Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 1 TEMA 4. MIEMBROS A FLEXIN 4.1 ESTADOS LIMITE DE MIEMBROS A FLEXIN 4.2 REVISIN DE LA RESISTENCIA A FLEXIN 4.3 REVISIN DE LA RESISTENCIA A CORTE 4.4 REVISIN DE LAS DEFLEXIONES 4.5 DISEO COMPLETO DE VIGAS 4.6 PLACAS DE APOYO PARA VIGAS Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 2 4.1 ESTADOS LMITE DE MIEMBROS A FLEXIN Los miembros sujetos principalmente a flexin se denominan VIGAS. Las vigas requieren de resistencia principal a flexin aunque tambin estn sometidas a cortante debido a las cargas transversales a su eje. Por otra parte, tambin deben revisarse las deflexiones y en algunos casos las vibraciones. Los perfiles ms comunes usados como vigas son los siguientes (a) Perfiles de forma I (W, M, S, HP) (b) Perfiles canal (C, MC) (c) Perfiles HSS rectangulares (d) Perfiles armados (tres placas soldadas, cajn) (a) (b) (c) (d) Las secciones usadas como vigas generalmente tienen un eje fuerte de flexin (x-x) y otro dbil (y-y). Entonces, La resistencia principal a flexin de una viga es respecto a su eje fuerte. y x x y Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 3 Consideremos una viga I flexionada como se muestra en la siguiente figura: patn a compresin alma a corte patn a tensin Entonces, el patn a compresin se comporta como una columna de seccin rectangular. Si el patn a compresin esta lateralmente soportado de manera continua, no podr pandearse y llegara a la fluencia junto con el patn a tensin. Este estado lmite se le llama Fluencia. Este estado lmite proporciona la mxima resistencia a flexin de la viga, llamado Momento Plstico Mp. Si el patn a compresin no est soportado lateralmente en forma continua, entonces puede pandearse. Al pandearse el patn se desviar lateralmente provocando que la seccin se tuerza en el centro. Este estado lmite se llama Pandeo Lateral Torsional. Las secciones I armadas pueden hacerse con placas de diferente acero y diferente espesor. Entonces, los patines a tensin y a compresin pueden tener diferente resistencia. Por lo tanto, si el patn a compresin esta soportado continuamente y el patn a tensin es de menor resistencia, puede fallar primero. Este estado lmite se llama Fluencia del Patn a Tensin. Finalmente, la seccin transversal puede estar formada por patines y alma muy delgados, los cuales pueden pandearse localmente antes de que la viga falle en forma general. Estos dos estados lmite son Pandeo Local del Patn y Pandeo Local del Alma. Entonces, resumimos los estados lmite de un miembro a flexin: 1-Fluencia (F) 2-Pandeo Lateral Torsional (PLT) 3-Fluencia del Patn a Tensin (FPT) 4-Pandeo Local del Patn (PLP) 5-Pandeo Local del Alma (PLA) Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 4 Zona plastificada Fig. 1. Estado Limite de Fluencia Fig. 2. Estado limite de Pandeo Lateral Torsional Zona plastificada Fig. 3. Estado Limite de Fluencia del patn a tensin Fig. 4. Estado Limite de Pandeo Local del Patn Fig. 5. Estado Limite de Pandeo Local del Alma Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 5 Las secciones a flexin se clasifican en base a su relacin ancho-espesor (b/t) como sigue: 1-Compactas (b/t s p) 2-No Compactas (p < b/t s r) 3-Esbeltas (b/t > r) Los valores limitantes p y r estn dados en la tabla B4.1b que se anexa en la siguiente pagina. El smbolo b/t=bf/2tf para el patn de una seccin W y b/t=h/tw para el alma de una seccin W. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 6 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 7 4.2 REVISIN DE LA RESISTENCIA A FLEXIN La especificacin AISC-2010 en el capitulo F es la que nos proporciona las frmulas para calcular la resistencia para cada uno de los estados limite. A continuacin se presenta una copia del captulo F de la Especificacin AISC-2010. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 8 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 9 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 10 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 11 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 12 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 13 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 14 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 15 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 16 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 17 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 18 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 19 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 20 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 21 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 22 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 23 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 24 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 25 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 26 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 27 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 28 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 29 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 30 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 31 EJEMPLO 1 The beam in Figure is a W16x31 of A992 Steel. It supports a reinforced concrete floor slab that provides continuous lateral support of the compression flange. The service dead load is 450 lb/ft. This load is superimposed on the beam; it does not include the weight of the beam itself. The service live load is 550 lb/ft. Does this beam have adequate moment strength? DATOS: Seccin W16x31, Zx = 54.0 in2, ry= 1.17 in, bf/2tf=6.28 , h/tw=51.6 Material: A992, Fy=50 ksi Lb = 0 CLCULOS: -Resistencia requerida a flexin Wu = 1.2WD+1.6WL = 1.2(450 + 31)+1.6(550)=1457.2 lb/ft Mu = Wu*L2/8=(1457.2)(30)2/8= 163,935 lb-pie=163.93 kip-pie -Revisin de la seccin De tabla B4.1b Patn: p = 0.38\E/Fy = 0.38\(29000/50)= 9.15 > bf/2tf = 6.28 => patn compacto Alma: p = 3.76\E/Fy = 3.76\(29000/50)= 90.55 > h/tw = 51.6 => alma compacta Seccin compacta -Resistencia a flexin (sec. F2) Lp=1.76*ry*\E/Fy= (1.76)(1.17) \(29000/50)=49.59 plg > Lb=0 Fuencia |bMn = |*Fy*Zx =0.90(50)(54.0) = 2430 kips-plg = 202.5 kip-pie > Mu=163.93 OK Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 32 EJEMPLO 2 Verificar la resistencia de la viga W18x50 mostrada en la figura si la viga esta arriostrada en los extremos y en el punto central. Use acero A992 DATOS: Seccin W18x50, Zx = 101.0 in2, ry= 1.65 in, bf/2tf=6.57, h/tw=45.2 Material: A992, Fy=50 ksi, E=29,000 ksi Lb = 35/2=17.5 