11Und. 1 – Teoría de Conjuntos10 Aritmética

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes yla notación decimal posicional. Los números arábigos, en los que se basa la aritmética actual, fuerondesarrollados por grandes matemáticos hindúes como Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara.

El parisino Nicole Oresmes (1328 - 1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los expo-nentes fraccionarios, sus reglas de operaciones y su notación, anticipándose a la idea de logaritmo. Enel siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo los radicales y las opera-ciones con ellos. En 1614 John Neper (1550 - 1617) presenta las primeras tablas de logaritmos y añosmás tarde, con Henry Briggs (1561 - 1630) desarrollan el sistema logarítmico decimal.

La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él perte-nece el conocido «Gran teorema de Fermat». En el año 1665 Pascal formuló el principio de inducciónmatemática. Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con los logarit-mos. En 1768 apareció la «Aritmética Universal» de Euler quien se ocupó de construir la actual teoría denúmeros y teoría de congruencias. El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo ante-rior la edad de Oro de la Matemática. En esta época K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, introdujeron losconceptos relativos a la teoría de grupos, subgrupos, anillos y estructuras. En el año 1872 surgieron unaserie de trabajos, escritos por Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray cuyo único objetivo era elde dotar al número real de una teoría rigurosa, desarrollándose así la Teoría de conjuntos.

En la actualidad la aritmética se puede subdividir en: Aritmética Abstracta, Aritmética Concreta y Aritmé-tica Mercantil. [Aritmética general y mercantil, Carlos Mataix Aracil, Ed. Dossat, 6ta Edición, 1962, Madrid]

1.1.2. Conjunto

1.1.2A. Concepto de conjuntoEntendemos como conjunto a una colección de cualquier tipo de objetos llamados elementos delconjunto, que está determinado por una propiedad común de quienes lo forman y enunciada pormedio de un lenguaje preciso. [Teoría de la aritmética, Peterson & Hashisaki, Ed. Limusa, 1994, México]

Ejemplos.- Son conjuntos las siguientes colecciones:

a) Los hijos de Carmela: Marlon, Rocío y Daniel.

b) Los números naturales: 1; 2; 3; ...; 20.

1.1.2B. Notación de conjuntosUn conjunto se denota con letras mayúsculas (A; B; C; ...) y se representa mediante llaves: { }, en cuyointerior se denotan sus elementos, representados por letras minúsculas, separados por comas o punto ycoma en el caso de ser números.

Ejemplo 1.- El conjunto formado por los hijos de Carmela, del ejemplo anterior, se puede denotar así:

C = {Marlon, Rocío, Daniel}

que se interpreta así: «C es un nombre para el conjunto de los elementos Marlon, Rocío y Daniel »

Ejemplo 2.- El conjunto de los números naturales del 1 al 20, se puede denotar como:

A = {1; 2; 3; ...; 20}

que se interpreta así: «A es un nombre para el conjunto cuyos elementos son los primeros 20 númerosnaturales no nulos»

Luego, todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto.

1.1.1. La Aritmética

1.1.1A. ConceptoLa aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática que estudia la composición y des-composición de la cantidad representada por números así como las operaciones realizadas con estos.

Esta disciplina matemática es utilizada, en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y enlos más avanzados cálculos científicos. La palabra aritmética proviene de dos voces griegas: arithmosque quiere decir número y techne habilidad.

1.1.1B. Breve historiaSe puede decir que la aritmética nace con la idea de número y éste de la necesidad de contar. Taleshechos son tan antiguos como el hombre y se pierden en el tiempo.

En la prehistoria, la aritmética estuvo limitada al uso de números naturales, encontrados inscritos en elhueso Ishango de África central, que data entre 18000 y 20000 a. C. Hay evidencias de que los babiloniostenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C. Delmismo modo, el Papiro de Ahmes (1650 a. C.) encontrado en Egipto, muestra sumas, restas, multiplica-ciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones.

Nicomachus de Gerasa (120 - 60 a. C.) resume la filosofía de Pitágoras enfocada a los números, y susrelaciones, en su Introducción a la Aritmética. Es necesario precisar que la aritmética india era muchomás simple que la aritmética griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además,poseía el cero y una notación con valor numérico posicional.

Es Fibonacci (también conocido como Leonardo de Pisa) quien presenta el «Método de los hindúes» enEuropa en 1202; en su tratado Liber Abaci. En la Edad Media, la aritmética fue considerada como unade las siete artes liberales enseñada en las universidades.

La teoría de conjuntos ha aportado a la cienciamejores criterios de selección de objetos. Porejemplo, la taxonomía en la biología utiliza elconcepto de conjunto para la ordenación jerar-quizada y sistemática de todos los seres vivos:animales y vegetales.

El proceso de clasificación consiste en identificara los seres vivos con un determinado grupo decaracterísticas comunes que les son propios.

13Und. 1 – Teoría de Conjuntos12 Aritmética

1.1.5. Conjuntos especiales

1.1.5A. Conjunto vacíoEl conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos y se denota comúnmente como: o { }.

Ejemplo.- Sea A un conjunto cuyos elementos son los campeonatos mundiales de fútbol ganados por elPerú durante el siglo XX. Como Perú no ganó ningún campeonato en dicho periodo, este conjunto notiene ningún elemento, luego:

A { }, o , A

1.1.5B. Conjunto universal

Dados el conjunto A o más conjuntos, el conjunto universal o de referencia de A, denotado por , esotro conjunto cuyos elementos son todos los elementos de los conjuntos dados.

Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos: A {1; 3; 5; 7; 9} y B = {0; 2; 4; 6; 8}

Luego el conjunto universal de los conjuntos A y B es:

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Un conjunto universal o referencial se elige de manera arbitraria de acuerdo a la situación particularque se esté estudiando. En el ejemplo anterior se ha supuesto que solo existen los conjuntos A y B.

1.1.6. Diagramas conjuntistas

Los diagramas conjuntistas son dibujos en los que se muestran las relaciones existentes entre dos o másconjuntos.

Entre los diagramas más usuales tenemos:

1.1.6A. Diagramas de Venn- Euler

Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráfica-mente a los conjuntos anotando, en su interior, a sus correspondientes elementos.

Se estila representar al conjunto universal mediante un rectángulo.

Ejemplo.- El siguiente es un diagrama de Venn- Euler de los conjuntos A, B, C y su conjunto universal :

A partir del diagrama mostrado, se puede determinar, por extensión, los siguientes conjuntos:

A {1}, B {2; 3}, C {3; 4; 5}

y finalmente, el conjunto universal: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Obsérvese que cada elemento se ha indicado por medio de un punto.

Ejemplo 3.- Las siguientes son colecciones pero no son conjuntos:a) Los astronautas que llegaron a la luna, los videojuegos gongbawn y las enfermedades venéreas.b) Un personaje de Harry Potter, los damnificados de Chernobil, el autor de la Divina Comedia y el 45.

1.1.3. Determinación de un conjunto

Determinar un conjunto es listar o indicar, sin ambigüedades, los términos o condiciones mediante loscuales un elemento dado es o no integrante de dicho conjunto.

1.1.3A. Por extensiónUn conjunto se determina por extensión cuando se listan, o enumeran, uno a uno sus elementos, o se dauna fórmula que define la secuencia de éstos. [Aritmética General y Mercantil, Dr. Carlos Mataix Aracil,Ed. Dossat, Madrid, 1962]

Ejemplo.- Los elementos del conjunto A son: 2; 4; 6; 8 y 10. Luego determinamos el conjunto A, porextensión, así:

A {2; 4; 6; 8; 10}

También se puede escribir: A {2k; donde k es un número natural 1 k 5}El signo se lee: «menor o igual que».

