151456508 Fisica 3 Por Hugo Medina Guzman Capitulo 6 Las Ecuaciones de Maxwell y Ondas...

Las Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas Hugo Medina Guzmn

1

CAPTULO 1. LAS ECUACIONES DEMAXWELL Y ONDAS

ELECTROMAGNTICAS

INTRODUCCIN Qu tienen en comn la luz, las ondas de radio, las microondas, y los rayos X? Todos son formas de ondas electromagnticas. Juntos representan una gama enorme de fenmenos que son muy importantes en nuestro mundo tecnolgico moderno. La prediccin de la existencia de ondas electromagnticas y una descripcin de su naturaleza primero fue publicada por James Clerk Maxwell en 1865. Maxwell era un fsico terico enormemente talentoso que hizo contribuciones importantes en muchas reas de la fsica incluyendo electromagnetismo, termodinmica, la teora cintica de gases, la visin de color, y la astronoma. l es el ms conocido, sin embargo, por su tratado sobre campos elctricos y magnticos, que hemos mencionado ya. Su descripcin de ondas electromagnticas, con una prediccin de su velocidad, es solamente una parte de su trabajo CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO DE MAXWELL Cuando la corriente no es constante, la ley de Ampere no es vlida. Podemos ver por qu es as considerando la carga de un condensador.

Consideremos la curva C. De acuerdo con la ley de Ampere, la integral curvilnea del campo magntico a lo largo de esta curva es igual a 0 multiplicado por la corriente total que atraviesa una superficie cualquiera limitada por dicha curva Esta superficie no es necesario que sea plana. Se indican en la figura dos superficies limitadas por la curva C. La corriente a travs de la superficie 1 es I. No existe ninguna corriente a travs de la superficie 2 puesto que la carga est detenida en la placa del condensador. As pues existe una ambigedad en la frase corriente a travs de una superficie cualquiera limitada por la curva. Sin embargo, en el caso de corrientes constantes, la carga no se almacena en ningn

punto y se tiene siempre la misma corriente sin que importe la superficie que escojamos. Maxwell se dio cuenta de esta falla de la ley de Ampere y demostr que la ley poda generalizarse para incluir todos los casos si la corriente I de la ecuacin se sustitua por la suma de la verdadera corriente I y otro trmino dI denominado corriente de desplazamiento de Maxwell. La corriente de desplazamiento se define por

dtdI Ed= 0 , en donde E es el flujo de

campo elctrico. La forma generalizada de la ley de Ampere es entonces

( )dt

dIIIdB Ed+=+= 0000 l

Podemos comprender la generalizacin de la ley de Ampere considerando nuevamente la figura anterior. Denominemos a la suma dII + corriente generalizada. De acuerdo con nuestros razonamientos anteriores la misma corriente generalizada debe cruzar cualquier rea limitada por la curva C. As pues no puede existir ninguna corriente generalizada que entre o que salga del volumen cerrado. Si existe una verdadera corriente neta I que entra en el volumen, deber existir una corriente de desplazamiento igual dI que salga del volumen. En el volumen de la figura existe una corriente verdadera neta I que entra en el volumen la cual aumenta la carga dentro del mismo:

dtdQI =

El flujo de campo elctrico fuera del volumen est relacionado con la carga por la ley de Gauss:

0fuera neto

QdSnEE == El aumento de carga por unidad de tiempo resulta ser as proporcional al aumento del flujo neto por unidad de tiempo fuera del volumen:

dtdQ

dtd E = fuera neto 0


2

La figura anterior muestra las superficies S1 y S2 que encierran una placa de un condensador. En este caso todo el flujo del campo elctrico atraviesa S2. El campo elctrico entre las placas est relacionado con la carga por

AQE00

== Siendo A el rea de las placas. El flujo a travs de S2 es

0QEAE ==

La corriente de desplazamiento que atraviesa S2 es

dtdQ

dtdI Ed == 0

Que es igual a la verdadera corriente que atraviesa S1. Una caracterstica significativa de la generalizacin de Maxwell consiste en que un campo magntico resulta ser producido por un campo elctrico variable lo mismo que por corrientes elctricas verdaderas. No hay ninguna duda de que Maxwell fue inducido a obtener esta generalizacin por el resultado recproco de que se produce un campo elctrico mediante un flujo magntico variable lo mismo que por cargas elctricas. Este ltimo resultado, conocido como ley de Faraday, precedi a la generalizacin de Maxwell. Ejemplo 1. En una regin cilndrica del espacio de radio R un campo elctrico est variando en funcin del tiempo, determine la direccin y magnitud del campo magntico inducido para r < R. Solucin. De la ecuacin

dSndtEd

dtddB E 0000 ==

l

tenemos que:

dtddB E= 00l

De donde:

dSndtEddB 00 =

l Integrando para r


3

Estas ecuaciones establecen que el flujo elctrico total a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada por la superficie dividida por . Lo que implica con un anlisis posterior que las lneas de campo elctrico se originan en cargas positivas y terminan en cargas negativas (Existen fuentes y sumideros).

2. Ley de gauss para campo magntico (B )

0= ldB lo que corresponde a:

0= B Esto implica que el flujo magntico a travs de una superficie cerrada es cero, es decir, el nmero de lneas de campo magntico que entran a la superficie es igual al nmero de ellas que salen. Esto significa que en la naturaleza NO existen monopolos magnticos, slo existen dipolos magnticos. 3. Ley de Faraday (Induccin Electromagntica) La Ley de Faraday explica cmo un flujo campo magntico variable en el tiempo puede inducir en un circuito una corriente elctrica cuya fuerza electromotriz viene dada por:

dtd B=

En su forma integral se puede expresar como:

dtddE B= l

y en su forma diferencial:

dtBdE

= establece que el rotacional del campo elctrico inducido por un campo magntico variable es igual a menos la derivada parcial del campo magntico con respecto al tiempo. 4. Ley generalizada de Ampere - Maxwell Fue Maxwell, quien modific la Ley de Ampere introducindole la corriente de desplazamiento que fue una de sus mayores contribuciones a la electricidad y magnetismo, la corriente de desplazamiento se debe precisamente a la variacin del campo elctrico en funcin del tiempo, es decir, que la ecuacin de Ampere generalizada se escribe de la siguiente forma:

dIIdB 00 += l , donde dtdI Ed = 0

Por lo tanto, la ecuacin anterior la podemos expresar como:

dtdIdB E+= 000 l , que se conoce

como Ley de Ampere-Maxwell. Luego de algunas reducciones, se puede expresar esta ley en su forma diferencial:

tEJB

+=

000

ONDAS ELECTROMAGNTICAS Qu es una onda electromagntica? Para entender las ondas electromagnticas, necesitamos repasar los conceptos de campo elctrico y de campo magntico. Ambos campos pueden ser producidos por partculas cargadas. El movimiento de la carga genera un campo magntico, pero un campo elctrico est presente aun sin movimiento de la carga. Estos campos son una caracterstica del espacio alrededor de las cargas y son tiles para predecir las fuerzas en otras cargas, esto ya fue discutido anteriormente. Suponga que la carga est fluyendo hacia arriba y hacia abajo en dos alambres conectados a una fuente de corriente alterna, como en la figura siguiente.