x12=210 plg CLCULOS: -Resistencia requerida a flexin Wu = 1.2WD+1.6WL = 1.2(0.45)+1.6(0.75)=1.74 kip/ft Mu = Wu*L2/8=(1.74)(35)2/8= 266.44 kip-pie -Revisin de la seccin De tabla B4.1b Patn: p = 0.38\E/Fy = 0.38\(29000/50)= 9.15 > bf/2tf = 6.57 => patn compacto Alma: p = 3.76\E/Fy = 3.76\(29000/50)= 90.55 > h/tw = 45.2 => alma compacta Seccin compacta -Resistencia a flexin (sec. F2) Lp=1.76*ry*\E/Fy= (1.76)(1.65) \(29000/50)=69.94 plg Lr Pandeo elstico Mn = Fcr*Sx s Mp Lb/rts=210/1.98=106.06 Cb(t2)(29000) (1.24)(1) Fcr= 1+ 0.078 (106.06)2 = 33.21Cb (106.06)2 (88.9)(17.4) Para determinar Cb necesitamos calcular dividir la longitud Lb en cuatro partes y calcular el momento en esos puntos Wu=1.74 kip/ft Lb=17.5 30.45kip MC Mmax MB MA 4.375 4.375 4.375 4.375 Los momentos son: MA= 30.45(4.375) 1.74(4.375)2/2 = 116.57 kip-ft MB= 30.45(8.75) 1.74(8.75)2/2 = 199.83 kip-ft MC= 30.45(13.125) 1.74(13.125)2/2 = 249.79 kip-ft Mmax=266.44 kip-ft Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 34 12.5(266.44) Cb= = 1.30 2.5(266.44)+3(116.57)+4(199.83)+3(249.79) Fcr=33.21(1.30)=43.17 ksi Mp = Fy*Zx =(50)(101.0)=5050 kip-plg=420.83 kip-pie Mn = Fcr*Sx = (43.17)(88.9)=3837.8 kip-plg=319.82 kip-pie < Mp OK -Resistencia de diseo a flexin |bMn =(0.90)(319.82)= 287.84 kip-pie > Mu=266.44 OK Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 35 EJEMPLO 3 Revisar la resistencia de la viga W21x48 mostrada en la figura si la viga esta arriostrada en los extremos y a cada L/5. Use acero A992 PL=18 kip PL=18 kip DATOS: Seccin W21x48, Zx = 107 in2, ry= 1.66 in, bf/2tf=9.47, h/tw=53.6 Material: A992, Fy=50 ksi, E=29,000 ksi Lb = L/5=40/5=8 x12=96 plg CLCULOS: -Resistencia requerida a flexin MD=WD*L2/8=(0.05)(40)2/8= 10 kip-ft ML=PL*L/3=(18)(40)/3=240 kip-ft Mu = 1.2MD+1.6ML = 1.2(10)+1.6(240)=396 kip-ft -Revisin de la seccin De tabla B4.1b Patn: p = 0.38\E/Fy = 0.38\(29000/50)= 9.15 < bf/2tf = 9.47 r = 1.0\E/Fy = 1.0\(29000/50)= 24.08 > bf/2tf = 9.47 p < bf/2tf < r Patn no compacto Alma: p = 3.76\E/Fy = 3.76\(29000/50)= 90.55 > h/tw = 53.6 => alma compacta Seccin no compacta PLP (pandeo local del patin) -Resistencia a flexin (sec. F2) Lp=1.76*ry*\E/Fy= (1.76)(1.66) \(29000/50)=70.36 plg bf/2tf = 8.12 => patn compacto Alma: p = 3.76\E/Fy = 3.76\(29000/50)= 90.55 > h/tw = 25.9 => alma compacta Seccin compacta -Seccin F6 Mn = min{Mp, 1.6My} Mp=Fy*Zy = (50)(8.57)=428.5 kip-plg controla 1.6My=1.6*Fy*Sy=1.6(50)(5.63)=450.4 kip-plg Mn = 428.5 kip-plg= 35.71 kip-pie -Resistencia de diseo a flexin en eje dbil |bMn=0.90(35.71)=32.14 kip-pie Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 40 EJERCICIOS Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 41 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 42 4.3 REVISIN DE LA RESISTENCIA A CORTE Los estados lmite para corte son: 1) Fluencia por corte 2) Pandeo por corte En perfiles laminados la resistencia al corte no controla el diseo, sin embargo debe revisarse. El capitulo G de la Especificacin AISC-2010 proporciona las formulas para el clculo de la resistencia al corte. Este captulo se anexa en las siguientes pginas. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 43 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 44 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 45 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 46 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 47 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 48 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 49 EJEMPLO 5 Determinar la resistencia de diseo a corte de una seccin W8x24 de acero A992. DATOS: Seccin: W8x24, d= 7.93 in, tw=0.245 in, h/tw=25.8 Material: A992, Fy=50 ksi CLCULOS: -Resistencia nominal al corte Vn = 0.6*Fy*Aw*Cv Revisar h/tw (Secc. G2.1a) 2.24\E/Fy= 2.24\(29000/50)=53.95 > h/tw |v=1.00, Cv=1.0 Aw=d*tw=(7.93)(0.245)=1.94 in2 Vn=0.6(50)(1.94)(1.0)=58.2 kips -Resistencia de diseo a corte |vVn= (1.00)(58.2) = 58.2 kips EJEMPLO 6 Determinar la resistencia de diseo a corte de una seccin C10x30 de acero A36 DATOS: Seccin: C10x30, d= 10.0 in, tw=0.673 in, tf=0.436 in Material: A36, Fy=36 ksi CLCULOS: -Resistencia nominal al corte Vn = 0.6*Fy*Aw*Cv |v=0.90 Aw=d*tw=(10.0)(0.673)=6.73 in2 h= d -2tf=10 2(0.436)=9.13 in De seccin G2.b h/tw=9.13/0.673=13.75 h/tw Cv=1.0 Vn=0.6(36)(6.73)(1.0)=145.37 kips -Resistencia de diseo a corte |vVn= (0.90)(145.37) = 130.83 kips Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 50 EJERCICIOS 1.- Determinar la resistencia de diseo a corte de una seccin WT6x11 de acero A992. 2.- Determinar la resistencia de diseo a corte de ngulo simple L6x6x7/16 de acero A36. 3.- Determinar la resistencia de diseo a corte de una seccin HSS8x8x5/16 con Fy=46 ksi. 4.- Determinar la resistencia de diseo a corte de una seccin HSS10.000 x 0.625 redondo con Fy=42 ksi. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 51 4.4 REVISIN DE LAS DEFLEXIONES Utilizaremos las siguientes deflexiones admisibles para cargas de servicio 1) Para carga viva solamente L AL = 360 2) Para carga muerta + carga viva L AD+L = 240 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 52 EJEMPLO 7 Revisar las deflexiones de la viga W18x50 mostrada en la figura. DATOS: Seccin W18x50, Ix = 800 in4 Material: A992, Fy=50 ksi, E=29,000 ksi L = 35x12=420 plg CLCULOS: -Deflexin mxima por carga viva 5*WL*L4 (5)(0.75/12)(420)4 oL = = = 1.092 in 384*E*Ix (384)(29000)(800) L 420 AL = = = 1.167 in > 1.092 in OK 360 360 -Deflexin mxima por carga muerta + carga viva 5*WD+L*L4 (5)(0.45+0.75)/12(420)4 oL = = = 1.746 in 384*E*Ix (384)(29000)(800) L 420 AD+L = = = 1.750 in > 1.746 in OK 240 240 Conclusin: La viga es adecuada por deflexiones WD=0.45 kip/ft WL=0.75 kip/ft 35 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 53 4.5 DISEO COMPLETO DE VIGAS El diseo completo de vigas consiste en seleccionar la seccin ms ligera que satisfaga los requisitos de resistencia a flexin, corte y deflexiones admisibles. PROCEDIMIENTOS DE DISEO Podemos distinguir cuatro procedimientos de diseo de miembros a flexin, que son los siguientes: 1.- TANTEOS (tambin conocido como PRUEBA Y AJUSTE). Consiste en proponer una seccin y revisarla. Se debe cumplir que |bMn > Mu, con |vVn > Vu y oL s AL y oD+L s AD+L 2.- ANALTICO. Consiste en utilizar formulas para seleccionar la seccin de prueba basados en los datos de las cargas y del material. En este caso podemos seleccionar la seccin en base al estado lmite de fluencia por flexin. 