DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD (VARIABLES DISCRETAS)

En este   recurso   se muestra la motivación al estudio de las distribuciones de probabilidades 

discretas, los que contribuyeron su estudio y los principios elementales para la resolución de 

problemas de interés común.

 Además  explicaciones  para  que,  de  una   forma  sencilla,   puedas   fomentar   tu   capacidad  de 

análisis y obtener una comprensión óptima de los objetivos planeados en esta unidad.

Este documento fue elaborado por la Prof. María Adelaida Herasme Cuevas, con base en las 

siguientes fuentes:

Johnson,  Robert;  Kuby,  Patricia   (2008)  Estadística  Elemental, Lo  esencial,   Edición  1, 

Editorial Cengage Learning,  Argentina.

Pea, Daniel (2008), Fundamentos de Estadística, 2da. Edicion, Editorial: Alianza, España.

Richard I. Levin &David S. Rubin (2004), Estadística para Administradores, 7ma. Edición, 

Editorial Printice Hall, México.

Weiers,  Ronad M.  (2006)  Introducción a la Estadística para Negocios, 5ta.   Edición, 

Editorial  Thomson, México.

El estudio del contenido de este documento te será de utilidad para desarrollar las Actividades 

de  Aprendizaje,  así   como para   responder   las  preguntas  que  aparecen  en   la  evaluación  de 

unidad.

Distribución de probabilidad (variables discretas)

Variable aleatoria

En un experimento aleatorio se observan resultados y a cada uno se le asigna el valor numérico de la variable aleatoria. Veamos los siguientes ejemplos:

1. Se utilizan tres monedas y se observa el número de cara al caer.  La variable aleatoria x es el número de caras y puede adoptar valores enteros de 0 a 3 porque son tres moneda

2. Se extraen tres bolas de una canasta que tiene 3 azules y 4 rojas. Se observa  el  número de las rojas. La variable aleatoria x es el número de las bolas rojas y puede adoptar valores enteros de 0 a 4.

Por   lo   que   se   observa   que   una   variable   es   aleatoria   cuando   los   valores   que   toma   la   variable correspondiente a los distintos resultados posibles de un experimento. Es decir es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.

La variable aleatoria discreta  es aquella que toma una cantidad numerable de valores distintos (ver ejemplo 1 y 2).

La variable aleatoria continua es la variable que puede adoptar una cantidad inmensurable de valores de valores dentro de un intervalo. Ejemplos:

Tiempo necesario en hacer una transacción en un banco Longitud de un cable de teléfono

Distribución de Probabilidad  es una descripción del conjunto de valores posibles de la variable junto con la probabilidad asociada con cada uno de los valores.

Ejemplo. Se lanzan tres monedas al aire, y se observan las ocurrencias de cero caras, una cara, dos caras o tres caras, la variable aleatoria X adopta los valores 0, 1,2 ó 3 y la probabilidad de cada una es:

P(x=0)=1/8     P(x=1)= 3/8P(x=2)=3/8P(x=3)=1/8

Estas probabilidades se pueden expresar en una tabla denominada distribución de probabilidad. 

X       P(x)

0 0.125

1 0.375

2 0.375

3 0.125

Varianza y La desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta.

La varianza de una variable  aleatoria  discreta    x     se encuentra  al  multiplicar    el  cuadrado de cada diferencia del valor de la variable x y la Esperanza Matemática  (media de una variable aleatoria) por la probabilidad de la variable x y luego sumando estos productos.

2= ∑ [(X-E(x))2 P(x)]

Donde:

2=varianza

X= variable aleatoria

E(x)= Esperanza Matemática

P(X)= probabilidad de la variable aleatoria

∑= sumatoria

Desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

La desviación estándar no es más que la raíz cuadrada de la varianza.

2

= desviación estándar

Ejemplo

Hallar la varianza y la desviación estándar del valor correspondiente al lanzar 3 monedas al aire y obtener el número de caras.