Si la direccin de la corriente cambia lo suficientemente rpido, una corriente alterna fluye en este dispositivo aun cuando parece ser un circuito abierto. La carga de un signo comenzar a acumularse en los alambres, pero antes de que la carga acumulada sea demasiado grande, la corriente se invierte, la carga regresa, y carga de signo opuesto comienza a acumularse. Tenemos as una cantidad de carga cambiante y una corriente elctrica cambiante en los alambres. Los campos magnticos generados por este dispositivo se pueden representar por lneas circulares de campo con centro en los alambres. Este campo, no obstante est cambiando constantemente en magnitud y direccin como los cambios de la corriente. Por la ley de


4

Faraday, Maxwell saba que un campo magntico que cambia generara un voltaje en un circuito cuyo plano es perpendicular a las lneas del campo magntico. Un voltaje implica un campo elctrico, aun en ausencia de un circuito, un campo magntico cambiante generar un campo elctrico en cualquier momento en el espacio en el cual el campo magntico est cambiando. As, esperamos que un campo elctrico cambiante sea generado por el campo magntico cambiante, segn la ley de Faraday. Maxwell consider simetra en el comportamiento de los campos elctricos y magnticos: un campo elctrico cambiante tambin genera un campo magntico. Maxwell predijo este fenmeno en sus ecuaciones que describan el comportamiento de campos elctricos y magnticos. Las mediciones experimentales confirmaron su existencia. Maxwell se dio cuenta que una onda que implicaba estos campos se podra propagar a travs del espacio. Un campo magntico cambiante produce un campo elctrico cambiante, que, a su vez produce un campo magntico cambiante, y as sucesivamente. En el vaco, el proceso puede producirse indefinidamente y afectar partculas cargadas a distancias mucho mayores de la fuente que podra estar con campos estticos generados por corrientes o cargas no cambiantes. As es cmo se produce una onda electromagntica. Los alambres en la figura anterior sirven como antena transmisora para las ondas. Se puede utilizar una segunda antena para detectar las ondas. Aunque Maxwell predijo la existencia de tales ondas en 1865, el primer experimento para producirlas y para detectarlas con circuitos elctricos fue realizado por Heinrich Hertz (1857 - 1894) en 1888. Las antenas originales de Hertz eran lazos circulares del alambre en vez de los alambres rectos, pero l tambin utiliz alambres rectos trabajos posteriores. l poda detectar una onda producida por el circuito fuente con otro circuito a una distancia considerable de la fuente. Hertz descubri las ondas radiales haciendo estos experimentos.

La figura anterior muestra la naturaleza de ondas electromagnticas simples. Si el campo

magntico est en plano horizontal, como en la figura, el campo elctrico generado por el campo magntico cambiante est en la direccin vertical. Estos dos campos son perpendiculares entre si, y son tambin perpendiculares a la direccin del recorrido alejados de la antena fuente. Las ondas electromagnticas son por lo tanto ondas transversales. Las magnitudes de los campos elctrico y magntico se representan aqu sinusoidalmente y en fase el uno con el otro, pero patrones son tambin posibles ms complejos. Como los otros tipos de ondas que hemos estudiado el patrn sinusoidal de la onda se mueve. La figura muestra las magnitudes y las direcciones en un instante de tiempo y a lo largo de solo una lnea en espacio. La misma clase de variacin ocurre en todas las direcciones perpendiculares a la antena. Como el patrn sinusoidal se mueve, los valores del campo en todo momento en del espacio aumentan y la disminuyen alternativamente. Mientras los campos pasan por cero, cambian la direccin y comienzan a aumentar en la direccin opuesta. Estos cambios coordinados de los campos elctrico y magntico componen la onda electromagntica. Maxwell demostr que las ondas electromagnticas (propagndose a lo largo de una direccin x) en el espacio libre se describiran por medio de las siguientes ecuaciones:

2

2

002

2

tE

xE

=

, 22

002

2

tB

xB

=

Ecuacin de onda para yE

=

tE

txE yy

002

2

= 22

00 tE y

+

Comparando esta ecuacin con la ecuacin de la

onda ( ) ( )2,

2

22,

2 1ty

vxy txtx

=

, vemos que yE

obedece a una ecuacin de onda para unas ondas con velocidad

00

1=v

Tomando los valores ms acertados de 0 y de 0 se encuentra que esta es precisamente la

velocidad de la luz en el espacio libre. As pues, hemos demostrado que tanto el campo elctrico E como el magntico B obedecen a una ecuacin de onda para las ondas que se mueven con velocidad que es la velocidad de la luz.


5

En cualquier caso, el campo elctrico y el campo magntico son perpendiculares al eje x, direccin de propagacin. Como hemos visto, las ondas electromagnticas son transversales. Para mayor sencillez, hemos supuesto que el campo elctrico tiene direccin y. Esto equivale a seleccionar una polarizacin particular para la onda transversal. Una vez hecha esta seleccin ya no podemos escoger libremente la direccin del campo magntico. Ejemplo 2. a) Cunto tiempo tarda la luz en viajar de la Luna a la Tierra, una distancia de 384000 km? b) La luz de la estrella Sirio tarda 8,61 aos luz en llegar a la Tierra. Cul es la distancia a Sirio? Solucin.

