14) Derivadas Sucesivas de Una Función, Derivada Implícita, Ejercicios
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DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función real de variable real es también una función, que se llama DERIVADA ORDINARIA ó 1ª DERIVADA DE LA FUNCIÓN. La derivada de la derivada de una función es también una función y se llama SEGUNDA DERIVADA La derivada de la 2ª derivada de una función es también una función que se llama: TERCERA DERIVADA, y así sucesivamente hasta obtener la "ENESIMA DERIVADA" +n - enésima. Notación: Función y, f(x) 1ª Derivada y 1 , Dxy, dy , f 1 (x), Dx f(x), df(x) dx dx 2ª Derivada y II , D 2 xy, d 2 y , f ll (x), D 2 x f(x), d 2 f(x) dx 2 dx 2 3ª. Derivada y lll , D 3 x y, d 3 y , f lll (x), D 3 xf(x), d 2 f(x ) dx 3 dx 2 A las derivadas detenidas a partir de la 2ª derivada también se les llama DERIVADAS SUCESIVAS de la función: Ejemplos: Calcula la 3ª derivada de las siguientes funciones: 1) f(x) - x 6 -3x 2 +4x +1 f ' (x) = 6x 5 - 6x +4 f '' (x) = 30x 4 -6 f ''' (x) = 120 x 3 2) y = sen 2x y ' = cos 2x Dx 2x y' = 2 cos 2x = 2 (-sen 2x Dx 2x) y '' = -4 sen 2x =-4 (cos 2x Dx 2x) y ''' = -8 cos 2x 3) f(x) = x 4 + 2x 3 -3x 2 + 4x -10 f'(x) = 4x 3 +6x 2 -6x + 4 f '' (x) = 12x 2 + 12x + 6 4) 4-f(x) = sec x f'(x) = sec x tan x = sec x Dx tan x + tan x Dx sec x
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DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIN
La derivada de una funcin real de variable real es tambin una funcin, que se llama DERIVADA ORDINARIA 1 DERIVADA DE LA FUNCIN.
La derivada de la derivada de una funcin es tambin una funcin y se llama SEGUNDA DERIVADA
La derivada de la 2 derivada de una funcin es tambin una funcin que se llama: TERCERA DERIVADA, y as sucesivamente hasta obtener la "ENESIMA DERIVADA" +n - ensima.
Notacin:
( Funcin ( y, f(x)
( 1 Derivada ( y1, Dxy, dy, f1(x), Dx f(x), df(x)
dx
dx
( 2 Derivada ( yII, D2 xy, d2y , fll (x), D2x f(x), d2f(x)
dx2
dx2(3. Derivada ( ylll, D3x y, d3y , flll(x), D3xf(x), d2f(x)
dx3
dx2A las derivadas detenidas a partir de la 2 derivada tambin se les llama DERIVADAS SUCESIVAS de la funcin:
Ejemplos:
Calcula la 3 derivada de las siguientes funciones:
1) f(x) - x6 -3x2 +4x +1
f'(x) = 6x5 - 6x +4
f''(x) = 30x4 -6
f'''(x) = 120 x32) y = sen 2x
y' = cos 2x Dx 2x
y' = 2 cos 2x
= 2 (-sen 2x Dx 2x)
y'' = -4 sen 2x
=-4 (cos 2x Dx 2x)
y''' = -8 cos 2x
3) f(x) = x4 + 2x3 -3x2 + 4x -10
f'(x) = 4x3 +6x2 -6x + 4
f''(x) = 12x2 + 12x + 6
f'''(x) = 24x + 12
f''''(x) = 24
f'''''(x) = 04) 4-f(x) = sec x
f'(x) = sec x tan x
= sec x Dx tan x + tan x Dx sec x
f''(x) = sec3 x + tan2 x sec x
DERIVACIN IMPLICITA
Una funcin implcita es aquella funcin en la cual no se encuentra despejada ninguna variable en su regla de correspondencia.
Ejem.
F - {(x,y) | 3x2 + y4 = xy + 3}
Para obtener la derivada de una funcin implcita se sigue el siguiente procedimiento:
1) Se deriva con respecto a alguna variable la funcin.
2) Se simplifica la ecuacin.
3) Se despeja la derivada de la variable que se desea obtener.
Ejem.
Obtener la Dxy para las siguientes funciones:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
_1014219007.unknown
_1014219434.unknown
_1014218618.unknown
