113418961 Calculo Aplicado 2aed Hughes Hallett Et Al

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,CALCULO APLICADO

,

CALCULO APLICADO


GRFICAS DE FAMILIAS DE FUNCIONES

Funcin lineal y = b + mx

y y

b

m < Om> O

x x

Funcin potencial y = xP

y y

(1,1)p, nmero positivo imparp, nmero positivo par

x

x

y y y

:

O

Funcin exponencial: y = Poax Funcin logartmica: y = lnx

yy

Pox

x

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CALCULO APLICADOHughes-Hallett

Gleason

Lock

Flath

el al.

SEGUNDA EDICiNMXICO,2004

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL

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CALCULO APLICADO Hughes-Hallett Gleason Lock Flath el al.

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL

SEGUNDA EDICiN MXICO, 2004


Para establecer comunicacincon nosotros puede hacerlo por:

correo:Renacimiento 180, Col. 5an JuanTlihuaca, Azcapotzalco,02400, Mxico, D.F.

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111

fax pedidos:(01 55) 5354 91095354 9102

e-mail:[email protected]

home page:www.palriacultural.com.mx

Ttulo original de la obra:Applied Calculus / Deborah Hughes-Hallet, Andrew M. Gleason, Patti Frazer Lock,Daniel E. Flath, et. al. 2nd ed.Copyright 2003 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.ISBN 0471-20792-6

Direccin editorial: Javier Enrique CallejasCoordinador editorial: Armando Castaeda GonzlezDiseo de interiores: EDITEC, S.A. de c.v.Diseo de portada: EDITEC, S.A. de C.v

Traduccin:Dra. Ana Elizabeth Garca HemndezProfesora de AsignaturaDepto. de Fsica y MatemticasUniversidad Iberoamericana

Revisin tcnica:Dr. Francisco Castillo ArangurenProfesor TitularITESM-CEM

Clculo aplicadoDerechos reservados respecto a la segunda edicin: 1999, 2004, Deborah Hughes-Hallet, Andrew M. Gleason, Patti Frazer Lock,Daniel E. Flath, et. al. / John Wiley & Sons, Inc. 1999, COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE c.v. 2004, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE c.v.bajo el sello de Compaa Editorial ContinentalRenacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegacin Azcapotza1co, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria EditorialRegistro nm. 43

ISBN 970-24-0725-7 (segunda edicin)(ISBN 968-26-1314-0 primera edicin)

Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido dela presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin elconsentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MxicoPrinted in Mexico

Primera edicin: 1999Segunda edicin: 2004

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Revisin tcnica: Dr. Francisco Castillo Aranguren Profesor Titular ITESM-CEM

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Impreso en Mxico Printed in Mexico

Primera edicin: 1999 Segunda edicin: 2004


CLCULO APLICADO

Segunda edicin en ingls(segunda edicin en espaol)

Producido por el Consorcio de Clculo, que inicialmente fue fundado por la National Science Foundation Grant.

Deborah Hughes-HallettUniversity of Arizona

William G. McCallumUniversity of Arizona

Andrew M. GleasonHarvard University

Brad G. OsgoodStanford University

Patti Frazer LockSto Lawrence University

Douglas QuinneyUniversity of Keele

Daniel E. FlathUniversity of South Alabama

Andrew PasqualeChelmsford High School

Sheldon P. GordonSUNY Farmingdale

Karen RheaUniversity of Michigan

David O. LomenUniversity of Arizona

Jeff Tecosky -FeldmanHaverford College

David LovelockUniversity of Arizona

Jeff B. TrashUniversity of Southern Mississippi

Thomas W. TuckerColgate University

con la colaboracin de

Otto K. BretscherColby College

Eric ConnallyElytics

Richard D. PorterNortheastern University

Coordinado porElliot 1. Marks

CLCULO APLICADO

Segunda edicin en ingls (segunda edicin en espaol)

Producido por el Consorcio de Clculo, que inicialmente fue fundado por la N ational Science Foundation Grant.

Deborah Hughes-Hallett University of Arizona

Andrew M. Gleason Harvard University

Patti Frazer Lock Sto Lawrence University

Daniel E. Flath

William G. McCallum University of Arizona

Brad G. Osgood Stanford University

Douglas Quinney University of Keele

University of South Alabama Andrew Pasquale Chelmsford High School

Sheldon P. Gordon SUNY Farmingdale

David O. Lomen University of Arizona

David Lovelock University of Arizona

Otto K. Bretscher Colby College

Karen Rhea University of Michigan

J eff Tecosky -Feldman Haverford College

J eff B. Trash University of Southern Mississippi

Thomas W. Tucker Colgate University

con la colaboracin de

Eric Connally Elytics

Coordinado por Elliot 1. Marks

Richard D. Porter Northeastern University


Dedicado a Robin, Kari, Eric y Dennis,y

Laura, Hannah, Ben, Natty, Isaac y Matthias

Dedicado a Robin, Kari, Eric y Dennis, y

Laura, Hannah, Ben, Natty, Isaac y Matthias


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PREFACIO

El clculo es uno de los mayores logros del intelecto humano. Inspirados en problemas de astronoma,Newton y Leibniz desarrollaron las nociones del clculo hace 300 aos. Desde entonces, siglo tras siglose ha demostrado el poder del clculo para resolver preguntas de matemticas, ciencias fsicas, ingenie-ra, y ciencias sociales y biolgicas.

El clculo es una excelente herramienta debido a su extraordinaria capacidad para reducir problemascomplicados a simples reglas y procedimientos. En esto radica el riesgo de ensear clculo: es posible expo-ner el tema slo como un conjunto de reglas y procedimientos, pero con ello puede perderse el valor mate-mtico y tambin el prctico. En esta segunda edicin de Clculo aplicado continuamos nuestro esfuerzo pordarle un nuevo enfoque a la enseanza del clculo, tanto en sus conceptos como en sus procedimientos.

Una visin enfocada: comprensin de conceptosNuestro objetivo es proporcionar a los estudiantes una comprensin clara de las nociones del clculo, conel fin de que tengan una base slida para los cursos siguientes. Este libro es producto de conversacionescon miembros de algunas facultades de administracin, economa, biologa y otras disciplinas, as como connumerosos matemticos que ensean clculo aplicado. Como resultado de dichos debates incluimos nue-vos temas y omitimos otros tradicionales, cuya inclusin no se justificaba. En el proceso tambin cam-biamos el enfoque de ciertos temas.

la segunda edicin: una nueva organizacinLa segunda edicin mantiene l mismo enfoque de la primera, aunque brinda una nueva organizacin altomar en cuenta a los profesores, y para quienes se ha adoptado la organizacin comnmente preferidapor ellos, en la cual todos los captulos de derivadas se encuentran juntos. De esta forma se mantiene laposibilidad de emplear los conceptos clave de las ediciones anteriores. En particular:

El captulo 1 ha sido condensado, y con material de la seccin 1.5 de la primera edicin se cre unnuevo enfoque terico de lmites al infinito y comportamiento final.

Las secciones 2.2 y 2.3 de la primera edicin se combinaron en una sola seccin. El captulo Mtodos breves de derivacin es ahora el captulo 3. El captulo 4, Uso de la derivada, es el captulo 5 de la edicin anterior. Existe una nueva seccin,la 4.3, que contiene Mximos y mnimos globales, con ms aplicaciones a las ciencias de la vida.

El captulo 6 de la primera edicin ha sido dividido en tres captulos: captulo 6, Uso de la integraldefinida; captulo 7, Antiderivadas, y captulo 8, Probabilidad.

Existe una nueva seccin 10.1, Modelado matemtico: planteamiento de una ecuacin diferencial. Hay otro captulo nuevo: el 11, Series geomtricas.

Debido a que los usuarios eligen diferentes temas para cubrirse en un curso semestral de clculo apli-cado, hemos diseado este libro para un solo curso (con gran flexibilidad para la seleccin de temas) oincluso un curso de dos semestres. En el Manual del instructor se encuentran programas de muestra queresumen varias opciones. Dicho material se encuentra solamente en ingls y para la posibilidad de obte-nerlo es necesario ponerse en contacto con la editorial (Depto. de Mercadotecnia).

Principios gua: problemas variados y la regla de cuatroDebido a que la mayora de los estudiantes aprenden ms cuando desarrollan ms actividad, este libro con-tiene gran cantidad de ejercicios, los cuales son de primordial importancia. Adems, hemos encontradomltiples representaciones que motivan a los estudiantes a reflexionar sobre el significado del material.Por tanto, .nos hemos guiado por los siguientes principios:

Nuestros problemas son variados. Algunos son muy sencillos y otros un desafo. La mayor parte delos problemas exigen que los estudiantes comprendan los conceptos, y no se pueden resolver si-guiendo una simple frmula o plantilla que venga dentro del texto.

La Regla de cuatro. Es una regla prctica que se refiere a que los temas deben presentarse en for-ma geomtrica, numrica, analtica y verbal.

PREFACIO

El clculo es uno de los mayores logros del intelecto humano. Inspirados en problemas de astronoma, Newton y Leibniz desarrollaron las nociones del clculo hace 300 aos. Desde entonces, siglo tras siglo se ha demostrado el poder del clculo para resolver preguntas de matemticas, ciencias fsicas, ingenie-ra, y ciencias sociales y biolgicas.

El clculo es una excelente herramienta debido a su extraordinaria capacidad para reducir problemas complicados a simples reglas y procedimientos. En esto radica el riesgo de ensear clculo: es posible expo-ner el tema slo como un conjunto de reglas y procedimientos, pero con ello puede perderse el valor mate-mtico y tambin el prctico. En esta segunda edicin de Clculo aplicado continuamos nuestro esfuerzo por darle un nuevo enfoque a la enseanza del clculo, tanto en sus conceptos como en sus procedimientos.

Una visin enfocada: comprensin de conceptos Nuestro objetivo es proporcionar a los estudiantes una comprensin clara de las nociones del clculo, con el fin de que tengan una base slida para los cursos siguientes. Este libro es producto de conversaciones con miembros de algunas facultades de administracin, econolla, biologa y otras disciplinas, as como con numerosos matemticos que ensean clculo aplicado. Como resultado de dichos debates incluimos nue-vos temas y omitimos otros tradicionales, cuya inclusin no se justificaba. En el proceso tambin cam-biamos el enfoque de ciertos temas.

La segunda edicin: una nueva organizacin La segunda edicin mantiene el mismo enfoque de la primera, aunque brinda una nueva organizacin al tomar en cuenta a los profesores, y para quienes se ha adoptado la organizacin comnmente preferida por ellos, en la cual todos los captulos de derivadas se encuentran juntos. De esta forma se mantiene la posibilidad de emplear los conceptos clave de las ediciones anteriores. En particular:

El captulo 1 ha sido condensado, y con material de la seccin 1.5 de la primera edicin se cre un nuevo enfoque terico de lmites al infinito y comportamiento final.