1.1.3B. Por comprensiónUn conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia a sus elementos por medio de unapropiedad o cualidad común a ellos y que le es válida únicamente a éstos.

Un conjunto por comprensión se denota así: A {x|x tiene cierta propiedad}

que se lee: «A es el conjunto de todos los elementos x tal que x tiene cierta propiedad»

El símbolo | (barra vertical) se lee: « tal que» y el símbolo «x » se llama variable. [Teoría de Conjuntos yTemas Afines, Ph.D Seymour Lipschutz, Ed. McGraw Hill, Cali, 1978]

Ejemplo.- Del ejemplo anterior podemos escribir: A {a| a es par y 2 a 10}

1.1.4. Relación de pertenencia

Llamamos relación de pertenencia a la correspondencia que existe entre un objeto, llamado elemento, yun conjunto, de modo que el primero forma parte del segundo.

Si un objeto «x » es elemento de un conjunto A, es decir, si A tiene a «x » como uno de sus elementos, seescribe:

x A, que se lee: «x pertenece a A», o «x está en A»

Si por el contrario, un objeto «x » no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no tiene a «x» entre suselementos, se escribe:

x AObsérvese que la relación de pertenencia va de un objeto a otro, donde el segundo es necesariamenteun conjunto y el primero puede o no ser un conjunto.

Ejemplo.- Sean los conjuntos: A {1; 2; 3} y B {a; {b; c}}, entonces se puede afirmar que:

1 A; 2 A; 3 A; a B; {b; c} BAsimismo podemos establecer que: a A; 2 B.

15Und. 1 – Teoría de Conjuntos14 Aritmética

Ejemplo 1.- Sean los conjuntos P {1; 3; 5} y Q {1; 2; 3; 4; 5}

Como todo elemento de P también pertenece a Q con-cluimos que P es subconjunto de Q y se denota:

P Q

Ejemplo 2.- El conjunto R {2; 3; 4} es un subconjunto del conjunto S {4; 3; 2}

En efecto, todo elemento de R: 2; 3 ó 4, también perte-nece a S.

R S

Obsérvese que en este ejemplo también podemos decir que S está incluido en R.

Ejemplo 3.- Investigar si el conjunto C {21; 22; 23; 24; ...} es o no un subconjunto del conjuntoD {x|(x es par no nulo)}

En efecto: C {2; 4; 8; 16; ...} y D {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; ...}, luego inspeccionando uno a uno loselementos de ambos conjuntos concluimos que:

C D

Si algún elemento de un conjunto A no pertenece a otro B entonces decimos que A no está incluido enB, lo cual se denota así: A B.

B2. Subconjunto propio

Se establece que A es subconjunto propio de B, si todo elemento de A es elemento de B, y existe almenos un elemento de B que no le pertenece a A.

La condición de existencia: «al menos un elemento de B no le pertenece a A» significa que el conjuntoB no está incluido en A.

B es subconjunto propio de A si: B A y B A

En algunos libros: «A es un subconjunto de B», se denota A B, porque puede ocurrir queA B o A B. En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio, emplearemos la mismanotación: , en el entendido que se reconoce, desde ahora, la diferencia entre ellos.

Ejemplo.- Sean los conjuntos: M {1; 2; 3} y N {0; 1; 2; 3}

Se puede reconocer que todos los elementos de M son también los elementos de N, pero N tiene almenos un elemento, el 0, que no le pertenece al conjunto M. Luego M es subconjunto propio de N, locual denotaremos y graficaremos así:

M N y N M

En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio, emplearemos la misma notación: , en elentendido que el lector reconoce, desde ahora, la diferencia entre ellos.

1.1.6B. Diagrama de CarrollEste diagrama es un recurso gráfico que consiste en un plano dividido en rectángulos, en el que cadaregión representa a un conjunto con dos o más características.

Ejemplo.- Sea el siguiente diagrama de Carroll:

Lewiss Carroll, es el seudónimo con el que fuera conocido Charles L. Dodgson (1832 - 1898), escritor ymatemático inglés, autor de la obra «Alicia en el país de las maravillas».

1.1.7. Relación entre conjuntos

1.1.7A. Igualdad de conjuntosLa igualdad de dos conjuntos A y B, denotada como A B, es la relación que establece que cadaelemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.

A = B

Ejemplo.- Sean los conjuntos: D {a, b, a, a} y E {a, b}. Se observa que cada elemento del conjunto Destá en el conjunto E y cada elemento del conjunto E está en el conjunto D, por lo tanto: D E.

Si una misma letra, número u objeto aparece más de una vez en cualquier lista de los elementos de unconjunto será considerado como solamente una letra, un número o un objeto, respectivamente.

Así, en el ejemplo anterior, la letra «a » aparece tres veces en la lista de los elementos del conjunto D.Para nuestro propósito el conjunto D tiene solamente dos elementos diferentes: a y b.

1.1.7B. Inclusión

La inclusión de un conjunto en otro conjunto es la relación según la cual todos los elementos delprimero pertenecen al segundo.

Sobre la base de este tipo de relación se establecen dos definiciones:

B1. Subconjunto

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es unsubconjunto de B, y se denota como A B.

A B ( x A, x B)

Los símbolos y se leen como «si, y sólo si» y «para todo», respectivamente.

17Und. 1 – Teoría de Conjuntos16 Aritmética

Ejemplo 3.- Sean: + = {x|x es un número positivo} y – = {x|x es un número negativo}

Puesto que ningún elemento de cualquiera de los conjuntos está en el otro, se concluye que:

+ y – son conjuntos disjuntos.

Ejemplo 4.- Sean A y B dos conjuntos no comparables, entonces A y B se describen por alguno de lossiguientes diagramas:

1.1.8. Clases de conjuntos

1.1.8A. Conjunto finitoUn conjunto es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus elementos en algún orden y en conse-cuencia contarlos uno a uno hasta alcanzar el último. [Aplicaciones matemáticas a la administración, Kleiman& Kleiman, Ed. Limusa, 1988, México]

Ejemplo.- Sea A el conjunto de letras del abecedario: A = {a, b, c, ..., z}

Como los elementos de A se pueden listar hasta el último, concluimos que A es un conjunto finito.

1.1.8B. Conjunto infinitoUn conjunto es infinito cuando no se pueden listar exhaustivamente sus elementos en algún orden y enconsecuencia no posee un último elemento.

Ejemplo.- Si es el conjunto de los números naturales, entonces:

= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ...}

Se observa que no es posible alcanzar el último elemento de este conjunto, luego es un conjuntoinfinito.

1.1.9. Cardinal de un conjunto

1.1.9A. DefiniciónEl cardinal de un conjunto A, denotado como n(A), es el número natural que indica la cantidad deelementos diferentes que tiene dicho conjunto.

Ejemplo 1.- Sea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f }, entonces su cardinal n(A) se obtiene así:

Propiedades:

1ro. Todo conjunto está incluido en sí mismo.

A se cumple que: A A

2do. El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto e inclusive en él mismo.

A se cumple que: A

Obsérvese que si A = , entonces se cumple que:

1.1.7C. ComparabilidadDos conjuntos A y B se llaman comparables si se cumple que: A B o B A

De acuerdo con esta definición, dos conjuntos A y B son comparables si uno de los conjuntos es subcon-junto del otro. Por esta misma razón, todo conjunto es comparable consigo mismo.

Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: A {a, b} y B {a, b, c}

Entonces A es comparable con B, pues A es un subconjunto de B.

