lneas presentan la misma rea aunque no existe un mtodo geomtrico que permita pasar de la figura de la izquierda a la de la derecha." (Wikipedia)

Resolver la ecuacin de tercer grado se haba convertido en un desafo intelectual digno de los mejores matemticos de la poca.

*

Escipione del Ferro (1465-1526) fue el primero en encontrar (1505-1515) una solucin general para la ecuacin cbica del tipo (Marciano?) :La Universidad de Bolonia, fundada en 1088, es la ms antigua de Europa.En 1496 se convirti en uno de los 5 titulares de la ctedra de matemticas. Aunque diversas fuentes lo describen como un gran algebrista, no han sobrevivido originales de su obra. "Incgnitas y cubos igual a nmeros"

*

En el siglo XVI cualquier matemtico o erudito poda ser desafiado a una disputa pblicamente. Muchas veces haba una apuesta de por medio... Estaba en juego la reputacin, la conservacin de su puesto de trabajo en la universidad e incluso el incremento de su salario.

Mantener los hallazgos matemticos en secreto fue comn hasta el siglo XVIII. Del Ferro, poco antes de morir, revel el secreto a su yerno (para asegurar su sucesin en su ctedra) y a su alumno Antonio Mara del Fiore, un matemtico mediocre.

*Niccol Fontana Tartaglia(1499-1557)

Buscando ese crdito, del Fiore desafi en 1535 al matemtico Niccol Tartaglia. Tartaglia era su apodo (tartamudo) a causa de un sablazo que recibi en la boca con 12 aos a manos de un soldado francs. Fue dado por muerto, pero gracias al tesn de su madre y a "un perro que le lami las heridas" (?!) logr sobrevivir. Siempre llev barba para ocultar su rostro desfigurado.Tartaglia proceda de una familia muy pobre: "Tuvo que abandonar sus estudios de lectura y escritura del alfabeto al llegar a la letra k porque la familia se qued sin dinero para pagar al tutor." (La ecuacin jams resuelta, Mario Livio).Tartaglia alcanz reputacin en Venecia al resolver algunos problemas para los ingenieros del Arsenal veneciano (45). Su fama lleg a odos de del Fiore que, pertrechado con "su secreto", lo ret...

*La noche del 12 de febrero de 1535 en Venecia, Tartaglia se enfrentaba a la lista de 30 problemas de su rival Antonio Mara del Fiore.

Al cabo de 8 das deba consignar las soluciones ante notario...Del Fiore perdi estrepitosamente: no pudo resolver ninguno de los 30 problemas que le propuso Tartaglia. Sin embargo Tartaglia fue capaz de redescubrir la frmula extraterrestre de del Ferro.

Tartaglia se convirti en una celebridad matemtica.

*

El resultado de la contienda se extendi como la plvora por toda Italia y lleg a odos de Gerolamo Cardano (1501-1576). Cardano fue un personaje singular. Como estudiante se sustent gracias al juego: cartas, dados, ajedrez... usando los que fueron primeros rudimentos de la teora de la probabilidad (Liber de ludo aleae).Cardano gan muchos debates, y a pesar de sus modales rudos y vocingleros, a mediados de siglo se haba convertido en uno de los mdicos ms famosos de Europa. Gerolamo Cardano (1501-1576) "Juro ante ti por los Santos Evangenlios y por mi fe de caballero, no solo no publicar jams tus descubrimientos si me los revelas, sino que tambin prometo y comprometo mi fe como verdadero cristiano que los escribir en clave para que despus de mi muerte nadie pueda comprenderlos." (25 de marzo de 1539, versin de Tartaglia).En esa poca estaba redactando su segundo libro y encontr sumamente atractiva la idea de incluir la frmula para la ec. de tercer grado. Trat en vano de deducirla, y decidi convencer a Tartaglia para que le revelara su secreto.