1. Calculamos la Esperanza Matemática E(x)

E(x)=

Donde:

X1=0

X2=1

X3=2

X4=3

En el ejemplo anterior se determinó la probabilidad de X

E(x)= 0(0.125)+1(0.375)+2(0.375)+3(0.125)=1.5

2. Hacer una distribución de probabilidad para calcular la varianza

P (xi) [Xi- E (xi)] (X-E(x))2 [(X-E(x))2 P (xi)]

0.125 -1.5 2.25 0.281

1 0.375 -0.5 0.25 0.094

2 0.375 0.5 0.25 0.094

3 0.125 1.5 2.25 0.281

∑=0.75

Puedes observar que, en la primera columna están los valores que puede adoptar la variable aleatoria Xi: 0, 1, 2, 3 , en la segunda esta la probabilidad de cada la variable, en la tercera está la diferencia de cada valor de la variable y la esperanza matemática (1.5), esta

diferencia se eleva al cuadrado como se observa en la cuarta columna y en la quinta columna están los productos de multiplicar cada probabilidad de la segunda columna con el cuadrado de la diferencia de la cuarta columna. La sumatoria de estos productos es el

valor de la varianza. ( 2 0.75)

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

2 , significa el grado de depreciación o variación de la

variable aleatoria X con respecto a la esperanza Matemática (media).

Distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxito en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija de ocurrencia de éxito entre los ensayos.

En una Distribución Binomial se debe cumplir las propiedades siguientes:

1. Un experimento se efectúan n veces (ensayos repetidos)2. Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito (p) o fracaso(q) tal que p + q=13. El resultado de cada suceso es independiente de otro resultado 4. Los datos recopilados son variables discretas.5. Los sucesos son mutuamente excluyentes.

La Distribución Binomial es también llamada Distribución de Bernoulli. Para su cálculo se utiliza la formula siguiente:

P(x)=probabilidad de ocurrencia

n= número de veces que se realiza el ensayo

x= éxitos deseados

p= probabilidad de éxitos

q= probabilidad de fracaso (1-p)

=n

P(x)=

n!= n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-(n-1))

n! se lee n factorial

Ejemplo: el factorial de 5!= 5x4x3x2x1=120

Además, El factorial de cualquier número se busca en la calculadora.

Ejemplo 1. Hallar la probabilidad de obtener 4 caras al lanzar una moneda 7 veces.

Primero veamos si cumple con las propiedades:

Es de ensayos repetitivos ya que la moneda se tira 7 veces o sea n=7; tiene dos posibles resultados éxito o fracaso, probabilidad de éxito es ½ y de fracaso ½ porque al tirar la moneda, la probabilidad de caer cara en cada ensayo es ½ por lo que son sucesos independientes y mutuamente excluyentes. La probabilidad de fracaso es de ½ también ya que q=1-p de donde q=1-0.5= 0.5

P(x) =

n= 7

x=4

p=0.5

q=0.5

P (4) =

P (4) =

7! = 7x6x5x4x3x2x1 =5,040

4! = 4x3x2x1 =24

3! = 3x2x1 = 6

P (4) =

P (4) =

P (4)= 34x0.00781

P (4)= 0.2734 x 100

P (4)= 27.34%

P (4)=27.34%; quiere decir que la probabilidad de obtener 4 caras de los 7 ensayos es de un 27.34%.

zEjemplo 2. En una fábrica de zapatos, se ha encontrado que el 12% de la mercancía sale defectuosa, si se seleccionan 6 al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 estén defectuosas?

P(x)=

n=6

x=2

p= 12% = 12 entre 100 = 0.12

q=1-0.12=0.88

P(2)=

P(2)= 15 (0.0144)(0.5997)

P(2)= 0.1295

P (2)= 0.1295x100

P (2)= 12.95 %

La probabilidad de que hayan 2 defectuosas en la selección es de un 12.95%