Si A y B son dos conjuntos comparables entonces sólo es posible que: A B o B A. En cualquiera delos dos casos se puede escribir A B. Luego A y B se describen por alguno de los diagramas:

En cambio, dos conjuntos se llaman no comparables si se cumple que: A B y B A

Obsérvese, en este último caso, que si A no es comparable con B, entonces hay en A, al menos unelemento que no está en B y hay también, al menos, un elemento de B que no está en A.

Ejemplo 2.- Sean los conjuntos: C {a, b, c} y D {b, c, d}

Se observa que a D, luego C D. Asimismo d C, luego D C.

C y D son conjuntos no comparables.

1.1.7D. Conjuntos disjuntos

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y siningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos.

Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: A {a, b, c} y B {1; 2; 3; 4}

Se observa que ningún elemento de A está en B y ninguno de B está en A:

A y B son conjuntos disjuntos.

Ejemplo 2.- Sean los conjuntos: R {a, b, c} y S {c, d, e, f }

Puesto que «c» está en R y en S concluimos que R y S no son disjuntos.

19Und. 1 – Teoría de Conjuntos18 Aritmética

Ejemplo 2.- Dado: A = {1; 2; 3} mediante combinaciones determinamos todos los subconjuntos de A:

– Conjunto sin elementos = 1:

– Conjuntos de 1 elemento = 3: {1}, {2}, {3}

– Conjuntos de 2 elementos= 3: {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}

– Conjunto de 3 elementos = 1: {1; 2; 3}

A partir de los subconjuntos de A se puede construir el conjunto potencia de A:

Subconjuntos propios de

( ) , 1 , 2 , 3 , 1; 2 , 2; 3 , 1; 3 , 1; 2; 3

A A

P A

Obsérvese que el conjunto A tiene 3 elementos, el conjunto potencia de A tiene 8 elementos de loscuales 7 son subconjuntos propios y 1 es conjunto propio. Por otro lado estos números verifican lassiguientes relaciones:

8 = 23 ; 7 = 23 - 1 ; 8 = 7 + 1

En general, si n (A) es el cardinal del conjunto A, entonces el cardinal del conjunto potencia de A,denotado como n[P(A)], y el número de subconjuntos propios de A, denotado como sA, están dadospor:

( )( ) 2n An P A ; ( )2 1n AAs ( ) 1An P A s

donde el signo , se lee como: «entonces».

Ejemplo 3.- Dado: A = {a; b; c; d} mediante combinaciones determinamos todos los subconjuntos de A:

– Conjunto sin elementos = 1:

– Conjuntos de 1 elemento = 4: {a}, {b}, {c}, {d}

– Conjuntos de 2 elementos = 6: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}

Subconjuntos propios

– Conjunto de 3 elementos = 4: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d}

– Conjunto de 4 elementos = 1: {a; b; c; d}

Luego: n[P(A)] = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 y sA = 16 – 1 = 15

Obsérvese que: n(A) = 4 y 16 = 24, verificándose que: n[P(A)] = 2n(A)

Ejemplo 4.- ¿Cuántos elementos tiene el conjunto cuyos subconjuntos propios suman 31?

Sea A el conjunto dado y n(A) el número de elementos que éste posee. Luego, aplicando la relación:

( )2 1n AAs

donde por dato se sabe que: 31As ( )31 2 1n A ( ) 5 ( )32 2 2 2n A n A

Comparando exponentes se concluye que: n(A) = 5

Este ejemplo nos permite comprender que el cardinal de un conjunto es «n» si cada uno de sus elemen-tos diferentes se hace corresponder, uno a uno, con el conjunto de números naturales {1; 2; 3; ...; n}

Más adelante definiremos el conjunto de números naturales con mayor propiedad.

Ejemplo 2.- Sean los conjuntos:

a) A { }

Puesto que A es un conjunto que no presenta elementos, es decir, es un conjunto vacío, se propone que:n (A) 0. En adelante se aplicará: n () 0.

b) B {x |3 x 5}

Sabiendo que el símbolo significa «menor que», concluimos que 4 es el único número natural queverifica la condición dada, luego: B {4}, y por consiguiente: n(B) 1.

Dado que «B » tiene un único elemento se llama conjunto unitario.

c) C {}

En este caso el conjunto C tiene un elemento, este elemento es el conjunto vacío, por consiguiente setrata de un conjunto unitario y se cumple que: n (C ) 1

d) D {x|x es un miembro del equipo de fútbol profesional que está jugando en cancha}

Dado que un equipo de fútbol profesional, jugando en cancha, está constituido de 11 jugadores, seconcluye que: n(D) 11.

1.1.9B. Conjunto de conjuntos

El conjunto de conjuntos, llamado también clase o familia de conjuntos, es el que tiene por elementos aotros conjuntos. [Teoría de conjuntos y temas afines, Ph. D. Seymour Lipschutz, Ed. McGraw Hill, 1969, Cali]

Ejemplo 1.- Sea C el conjunto cuyos elementos son: {a, b}, {a, c} y {d}. Luego podemos escribir elconjunto de conjuntos C así:

C {{a, b}, {a, c}, {d}}

En teoría es posible que un conjunto tenga entre sus elementos algunos que sean a su vez conjuntos yotros que no lo sean, pero en las aplicaciones de la Teoría de Conjuntos este caso se presenta rara vez.

Ejemplo 2.- El conjunto: D {{0; 1}; {1}; 2; 3}, es una familia de conjuntos.

1.1.9C. Conjunto potencia

Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A, denotado como P (A ), a la familia de conjun-tos cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Debemos recordar que en la lista de todos los subconjuntos de un conjunto está el conjunto vacío.

Ejemplo 1.- Sea A {a; b}, determinemos su conjunto potencia:

P (A) {, {a}, {b}, {a, b}}

Obsérvese que se han listado los conjuntos de ninguno, uno y dos elementos.

21Und. 1 – Teoría de Conjuntos20 Aritmética

1.1.10. Conjuntos numéricos

1.1.10A. Noción básica de númeroDesignamos con el nombre de número a aquella característica común que tienen dos conjuntos conigual cantidad de elementos.

Los símbolos que representan a los números se llaman numerales.

Los números pueden ser naturales: 0; 1; 2; 3; ..., enteros: ...; -2; -1; 0; 1; 2; ..., racionales: ...; -4/5; -1/8;0; 1/8; 4/5; ..., irracionales: ...; - 3 ; - 2 ; 2 ; 3 ; ..., reales: cualquiera de los anteriores o unacombinación de ellos.

Los numerales que representan a los números naturales del 0 al 9 se llaman dígitos o cifras. Los nume-rales de la forma a /b o a

b denotan un tipo de números llamados fracciones. Algunos racionales sepueden escribir como una expresión decimal o como un tanto por ciento: 2/5 0,4 40%.

Los numerales 2 ; 3 , se llaman raíz cuadrada de 2 y de 3 respectivamente.

1.1.10B. Definición de conjunto numéricoSe llaman conjuntos numéricos a aquellos conjuntos cuyos elementos son números.

Los conjuntos numéricos que con más frecuencia trabajamos se conocen como el conjunto de losnúmeros naturales (), el conjunto de los números enteros (), el conjunto de los números racionales(), el conjunto de los números irracionales (), el conjunto de los números reales ().

Todos estos conjuntos se construyen sobre un determinado grupo de axiomas que se expondrán endetalle en los siguientes capítulos.

Ejemplo.- Los siguientes son conjuntos numéricos:

i) 2; 4; 6; 8; 10; ... es un número parA x x

ii) 1; 3; 5; 7; 9; ... es un número imparB x x

1.1.10C. Conjunto Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números naturales, que en este texto lo definimos así:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...