a) cdt = = 8

8

1000,31084,3

= s28,1

b) El tiempo de viaje de la luz: 8,61 aos =

)hora1()s3600(

)dia1()horas24(

)ao1()dias365()aos61,8(

= 2,72 x 108 s ( )( )88 102,72100,3 == ctd = 8,16x1016 m = 8,16x1013 km Ejemplo 3. Cul del siguiente es una afirmacin verdadera? A) Todas las ondas electromagnticas viajan a la misma velocidad en vaco. B) La luz aumenta su velocidad cuando se mueve desde el aire al agua. C) Algunas ondas electromagnticas tienen carga elctrica. D) En el vaco las ondas electromagnticas de alta frecuencia viajan a una velocidad ms alta que las ondas electromagnticas de baja frecuencia. E) Los electrones son una clase de onda electromagntica. Solucin. (A) Todas las ondas electromagnticas viajan a la misma velocidad en vaco.

fc sm103 8 ==

Ejemplo 4. Fantasmas en el televisor. En una imagen de televisin, se ven imgenes fantasma cuando la seal de la transmisora viaja el receptor tanto directa como indirectamente, luego de reflejarse en un edificio o alguna otra masa metlica grande. En un televisor de 25 pulgadas, el fantasma aparece aproximadamente

1,0 cm a la derecha de la imagen principal si la seal reflejada llega 0.60 s despus de la seal principal. En este caso, cul es la diferencia de longitud entre las trayectorias de las dos seales? Solucin.

tcd = = (3,0x108)(6,0x10-7) = 180 m Ejemplo 5. Una onda electromagntica sinusoidal con una frecuencia de 6,10x1014 Hz viaja en un vaco en la direccin + z. El campo B es paralelo al eje de las y y tiene una amplitud de 5,80x10-4 T. Escriba las ecuaciones

vectoriales de ( )tzE ,

y ( )tzB ,

. Solucin.

( ) jt)kzBtzB cos(, mx = = jt

czfB 2cosmx

( )tzB , = jtz

)1000.3()1010,6(2cos)1080,5( 8

144

)()( kcj(z,t)Bz,tE y =

)(z,tE

=( ) ( )itz 1083,31028,1cos1074,1 1575 Ejemplo 6. Una onda electromagntica con una frecuencia de 38,0 MHz y una longitud de onda de 6,15 m viaja en un material aislante con mk muy cercana a la unidad. a) Cul es la rapidez de propagacin de la onda? b) Cul es la constante dielctrica del material aislante a esta frecuencia? Solucin. a) fv = = )m15,6)(1080,3( 7 = sm1034,2 8 b)

( )( )28

28

2

2

1034,2100,3==

vckE = 1,64

VECTOR POYNTING. El vector que nos da la direccin y la magnitud de la rapidez del flujo de energa electromagntica por unidad de rea en un punto del espacio, es llamado vector Poynting y se define por la siguiente ecuacin:


6

= BES0

1

A partir de esta figura puede observarse que la

direccin de es paralela al vector BE

propagacin en direccin x en este caso. El

vector 0 BE

se conoce como vector Poynting

(en honor de John H. Poynting):

0

= BES El vector Poynting en el sistema MKS, est dado en unidades de W/m2. INTENSIDAD DE LA ONDA. A continuacin demostraremos que su valor medio es igual a la intensidad de la onda electromagntica. En nuestro estudio del transporte de energa por ondas cualquier tipo, veamos que la intensidad (energa media por unidad de rea y unidad de tiempo) era, en general, igual al producto de la densidad de energa (energa por unidad de volumen) por la velocidad de la onda. La energa por unidad de volumen asociada con un campo elctrico E es

202

1 EuE = En el caso de la onda armnica dada por la ecuacin ( )tkxEE yy = sen0 tenemos

( )tkxEuE = sen21 2

00

Por sencillez en la notacin se han suprimido los subndices de las componentes y y z La energa por unidad de volumen asociada con un campo magntico B es

0

2

2BuB =

Segn las ecuaciones ( )tkxEkB zz = sen0 = ( )tkxBz sen0 tenemos

( ) ( )tkxc

EtkxBuB ==2

20

20

0

20 sen

2sen

2

Pero como 00

2 1=c

( )tkxEuB = 2200 sen21

y vemos que son iguales las densidades de energa elctrica y magntica. La energa electromagntica total por unidad de volumen es

( ) ( )tkxc

EtkxEuuu BE ==+=2

20

2022

00 sensen

La energa por unidad de tiempo y por unidad de rea es el producto de esta energa por la velocidad c:

( )tkxc

Euc =2

0

20 sen

= ( )[ ] ( )

tkxc

EtkxE sensen 0

00

= SEB =0

La intensidad en un punto cualquiera x es el valor medio temporal de la energa por unidad de tiempo y por unidad de rea. A partir de la

ecuacin ( )tkxc

Eu =2

20

20 sen vemos que la

densidad de energa es proporcional a ( )tkx 2sen . El valor medio de esta cantidad en uno o ms ciclos es 1/2. Luego, la densidad de

energa media vale 20

20

2 cEuB = , y la intensidad

es

cEcuI B

0

20

2== = 222 000 rmsrms BEBE =

= BS Donde

20EErms = es el valor medio cuadrtico de E y

20BBrms = es el valor medio cuadrtico de B.

POTENCIA INSTANTNEA. El mdulo o valor del vector Poynting es la potencia instantnea por unidad de rea. La velocidad con la cual fluye energa electromagntica a travs de una superficie cualquiera es el flujo del vector de Poynting a travs de la misma:


7

dAnBEdAnSP 0

==

En donde P es la potencia que atraviesa el rea y

0

= BES es el vector Poynting. La potencia neta radiada por cualquier volumen es el flujo neto del vector de Poynting a travs de la superficie que encierra dicho volumen. ENERGA ELECTROMAGNTICA La densidad de energa elctrica dada por la ecuacin:

202

1 EuE = = EE02

1 La densidad de energa magntica que est expresada por:

0

2

21BuB = =

BB02

1

Para una regin del espacio libre donde existe campo elctrico y campo magntico la ecuacin de la energa electromagntica es expresada por:

( )dVuuUV BE += =

dVBBEEV +

00

021

En esta ecuacin hemos combinado campos elctricos y magnticos. PRESIN DE RADIACIN. A partir de la observacin de que se requiere energa para establecer campos elctricos y magnticos, hemos demostrado que las ondas electromagnticas transportan energa. Adems se puede demostrar que las ondas electromagnticas transportan L cantidad de movimiento p, con una densidad de cantidad de movimiento correspondiente (cantidad de movimiento dp por volumen dV ) de magnitud