*The poem in which he revealed the secret of solving the cubic to Cardan: When the cube and the things together Are equal to some discrete number, 1 Find two other numbers differing in this one. Then you will keep this as a habit That their product shall always be equal Exactly to the cube of a third of the things. 2 The remainder then as a general rule Of their cube roots subtracted Will be equal to your principal thing.3 1 [Solve x3 + cx = d] 2 [Find u, v such that u - v = d and uv = (c/3)3 ] 3 [Then x = ]

*

Cardano generaliz la solucin de Tartaglia y su alumno Ludovico Ferrari (1522 - 1565) en 1540 encontr solucin para ecs. de cuarto grado. En 1542 Cardano y Ferrari consiguieron permiso para rebuscar entre los papeles de del Ferro, donde encontraron la famosa frmula! Puesto que Tartaglia no haba sido el primer descubridor, podan publicarla.Ars Magna (1545): Considerada como la fecha de nacimiento de los nmeros complejos y el principio del lgebra moderna. Resolucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra den 40. x(10-x)=40".Solucin intrigante o cantidades "sofsticas".

*

*Sonidos de la ciencia:Programa 98: La tragicomedia de la ecuacin de tercer grado

*Soluciones geomtricas

*Rafael Bombelli (1526-1572) resolvi la situacin operando como lo hacemos hoy con nmeros complejos.Forma general de la ecuacin cbica y solucin:Funcionaba bien en algunos casos, como:Pero en otros ... :Cardano saba que x = 4 es solucin de esta ecuacin.

*Ejercicio: Demuestra que la ecuacin de tercer grado:se reduce bajo el cambio de variable:a:cuyas soluciones son:Confirma que los nmeros complejos son necesarios incluso para encontrar las races reales de:

*

Ren Descartes (1596-1650)

60 aos despus de Bombelli:

A pesar de que podemos pensar que la ecuacin x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres races, nicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dosson simplemente imaginarias. Ren Descartes "La Gomtrie" (1637)

*Los nmeros imaginarios son un excelente y maravilloso refugio del Espritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no serGottfried von Leibnitz (1646 1716)Otros trminos que han sido usados para referirse a los nmeros complejos incluyen :Sofisticados(Cardano)Sin sentido (Nper)Inexplicables (Girard)Incomprensibles(Huygens)Imposibles (Diversos autores)

*Estos nmeros no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles. formulam littera i Leonhard Euler (1777)Leonhard Euler (1707 1783)Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemtica.i2 = -1; introdujo la notacin binmica.Demostr que el conjunto de los nmeros imaginarios era cerrado para las cuatro operaciones bsicas, as como para la potenciacin y la radicacin.

*Visualizar los nmeros complejos

*

Karl Friedrich Gauss (1777-1855)Nmeros ntegros complexosK. F. Gauss (1831)Nuestra aritmtica (...), constituye la creacinde los tiempos modernos, (...).A los nmeros enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias.Qu es un nmero complejo? Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretacin geomtrica: x+iy (x,y).

*Caspar Wessel (1745 - 1818)Primera representacin geomtrica en 1797.

Jean Argand (1768 - 1822)Idem y adems consider i como una rotacin de 90.Jhon Wallis (1616 - 1703)Algebra(1673)Qu significa un nmero complejo?Anteriores a Gauss:

*Miguel de Guzmn (1936-2004)La visualizacin de los nmeros reales mediante los puntos de una recta o de los nmeros complejos mediante los puntos del plano no solamente penetr sin gran resistenciaen el anlisis, sino que se puede decir con razn que, en el caso de los nmeros complejos, esta visualizacin (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposicin de la comunidad matemtica al dar carta de ciudadana a los nmeros complejos.

El rincn de la pizarra: ensayos de visualizacin en anlisis matemtico.

*El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)Mdulo:Tambin llamado valor absoluto(el mdulo de un real es su valor absoluto)Argumento:Eje realEje imaginarioPara z = 0, el ngulo no est definido.El argumento est multivaluado.

*Ejemplo:Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar mdulo y argumentoMdulo:Argumento:La calculadora no distingueEl argumento est multivaluado.

