1.2.2A. Definición A B A B - Libreria...

41Und. 1 – Teoría de Conjuntos40 Aritmética

1.2.2. Intersección de conjuntos

1.2.2A. DefiniciónLa intersección de dos conjuntos A y B, denotado como A B, es el conjunto formado por los elemen-tos comunes de A y B.

Si A y B son dos conjuntos, se define: A B x x A x B

El símbolo se lee: «y».

Diagramas para la intersección de conjuntosEn las siguientes figuras las regiones sombreadas representan al conjunto A B. Observa que los elemen-tos de A B están tanto en A como en B.

Ejemplo.- Del ejemplo anterior se tiene que el elemento común de A y Bes 2, luego: A B = {2}

Obsérvese que n(A) = 4, n(B) = 3, n(A B) = 1 y n(A B) = 6

Es decir, se cumple que: ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B

Y para 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C

1.2.2B. Propiedad de los conjuntos disjuntosDos conjuntos disjuntos A y B tienen por intersección el conjunto vacío.

A B =

Ejemplo.- Sean los conjuntos C = {a; 1} y D = {0; 2}

Dado que estos conjuntos no poseen elementos comunes, se concluye que: C D = . Finalmente Cy D son conjuntos disjuntos.

1.2.3. Conjunto diferencia

El conjunto diferencia de A y B, denotado como A – B, es el conjunto formado por todos los elementosque le pertenecen a A, pero no le pertenecen a B y se determina así:

A B x x A x B

Esta operación se basa en la exclusión de elementos, es decir, pertenecen al conjunto A – B, aquellosque sólo pertenecen al primero pero no al segundo.

1.2.1. Unión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, el conjunto unión de A y B, denotado por: A B, es el conjunto formado porlos elementos de A o de B o de ambos.

El conjunto unión de A y B se define simbólicamente así: A B x x A x B

donde el símbolo se lee: «o».

Diagramas para la unión de conjuntos

En las siguientes figuras las regiones sombreadas representan al conjunto A B. Observa que los elementosde A B, están en A o están en B, es decir, A B se forma con los elementos de A o de B.

Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {0; 1; 2; 3} y B = {2; 4; 5}

Luego la unión de los conjuntos A y B está dada por:

A B = {0; 1; 2; 3} {2; 4; 5}

A B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Obsérvese que el elemento 2 es común para A y B, sin embargo sólo debe aparecer una sola vez en lalista de A B.

Los gráficos tridimensionales, ampliamente utili-zados en aplicaciones industriales para la cons-trucción de componentes o partes de un sistemamecánico, son diseñados mediante la aplicaciónde operaciones básicas entre conjuntos.

Por ejemplo, una arandela se diseña aplicando unadiferencia de conjuntos tal como se ve.

Cabe resaltar el hecho que las operaciones tecno-lógicas de diseño complejo exigen un conocimien-to especializado de las operaciones con conjuntos.


1.2.4B. PropiedadesDados dos conjuntos A y B se cumple que:

i) A B A B

ii) A B A B

iii) n A B n A B n A B

1.2.5. Complemento de un conjunto

1.2.5A. ConceptoEl término complemento de un conjunto está referido a lo que le falta o lo que se le debe añadir a éstepara ser igual a otro.

1.2.5B. Complemento de un conjunto respecto de otroSean A y B dos conjuntos, tal que A B, el complemento de A respecto de B, denotado por CBA, sedefine como el conjunto formado por todos los elementos de B que no pertenecen a A.

Si BA B C A x x B x A

Ejemplo.- Sean los conjuntos: D = {a, b, c, d, e} y E = {b, d} se observa que todos los elementos de Eson también los de D, luego se verifica que: E D . De esta forma se establece que el complemento deE respecto de D está dado por:

CDE = {a, c, e}

Observación.- Si E D, entonces se verifica que: CDE = D – E

1.2.5C. Complemento de un conjunto respecto de Sea el conjunto universal y A un subconjunto de , el complemento de A respecto del conjuntouniversal, denotado por A’ o AC, se define como el conjunto de todos los elementos que no están en A.

Según esta definición, el complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos delconjunto universal que no pertenecen a A. Esta definición se puede denotar así:

'A x x x A

En el siguiente diagrama el complemento de A está indicado por la región sombreada. En cuanto a ladenotación del complemento de A, respecto del conjunto universal, debemos indicar que ésta se puedepresentar como: AC, A', A o C(A).

Diagramas para la diferencia de conjuntosEn las siguientes figuras las regiones sombreadas representan al conjunto A – B. Observa que los elemen-tos del conjunto A – B, están en A pero no están en B.

Ejemplo.- Si A= {0; 1; 2; 3} y B = {2; 4; 5}, determinemos A – B.

En forma práctica, los elementos de A – B, son todos los elementos que quedan en A después de tachara todos los elementos de B y los elementos comunes de A y B, observa:

A = {0; 1; 2 ; 3}

B = { 2 ; 4 ; 5 }

A – B = {0; 1; 3}

1.2.4. Diferencia simétrica

1.2.4A. DefiniciónDados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y B, denotada como A B es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

A B x x A B x B A

Diagramas para la diferencia simétrica de conjuntosEn las siguientes figuras las regiones sombreadas representan al conjunto A B. Cuando A B, seobserva que los elementos de A B sólo están en B.