Las secciones 2.2 y 2.3 de la primera edicin se combinaron en una sola seccin. El captulo Mtodos breves de derivacin es ahora el captulo 3. El captulo 4, Uso de la derivada, es el captulo 5 de la edicin anterior. Existe una nueva seccin,

la 4.3, que contiene Mximos y mnimos globales, con ms aplicaciones a las ciencias de la vida. El captulo 6 de la primera edicin ha sido dividido en tres captulos: captulo 6, Uso de la integral

definida; captulo 7, Antiderivadas, y captulo 8, Probabilidad. Existe una nueva seccin 10.1, Modelado matemtico: planteamiento de una ecuacin diferencial. Hay otro cap'tulo nuevo: el 11, Series geomtricas. Debido a que los usuarios eligen diferentes temas para cubrirse en un curso semestral de clculo apli-

cado, hemos diseado este libro para un solo curso (con gran flexibilidad para la seleccin de temas) o incluso un curso de dos semestres. En el Manual del instructor se encuentran programas de muestra que resumen varias opciones. Dicho material se encuentra solamente en ingls y para la posibilidad de obte-nerlo es necesario ponerse en contacto con la editorial (Depto. de Mercadotecnia).

Principios gua: problemas variados y la regla de cuatro Debido a que la mayora de los estudiantes aprenden ms cuando desarrollan ms actividad, este libro con-tiene gran cantidad de ejercicios, los cuales son de primordial importancia. Adems, hemos encontrado mltiples representaciones que motivan a los estudiantes a reflexionar sobre el significado del material. Por tanto, .nos hemos guiado por los siguientes principios:

Nuestros problemas son variados. Algunos son muy sencillos y otros un desafo. La mayor parte de los problemas exigen que los estudiantes comprendan los conceptos, y no se pueden resolver si-guiendo una simple frmula o plantilla que venga dentro del texto.

La Regla de cuatro. Es una regla prctica que se refiere a que los temas deben presentarse en for-ma geomtrica, numrica, analtica y verbal.


Este libro est destinado para estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. Hemos en-contrado que este material estimula a los estudiantes bien preparados a pensar, y a su vez es accesible paraaquellos que tienen pocos conocimientos de lgebra. A travs de mtodos numricos, grficos y algebrai-cos se les facilitan varias formas para que dominen el material. Este enfoque los alienta a perseverar y, co-mo consecuencia, ayuda a disminuir el porcentaje de errores.

xii Prefacio

Qu necesita saber el studiante?

Tecnologa

Captulo 2. Razn de cambio: la derivada

I1:'r1;

Hemos aprovechado el uso de las computadoras y calculadoras graficadoras para ayudar a los estudian-tes a aprender el pensamiento matemtico. Por ejemplo, el uso de una calculadora graficadora para rea-lizar acercamiento s (zoom) de las funciones es una excelente forma de observar la linealidad local. Lahabilidad de usar la tecnologa de modo efectivo como herramienta es de gran importancia. Se espera quelos estudiantes utilicen su propio criterio para determinar dnde es til la tecnologa.

No obstante, el libro no requiere un software o tecnologa especfica. Los instructores han utilizado elmaterial con calculadoras graficadoras, software de graficacin y sistemas de lgebra computacional. Cual-quier tecnologa con la capacidad para graficar funciones y ejecutar integraciones numricas es suficiente.

ContenidoEl contenido representa nuestra visin de cmo se puede ensear el clculo aplicado. Es lo suficiente-mente flexible para adaptarse a las necesidades y requerimientos particulares de cada curso. Se puedenagregar o eliminar temas de manera sencilla, o cambiar el orden de su estudio.

Captulo 1. Funciones y cambioIntroduce el concepto de funcin y la idea de cambio, incluyendo la distincin entre cambio total y razn decambio, as como todas las funciones elementales. Aunque las funciones son probablemente conocidas, los en-foques grfico, numrico, verbal y de modelado de las mismas tal vez resultarn nuevos. Para la comprensinde procesos reales se introducen las funciones exponenciales, que son parte fundamental en dicho estudio.

Enfoque sobre modelado. La primera seccin introduce al estudiante en el ajuste de frmulas para obtenerdatos, y la segunda provee informacin ms especfica sobre el inters compuesto y la definicin del nmero e.

Enfoque terico. Esta seccin analiza los lmites al infinito y comportamiento final.

Este captulo presenta el concepto clave de la derivada de acuerdo con la regla de cuatro. El propsitode este captulo es dar al estudiante un conocimiento prctico del significado de la derivada y su interpre-tacin como una razn de cambio instantnea. Al finalizar el captulo el estudiante ser capaz de encontrarderivadas en forma numrica (considerando un cociente de diferencias arbitrariamente pequeo); visua-lizar derivadas de manera grfica (como la pendiente de la grfica) e interpretar el significado de la pri-mera y la segunda derivada en diferentes aplicaciones. Tambin entender el concepto de marginalidady reconocer la derivada como una funcin por s misma.

Enfoque terico. Esta seccin analiza los lmites y la continuidad, y presenta la definicin simbli-ca de la derivada.

Captulo 3. Mtodos breves de derivacinSe introducen las derivadas de todas las funciones del captulo 1, as como las reglas para derivar pro-ductos, cocientes y funciones compuestas.

Enfoque terico. Esta seccin usa la definicin de la derivada para obtener las reglas de derivacin.Enfoque prctico. Esta seccin provee problemas de derivacin para que el estudiante adquiera ha-

bilidad en la forma de resolverlos.

CaptulO 4. Uso de la derivadaEl objetivo es capacitar al estudiante en el uso de la derivada para la solucin de problemas; incluye laoptimizacin y la graficacin. No es necesario cubrir todas las secciones.

xii Prefacio

Qu necesita saber el studiante? Este libro est destinado para estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. Hemos en-contrado que este material estimula a los estudiantes bien preparados a pensar, y a su vez es accesible para aquellos que tienen pocos conocimientos de lgebra. A travs de mtodos numricos, grficos y algebrai-cos se les facilitan varias formas para que dominen el material. Este enfoque los alienta a perseverar y, co-mo consecuencia, ayuda a disminuir el porcentaje de errores.

Tecnologa Hemos aprovechado el uso de las computadoras y calculadoras graficadoras para ayudar a los estudian-tes a aprender el pensamiento matemtico. Por ejemplo, el uso de una calculadora graficadora para rea-lizar acercamientos (zoom) de las funciones es una excelente forma de observar la linealidad local. La habilidad de usar la tecnologa de modo efectivo como herramienta es de gran importancia. Se espera que los estudiantes utilicen su propio criterio para determinar dnde es til la tecnologa.

No obstante, el libro no requiere un software o tecnologa especfica. Los instructores han utilizado el material con calculadoras graficadoras, software de graficacin y sistemas de lgebra computacional. Cual-quier tecnologa con la capacidad para graficar funciones y ejecutar integraciones numricas es suficiente.

Contenido El contenido representa nuestra visin de cmo se puede ensear el clculo aplicado. Es lo suficiente-mente flexible para adaptarse a las necesidades y requerimientos particulares de cada curso. Se pueden agregar o eliminar temas de manera sencilla, o cambiar el orden de su estudio.

Captulo 1. Funciones y cambio Introduce el concepto de funcin y la idea de cambio, incluyendo la distincin entre cambio total y razn de cambio, as como todas las funciones elementales. Aunque las funciones son probablemente conocidas, los en-foques grfico, numrico, verbal y de modelado de las mismas tal vez resultarn nuevos. Para la comprensin de procesos reales se introducen las funciones exponenciales, que son parte fundamental en dicho estudio.

Enfoque sobre modelado. La primera seccin introduce al estudiante en el ajuste de frmulas para obtener datos, y la segunda provee informacin ms especfica sobre el inters compuesto y la definicin del nmero e.

Enfoque terico. Esta seccin analiza los lmites al infinito y comportamiento final. Captulo 2. Razn de cambio: la derivada Este captulo presenta el concepto clave de la derivada de acuerdo con la regla de cuatro. El propsito de este captulo es dar al estudiante un conocimiento prctico del significado de la derivada y su interpre-tacin como una razn de cambio instantnea. Al finalizar el captulo el estudiante ser capaz de encontrar derivadas en forma numrica (considerando un cociente de diferencias arbitrariamente pequeo) ; visua-lizar derivadas de manera grfica (como la pendiente de la grfica) e interpretar el significado de la pri-mera y la segunda derivada en diferentes aplicaciones. Tambin entender el concepto de marginalidad y reconocer la derivada como una funcin por s misma.

Enfoque terico. Esta seccin analiza los lmites y la continuidad, y presenta la definicin simbli-ca de la derivada.

CaptUlO 3. Mtodos breves de derivacin Se introducen las derivadas de todas las funciones del captulo 1, as como las reglas para derivar pro-ductos, cocientes y funciones compuestas.

Enfoque terico. Esta seccin usa la definicin de la derivada para obtener las reglas de derivacin. Enfoque prctico. Esta seccin provee problemas de derivacin para que el estudiante adquiera ha-

bilidad en la forma de resolverlos.

CaptulO 4. Uso de la derivada El objetivo es capacitar al estudiante en el uso de la derivada para la solucin de problemas; incluye la optimizacin y la graficacin. No es necesario cubrir todas las secciones.


Prefacio xiii

Captulo 5. Cambio acumulado: la integral definidaPresenta el concepto clave de la integral definida; sigue los mismos lineamientos del captulo 2.

El propsito de este captulo es dar al estudiante una comprensin prctica de la integral definida comolmite de las sumas de Riemann, y destacar la conexin entre la derivada y la integral definida en elteorema fundamental del clculo. Utilizamos el mismo mtodo del captulo 2: se introdujo el conceptofundamental con detenimiento, pero sin entrar al estudio de tcnicas. El estudiante concluir el captulocon un buen dominio de la integral definida como lmite de las sumas de Riemann, tendr capacidad pa-ra calcular en forma numrica y sabr cmo interpretar la integral definida en varios contextos. Algu-nos instructores cubren el captulo 5 inmediatamente despus del captulo 2 sin dificultad.

Enfoque terico: Esta seccin presenta el segundo teorema fundamental del clculo, y tambin laspropiedades de la integral definida.

Captulo 6. Uso de la integral definidaEste captulo presenta aplicaciones de la integral definida. No se pretende que sea exhaustivo ni es nece-sario estudiar todas las secciones.

Captulo 7. AntiderivadasLas antiderivadas se abordan desde un punto de vista grfico, numrico y analtico. Se incluye la inte-gracin por sustitucin. El teorema fundamental del clculo se usa para evaluar integrales definidas yanalizar antiderivadas.

Enfoque prctico: Esta seccin provee una serie de problemas de integracin con el objeto de queel alumno adquiera mayor habilidad en su resolucin.

Captulo 8. ProbabilidadEste captulo trata funciones de densidad, funciones de distribucin, la mediana y el promedio.

Captulo 9. Funciones de varias variablesIntroduce las funciones de dos variables desde diferentes puntos de vista mediante diagramas de contorno,frmulas y tablas. Lo anterior desarrolla en el estudiante la habilidad para leer diagramas de contorno y pen-sar en forma grfica, as como leer tablas y pensar de manera numrica, adems de habilitarlo para que puedaaplicar estos conocimientos en el modelado junto con su prctica de lgebra. La idea de la derivada parcialse introduce desde los puntos de vista grfico, numrico y analtico. Se aplican las derivadas parciales a pro-blemas de optimizacin, y se termina con un anlisis de los multiplicadores de Lagrange.

Enfoque terico: En esta seccin se usa la optimizacin para demostrar la frmula para la recta deregresin.

Captulo 10. Modelado matemtico mediante ecuaciones diferencialesEste captulo introduce el tema de las ecuaciones diferenciales. Se hace nfasis en el modelado, as comoen las soluciones cualitativas y su interpretacin. Incluye aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferencia-les a modelos poblacionales, la propagacin de una enfermedad y tambin las interacciones depredador-presa.