El conjunto de los naturales excepto el cero (0), es:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ... 0

1.1.10D. Conjunto Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números enteros.

...; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...

El conjunto de los enteros excepto el cero (0), es:

...; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ... 0

El conjunto de los enteros positivos, es: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...

El conjunto de los enteros negativos, es: ...; -6; -5; -4; -3; -2; -1

Finalmente el conjunto de los enteros se puede denotar así: 0

Nota.- El signo denota una operación entre conjuntos llamada unión de conjuntos. Aunque estaoperación recién se definirá en el siguiente capítulo diremos por ahora que sirve para reunir, en un soloconjunto, los elementos de los conjuntos involucrados.

1.1.10E. Conjunto Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números racionales.

6 5 3 3 54 2 1 2 43 4 5 5 7 5 3 2 2 2...; ; ; -1; ; ; ; 0; ; ; 1; ; ; ; 3; ...

El conjunto de los racionales excepto el cero (0), es:

6 5 3 3 54 2 1 2 43 4 5 5 7 5 3 2 2 2...; ; ; -1; ; ; ; ; ; 1; ; ; ; 3; ... 0

El conjunto de los racionales positivos, es:

3 51 2 45 3 2 2 2...; ; ; 1; ; ; ; 3; ...

El conjunto de los racionales negativos, es:

6 5 34 23 4 5 5 7...; ; ; -1; ; ; ; ...

Finalmente el conjunto de los racionales se puede denotar así: 0

1.1.10F. Conjunto Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números reales.

...; - ; - 3 ; - 2 ; -1; -1/ 5; -1/7; 0; 1/ 5; 2 / 3; 1; 2; 3; ;...

El numeral se llama pi, es un número irracional y vale, aproximadamente: = 3,1415926...

El conjunto de los reales excepto el cero (0), es:

...; - ; - 3; - 2; -1; -1/ 5; -1/7; 1/ 5; 2 / 3; 1; 2 ; 3 ; ... 0

El conjunto de los reales positivos, es:

...; 1/ 5; 2 / 3; 1; 2; 3; ...

El conjunto de los reales negativos, es:

...; - ; - 3; - 2; -1; -1/ 5; -1/7;...

Finalmente el conjunto de los reales se puede denotar así: 0

23Und. 1 – Teoría de Conjuntos22 Aritmética

Conclusiones: En términos conjuntistas se puede plantear que:

1.1.11. Definiciones complementarias

1.1.11A. Recta numéricaLa recta numérica es una representación geométrica del conjunto de los números reales en la que acada punto de ella se le hace corresponder un número real.

Esta recta tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido(generalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (generalmente hacia la izquierda).

-

1.1.11B. Comparación de números realesComparar dos números reales es establecer una relación de orden entre ellos o estimar sus diferencias.

Al representar el conjunto en la recta numérica se hace de forma ordenada y secuencial, de modoque el crecimiento de los valores es de izquierda a derecha. De este modo, si «a » y «b » son dosnúmeros reales, tal que «a » se ubica a la izquierda de «b », entonces a < b:

1.1.11C. Valor absoluto

El valor absoluto de un número real «a », denotado por |a|, se define como la distancia, medida sobrela recta numérica, desde el punto «a » hasta el cero (0).

El valor absoluto de «a », es decir |a|, se determina por medio de la siguiente regla:

, si 0- , si 0a a

aa a

Ejemplo.- A continuación calculemos el valor absoluto de los siguientes números: |-2,31| = 2,31;|0| = 0; |-4,8| = 4,8. Obsérvese que el valor absoluto de cualquier número es siempre un númeronulo o positivo, pero nunca negativo. En términos prácticos, podemos decir que, determinar el valorabsoluto de un número consiste en obtener otro, a partir del primero, eliminando sólo su signo original.

Por ejemplo: |+5| = 5 ; |-8| = 8

1.1.12. Definición de intervalo

Se llama intervalo a un subconjunto de contenido en la recta numérica y entre dos números llamadosextremos, que en algunos casos forman o no parte del intervalo e incluso pueden no existir.

Observaciones:

1ra.- Los intervalos se expresan a través de desigualdades de modo que ambos conceptos siempre estánligados. Cada expresión de la columna notación, se llama «extensión de x »

2da.- Si una variable tiene un valor perteneciente a un intervalo dado, significa que puede tomar cual-quiera de los valores que éste contiene.

3ra.- Dado que un intervalo es un conjunto de números reales, se afirma que todo intervalo numéricopuede ser expresado en términos de un conjunto.

Ejemplo 1.- Sean a y b dos números reales tales que a < b. Si estos números son los extremos de unintervalo abierto A =a; b, entonces, el conjunto que lo determina por comprensión es:

A = {x | a < x < b}, es decir: a; b = {x | a < x < b}

Ejemplo 2.- Sean a y b dos números reales tales que a < b. Si estos números son los extremos de unintervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha B =a; b, entonces, el conjunto que lo determinapor comprensión es:

B = {x | a < x b}, es decir: a; b= {x | a < x b}

25Und. 1 – Teoría de Conjuntos24 Aritmética

B = { ............................................................. }

C = { ............................................................. }

08.- Escribe el símbolo o para que cada expre-sión sea verdadera.

a. 4 ___ A b. 12 ___ D

c. 2 ___ B d. 1 ___ C

e. 8 ___ f. 4 ___ D

g. 9 ___ B h. 10 ___ A

i. 7 ___ C

09.- Dado el conjunto: A = {1; 2; {3; 4}; 5}, señalar si sonverdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

a. 2 A ( )

b. 5 A ( )

c. A ( )

d. {3; 4 } A ( )

e. {1; 2; 5} A ( )

f. {3; 4} A ( )

10.- Identifica con (F), (I), (V) o (U), cada uno de los si-guientes conjuntos, si estos son: finito, infinito, vacío ounitario, respectivamente:

a. A = {a, b, c, d ... z} ___

b. B = {x| x y 4 < x < 6} ___

c. G = {x| x , es par 150 < x < 154 } ___

d. H = {x| x 0 < x < 1} ___

e. M = {1; 2; 3; 4 ... 9} ___

f. N = {x| x y x es múltiplo de 5 } ___

g. P = {x| x , x es par y x < 2 } ___

h. Q = {3; 6; 9; 12 ...} ___

i. R = {x| x 8 < x 9} ___

j. S = {x| x es un animal mamífero} ___

11.- Indica con (F) o (I), en cada uno de los siguientesconjuntos, si es «conjunto finito» o «conjunto infinito»,respectivamente:

Tipo deconjuntoConjunto

12.- Determina y escribe el cardinal del conjunto poten-cia de cada uno de los siguientes conjuntos:

A = {b, a, r, c, e, l, o, n, a} ..... n[P(A)] = .......

B = {c; a; m; p; e; ó; n} ..... n[P(B)] = .......

C = {a; m; a; r } ..... n[P(C)] = .......

D = {d, i, o, s } ..... n[P(D)] = .......

E = {c; o; l; o; s; a; l } ..... n[P(E)] = .......

01.- Identifica con (C), las expresiones que constituyenconjuntos y con (N) los que no:

a. Los números naturales. ___

b. Los cursos de primero de secundaria. ___

c. La paz en el mundo ___

d. Las estrellas del sistema solar ___

e. La solidaridad de los peruanos ___

f. Los satélites artificiales de la Tierra ___

02.- Sabiendo que el símbolo significa «menor o igual»,determina por extensión cada uno de los siguientes con-juntos:

a. A = {x| x es un planeta del sistema solar}

________________________________

b. C = {x| x y 1 < x 9}

________________________________

03.- Determina por comprensión los siguientes conjuntos:a. A = {Pizarro, Luque, Almagro}

________________________________

b. C = {0; 2; 4; 6; 8; ...}

________________________________

c. E = {Luna}

________________________________

04.- Dado el siguiente grupo de conjuntos, indicar en cadauno con (V) si es vacío y con (U) si es unitario.