La diferencia simétrica de A y B se puede definir de otra forma:

;A B A B B A A B A B A B

Ejemplo.- De los ejemplos anteriores se sabe que: A B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} y A B = {2}

Luego, la diferencia simétrica A B está dada por:

A B = {0; 1; 2 ; 3; 4; 5} – {2 } = {0; 1; 3; 4; 5}


B6. LEYES DEL COMPLEMENTO

6a. A A'= 6b. A A'=

6c. (A’)’ = A 6d. ’ = , ’ =

B7. LEYES DE DE MORGAN

7a. A B '= A' B' 7b. A B '= A' B'

B8. LEYES DE LA DIFERENCIA Y DIFERENCIA SIMÉTRICA

8a. A B= A B' 8b. A B=B' A'

8c. A A = 8d. A (B C) = (A B) C

Observaciones:

1ra.- Debe observarse que ni el concepto de «elemento» ni el de «pertenencia», (), aparecen en lasleyes del Álgebra de Conjuntos.

2da.- La relación «A es un subconjunto de B» se define, en esta Álgebra de Conjuntos, por:

A B A B A

3ra.- La demostración de un relación, teorema o ley, es un proceso en el que se argumenta, conrazones, cada paso sobre la base de algo ya establecido, conocido como ley, que asumimos comoverdad. El proceso se inicia en uno de los miembros de la igualdad y concluye cuando se obtieneexactamente el 2do miembro.

Ejemplos.- Demostrar la siguiente relación:

1.- B C A B A C A

RAZONES (LEYES APLICADAS) PROPOSICIONES

a.- Ley conmutativa B C A A B C

b.- Ley distributiva B C A A B A C

c.- Ley conmutativa B C A B A C A lqqd

2.- 'A B A B A

a.- Ley distributiva ' 'A B A B A B B

b.- Ley del complemento 'A B A B A

c.- Ley de identidad 'A B A B A lqqd

Las siglas lqqd significa: «Lo que queríamos demostrar ».

Cuando no se precise el conjunto de referencia para el complemento de un conjunto dado, este setomará como el conjunto universal.

Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {a, b}, B = {c, d} y C = {d, e}

Luego, de acuerdo con la definición de conjunto universal, se puede establecer que éste estará dado porla reunión de los elementos de todos los conjuntos involucrados, es decir:

, , , , , , ,a b c d d e a b c d e

A partir de este conjunto se pueden obtener los conjuntos complemento de A, B y C. De este modo:

A' = {c, d, e}, B' = {a, b, e}, C' = {a, b, c}En base a este ejemplo podemos establecer que existe una relación entre el conjunto universal y elcomplemento de un conjunto, de modo que:

A’ = – A , B’ = – B , C’ = – C

1.2.6. Álgebra de conjuntos

1.2.6A. DefiniciónSe llama Álgebra de Conjuntos a la rama de las matemáticas en que se investiga la teoría de conjuntosestudiando aquellos teoremas que se deducen de un grupo de reglas, llamadas leyes del Álgebra deConjuntos, es decir aquellos teoremas cuya demostración requiere de estas leyes y sólo de ellas.

1.2.6B. Leyes del álgebra de conjuntosLas operaciones de unión, intersección, diferencia y de complemento entre conjuntos cumplen variasleyes, es decir, verifican ciertas identidades.

En este punto, entendemos por identidad una igualdad de expresiones en las que participan conjuntoscomo variables y que se verifica para cualquier valor admisible de éstos.

B1. LEYES DE IDEMPOTENCIA

1a. A A A 1b. A A A

B2. LEYES ASOCIATIVAS

2a. A B C A B C 2b. A B C A B C

B3. LEYES DE CONMUTATIVAS

3a. A B B A 3b. A B B A

B4. LEYES DISTRIBUTIVAS

4a. A B C A B A C 4b. A B C A B A C

B5. LEYES DE IDENTIDAD

5a. A A 5b. A

5c. A 5d. A A


Diferencia de conjuntos06.- Sean: A = {a; b; j; k; p} , B = {d; e; f; m; n; o}y C = {b; c; d; g; h; k; l; m; p}

Se pide determinar, por extensión, los resultados de lassiguientes operaciones:

a. A - B

= {................................................................}

b. (A - B) (C A)

= {................................................................}

07.- Completa los diagramas de Venn- Euler coloreandolas regiones indicadas por cada operación.

a. (A – B) (B – A) b. (A – B) (A B)

c. (A B) (A B) d. C – (A B)

e. A (B C) f. A (B C)

Diferencia simétrica08.- Sean los conjuntos:

= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ; B = {3; 4; 5; 6; 8; 9}C = {3; 4; 5; 6} y D = {7; 8; 9}Determinar:

a. A D B

= {................................................................}

b. (A D D) - (C B)

= {................................................................}

Complemento

09.- Dados los siguientes conjuntos: S = {c; k; h; i; d; g} ;T = {i; g; h; f; b; j } y P = {a; b; l; i; e; h; d }Determinar qué elementos pertenecen a cada uno de lossiguientes conjuntos:

a. = {...............................}

b. T’ = {...............................}

c. (T P)’ S = {...........................................................}

10.- Determina, y escribe al pie, la operación que repre-senta cada uno de los siguientes diagramas:

a. b.

..................... ......................

c. d.

..................... ......................

11.- Escribe la operación que indica la parte coloreada.