Captulo 11. Series geomtricasEste nuevo captulo aborda las series geomtricas y sus aplicaciones en los negocios, la economa y lasciencias de la vida.

Cambios respecto a la primera edicinLa primera edicin fue empleada por un grupo diverso y numeroso de escuelas con sistemas semestraleso trimestrales, tanto en grandes auditorios como en clases normales, en laboratorios de computacin, antegrupos pequeos y con enfoques tradicionales, as como en lugares donde utilizaban diferentes tecno-logas. Mientras preparbamos la presente edicin, solicitamos los comentarios de un gran nmero de

Prefacio xiii

Captulo 5. Cambio acumulado: la integral definida Presenta el concepto clave de la integral definida; sigue los mismos lineamientos del captulo 2.

El propsito de este captulo es dar al estudiante una comprensin prctica de la integral definida como lmite de las sumas de Riemann, y destacar la conexin entre la derivada y la integral definida en el teorema fundamental del clculo. Utilizamos el mismo mtodo del captulo 2: se introdujo el concepto fundamental con detenimiento, pero sin entrar al estudio de tcnicas. El estudiante concluir el captulo con un buen dominio de la integral definida como lmite de las sumas de Riemann, tendr capacidad pa-ra calcular en forma numrica y sabr cmo interpretar la integral definida en varios contextos. Algu-nos instructores cubren el captulo 5 inmediatamente despus del captulo 2 sin dificultad.

Enfoque terico: Esta seccin presenta el segundo teorema fundamental del clculo, y tambin las propiedades de la integral definida.

Captulo 6. Uso de la integral definida Este captulo presenta aplicaciones de la integral definida. No se pretende que sea exhaustivo ni es nece-sario estudiar todas las secciones.

Captulo 7. Antiderivadas Las antiderivadas se abordan desde un punto de vista grfico, numrico y analtico. Se incluye la inte-gracin por sustitucin. El teorema fundamental del clculo se usa para evaluar integrales definidas y analizar antiderivadas.

Enfoque prctico: Esta seccin provee una serie de problemas de integracin con el objeto de que el alumno adquiera mayor habilidad en su resolucin.

Captulo 8. Probabilidad Este captulo trata funciones de densidad, funciones de distribucin, la mediana y el promedio.

Captulo 9. Funciones de varias variables Introduce las funciones de dos variables desde diferentes puntos de vista mediante diagramas de contorno, frmulas y tablas. Lo anterior desarrolla en el estudiante la habilidad para leer diagramas de contorno y pen-sar en forma grfica, as como leer tablas y pensar de manera numrica, adems de habilitarlo para que pueda aplicar estos conocimientos en el modelado junto con su prctica de lgebra. La idea de la derivada parcial se introduce desde los puntos de vista grfico, numrico y analtico. Se aplican las derivadas parciales a pro-blemas de optimizacin, y se termina con un anlisis de los multiplicadores de Lagrange.

Enfoque terico: En esta seccin se usa la optimizacin para demostrar la frmula para la recta de regresin.

Captulo 10. Modelado matemtico mediante ecuaciones diferenciales Este captulo introduce el tema de las ecuaciones diferenciales. Se hace nfasis en el modelado, as como en las soluciones cualitativas y su interpretacin. Incluye aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferencia-les a modelos poblacionales, la propagacin de una enfermedad y tambin las interacciones depredador-presa.

Captulo 11. Series geomtricas Este nuevo captulo aborda las series geomtricas y sus aplicaciones en los negocios, la economa y las ciencias de la vida.

Cambios respecto a la primera edicin La primera edicin fue empleada por un grupo diverso y numeroso de escuelas con sistemas semestrales o trimestrales, tanto en grandes auditorios como en clases normales, en laboratorios de computacin, ante grupos pequeos y con enfoques tradicionales, as como en lugares donde utilizaban diferentes tecno-logas. Mientras preparbamos la presente edicin, solicitamos los comentarios de un gran nmero de


xiv Prefacio

matemticos que han empleado el texto. Nos ofrecieron muchas sugerencias valiosas, las cuales hemostratado de incorporar, pero al mismo tiempo hemos conservado nuestro objetivo original de enfocar unnmero limitado de temas. Continuamos esas plticas con nuestros colegas de disciplinas relacionadaspara atender las necesidades matemticas de sus estudiantes.

Cambios generales En todo el libro se incluyeron ms aplicaciones en el campo de las ciencias biolgicas y de la vida. Se agregaron grficas y tablas para las respuestas cortas. Muchos problemas son nuevos, as como sus aplicaciones. Donde ha sido apropiado, se agregaronms problemas sencillos y de nivel medio.

Descripcin de cambios, captulo por captulo, respecto a la primera edicin de clculo aplicado El captulo 1 ha sido modernizado y simplificado. Desarrollamos una nueva seccin, que es la deEnfoque terico: lmites al infinito y comportamiento final, con base en el material de la seccin1.5 de la primera edicin.

El captulo 2, en la seccin 2.2, La funcin derivada, combina las secciones 2.2 y 2.3 de la prime-ra edicin.

El captulo 3, antes captulo 4, ha sido reubicado para que d continuidad al tema de la derivada. El captulo 4 es el captulo 5 anterior. La seccin 4.3, Mximos y mnimos globales, que incluyeaplicaciones de optimizacin en las ciencias de la vida, es nueva.

El captulo 5, antes captulo 3, ha sido reubicado para ser el captulo siguiente al de Uso de la derivada. El captulo 6 ha sido dividido en tres captulos: Uso de la integral definida, Antiderivadas y Probabilidad. El captulo 7, relativo a las antiderivadas, est basado en material del captulo 6 de la primera edicin. Laseccin 7.2, Integracin por sustitucin, es nueva. El enfoque prctico de la integracin se ha colocado aqu.

El captulo 8, referente a la probabilidad, proviene del captulo 6 de la primera edicin. El captulo 9 es el anterior captulo 7. En el captulo 10, la seccin 10.1, Modelado matemtico: planteamiento de una ecuacin diferen-cial, es nueva. Antes, este captulo era el 8.

El captulo 11, que es nuevo, trata sobre las series geomtricas y sus aplicaciones en el campo delos negocios, la economa y las ciencias de la vida.

Material adicionalEl siguiente material adicional se tiene disponible en Estados Unidos en su versin original en ingls. EnMxico, algunos de estos materiales se pueden adquirir; para ello se tiene que contactar con el Depto.de Mercadotecnia de la editorial CECSA. '

Manual del instructor, con preguntas muestra para examen. Contiene sugerencias para la ense-anza, programas de calculadora, algunas transparencias para proyectar diapositivas y preguntas deexamen que vienen de acuerdo con las secciones de los captulos.

Manual de soluciones del instructor. Con las soluciones completas a todos los problemas. Manual de soluciones del estudiante. Con soluciones completas de la mitad de los problemas denmero impar.

CD-ROM de Recursos del instructor. Contiene el Manual del Instructor, el Manual de Solucio-nes del Instructor y otros recursos valiosos.

Gua de estudio del estudiante. Con guas de estudio y materiales adicionales realizados por AnsieMeiring, de la Universidad de Pretoria.

Series de manuales para iniciarse en la tecnologa Conocimientos bsicos del programa Mathematica, de C-K. Cheung, G.E. Keough, CharlesLandraitis y Robert H. Gross, del Boston College.

Conocimientos bsicos del programa Maple, de C-K. Cheung y G. E. Keough, del Boston Colle-ge, y Michael May, de la Universidad de St. Louis.

Conocimientos bsicos en la calculadora graficadora TI-83/82, de Carl Swenson, de la Univer-sidad de Seattle.

Conocimientos bsicos en la calculadora graficadora TI-86/85, de Carl Swenson, de la Univer-sidad de Seattle.

Conocimientos bsicos en la calculadora graficadora TI-92/92 Plus, de Carl Swenson y BrianHopkins, de la Universidad de Seattle.

xiv Prefacio

matemticos que han empleado el texto. Nos ofrecieron muchas sugerencias valiosas, las cuales hemos tratado de incorporar, pero al mismo tiempo hemos conservado nuestro objetivo original de enfocar un nmero limitado de temas. Continuamos esas plticas con nuestros colegas de disciplinas relacionadas para atender las necesidades matemticas de sus estudiantes.

Cambios generales o En todo el libro se incluyeron ms aplicaciones en el campo de las ciencias biolgicas y de la vida. o Se agregaron grficas y tablas para las respuestas cortas. o Muchos problemas son nuevos, as como sus aplicaciones. Donde ha sido apropiado, se agregaron

ms problemas sencillos y de nivel medio.

Descripcin de cambios, captulo por captulo, respecto a la primera edicin de clculo aplicado o El captulo 1 ha sido modernizado y simplificado. Desarrollamos una nueva seccin, que es la de

Enfoque terico: lmites al infinito y comportamiento final, con base en el material de la seccin 1.5 de la primera edicin.

o El captulo 2, en la seccin 2.2, La funcin derivada, combina las secciones 2.2 y 2.3 de la prime-ra edicin.

o El captulo 3, antes captulo 4, ha sido reubicado para que d continuidad al tema de la derivada. o El captulo 4 es el captulo 5 anterior. La seccin 4.3, Mximos y mnimos globales, que incluye

aplicaciones de optimizacin en las ciencias de la vida, es nueva. o El captulo 5, antes captulo 3, ha sido reubicado para ser el captulo siguiente al de Uso de la derivada. o El captulo 6 ha sido dividido en tres captulos: Uso de la integral defInida, Antiderivadas y Probabilidad. o El captulo 7, relativo a las antiderivadas, est basado en material del captulo 6 de la primera edicin. La

seccin 7.2, Integracin por sustitucin, es nueva. El enfoque prctico de la integracin se ha colocado aqu. o El captulo 8, referente a la probabilidad, proviene del captulo 6 de la primera edicin. o El captulo 9 es el anterior captulo 7. o En el captulo 10, la seccin 10.1, Modelado matemtico: planteamiento de una ecuacin diferen-

cial, es nueva. Antes, este captulo era el 8. o El captulo 11, que es nuevo, trata sobre las series geomtricas y sus aplicaciones en el campo de

los negocios, la economa y las ciencias de la vida.

Material adicional El siguiente material adicional se tiene disponible en Estados Unidos en su versin original en ingls. En Mxico, algunos de estos materiales se pueden adquirir; para ello se tiene que contacta~ con el Depto. de Mercadotecnia de la editorial CECSA.

o Manual del instructor, con preguntas muestra para examen. Contiene sugerencias para la ense-anza, programas de calculadora, algunas transparencias para proyectar diapositivas y preguntas de examen que vienen de acuerdo con las secciones de los captulos.

o Manual de soluciones del instructor. Con las soluciones completas a todos los problemas. o Manual de soluciones del estudiante. Con soluciones completas de la mitad de los problemas de

nmero impar. o CD-ROM de Recursos del instructor. Contiene el Manual del Instructor, el Manual de Solucio-

nes del Instructor y otros recursos valiosos. o Gua de estudio del estudiante. Con guas de estudio y materiales adicionales realizados por Ansie

Meiring, de la Universidad de Pretoria.

