115917_Taller1Numerosenteros

UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANA Departamento de Matemtica

Rev. Profesores: Jaime Reveco Martnez Elaborado por Profesora Iris Gutirrez Demarini Rodolfo Vidal Espinoza

TALLER N 1

Conjuntos Numricos.CONTENIDOS: Nmeros Enteros Operatoria y propiedades

El logro de aprendizaje esperado en este taller es aplicar y analizar correctamente las

operaciones y propiedades de los enteros en expresiones numricas que los contienen.

MOTIVACIN El conjunto de los meros nteros est presente en muchas situaciones de la vidaN Ediaria, los utilizamos por ejemplo: para sealar el nmero de pisos de un edificio en elascensor, para medir altitudes, para indicar en una cuenta bancaria el dinero disponibleo adeudado, entre otros.

Nota para tener presente !

POR QU ESTUDIAR LOS NMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES? El conjunto de los meros nteros fue creado para resolver algunas sustraccionesN Eque no tenan solucin en los meros ardinales (Nmeros aturales adems delN C Ncero).

Ejemplo: Sean meros ardinales, si entonces se puede observar que:+ , - + , -N C Si > existe solucin en los aturales. Ejemplo + , & " %N Si = existe solucin en los ardinales . Ejemplo + , ! ' ' !C Si < no tiene solucin en los ardinales. Ejemplo + , # $ "C

Los meros nteros son una generalizacin del conjunto de meros aturales queN E N Nincluye nmeros negativos (resultados de restar a un nmero natural otro mayor,adems del cero). As los meros nteros estn formados por un conjunto de enterosN Epositivos que podemos interpretar como los meros aturales convencionales, elN Ncero, y un conjunto nteros negativos que son los opuestos de los aturales (stosde E , Npueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un nmero natural).

N Emeros nteros

nmeros negativos cero nmeros positivos

Los nmeros negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

Para sealar el nmero de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos nmerosnegativos para las plantas que estn por debajo de , es decir, para losl primer pisostanos o plantas subterrneas.


2 Profesora: Iris Gutirrez Demarini

Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar sepueden expresar por nmeros enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel delmar se pueden expresar por nmeros enteros negativos.

Para medir temperaturas. Fjate en el termmetro. El termmetro mide la temperaturaen grados. Cuando el agua alcanza la temperatura de 0 grados, sta se congela.

SUBCONJUNTOS NOTABLES DE Z: meros nteros { ... , , , , , ...} # " ! " #N E

meros aturales { , , , , ...} " # $ % &N N nteros ositivos { , , , ,...} " # $ %E P nteros egativos { , , , , ...} " # $ % &E N

TRMINOS DE UN ENTERO Todo mero ntero consta de: alor bsoluto y signo.N E V A

VALOR ABSOLUTO Es el nmero de unidades que tiene dicho nmero sin signo y corresponde a su distancia al cero en la recta numrica. El alor bsoluto se anota entre barras.V A

Ejemplo:

( ( * *

Observacin:1) El conjunto de los meros nteros es discreto, es decir, entre dos nmeros enterosN Eno hay otro.2) simtrico: cada nmero entero positivo tiene su opuesto simtricoOpuestonegativo. Los opuestos simtricos tienen el mismo alor bsoluto y distinto signo.V A

Ejemplo: es el opuesto simtrico de % %

Nota para tener presenteEntre los meros nteros estn definidas las operaciones dicin y ultiplicacin. N E A MAdems, el resultado de sumar o de multiplicar dos meros nteros es tambin unN EN E O Imero ntero, por lo que se dice que son peraciones nternas.



ADICIN DE ENTEROS:a) Para sumar enteros del mismo signo se suman los valores absolutos y se conserva el signo.b) Para sumar enteros de distinto signo se resta los valores absolutos y se conserva el signo del nmero de mayor valor absoluto.

MULTIPLICACIN DE ENTEROS (regla de los signos):a) Para multiplicar dos enteros del mismo signo se multiplican los valores absolutos y el producto es positivo. Es decir;

b) Para multiplicar dos enteros de distinto signo, se multiplican los valores absolutos y el producto es negativo. Es decir;

AXIOMAS DE LOS NMEROS ENTEROS PARA LA ADICIN Y LA MULTIPLICACIN: De la Adicin De la Multiplicacin1) : Clausura + , - a + , + , - a + , 2) : Conmutatividad + , , + a + , + , , + a + , 3) : Asociatividad + , - + , - a + , - + , - + , - a + , - ( ) ( ) , ( ) ( ) 4) : Existencia de eutroN + ! + + a + + " + " + a+ 0 5) : Existencia de AInverso ditivo 0+ + + + a + 6) : Distributividad + , - + , + - a + , - ( ) , ,

SUSTRACCIN DE ENTEROSSe define + , + , a + ,

Observacin:La ivisin de meros nteros, no es una operacin cerrada, es decir, no siempre alD N Edividir dos enteros su resultado es un entero. Sin embargo cuando el resultado da unnmero entero podemos utilizar la regla de los signos definida en la multiplicacin.