Unión de conjuntos

01.- A partir del siguiente diagrama:

se pide determinar, por extensión, los siguientes con-juntos:

a. A B

.....................................................................

b. (A B) C

.....................................................................

c. A (B C)

.....................................................................

02.- Si se sabe que: A = {0; 1; 2; 6; 7; 10; 11};

B = {2; 3; 4; 7; 9} y C = {4; 5; 6; 7; 8; 11; 12; 13}

Calcular el número de elementos que posee el resultadode cada una de las siguientes operaciones:

a. A B = {..............................................}

n(A B) = ..............

b. A C = {...............................................}

n(A C) = ..............

c. B C = {...............................................}

n(B C) = ..............

Intersección de conjuntos03.- Del ejercicio (1) anterior se pide determinar:

a. A B

.....................................................................

b. B C

.....................................................................

c. A B C

.....................................................................

04.- Sean los conjuntos:

A = {x | 7 x < 15 },

B = {x | 6 < x < 12} y

C = {10; 11; 12; 13; 14 }

Determinar por extensión

a. A B

= {................................................................}

b. B C

= {................................................................}

c. A C

= {................................................................}

05.- Del siguiente diagrama:

se pide determinar, por extensión:

a. A B

= {................................................................}

b. (A B) C

= {................................................................}

c. (A B) C

= {................................................................}


II. VERDADEROPara todo par de conjuntos A y B se verifica lapropiedad de la diferencia simétrica según lacual:

A B A B

Luego: A B P(A B)

III. VERDADEROSegún la ley de la diferencia se sabe que:

A A = Luego: A B =

La secuencia correcta es VVV

Prob. 05 (UNCP 07 – II)En el siguiente gráfico, la parte sombreada repre-senta a:

A) (A B) CB) (A B) (C BC)C) (A B) (B CC) –AD) (A C) – (A BC)E) (B – C) – (A – C)

Nuestra estrategia consistirá en sombrear regio-nes cuyo cálculo resulte de una operación entreconjuntos. De este modo buscaremos que la re-gión sombreada original resulte de una opera-ción entre las regiones determinadas:

Obsérvese que la región sombreada que se pidees el resultado de restarle a la región sombreadade la figura 1 la correspondiente región sombrea-da de la figura 2, es decir:

(A C) – (A – B)

Y según las leyes de la diferencia de conjuntos:

(A C) – (A – B) = (A C) – (A BC)

Prob. 06 (UNI 04 – I)

Dados los conjuntos:

A = {x2 – 1 |x 2 x 4}

B = {x2 + 1 | x 1 x 3}

Calcular la suma de los elementos de A B

A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44

i) Determinemos los elementos de A según lascondiciones del problema:

x ; 2 x 4

De donde x {2; 3; 4} y reemplazando cada unode estos valores en (x2 – 1) obtenemos:

; de donde: A = {3; 8; 15}

ii) Determinemos ahora los elementos «x» de Bque según condiciones: x 1 x 3. Igual-mente, utilizamos el esquema para tabular losvalores de «x» y de (x2 + 1)

de donde: B = {2; 5; 10}

Prob. 01 (UNPRG 06 – I)Sean:: conjunto de los números enteros.

+: conjunto de los número enteros positivos.

–: conjunto de los números enteros negativos.

: conjunto de los números racionales.

Determinar: ( +) ( –)

A) B) – {0} C) +

D) – E)

Para resolver este problema aplicaremos la si-guiente definición de inclusión:

A B A B = A

Luego tenemos que:

Y como:

Sustituyendo en el 2do miembro se tiene:

= + – = – {0}

Prob. 02 (cepre uni 05)

Sea: A = {x |x +, número par menor que 5}B = {x |x +, número impar menor que 5}

El número de elementos del conjunto potencia deA B es:

A) 2 B) 4 C) 5 D) 1 E) 0

Determinemos los conjuntos por extensión:

A = {2; 4} y B = {1; 3}

De donde reconocemos que: A B =

n(A B) = 0

Prob. 03 (cepre uni 05 – II)Si A B y n(A B) = 12, n(A B) = 27, ¿cuántoselementos tiene A B?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

Por definición se sabe que:

A B = (A B) – (A B)

Asimismo, según propiedad, se cumple que:

n(A B) = n(A B) – n(A B)

Sustituyendo los datos obtenemos:

12 = 27 – n(A B)

n(A B) = 27 – 12

n(A B) = 15

Prob. 04 (UNI 06 – II)Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Si A = {}, entonces A P(A); P(A) potenciade A.

II. A B P(A B)

III. Si A B = , entonces A = B

A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF

I. VERDADEROPor definición, todo conjunto está contenido ensu correspondiente conjunto potencia, llamado,en tal caso, subconjunto propio.

A P(A)


Prob. 09 (UNCP 05 – I)De un grupo de 100 alumnos se sabe que: 46 noestudian álgebra, 50 no estudian aritmética y 20no estudian ninguno de estos cursos. ¿Cuántos es-tudian álgebra y aritmética a la vez?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 22

Sean X, A y los conjuntos que representan alos alumnos que estudian álgebra, aritmética ytodo el grupo respectivamente. Luego elabora-mos un diagrama de Venn - Euler y anotamos lacantidad de elementos de cada grupo:

Por condición del problema se tiene:

i) a + 20 = 50 a = 30

ii) c + 20 = 46 c = 26

También se puede plantear que:

a + b + c + 20 = 100 . . . ()

Sustituyendo a = 30, c = 26 en () obtenemos:

30 + b + 26 + 20 = 100

b = 100 – 76

b = 24

Prob. 10 (PUCP 02 – II)En un club 400 juegan fútbol, 70 % básquet. Si 14juegan los dos deportes, calcular el número de ju-gadores que juegan un solo deporte.

A) 130 B) 150 C) 144 D) 126 E) 132

Construimos un diagrama de Venn - Euler paraanotar los datos y asumiendo que el 100%T prac-tica alguno de los dos deportes, se tiene:

Del gráfico se puede plantear que:

40% 14T 14 70% 14 100%T T

10%T = 1410

10014 14(10) 140T T T

Como nos piden los que juegan un solo deporte,es decir (T – 14), sustituimos:

T – 14 = 140 – 14

T – 14 = 126

Prob. 11 (UNFV 05)

En una empresa con 420 empleados, 240 obtuvie-ron un aumento; 115 obtuvieron un ascenso y 60obtuvieron ambas cosas. ¿Cuántos empleados niascendieron ni obtuvieron aumento?

A) 130 B) 125 C) 120 D) 100 E) 140

Construyamos un diagrama de Venn- Euler paravisualizar la relación entre los datos.

Según los datos del problema, 60 obtuvieron as-censo y aumentos, los cuales están ubicados enla intersección. Si trabajamos con los cardinalesse puede plantear que:

i) n() = 420 a + 60 + b + c = 420 . . . (1)

ii) n(Au) = 240 a + 60 = 240

a = 80 . . . (2)

iii) n(As) = 115 60 + b = 115

b = 55 . . . (3)

Ahora representamos los conjuntos A y B en undiagrama de Venn - Euler:

Luego: A B = {2; 3; 5; 8; 10 ; 15}

Finalmente, nos piden la suma «S» de los elemen-tos de A B, esto es:

S = 2 + 3 + 5 + 8 + 10 + 15

S = 43

Prob. 07 (UNI 04 – II)Si: A = {x | x5 – 5x3 = 36x}

B = {x | (x – 3) A}

calcular: (A B) – (A B)

A) {-3; 6} B) {-3; 0; 3; 6} C) {-3; 0; -3}

D) {-3; 3} E) {0; 3; 6}

i) Los elementos «x» del conjunto A verifican lasiguiente relación:

x5 – 5x3 = 36x ; x Despejando y factorizando se tiene:

x5 – 5x3 – 36x = 0

x(x4 – 5x2 – 36) = 0

x(x2 + 4) (x2 – 9) = 0

x(x2 + 4) (x + 3)(x – 3) = 0

Igualando a cero cada factor, excepto x2 + 4 quesiempre será mayor que cero para cualquier va-lor real de «x», tendremos:

x1 = 0 ; x2 = -3 ; x3 = 3

A = {-3; 0; 3}

ii) Para el conjunto B sus elementos «x» verificanla siguiente relación:

3 -3 0( 3) 3 0 3

3 3 6

x xx A x x

x x

B = {0; 3; 6}

Ahora presentamos A y B en un diagrama deVenn- Euler:

De aquí podemos identificar los elementos de:

(A B) – (A B) = {-3; 0; 3; 6} – {0; 3}

(A B) – (A B) = {-3; 6}

Prob. 08 (PUCP 05 – II)De un grupo de 150 alumnos, 83 no estudian bio-logía, 79 no estudian física y 47 no estudian nin-guno de los dos cursos. ¿Cuántos estudian sólo uncurso?

A) 53 B) 58 C) 63 D) 68 E) 73

Construimos un diagrama de Venn - Euler, paraanotar la cantidad de elementos de los conjuntosdados y establecer una relación entre ellos:

Por condiciones del problema se tiene:

i) c + 47 = 83 c = 36

ii) a + 47 = 79 a = 32

Según el diagrama la cantidad de alumnos queestudian un solo curso está dada por: «a + c»

Luego: a + c = 32 + 36

a + c = 68


Para empezar asumiremos que el número totalde turistas está dado por 100%. Asimismo debe-mos observar que:

i) El 12% no conoce Huancayo, entonces el100% – 12% = 88% restante sí conoce Huan-cayo.

ii) Si 14% no conoce Cusco, deducimos que el100% – 14% = 86% restante sí conoce Cusco.

Ahora construyamos un diagrama de Venn-Eulerpara visualizar estos datos.

Y trabajando con los cardinales, se tiene:

i) n() = 100% a + 80 + b + c = 100 . . . (1)

ii) n(H) = 88% a + 80 = 88 a = 8 . . . (2)

ii) n(C) = 86% 80 + b = 86 b = 6 . . . (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

8 + 80 + 6 + c = 100 94 + c = 100 c = 6

Finalmente el porcentaje de turistas que no co-nocen ni Huancayo ni Cusco está dado por:

c% = 6%

Prob. 15 (PUCP 05 – I)De 36 alumnos que rinden exámenes de física, ma-temática y química se sabe que 13 alumnos aproba-ron física, 22 aprobaron matemática, 5 matemáticay física pero no química, 8 matemática y químicapero no física, 10 sólo química y uno sólo física.Sabiendo que todos aprobaron al menos un curso,¿cuántos alumnos aprobaron los tres cursos?A) 9 B) 3 C) 6 D) 4 E) 8

En un diagrama de Venn-Euler anotamos la can-tidad de elementos de cada zona.