220 c

Sc

EBdVdp ==

Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no est asociada con la masa de una partcula en movimiento en el sentido habitual. Existe adems una rapidez de flujo de cantidad de movimiento correspondiente. El volumen dV ocupado por una onda electromagntica (rapidez c) que pasa a travs de un rea A en un tiempo dt es AcdtdV = . Cuando se sustituye esto en la

ecuacin 220 c

Sc

EBdVdp == y se reordena, se

encuentra que la rapidez de flujo de cantidad de movimiento por unidad de rea es

cEB

cS

dtdp

A 01

== (rapidez de flujo de cantidad de movimiento) Esto representa la cantidad de movimiento que se transfiere por unidad de rea y por unidad de tiempo. Se obtiene la rapidez promedio de transferencia de cantidad de movimiento por unidad de rea sustituyendo S por ISm = len la ecuacin

cEB

cS

dtdp

A 01

== . A esa cantidad de movimiento se debe el fenmeno de la presin de radiacin. Cuando una onda electromagntica es absorbida en su totalidad por una superficie, se transfiere a sta la cantidad de movimiento de la onda. Para simplificar consideraremos una superficie perpendicular a la direccin de propagacin. Con base en las ideas expuestas en la seccin 8.1, vemos que la rapidez dp/dt con la que se transfiere cantidad de movimiento a la superficie absorbente es igual a la fuerza ejercida sobre la superficie. La fuerza promedio por unidad de rea debida a la onda, o presin de radiacin

radp , es el cociente del valor promedio de dp/dt entre el rea absorbente A. (Utilizamos el subndice rad para distinguir la presin de la cantidad de movimiento, que tambin se representa mediante el smbolo p). De acuerdo

con la ecuacin 220 c

Sc

EBdVdp == , la presin

de radiacin es

cI

cS

p m ==rad (presin de radiacin, absorcin total de la onda) Si la onda se refleja en su totalidad, el cambio de cantidad de movimiento es dos veces ms grande, y la presin es

cI

cS

p m ==rad cI

cS

p m 22

rad == (presin de radiacin, reflexin total de la onda) Por ejemplo, el valor de I (o mS ) correspondiente a la luz solar directa, antes de atravesar la atmsfera terrestre, es de aproximadamente 1,4 kW/m2. De acuerdo

ecuacin cI

cS

p m ==rad la presin promedio


8

correspondiente sobre una superficie absorbente es

8

3

rad 100,3104,1==

cIp = 4,7x10-6 Pa

Segn la ecuacin cI

cS

p m ==rad , la presin promedio sobre una superficie totalmente

reflectante es el doble de esto: cI2

o 9,4xl06 Pa.

Estas presiones son muy pequeas del orden de 10-10 atm, pero se pueden medir con instrumentos sensibles. La presin de radiacin de la luz solar es mucho mayor en el interior del Sol que en la Tierra. En el interior de las estrellas de masa mucho mayor que la del Sol y ms luminosas que ste, la presin de radiacin es tan grande que aumenta considerablemente la presin gaseosa en el interior de la estrella y de este modo contribuye a evitar que la estrella se colapse bajo el efecto de su propia gravedad. En ciertos casos la presin de radiacin proyecta efectivamente parte del material de la estrella hacia el espacio. Ejemplo 7. Prueba de un transmisor espacial de radio. Usted es un especialista en misiones de la NASA que efecta su primer vuelo en el trasbordador espacial. En virtud de su extensa capacitacin en fsica, se le ha asignado la tarea de evaluar el comportamiento de un nuevo transmisor de radio a bordo de la Estacin Espacial Internacional (EEI). Encaramado en el brazo mvil del trasbordador, usted apunta un detector sensible hacia la EEI, que est a 2,5 km de distancia, y encuentra que la amplitud de campo elctrico de las ondas de radio provenientes del transmisor es de 0,090 V/m, y que la frecuencia de las ondas es de 244 MHz. Halle lo siguiente: a) la intensidad de la onda de radio donde usted se encuentra; b) la amplitud de campo magntico de la onda donde usted se encuentra; c) la potencia de salida total del transmisor de radio de la EEI. d) Qu suposiciones, en su caso, hizo usted para efectuar sus clculos? Solucin.

a) 2021

mxcEI = , mV090,0=mxE , luego 25 mW101,1 =I

b) mxmx cBE = Luego

cE

B mxmx = = 3,0 x10-10 T c) )4( 2av rIP = = ( ) 235 )105,2()4(10075,1 = 840 W d) El clculo en la parte (c) asume que el transmisor emite uniformemente en todas las direcciones. Ejemplo 8. Una sonda espacial situada a 2,0 x 1010 m de una estrella mide la intensidad total de la radiacin electromagntica proveniente de la estrella, la cual resulta ser de 5,0 x 103 W/m2. Si la estrella irradia de modo uniforme en todas direcciones, cul es la potencia de salida promedio total? Solucin.

)4( 2rIPm = = ( ) 2103 )100,2()4(100,5 = 2,5x1025 J Ejemplo 9. La intensidad de un rayo lser cilndrico es de 0,800 W/m2. El rea de seccin transversal del haz es de 3,0 x l0 m2, y la intensidad es uniforme en toda la seccin transversal del haz. a) Cul es la potencia de salida promedio del lser? b) Cul es el valor rms (eficaz) del campo elctrico en el haz? Solucin. a) La potencia media del haz es

IAP = = ( ) )100,3(800,0 4 = 2,4x10-4 W

b) Tenemos que, .21 2

rms02

0 cEcEI mx == Luego,

cIE0

rms = = )1000,3)(1085,8(800,0

812 = 17,4 V/m Ejemplo 10. Una fuente intensa de luz irradia uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 5,0 m de la fuente de radiacin la presin sobre una superficie perfectamente absorbente es de 9,0 x 10-6 Pa. Cul es la potencia media de salida de la fuente? Solucin.

cIp =rad de aqu radcpI = = 2,70x103 W/m2 Luego ( ) 232 )0,5()4(1070.2)4( == rIPm = 8,5x105 W


9

Ejemplo 11. Una onda electromagntica sinusoidal emitida por un telfono celular tiene una longitud de onda de 35,4 cm y una amplitud de campo elctrico de 5,40 x 10-2V/m a una distancia de 250 m de la antena. Calcule a) la frecuencia de la onda; b) la amplitud del campo magntico; c) la intensidad de la onda. Solucin.

a) cf = =

354,01000,3 8

= 8,47 Hz

b) c

EB maxmax = = 81000,3

0540,0 =1,80x10

-10T

c) 02

EBSI av == = ( )( )0

10

21080,10540,0

= 3,87x10-6W/m2 Ejemplo 12. Una fuente de luz monocromtica con una potencia de salida de 60,0 W irradia luz uniformemente en todas direcciones con una longitud de onda de 700 nm. Calcule mxE y

mxB de la luz de 700 nm a una distancia de 5,00 m de la fuente. Solucin.