ORDEN ENTRE ENTEROSEntre dos nmeros enteros es menor el que est a la izquierda en la recta numrica. Sedefine: + , ! , +

Nota para tener presenteSea , entonces:B a) Si B B !

b) Si B ! B !c) Si B B !

Ejemplo: , porque se cumple que ; es decir: # ' ! ' # ! )



Actividad 1a) Indicar dos meros nteros cuyo producto sea Indicar todos los casos posiblesN E ")b) Un termmetro marcaba grados bajo cero a las 8 de la maana. Cinco horas ms(tarde marcaba . Cuntos grados subi la temperatura?. Escribir la operacin que"$permite obtener el resultado.c) Indicar todos los nmeros enteros cuyo valor absoluto sea ."#

USO DE PARNTESISA veces queremos hacer una operacin antes que otra que tenga prioridad, es decir,queremos, por ejemplo, hacer una suma antes que un producto. Entonces es cuandoentra en juego el uso de los parntesis, para darle prioridad a las operaciones que, enprincipio, no la tienen.

Notas para tener presentePrioridad de las operaciones combinadasa) Sin uso de parntesis: se resuelven en el siguiente orden: 1 las potencias 2 multiplicaciones y divisiones 3 adiciones y sustracciones.

b) Con uso de parntesis: si en un ejercicio se presentan varios parntesis, se resuelvende adentro hacia afuera, luego las potencias despus multiplicaciones y divisiones yfinalmente adiciones y sustracciones. Es decir, cuando una expresin entre parntesisest precedida por un signo de sustraccin o signo de inverso aditivo, se cambia el signode cada trmino dentro del parntesis.

Ejemplo:5 8 2 = 5 16 = 11 Si ponemos el parntesis: (5 8 ) 2 = 3 2 = 6 Como podrs comprobar, el resultado de la operacin cambia.

Actividad 2Se us mal una calculadora para evaluar la expresin. Se muestran las teclas oprimidasy el resultado errneo. Describe el error y corrgelo.

a) Expresin: $ "%& "$'

Teclas: ENTER$ "%& "$'

Resultado: 242

b) Expresin: "#% $' %

Teclas: ENTER"#% $' %

Resultado: %!



Actividad 3Resolver las siguientes operaciones:a) g) ) "# # $ % & ' * %b) h) ' ( $ #" # $ & ' " c) i) & # $& #$ ' " ( ( # $d) e) & # $ & ( #! ") # & $ ) $ & f) # ## ) % ' $ # & % 4g) ) $ ) # & ( ' $

Actividad 4Eliminar los parntesis en las siguientes expresiones:a) "# &B " #B ( $B '

b) "& '+ $ #+ $, *,c) "'+ ( %+ " &+ " #+ * '+

d) #&B B ' $B & "! #B " #B $ %

USO DE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA (AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD)Para restar una suma o una diferencia, podemos realizar la operacin sumando uninverso. Para eliminar parntesis, podemos simplificar utilizando la propiedaddistributiva.

NMEROS PRIMOSSon aquellos nmeros (sin considerar el signo) que solamente son divisibles por smismos y por la unidad. Se dice que un nmero es compuesto si tiene otros divisoresadems de s mismo y la unidad.Cualquier nmero puede descomponerse de forma nica en producto de factoresprimos.

Ejemplo: '! "& % # # $ &

MNIMO COMN MLTIPLO ( )M.C.M.Dados varios nmeros, se llama mnimo comn mltiplo de ellos al menor valor que seamltiplo de todos los nmeros dados.Para calcular el .:M.C.M.a) Se descomponen todos los nmeros dados en factores primos.b) Se anotan todos los factores que aparezcan el mximo de veces por cada nmerodescompuesto.c) Se calcula el resultado de multiplicar los factores del paso b).

Ejemplo: El entre y M.C.M. '! "# #%a) '! ' "! # # $ & "# $ % # # $ #% $ ) # # # $b) $ & # # #c) # # # $ & "#!Por lo tanto el entre y es .M.C.M. '! "# #% "#!



MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)

Dados varios nmeros, se llama mximo comn divisor al mayor valor posible quepueda dividir simultneamente todos los nmeros dados.Para calcular el M.C.D.:a) Se descomponen todos los nmeros dados en factores primos.b) Se anotan slo los factores comunes que aparezcan el mnimo de veces.c) Se calcula el resultado de multiplicar los factores del paso b).

Ejemplo: El M.C.D. entre y '! "# #%a) '! ' "! # # $ & "# $ % # # $ #% $ ) # # # $b) # # $c) # # $ "#Por lo tanto el M.C.D. entre y es .'! "# #% "#

Actividad 5Determine el y el M.C.D. de los siguientes valores:M.C.M.a) y b) y c) y # $ (# "$ )" % * &7 %

d) y e) y con (#! "!)! #! B C C B B C B C # # # ##

Actividad grupal

1) Determine los inversos aditivos y multiplicativos, siguientes si es posible, de losnmeros enteros.

a) b) ) "

c) d) "# B C

e) f) : ; B C

g) h) ! CB

2) Indicar a que subconjunto de los nmeros enteros pertenece el resultado de:

a) Si + , +- + , - -

b) Si + ,- + , - + , -

c) Si + ,- ,- , - + ,



MAPA CONCEPTUAL



ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1.- Escribir el opuesto de cada uno de los siguientes nmeros enteros: a) b) c) d) $ + , ! " +

2.- Resolver las siguientes operaciones combinadas.

a) b) B C + + + +

c) d) $ B C $C C B %B &C e) f) #D ! ! D B $ $B $

g) h) #A $A ' #A ")A %C %B %C %B

3.- Resolver, aplicando las leyes de los signos.

a) b) #& "# ( # " "*

c) $ & ) "! ' $ " d) ! '

e) f) " " " " " # " "

g) h) ) # $ % "& " "' "

4.- Operar respetando la jeraqua de operaciones:

a) " % "! & $ * *

b) " % "! & $ * *

c) " % "! & $ * *

d) " % "! & $ * *

e) " % "! & $ * *

f) " % "! & $ * *

5.- Determinar: a) b) # $ + $

c) Si d) Si + " + " + $ ! + $



6.- Determine el Mnimo Comn Mltiplo ( ) y el Mximo Comn Divisor (MCD)MCMentre los siguientes nmeros: a) y b) y ") $! ' ")+ $!+ '+ #

c) y d) y ##! &! # #!+B &!+ #!+

7.- Escriba el nmero que mejor representa la situacin que se plantea: a) Bajamos al stano 3 b) Naci en el ao 243 antes de Cristo c) El avin vuela a 2486 m de altura d) El termmetro marcaba C bajo cero7 9

8.- Escriba la operatoria a realizar y responda:

a) Augusto, emperador romano, naci en el ao 63 a.C. y muri en el 14 d.C. Cuntos aos vivi?

b) Una bomba extrae el petrleo de un pozo a 9 m de profundidad y lo eleva a un depsito 58 situado a 7 m de altura. Qu nivel supera el petrleo?$

c) Qu diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cmara de conservacin de las verduras, que se encuentra a C, a la del pescado congelado, que est a -1 C?$ *9 9

Y si pasara de la cmara del pescado a la de la verdura?

d) La temperatura del aire baja segn se asciende en la Atmsfera, a razn de C cada 300 *9

metros. A qu altura vuela un avin si la temperatura del aire es de -8 C?*9

e) En un depsito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depsito 25 litros por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 litros por minuto. Cuntos litros de agua habr en el depsito despus de minutos de funcionamiento?#!

Linkiograf@http://www.amolasmates.es/mates_interactivas/Definitivo%20Enteros/Enteros.htmlhttp://www.aulafacil.comhttp://www.disfrutalasmatematicas.com

Bibliografa fuenteLarson-Hostetler-Neptune lgebra Intermedia, Ed. Mc Graw Hill, 2 edicin, 2000Ignacio Bello lgebra Elemental, Ed. Thomson, 2004Domingo A. Tarzia Curso de Nivelacin de Matemtica, Ed.Mc.Graw Hill, 1 Ed. 2000Max A. Sobel- N. Lerner lgebra, Ed. Prentice Hall, 2 edicin, 1989R.David Gustafson lgebra Intermedia, Ed. Thomson, 2000

115917_Taller1Numerosenteros

Documents

Transcript of 115917_Taller1Numerosenteros