i) 22 + 1 + a + 10 = 36 a = 3

ii) 1 + 3 + a + x = 13

Sustituyendo a = 3 se obtiene:

1 + 3 + 3 + x = 13

x = 4

Prob. 16 (UNFV 06)Sean los conjuntos: A = {4; 3; 5; 2; 0}

B = {x | x , 0 < 9}

C = {1; 3; 5; 7; 9}

Si M = {A – B}C, calcular n(P(M))

A) 512 B) 256 C) 128 D) 64 E) 32

Los conjuntos dados son:

A = {0; 2; 3 ; 4; 5}

B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

C = {1; 3; 5; 7; 9}

Construimos un diagrama de Venn - Euler paraanotar los elementos:

La cantidad de empleados que no ascienden niobtienen aumento viene dada por «c». Luego, re-emplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

80 + 60 + 55 + c = 420

195 + c = 420 c = 125

Prob. 12 (UNMSM 05 – II)Goyito desayuna con panetón o galleta cada ma-ñana del mes de agosto. Si come panetón 19 ma-ñanas y galletas 27 mañanas ¿cuál es la suma delos dígitos del número de mañanas que comió ga-lletas y panetón?A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 4

Construyamos un diagrama de Venn- Euler paraanotar los datos:

donde: P representa los días que desayuna pa-netón y G los días que desayuna galletas.

Debemos notar en primer lugar que nuestro uni-verso son los días del mes de agosto y por lo tan-to posee 31 elementos. Ahora de acuerdo a losdatos del problema podemos establecer:

i) n() = 31 x + y + z = 31 . . . (1)

ii) n(P) = 19 x + y = 19 . . . (2)

iii) n(Q) = 27 y + z = 27 . . . (3)

Luego, si reemplazamos (2) en (1), se tiene:

19 + z = 31 z = 12

Reemplazando este valor en (3) se tiene:

y + 12 = 27 y = 15

Reemplazando este valor en (2) se tiene:

x + 15 = 19 x = 4

Nos piden el número de mañanas que comiógalletas y panetón, es decir el número de elemen-tos de la intersección, esto es y = 15 (obsérvese elgráfico). Finalmente la suma de las cifras de estenúmero es:

1 + 5 = 6

Prob. 13 (UNFV – 01)

En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan elcurso de sociología y 53 no siguen el curso de filo-sofía. Si 27 alumnos no siguen filosofía ni sociolo-gía, ¿cuántos alumnos llevan exactamente uno detales cursos?

A) 40 B) 44 C) 46 D) 52 E) 58

Elaboramos un diagrama de Venn - Euler dondeanotamos el número de elementos de cada zona.

Por condiciones del problema, se tiene:

i) c + 27 = 49 c = 22

ii) a + 27 = 53 a = 26

El problema nos pide: a + c, es decir «los que lle-van exactamente un curso», entonces sustituyen-do los valores se tiene que:

a + c = 26 + 22

a + c = 48

Prob. 14 (UNCP 07 - I)

De un grupo de turistas se sabe que el 12% no co-noce Huancayo, el 14% no conoce Cusco, el 80%conocen ambas ciudades. Determine el porcentajede turistas que no conoce Huancayo ni Cusco.

A) 4% B) 0% C) 10% D) 8% E) 12%


Ahora bien:

I) Total de inscritos:

T = a + b + c + x + y + z + 5

T = 23 + 35 + 18 + 7 + 15 + 25 + 5 = 128

II) Sólo en computación hay: a = 23

III) Sólo en dos carreras está dado por x + y + z

Sustituyendo los valores deducidos, se tiene:

x + y + z = 7 + 15 + 25 = 47

Son ciertas II y III

Prob. 19 (UNMSM 05 – II)

Juana opina que de sus 36 compañeros varones delaula, 25 son simpáticos. Hay 26 inteligentes y 28conversadores. Según dicha opinión, ¿cuál es elmáximo número de muchachos que a la vez son sim-páticos, inteligentes y conversadores en su aula?

A) 9 B) 7 C) 6 D) 8 E) 10

El grupo que buscamos se ubica en la intersec-ción de los tres conjuntos A, B y C y despejandon(A B C), de la fórmula general, en la condi-ción del máximo cardinal se obtiene:

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – 2n(A B C)

donde según los datos se sabe que: n(A) = 25;

n(B) = 26 ; n(C) = 28 y n(A B C) = 36

Sustituyendo dichos valores en la fórmula seobtiene:

n(A B C) = 7

Prob. 20 (UNFV 01)De un grupo de 100 señoritas 10 son solamenteflaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamen-te altas. Si además 8 tienen por lo menos 2 de estascaracterísticas, ¿cuántas señoritas del grupo notienen ninguna de las tres características?