ASP m= = )4(22

0

2max rc

E 20

max 2 rPcE =

( )2 08)00,5(2 1000,3)0,60( =mxE = 12,0 V/m

cE

B mxmx = = 81000,30,12 = 4,00x10

-8T

Ejemplo 13. Si la intensidad de la luz solar directa en un punto de la superficie terrestre es de 0,78 kW/m2, halle a) la densidad de cantidad de movimiento (cantidad de movimiento por unidad de volumen) promedio de la luz solar; b) la rapidez de flujo de cantidad de movimiento promedio de la luz solar. Solucin. a) La densidad de cantidad de movimiento

2cS

dVdp m= = ( )28100,3 780 = smkg107,8 215

b) La razn de flujo de la cantidad de

movimiento c

Sdtdp

Aav=1 = 8100,3

780 = 2,6x10

-

6Pa Ejemplo 14. En las instalaciones del Simulador Espacial de 25 pies del Jet Propulsion Laboratory de la NASA, una serie de lmparas de arco elevadas produce luz con una intensidad de 2500 W/m2 en el piso de las instalaciones. (Esto simula la intensidad de la luz solar cerca del planeta Venus). Halle la presin de radiacin promedio (en pascal y en atmsferas) sobre a) una seccin totalmente absorbente del piso. b) una seccin totalmente reflectante del piso. c) Halle la densidad de cantidad de movimiento promedio (cantidad de movimiento por unidad de volumen) de la luz en el piso. Solucin. a) Luz absorbida:

cS

dtdp

Ap m== 1rad = 8100,3

2500

= 8,33x10-6 Pa 5

6

rad 10013,11033,8=

p = 8,33x10-11 atm

b) Luz reflejada:

cS

dtdp

Ap m

21rad ==

= 8100.3)2500(2

= 1,67x10-5 Pa

5

5

rad 101,0131067,1=

p = 1,65x10-10atm.

El factor 2 se presenta porque la direccin del vector cantidad de movimiento se invierte con la reflexin. As el cambio en cantidad de movimiento es dos veces la cantidad de movimiento original c) La densidad de cantidad de movimiento

2cS

dVdp m= = ( )28100,3 2500

= sm

kg1078,2 214

Ejemplo 15. Una onda electromagntica sinusoidal se propaga en un vaco en la direccin + z. Si en un instante en particular y en cierto punto del espacio el campo elctrico tiene la direccin + x y una magnitud de 4,00 V/m, cules son la magnitud y direccin del campo


10

magntico de la onda en el mismo punto del espacio y en el mismo instante? Solucin.

cEB mxmx = = 1,33x10-8 T

BE est en la direccin de propagacin. Para E en la direccin + x ,

BE est en la direccin + z cuando

B est en la direccin

+ y . Ejemplo 16. Se establece una onda electromagntica estacionaria en el aire con una frecuencia de 750 MHz entre dos planos conductores separados por una distancia de 80,0 cm. En qu posiciones entre los planos se podra colocar una carga puntual en reposo de modo que permaneciera en reposo? Explique su respuesta. Solucin.

fcx

22

nodos == = )1050,7(21000,3

8

8

= 0,200 m = 20,0 cm Debe haber nodos en los planos, separados 80,0 cm, y hay dos nodos entre los planos, cada uno a 20,0 cm de un plano. Es a 20 cm, 40 cm, y 60 cm que una carga puntual permanece en reposo, puesto que el campo elctrico en esos puntos es cero. Ejemplo 17. Con respecto a una onda electromagntica que se en aire, determine la frecuencia de una onda cuya longitud de onda es de a) 5,0 km; b) 5,0 m; c) 5,0 m; d) 5,0 nm. Solucin.

a) 5000

103,0

8== cf = 6,0x104Hz

b) 5,0

103,0

8== cf = 6,0x107Hz

c) 6-8

105,0103,0

== cf = 6,0x1013Hz

d) 9-8

105,0103,0

== cf = 6,0x1016Hz

EL ESPECTRO ELECTROMAGNTICO.

Las ondas electromagnticas cubren una amplia gama de frecuencias o de longitudes de ondas y pueden clasificarse segn su principal fuente de produccin. La clasificacin no tiene lmites precisos. Regin del espectro Intervalo de

frecuencias (Hz) Radio-microondas 0 - 3,0x1012 Infrarrojo 3,0x1012 - 4,6x1014 Luz visible 4,6x1014 -7,5x1014 Ultravioleta 7,5x1014 - 6,0x1016 Rayos X 6,0x1016-1,0x1020 Radiacin gamma 1,0x1020 -. Fuente: Leonberger. Revealing the small range of radio-microwave frequencies. Phys. Educ. Vol. 37, September 2002, pp. 425-427 CARACTERSTICAS DE LAS DISTINTAS REGIONES DEL ESPECTO Las ondas de radiofrecuencia Sus frecuencias van de 0 a 109 Hz, se usan en los sistemas de radio y televisin y se generan mediante circuitos oscilantes. Las ondas de radiofrecuencia y las microondas son especialmente tiles por que en esta pequea regin del espectro las seales producidas pueden penetrar las nubes, la niebla y las paredes. Estas son las frecuencias que se usan para las comunicaciones va satlite y entre telfonos mviles. Organizaciones internacionales y los gobiernos elaboran normas para decidir que intervalos de frecuencias se usan para distintas actividades: entretenimiento, servicios pblicos, defensa, etc. La regin denominada AM comprende el intervalo de 530 kHz a 1600 kHz, y la regin denominada FM de 88 MHz a 108 MHz. La regin FM permite a las emisoras proporcionar una excelente calidad de sonido debido a la naturaleza de la modulacin en frecuencia.