Series de manuales para iniciarse en la tecnologa o Conocimientos bsicos del programa Mathematica, de C-K. Cheung, G.E. Keough, Charles

Landraitis y Robert H. Gross, del Boston College. o Conocimientos bsicos del programa Maple, de C-K. Cheung y G. E. Keough, del Boston Colle-

ge, y Michael May, de la Universidad de St. Louis. o Conocimientos bsicos en la calculadora graficadora TI-83/82, de Carl Swenson, de la Univer-

sidad de Seattle. o Conocimientos bsicos en la calculadora graficadora TI-86/85, de Carl Swenson, de la Univer-

sidad de Seattle. o Conocimientos bsicos en la calculadora graficadora TI-92/92 Plus, de Carl Swenson y Brian

Hopkins, de la Universidad de Seattle.


Prefacio xv

la Faculty Resource NetworkSe trata de una red electrnica compartida de profesores que se dedican a usar de manera eficaz la tecno-loga en el saln de clases. Este grupo puede ayudarle a aplicar tcnicas de innovacin en clase, imple-mentar paquetera de programacin especfica y ajustar la experiencia de la tecnologa a las necesidadesindividuales de cada clase. Para mayores detalles consulte

http://he-cda. wiley.com/WileyCD A/Section/id-1 06078 .html

eGradeeGrade es un sistema de evaluacin en lnea que contiene un gran banco de reactivos para desarrollar ha-bilidades, problemas de tarea y soluciones. Ahora los profesores pueden automatizar los problemas queasignen, deliberar, evaluar y enviar toda clase de tareas, exmenes rpidos y otro tipo de exmenes, los cua-les darn a los estudiantes una evaluacin inmediata y la retroalimentacin de su trabajo. As, Wiley eGradele ayudar a entender la matemtica de manera ms grfica. Para mayor informacin visite el sitio

www.wiley.comlcollege/egrade

Calculus Machina for CalculusSe trata de un programa basado en la Web; es paquetera de programacin inteligente que resuelve y do-cumenta problemas de clculo en tiempo real. Para estudiantes, Calculus Machina es un tutorial electr-nico que gua paso a paso en el aprendizaje. A medida que el estudiante trabaja en un problema en lnea,Calculus Machina provee una retroalimentacin adaptada del texto, permitiendo alos alumnos identifi-car y aprender de sus errores en forma ms eficiente. Los profesores pueden utilizar Calculus Machinapara ver un avance de los problemas y explorar funciones en forma grfica y analtica. Para mayor infor-macin visite www.wiley.comlcollege/machina.

AgradecimientosEn primer lugar, deseamos expresar nuestro aprecio a la Fundacin Nacional para la Ciencia (National Scien-ce Foundation) por su fe en nuestra capacidad para producir y revitalizar el historial del clculo; en particu-lar a Louise Raphael, John Kenelly, John Bradley, Bill Haver y James Lightbourne. Tambin queremosagradecer a los miembros de nuestro Consejo Consultivo: Benita Albert, Lida Barrett, Bob Davis, LoveniaDeConge-Watson, John Dossey, Ron Douglas, Don Lewis, Seymour Parter, John Prados y Steve Rodi, porsu gua y asesoramiento.

Adems, deseamos agradecer a todas las personas que en Estados Unidos nos alentaron a escribir es-te libro y nos ofrecieron un gran apoyo con sus consejos. Tambin nos gustara agradecer a las siguientespersonas por todo lo que hicieron para el xito del proyecto: David Arias, Ruth Baruth, Jeffery Bergen,Ted Bick, Graerne Bird, Kelly Brooks, Lucille Buonocore, J. Curtis Chipman, Dipa Choudhury, LarryCrone, Gene Crossley, Jane Devoe, Jeff Edmunds, Gail Ferrell, Joe Fiedler, Holland Filgo, RosangelaSviercoski Ferreira, Sally Fischbeck, David Flath, Ron Frazer, Lynn Gamer, David Graser, Ole Hald, JennyHarrison, John Hennessey, Yvette Hester, David Homung, Richard Iltis, Adrian Iovita, Mary Johenk, JerryJohnson, Thomas Judson, Bonnie Kelly, Donna Krawczyk, Theodore Laetsch, T.-Y. Lam, Sylvain Laroche,Kurt Lernmert, Suzanne Lenhart, Madelyn Lesure, Janny Leung, Julie Lindstrom, Thomas Lucas, AlfredManaster, Peter McClure, Georgia Kamvosoulis Mederer, Kurt Mederer, David Meredith, MoharnmadMoazzam, Saadat Moussavi, Patricia Oakley, Mary Ellen O'Leary, Header Olszyk, Jim Osterburg, MaryParker, Ruth Parsons, Greg Peters, Laura Piscitelli, Kim Presser (y 122 profesores de matemticas de laUSC-Columbia), Sarah Richardson, Laurie Rosatone, Daniel Rovey, Harry Row, Halip Saifi, Merillat StoAmand, Kenneth Santor, Anne Scanlan-Rohrer, Alfred Schipke, Bruce Spatz, Virginia Stallings. Brian Stanley,Marian Stas, Mary Jane Sterling, Robert Styer, "Suds" Sudholz, Thomas Timchek, Jake Thomas, John S.Thomas, Praja Trivedi, J. Jerry Uhl, Nicola Viegi, Tilaka Vijithakumara, Alan Weinstein, Hung-Hsi Wu.

Los reportes de los siguientes revisores nos fueron de mucha ayuda para integrar esta segunda edicin:Victor Akatsa, Carol Joyce Blumberg, Jennifer Fowler, Helen Hancock, Ken Hannsgen, John Haverhals,

Mako E. Haruta, Linda Hill, Thom Kline, Jill Messer Lamping, Dennis Lewandowski, Lige Li, WilliamO. Martn, Ted Marsden, Michael Mocciola, Maijian Qian, Joyce Quella, Peter Penner, Barry Peratt, EmilyRoth, Jerry Schuur, Barbara Shabell, Peter Stemberg, VIrginia Stover, Bruce Yoshiwara, Katherine Yoshiwara.

Prefacio xv

la Faculty Resource Network Se trata de una red electrnica compartida de profesores que se dedican a usar de manera eficaz la tecno-loga en el saln de clases. Este grupo puede ayudarle a aplicar tcnicas de innovacin en clase, imple-mentar paquetera de programacin especfica y ajustar la experiencia de la tecnologa a las necesidades individuales de cada clase. Para mayores detalles consulte

http://he-cda. wiley.com/WileyCD A/Sectionlid-l 06078 .html

eGrade eGrade es un sistema de evaluacin en lnea que contiene un gran banco de reactivos para desarrollar ha-bilidades, problemas de tarea y soluciones. Ahora los profesores pueden automatizar los problemas que asignen, deliberar, evaluar y enviar toda clase de tareas, exmenes rpidos y otro tipo de exmenes, los cua-les darn a los estudiantes una evaluacin inmediata y la retroalimentacin de su trabajo. As, Wiley eGrade le ayudar a entender la matemtica de manera ms grfica. Para mayor informacin visite el sitio

www.wiley.comlcollege/egrade

Calculus Machina for Calculus Se trata de un programa basado en la Web; es paquetera de programacin inteligente que resuelve y do-cumenta problemas de clculo en tiempo real. Para estudiantes, Calculus Machina es un tutorial electr-nico que gua paso a paso en el aprendizaje. A medida que el estudiante trabaja en un problema en lnea, Calculus Machina provee una retroalimentacin adaptada del texto, permitiendo a. los alumnos identifi-car y aprender de sus errores en forma ms eficiente. Los profesores pueden utilizar Calculus Machina para ver un avance de los problemas y explorar funciones en forma grfica y analtica. Para mayor infor-macin visite www.wiley.comlcollege/machina.

Agradecimientos En primer lugar, deseamos expresar nuestro aprecio a la Fundacin Nacional para la Ciencia (National Scien-ce Foundation) por su fe en nuestra capacidad para producir y revitalizar el historial del clculo; en particu-lar a Louise Raphael, John Kenelly, John Bradley, Bill Haver y James Lightbourne. Tambin queremos agradecer a los miembros de nuestro Consejo Consultivo: Benita Albert, Lida Barrett, Bob Davis, Lovenia DeConge-Watson, John Dossey, Ron Douglas, Don Lewis, Seymour Parter, John Prados y Steve Rodi, por su gua y asesoramiento.

Adems, deseamos agradecer a todas las personas que en Estados Unidos nos alentaron a escribir es-te libro y nos ofrecieron un gran apoyo con sus consejos. Tambin nos gustara agradecer a las siguientes personas por todo lo que hicieron para el xito del proyecto: David Arias, Ruth Baruth, Jeffery Bergen, Ted Bick, Graeme. Bird, Kelly Brooks, Lucille Buonocore, J. Curtis Chipman, Dipa Choudhury, Larry Crone, Gene Crossley, Jane Devoe, Jeff Edmunds, Gail Ferrell, Joe Fiedler, Holland Filgo, Rosangela Sviercoski Ferreira, Sally Fischbeck, David Flath, Ron Frazer, Lynn Gamer, David Graser, Ole Hald, Jenny Harrison, John Hennessey, Yvette Hester, David Homung, Richard Iltis, Adrian Iovita, Mary Johenk, Jerry Johnson, Thomas Judson, Bonnie Kelly, Donna Krawczyk, Theodore Laetsch, T.-Y. Lam, Sylvain Laroche, Kurt Lemmert, Suzanne Lenhart, Madelyn Lesure, Janny Leung, Julie Lindstrom, Thomas Lucas, Alfred Manaster, Peter McClure, Georgia Kamvosoulis Mederer, Kurt Mederer, David Meredith, Mohammad Moazzam, Saadat Moussavi, Patricia Oakley, Mary Ellen O'Leary, Header Olszyk, Jim Osterburg, Mary Parker, Ruth Parsons, Greg Peters, Laura Piscitelli, Kim Presser (y 122 profesores de matemticas de la USC-Columbia), Sarah Richardson, Laurie Rosatone, Daniel Rovey, Harry Row, Halip Saifi, Merillat St. Amand, Kenneth Santor, Anne Scanlan-Rohrer, Alfred Schipke, Bruce Spatz, Virginia Stallings. Brian Stanley, Marian Stas, Mary Jane Sterling, Robert Styer, "Suds" Sudholz, Thomas Timchek, Jake Thomas, John S. Thomas, Praja Trivedi, 1. Jerry Uhl, Nicola Viegi, Tilaka Vijithakumara, Alan Weinstein, Hung-Hsi Wu.

Los reportes de los siguientes revisores nos fueron de mucha ayuda para integrar esta segunda edicin: Victor Akatsa, Carol Joyce Blumberg, Jennifer Fowler, Helen Hancock, Ken Hannsgen, John Haverhals,

Mako E. Haruta, Linda Hill, Thom K1ine, Jill Messer Lamping, Dennis Lewandowski, Lige Li, William O. Martin, Ted Marsden, Michael Mocciola, Maijian Qian, Joyce Quella, Peter Penner, Barry Peratt, Emily Roth, Jerry Schuur, Barbara Shabell, Peter Stemberg, VIrginia Stover, Broce Yoshiwara, Katherine Yoshiwara.


.,' '

xvi Prefacio

Deborah Hughes-HallettAndrew M, GleasonPatti Frazer LockDaniel E. FlathSheldon P. Gordon

David O. LomenDavid LovelockWilliam G. McCallumBrad G. OsgoodAndrew Pasquale

Douglas QuinneyKaren RheaJeff Tecosky-FeldmanJoe B. ThrashThomas W. Tucker

En particular, nos gustara agradecer a Ray Cannon, Bob Condon y Emie Solheid por sus sobresa-lientes contribuciones.