A) 50 B) 51 C) 55

D) Más de 60 E) Menos de 40

Elaboramos un diagrama de Venn-Euler dondeanotamos los datos para establecer una relaciónentre los conjuntos dados:

Según las condiciones del problema se tiene:

a + b + c + x = 8 . . . (1)

a + b + c + x + 10 + 12 + 15 + n = 100 . . . (2)

Sustituyendo (1) en (2):

8 + 10 + 12 + 15 + n = 100

45 + n = 100

n = 55

Prob. 21 (cepre uni 05 – II)

Si n(P(A)) = 32, n(P(B)) = 128, n(P(A B)) = 8,entonces el valor de n(P(A B)), es:

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

Recordemos que el número de elementos delconjunto potencia de A, viene dado por la fór-mula:

n[P(A)] = 2n(A)

Sustituyendo los datos en esta fórmula, se tiene:

i) n [P(A)] = 32 = 25 n(A)= 5

ii) n [P(B)] = 128 = 27 n(B) = 7

Efectuando la operación de conjuntos plantea-da, tenemos que:

M A B C M = {0} {1; 3; 5; 7}

M = {0; 1; 3; 5; 7} n(M) = 5

Y como nos piden, el número de elementos delconjunto potencia de M, éste lo obtenemos de lafórmula:

n[P(M)] = 2n(M) = 25

n[P(M)] = 32

Prob. 17 (UNI 07 – I)Dados los conjuntos A, B y C en , simplificar laexpresión:

[A (B C)] [C BC ]

A) AC B) BC C) CC D) A E) B

Dado que A, B, y C son conjuntos cualesquiera,asumiremos que sus elementos son los que semuestran en el siguiente diagrama:

A = {1; 2; 4; 5}

B = {2; 3; 5; 6}

C = {4; 5; 6; 7}

= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Luego: [A (B C)][C BC]

A {2; 3; 4; 7}] [C {1; 4; 7}]

{1; 3; 5; 7} {1; 5; 6} = {3; 6; 7}

Finalmente del diagrama de Venn- Euler mostra-do se deduce que el conjunto obtenido {3; 6; 7}equivale a AC.

Prob. 18 (UNCP 07 – I)Un instituto técnico de la ciudad de Huancayo ofer-ta las siguientes carreras técnicas: computación,topografía y mecánica automotriz. Luego del plazoestablecido se tienen las siguientes inscripciones:

80 en topografía, 50 en computación, 55 en mecá-nica automotriz, 30 en mecánica automotriz y to-pografía, 12 en mecánica automotriz y computa-ción, 20 en computación y topografía, 5 en las trescarreras.

Si todos los inscritos estudian por lo menos una delas 3 carreras, entonces:I. El número total de inscritos es 185.II. Se inscriben sólo en computación 23.III. Se inscriben sólo en dos carreras 47.Son ciertas:A) Sólo I B) Sólo III C) II y IIID) I y II E) I y III

Elaboramos un diagrama de Venn- Euler anotan-do el dato 5 y variables en cada zona:


i) 5 + z = 30 z = 25

ii) 5 + x = 12 x = 7

iii) 5 + y = 20 y = 15

iv) a + x + y + 5 = 50

Sustituyendo x = 7, y = 15, se tiene: a + 7 + 15 + 5 = 50 a = 23

v) x + 3 + z + c = 55Sustituyendo x = 7, z = 25, se tiene:

7 + 5 + 25 + c = 55 c = 18

vi) y + 5 + b = 80

Sustituyendo y = 15, z = 23, se tiene:

15 + 5 + 25 + b = 80 b = 35


iii) n [P(A B)] = 8 = 23 n(A B) = 3

Utilizando un diagrama de Venn -Euler para in-dicar el número de elementos, se tiene:

Como piden n(A B), aplicamos la fórmula:

n(A B) = n(A – B) + n(B – A)

n(A B) = 2 + 4

n(A B) = 6

Prob. 22 (cepre uni 06 – I)

Si 4n(A) = 3n(B) y el número de subconjuntos de«A» y el número de subconjuntos de «B» suman320 subconjuntos, determine n(A B). Además «A»y «B» tienen 2 subconjuntos comunes.

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

Del dato: 4n(A) = 3n(B)

( ) ( )3 4

n A n B k

De donde deducimos que:

n(A) = 3k n(B) = 4k

Además, por dato, se sabe que:

n(A B) = 2

Asimismo, se sabe que:

n(subconjuntos A) + n(subconjuntos B) = 320

Aplicando la fórmula para el número de subcon-juntos, se tiene:

2n(A) + 2n(B) = 320

23k + 24k = 320

23k· 1+23k· 2k = 320

Factorizando 23k se obtiene:

23k(1 + 2k) = 26· 5

De acuerdo a la forma de los factores tenemosque:

23k = 26 1 + 2k = 5, de donde k = 2

Finalmente nos piden: n(A B); pero:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Sustituyendo los datos:

n(A B) = 3(2) + 4(2) – 2

n(A B) = 12


Si: A BC, simplificar:

CC C C CB A A B A B

A) A B) AC C) B

D) BC E)

Si A BC se cumple que los conjuntos son dis-juntos. Hacemos un gráfico para visualizar:

En la expresión dada identificamos:

CBCC C CA A B A B

. . . (1)

Analizando la expresión indicada se tiene:

( )C

C C

A

A A B A A . . . (2)

Y aplicando la ley del complemento se obtiene:

CA A B

Reemplazando en (1):

CC C CB A B

Por definición de conjunto diferencia, nos queda:

CB

CB

Prob. 24 (cepre uni 07 – I)

Simplifique: CC CP Q P Q P

A) P Q B) P Q C) PC QC

D) PC QC E) P – Q

Del problema:

De Morgan

CC CP Q P Q P

Idempotencia

C CP Q P Q P

Conmutativa

CP Q P

Distributiva

CP P Q

Complemento

( )CP P P Q

Identidad

( )P Q

P Q


Simplificar:

C C CA B C D E A B C D E

A) A B) B C) C

D) A B E) A B

Haciendo un cambio de variables:

A B = M

C D E = N

Reemplazamos:

Distributiva

CM N M N

Conmutativa Conmutativa

C CM N M M N N

Distributiva Distributiva

C CM M N N M N

Idempotencia Complemento

( ) ( )C CM M M N N M N N

Diferencia Identidad

CM M N N M

M M N N M

Distributiva

M N M

Idempotencia

M N M M

M N MM

A B


08.- Si T = [-7; 20]; 8A x x T y 2 5B x x , entonces el número de ele-

mentos de A B es:

A) 7 B) 11 C) 9D) 10 E) 115

09.- De 72 alumnos, 36 estudian en la mañana, 35en la tarde y 25 en la noche, ¿cuántos estudian sólodos turnos, si sólo uno estudia en tres turnos?