11

Las microondas Se usan en el radar y otros sistemas de comunicacin, as como en el anlisis de detalles muy finos de la estructura atmica y molecular. Se generan mediante dispositivos electrnicos. La radiacin infrarroja Se subdivide en tres regiones, infrarrojo lejano, medio y cercano. Los cuerpos calientes producen radiacin infrarroja y tienen muchas aplicaciones en la industria, medicina, astronoma, etc. La luz visible Es una regin muy estrecha pero la ms importante, ya que nuestra retina es sensible a las radiaciones de estas frecuencias. A su vez, se subdivide en seis intervalos que definen los colores bsicos (rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta). Radiacin ultravioleta Los tomos y molculas sometidos a descargas elctricas producen este tipo de radiacin. No debemos de olvidar que la radiacin ultravioleta es la componente principal de la radiacin solar. La energa de los fotones de la radiacin ultravioleta es del orden de la energa de activacin de muchas reacciones qumicas lo que explica muchos de sus efectos. El oxgeno se disocia en la ozonsfera por la accin de la radiacin ultravioleta. Una molcula de oxgeno absorbe radiacin de longitudes de onda en el intervalo entre 1600 y 2400 (o fotones de energa comprendida entre 7.8 eV y 5.2 eV) y se disocia en dos tomos de oxgeno. O2 + fotn O + O El oxgeno atmico producido se combina con el oxgeno molecular para formar ozono, O3, que a su vez se disocia fotoqumicamente por absorcin de la radiacin ultravioleta de longitud de onda comprendida entre 2400 y 3600 (o fotones de energa entre 5,2 eV y 3,4 eV). O3 + fotn O + O2 Estas dos reacciones absorben prcticamente toda radiacin ultravioleta que viene del Sol por lo que solamente llega una pequea fraccin a la superficie de la Tierra. Si desapareciese de la capa de ozono, la radiacin ultravioleta destruira muchos organismos a causa de las reacciones fotoqumicas. La radiacin ultravioleta y rayos X producidos por el Sol interacta con los tomos y molculas presentes en la alta atmsfera produciendo gran cantidad de iones y electrones libres (alrededor de 1011 por m3). La regin de la atmsfera situada a unos 80 km de altura se denomina por este motivo ionosfera. Algunas de las reacciones que ocurren ms frecuentemente son:

NO + fotn NO+ + e (5,3 eV) N2 + fotn N2+ + e (7,4 eV) O2 + fotn O2+ + e (5,1 eV) He + fotn He+ + e (24,6 eV) Entre parntesis se indica la energa de ionizacin. Como resultado de esta ionizacin tienen lugar muchas reacciones secundarias. Rayos X Si se aceleran electrones y luego, se hacen chocar con una placa metlica, la radiacin de frenado produce rayos X. Los rayos X se han utilizado en medicina desde el mismo momento en que los descubri Roentgen debido a que los huesos absorben mucho ms radiacin que los tejidos blandos. Debido a la gran energa de los fotones de los rayos X son muy peligrosos para los organismos vivos. Rayos gamma Se producen en los procesos nucleares, por ejemplo, cuando se desintegran las sustancias radioactivas. Es tambin un componente de la radiacin csmica y tienen especial inters en astrofsica. La enorme energa de los fotones gamma los hace especialmente tiles para destruir clulas cancerosas. Pero son tambin peligrosos para los tejidos sanos por lo que la manipulacin de rayos gamma requiere de un buen blindaje de proteccin. Ejemplo 18. Un espejo pequeo con un rea de 5,00 cm2 frente a una fuente de luz monocromtica situada a 3,20 m de distancia. En el espejo la amplitud de campo elctrico de la luz de la fuente es de 0,0280 V/m. a) Cunta energa incide en el espejo? b) Cul es la presin de radiacin promedio que la luz ejerce sobre el espejo? c) Cul es la salida total de energa radiante te si se supone que irradia uniformemente en todas direcciones? Solucin. a) La energa incidente en el espejo es

IAtPt == Energa = AtcE 2021

E = ( ) (1,00))1000,5(028,0)1000,3(

21 428

0

= 5,0x10-10 J b) La presin de radiacin

20rad

2 EcIp == = ( )20 0280,0

= 6,94x10-15 Pa c) La potencia 24 RIP = = 2rad 2 Rcp P = ( ) 2158 )(3,20)10(6,941000,32


12

= 1,34x10-4 Pa Ejemplo 19. Un lser pequeo de helio y nen emite luz visible roja con una potencia de 3,20 mW en un haz de 2,50 mm de dimetro. a) Cul es la amplitud de los campos elctrico y magntico de la luz? b) Cul es la densidad de energa promedio asociada con el campo elctrico y con el campo magntico? c) Cul es la energa contenida en un tramo del haz de 1,00 m de largo? Solucin. a) La intensidad del laser

2

4DP

API == = 23

3

)10(2,50)104(3,20

= 652 W/m2

Pero 2021 cEI =

cIE

0

2= = )10(3,00

2(6528

0 = 701 V/m

Y cEB = = 8103.00

701 = 2,34x10

-6T

b) 2041

mxEB Euu mm == = 20 )(70141

= 1,09x10-6 J/m3 Observar el factor adicional puesto que estamos haciendo un promedio. c) En un metro de haz lser, la energa total es:

Voltottot uE = = )(2 ALuE = LDuE2

22

4

(1,00))1050,2()1009,1(2 236tot

= E = 1,07x10-11 J Ejemplo 20. Un conductor cilndrico de seccin transversal circular tiene un radio a y una conductividad g , y transporta una corriente constante I. a) Cules son la magnitud y direccin del vector de campo elctrico E en un punto situado dentro del alambre, a una distancia a del eje? b) Cules son la magnitud y direccin del vector de campo magntico B en el mismo punto? c) Cules son la magnitud y direccin del vector de Poynting S en el mismo punto? (La direccin de S es aqulla en la que fluye energa electromagntica hacia adentro o hacia afuera del conductor). d) Con base en el resultado del inciso (c), halle la rapidez de flujo de energa hacia el volumen que ocupa un tramo de longitud l del conductor.