A = {x| x ; 2 x < 3} ( )

B = {x| x , 3 < x < 4} ( )

C = {2x| x , 8 < x < 9} ( )

D = {3x + 2| x , x < 0} ( )

E = {5x – 1| x , x 0} ( )

05.- Relaciona con líneas cada elemento de la izquierdacon uno o más conjuntos de la derecha que resulten ser suconjunto universal.

Barco Animales

Múltiplos de 3 Unidades de medida

Metro, kilogramo Polígonos

Cuadrilátero Números pares

Persona Continentes

Triángulo Figuras geométricasPaís Números naturales

Múltiplos de 6 Población

Mamífero Medios de transporte

06.- Si: A = {a, b, c, d, e}, B = {p, q, r } y C = {1; 2; 3}, indicacuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V)y cuáles son falsas (F):

a. a A ____ b. p B _____

c. 0 C ____ d. 4 C _____

e. f A ____ f. a B _____

g. 1 C ____ h. {2 } C _____

07.- Observa el diagrama:

Determina, por extensión cada uno de los conjuntosdados.

A = { .............................................................. }

26 Aritmética 27Und. 1 – Teoría de Conjuntos

Prob. 05 (UNPRG 99 – II)

Dado el conjunto M = {{1}, 2 {3}; {4;5}}; de lassiguientes proposiciones:

I. {3} M II. {{4;5}} M

III. 2 M IV. {4; 5} M

Son verdaderas solamente:

A) I y II B) II y IV C) I y IV

D) II y III E) III y IV

Tengamos en cuenta que la notación: x M in-dica que «x» es un elemento de M. Asimismo:{x} M indica que {x} es un subconjunto de M, yrecordando la definición de inclusión:

{x} M x M

analicemos cada una de las afirmaciones:

i) {3} M, es falso ya que 3 M

ii) {{4; 5}} M, es verdadero ya que {4; 5} M

iii) 2 M; es verdadero ya que 2 es un elementode M (esto se verifica inspeccionando el con-junto)

iv) {4; 5} M, es falso ya que 4 y 5 no son ele-mentos de M.

Luego, son verdaderas II y III

Prob. 06 (UNPRG 99 – I)Con respecto al conjunto:

A = {x2 – 1| x , -3 x < 5}

¿qué afirmaciones son correctas?

1. n(A) = 8 2. 1 A

3. 8 A 4. 4 AA) 2 y 4 B) 3 y 4 C) 2 y 3D) 1 y 3 E) 1 y 4

Según condición se tiene que:-3 5x x

-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4x

Luego los elementos de A los determinaremostabulando los valores de (x2 – 1):

A = {-1; 0; 3; 8; 15} n(A) = 5

Obsérvese que los elementos repetidos se hanconsiderado una sola vez. Ahora, conociendo loselementos del conjunto A, podemos afirmar que:

1. n(A) = 8 (F) 2. 1 A = (V)

3. 8 A = (V) 4. 4 a = (F)

Con lo cual concluimos que son correctas2 y 3.

Prob. 07 (UNFV 08)

Determine por extensión el siguiente conjuntoA = {x | 5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10} y darcomo respuesta la suma de los elementos de «A».

A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 11

De acuerdo a las condiciones del problema

5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10 ; x Transformando esta expresión en dos inecuacio-nes, se tiene:

5x + 1 < 3x + 11 y 3x + 11 < 4x + 10

5x – 3x < 11 – 1 y 11 – 10 < 4x – 3x

Prob. 01 (UNPRG 06 – II)Dado el conjunto unitario:

A = {a + b; a + 2b – 3; 12}Determine el valor de E = a2 + b2

A) 80 B) 74 C) 104 D) 90 E) 39

Si «A» es un conjunto unitario y tiene aparente-mente tres elementos, todos ellos deben ser igua-les entre sí, es decir:i) a + b = a + 2b – 3 b = 3 . . . (1)

ii) a + b = 12 . . . (2)

Reemplazando (1) en (2): a + 3 = 12 a = 9

Finalmente nos piden: E = a2 + b2 = 92 + 32

E = 90

Prob. 02 (UNPRG 06 – II)Si el conjunto «A» tiene cuatro elementos, ¿cuán-tos subconjuntos de dos elementos tiene «A» ?A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

De acuerdo con las condiciones del problema po-demos suponer que:

A = {a; b; c; d} n(A) = 4

Distribuyendo los elementos de dos en dos en laforma de un diagrama de árbol, proponemos:

Así obtenemos los subconjuntos formados pordos elementos: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d},{c, d} que son en total 6.

Nro de subconjuntos de 2 elementos = 6

Prob. 03 (UNI 01 – I)

Sea el conjunto: A x k x 1 , kEl elemento de «A» en la posición 50 es:

A) 2 104 B) 2 205 C) 2 301

D) 2 402 E) 2 403

Se tiene: 1x k ; k y k 0

Elevando al cuadrado y despejando la variable«x», se tiene: x = k2 + 1, donde: 0; 1; 2; 3; . . .kPara k = 0 se obtiene el primer elemento, parak = 1 el segundo, finalmente para k = 49 obtene-mos el término de lugar 50.

Si: k = 49 x = 492 + 1

x = 2 402

Prob. 04 (UNI 06 – II)Si «A» es un conjunto dado por:

A = {2; 6; 12; 20; ..... ;992}calcule el número de subconjuntos propios de «A».

A) 213 – 1 B) 219 – 1 C) 223 – 1D) 231 – 1 E) 232 – 1

Para obtener el número de subconjuntos de «A»necesitamos determinar el número de sus ele-mentos. Y analizando la secuencia se tiene:

2 ; 6 ; 12 ; 20 ; .....; 992

1· 2 ; 2· 3; 3· 4 ; 4· 5 ; .....; 31· 32

Así obtenemos la secuencia: 1; 2; 3; ...; 31, queposee 31 elementos. Luego el cardinal del con-junto original es n(A) = 31. Finalmente el núme-ro de subconjuntos propios está dado por:

sA = 2n(A) – 1 sA = 231 – 1

29Und. 1 – Teoría de Conjuntos28 Aritmética

2x < 10 y 1 < x x < 5 y 1 < x

De aquí se tiene que «x» es mayor que 1, peromenor que 5, luego A = {2; 3; 4}. Como nos pidenla suma de los elementos de A, se tiene:

Suma de elementos de A = 2 + 3 + 4 = 9

Prob. 08 (UNPRG 04 – II)

Si: M = {3; x}, yN 1;12 y 3zP ;92 son con-

juntos unitarios, entonces el valor de x – y + z es:

A) 1 B) -3 C) 4 D) 5 E) 6

De acuerdo con las condiciones del problema:

i) M = {3; x} es unitario, de donde: x = 3

ii) 1; 12yN es unitario, de donde:

1 1 2 42 2y y

y

iii) 3 ; 92zP es unitario, de donde:

3 9 3 18 62z z z

Finalmente nos piden: x – y + z

Sustituyendo los valores obtenidos, se tiene :

x – y + z = 3 – 4 + 6

x – y + z = 5

Prob. 09 (UNI 05 - II)Sean «P» y «Q» dos conjuntos tales que: si p P,entonces p Q . Luego se puede afirmar que:

A) Si -3 Q , entonces -3 P

B) Si 13 P , entonces 13 P

C) Si 10 Q , entonces 10 P

D) Si 0,10 Q , entonces 0,10 P

E) Si 1 Q , entonces 1 P

Según las condiciones del problema se tiene que:

Si: p P, entonces: p Q

Puesto que esta condición corresponde a la defi-nición de inclusión de conjuntos elaboramos elsiguiente diagrama de Venn - Euler:

Analicemos ahora las alternativas:

A) Si -3 Q entonces -3 P; es falso ya que -3podría estar dentro de Q, pero fuera de P (ob-serve el gráfico)

B) Si 13 P entonces 13 Q; es falso ya que 13podría estar fuera de P pero dentro de Q.