1-Suponer que |bMn = 0.90*Fy*Zx > Mu y despejar Zx como Mu Zx > 0.90Fy 2-Calcular la deflexin admisible AL y despejar Ix -para carga uniforme 5*WL*L4 oL = s AL 384*E*Ix 5*WL*L4 Ix > 384*E*AL Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 54 -Para carga concentrada al centro -para carga uniforme PL*L3 oL = s AL 48*E*Ix PL*L3 Ix > 48*E*AL Para otro tipo de carga viva, buscar la frmula de le deflexin y despejar Ix. Entonces, seleccionar el perfil de prueba con Zx e Ix. 3.- TABLAS DEL MANUAL AISC (14ava edicin) Las tablas 3-10 y 3-11 del manual AISC proporcionan las resistencias a flexin de perfiles W y C por fluencia y pandeo lateral torsional. A estas tablas se entra con la longitud no arriostrada Lb y con la resistencia requerida a flexin Mu y en ese punto se selecciona la seccin ms cercana. Debe notarse que las resistencias a flexin tabuladas son para Cb=1. Entonces, para valores diferentes de 1 entrar a la tabla con Mu/Cb. 4.- SOFTWARE. Existen programas para disear miembros de acero a flexin, pero la mayora no se encuentra actualizada con la especificacin AISC-2010. Algunos son: MIDAS/SET 3.3.1, RISA-2D, ROBOT, etc. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 55 EJEMPLO 8 Seleccione la seccin ms ligera para la viga mostrada en la figura hecha de acero A36. Se tiene soporte lateral en los extremos y en el centro del claro. Use el mtodo analtico. PL=65 kips WD=solo el peso de la viga 18 ft 18 ft DATOS: Material: A36, Fy=36 ksi, E=29,000 ksi L=36 ft x 12=432 plg Lb= 18 ft x 12 = 216 plg. CLCULOS: -Resistencia requerida a flexin Suponer peso de viga = 150 lb/ft WD= 0.15 kip/ft MD=WD*L2/8 = 0.15(36)2/8= 24.3 kip-ft ML= PL*L/4 = 65(36)/4= 585 kip-ft Mu = 1.2*MD+1.6*ML=1.2(24.3) + 1.6(585)=965.16 kip-ft -Resistencia requerida a corte VD=WD*L/2=0.15(36)/2=2.7 kip VL=PL/2 = 65/2=32.5 kips Vu=1.2VD+1.6VL=1.2(2.7)+1.6(32.5)=55.24 kips -Seccin de prueba Zx = Mu/(0.90*Fy) =965.16 x 12/(0.90x36)= 357.47 in3 AL = L/360 = 432/360= 1.2 in PL*L3 (65)(432)3 Ix = = = 3137.2 in4 48*E*AL 48(29000)(1.2) Seleccionar seccin W con Zx > 357.47 in3 y Ix > 3137.2 in4 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 56 Probar W24x146 con Zx= 418 in3 y Ix=4580 in4 Otras propiedades: bf/2tf = 5.92, h/tw=33.2, ry=3.01 in -Revisin de la seccin De tabla B4.1b Patn: p = 0.38\E/Fy = 0.38\(29000/36)= 10.79 > bf/2tf = 5.92 patn compacto Alma: p = 3.76\E/Fy = 3.76\(29000/36)= 106.72 > h/tw = 33.2 => alma compacta Seccin compacta -Resistencia a flexin (sec. F2) Lp=1.76*ry*\E/Fy= (1.76)(3.01) \(29000/36)=150.36 plg Mp=1254 Mn=Mp=1254 kip-ft -Resistencia de diseo a flexin |bMn =0.90(1254) =1128.6 kip-ft > Mu=964.35 kip-ft OK Eficiencia: Mu/|bMn = 964.35/1128.6=0.854 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 58 -Resistencia nominal al corte Vn = 0.6*Fy*Aw*Cv Revisar h/tw (Secc. G2.1a) 2.24\E/Fy= 2.24\(29000/36)=63.58 > h/tw=33.2 |v=1.00, Cv=1.0 d=24.7 in, tw=0.65 in Aw=d*tw=(24.7)(0.65)=16.05 in2 Vn=0.6(36)(16.05)(1.0)=346.68 kips -Resistencia de diseo a corte |vVn= (1.00)(346.68) = 346.68 kips > Vu= 55.24 kips OK -Deflexin mxima por carga viva PL*L3 (65)(432)3 oL = = = 0.822 in < AL = 1.2 in OK 48*E*Ix (48)(29000)(4580) -Deflexin mxima por carga muerta + carga viva 5*WD*L4 (5)(0.146)/12(432)4 oL = + oL = + 0.822 = 0.864 in 384*E*Ix (384)(29000)(4580) L 432 AD+L = = = 1.80 in > 0.864 in