(Sugerencia: Integre S sobre la superficie de este volumen). Compare su resultado con la rapidez de generacin de energa trmica en el mismo volumen. Comente por qu se puede pensar que la energa disipada en un conductor portador de corriente, debido a su resistencia, entra a travs de los lados cilndricos del conductor. Solucin.

a) 2ag

AggJE

ll === , en direccin de la corriente.

b) IdB 0= l aIB 2 0= en sentido

antihorario mirando a la corriente. c) La direccin del vector Poynting BES = , con la corriente en la direccin z. Su magnitud es

0EBS = =

aI

agI

21 0

20

= 322

2 agI

d) Sobre una longitud l , la razn con la que ingresa la energa es

2

2

32

2 22

alal

aSA

ll ==

La prdida de energa trmica es

, 22

22

aIg

AgIRI

ll == que es exactamente igual al flujo de la energa electromagntica. Ejemplo 21. Cierto condensador consiste en dos placas circulares de radio r separadas por una distancia d. Sin tener en cuenta el pestaeo, demuestre que, durante el proceso de carga del condensador. La rapidez de flujo de energa hacia el espacio entre las placas es igual a la rapidez con la que aumenta la energa electrosttica almacenada en el condensador.

(Sugerencia: Integre S sobre la superficie del

volumen cilndrico vaco comprendido entre las placas). Solucin.

riB

2

0= , y 0

qEAdAnES ==

2

0rqE = tal que la magnitud del vector

Poynting es

.22 320

3200 dt

dqr

qr

qiEBS === Ahora, la razn del flujo de energa en la regin entre las placas es:


13

)2( lrSdAnS = = dtdqrq 20l

= dtqd

r)(

21 2

20l

=

2

021 q

Adtd

l

=dt

dUC

qdtd =

2

2

ste es la razn de incremento en la energa electrosttica U almacenada en el condensador. Ejemplo 22. Se puede usar una espira circular de alambre como antena de radio. Si una antena de 18,0 cm de dimetro est situada a 2,0 km de una fuente de 95,0 MHz con una potencia total de 55,0 kW, cul es la fuerza electromotriz mxima que se induce en la espira? (Suponga que el plano de la espira de la antena es perpendicular a la direccin del campo magntico de la radiacin y que la fuente irradia uniformemente en todas direcciones). Solucin. La potencia de la antena es

2

0

2max 4

2rcBIAP == Tal que

crPB 2

0max 4

2= =

)1000,3()2500(4)1050,5(2

82

40

= T1042,2 9 maxmax 2 fBBdtdB ==

= )10(2,42)100,95(2 96 = sT44,1

dtdBD

dtdBA

dtd

4

2 ===

= V0366,04

)44,1()180,0( 2 = Ejemplo 23. Se ha propuesto colocar en rbita terrestre un satlite recolector de energa solar. La potencia recogida se enviara a la Tierra en forma de un haz de radiacin de microondas. En el caso de un haz de microondas con un rea de seccin transversal de 36,0 m2 y una potencia total de 2,80 kW en la superficie terrestre, cul es la amplitud del campo elctrico del haz en la superficie del planeta? Solucin.

202

1 cEAPI ==

cIE

0

2= = )1000,3(

)36/1080,2(28

0

3

= .mV242 Ejemplo 24. Linterna al rescate. Usted es el nico tripulante de la nave espacial interplanetaria T:1339 Vorga, que lleva a cabo misiones de carga entre la Tierra y las colonias mineras del cinturn de asteroides. Cierto da usted est trabajando afuera de la nave, a una distancia de 2,0 UA del Sol. [1 UA (unidad astronmica) es la distancia promedio de la Tierra al Sol: 149 600 000 km.). Por desgracia, usted pierde contacto con el casco de la nave y comienza a alejarse hacia el espacio. Entonces intenta regresar hacia la nave con ayuda de los cohetes de su traje espacial, pero el combustible se agota y los cohetes dejan de funcionar antes que usted consiga regresar a la nave. Se halla usted en una situacin difcil, flotando a 16,0 m de la nave con velocidad cero respecto a ella. Por fortuna, usted tiene una lmpara de 200 W, la cual enciende para utilizar su haz como un cohete de luz que lo impulse de regreso a la nave, a) Si usted, su traje espacial y la lmpara tienen en conjunto una masa de 150 kg, Cunto tiempo tardar en regresar a la nave? b) Existe alguna otra forma de utilizar la lmpara para conseguir el mismo objetivo de regresar a la nave? Solucin. a) Encontrar la fuerza sobre la persona debido a la cantidad de movimiento por la luz:

cIp =rad y ApF rad= da cPcAIF /av==

mcP

mFa mx == = )10)(3,00150(

2008

= 4,44x10-9 m/s2 Luego 21200 tatvxx xx += da

xaxx

t)(2 0= = ( ) 91044,4

0,162

= 8,49 x 104 s = 23,6 h La fuerza de la radiacin es muy pequea. En el clculo hemos no se ha tomado en cuenta cualquier otra fuerza obre la persona. b) Podras lanzar la linterna en la direccin fuera de la nave. Por la conservacin de la cantidad de movimiento lineal te moveras hacia


14

la nave con la misma magnitud de la cantidad de movimiento que diste a linterna. Ejemplo 25. El inventor Nikola Tesla, del siglo XIX, propuso transmitir energa elctrica por medio de ondas electromagnticas sinusoidales. Suponga que se pretende transmitir energa elctrica en un haz con un rea de seccin transversal de 100 m2. Qu amplitudes de campo elctrico y magntico se requieren para transmitir una cantidad de potencia equivalente a la que manejan las lneas de transmisin modernas, las cuales tienen voltajes y corrientes del orden de 500 kV y 1000A? Intensidad I , corriente i . Solucin.

IAP = 2021 cE

API ==

cA

VicA

PE00

22 ==

cA

ViE0

2= =

( )( )( ) ( )80

5

1000,310010001000,52

= mV106,14 4

cEB = = T102,05

103,00106,14 4

8

4

=

Ejemplo 26. El espacio interplanetario contiene muchas partculas pequeas conocidas como polvo interplanetario. La presin de radiacin proveniente del Sol fija un lmite inferior al tamao de estas partculas de polvo. Para comprender el origen de este lmite, considere una partcula esfrica de polvo de radio R y densidad de masa p. a) Escriba una expresin de la fuerza gravitatoria que el Sol (masa M) ejerce sobre la partcula cuando sta se halla a una distancia r del Sol. b) Sea L la luminosidad del Sol, equivalente a la rapidez con la que emite energa en forma de radiacin electromagntica. Halle la fuerza que se ejerce sobre la partcula (totalmente absorbente) debido a la presin de radiacin solar. El rea pertinente es el rea de seccin transversal de la partcula, no su rea total. Como parte de su respuesta, explique por qu es as. c) La densidad de masa de una partcula representativa de polvo interplanetario es de alrededor de 3000 kg/m3. Halle el radio de partcula R con el que las fuerzas gravitatoria y de radiacin que actan sobre la partcula son de igual magnitud. La luminosidad del Sol es de 3,0

x1026 W. Depende su respuesta de la distancia entre la partcula y el Sol? Por qu? d) Explique por qu es poco probable hallar en el Sistema Solar partculas de polvo con un radio menor que el calculado en el inciso (c). [Sugerencia: Construya la relacin de las dos expresiones de fuerza halladas en los incisos (a) y (b)]. Solucin.