C) Si 10 Q entonces 10 P; es verdadero yaque si 10 está fuera de Q es claro que estarátambién fuera de P.

D) Si 0,10 Q entonces 0,10 P; es falso ya quesi 0,10 está dentro de Q, podría estar fuera odentro de P.

E) Si 1 Q entonces 1 P; es falso ya que si 1está fuera de Q es imposible que esté dentrode P.

La alternativa correcta es C

Prob. 10 (cepre uni 03 – I)

De 100 personas encuestadas sobre si están deacuerdo con la regionalización, se ha obtenido que30 mujeres no están de acuerdo y 46 de las perso-nas encuestadas están de acuerdo. ¿Cuántos hom-bres no están de acuerdo?

A) 18 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32

Como los conjuntos son disjuntos, entonces con-viene elaborar un diagrama de Lewiss Carroll:

Si 46 personas están de acuerdo, entonces laspersonas que no están de acuerdo son:

100 – 46 = 54

De los datos y de la nueva información obtenidapodemos plantear que:

30 + x = 54

x = 24

Prob. 11 (cepre uni 06 – II)En una selección de 100 personas, hay diez varo-nes de provincia y 40 damas limeñas. Si el númerode damas provincianas excede en 10 al número devarones limeños, ¿cuántos varones hay en la se-lección?

A) 24 B) 27 C) 30 D) 33 E) 34

Elaboramos un diagrama de Lewis Carroll y ano-tamos los datos:

Si la cantidad de varones (V) limeños es «x», porcondición del problema, la cantidad de damas(D) provincianas será x + 10.

Asimismo se cumple que:

10 + x + 10 + x + 40 = 100

60 + 2x = 100 x = 20

Luego la cantidad total de varones es:

10 + x = 10 + 20 = 30

En la selección hay 30 varones

Prob. 12 (UNFV 04)

A una conferencia asisten 200 personas, mitad va-rones y mitad mujeres de los cuales 50 varones usanlapicero. Si hay tantas personas con lapicero comomujeres que no lo usan, ¿cuántas mujeres no usanlapicero?

A) 85 B) 75 C) 78 D) 72 E) 64

Elaboramos un diagrama de Carroll para anotarlos datos y visualizar la relación entre ellos.

Según los datos del problema hay tantos hom-bres como mujeres y como el total es 200 , en-tonces:

a + b = 100 . . . (1)

m + n = 100 . . . (2)

Además, 50 varones usan lapicero, es decira = 50. Reemplazando en (1) se tiene que:

b = 50

Asimismo, como hay tantas personas con lapi-cero como mujeres que no lo usan, entonces:

a + m = n

Sustituyendo a = 50, se tiene:

50 + m = n

n – m = 50 . . . (3)

31Und. 1 – Teoría de Conjuntos30 Aritmética

Finalmente, como nos piden determinar el nú-mero «n» de mujeres que no usan lapicero, re-solvemos (2) y (3), obteniéndose:

100 50 1502 2

n

n = 75

Prob. 13 (UNSA 07 – II)En una reunión de 170 personas, 40 son varonesque no les gusta el café, 70 son mujeres que sí gus-tan del café. Si el número de varones que les gustael café es la tercera parte de las mujeres que no lesgusta el café, ¿a cuántos les gusta el café?

A) 90 B) 80 C) 85 D) 75 E) 95

Los hombres que no gustan del café y las muje-res que sí gustan del café son respectivamente40 y 70. Ahora, si asumimos que los hombresque sí gustan del café son «x», por condicióndel problema, las mujeres que no gustan del caféson 3x.

Según este análisis construimos un diagrama deCarroll para anotar los datos:

Si en total hay 170 personas se debe cumplir que:

x + 40 + 70 + 3x = 170

4x + 110 = 170

4x = 60

x = 13

Finalmente, nos piden determinar a cuántos lesgusta el café, esto es:

x + 70 = 15 + 70 = 85

Prob. 14 (cepre uni 06 – I)De los 96 asistentes a una fiesta se sabe que elnúmero de hombres es igual al número de mujeressolteras. Si hay 18 hombres casados y más de 29mujeres casadas, ¿cuántas personas son solterassi entre ellas hay más de 14 hombres?

A) 28 B) 32 C) 38 D) 45 E) 48

De acuerdo con los datos hay 18 hombres casa-dos. Y si llamamos «x» al número de hombressolteros, el total de hombres sería (x + 18). Perosegún condiciones el número de hombres es igualal número de mujeres solteras, con lo cuál éstastambién serían (x + 18) . Por otro lado el númerode mujeres casadas se puede calcular como elnúmero total de personas menos las mujeres sol-teras y menos el número de hombres, esto es:

96 – (x + 18) – 18 – x = 96 – x – 18 – 18 – x

= 60 – 2x

Según este análisis elaboramos un diagrama deCarroll para visualizar los datos:

Por dato del problema las mujeres casadas sonmás de 29, es decir:

29 < 60 – 2x 2x < 31 x < 16

De donde deducimos que «x», es decir, el núme-ro de hombres solteros, es menor que 16. Pero pordato del problema éstos son más de 14, luego:

14 < x < 16 x = 15

Finalmente el número de personas solteras, es:

x + (x + 18) = 15 + (15 + 18)

2x + 18 = 48

Prob. 15 (cepre uni 06 – I)

En una encuesta de 150 estudiantes, se sabe que60 son mujeres, 80 estudian biología, 20 son mu-jeres que no estudian biología, ¿Cuántos hombresno estudian biología?

A) 10 B) 20 C) 40 D) 50 E) 80

Elaboramos un diagrama de Carroll para visua-lizar los datos y establecer la relación entre ellos:

De acuerdo con los datos del problema podemosplantear lo siguiente:

La encuesta se tomó a 150 estudiantes, por tanto:

a + b + c + d = 150 . . . (1)

60 de éstos son mujeres, esto es:

c + d = 60 . . . (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

a + b = 90 . . . (3)

Como 80 estudian biología, se cumple que:

a + c = 80 . . . (4)

Reemplazando (4) en (1) se tiene:

b + d = 70 . . . (5)

20 son mujeres que no estudian biología, esto esd = 20, luego reemplazando en (2) y en (1), seobtiene:

c = 40 y b = 50.

Reemplazando b = 50 en (3), se obtiene: a = 40

Finalmente, nos piden, cuántos hombres no es-tudian biología lo cual, según el gráfico, estádado por:

b = 50

Prob. 16 (cepre uni 06 – II)

En una encuesta realizada a 150 personas que gus-tan del vino se obtuvo la siguiente información.

- 30 personas gustan del vino tinto pero no delmoscato.

- 20 personas no gustan de vino alguno.- 80 hombres gustan del moscato.- 10 mujeres prefieren sólo el moscato.

Determine el número de mujeres que prefieren elvino tinto y el moscato.

