GEOMETRÍA ANALITICA EN R3.

1.- Rectas.

1.1- Ecuaciones paramétricas de una recta en R3.

Una recta L que pasa por los puntos ),,( 0000 zyxP y ),,( 1111 zyxP puede describirse

mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

taxx 0, tbyy 0

y tczz 0

),,( 0000 zyxP es un punto que pertenece a la recta y kcjbiaA es el vector

director de la recta, siendo 10 PPA (

01 xxa , 01 yyb y

01 zzc ).

Obsérvese que las ecuaciones paramétricas taxx 1, tbyy 1

y tczz 1 definen

a la misma recta L, por lo cual puede afirmarse que las ecuaciones paramétricas de una

recta en R3 no es única.

1.2.- Ecuación vectorial paramétrica de una recta en R3.

Una recta L que pasa por los puntos ),,( 0000 zyxP y ),,( 1111 zyxP puede describirse

mediante la siguiente ecuación vectorial paramétrica: tAPP 0, donde ),,( zyxP ,

kcjbiaA es el vector director de la recta, siendo 01 xxa ,

01 yyb y

01 zzc .

1.3.- Ecuaciones simétricas de una recta en R3.

Una recta L que pasa por los puntos ),,( 0000 zyxP y ),,( 1111 zyxP puede describirse

mediante la siguiente ecuación simétrica:

c

zz

b

yy

a

xx 000

, siendo 01 xxa ,

01 yyb y 01 zzc .

Obsérvese que la ecuación simétrica c

zz

b

yy

a

xx 111

define a la misma recta L, por

lo cual puede afirmarse que la ecuación simétrica de una recta en R3 no es única.

Si , , son los ángulos directores de L, entonces la forma simétrica puede escribirse

también como: coscoscos

000 zzyyxx

.

Posición relativa de dos rectas.

1.4.- Angulo entre dos rectas.

Un ángulo entre dos rectas se define como el ángulo entre los vectores directores de las

rectas.

1.5.- Rectas paralelas en R3.

Dos rectas son paralelas en R3 si y sólo si sus vectores directores son paralelos.

1.6.- Rectas perpendiculares en R3.

Dos rectas son perpendiculares en R3 si y sólo si sus vectores directores son

perpendiculares.

1.7.- Intersección de dos rectas en R3.

Dos rectas en R3 pueden:

No intersectarse. - Intersectarse en un punto.

Ser coincidentes (intersectarse en todos sus puntos).

Criterio de intersección de rectas en R3.

Dos rectas en R3 se intersectan si existen los parámetros

1t y 2t para las rectas 1 y 2

respectivamente tal que el punto ),,( zyxP pertenece a ambas rectas. Si existen 1t y

2t

y los vectores directores de las rectas son paralelos, entonces las rectas son coincidentes.

1.8.- Rectas oblicuas en R3.

Dos rectas en R3 son oblicuas si no son paralelas y no se intersectan.

2.- Plano.

Superficie, real o imaginaria, en la cual dos puntos están unidos por una recta que está

contenida enteramente en dicha superficie.

2.1.- Ecuación canónica de un plano en R3.

Sea kcjbiaN un vector no nulo, normal al plano que contiene el punto

),,( 0000 zyxP . La ecuación canónica de ese plano es

0)()()( 000 zzcyybxxa . La ecuación canónica de un plano es única.

Si , , son los ángulos directores de N, entonces la forma canònica puede escribirse

también en la forma 0)(cos)(cos)(cos 000 zzyyxx .

En forma vectorial: 0)0(. PPN , donde ),,( zyxP , ),,( 0000 zyxP es un punto que

pertenece al plano y kcjbiaN es el vector normal al plano.

2.2.- Ecuación general de un plano en R3.

Sea kcjbiaN un vector no nulo, normal a un plano que contiene el punto

),,( 0000 zyxP . La ecuación general de ese plano es 0 dzcybxa , siendo

)( 000 zcybxad .

La ecuación del plano que pasa por los tres puntos ),,( 1111 zyxP , ),,( 2222 zyxP y

),,( 3333 zyxP en forma de determinante es 0

1

1

1

1

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

2.3.- Ecuación paramétrica de un plano en R3.

Sean kcjbiaU 111 y kcjbiaV 222 dos vectores contenidos en un plano que

contiene el punto ),,( 0000 zyxP . La ecuación vectorial paramétrica de ese plano es

210 tVtUPP donde ),,( zyxX , ),,( 0000 zyxX es un punto que pertenece al

plano. Si kcjbiaN es el vector normal al plano, entonces VUN . La ecuación

vectorial paramétrica de un plano en R3 no es única.

2.4.- Condición para que dos rectas en el espacio definan un plano.

Dos rectas en R3 definen un plano si ambas rectas

- Se intersectan ó.

- Son paralelas.

Si ambas rectas se intersectan, el vector normal del plano está dado por el producto

vectorial de los vectores directores de ambas rectas: 21 LLN y un punto del plano es el

punto de intersección (o cualquier punto perteneciente a alguna de las dos rectas).

Si ambas rectas son paralelas, el vector normal del plano esta dado por LQPN , donde

P es un punto de una de las rectas, Q es un punto de la otra recta, P Q es el vector definido

por P y Q y L es el vector director de cualquiera de las dos rectas. Un punto del plano es

cualquier punto perteneciente a alguna de las dos rectas.

