1.3 Potencias de “i ”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Para calcular las potencias de se puede emplear la ecuación: √

√ √

Si revisamos los valores anteriores podemos ver que: ; ; ;

De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de tienen valores cíclicos de 4 en 4 de acuerdo a la siguiente tabla:

Aunque la tabla anterior puede resultar práctica para potencias menores a 20, para valores

como ó ó ó resulta insuficiente. Como los valores son cíclicos de 4 en 4, dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer renglón, usemos los valores de potencias de

Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de decimales de tendrá un valor de:

Dividiendo entre 4 potencias de del segundo renglón como .

Ahora podemos ver que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de decimales de tendrá un valor de:

Si repetimos lo anterior con potencias de del tercer renglón como veremos que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de una fracción de tendrá un valor de:

En el caso de potencias de del cuarto renglón como veremos que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de una fracción de tendrá un valor de:

Como síntesis podemos decir: si la división de una potencia de entre 4 tiene como fracción

el valor de En el caso de que la división de una potencia de entre 4 tenga como

fracción el valor de Cuando la división de una potencia de entre 4 tiene como

fracción el valor de Por último si la división de una potencia de entre 4 tiene como

fracción el valor de Veamos varios ejemplos:

Como último punto es útil saber que todas y cada una de las siguientes potencias de al ser divididas entre 4 tienen como fracción la importancia de lo anterior es que cuando deseamos calcular la potencia de de cualquier valor de 2, 3, 4, 5 ó más dígitos, solo ocupamos al dividir entre 4 tener en cuenta los últimos 2 dígitos. En todas las potencias de arriba señaladas el valor es . NOTA: Lo anterior no se cumple para un solo dígito, por ejemplo si es al dividir entre 4 se obtiene y no Si aplicamos lo escrito en el párrafo anterior a los ocho ejercicios anteriores veremos que la fracción obtenida es la misma, con lo que el valor de la potencia de no cambia.

Calcule:

Módulo o valor absoluto de un número complejo El módulo ó valor absoluto de un número complejo es la longitud medida desde el origen hasta el punto que indican los números en forma binómica. Se obtiene usando el teorema de Pitágoras. Calcule el módulo del número complejo El valor 4 es en el eje x, el valor es en el eje y.

El módulo o valor absoluto | | se calcula con | | √ √

√ Observe que en la ecuación sólo se anotó el 3, no se anotó En el siguiente subtema se verá como queda la gráfica del módulo. Potencias de binomios Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios más complicados de multiplicación y división de números complejos. Vamos a resolver binomios elevados a potencias como por tres métodos distintos. Primer Método: Solución de potencias de binomios usando la multiplicación. Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta , enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede . Segundo Método: Solución de potencias de binomios usando el Binomio de Newton.

El binomio de Newton y el triángulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados a cualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son: Triángulo de Pascal Binomio de Newton

pero porque

Observe que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada término se obtiene la potencia a resolver, en este caso 3. Tercer Método: Solución de potencias de binomios usando la Ley de potencias y el cuadrado del binomio de Newton.

[ ] [ ] [ ]

Resolver por los tres métodos ya vistos. Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta , enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede , y así continuamos hasta terminar.

[ ] [ ] [ ] [ ] Segundo Método: Resolvamos ahora usando el método del Binomio de Newton. Podemos

observar que: √ , , ,

Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.

{[ ] } [ ] [ ] {[ ] } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Nuevamente el resultado es el mismo por los tres métodos. En este último ejercicio es más sencillo resolver por el Binomio de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cada binomio. NO RESUELVA SOLO indique como resolvería los siguientes binomios con leyes de potencias.

{[ ] }

{[ ] } {[ ] }

{[ ] } {[ ] }

{[ ] } {[ ] } Divisiones con elevado a potencias o divisiones elevadas a potencias

Vamos a ver divisiones un poco más complicadas.

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