A) 8 B) 10 C) 12 D) 20 E) 28

Por tratarse de conjuntos disjuntos con algunascondiciones comunes distribuimos los datos se-gún un diagrama de Carroll y según un diagra-ma de Venn - Euler. Veamos:

Según condiciones del problema la zona «som-breada» contiene 30 elementos y la zona de «pun-tos» contiene 80 elementos. De ello se tiene que:

30 + 80 + x + 10 + 20 = 150

x = 10

Prob. 17 (cepre uni 08 – I)

A un matrimonio asistieron 150 personas, el nú-mero de hombres es el doble del número de muje-res. De los hombres 23 no usan reloj pero si tienenterno y 42 tienen reloj. De las mujeres, las que nousan minifalda son tantas como los hombres queno usan terno ni reloj y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuán-tas mujeres usan minifalda pero no usan reloj?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 9

33Und. 1 – Teoría de Conjuntos32 Aritmética

Dado que las condiciones del problema son si-milares a las del problema anterior elaboramosel siguiente diagrama:

Por condiciones del problema se sabe que:

n(H) + n(M) = 150

Pero: n(H) = 2n(M)

Resolviendo: n(M) = 50

n(H) = 100

Asimismo se tiene que:

23 + 42 + a = 100

a = 35

Luego: 8 + x + a = 50

Sustituyendo a = 35:

8 + x + 35 = 50

x = 7

Prob. 18 (cepre uni 05 – II)De un total de 1000 camisas se piensa eliminaraquellas que tengan 3 fallas y vender a la mitad deprecio las que tengan dos de ellas. Si luego de lainspección de las camisas no se eliminó a 987 deellas y se vendieron, pero no a la mitad de precio875 camisas, 500 de los cuales no tenían fallas, cal-cule cuántas camisas tenían solamente una falla.

A) 200 B) 375 C) 500

D) 50 E) 84

Hacemos un diagrama para conjuntos disjuntos:

Por condiciones del problema se tiene:

i) Se eliminan las que tienen 3 fallas:

d = 1000 – 987

d = 13

ii) Se venden a mitad de precio las de 2 fallas,entonces las que no se vendieron a mitad deprecio fueron de 1 falla y 0 fallas, es decir:

a + b = 975 . . . ()

iii) Pero no tienen fallas: a = 500

Luego sustituyendo este valor en (), se tiene:

500 + b = 375

b = 375

Prob. 19 (UNFV 02)De un grupo de 45 cachimbos se sabe que 14 alum-nos no tienen 17 años, 20 alumnos no tienen 16 años,8 alumnos y 3 alumnas no tienen 16 y 17 años.¿Cuántos alumnos y alumnas tienen 16 y 17 años?

A) 6 B) 16 C) 27 D) 12 E) 3

Elaboramos un diagrama de Carroll de acuerdoa los datos del problema. Veamos:

- 8 alumnos y 3 alumnas no tienen 16 ni 17 años,por tanto éstos deben tener otras edades, lo cualse anota directamente en el diagrama:

- 14 alumnos no tienen 17 años, luego los quetienen 17 años son los que tienen 16 años u otraedad, por tanto del gráfico:

a + 8 = 14

a = 6

- 20 alumnos no tienen 16 años, análogamentelos que no tienen 16 años son los que tienen 17años u otra edad, por tanto:

b + 8 = 20

b = 12- En total hay 45 personas por tanto:

a + b + 8 + 3 + m + n = 45

6 + 12 + 8 + 3 + m + n = 45

29 + m + n = 45

m + n = 16

Finalmente, nos piden cuántas alumnas tienen16 ó 17 años, que según el gráfico es:

m + n = 16

Prob. 20 (UNI 02 – II)

Un grupo de personas decide viajar y resulta que40 mujeres van al extranjero, 37 hombres van a pro-vincias, 29 casados van al extranjero y 45 solterosvan a provincias. Si se sabe que hay 42 hombrescasados y que 18 mujeres solteras viajan al extran-jero, entonces el número de mujeres solteras es:

A) 60 B) 62 C) 64 D) 66 E) 68

Construimos un diagrama de Carroll y Venn -Euler para anotar los datos:

De acuerdo con los datos y observando el diagra-ma podemos establecer que:

- Si 40 mujeres viajan al extranjero:

g + e = 40 . . . (1)

- Si 37 hombres van a provincia

c + d = 37 . . . (2)

- Si 28 casados van al extranjero:

b + e = 28 . . . (3)

- Si 45 solteros van a provincia:

d + h = 45 . . . (4)

- Si hay 42 hombres casados:

b + c = 42 . . . (5)

- Si 18 mujeres son solteras y viajan al extranjero:

g = 18 . . . (6)

Ahora:

- Reemplazando g = 18 en (1):

e = 40 – 18 = 22

- Reemplazando e = 22 en (3):

b = 28 – 22 = 6

- Reemplazando b = 6 en (5):

c = 42 – 6 = 36

- Reemplazando c = 36 en (2):

d = 37 – 36 = 1

- Reemplazando d = 1 en (4):

h = 45 – 1 = 44

Finalmente, nos piden el número de mujeres sol-teras que, según el diagrama, está dado por:

g + h = 18 + 44 = 62

35Und. 1 – Teoría de Conjuntos34 Aritmética

37Und. 1 – Teoría de Conjuntos36 Aritmética

09.- Se define el conjunto A = {1; 1; {1}; }. In-dique el valor de verdad de las siguientes propo-siciones:

I. P(A) tiene 4 elementosII. {} P(A)III. P(P(A))A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFV

10.- Determine por comprensión el siguiente con-junto:

A = {5; 7; 9; 11; 13}

A) {x | 4 x < 14}

B) {x | 4 < x < 14}

C) {x | 3 x < 14, x impar}

D) {x | 4 < x < 14, x impar}

E) {x | 5 x 13}

11.- Dado el conjunto A = {3; 8; 3; {3; 4}}, dar elvalor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. {3; 4} A II. n(P(A)) = 16III. {{3; 4}} A

A) FFF B) FVF C) VVV

D) FVV E) VVF

12.- Señale la secuencia correcta al determinar silas proposiciones dadas son verdaderas (V) o fal-sas (F).

I. Si A , {A} es un conjunto unitario.II. {} es el conjunto vacío.III. Si {{1}; {2}} = B, entonces {1; 2} B.

A) VFF B) FVF C) FFV

D) FFF E) FVV

13.- Dados los conjuntos numéricos:

A = {m + n; 8; 2m – 2n + 4} el cual es unitario

B = {x | x = mk, k }

C = {x|x = nk, k }.

Determine: CC CB C

A) {x|x = 8k, k } B) {x|x = 15k, k }

C) {x|x = 10k, k } D) {x|x = 18k, k }

E) {x|x = 20k, k }

14.- Determine el número de conjuntos que seansubconjuntos de A y que sean disjuntos con B.

A = {x | 10 < x < 20}

B = {15; 16; 17}

A) 4 B) 8 C) 16

D) 64 E) 128

15.- Dado el conjunto unitario:

A = {a + b; a + 2b – 3; 12},

calcular el valor de E = a2 + b2

A) 80 B) 74 C) 104

D) 90 E) 39

16.- Dados los conjuntos A = {{B},, {}} yB = {{A}, {}, A}. Determinar el valor de verdadde las siguientes afirmaciones.

I. A B II. {{B}} A

III. B IV. A {A, {B}}

V. A B

A) FVFVF B) VFFFF C) FFFFF

D) VFVVV E) VFVFF

17.- Dados los conjuntos: A = {, {x}, {x, }}

B = {} y C = {{x}, x, },

determine el valor de verdad de:

I. B A II. B C

III. B C = IV. C A

A) VVFV B) FVVF C) FFFF

D) VVFF E) VVVV

A) VVV B) VVF C) VFV

D) FVV E) VFF

05.- Sea: A = {2; 3; {2}; {3}; {2; 3}; ; {}}, delas siguientes proposiciones, ¿cuántas son correctas?