A) 11 B) 22 C) 14

D) 24 E) 25

10.- De la fiesta el 44% toman, el 37% fuman, ade-más el 25% de los que toman, fuman. Si no tomanni fuman 84 personas, ¿cuál es el total de personas?

A) 126 B) 130 C) 190

D) 280 E) 324

11.- De 60 personas, a 28 les gusta la naranja, a 30la mandarina y a 12 ambas frutas ¿A cuántas no lesgusta estas frutas?

A) 10 B) 12 C) 14

D) 16 E) 18

12.- Durante todas las noches del mes de octubre,Soledad escucha música o lee un libro. Si escuchamúsica 21 noches y lee un libro 15 noches, ¿cuántasnoches escucha música y lee un libro simultánea-mente?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 10

13.- En una institución deportiva hay 58 personasde las cuales 38 juegan fútbol, 15 juegan básquet,20 juegan béisbol y 3 juegan los tres deportes.¿Cuántos juegan en dos de los tres deportes?

A) 15 B) 10 C) 7

D) 9 E) 12

14.- En una embajada de 78 personas, de ellos 50hablan inglés, 32 alemán y 23 francés. Además 6hablan los tres idiomas y 10 no practican ningún

idioma. Si «x» es el total de personas que hablanexactamente un idioma «y» es el total de personasque practican exactamente 2 idiomas entonces el va-lor de (x – y) es:

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 16

15.- De una muestra recogida de 200 transeúntes sedeterminó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran can-tantes callejeros y 90 eran ciegos, de estos últimos20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuán-tos de los que no son cantantes callejeros no eranmudos ni ciegos?

A) 30 B) 35 C) 40

D) 45 E) 60

16.- De 120 estudiantes, 60 aprobaron matemáti-cas, 80 aprobaron física, 90 aprobaron historia y 40aprobaron los 3 cursos, ¿cuántos aprobaron exacta-mente dos cursos, si todos aprobaron por lo menosun curso?

A) 20 B) 30 C) 40

D) 50 E) 60

17.- Se tiene un conjunto de 420 personas que venlos canales A, B y C. Se observa que 240 no ven elcanal A, 180 no ven el canal C. Si los que vieron porlo menos dos canales son 230 personas, ¿cuántaspersonas ven los tres canales?

A) 10 B) 20 C) 40

D) 60 E) 80

18.- Durante todas las noches de la primavera (se-tiembre) en Trujillo, se estudia inglés o lee el dia-rio. Si estudia inglés durante 21 noches y lee el dia-rio 15 noches, ¿cuántas noches estudia inglés y leeel diario simultáneamente?

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

19.- Un club deportivo tiene 48 jugadores de fút-bol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total dejugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los tres

01.- Indicar verdadero o falso según corresponda:

I. Si A = B = , entonces: A – B =

II. Si n(A) = 5, n(B) = 6, entonces: n(B – A) = 1

III. Si n(A) = 2, n(B) = 3, entonces: máx P 12 n A B

A) FVV B) FFV C) VFF

D) FVF E) FFF

02.- Se dan las siguientes afirmaciones:

I. s() = 0

II. Si A B A B A

III. {}

IV. n({}) = n({0})

¿Cuántas de estas son verdaderas?

A) 1 B) 4 C) 0

D) 2 E) 3

03.- Sean los conjuntos: A = {a; ; {}} y

B = {{}; {{}}}

de las siguientes proposiciones:

I. (A B) – (A B) = {a; ; {}}}

II. El número de elementos de P(A) es 8.

III. P(A) P(B) = {; {{}}}

¿Cuáles son verdaderas?

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) I, II y III

04.- Sean A, B y C conjuntos no vacíos de un uni-verso . Si Cx A B C , determine el valor deverdad de cada una de las siguientes afirmaciones:

I. x B

II. x A B

III. x (A C) – B

A) FFV B) FVV C) VVV

D) FVF E) FFF

05.- Dar el valor de verdad de las siguientes propo-siciones lógicas:

I. Si A B = B AC entonces A B

II. Si A B = entonces n(A B) = n(A) + n(B)

III. Si A B = A B entonces A B =

A) VVV B) FVV C) FFF

D) VFV E) FFV

06.- Sean A, B y C subconjuntos no vacíos de ununiverso . Determine el valor de verdad de cadauna de las siguientes afirmaciones:

I. Si A C = B C, entonces A = B

II. Si A = B, entonces A C = B C

III. Si CA A B , entonces A (B C)

A) VVV B) VFV C) FFV

D) FVV E) FFF

07.- Sea: A = {0; {1}; ; {}; {; 0}, {1; }} ylas proposiciones:

I. {1; } A

II. {{}; 0} A

III. A {} = {}Son correctas:A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) I, II y III E) Sólo I y III


deportes, ¿cuántos figuran exactamente en dos de-portes?