Sobre todo, al destacado equipo que trabaj da y noche para capturar el texto en la computadora (yvolverlo a capturar), obtener las soluciones escritas y las ilustraciones etiquetadas. Apreciamos enorme-mente su ingenio, energa y dedicacin. Gracias a Srdjan Divac, Mike Esposito, David Grenda, Alex Kas-man, Alex Mallozzi, Kyle Niedzwiecki, Mary Prisco, Ted Pyne, Rebecca Rapoport, Ann Ryu, David Ryu,Noah Syroid y Xianbao Xu.

xvi Prefacio

En particular, nos gustara agradecer a Ray Cannon, Bob Condon y Emie Solheid por sus sobresa-lientes contribuciones.

Sobre todo, al destacado equipo que trabaj da y noche para capturar el texto en la computadora (y volverlo a capturar), obtener las soluciones escritas y las ilustraciones etiquetadas. Apreciamos enorme-mente su ingenio, energa y dedicacin. Gracias a Srdjan Divac, Mike Esposito, David Grenda, Alex Kas-man, Alex Mallozzi, Kyle Niedzwiecki, Mary Prisco, Ted Pyne, Rebecca Rapoport, Ann Ryu, David Ryu, Noah Syroid y Xianbao Xu.

Deborah Hughes-Hallett Andrew M. Gleason Patti Frazer Lock Daniel E. Flath Sheldon P. Gordon

David O. Lomen David Lovelock William G. McCallum Brad G. Osgood Andrew Pasquale

Douglas Quinney Karen Rhea Jeff Tecosky-Feldman Joe B. Thrash Thomas W. Tucker


Prefacio xvii

A los estudiantes: cmo aprender de este libro Quiz este libro sea diferente a otros textos de matemticas que haya utilizado; as que sera bueno sa-ber algunas de sus diferencias desde el principio. En cada etapa, el libro destaca el significado (en tr-minos prcticos, grficos o numricos) de los smbolos que se utilizan. Se hace menos nfasis enprocedimientos ("sustitucin y simplificacin") y usos de frmulas, y se destaca ms la interpretacinde estas frmulas de lo que podra esperarse, especialmente en este ltimo punto. A menudo se le pe-dir que explique verbalmente sus ideas, o que justifique su respuesta por medio de grficas.

El libro contiene en un lenguaje claro las ideas principales del clculo. El xito en el uso de este librodepende de la lectura, cuestionamientos y razonamiento sobre las ideas presentadas. Resultar de uti-lidad leer detalladamente el texto, no slo los ejemplos desarrollados.

Existen pocos ejemplos en el texto que sean exactamente como los problemas que vienen de tarea, portanto dichos problemas no pueden ser resueltos buscando otros problemas resueltos similares. El xi-to con las tareas lo lograr a medida que comprenda las ideas del clculo.

Muchos de los problemas del libro son de "final abierto". Esto significa que existe ms de un mtodocorrecto de tratamiento y ms de una solucin correcta. Algunas veces, el resolver un problema se ba-sa ms en ideas de sentido comn que no estn explcitamente indicadas, pero que usted conoce por-que son parte de su vida diaria.

Este libro se basa en el supuesto de que usted tiene acceso a una calculadora o computadora para gra-ficar funciones, encontrar races (aproximadas) de ecuaciones y calcular integrales numricamente.Existen muchas situaciones donde usted no estar en condiciones de obtener una solucin exacta delproblema, pero puede utilizar una calculadora o una computadora para obtener usa aproximacin ra-zonable. Una respuesta obtenida de esta manera suele ser tan til como una exacta. Sin embargo, elproblema no siempre indica si se necesita una calculadora, as que debe utilizar su propio criterio.

Si usted siente desconfianza por la tecnologa, escuche a esta estudiante, que al principio pensabade la misma manera:

Utilizar computadoras es extrao, pero en mi opinin es sorprendentemente benfico y conduceal xito en la clase. Tengo dificultad para visualizar las grficas en mi mente y esto siempre meha llevado al fracaso en el clculo. Con la ayuda de las computadoras, la presin ya no fue un pro-blema y estuve en condiciones de concentrarme en los conceptos que fundamentan el trazo degrficas; a partir de entonces todo comenz a ser gradualmente ms claro. Fui mejorando en lavisualizacin de cmo deberan ser las grficas. Es la vieja historia de no poder conseguir traba-jo sin experiencia previa ni lograr adquirir experiencia sin tener un trabajo. Al elaborar grficas me-diante las computadoras fue ms fcil concentrar la atencin en lo que expresan las grficas, enlugar de fijar la atencin solamente en cmo hacerlas bien. Lo que las grficas simbolizan es labase fundamental de esta clase. Cuando pude ver lo que estaba tratando de describir y aprend dedonde viene, fui capaz de entender ms sobre los conceptos, porque poda cambiar las condicio-nes y ver los resultados. Por primera vez pude ver cmo funcionaba todo ...

sta es la opinin de una estudiante de la Universidad de Arizona, que curs clculo en el otoo de1990; fue la primera vez que se utiliz este texto. A ella le aterraba el clculo y en su primer examenobtuvo una C, pero al final logr una A en el curso.

Este libro trata de dar el mismo valor a los tres mtodos para describir funciones: el grfico (una figura),el numrico (una tabla de valores) y el algebraico (una frmula). En ocasiones resulta ms fcil trasladar unproblema determinado de una forma a otra. Por ejemplo, se puede reemplaza' la grfica de una parbolacon su ecuacin, o elaborar una tabla de valores para ver su comportamiento. Es importante ser flexibles conrespecto al enfoque: si observa que por un mtodo se le dificulta el problema, intente con otro.

Los estudiantes que usan este libro han encontrado que el comentar estos problemas en pequeos gru-pos les resulta bastante til. Hay muchos problemas que no son fciles y quiz sea til considerar lasperspectivas de los dems compaeros para su solucin. Si no es factible el trabajo en grupo, los alum-nos deben ver si el maestro puede organizar una sesin de anlisis donde se traten estos problemas.

Probablemente se preguntar qu obtendr del libro. La respuesta es: si realiza un esfuerzo verdadero,tendr la capacidad de entender realmente uno de los logros ms importantes del milenio: el clculo,y a su vez conocer el tremendo alcance de las matemticas en la era de la tecnologa.

Prefacio xvii

A los estudiantes: cmo aprender de este libro Quiz este libro sea diferente a otros textos de matemticas que haya utilizado; as que sera bueno sa-

ber algunas de sus diferencias desde el principio. En cada etapa, el libro destaca el significado (en tr-minos prcticos, grficos o numricos) de los smbolos que se utilizan. Se hace menos nfasis en procedimientos ("sustitucin y simplificacin") y usos de frmulas , y se destaca ms la interpretacin de estas frmulas de lo que podra esperarse, especialmente en este ltimo punto. A menudo se le pe-dir que explique verbalmente sus ideas, o que justifique su respuesta por medio de grficas.

El libro contiene en un lenguaje claro las ideas principales del clculo. El xito en el uso de este libro depende de la lectura, cuestionamientos y razonamiento sobre las ideas presentadas. Resultar de uti-lidad leer detalladamente el texto, no slo los ejemplos desarrollados.

Existen pocos ejemplos en el texto que sean exactamente como los problemas que vienen de tarea, por tanto dichos problemas no pueden ser resueltos buscando otros problemas resueltos similares. El xi-to con las tareas lo lograr a medida que comprenda las ideas del clculo.

Muchos de los problemas del libro son de "final abierto". Esto significa que existe ms de un mtodo correcto de tratamiento y ms de una solucin correcta. Algunas veces, el resolver un problema se ba-sa ms en ideas de sentido comn que no estn explcitamente indicadas, pero que usted conoce por-que son parte de su vida diaria.

Este libro se basa en el supuesto de que usted tiene acceso a una calculadora o computadora para gra-ficar funciones, encontrar races (aproximadas) de ecuaciones y calcular integrales numricamente. Existen muchas situaciones donde usted no estar en condiciones de obtener una solucin exacta del problema, pero puede utilizar una calculadora o una computadora para obtener ~aproximacin ra-zonable. Una respuesta obtenida de esta manera suele ser tan til como una exacta. Sin embargo, el problema no siempre indica si se necesita una calculadora, as que debe utilizar su propio criterio.

Si usted siente desconfianza por la tecnologa, escuche a esta estudiante, que al principio pensaba de la misma manera:

Utilizar computadoras es extrao, pero en mi opinin es sorprendentemente benfico y conduce al xito en la clase. Tengo dificultad para visualizar las grficas en mi mente y esto siempre me ha llevado al fracaso en el clculo. Con la ayuda de las computadoras, la presin ya no fue un pro-blema y estuve en condiciones de concentrarme en los conceptos que fundamentan el trazo de grficas; a partir de entonces todo comenz a ser gradualmente ms claro. Fui mejorando en la visualizacin de cmo deberan ser las grficas. Es la vieja historia de no poder conseguir traba-jo sin experiencia previa ni lograr adquirir experiencia sin tener un trabajo. Al elaborar grficas me-diante las computadoras fue ms fcil concentrar la atencin en lo que expresan las grficas, en lugar de fijar la atencin solamente en cmo hacerlas bien. Lo que las grficas simbolizan es la base fundamental de esta clase. Cuando pude ver lo que estaba tratando de describir y aprend de donde viene, fui capaz de entender ms sobre los conceptos, porque poda cambiar las condicio-nes y ver los resultados. Por primera vez pude ver cmo funcionaba todo ...

sta es la opinin de una estudiante de la Universidad de Arizona, que curs clculo en el otoo de 1990; fue la primera vez que se utiliz este texto. A ella le aterraba el clculo y en su primer examen obtuvo una C, pero al final logr una A en el curso.

Este libro trata de dar el mismo valor a los tres mtodos para describir funciones: el grfico (una figura), el num11co (una tabla de valores) y el algebraico (una frmula). En ocasiones resulta ms fcil trasladar un problema determinado de una forma a otra. Por ejemplo, se puede reemplazar la grfica de una parbola con su ecuacin, o elaborar una tabla de valores para ver su comportamiento. Es impOltante ser flexibles con respecto al enfoque: si observa que por un mtodo se le dificulta el problema, intente con otro.

Los estudiantes que usan este libro han encontrado que el comentar estos problemas en pequeos gru-pos les resulta bastante til. Hay muchos problemas que no son fciles y quiz sea til considerar las perspectivas de los dems compaeros para su solucin. Si no es factible el trabajo en grupo, los alum-nos deben ver si el maestro puede organizar una sesin de anlisis donde se traten estos problemas.