I. {2; 3} A II. A

III. {} P(A) IV. {2; 3} A

V. A VI. {2; 3; {3}} P(A)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 6

06.- Sea: A = {, B, C} y P(A) el conjunto poten-cia de A. De las afirmaciones:

I. {} P(A) II. {{}} P(A)

III. P(A) IV. P(A)

V. {} P(A)

¿Cuántas son correctas?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

07.- Si: A = {a, {a}, {}, }, ¿cuál(es) de los si-guientes enunciados son verdaderos?

I. {a} A {a} A

II. {} A {{}} A

III. {a, } A {{a}, {}} A

A) Sólo II y III B) Sólo I y III C) Sólo I

D) Sólo II E) Sólo III

08.- Si: A = {2; 6; 12; 20; ...; 992}, determine:

n[P(A)]

A) 213 B) 219 C) 223

D) 231 E) 232

01.- Indicar verdadero o falso según corresponda:

I. Si x A , entonces x no puede ser un conjunto.

II. Si A B entonces A y B no son comparables.

III. { }

IV. Si A = B, entonces A y B son no disjuntos.

A) FVVF B) FFVV C) FVVV

D) FFVF E) VFFV

02.- Se dan las siguientes afirmaciones:

I. s() = 0

II. n() = 0

III. {}

IV. n({}) = n({0})

¿Cuántas de estas son verdaderas?

A) 1 B) 3 C) 0

D) 2 E) 4

03.- Dado el conjunto: A = {3; 4; {3}; ; {{}}}y los enunciados:

I. {} A II. A

III. 4 A IV. A

V. {4} A VI. {{}} A

Indique el número de proposiciones verdaderas:

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

04.- Si: A = {{3; 3}; 3; {3}; {3; {3}}}, determinarel valor de verdad de:

I. {3} A II. {3} A

III. A tiene 3 elementos

39Und. 1 – Teoría de Conjuntos38 Aritmética

18.- Sea el conjunto B ={a; ;{a}; { }}, de lassiguientes afirmaciones:

I. n(B) < 4 II. s(B) = 7

III. n(P(B)) = 8

¿Cuáles son verdaderas?

A) Sólo I B) I y II C) Todas

D) II y III E) I, II y III

19.- Sean los conjuntos:

A = {{7; 8}, {2; 3; 4}; {9; 10}}

B = {7; 8; 2; 3; 4; 9; 10}

C = {{7}; {8}; {2}; {3}; {4}; {9}; {10}}

Dar el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:

I. {7; 8} A II. {7; 8} A

III. {7} {7; 8} IV. {7; 8} B

V. {7; 8} B VI. B = C

A) VFFVFV B) VFFVFF C) FVFVFV

D) VFVFVF E) FVVFVF

20.- Sea A un conjunto definido por:

A = {0; 1; {0}; {1; 0}; {0; {0}}}

y con respecto al conjunto A, se tienen las siguien-tes proposiciones:

I. {0} A II. {0} A

III. {0; 1} A IV. {{0}} A

V. {1; {0}} A

Sean P y Q dos cantidades definidas por:

P es el número de proposiciones verdaderas.

Q es el número de proposiciones falsas.

Entonces, establecer la correcta relación entre losvalores de P y Q.

A) Q > P B) P = 4Q C) 2P + Q = 8

D) P – Q = 1 E) P < 4Q

21.- Sea el conjunto A = {a, {a}, , {}}, deter-mine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguien-tes afirmaciones:

I. P({a}) A II. {} A

III. P(P()) P(A)

A) VFV B) FFF C) VVV

D) FVV E) VVF

22.- Sean: A = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}

B = y C = {{b, a}, {a, b}, }

Indique el valor de verdad de las siguientes propo-siciones:

I. s(P(B)) = 1 II. s(C) s(A)

III. P(B) P(A)

A) VVV B) VFF C) VVF

D) VFV E) FFF

23.- Si: A = {3; 5; {3}; {5}; {1; 3}}Indicar cuántas de las siguientes proposiciones sonverdaderas:

I. {3; 5; {3}} A II. {{3; 5}} A

III. {1; 3} A IV. {} P(A)

V. {{3}; {5}; {1; 3}} P(A)

VI. {{{1; 3}}} P(A)

A) 2 B) 5 C) 4

D) 3 E) 6

24.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones soncorrectas?

I. Sean A y B conjuntos de un universo . SiA B y B A, entonces A = B.

II. Sean A y B conjuntos del universo . Si A By B C, entonces A C.

III. Sean A y B conjuntos del universo . SiB P(A) y A P(B) entonces A = B.

A) Sólo III B) Sólo I C) I y II

D) I y III E) I, II y III

25.- Sean los conjuntos:

A = {1; {1}; {1; 1}; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

B = {{1}; 3; 5; 6}

Determine el número de subconjuntos no vacíos deA, disjuntos con B.

A) 1 B) 3 C) 7

D) 15 E) 63

26.- En una selección de 100 personas, hay diezhombres de provincia, hay 40 damas limeñas, elnúmero de damas provincianas excede en 10 alnúmero de varones limeños, ¿cuántos varones hayen la selección?

A) 24 B) 27 C) 30

D) 33 E) 34

27.- En una fiesta de fin de semana asistieron untotal de 96 personas. Se sabe que el número totalde hombres es igual al número de mujeres solteras.Si hay 18 hombres casados y hay más de 29 muje-res casadas. ¿Cuántas personas son solteras si en-tre ellas hay más de 14 hombres?

A) 28 B) 32 C) 36

D) 49 E) 56

28.- Sean los subconjuntos en :

E = -2; 4

A = {x2 – 1| x ,-3 < x < 3}

Determinar n(P(A)).

A) 32 B) 16 C) 4

D) 8 E) 26

29.- En un autobús viajan 32 pasajeros entre pe-ruanos y extranjeros en el cual hay 9 extranjeros desexo femenino, 6 niños extranjeros, 8 extranjerosde sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 8señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas peruanas hayen el autobús?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

30.- De un grupo de «M» mujeres: El 24% de ellastienen ojos azules, pero no tienen 15 años, El 8%no tienen ojos negros ni azules y son mayores de18 años, El 14% no tienen ojos negros ni azules yno son mayores de 18 años. ¿Qué porcentaje sonquinceañeras de ojos azules, si ellas son la quintaparte de todas las que tienen ojos negros?

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

31.- En una encuesta realizada entre 100 personas,todos los hombres tienen más de 20 años, en el gru-po hay 50 mujeres, hay 60 personas de más de 20años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas conmás de 20 años de edad y 10 mujeres casadas conmás de 20 años. Determinar la cantidad de hom-bres solteros.

A) 35 B) 45 C) 55

D) 65 E) 75

32.- La ficha de datos personales llenados por 74estudiantes que ingresaron a la UNI es el siguiente:20 estudiantes son de Lima, 49 se prepararon enacademia, 27 postularon por primera vez, 13 deLima se prepararon en academia, 17 postularon porprimera vez y se prepararon en academia, 7 de Limapostularon por primera vez, 8 de provincias que nose prepararon en academia postularon por primeravez. Determinar respectivamente: ¿cuántos alum-nos de Lima que se prepararon en academia postu-laron por primera vez?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

03C

11A

04A

12A

20B

05E

13B

21D

29C

06D

14D

22D

30D

15D

23D

31B

24E

32C

02E

01C

10D

19D

28D

09D

17D

25D

18C

26C

27D

07B

08D

16A