A) 19 B) 20 C) 21

D) 22 E) 23

20.- Considere dos conjuntos comparables cuyoscardinales son números que se diferencian en tres,además la diferencia de los cardinales de sus con-juntos potencias es 112. Indicar el número de ele-mentos que posee su intersección.

A) 2 B) 4 C) 7

D) 6 E) 8

21.- En una encuesta realizada en la UNI a un ciertonúmero de alumnos cachimbos se observó que el60% del total de alumnos aprobó matemática I y el32% aprobó matemática básica I . Los alumnos queaprobaron ambas matemáticas representan el 60%de los que no aprobaron alguno de estos cursos. Si84 aprobaron los dos cursos, ¿cuántos alumnos fue-ron encuestados?

A) 300 B) 360 C) 480

D) 600 E) 700

22.- Un estudiante está realizando una investigaciónacerca de dos tipos de métodos P y Q. Aplicó laencuesta a 40 personas y obtuvo los siguientes re-sultados: El número de los que prefieren los dos mé-todos es igual a la tercera parte de los que prefierenel método P e igual a la tercera parte de los que sóloprefieren el método Q así como la cuarta parte delos que no prefieren ninguno de estos métodos. De-termine el número de encuestados que prefieren almenos un método.

A) 20 B) 24 C) 36

D) 42 E) 48

23.- De una encuesta a 135 personas para estable-cer preferencias de lectores de las revistas A, B yC se obtiene los siguientes resultados: Todos leenalguna de las revistas, todos menos 40 leen A, 15leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A, 10leen sólo C, El número de los que leen A y C es eldoble del número de los que leen las tres revistas.

28.- Sean A y B dos conjuntos no vacíos tal que cum-plen las condiciones: n(A B) = 6

P P 40n A n B

Determine: n[P(A B)]A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 16

29.- Dados los conjuntos A, B y C y los siguientesdatos:

n(A B C) = 144, n(A) = 70, n(B) = 40,n(C) = 90, n(A B) = 10, n(B C) = 20,n(A C) = 30. Calcular n A B C .

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

30.- Considere 3 conjuntos A, B y C tales que:

C A = C, n(C’) = 150, n(A’ B) = 90

6n A B C n C

Determine n(), : conjunto universo

A) 120 B) 40 C) 175

D) 180 E) 190

31.- Siendo A y B conjuntos, n[A B] = 11 y 192n P A n P B

Determine: n P A B

A) 4 B) 5 C) 6

D) 8 E) 16

32.- Si A y B son conjuntos tales que:

n(A) – n(B) = 1, P 1 024n A B ,

P 8n A B

Determine: Pn B

A) 16 B) 32 C) 64

D) 128 E) 256

33.- Sean A, B y D conjuntos no vacíos, que cum-plen: A B , n(A D) = 0, D B, n(A) = 17,n(B) = 22, n(D) = 6, n(A B D) = 30.

Calcular: n(B D) – n(A B)

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 13

34.- Sean A y B dos conjuntos finitos contenidos enel universo tal que: n() = 240, n(A) = 3n(B),

Cn A B n A B . Determine: Cn A

A) 60 B) 80 C) 90

D) 95 E) 100

35.- Si A B; simplifique la siguiente expresión:

CC CA A B B A B

A) A B) B C) A BC

D) AC B E) A – B

36.- Si A B y B C = , el universo, entoncesal simplificar:

CP A B B C C A A B

A) A B) C) C

D) E) A BC

37.- Simplifique: CC CP Q P Q P

A) P Q B) P Q C) PC QC

D) PC QC E) P – Q

03E

11C

04A

12C

20B

05A

13D

21E

29C

06D

14A

22B

30C

15A

23C

31A

24D

32C

33C

02E

01C

10D

19E

28B

37A

17C

25B

34A

18C

26B

35A

27C

36C

09B

07D

08A

16B

El número de los que leen sólo B es el mismo delos que leen A y C. Calcular el número de los queleen solamente A.A) 20 B) 38 C) 56D) 61 E) 72

24.- En el departamento de control de calidad de lafábrica de microchips W.A.C.S.A. se consideran tresdefectos A, B y C como las más importantes. Se eli-gen al azar 200 productos y se observa que: 38 presentan el defecto A 72 presentan el defecto B 80 presentan el defecto C 100 productos presentan exactamente un defecto. 10 productos presentan tres defectos.¿Cuántos productos presentan al menos un defecto?A) 100 B) 130 C) 150D) 140 E) 160

25.- Los conjuntos A y B que tienen 12 elementoscomunes se inscriben en un universo .Si: n(A B) = 33 , n(A) – n(B) = 17 y

Cn B A n A B , entonces n() es:A) 33 B) 35 C) 37D) 39 E) 40

26.- Sean A, B y C conjuntos no vacíos que cumplen:n(A B) = 22, n(B C) = 16, n(C A) = 14,

n(A B C) + n[P(A B C)] = 32Determine: n[P(A B C)]A) 2 B) 4 C) 8D) 16 E) 32

27.- Si:

P 256

1

3

n A B

n A n B

n A BDetermine: n(B)A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

1.2.2A. Definición A B A B - Libreria...

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