Probablemente se preguntar qu obtendr del libro. La respuesta es: si realiza un esfuerzo verdadero, tendr la capacidad de entender realmente uno de los logros ms importantes del milenio: el clculo, y a su vez conocer el tremendo alcance de las matemticas en la era de la tecnologa.


xviii Prefacio

Deborah Hughes-HallettAndrew M. GleasonPatti Frazer LockDaniel E. FlathSheldon O. Gordon

David O. LomenDavid LovelockWilliam G. McCallumBrad G. OsgoodAndrew Pasquale

Douglas QuinneyKaren RheaJeff Tecosky-FeldmanJoe B. ThrashThomas W. Tucker

xviii Prefacio

Deborah Hughes-Hallett David O. Lomen Douglas Quinney Andrew M. Gleason David Lovelock Karen Rhea Patti Frazer Lock William G. McCallum Jeff Tecosky-Feldman Daniel E. Flath Brad G. Osgood J oe B. Thrash Sheldon O. Gordon Andrew Pasquale Thomas W. Tucker


1 FUNCIONES Y CAMBIO 1

CONTENIDO

1.1 QU ES UNA FUNCIN? 2

1.2 FUNCIONES LINEALES 7

1.3 RAZONES DE CAMBIO 13

1.4 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EN LA ECONOMA 22

1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 32

1.6 LOGARITMO NATURAL 39

1.7 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIALES 43

1.8 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE OTRAS ANTERIORES 51

1.9 PROPORCIONALIDAD, FUNCIONES DE POTENCIAS Y DE POLINOMIOS 56

1.10 FUNCIONES PERIDICAS 63

PROBLEMAS DE REPASO 69

PROYECTOS 74

ENFOQUE SOBRE MODELADO 75PARA AJUSTAR FRMULAS A DATOS 75

INTERS COMPUESTO Y EL NMERO e 82

ENFOQUE TERICO 88LMITES AL INFINITO Y COMPORTAMIENTO FINAL 88

2 RAZN DE CAMBIO: LA DERIVADA 93

2.1 RAZN DE CAMBIO INSTANTNEA 94

2.2 FUNCIN DERIVADA 101

2.3 INTERPRETACIONES DE LA DERIVADA 106

2.4 SEGUNDA DERIVADA 113

2.5 COSTO E INGRESO MARGINALES 117


PROYECTOS 127

ENFOQUE TERICO 129LMITES, CONTINUIDAD Y LA DEFINICIN DE LA DERIVADA 129

CONTENIDO

1 FUNCIONES Y CAMBIO

1.1 Qu ES UNA FUNCIN? 2 1.2 FUNCIONES LINEALES 7

1.3 RAZONES DE CAMBIO 13

1.4 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EN LA ECONOMA 22 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 32

1.6 LOGARITMO NATURAL 39


1.8 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE OTRAS ANTERIORES 51

1.9 PROPORCIONALIDAD, FUNCIONES DE POTENCIAS Y DE POLINOMIOS 56

1.10 FUNCIONES PERIDICAS 63 PROBLEMAS DE REPASO 69

PROYECTOS 74

ENFOQUE SOBRE MODELADO 75 PARA AJUSTAR FRMULAS A DATOS 75 INTERS COMPUESTO Y EL NMERO e 82

ENFOQUE TERICO 88 LMITES AL INFINITO Y COMPORTAMIENTO FINAL 88

2 RAZN DE CAMBIO: LA DERIVADA

2.1 RAZN DE CAMBIO INSTANTNEA 94 2.2 FUNCIN DERIVADA 101 2.3 INTERPRETACIONES DE LA DERIVADA 106

2.4 SEGUNDA DERIVADA 113

2.5 COSTO E INGRESO MARGINALES 117


PROYECTOS 127

ENFOQUE TERICO 129 LMITES, CONTINUIDAD Y LA DEFINICIN DE LA DERIVADA 129

1

93


xx Contenido

3 MTODOS BREVES DE DERIVACiN 136

3.1 FRMULAS DE DERIVACIN PARA POTENCIAS Y POLINOMIOS 136

3.2 FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARTMICAS 142

3.3 REGLA DE LA CADENA 147

3.4 REGLAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE 150

3.5 DERIVADAS DE FUNCIONES PERIDICAS 153


PROYECTOS 159

ENFOQUE TERICO 160DETERMINACIN DE LAS FRMULAS DE DERIVADAS 160

ENFOQUE PRCTICO 163DIFERENCIACIN 163

4 USO DE LA DERIVADA 165

4.1 MXIMf(S Y MNIMOS LOCALES 166

4.2 PUNTOS DE INFLEXIN 171

4.3 MXIMOS Y MNIMOS GLOBALES 176

4.4 GANANCIA, COSTO E INGRESO 183

4.5 COSTO PROMEDIO 188

4.6 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA 193

4.7 CRECIMIENTO LOGSTICO 198

4.8 FUNCIN PULSO Y CONCENTRACIN DE MEDICAMENTO 206


PROYECTOS 217

5 CAMBIO ACUMULADO: LA INTEGRAL DEFINIDA 219

5.1 CAMBIO ACUMULADO 220

5.2 INTEGRAL DEFINIDA 225

5.3 INTEGRAL DEFINIDA COMO REA 232

5.4 INTERPRETACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 237

5.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO 243


PROYECTOS 250

ENFOQUE TERICO 252TEOREMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS 252

xx Contenido

3 MTODOS BREVES DE DERIVACiN

3.1 FRMULAS DE DERIVACIN PARA POTENCIAS Y POLINOMIOS 136 3.2 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS 142 3.3 REGLA DE LA CADENA 147 3.4 REGLAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE 150 3.5 DERIVADAS DE FUNCIONES PERIDICAS 153

PROBLEMAS DE REPASO 157 PROYECTOS 159

ENFOQUE TERICO 160 DETERMINACIN DE LAS FRMULAS DE DERIVADAS 160

ENFOQUE PRCTICO 163 DIFERENCIACIN 163

4 USO DE LA DERIVADA

4.1 MXIMf(S Y MNIMOS LOCALES 166 4.2 PUNTOS DE INFLEXIN 171 4.3 MXIMOS Y MNIMOS GLOBALES 176 4.4 GANANCIA, COSTO E INGRESO 183 4.5 COSTO PROMEDIO 188 4.6 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA 193 4.7 CRECIMIENTO LOGSTICO 198 4.8 FUNCIN PULSO Y CONCENTRACIN DE MEDICAMENTO 206

PROBLEMAS DE REPASO 213 PROYECTOS 21 7

5 CAMBIO ACUMULADO: LA INTEGRAL DEFINIDA

5.1 CAMBIO ACUMULADO 220 5.2 INTEGRAL DEFINIDA 225 5.3 INTEGRAL DEFINIDA COMO REA 232 5.4 INTERPRETACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 237 5.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO 243

PROBLEMAS DE REPASO 246 PROYECTOS 250

ENFOQUE TERICO 252 TEOREMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS 252

136

165

219


8 PROBABILIDAD 301

Contenido xxi

6 USO DE lA INTEGRAL DEFINIDA 255

6.1 VALOR PROMEDIO 256

6.2 EXCEDENTES DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR 259

6.3 VALOR PRESENTE Y FUTURO 265 ~

6.4 TASAS DE CRECIMIENTO RELATIVAS 268


PROYECTOS 275

7 ANTIDERIVADASe

277

7.1 CONSTRUCCIN ANALTICA DE LAS ANTIDERIVADAS 278

7.2 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN 282

7.3 USO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL PARA HALLAR INTEGRALES DEFINIDAS 286

7.4 ANLISIS GRFICO Y NUMRICO DE LAS ANTIDERIVADAS 290


PROYECTOS 298

ENFOQUE PRCTICO 299INTEGRACIN 299

8.1 FUNCIONES DE DENSIDAD 302

8.1 FUNCIONES DE DISTRIBUCIN ACUMULATIVA Y PROBABILIDAD 306

8.3 MEDIANA Y MEDIA 312


PROYECTOS 320

6 USO DE lA INTEGRAL DEFINIDA

6.1 VALOR PROMEDIO 256

6.2 EXCEDENTES DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR 259

6.3 VALOR PRESENTE Y FUTURO 265 '-----------6.4 TASAS DE CRECIMIENTO RELATIVAS 268


PROYECTOS 275

7 ANTIDERIVADAS e

7.1 CONSTRUCCIN ANALTICA DE LAS ANTIDERIVADAS 278 7.2 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN 282

Contenido xxi

255

277

7.3 USO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL PARA HALLAR INTEGRALES DEFINIDAS 286

7.4 ANLISIS GRFICO Y NUMRICO DE LAS ANTIDERIVADAS 290 PROBLEMAS DE REPASO 296

PROYECTOS 298

ENFOQUE PRCTICO 299 INTEGRACIN 299

8 PROBABILIDAD

8.1 FUNCIONES DE DENSIDAD 302

8.1 FUNCIONES DE DISTRIBUCIN ACUMULATIVA Y PROBABILIDAD 306 8.3 MEDIANA Y MEDIA 312


PROYECTOS 320

301


xxii Contenido

9 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ( 321

9.1 COMPRENSIN DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES 322

9.2 DIAGRAMAS DE CONTORNO 326

9.3 DERIVADAS PARCIALES 337

9.4 CLCULO ALGEBRAICO DE DERIVADAS PARCIALES 345

9.5 PUNTOS cRTICOS y OPTIMIZACIN 352

9.6 OPTIMIZACIN RESTRINGIDA 357


PROYECTOS 368

ENFOQUE TERICO 369DEDUCCIN DE LA FRMULA PARA UNA RECTA DE REGRESIN 369

10 MODELADO MATEMTICO MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES 375

10.1 MODELADO MATEMTICO: PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL 376

10.2 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 380

10.3 CAMPOS DE DIRECCIONES 384


10.5 APLICACIONES Y MODELOS 395

10.6 MODELOS DE LA INTERACCIN DE DOS POBLACIONES 404

10.7 MODELO PARA LA PROPAGACIN DE UNA ENFERMEDAD 409


PROYECTOS 416

11 SERIES GEOMTRICAS 419

11.1 SERIES GEOMTRICAS 420

11.2 APLICACIONES A NEGOCIOS Y A LA ECONOMA 425

11.3 APLICACIONES A LAS CIENCIAS DE LA VIDA 428


PROYECTOS 435

xxii Contenido

9 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (

9.1 COMPRENSIN DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES 322 9.2 DIAGRAMAS DE CONTORNO 326

9.3 DERIVADAS PARCIALES 337

9.4 CLCULO ALGEBRAICO DE DERIVADAS PARCIALES 345 9.5 PUNTOS cRTICOS y OPTIMIZACIN 352 9.6 OPTIMIZACIN RESTRINGIDA 357


PROYECTOS 368

ENFOQUE TERICO 369 DEDUCCIN DE LA FRMULA PARA UNA RECTA DE REGRESIN 369

10 MODELADO MATEMTICO MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES

321

375

10.1 MODELADO MATEMTICO: PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL 376 10.2 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 380

10.3 CAMPOS DE DIRECCIONES 384


10.5 APLICACIONES Y MODELOS 395

10.6 MODELOS DE LA INTERACCIN DE DOS POBLACIONES 404 10.7 MODELO PARA LA PROPAGACIN DE UNA ENFERMEDAD 409

PROBLEMAS' DE REPASO 414

PROYECTOS 416

11 SERIES GEOMTRICAS

11.1 SERIES GEOMTRICAS 420 11 .2 APLICACIONES A NEGOCIOS Y A LA ECONOMA 425 11.3 APLICACIONES A LAS CIENCIAS DE LA VIDA 428