*Determinacin o valor principalEjemplo: supongamos quePara que sea nico, basta con imponer la condicin adicional de que pertenezca a un cierto intervalo semiabierto I de longitudEscoger este intervalo I se conoce como tomar una determinacin del argumento.Se denomina determinacin principal ovalor principal a Arg z, el valor de en el rango:

*

*Ejercicios: Demostrar que

*Ejercicio:Grficamente el conjugado es una reflexin respecto al eje real.

*

*Sol.:Sol.:

*Ejercicio: Demostrar que para a, b, c, d enteros siempre existen u y v enteros tal que: Encontrar u y v para:Liber quadratorum (1225)Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)El matemtico italiano Leonardo de Pisa escribi en 1202 el Liber Abaci, un texto en el que se explica como sumar, restar, multiplicar y dividir con numerales hindo-arbigos.

*

*"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad frtil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser frtiles engendrarn cada mes una pareja de conejos. Cuntos conejos habr al cabo de un determinado nmero de meses?"

*The On-Line Encyclopedia of Integer SequencesN. J. A. Sloane (http://www.research.att.com/~njas/sequences/)Sloane, N. J. A. 1973. A Handbook of Integer Sequences. New York: Academic Press. Sloane, N. J. A. 1994. "An On-Line Version of the Encyclopedia of Integer Sequences." The Electronic Journal of Combinatorics. Vol. 1, Feature F1. Sloane, N. J. A., and Simon Plouffe. 1995. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press. Base de datos con ms de 100.000 sucesiones de nmeros enteros.

Capaz de identificar una sucesin a partir de sus primeros trminos.

No solo hay ejemplos de combinatoria o teora de nmeros, sino tambin de otras reas como: diseo de circuitos (combinaciones de funciones booleanas), qumica (nmeros de steres con n tomos de carbono), fsica (diagramas de Feynman con n vrtices) y biologa (estructuras secundarias de ARN con n nucletidos).

*Como en el caso de la Encyclopedia of Integer Sequences, Simon Plouffe ha desarrollado el Inverse Symbolic Calculator, o ISC. La calculadora es inversa en el sentido de que utiliza como entrada un nmero y devuelve de dnde puede surgir. Por ejemplo, no le preguntamos cunto vale e/ + 1 y nos devuelve 1.8652559794322, como en una calculadora estndar. Sino al revs: introducimos 1.8652559794322 y nos sugiere e/ + 1 como posible fuente del mismo.

La base de datos de constantes matemticas de ISC tiene alrededor de 9 millones de entradas y su creador aspira a que tenga hasta 10 millones.

Brian Hayes, "A Question of Numbers", American Scientist, January-February 1996Inverse Symbolic CalculatorSimon Plouffe (http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/)

*Suma y resta de nmeros complejos en el plano complejoEn la suma (y la resta) los nmeros complejos se comportan como vectores.

*C con la suma y el producto por un escalar posee estructurade espacio vectorial, isomorfo a R2. El conjunto {1, i} es base de ese espacio. Y podemos identificar C con los vectores libres del plano R2. Pero recordemos que C tiene algo ms: el producto complejo.

*Desigualdad triangularEl mdulo de z es equivalente a la distancia euclidiana del vector libre (x,y).La distancia entrez1 y z2 es |z1-z2|. As disponemos de un espacio mtrico donde podemos definir lmites, continuidad, ...Qu significa que |z1| > |z2|?

*Demostremos la desigualdad triangular:Extrayendo la raz cuadrada (recordemos que el mdulo es siempre positivo), la desigualdad triangularqueda demostrada.

*Podemos generalizar la desigualdad triangular:Ejercicio: Demostrar por induccin. Hemos demostrado que es cierto para n = 2.Supongamos que es cierto para n y demostremos que entonces es tambin cierto para n+1.Ejercicio: Demostrar queEjercicio: Demostrar que

*A partir de las coordenadas polares (r,) tenemos:Forma polar y trigonomtricaUtilizamos el argumento principalForma polarForma trigonomtricaEn ingeniera:

*argumento:Ejemplo:Escribir el siguiente nmero complejo z1=1+i, en forma polar y trigonomtrica:mdulo:

*Argumento:Ejemplo:dem para z2=-1-i :Mdulo:

*Dos nmeros complejossern iguales sii:

*

*Propiedades del argumentoRecordemos que el argumento est multivaluado:

*Usemos las relaciones trigonomtricas siguientes para la suma de ngulos:Obtenemos que:

*

*Pero recordemos que en general: Observemos que, sin embargo, para el argumento principal:As que, en general:

*Ejercicio: demostrar queY que en general:

*Multiplicacin en forma trigonomtricaEn realidad ya tenemos la solucin a partir de las propiedades del argumento:

*Producto de nmeros complejos en el plano complejo

*Producto de nmeros complejos en el plano complejo1Observa que los tringulos azul y rojo son semejantes.

*Potencias de iPor ejemplo:

*

*Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados en sentido anti-horario (operador rotacin):"The number you have dialed is imaginary. Please rotate your phone 90 degrees and try again." AnonimusPrueba que:

*Qu significa un nmero complejo?Alcanzar el bus en T:T es un tiempo complejo y no alcanzars el bus. Pero adems tiene significado fsico... Supn que hay dos soluciones reales. Qu significan T+ y T-?Y si hay una nica solucin real?Si:

*En que instante s es mnimo?Es decir: el tiempo correspondiente a la parte real del tiempo complejo T.y queremos saber en qu momento estuvimos ms cerca... Supongamos que perdemos el bus:

*Relatividad especial: la importancia de iDistancia espacial (teorema de Pitgoras)Mtrica euclidianaInvariancia frente a rotaciones y/o translacionesAlbert Einstein(1879 1955)

*Transformaciones de GalileoTransformaciones de Lorentz

*En vez de hablar de distancia entre eventos (posiciones) en el espaciotridimensional, los fsicos hablan de intervalos entre eventos en el espacio cuatro-dimensional espaciotiempo. Parece razonable definir la mtrica de ese espaciotiempo como:

Pero es incorrecto! La mtrica as definida no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Para comprobarlo, supn que el movimiento es solo en el eje x, y calcula: Por ejemplo:

*Cmo hacer (ds)2 invariante? Lo que Minkowski descubries que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt).Demostrar que de esta manera (ds)2 es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Observa que usando ic(dt) o lo que es lo mismo c(idt), tenemos un tiempo imaginario!Las consideraciones sobre el espacio y el tiempo que quisiera presentarles surgieron en el seno de la fsica experimental, y en ello radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante el espacio en s mismo y el tiempo en s mismo estn condenados a ser sombras; slo un tipo de unin entre los dos conservar una realidad independiente.Hermann Minkowski(1864 1909)

*Pensemos que la divisin es la operacin inversa del producto:Divisin en forma polar

*Divisin de nmeros complejos en el plano complejo

*Ejemplos:(1) Usando la forma trigonomtrica, evaluar:(2) dem para:

*Frmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:Abraham de Moivre (1667 - 1754)Ejercicio: Demostrar por induccin.Sol.:

*Amazon.com Review At the very beginning of his book on i, the square root of minus one, Paul Nahin warns his readers: "An Imaginary Tale has a very strong historical component to it, but that does not mean it is a mathematical lightweight. But don't read too much into that either. It is *not* a scholarly tome meant to be read only by some mythical, elite group.... Large chunks of this book can, in fact, be read and understood by a high school senior who has paid attention to his or her teachers in the standard fare of pre-college courses. Still, it will be most accessible to the million or so who each year complete a college course in freshman calculus.... But when I need to do an integral, let me assure you I have not fallen to my knees in dumbstruck horror. And neither should you."Nahin is a professor of electrical engineering at the University of New Hampshire; he has also written a number of science fiction short stories. His style is far more lively and humane than a mathematics textbook while covering much of the same ground. Readers will end up with a good sense for the mathematics of i and for its applications in physics and engineering. --Mary Ellen Curtin

*El teorema de Moivre es una mquina de generar identidades trigonomtricas. Por ejemplo:Igualando las partes reales e imaginarias:

*Utilizando las siguientes identidades conseguimos otra manera ingeniosa de derivar identidades trigonomtricas:

*Por ejemplo:

*Ejercicio: SumarEn teora de series de Fourier la funcin Dn(x) se llama ncleo de Dirichlet.

*Races de zPor qu solo hasta n-1?

*dondeResumiendo:

*Ejercicio: Encontrar la raz cbica de z = i.Usando en la frmula anterior r = 1, = arg z = /2:

*Encontrar la raz cuarta de z = 1 + i.Con r = 2 , = arg z = /4; tenemos:

*Ejemplo: haya la raz quinta de la unidad.EcuacinciclotmicaEjercicio: Encuentra las races cbicas de 1 - i

*Ejercicio: Sea zk cualquier raz ensima de la unidad, prueba que: Nota: Si 1, z1, z2, ..., zn-1 son las races de la unidad, demuestra:Sol.:Sol.:

*Falacia (Del lat. fallaca).1. f. Engao, fraude o mentira con que se intenta daar a alguien.2. f. Hbito de emplear falsedades en dao ajeno.Real Academia Espaola

*El segundo paso (extraer races a ambos lados) puede parecer el origen de la falacia, pero no lo es. Basta con determinar el valor principal en ambas races.El tercer paso es el origen de la falacia. No existe regla que garantice que:excepto si a>0 y b>0. La nica manera de que dos nmeros u y v (u,v distintos de cero) tengan el mismo cuadrado es que u = v o u = -v. En nuestro caso, podamos haber escrito:

*De esta manera no se produce falacia.Observemos que pasa lo mismo con:

*Igualando las partes imaginariasUn producto infinito para :Elevando al cuadrado a ambos lados:

*(Aplicamos el resultado encontrado al ngulo mitad. )Aplicndolo reiteradamente... Un producto infinito para :

*Producto infinito de Vite para Dividiendo la igualdad entre :

*

*Potenciacin de exponente racional Sean Z , n N , con primos entre s. Se define Si , entonces: con . Los n valores ( para ) son distintos. Supongamos que para k y se obtuviese el mismo n complejo. Sera entonces: , es decir: . O sea, Como m y n son primos entre si, todo factor de n deber estar en , es decir kkn-'. Imposible puesnkk

*Ya podemos encontrar todas las soluciones de una ecuacin como:

Sern n soluciones.

O las soluciones de ecuaciones como:

Cuntas soluciones tiene?

*Cualquier complejo elevado a m est univaluado, nos proporcionar un nico valor.

Si m/n es irreducible, tendremos n soluciones. Si es reducible, m/n = p/q, y tendremos q < n soluciones distintas. Es importante, por tanto, simplificar m/n siempre.

Adems: supongamos que hemos simplificado hasta alcanzar m/n. Tomemos una solucin de las n posibles.Al elevarla a n/m debera darnos z, pero nos dar m valores y solo uno de ellos es z!

*Ley de clausura:z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.Ley asociativa:(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)Ley distributiva:z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3Las propiedades son fciles de probar escribiendo z en forma algebraica x+iy, y usando las correspondientes propiedades de los nmeros reales.Propiedades algebraicasLa suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.Ley conmutativa:z1 + z2 = z2 + z1z1 z2 = z2 z1

*

0+z = z+0 = z(Neutro para la suma)z +(-z) = (-z)+z = 0(Opuesto para la suma)z 1 = 1 z = z(Identidad para el producto)z z-1 = z-1 z = 1(Inverso para el producto)

{C,+,} con las propiedades anteriores es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los nmeros complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2, por ejemplo.z 0 = 0 z = 0(Neutro para el producto)(Para todo z distinto de 0)

*

*

*

*

*Representacin matricial de los nmeros complejosActa como 1Acta como i(una rotacin de 90)Con la suma y el producto matricial clsico, y teniendo en cuenta que toda matriz no cero de este tipo es invertible, tenemos un cuerpo.El mdulo es igual a la raz cuadrada del determinante.

A qu corresponde el conjugado de z en forma matricial?

*A pesar de las diferencias entre N, Z, Q, R y C, poseen muchas propiedades comunes comola conmutatividad y la asociatividad de la suma y el producto, la distributividad del producto respecto a la suma o la existencia de elemento unidad para la multiplicacin.Segn el teorema de Frobenius no es posible un campo mayor que C.Se puede ampliar ms el concepto de nmero de modo que se conserven estas propiedades?F. Frobenius (1849 - 1917)

*Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)Hamilton intent extender los nmeros complejos a "tres dimensiones". Hasta convencerse de que necesitaba cuatro: cuaterniones. Los cuaterniones son nmeros complejos en cuatro dimensiones en lugar de dos (Hamilton 1843). As un cuaternin q se expresa como:q = a + ib +jc + kddonde a,b,c,d son nmeros reales. {1, i, j, k} hacen de base en el hiperespacio de los cuaterniones. {1, i} era la base estndar para los nmeros complejos, simplemente se aaden dos vectores unitarios, j y k, perpendiculares entre s.Cuaterniones

*

CuaternionesComo se puede apreciar en esta regla de multiplicacin de los elementos de la base, el producto entre cuaterniones es asociativo y no conmutativo.Suma:La suma se realiza anlogamente a como se hace con nmeros complejos:Producto:El producto se realiza componente a componente de acuerdo con las leyes de combinacin y producto de los elementos de la base (Reglas de Hamilton):

*As el producto ser:Cuaternin conjugado:Dado el cuaternin , su conjugado se escribe como: Cociente entre cuaterniones:El cociente entre cuaterniones se obtiene rpidamente a partir de la frmula del inverso de un cuaternin:*

*El software de vuelo del Space Shuttle usaba cuaterniones para el control de navegacin y vuelo. Su uso consegua compacidad de cdigo, velocidad de cmputo y evitaba aparicin de singularidades en los clculos.Es el precio que se paga por obtener un lgebra consistente con los cuaterniones es la falta de conmutatividad. En general, el producto q q de dos cuaterniones no es igual que el producto q q (como ocurre con el producto matricial estndar, por ejemplo).

Sorprendentemente, esta propiedad viene al pelo para describir rotaciones en 3 dimensiones.

*Las rotaciones 3D no son conmutativas:180 grados es el equivalente al cambio de signo en la multiplicacin de cuaterniones. Los cuaterniones tienen las propiedades adecuadas para describir rotaciones y en particular composicin de rotaciones. Los cuaterniones se usan para las rotaciones en los grficos de ordenador (a partir de ahora puedes decir cuando manejes la PS2 que ests computando cuaterniones) y en GPS. 180 grados de diferencia dependiendo del orden de las rotaciones.

*Hamilton desarroll tambin otra lgebra alternativa: la de los nmeros hipercomplejos. En vez de sacrificar la conmutatividad, sacrific la existencia de inverso. En el lgebra hipercompleja no todo elemento h distinto de 0 posee inverso 1/h. La base de cuatro elementos posee la misma notacin que la de cuaterniones, pero las reglas de multiplicacin son distintas: i j = k, j k = -i, k i = -j j i = k, k j = -i, i k = -j i i = j j = -k k = -1 i j k = 1 El puente de Brougham sobre el Canal Real, donde Hamilton durante un paseo dedujo las reglas para los cuaterniones.

*... los nmeros complejos componen una notable unidad con la naturaleza. Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los nmeros complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos nmeros las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas ms minsculas.

Roger Penrose, "El camino a la realidad".

*The Complex Number Song(Tune:John Brown's Body)

Mine eyes have seen the glory of the Argand diagramThey have seen the i's and thetas of De Moivre's mighty planNow I can find the complex roots with consummate elanWith the root of minus oneComplex numbers are so easyComplex numbers are so easyComplex numbers are so easyWith the root of minus oneIn Cartesian co-ordinates the complex plane is fineBut the grandeur of the polar form this beauty doth outshineYou be raising i+40 to the power of 99With the root of minus oneYou'll realise your understanding was just second rateWhen you see the power and magic of the complex conjugateDrawing vectors corresponding to the roots of minus eightWith the root of minus one(Probably) Mrs P.E.Perella