Posición relativa de dos planos.

2.5.- Angulo entre dos planos.

Un ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores normales de los

planos.

2.6.- Planos paralelos en R3.

Dos planos son paralelos en R3 si y sólo si sus vectores normales son paralelos.

2.7.- Planos perpendiculares en R3.

Dos planos son perpendiculares en R3 si y sólo si sus vectores normales son ortogonales.

2.8.- Intersección de dos planos en R3.

Dos planos en R3 pueden:

- No intersectarse (paralelos). - Intersectarse en una recta.

- Ser coincidentes (intersectarse en todos sus puntos).

Criterio de intersección de planos en R3.

Dos planos en R3 se intersectan si es posible determinar la ecuación de una recta que

satisfaga la ecuación de ambos planos. El vector director de la recta de intersección de dos

planos en R3 es

21 NNL , donde 1N y

2N son los vectores normales a los planos 1 y 2,

respectivamente.

Dos planos en R3 son coincidentes si sus ecuaciones son idénticas. En este caso no existe la

ecuación de la recta intersección.

2.9.- Intersección de una recta y un plano en R3.

Una recta y un plano en R3 pueden:

No intersectarse.

Intersectarse en un punto.

La recta está contenida en el plano (Todos los puntos pertenecientes a la recta, pertenecen

también al plano).

Criterio de intersección de una recta y un plano en R3.

Una recta y un plano en R3 se intersectan si existen el parámetro t para la recta tal que el

punto ),,( zyxX pertenece a dicha recta y al plano. Si existe t y el vector director de la

recta es perpendicular al vector normal del plano, entonces la recta está contenida en el

plano (son coincidentes). El valor del parámetro t en el cual la recta intersecta al plano está

dado por: AN

PNdt

.. 0

, donde d es el término independiente en la ecuación general del

plano 0 dzcybxa , kcjbiaN es el vector normal al plano, 0P es un vector

definido por un punto de la recta y el origen, y A es el vector director de la recta. Si

0. AN la recta y el plano no tienen punto de intersección (son paralelos o la recta está

contenida en el plano).

Posición relativa de una recta y un plano.

2.10.- Ángulo entre una recta y un plano.

Un ángulo entre una recta y un plano se define como el ángulo complementario entre el

vector director de la recta y el vector normal del plano. Si A es el vector director de la

recta, y N es el vector normal del plano, entonces:

NA

NA.1cos

2

3.- Distancia.

3.1.- Distancia entre un punto y una recta.

Sea el punto ),,( 0000 zyxP y la recta c

zz

b

yy

a

xx 111

, la distancia entre el punto

0P y la recta está dada por: A

APQ

0Distancia , donde Q es un punto cualquiera de la

recta, 0PQ es un vector definido por los puntos Q y

0P , y A es el vector director de la recta.

3.2.- Distancia entre un punto y un plano (Proyección).

Sea el punto ),,( 0000 zyxP y el plano 0 dzcybxa , la distancia entre el punto 0P

y el plano está dada por: N

NPQ .0Distancia , donde Q es un punto cualquiera del plano,

0PQ es un vector definido por los puntos Q y 0P , y kcjbiaN es el vector normal

del plano. 222

000Distancia

cba

dzcybxa

. La distancia es la proyección escalar del

vector 0PQ sobre el vector normal del plano.

3.3.- Distancia entre dos rectas paralelas.

Sean las rectas 1L y

2L en R3 con vectores directores

1A y 2A respectivamente. La

distancia entre ambas rectas está dada por:

1

1Distancia

A

APQ , donde Q es un punto de

la recta 1L , P es un punto de la recta

2L , PQ es un vector definido por los puntos Q y P.

3.4.- Distancia entre dos rectas oblicuas.

Sean las rectas 1L y

2L en R3 con vectores directores

1A y 2A respectivamente. La

distancia entre ambas rectas está dada por:

21

21.Distancia

AA

AAPQ

, donde Q es un

punto de la recta 1L , P es un punto de la recta

2L , PQ es un vector definido por los puntos

Q y P.

3.5.- Distancia entre una recta y un plano paralelos (Proyección).

Sea la recta L y el plano 0 dzcybxa paralelos en R3. La distancia entre la recta y

el plano está dada por: N

NPQ .Distancia , donde Q es un punto del plano, P es un punto

de la recta L, PQ es un vector definido por los puntos Q y P, y kcjbiaN es el

vector normal del plano. La distancia es la proyección escalar del vector PQ sobre el

vector normal del plano.

3.6.- Distancia entre dos planos paralelos (Proyección).

Sean dos planos paralelos en R3: 01 dzcybxa y 02 dzcybxa . La

distancia entre ambos planos está dada por: N

NPQ .Distancia , donde Q es un punto del

plano 1, P es un punto del plano 2, PQ es un vector definido por los puntos Q y P,

kcjbiaN es el vector normal de ambos planos. 222

12Distancia

cba

dd

.

La distancia es la proyección escalar del vector QP sobre el vector normal del plano.

Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / medinawj@gmail.com /

PIN: 58B3CF2D – 569A409B. http://www.slideshare.net/asesoracademico/

Abril 2016.