PROYECTOS 435

419


Contenido xxiii

APNDICE 437

PROYECTOS DE HOJA DE CLCULO 4381. MALTHUS: LA POBLACIN SOBREPASA LA OFERTA DE ALIMENTOS 438

2. DEUDA DE UNA TARJETA DE CRDITO 439

3. ELECCIN DE UN PRSTAMO BANCARIO 440

4. COMPARACIN DE CRDITOS HIPOTECARIOS 441

5. VALOR PRESENTE DE LOS PREMIOS DE LA LOTERA 442

6. COMPARACIN DE INVERSIONES 442

7. INVERSIN PARA EL FUTURO: PAGOS DE COLEGIATURAS 443

8. VERHULST: EL MODELO LOGSTICO 443

9. DIVULGACIN DE INFORMACIN: COMPARACIN DE DOS MODELOS 444

RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES 447

NDICE 469

Contenido xxiii

APNDICE 437

PROYECTOS DE HOJA DE CLCULO 438 1. MALTHUS: LA POBLACIN SOBREPASA LA OFERTA DE ALIMENTOS 438 2. DEUDA DE UNA TARJETA DE CRDITO 439 3. ELECCIN DE UN PRSTAMO BANCARIO 440 4. COMPARACIN DE CRDITOS HIPOTECARIOS 441 5. VALOR PRESENTE DE LOS PREMIOS DE LA LOTERA 442 6. COMPARACIN DE INVERSIONES 442 7. INVERSIN PARA EL FUTURO: PAGOS DE COLEGIATURAS 443 8. VERHULST: EL MODELO LOGSTICO 443 9. DIVULGACIN DE INFORMACIN: COMPARACIN DE DOS MODELOS 444

RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES 447

NDICE 469


Las funciones son realmente fundamentalespara las matemticas. De manera usualdecimos: "el funcionamiento del mercado devalores es una funcin de la confianzade los consumidores", o bien "la presinsangunea del paciente es una funcin delos medicamentos prescritos". En cadacaso, la palabra funcin expresa la idea deque el conocimiento de cierta informacinnos lleva al conocimiento de otra. Enmatemticas, las funciones ms importantesson aquellas en las que el conocimientode un nmero nos indica otro nmero.Si conocemos la longitud del lado de uncuadrado, podemos determinar su rea.Si conocemos la circunferencia de uncrculo, podemos determinar su radio.

El clculo se inicia con el estudio de lasfunciones. Este captulo establece lasbases del clculo para estudiar elcomportamiento de algunasfunciones comunes. Tambin vemos formasde manejar grficas, tablas y frmulas querepresentan estas funciones.

El clculo nos permite estudiar el cambio.En este captulo veremos cmo medir elcambio y la razn promedio de cambio.

FUNCI NES yAMBIO

FUNCI ' NES y AMBlO

Las funciones son realmente fundamentales para las matemticas. De manera usual decimos: "el funcionamiento del mercado de valores es una funcin de la confianza de los consumidores", o bien "la presin sangunea del paciente es una funcin de los medicamentos prescritos". En cada caso, la palabra funcin expresa la idea de que el conocimiento de cierta informacin nos lleva al conocimiento de otra. En matemticas, las funciones ms importantes son aquellas en las que el conocimiento de un nmero nos indica otro nmero. Si conocemos la longitud del lado de un cuadrado, podemos determinar su rea. Si conocemos la circunferencia de un crculo, podemos determinar su radio.

El clculo se inicia con el estudio de las funciones. Este captulo establece las bases del clculo para estudiar el comportamiento de algunas funciones comunes. Tambin vemos formas de manejar grficas, tablas y frmulas que representan estas funciones.

El clculo nos permite estudiar el cambio. En este captulo veremos cmo medir el cambio y la razn promedio de cambio.


2 Clculo aplicado

1.1 QU ES UNA FUNCiN?En matemticas, una funcin se usa para representar la forma en que una cantidad depende de otra.

Veamos un ejemplo. En diciembre de 2000 las temperaturas en Chicago eran inusualmente bajas enlas vacaciones de invierno. Las mximas temperaturas diarias durante los das 19 al 28 de diciembre apa-recen en la tabla l.l.

Tabla 1.1 Temperaturas mximas diarias en Chicago, 19 al 28 de diciembre de 2000

Fecha (diciembre 2000) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Temperatura mxima (OF) 20 17 19 7 20 11 17 19 17 20

Aun cuando nunca hayamos pensado en que algo tan impredecible como la temperatura sea una fun-cin, la temperatura es una funcin de la fecha, porque cada da da lugar a una y slo a una temperaturamxima. No hay frmula para la temperatura (de lo contrario, no necesitaramos del servicio meteorol-gico); sin embargo, la temperatura satisface la definicin de una funcin: cada fecha, t, tiene una tempe-ratura de salida nica, H, relacionada con ella.

Definamos una funcin de la siguiente manera:

Una funcin es una regla que toma ciertos nmeros como entradas y asigna a cada uno un nmerodefinitivo de salida. El conjunto de todos los nmeros de entrada recibe el nombre de dominio de lafuncin, y el conjunto de los nmeros de salida resultantes se denomina el rango de la funcin.

La entrada se llama variable independiente y la salida, variable dependiente. En el ejemplo de la tem-peratura, el conjunto de fechas {19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28} es el dominio, y el conjunto de tempe-raturas {7, 11, 17, 19, 20} es el rango. Llamamos f a la funcin, y la denotamos como H = f(t). Unafuncin puede tener resultados idnticos, pero diferentes entradas (por ejemplo, diciembre 20, 25 Y27).

Algunas cantidades, por ejemplo las fechas, son discretas, es decir, slo pueden tomar valores aisla-dos (las fechas deben ser nmeros enteros). Otras cantidades, como el tiempo, son continuas porque pue-den ser cualquier nmero. Para una variable continua, los dominios y los rangos con frecuencia seescriben usando la notacin de intervalos:

El conjunto de nmeros t tal que a s t s b se escribe [a, b]El conjunto de nmeros t tal que a < t < b se escribe (a, b)

Representacin de funciones: tablas, grficas, frmulas y enunciadosLas funciones pueden ser representadas por tablas, grficas, frmulas y enunciados. Por ejemplo, la fun-cin que da las temperaturas mximas en Chicago puede estar representada por la grfica de la figura 1.1,as como por la tabla 1.1.

20 10

t (fecha)

Diciembre / 20 22 24 26 28

Figura 1.1. Temperaturas en Chicago, diciembre de 2000.


Captulo 1 I Funciones y cambio 3

Otras funciones aparecen de manera natural como grficas. La figura 1.2 contiene imgenes de elec-trocardiogramas (ECG) que muestran los patrones de los latidos del corazn de dos pacientes, uno normaly otro anormal. Aunque es posible construir una frmula para aproximar una funcin de un ECG, rarasveces se hace. El patrn de repeticiones es lo que un doctor necesita conocer y se puede determinar msfcilmente en una grfica que en una frmula. Sin embargo, cada ECG representa una funcin que indi-ca la actividad elctrica como funcin del tiempo.

Figura 1.2. Lecturas de ECO en dos pacientes.

Considere el grillo del rbol de nieve. Para nuestra sorpresa, todos los grillos chirrian esencialmen-te al mismo ritmo si estn a la misma temperatura. Esto significa que el ritmo del chirrido es una funcinde la temperatura. En otras palabras, si conocemos la temperatura podemos determinar el ritmo de los chi-rridos. An ms sorprendente es que el ritmo de un chirrido, e, en chirridos por minuto, aumenta de ma-nera constante con la temperatura, T, en grados Fahrenheit y se puede calcular, con cierto grado deexactitud, mediante la frmula

e = f(T) = 4T- 160La grfica de esta funcin se muestra en la figura 1.3.

Como e = f(T) aumenta con T, podemos decir quefes una funcin creciente.e (chirridos por minuto)

400300200 e = 4T - 160100

L---

4."-0-------'--------'-- T(OF)

100 140Figura 1.3. Ritmo de chirridos de un,grillo con respecto a la temperatura.

Notacin de funciones e interseccionesSe escribe y = f(t) para expresar el hecho de que y es una funcin de t. La variable independiente es t,la variable dependiente, y y f es el nombre de la funcin. La grfica de una funcin tiene una intersec-cin en el punto donde cruza el eje horizontal o el vertical. Los valores de las abscisas de las interseccio-nes horizontales * tambin son conocidas como los ceros de la funcin.

Ejemplo 1 El valor de un automvil, V, es una funcin del tiempo de uso del auto, a, as que V = fea).(a) Interprete el enunciado f(5) = 9 en trminos del valor del automvil, si Ves en miles de dlares, y

a en aos.(b) En las mismas unidades, el valor de un Honda! se aproxima por fea) = 13.25 - 0.9a. Encuentre e

interprete las intersecciones verticales y horizontales de la grfica de esta funcin de depreciacin!

*N. del Rev. Tc. El valor (nmero) de la abscisa de la interseccin de la grfica con el eje horizontal se conoce como abscisaen el origen de la grfica (funcin). Asimismo, la ordenada (nmero) de la interseccin de la grfica con el eje vertical se denomi-na ordenada en el origen de la grfica (funcin).

'Datos obtenidos del libro Kelley Blue, www.kbb.corn.

Captulo 1 / Funciones y cambio 3

Otras funciones aparecen de manera natural como grficas. La figura 1.2 contiene imgenes de elec-trocardiogramas (ECG) que muestran los patrones de los latidos del corazn de dos pacientes, uno normal y otro anormal. Aunque es posible construir una frmula para aproximar una funcin de un ECG, raras veces se hace. El patrn de repeticiones es lo que un doctor necesita conocer y se puede determinar ms fcilmente en una grfica que en una frmula. Sin embargo, cada ECG representa una funcin que indi-ca la actividad elctrica como funcin del tiempo.

Figura 1.2. Lecturas de ECO en dos pacientes.

Considere el grillo del rbol de nieve. Para nuestra sorpresa, todos los grillos chirrian esencialmen-te al mismo ritmo si estn a la misma temperatura. Esto significa que el ritmo del chirrido es una funcin de la temperatura. En otras palabras, si conocemos la temperatura podemos determinar el ritmo de los chi-rridos. An ms sorprendente es que el ritmo de un chirrido, e, en chirridos por minuto, aumenta de ma-nera constante con la temperatura, T, en grados Fahrenheit y se puede calcular, con cierto grado de exactitud, mediante la frmula

e = j(T) = 4T- 160 La grfica de esta funcin se muestra en la figura 1.3.

Como e = j(T) aumenta con T, podemos decir quejes unajuncin creciente. e (chirridos por minuto)

400

300

200

100

40

e = 4T - 160

100 T(OF)

140 Figura 1.3. Ritmo de chirridos de un,grillo con respecto a la temperatura.

Notacin de funciones e intersecciones Se escribe y = Jet) para expresar el hecho de que y es una funcin de t. La variable independiente es t, la variable dependiente, y y j es el nombre de la funcin. La grfica de una funcin tiene una intersec-cin en el punto donde cruza el eje horizontal o el vertical. Los valores de las abscisas de las interseccio-nes horizontales * tambin son conocidas como los ceros de la funcin.

Ejemplo 1 El valor de un automvil, V, es una funcin del tiempo de uso del auto, a, as que V = j(a). (a) Interprete el enunciado j(5) = 9 en trminos del valor del automvil, si Ves en miles de dlares, y

a en aos. (b) En las mismas unidades, el valor de un Honda! se aproxima por j(a) = 13.25 - 0.9a. Encuentre e

interprete las intersecciones verticales y horizontales de la grfica de esta funcin de depreciacin!

*N. del Rev. Tc. El valor (nmero) de la abscisa de la interseccin de la grfica con el eje horizontal se conoce como abscisa en el origen de la grfica (funcin). Asimismo, la ordenada (nmero) de la interseccin de la grfica con el eje vertical se denomi-na ordenada en el origen de la grfica (funcin).

Datos obtenidos del libro Kelley Blue, www.kbb.com.


-- -------------~~---------------------------------------------4 Clculo aplicado

Solucin (a) Como V = fea), el enunciado f(5) = 9 significa que V = 9 cuando a = 5. Esto nos dice que el au-tomvil vale $9,000* cuando tiene cinco aos.

(b) Como V = fea), una grfica de la funcinftiene el valor del automvil en el eje vertical, y la edaddel automvil en el eje horizontal. La ordenada en el origen de f es el valor de V cuando a = O.ste es V = feO) = 13.25; as, el Honda vala $13,250 cuando estaba nuevo. La abscisa en el origende f es el valor de a tal que V (a) = O, por tanto

13.25 - 0.9a = O

13.25a = -- = 14.7.

0.9Despus de 15 aos, el Honda no tendr ningn valor.

Puesto que V = fea) disminuye a medida que a aumenta, decimos que f es una funcin decreciente.

Problemas para la seccin 1.1

1. La poblacin de una ciudad, P, en millones, es una funcinde t, el nmero de aos desde 1950, as P = f(t). Expliqueel significado del enunciado f(35) = 12 en trminos de lapoblacin de esta ciudad.

2. Qu grfica de la figura 1.4 se relaciona mejor con cadauna de las siguientes historias'i? Escriba una historia para lagrfica restante.(a) Justo cuando sal de casa me di cuenta que haba olvi-

dado mis libros, as que regres para recogerlos.

(b) Todo marchaba bien hasta que se desinfl una llanta.(e) Al principio iba calmado, pero despus apresur el paso

cuando me di cuenta que iba a llegar tarde.

(1) distancia (11) distanciadesde casa desde casa

V tlernpo I"'----------/~/ tiempo(111) distancia

desde casa(IV) distancia

desde casa

Figura 1.4.3. El nmero de ventas por mes, S, es una funcin de la cantidad,

a gastados en publicidad ese mes, de modo que S = fea).

(a) Interprete el enunciado f(I,OOO) = 3,500.(b) Qu grfica de la figura \.5 representa ms acertada-

mente esta funcin?

(e) Qu representa la ordenada en el origen de la grficade esta funcin, en trminos de ventas y publicidad?

(1) S (11) S

Figura 1.5.

4. En las montaas de los Andes, en Per, el nmero, N, deespecies de murcilagos es una funcin de la altura, h, enpies sobre el nivel del mar, as N = f(I1).

(a) Interprete el enunciado f(500) = 100 en trminos deespecies de murcilagos.

(b) Cules son los significados de la ordenada en el ori-gen, k, y la abscisa en el origen, e, en la figura 1.6?

N (nmero de especies de murcilagos)

k

N = f(h)

L---------="'c--h (altura en pies)

Figura 1.6.

N. E. Las cantidades que aparecen en todo el libro estn expresadas en dlares estadounidenses.2Adaptado de Terwel, Jan, "Real Math in Cooperative Groups in Secondary Equation", Cooperative Learning in Mathematics,

Neal Davidson, lectura: Addison Wesley, 1990, p. 234.

4 Clculo aplicado

Solucin (a) Como V = fea), el enunciado f(5) = 9 significa que V = 9 cuando a = 5. Esto nos dice que el au-tomvil vale $9,000* cuando tiene cinco aos.

(h) Como V = fCa) , una grfica de la funcinftiene el valor del automvil en el eje vertical, y la edad del automvil en el eje horizontal. La ordenada en el origen de f es el valor de V cuando a = O. ste es V = fCO) = 13.25; as, el Honda vala $13,250 cuando estaba nuevo. La abscisa en el origen de f es el valor de a tal que V Ca) = O, por tanto

13.25 - 0.9a = O 13.25

a = -- = 14.7. 0.9

Despus de 15 aos, el Honda no tendr ningn valor.

Puesto que V = fCa) disminuye a medida que a aumenta, decimos que f es una funcin decreciente.

Problemas para la seccin 1.1 1. La poblacin de una ciudad, P, en millones, es una funcin

de t , el nmero de aos desde 1950, as P = f(t) . Explique el significado del enunciado f(35) = 12 en trminos de la poblacin de esta ciudad.

2. Qu grfica de la figura 1.4 se relaciona mejor con cada una de las siguientes historias?2 Escriba una historia para la grfica restante. (a) Justo cuando sal de casa me di cuenta que haba olvi-

dado mis libros, as que regres para recogerlos. (b) Todo marchaba bien hasta que se desinfl una llanta. (e) Al principio iba calmado, pero despus apresur el paso

cuando me di cuenta que iba a llegar tarde.

(1) distancia (11) distancia desde casa desde casa

V tl,mpo I"'-------/~_/ (111) distancia

desde casa (IV) distancia

desde casa

Figura 1.4.

tiempo

3. El nmero de ventas por mes, S, es una funcin de la cantidad, a gastados en publicidad ese mes, de modo que S = fea) . (a) Interprete el enunciado f(l,OOO) = 3,500. (b) Qu grfica de la figura 1.5 representa ms acertada-

mente esta funcin? (e) Qu representa la ordenada en el origen de la grfica

de esta funcin, en trminos de ventas y publicidad?

(1) S (11) S

Figura 1.5.

4. En las montaas de los Andes, en Per, el nmero, N, de especies de murcilagos es una funcin de la altura, h, en pies sobre el nivel del mar, as N = f(h). (a) Interprete el enunciado f(500) = 100 en trminos de

especies de murcilagos. (b) Cules son los significados de la ordenada en el ori-

gen, k, y la abscisa en el origen, e, en la figura 1.6?

N (nmero de especies de murcilagos)

k

N = eh)

e h (altura en pies)

Figura 1.6.

N. E. Las cantidades que aparecen en todo el libro estn expresadas en dlares estadounidenses. 2Adaptado de Terwel, Jan, "Real Math in Cooperative Groups in Secondary Equation", Cooperative Learning in Mathematics,

Neal Davidson, lectura: Addison Wesley, 1990, p. 234.


5. En un da fro se deja a la intemperie un objeto al tiempot = O. Su temperatura, H = jet) en C, est graficada en lafigura 1.7.

(a) Qu significa el enunciadoj(30) = 10 en trminos detemperatura? Incluya unidades para 30 y para 10 en surespuesta.

(b) Explique qu representan la ordenada en el origen, a,y la abscisa en el origen, b, en trminos de la tempera-tura del objeto y del tiempo de exposicin.

a

bt (min)

Figura 1.7.6. La poblacin de Washington, D. C. creci de 1900 a 1950;

permaneci aproximadamente constante durante la dcadade 1950 y disminuy de 1960 al 2000. Trace una grfica dela poblacin como una funcin de los aos desde 1900.

7. Los inversionistas financieros saben que, en general, entrems alta sea la tasa de la ganancia esperada de una inver-sin ms alto ser el riesgo correspondiente.(a) Trace la grfica de esta relacin mostrando la ganancia

esperada como una funcin del riesgo.(b) En la figura del inciso (a) seale el punto con la mayor

ganancia esperada y el menor riesgo. (Los inversionis-tas esperan encontrar ese tipo de oportunidades.)

8. En los pantanos a la orilla de la costa de Nueva Inglaterralos caracoles comen algas.' Describa qu le indica la figu-ra 1.8 respecto al efecto de los caracoles en la diversidad dealgas. La grfica apoya el enunciado referente a que la di-versidad alcanza su punto mximo en niveles predatoriosintermedios?

especies de algas108642

caracoles por m250 100 150 200 250Figura 1.8.

9. La concentracin de medicamento en el cuerpo de un pa-ciente, despus de una inyeccin, aumenta con rapidez has-ta un mximo y luego disminuye lentamente. Trace la grficade la concentracin de medicamento en el cuerpo comouna funcin de tiempo, a partir de que fue aplicada la inyec-cin. Suponga que el paciente no tiene ningn medicamentoen el cuerpo antes de la inyeccin. Indique cul es la concen-tracin mxima y. el tiempo que toma alcanzar dicha con-centracin.

3Rosenzweig, M. L., Species Diversity in Space and Time, Cambridge University Press, Cambridge, Mass., 1995, p. 343.


10. Se realiza un depsito en una cuenta que genera intereses. Lafigura 1.9 muestra el saldo, B, en la cuenta t aos despus.(a) Cul fue el depsito original?(b) Calculej(lO) e interprtelo.(e) Cundo el saldo es de $5,000?

B($)

6,000

4,000

2,000

/

v/"--

t (aos)5 10 15 20 25

Figura 1.9.

11. (a) Se coloca una papa en un horno casero al tiempot = O. Cul de las grficas de la figura 1.10 podra repre-sentar la temperatura de la papa como funcin de tiempo?(b) Qu significa la ordenada en el origen de la grfica en

trminos de la temperatura de la papa?

(1) I J (11)~t ~

I~ (IV)I~~t ~t

(111)

Figura 1.10.12. La figura 1.11 muestra la cantidad de nicotina, N = jet), en

miligramos en el torrente sanguneo de una persona comouna funcin de tiempo, t, en horas, desde que la personatermin de fumar un cigarrillo.(a) Calculej(3) e interprtela en trminos de niveles de ni-

cotina.(b) Aproximadamente, cuntas horas han transcurrido

desde que el nivel de nicotina baj a 0.1 miligramos?

(e) Cul es la ordenada en el origen? Qu representa entrminos de nicotina?

(d) Si esta funcin tuviera una abscisa en el origen, qurepresentara?

N (mg)

0.5 -i--i-i----i--0.4 - - -f - -:- - + - -:- - + --:0.3 - ~--~-+--:--+--:

I I 1 1 1 10.2 ---1-- -T--I--T--I

1 1 ' 1 1 10.1 -~---- --1---1

O '-----"-----'--_L---l------'-_-'- t (horas)1 2 3 4 5 6

Figura 1.11.


6 Clculo aplicado

Para las funciones de los problemas 13 al 17 encuentref(5).

13. f(x) = 2x + 3 14. f(x) = lOx - x215. 6

4

f(IX)'/

?


1.2 FUNCIONES LINEALESProbablemente las funciones que se usan con ms frecuencia sean las funciones lineales, cuyas grficasson lneas rectas. Las funciones de rapidez de chirridos y la depreciacin del Honda en la seccin ante-rior son lineales. Ahora veremos ms ejemplos de las funciones lineales.

Marcas olmpicas y mundiales

Durante los primeros aos de los Juegos Olmpicos, la altura ganadora del salto con garrocha masculinoaument aproximadamente ocho pulgadas cada cuatro aos. La tabla 1.2 muestra que la altura se inicien 130 pulgadas en 1900 y aument en un equivalente de dos pulgadas entre 1900 y 1912. Entonces, laaltura fue una funcin lineal del tiempo.

Tabla 1.2 Altura ganadora (aproximada) para el salto masculino con garrochaAo 1912

Altura (pulgadas) 154

Si Y es la altura ganadora en pulgadas, y t el nmero de aos de

113418961 Calculo Aplicado 2aed Hughes Hallett Et Al

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