a) 2rmGM

F SG = = 34 3

2

Rr

GM S

= 23

34

rRGM S

b) Si se asume que la radiacin del sol es interceptada por la seccin transversal de la partcula, podemos escribir la fuerza sobre la partcula como:

cIAF = =

cR

rL 2

24

= 22

4crLR

c) Si la fuerza de la gravedad y la fuerza de la presin de la radiacin en una partcula del sol son iguales, podemos resolver para el radio de la partcula:

FFG = 22

2

3

434

crLR

rRGM S =

cGM

LRS16

3=

)10(3,0)mkg(3000)10(2,0)10(6,716)109,3(3

833011

26

= R

m109.1 7=R d) Si la partcula tiene un radio ms pequeo que lo encontrado en la parte (c), entonces la presin de la radiacin supera la fuerza gravitacional y tiene como resultado una aceleracin alejndose del sol, de esta manera quita tales partculas del Sistema Solar. Ejemplo 27. La NASA est considerando seriamente el concepto de navegacin solar a vela. Un velero solar utiliza una vela grande, de poca masa, y la energa y la cantidad de movimiento de la luz solar para impulsarse. a) Cmo debe ser la vela: absorbente o reflectante? Por qu? b) La produccin total de potencia del Sol es de 3,9 x 1026W. De qu tamao debe ser una vela para impulsar un vehculo espacial de 10000kg contra la fuerza gravitatoria del Sol? Exprese su resultado en kilmetros cuadrados. c) Explique por qu su respuesta al inciso (b) es independiente de la distancia respecto al Sol.


15

Solucin. a) La transferencia de la cantidad de movimiento es siempre mayor cuando se utilizan superficies reflectoras (considere una bola que choca con una pared, la pared ejerce una mayor fuerza si la bola rebota en lugar de pegarse). Tal que en navegacin solar es mejor utilizar una vela reflectora. b) La ecuacin para la repulsin viene de equilibrar la fuerza gravitacional y la fuerza de la presin de la radiacin. Segn lo visto en el problema anterior, lo ltimo es:

crLAF 2rad 4

2= As: radFFG =

crLA

rmGM S

22 42= L

mcGMA S2

4= 26

83011

10(2)3.9)10(3,0)(10000)10(2,0)10(6,74

=

A

26 m10648=A = 2km6,48 c) Esta respuesta es independiente de la distancia del sol desde que la fuerza gravitacional y la presin de la radiacin disminuyen con el cuadrado de la distancia, y la distancia se cancela del problema

.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. a) Demostrar que la ecuacin ( )tkxEE yy = sen0 puede escribirse en la forma ( )ctxkEE yy = sen0 , siendo kc

= . En qu sentido se mueve esta onda? b) Sustituir esta funcin en la ecuacin

2

2

002

2

tE

xE yy

=

y demostrar que se satisface esta ecuacin si

00

1=c .

c) Utilizar los valores conocidos de 0 y 0 en unidades SI para demostrar que

00

1 vale

aproximadamente 3x108 m/s. Respuesta a) La onda se est moviendo en la direccin x. 2. a) Demostrar que el valor medio cuadrtico del campo elctrico en una onda a relacionado con la intensidad I por cIErms 0= b) Demostrar que

cE

B rmsrms = . 3. Una onda electromagntica tiene una intensidad I =100 W/m2. Hallar rmsE y rmsB . Respuesta

rmsE = 194 V/m, rmsB = 6,47 mG

4. Demostrar que el vector de Poynting

0

= BES tiene unidades de W/m2. 5. La amplitud de una onda electromagntica es

0E = 400 V/m. Hallar a) 0B , b) la densidad de energa electromagntica total media y c) la intensidad. Respuesta a) 13,3 mG, b) 7,08x10-7 J/m3, c) 212 W/m2. 6. Un haz de lser tiene un dimetro de 1,0 mm y una potencia media de 1,5mW. Hallar la intensidad del haz y rmsE y rmsB . Respuesta I = 1,91 kW/m2, rmsE = 849 V/m, rmsB = 28 mG

7. a) Deducir la ecuacin t

Ex

B yz=

00 .

(b) Eliminar E de las ecuaciones

tB

xE zy

=

00 y t

Ex

B yz=

00 para

obtener la ecuacin de onda correspondiente a zB .

8. Una fuente o foco puntual emite radiacin uniformemente en todas direcciones.


16

a) Demostrar que si m es su potencia media, la

intensidad a una distancia r es 24 rP

I m= . b) Si la intensidad de la luz solar que incide sobre las capas superiores de la atmsfera terrestre es 1400 W/m2, hallar la emisin de potencia del Sol c) Hallar rmsE y rmsB debido al Sol en las capas superiores de la atmsfera terrestre. Respuesta b) 3,9x1026 W c) rmsE = 726 V/m, rmsB = 24,2 mG 9. Suponer que un foco incandescente de 100 W es un foco puntual que radia uniformemente en todas direcciones. a) Hallar la intensidad del foco a 1,0 m. b) Suponiendo que la onda es plana, hallar rmsE y rmsB a esta distancia. 10. Por un conductor cilndrico largo de radio a y resistividad circula una corriente constante I

distribuida uniformemente en toda su seccin recta. a) Utilizar la ley de Ohm para relacionar el

campo elctrico E en el conductor con

I, y a. b) Hallar el campo magntico

B en el exterior y

junto al conductor. c) En ar = (superficie del conductor) utilizar los resultados de las partes (a) y (b) para calcular

el vector Poynting 0

= BES . Qu sentido

tiene S ?

d) Hallar el flujo de S a travs de la superficie

del conductor de longitud L y rea aL2 y demostrar que la potencia que entra en el conductor es igual a RI 2 , siendo R la resistencia.

151456508 Fisica 3 Por Hugo Medina Guzman Capitulo 6 Las Ecuaciones de Maxwell y Ondas...

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