OK 240 240 Conclusin: USAR SECCIN W24x146 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 59 EJEMPLO 9 DATOS: Material: A992, Fy=50 ksi, E=29,000 ksi L=30 ft x 12=360 plg Lb= 30 ft SOLUCIN: Usar las tablas 3-10 del Manual AISC -Resistencia requerida a flexin Suponer peso de viga = 150 lb/ft WD= 0.15 kip/ft MD=WD*L2/8 = (2+0.15)(30)2/8= 241.87 kip-ft ML= PL*L/4 = 15(30)/4= 112.5 kip-ft Mu = 1.2*MD+1.6*ML=1.2(241.87) + 1.6(112.5)=470.24 kip-ft -Calculo de Cb Pu=1.6PL=24 kip, Wu=1.2(2.15)=2.58 kip/ft, Reaccin = 50.7 kip Ecuacin de momentos: Mx=50.7x 2.58(x)2/2 MA=307.69 MB=470.25 = Mmax MC=307.69 Cb=12.5Mmax/(2.5Mmax+3MA+4MB+3MA)=1.2 Mu/Cb=470.24/1.2=391.87 kip-ft Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 60 Entrar a la tabla con Lb=30 ft y Mu/Cb=391.87 kip-ft Probar Seccin W18x86, Ix=1530 in4 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 61 -Deflexin mxima por carga viva PL*L3 (15)(360)3 oL = = = 0.329 in 48*E*Ix (48)(29000)(1530) L 360 AL = = = 1.0 in > 0.329 in OK 360 360 El corte no controla el diseo y se puede omitir. Conclusin: USAR SECCIN W18x86 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 62 EJERCICIOS 1.- Seleccione la seccin W ms ligera disponible de acero A36 para la viga mostrada en la figura que tiene soporte lateral en su patn de compresin solo en sus extremos. Revise corte y deflexiones. 2.- Para la viga mostrada en la figura, seleccione la seccin ms ligera si se proporciona soporte lateral solo en los extremos. Fy=50 ksi. Revise corte y deflexiones. PL=36kip PL=36 kip 3.- Si Fy=36 ksi, seleccione la seccin mas ligera para la viga mostrada en la figura. Se tiene soporte lateral solo en el empotramiento. WD=1 kip/ft (no incluye el peso de la viga) WL=2 kip/ft 20' WD=1 kip/ft L=27' L/3 L/3 L/3 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 63 4.6 PLACAS DE APOYO PARA VIGAS Cuando los extremos de las vigas de acero estn soportadas por apoyo directo sobre concreto o mampostera, es necesario distribuir las reacciones de las vigas por medio de PLACAS DE APOYO. Fig. 1. Placa de apoyo de vigas Estados limite: 1- Aplastamiento en el concreto (clculo de las dimensiones B y N) 2- Fluencia por flexin en la placa (clculo del espesor t) 3- Fluencia local del alma del la viga (Revisin de la dimensin N) 4- Aplastamiento local del alma de la viga (Revisin de la dimensin N) ESTADO LIMITE 1- APLASTAMIENTO EN EL CONCRETO Caso 1. A1 = A2 (la reaccin se aplica a toda el rea de apoyo del concreto) A1 = rea de la placa, A2 = rea del concreto |c Pp = |c (0.85 fc A1) donde |c = 0.60 (4.6-1) Por resistencia, la reaccin factorizada de la viga Ru debe ser no mayor que la resistencia al aplastamiento del concreto |c Pp Ru = |c Pp = |c (0.85 fc A1) Despajando el rea de la placa, se obtiene Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 64 Ru A1 = (4.6-2) |c (0.85 fc) Caso 2. A1 < A2 (la reaccin se aplica a un rea menor que el rea total del soporte del concreto) |c Pp = |c (0.85 fc A1* (4.6-3) donde = min{\(A2/A1), 2} Entonces se tienen dos sub-casos SubCaso 2a: =\(A2/A1) Ru = |c Pp = |c (0.85 fc A1\(A2/A1)) = |c (0.85 fc)\(A12 A2/A1) =|c (0.85 fc)\(A1 A2) Ru = |c (0.85 fc)\A1 \A2) Despejando A1, se obtiene: Ru 2 A1 = (4.6-4) |c (0.85 fc)\A2 SubCaso 2b: =2 Ru = |c Pp = |c (0.85 fc A1(2)) = |c (1.7 fc)A1 Despejando A1, se obtiene: Ru A1 = (4.6-5) |c (1.7 fc) Para este caso, se usara la mayor de las reas obtenidas con las formulas (4.6-3) o (4.6-4). Usualmente la dimensin N va a estar limitada por el soporte de concreto y va a ser un dato. Entonces, la dimensin B se determina como sigue: B = A1/N (4.6-6) Por otra parte, esta dimensin no debe ser menor que el ancho del patn de la viga, es decir: B > bf (4.6-7) Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 65 ESTADO LIMITE 2 FLUENCIA POR FLEXIN DE LA PLACA Se analiza un ancho N de placa sujeta a la presin factorizada uniformemente distribuida Ru/(B). Se considera la placa actuando como una viga en cantiliver: n Mu t t wu = Ru/B N Fig. 2. Seccin longitudinal de la placa Fig. 3. Seccin transversal de la placa Mu = wu*n2/2 = Ru*n2/(2*B) Por otra parte n = B/2 k El momento resistente es el momento plstico de la seccin rectangular de la placa |bMn = 0.90*Fy*Zx = 0.90*Fy*N*t2/4 Por resistencia, el momento factorizado no debe ser mayor que el momento resistente, es decir Mu = |bMn Ru*n2/(2*B) = 0.90*Fy*N*t2/4 Despejando el espesor t de la ecuacin anterior, queda: 2*Ru*n2 1/2 t = (4.6-8) 0.90*Fy*B*N Nota: Usar k = kdes de las tablas de dimensiones y propiedades de las vigas. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 66 ESTADO LIMITE 3 FLUENCIA LOCAL DEL ALMA DE LA VIGA Para la dimensin N propuesta, se debe cumplir la siguiente ecuacin |Rn > Ru Donde: |Rn = | (N + 2.5*k)Fyw*tw (4.6-9) |=1.0 Fyw = fluencia del acero del alma de la viga tw = espesor del alma de la viga Fig. 3. Fluencia local del alma del alma ESTADO LIMITE 4 PANDEO LOCAL DEL ALMA DE LA VIGA Para la dimensin N propuesta, se debe cumplir la siguiente ecuacin |Rn > Ru Para N/d s 0.2 |Rn = 0.40*|*tw2[ 1 + 3(N/d)(tw/tf)1.5] \[E*Fyw*(tf/tw)] (4.6-10) Para N/d > 0.2 |Rn = 0.40*|*tw2[ 1 + (4N/d 0.2)(tw/tf)1.5] \[E*Fyw*(tf/tw)] (4.6-11) Fig. 4. Pandeo local del alma de la viga Donde: |=0.75 Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 67 EJEMPLO 10 Disee una placa base de apoyo de acero A36 para una viga W21x68 con una reaccin de extremo Ru= 100 kips. La viga se apoyara sobre un muro de concreto reforzado con fc=4 ksi. En la direccin perpendicular al muro la placa no debe tener ms de 8 plg. Considere A1=A2. DATOS: Seccin: W21x68, d=21.1, tw=0.43, bf=8.27, tf=0.685, k=1.19 Material (placa): A36, Fy=36 ksi Reaccin, Ru=100 kips Concreto, fc= 4 ksi CLCULOS -rea de la placa Ru 100 A1 = = = 49.02 in2 |c (0.85 fc) 0.60(0.85)(4) Como A1=A2, usar N=8 Entonces, A1 49.02 B= = = 6.13 in < bf USAR B= 9 N 8 -Espesor de la placa n= B/2 k = 9/2 1.19 = 3.31 in 2*Ru*n2 1/2 2(100)(3.31)2 1/2 t = = = 0.969 in USAR t=1 0.90*Fy*B*N 0.90(36)(9)(8) Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 68 -Fluencia local del alma |Rn = | (N + 2.5*k)Fyw*tw = 1.0(8 + 2.5x1.19)(36)(0.43) = 169.89 kip > Ru= 100 OK -Pandeo local del alma N/d = 8/21.1=0.379 > 0.2 |Rn = 0.40*|*tw2[ 1 + (4N/d 0.2)(tw/tf)1.5] \[E*Fyw*(tf/tw)] |Rn = 0.40(0.75)(0.43)2[1 + (4x0.379 0.2)(0.43/0.685)1.5]\29000(36)(0.685/0.43) |Rn = 118.36 kips > Pu=100 OK Conclusin: Usar placa de B=9 plg, N=8 plg, t= 1 plg. Diseo de estructuras de acero conforme a la especificacin AISC-2010-Tema 4 A. Zambrano 69 EJERCICIOS: