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ESCUELA DEINGENIERÍA

COLECCIÓNACADÉMICA

CA

EAFIT Roberto Rochel Awad

Roberto Rochel Awad

Ro

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Ro

ch

el

Aw

ad Análisis y diseño

sísmico de edificios

An

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edif

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s

Ingeniero Civil de la Universidad de la Salle, Magíster en Estructuras de la Universidad Nacional de Colombia, profesor invitado de la Universidad del Norte en Barranquilla, Universi-dad Industrial de Santander, en Bu-caramanga, y Universidad Nacional, Sede Medellín. Expresidente de la Asociación de Ingenieros Estructu-rales de Antioquia, Profesor Emérito de la Universidad EAFIT, donde ha sido jefe de la carrera de Ingeniería Civil y decano encargado de la Escue-la de Ingeniería en varias ocasiones. Actualmente es docente de tiempo completo de la carrera de Ingeniería Civil de la Universidad EAFIT.

Autor del libro Hormigón reforzado publicado por este mismo Fondo Editorial.

En el presente texto se ilustra el procedimiento de análisis y

diseño sísmico de un edificio de acuerdo con el Reglamento

Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes, NSR-10.

Se desarrolla un modelo analítico lineal de pórticos tridimen-

sionales, se analiza una estructura en el espacio y se ilustra y

desarrolla el diseño y detalle de los diferentes elementos que

lo conforman como son las columnas, vigas, nudos y muros.

No sólo se aplica la norma sino que se discuten sus dispo-

siciones y se compara con las normas de otros países.

Roberto Rochel Awad

Análisis y diseño sísmico de edificios

Segunda edición: abril de 2012

Segunda reimpresión: noviembre de 2012

© Roberto Rochel Awad

© Fondo Editorial Universidad EAFIT

Carrera 48A # 10 Sur- 107, Tel. 261 95 23

www.eafit.edu.co/fondoeditorial

Correo electrónico: [email protected]

ISBN: 978-958-720-117-8

Diseño de colección: Miguel Suárez

Fotografía de carátula: Robinson Henao, Edificio de Ingenierías, Universidad EAFIT.

Editado en Medellín, Colombia

Análisis y diseño sísmico de edificios

Rochel Awad, Roberto

Análisis y diseño sísmico de edificios / Roberto Rochel Awad. --

Medellín : Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2012.

388 p. ; 22 cm. -- (Colección académica)

Incluye referencias bibliográficas.

ISBN 978-958-720-117-8

1. Ingeniería sísmica. 2. Diseño sismo resistente 3. Diseño de

Estructuras 4. Construcciones sismo resistentes - Diseño I. Tít. II. Serie.

693.85 cd 21 ed.

A1332098

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Tabla de contenido

Capítulo 1

Fundamentos del diseño sísmico de edificios

1.1 Aspectos generales del diseño sísmico ............................... 25

1.2 Filosofía del diseño sismo resistente .................................. 27

1.3 Solicitaciones sísmicas .......................................................... 28

1.4 Amenaza sísmica .................................................................... 31

1.4.1 Espectro de respuesta sísmica ...................................... 34

1.4.2 Espectro elástico de diseño ........................................... 41

1.4.3 Espectro inelástico de diseño ....................................... 45

1.5 Configuración estructural de la edificación y coeficiente

de capacidad de disipación de energía para ser empleado

en el diseño, R ........................................................................ 84

1.5.1 Asimetrías del sistema estructural de resistencia

sísmica ............................................................................ 84

1.5.2 Redundancia del sistema estructural de resistencia

sísmica ............................................................................ 91

1.5.3 Recomendaciones para una buena estructuración ....... 92

1.6 Evaluación de la deriva máxima .......................................... 96

1.6.1 Límites de la deriva máxima ......................................... 96

1.6.2 Separación entre estructuras adyacentes por

consideraciones sísmicas ............................................... 97

Capítulo 2

Filosofía del diseño sísmico

2.1 Sistemas estructurales .......................................................... 101

2.1.1 Sistema de muros .......................................................... 102

2.1.2 Sistema de pórticos dúctiles a flexión .......................... 103

2.1.3 Sistema de pórticos ....................................................... 103

2.1.4 Sistema dual .................................................................. 104

2.1.5 Sistema combinado ....................................................... 105

2.2 Métodos de análisis ............................................................... 106

2.2.1 Método de la Fuerza Horizontal Equivalente .............. 108

2.2.2 Método del análisis dinámico elástico .......................... 108

2.3 Aspectos generales del diseño sísmico ............................... 109

2.3.1 Comportamiento de las estructuras hiperestáticas ...... 111

2.3.2 Ejemplo numérico ......................................................... 113

2.4 Filosofía del diseño sísmico según la NSR-10 .................. 116

2.5 Procedimiento para el diseño a flexión de vigas y

columnas .................................................................................. 119

2.5.1 Diseño a flexión de vigas ............................................... 119

2.5.2 Diseño a flexo-compresión de columnas ...................... 119

2.6 Procedimiento para el diseño a cortante de vigas y

columnas .................................................................................. 121

2.6.1 Estructuras con Demanda Moderada de Ductilidad

(DMO)........................................................................... 121

2.6.2 Estructuras con Demanda Especial de Ductilidad

(DES) ............................................................................ 125

Capítulo 3

Análisis tridimensional

3.1 Introducción ............................................................................ 129

3.2 Hipótesis del modelo matemático ...................................... 130

3.3 Definiciones ............................................................................ 132

3.4 Sistema global de coordenadas ............................................ 133

3.5 Procedimiento de análisis, diagrama de flujo .................... 134

3.6 Matriz de rigidez de la estructura ....................................... 135

3.6.1 Fundamentos ................................................................. 135

3.6.2 Desplazamientos de los entrepisos ............................... 137

3.6.3 Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas

globales .......................................................................... 138

3.7 Vector de cargas ...................................................................... 140

3.7.1 Coordenadas del centro de cortante ............................. 140

3.7.2 Coordenadas del centro de torsión ............................... 141

3.7.3 Excentricidades estáticas y de diseño .......................... 143

3.7.4 Momentos torsores ........................................................ 146

3.8 Análisis de los pórticos planos ............................................. 147

3.8.1 Desplazamientos de los entrepisos ............................... 147

3.8.2 Desplazamientos de los pórticos planos ....................... 148

3.8.3 Cortantes y fuerzas sísmicas en los pórticos................. 148

3.9 Control de derivas .................................................................. 149

3.10 Ejemplo .................................................................................... 149

3.11 Análisis del período natural de vibración, T. ..................... 185

3.11.1 Métodos empíricos ........................................................ 185

3.11.2 Método de análisis dinámico ........................................ 186

3.11.3 Método de Rayleigh ...................................................... 188

3.11.4 Restricciones de la NSR-10 .......................................... 190

3.11.5 Revisión del período ...................................................... 191

Capítulo 4

Análisis y diseño de vigas

4.1 Introducción ............................................................................ 193

4.2 Materiales ................................................................................ 195

4.3 Requisitos de diseño ............................................................. 196

4.3.1 Requisitos geométricos ................................................. 196

4.3.2 Requisitos generales para el refuerzo longitudinal ...... 197

4.3.3 Detallado del refuerzo en flexión ................................. 200

4.4 Tuberías embebidas ............................................................... 217

4.5 Sistema de losas aligeradas o nervadas ............................... 218

4.6 Requisitos de diseño sismo resistente para vigas,

NSR-10 .................................................................................... 223

4.7 Ejemplo de diseño ................................................................. 229

4.8 Comentarios sobre la NSR-10 ............................................. 255

4.8.1 Secciones críticas para el diseño del refuerzo

negativo .......................................................................... 255

4.8.2 Longitud de desarrollo para barras terminadas con

gancho estándar, estructuras con demanda especial

de ductilidad............................................. ..................... 255

4.8.3 Espesores mínimos de vigas y columnas en uniones

interiores, estructuras con demanda moderada

de ductilidad.......................................... ........................ 256

4.8.4 Método para evaluar el cortante de diseño en vigas

de estructuras con demanda moderada de ductilidad,

DMO ................................................................................ 257

4.8.5 Factor de seguridad a cortante para estructuras

aporticadas con demanda moderada de ductilidad ...... 258

4.8.6 Zonas de traslapos en vigas de estructuras con demanda

moderada de ductilidad ................................................. 259

Capítulo 5

Análisis y diseño de columnas

5.1 Definición ................................................................................ 261

5.2 Requisitos geométricos ......................................................... 261

5.3 Requisitos para el refuerzo ................................................... 262

5.3.1 Refuerzo longitudinal .................................................... 262

5.3.2 Refuerzo transversal ...................................................... 265

5.4 Longitud de diseño, Lu ......................................................... 271

5.5 Cambios de sección ............................................................... 272

5.6 Requisitos de diseño ............................................................. 274

5.6.1 Requisitos generales ...................................................... 274

5.6.2 Requisitos de diseño a flexión ...................................... 275

5.6.3 Requisitos de diseño a cortante .................................... 277

5.6.4 Empalmes o traslapo del refuerzo ................................. 279

5.7 Ejemplo de diseño ................................................................. 282

5.8 Especificaciones de diseño para columnas, NSR-10 ....... 295

Capítulo 6

Uniones viga-columna

6.1 Introducción ............................................................................ 305

6.2 Criterios de diseño ................................................................. 307

6.3 Comportamiento esperado de las uniones ........................ 307

6.4 Clasificación de los nudos .................................................... 309

6.4.1 Según su geometría y su confinamiento ....................... 309

6.4.2 Clasificación del ACI según su comportamiento ........... 310

6.4.3 Clasificación de la NSR-10 según su

comportamiento ............................................................ 312

6.5 Análisis de los nudos para estructuras con ductilidad

especial .................................................................................... 313

6.5.1 Nudos interiores ............................................................ 313

6.5.2 Nudos exteriores ........................................................... 317

6.5.3 Nudos de esquina .......................................................... 319

6.6 Diseño de las uniones viga-columna .................................. 320

6.6.1 Secciones críticas ........................................................... 320

6.6.2 Longitud de desarrollo .................................................. 321

6.6.3 Fuerza cortante en los nudos interiores ........................ 323

6.6.4 Resistencia del hormigón a tensiones cortantes .......... 326

6.6.5 Refuerzo transversal en los nudos ................................. 328

6.7 Las uniones en los planos de construcción ....................... 329

6.8 Especificaciones de diseño para los nudos ........................ 330

6.9 Ejemplo de diseño ............................................................ 334

6.10 Observaciones sobre la NSR-10 .......................................... 340

Anexo A

Teoría general de columnas

7.1 Columnas uniaxiales .............................................................. 341

7.1.1 Tipos de refuerzo .......................................................... 341

7.1.2 Tipos de columnas ......................................................... 341

7.1.3 Columnas rectangulares uniaxiales, simétricas,

con refuerzo en dos caras .............................................. 342

7.2 Columnas biaxiales ................................................................ 353

7.2.1 Método de la superfice de falla ..................................... 355

7.3 Ejercicios ................................................................................. 359

Referencias bibliográficas ................................................................ 383

Índice de tablas

Tabla 1.1 Valores de Aa y A

v para algunas ciudades capitales de

departamento, para otras ciudades véase el Apéndice

A-4 de la NSR-10 ......................................................................... 34

Tabla 1.2 Valores del coeficiente de importancia ....................................... 50

Tabla 1.3 Clasificación de los perfiles del suelo ......................................... 52

Tabla 1.4 Criterios para clasificar suelos dentro de los perfiles

de suelo tipo C, D o E ................................................................. 53

Tabla 1.5 Valores del coeficiente Fa, para zonas de períodos cortos

del espectro .................................................................................. 53

Tabla 1.6 Valores del coeficiente Fv, para zonas de períodos intermedio

del espectro .................................................................................. 54

Tabla 1.7 Valores del coeficiente Ct, y a para el cálculo del período

aproximado Ta ............................................................................... 55

Tabla 1.8 Valores del coeficiente básico debido a la redundancia, Ro� ....... 62

Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10,

Tabla A.3-1 ................................................................................... 67

Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 ............... 70

Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10,

Tabla A.3.3 .................................................................................... 75

Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 ..................... 79

Tabla 1.13 Mezcla de sistemas estructurales en altura ................................ 88

Tabla 1.14 Derivas máximas como porcentaje de hpi .................................... 97

Tabla 1.15 Separación sísmica mínima en la cubierta entre edificaciones

colindantes que no hagan parte de la misma construcción ........ 98

Tabla 2.1 Proporcionamiento de sobre resistencia .................................... 114

Tabla 2.2 Sobre-resistencia residual ............................................................ 115

Tabla 2.3 Especificaciones para diseño a flexión de columnas según

la NSR-10 ..................................................................................... 120

Tabla 2.4 Especificaciones para diseño a cortante de vigas según

la NSR-10 ..................................................................................... 126

Tabla 2.5 Especificaciones para diseño a cortante de columnas según

la NSR-10 ..................................................................................... 126

Tabla 4.1 Dimensiones de los ganchos estándar ........................................ 202

Tabla 4.2 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para

satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con

gancho estándar a 90°, DMI y DMO ............................................... 204

Tabla 4.3 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para

satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con

gancho estándar a 90°, DES .......................................................... 205

Tabla 4.4 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo

sin recubrimiento epóxico (�e = 1.0), hormigón de peso normal

(l=1.0), fy=4,200 kgf/cm2, f ’

c=210 kgf/cm2. Estructuras

con demanda mínima, DMI y moderada DMO de ductilidad ........ 206


sin recubrimiento epóxico (�e = 1.0), hormigón de peso normal

(l=1.0), fy=4,200 kgf/cm2, f ’

c=210 kgf/cm2. Estructuras

con demanda especial de ductilidad, DES ................................... 207

Tabla 4.6 Requisitos geométricos para las vigas.......................................... 223

Tabla 4.7 Refuerzo longitudinal en vigas .................................................... 224

Tabla 4.8 Refuerzo transversal en vigas ....................................................... 226

Tabla 4.9 Tensiones cortantes en vigas ....................................................... 228

Tabla 5.1 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas

a tracción, estructuras con demanda mínima, DMI; y demanda

moderada, DMO, de ductilidad, �t = 1.0, �

e = 1.0 ...................... 280

Tabla 5.2 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas

a tracción, estructuras con demanda especial, DES, de ductilidad,

cálculo según literal (a) ............................................................... 282

Tabla 5.3 Requisitos geométricos ................................................................ 295

Tabla 5.4 Resistencia mínima a la flexión de las columnas ........................ 296

Tabla 5.5 Refuerzo longitudinal en las columnas ....................................... 297

Tabla 5.6 Refuerzo transversal en las columnas .......................................... 298

Tabla 5.7 Requisitos para refuerzo a cortante en columnas ....................... 303

Tabla 6.1 Altura mínima para vigas o columnas basadas en la adherencia de

refuerzo longitudinal que pasa a través de un nudo interior ...... 317

Tabla 6.2 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de

anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar,

DMI y DMO .................................................................................... 322

Tabla 6.3 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones

de anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho

estándar, DES ................................................................................ 323

Tabla 6.4 Valores de g para el cálculo de la resistencia a cortante de las

uniones viga-columna .................................................................. 326

Tabla 6.5 Requisitos generales para el diseño de las uniones

viga-columna ................................................................................ 330

Tabla 6.6 Requisitos para el refuerzo transversal en las uniones

viga-columna ................................................................................ 331

Tabla 6.7 Requisitos para el diseño a cortante en las uniones

viga-columna ................................................................................ 332

Tabla 6.8 Requisitos para el desarrollo del refuerzo dentro de las uniones

viga-columna ................................................................................ 333

Tabla 7.1 Cálculo de los puntos que definen el diagrama de interacción . 351

Índice de figuras

Figura 1.1 Propagación de la energía sísmica desde el hipocentro o foco

hasta la estructura ..................................................................... 31

Figura 1.2 Mapa de amenaza sísmica en Colombia ................................... 33

Figura 1.3 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento ........... 35

Figura 1.4 Espectro de respuesta de desplazamiento ............................... 38

Figura 1.5 Espectro de aceleraciones, sismo de El Centro, California,

mayo 18 de 1940 ........................................................................ 39

Figura 1.6 Espectro de respuesta de aceleraciones ................................... 40

Figura 1.7 Espectro elástico promedio de aceleraciones ........................... 42

Figura 1.8 Espectro de diseño suavizado ................................................... 43

Figura 1.9 Espectro elástico de diseño para Colombia, NSR-10,

Sec. A.2.6 ................................................................................... 45

Figura 1.10 Procedimientos simplificados para obtener espectros inelásticos

de diseño ................................................................................... 46

Figura 1.11 Espectro de diseño inelástico para Colombia, NSR-10,

Sec. A.2.6 ................................................................................... 46

Figura 1.12 Comportamiento de una estructura aporticada ante cargas

monotónicas............................................................................... 47

Figura 1.13 Modificación de la respuesta debido a la ductilidad ................ 57

Figura 1.14 Criterio de igualdad de desplazamientos ................................. 58

Figura 1.15 Criterio de igualdad de energía ................................................ 59

Figura 1.16 Variación del factor Rom

con la ductilidad y el período ............. 60

Figura 1.17 Sistemas estructurales de pórticos y de muros de carga .......... 64

Figura 1.18 Sistemas estructurales dual ...................................................... 65

Figura 1.19 Irregularidades en planta .......................................................... 89

Figura 1.20 Irregularidades en altura ........................................................... 90

Figura 1.21 Derivas de entrepiso ................................................................. 96

Figura 1.22 Medición de la separación sísmica (vista en elevación) .......... 99

Figura 2.1 Viga hiperestática de dos luces continuas ................................ 112

Figura 2.2 Viga continua de dos luces con articulación plástica en

el apoyo B .................................................................................. 112

Figura 2.3 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo

B y la L2 ..................................................................................... 113

Figura 2.4 Demanda de resistencia a la flexión en t-m ............................. 113

Figura 2.5 Formación de la primera articulación plástica en el apoyo B ... 115

Figura 2.6 Diferentes tipos de mecanismos de falla en estructuras

aporticadas de hormigón reforzado ........................................... 116

Figura 2.7 Equilibrio de momentos en un nudo, SMcol

= SMvig

............... 119

Figura 2.8 Cortante de diseño en vigas y columnas .................................. 123

Figura 2.9 Cortante en las columnas Vc = (M

vi + M

vd) / H ...................... 127

Figura 3.1 Los efectos sísmicos se analizan independientemente en dos

direcciones ortogonales ............................................................. 131

Figura 3.2 Sistema global de coordenadas ................................................. 133

Figura 3.3 Diagrama de flujo ...................................................................... 134

Figura 3.4 Efectos de las acciones sísmicas sobre las estructuras ............. 135

Figura 3.5 Análisis de la torsión, momento torsor ..................................... 136

Figura 3.6 Distancia del pórtico j al origen de coordenadas, rj ................. 136

Figura 3.7 Desplazamientos del entrepiso, nivel i-ésimo ........................... 137

Figura 3.8 Vista en planta del pórtico j en el nivel i-ésimo de una

estructura cualquiera ................................................................ 137

Figura 3.9 Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función de los

desplazamientos del nivel i ....................................................... 138

Figura 3.10 Fuerza aplicada al pórtico j para producir el

desplazamiento dji ..................................................................... 139

Figura 3.11 Análisis del sismo en X .............................................................. 142

Figura 3.12 Análisis del sismo en Y .............................................................. 143

Figura 3.13 Excentricidades de diseño según las diferentes normas ......... 145

Figura 3.14 Análisis del sismo en X .............................................................. 146

Figura 3.15 Análisis del sismo en Y .............................................................. 147

Figura 3.16 Desplazamientos de los nudos.................................................. 148

Figura 3.17 Cortantes y fuerzas horizontales .............................................. 148

Figura 4.1 Requisitos geométricos para las vigas de pórticos dúctiles

de hormigón reforzado .............................................................. 197

Figura 4.2 Envolvente de momentos para vigas de pórticos dúctiles

de hormigón ............................................................................... 197

Figura 4.3 Zonas confinadas y de traslapos en vigas de pórticos resistentes

a momentos, DMO y DES ............................................................ 198

Figura 4.4 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda

especial de ductilidad, DES ....................................................... 199

Figura 4.5 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda

moderada de ductilidad ............................................................ 200

Figura 4.6 Recubrimiento y separación del refuerzo longitudinal

en vigas ...................................................................................... 200

Figura 4.7 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos

exteriores .................................................................................. 202

Figura 4.8 Dimensiones mínimas de vigas y columnas para anclaje en

nudos exteriores ........................................................................ 202

Figura 4.9 Desarrollo del refuerzo negativo en un apoyo interior............. 209

Figura 4.10 Diagrama de momentos flectores con inversión en el apoyo

central ........................................................................................ 209

Figura 4.11 Dimensiones mínimas de vigas y columnas en uniones

interiores, pórticos de hormigón con DES ................................. 210

Figura 4.12 Diagrama de momentos flectores sin inversión en el apoyo

central ........................................................................................ 211

Figura 4.13 Estribos de confinamiento ........................................................ 212

Figura 4.14 Acciones en las vigas de pórticos dúctiles debidas al efecto

simultáneo de cargas de gravedad y cargas sísmicas ................ 213

Figura 4.15 Superposición de los efectos de cortante en una viga dúctil

de hormigón reforzado .............................................................. 214

Figura 4.16 Dimensiones mínimas de losas aligeradas ................................ 218

Figura 5.1 Requisitos geométricos para las columnas ............................... 262

Figura 5.2 Localización de la zona de traslapos en columnas con DES ..... 263

Figura 5.3 Separación y recubrimiento del refuerzo longitudinal en

columnas .................................................................................... 264

Figura 5.4 Estribos de confinamiento con ganchos sísmicos .................... 265

Figura 5.5 Ejemplo de confinamiento empleando estribos ...................... 267

Figura 5.6 Ejemplo de confinamiento con el empleo simultáneo de estribos

de confinamiento y ganchos suplementarios ........................... 267

Figura 5.7 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares

en pórticos dúctiles de hormigón con demanda mínima de

ductilidad, DMI .......................................................................... 268


en pórticos dúctiles de hormigón con demanda moderada

de ductilidad, DMO .................................................................... 270


en pórticos dúctiles de hormigón con demanda especial

de ductilidad, DES ...................................................................... 270

Figura 5.10 Longitud de diseño de las columnas ........................................ 271

Figura 5.11 Cambios de sección en las columnas ........................................ 273

Figura 5.12 Unión viga-columna de un pórtico con demanda de ductilidad

especial ...................................................................................... 276

Figura 5.13 Cortante de diseño para columnas con DES ............................. 277

Figura 5.14 Análisis de los cortantes en las columnas de ductilidad

moderada a partir del método de Bowman, suponiendo

la ubicación de los puntos de inflexión de columnas en su

punto medio .............................................................................. 278

Figura 6.1 Uniones típicas viga-columna ................................................... 306

Figura 6.2 Fuerzas en una unión viga-columna .......................................... 308

Figura 6.3 (a) Unión interior, (b) Unión exterior, (c) Unión de esquina . 309

Figura 6.4 Requisitos de confinamiento para un nudo interior ................ 310

Figura 6.5 Requisitos de confinamiento para un nudo exterior ................ 310

Figura 6.6 En los nudos tipo 1, diagrama de momentos dominado por las

cargas gravitacionales, no se esperan deformaciones inelásticas

de importancia ........................................................................... 311

Figura 6.7 Nudos tipo 2, diagrama de momentos dominado por los

efectos sísmicos, se esperan deformaciones inelásticas de gran

importancia ................................................................................ 311

Figura 6.8 Inversión de momentos en una estructura con demanda

especial de ductilidad ............................................................... 313

Figura 6.9 Transferencia de cortante en un mecanismo de puntal en

compresión diagonal .................................................................. 314

Figura 6.10 Mecanismo del puntal diagonal y confinamiento de un

exterior....................................................................................... 317

Figura 6.11 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en

los nudos .................................................................................... 321

Figura 6.12 Fuerzas en los nudos (DMI y DMO) ........................................... 324

Figura 6.13 Fuerzas en los nudos tipo 2 (DES) ............................................. 325

Figura 6.14 Determinación del ancho efectivo, bj, del nudo ...................... 327

Figura 7.1 Tipos de columnas .................................................................... 342

Figura 7.2 Acciones en columnas uniaxiales y biaxiales ............................ 343

Figura 7.3 Acciones mecánicas en los elementos de hormigón

reforzado .................................................................................... 344

Figura 7.4 Diagrama de deformaciones para la condición de falla

balanceada ................................................................................. 345

Figura 7.5 Diagramas de deformación para condición de falla no

balanceada ................................................................................. 346

Figura 7.6 Diagrama de interacción ........................................................... 347

Figura 7.7 Diagrama de interacción dimensional para una cuantía

de 0.015, considerando f ’c=210 kgf/cm2, f

y=4,200 kgf/cm2,

d=34 cm, d’=6 cm ................................................................... 352

Figura 7.8 Familia de curvas de interacción de columnas para cuantías

que varían entre 0.01, curva N.o 1, hasta 0.04, curva N.o 4 ...... 353

Figura 7.9 Flexión uniaxial sobre los ejes Y y X, respectivamente............ 354

Figura 7.10 Flexión biaxial, diagrama tridimensional de interacción ......... 355

Figura 7.11 Método de la superficie de falla para el análisis biaxial de

columnas .................................................................................... 356

Figura 7.12 Diagrama de interacción de columnas biaxiales en la zona de

cargas axiales de tracción .......................................................... 357

Figura 7.13 Plano del diagrama de interacción en el caso de columnas

biaxiales ..................................................................................... 358

Índice de imágenes

Imagen 1.1 En el sismo de El Salvador, en 1986, muchos hospitales

quedaron fuera de servicio ........................................................ 48

Imagen 1.2 En el sismo de Armenia, Colombia, en 1999, las instalaciones

de los bomberos colapsaron ...................................................... 49

Imagen 1.3 Daños en una edificación debido a la flexibilidad del sistema

estructural aporticado.Armenia, Colombia, 1999 ..................... 66

Imagen 1.4 Sistema reticular celulado, no recomendado para zonas con

amenaza sísmica debido a su alta flexibilidad y al mal

comportamiento durante el sismo de México, en 1985........... 66

Imagen 1.5 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría

en planta en forma de U, El Salvador, 1986 ............................. 84


en planta en forma de E, palacio presidencial, Haití, 2010 ..... 85

Imagen 1.7 Las pesadas divisiones tradicionales, ladrillos de arcilla, deben

reemplazarse por divisiones modulares, en yeso, muy

livianas ....................................................................................... 93

Imagen 1.8 La localización de las acometidas de agua, teléfono, luz, gas y

televisión deben ubicarse adecuadamente para no obligar a la

colocación de pesados materiales de nivelación de los pisos ... 93

Imagen 1.9 Colapso en Armenia, Colombia, en 1999. Muros estructurales

dispuestos en una sola dirección .............................................. 94

Imagen 1.10 Daños en acabados por flexibilidad del primer piso, Pereira,

Colombia, 1999 ......................................................................... 95

Imagen 1.11 Daños por separación insuficiente de construcciones vecinas,

Armenia, Colombia, 1999 .......................................................... 99

Imagen 1.12 Daños por separación insuficiente, edificio Facultad de

Ingeniería Universidad de Concepción, Chile, febrero 27

de 2010 ...................................................................................... 100

Imagen 2.1 La disposición asimétrica de muros en edificios de esquina

puede inducir torsión en la estructura ..................................... 101

Imagen 2.2 Sistema estructural con muros de cortante .............................. 102

Imagen 2.3 Sistema estructural con pórticos dúctiles de hormigón .......... 103

Imagen 2.4 Sistema estructural con pórticos de acero arriostrados

(izquierda). Disponibilidad de espacios en una estructura

con pórticos dúctiles de hormigón (derecha) .......................... 104

Imagen 2.5 Limitaciones en la distribución de espacios en un sistema

de muros .................................................................................... 106

Imagen 2.6 Comportamiento dúctil de un edificio de hormigón

reforzado .................................................................................... 111

Imagen 2.7 Las grandes deformaciones de las estructuras dúctiles van

asociadas a graves daños en acabados y en elementos

estructurales .............................................................................. 118

Imagen 2.8 Articulación plástica en vigas .................................................... 124

Imagen 2.9 Fallas de columna corta, Armenia, Colombia, enero de 1999 .. 128

Imagen 3.1 Daños en la mampostería debido a la ductilidad de

la estructura ............................................................................... 182

Imagen 3.2 Falla en los pisos superiores por falta de separación en las

estructuras adyacentes. México D.F. 1985 ............................... 183

Imagen 3.3 Daños por separación insuficiente o inexistente entre

construcciones adyacentes. Armenia, Colombia, 1999 ............ 185

Imagen 4.1 Falla por tensión diagonal, en una viga, debido a

sobrecargas ................................................................................. 216

Imagen 4.2 Colocación prohibida de tuberías atravesando los elementos

de resistencia sísmica, DMO y DES ............................................ 217

Imagen 4.3 Recubrimiento insuficiente del refuerzo de temperatura en

una losa aligerada....................................................................... 219

Imagen 4.4 El recubrimiento insuficiente del refuerzo longitudinal se

manifiesta en una fisura paralela al refuerzo y la posterior

pérdida del recubrimiento ........................................................ 220

Imagen 4.5 Desprendimiento del refuerzo longitudinal en nervios por falta

de recubrimiento y de estribos ................................................. 221

Imagen 4.6 Apoyo extremo de nervios con refuerzo negativo en exceso, lo

cual ocasionó torsión en la viga indicada en la Imagen 4.4 ...... 221

Imagen 4.7 Colapso estructural por torsión en la viga de borde. Obsérvese

la verticalidad de la baranda respecto a la arista de la viga ...... 222

Imagen 4.8 Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999 ........................... 222

Imagen 5.1 En una correcta colocación del gancho de un estribo no debe

quedar espacio entre el estribo y el refuerzo longitudinal;

el alambre de amarre debe doblarse hacia el núcleo de

la columna .................................................................................. 266

Imagen 5.2 Fallas en las columnas por falta de estribos o por excesiva

separación de los mismos. Armenia, Colombia, 1999 .............. 268

Imagen 5.3 Inadecuado inicio de columna en la viga del segundo nivel.


Imagen 5.4 Escandaloso doblez del refuerzo longitudinal en la estructura

del Palacio Municipal de Armenia, Colombia, 1999 ................ 273

Imagen 5.5 Falla por cortante en una columna. Estribos insuficientes,

pandeo del refuerzo longitudinal y hormigón de baja calidad.


Imagen 6.1 Falla por cortante en un nudo de esquina. Armenia,

Colombia, 1999 ......................................................................... 305

Imagen 6.2 Falla en un nudo de esquina por falta de confinamiento

y mala calidad del hormigón. Armenia, Colombia, 1999 .......... 320

25

Capítulo 1

Fundamentos del diseño sísmico de edificios

1.1 Aspectos generales del diseño sísmico

Todo proyecto se inicia con la identificación de una necesidad que re-

quiere algún tipo de construcción para ser satisfecha y con la realización

del estudio socioeconómico que demuestre su factibilidad.

El lugar donde se construirá la nueva edificación no suele estar en

discusión, aunque sea en una zona de alta sismicidad. Toda edificación

debe diseñarse y construirse con especificaciones que ofrezcan garan-

tías en cuanto a su seguridad, funcionalidad, estética, factibilidad y eco-

nomía.

Tomada la decisión de construir, se elabora un anteproyecto arqui-

tectónico del edificio que considere todos los aspectos económicos y

funcionales que llevaron a esa decisión. A partir de esta etapa debe inter-

venir un equipo multidisciplinario que colabore con el arquitecto, quien

debe tener muy en cuenta, desde que empieza a desarrollar sus ideas,

las restricciones impuestas por las instalaciones y equipos que requiere

la operación del edificio y, sobre todo, la necesidad de contar con una es-

tructura, indispensable para dar forma a la construcción, crear los espa-

cios que la constituyen y soportar, segura y económicamente, las cargas y

acciones de otros tipos que actuarán sobre ella durante toda su vida útil.

La seguridad de una edificación es el factor más importante, y está

relacionado con la capacidad de la estructura para resistir las cargas o

solicitaciones máximas posibles que puedan ocurrir durante su vida útil,

sin incurrir en daños excesivos o en colapso parcial o total de la edi-

ficación.

Hay varios tipos de funcionabilidad, las más importantes son la ar-

quitectónica y la estructural. La funcionabilidad arquitectónica está li-

gada a su función misma como edificio y a sus aspectos estéticos, que su-

ponen una configuración o distribución de espacios y formas agradables

26

con el fin de crear un ambiente positivo y productivo para la comunidad

en la cual está localizado y para los usuarios que hacen uso directo de él.

La funcionabilidad estructural, por su parte, se relaciona con las li-

mitaciones por las deformaciones, el fisuramiento y la vibración de los

elementos estructurales, de ella depende que durante su servicio nor-

mal, la edificación no dé la impresión de haber perdido su valor, porque

se considera insegura y poco confortable.

Esta clase de funcionabilidad representa la respuesta de la edifica-

ción durante su vida útil, cuando es sometida a las cargas o solicitaciones

normales; mientras que la seguridad estructural se refiere al comporta-

miento de la edificación durante su vida total (incluyendo el tiempo de

construcción, uso, reparaciones, etc.) cuando se somete a cargas excesi-

vas, como son las cargas vivas altas, las laterales de sismos destructivos y

las de vientos de alta velocidad.

La factibilidad y economía de una edificación no solamente depen-

de de la disponibilidad de capitales, la localización, las condiciones de

soporte y fundaciones, los recursos de materiales y las características

arquitectónicas sino también de su importancia (socio económica-cul-

tural) en la comunidad y de los niveles de seguridad y funcionabilidad

requeridos.

Por otro lado, la configuración de una edificación, y sus detalles ar-

quitectónicos y estructurales, son factores determinantes en su com-

portamiento e influyen en la manera como las fuerzas sísmicas se distri-

buyen en su altura, en la intensidad de esas fuerzas y en la interacción

entre los miembros.

Una vez elegida una configuración deficiente, puede ser difícil ob-

tener un edificio sano, aunque el diseño estructural sea correcto. No

sólo el ingeniero estructural, sino también el arquitecto, deben estar

familiarizados con los efectos que las características de los materiales, la

configuración geométrica y la distribución de elementos de carga y de

rigidez tienen sobre el comportamiento sísmico de los edificios. Y los dos

deben estar conscientes de la responsabilidad que comparten.

Los arquitectos e ingenieros responsables de la creación de una

edificación deben comunicarse e interactuar desde el anteproyecto, du-

rante la construcción y hasta la aceptación de la obra para lograr un di-

seño sismo resistente efectivo y al mismo tiempo un sistema estructural

adecuado que permita la funcionabilidad y estética arquitectónica de la

edificación.

27

1.2 Filosofía del diseño sismo resistente

��

cinturón del Pacífico, del sur de Europa y de Asia– el diseño apropiado

para resistir las cargas inducidas por terremotos es de vital importancia

en cualquier edificación. Los investigadores y profesionales suelen estar

de acuerdo en los siguientes criterios de diseño que permiten definir

conceptualmente la acción sísmica:

��

aquellos sismos de intensidad reducida que ocurran durante su vida

útil.

��

admitiendo que se podría comportar de manera no lineal–, todos

aquellos sismos de intensidad moderada que ocurran durante su

vida útil. Se permiten daños menores como algún fisuramiento a

flexión en el hormigón y pequeñas incursiones de fluencia del acero

de vigas y losas, o fallas en los elementos no estructurales cuya repa-

ración económica sea rápida y factible.

��

que ocurra una sola vez durante su vida útil. Se admiten daños signi-

ficativos en los elementos estructurales, aunque no el colapso de la

estructura. El nivel permitido de daños depende de la importancia

de la edificación: si una edificación es vital para la supervivencia de

la comunidad, como lo son los hospitales, centros de salud, plantas

de energía, agua, teléfonos, etc., el nivel permitido de daños debe

ser mínimo, para así garantizar su funcionamiento después de la

ocurrencia de sismos destructivos.

La norma colombiana NSR-10, en el parágrafo del Artículo 1° expre-

sa que:

Una edificación diseñada siguiendo los requisitos consagrados

en las normas que regulen las construcciones Sismo Resistentes,

debe ser capaz de resistir, además de las fuerzas que le impone

su uso, temblores de poca intensidad sin daño, temblores mo-

derados sin daño estructural, pero posiblemente con algún daño

en elementos no estructurales y un temblor fuerte con daños a

elementos estructurales y no estructurales pero sin colapso.

28

No existe, sin embargo, un claro consenso sobre qué se entiende por

sismo de intensidad reducida, moderada o severa, pues existen varios

factores que los determinan, como localización geográfica, calidad y tipo

de las construcciones existentes, entre otros. Los anteriores criterios son

particularmente difíciles de establecer para estructuras con un compor-

tamiento no lineal, ya que la solicitación que produce la respuesta más

desfavorable es compleja y depende del tipo de estructura. Su objetivo,

sin embargo, está cualitativamente especificado y es ampliamente acep-

tado en el diseño sismo resistente.

Las normas sísmicas actuales prescriben que una estructura someti-

da a sismos moderados puede experimentar daño estructural reparable,

pero no definen claramente el concepto de daño, ni la metodología para

su cuantificación.

Con frecuencia las edificaciones sometidas a sismos severos sufren

daños significativos, que incluso pueden llegar al colapso total de las

mismas. Para el ingeniero estructural es muy importante la predicción y

estimación del daño estructural, aunque las normas sísmicas se refieren

al daño estructural de manera ambigua y establecen indirectamente las

prescripciones para reducirlo, pues sólo propone valores límites para las

derivas laterales. Esto, en general, apunta en la dirección correcta, pero

una mala distribución de rigideces y resistencias relativas entre vigas

y columnas puede cumplir los límites de desplazamiento establecidos

por ella sin reducir el nivel de daño esperado. En consecuencia, es más

racional limitar el daño en forma cuantitativa.

Futuras ediciones de las normas sismo resistentes deben incluir

definiciones precisas del daño estructural, así como recomendaciones

sobre métodos idóneos para su cuantificación y, más aún, valores límites

de daño como requerimiento de un buen diseño.

1.3 Solicitaciones sísmicas

El objeto de una construcción urbana es crear espacios en los que se viva

y trabaje en condiciones adecuadas de seguridad y confort. Para ello, la

estructura debe tener:

�� Resistencia suficiente para soportar la combinación de efectos produ-

cidos por cargas verticales, de viento o sismo.

29

�� Rigidez adecuada para que sus deformaciones, bajo esos efectos,

no sean excesivas, con lo cual se evita el pánico entre los ocupantes

��

en elementos no estructurales y en instalaciones, y se regulan los

efectos de segundo orden, provenientes de la interacción de car-

gas verticales y desplazamientos horizontales, que pueden influir

de manera significativa en la resistencia de estructuras flexibles y

propiciar inclusive fallas por inestabilidad.

�� Ductilidad suficiente para que en caso de que las cargas del sismo

llegasen a superar los valores estimados para el diseño, la estructura

se deforme en el rango inelástico, con graves daños en los elementos

tanto estructurales como no estructurales, pero sin colapsar.

Las cargas muertas y vivas se determinan, en general, con relativa

precisión. En cambio, las incertidumbres relativas a las acciones produ-

cidas por viento y sismo son muy grandes, pues se trata de fenómenos

naturales que el hombre no controla. Sin embargo, los vientos intensos

son frecuentes y se conoce mucho sobre ellos, lo que permite determi-

nar sus valores de diseño de manera confiable; mas no sucede lo mismo

con los sismos, cuyas intensidades y características son impredecibles.

Buena parte de las incertidumbres del diseño en zonas sísmicas, que

hace que difiera de todos los problemas restantes de diseño estructural,

proviene del desconocimiento de las acciones máximas a que puede ver-

se expuesta la construcción.

La base del diseño sísmico de los edificios no es el temblor más

intenso que deberán resistir, que no se conoce, sino los sismos que han

afectado en el pasado el lugar donde se construirán. Como la informa-

��!��"��$�-

das, a lo sumo, que son un instante en la vida de nuestro planeta– poco

se sabe acerca del temblor de diseño.

La intensidad probable del temblor de diseño depende también del

período de retorno que se considere, relacionado con la vida útil de la

construcción; aquí se origina otra fuente de incertidumbre, pues los edi-

ficios no se demuelen cuando termina su vida útil de diseño sino que se

conservan hasta que dejan de ser convenientes económicamente.

La ingeniería estructural en zonas sísmicas se enfrenta con un pro-

blema que, aparentemente, no tiene solución: seleccionar sistemas es-

30

tructurales y dimensionar los elementos que los componen, para que

resistan solicitaciones desconocidas, por medio de mecanismos de res-

puesta que tampoco se comprenden por completo.

La amplitud y el contenido de las frecuencias de las ondas que pro-

duce un sismo en un sitio dado dependen de las características de la

ruptura de la zona de falla, de la magnitud del sismo, de la distancia

en tre ese sitio y la zona donde se generó, de las propiedades mecánicas

del medio que atraviesan para llegar al sitio, y de las características del

suelo en éste. Puede haber amplificaciones y atenuaciones de ondas de

determinadas frecuencias cuando pasan por estratos de suelos con cier-

tas propiedades, con lo que aumenta o disminuye la amplitud de los

movimientos, y su frecuencia varía.

Como las ondas que originan el movimiento del suelo en que se des-

planta una construcción provienen de la zona de ruptura de una falla, lle-

gan al edificio con una dirección determinada, pero las características de

esas ondas, su interacción y los efectos locales, geológicos y topográficos,

hacen que el movimiento real del suelo resulte aleatorio, predominan-

temente horizontal, con algún énfasis direccional, y con un componente

vertical, en las zonas cercanas al epicentro, que puede ser importante.

En lo que se refiere a un edificio determinado, los efectos de un temblor

se ven afectados por las características de las construcciones vecinas, su

geometría, masa y tipo de cimentación.

Por su parte, el estudio de los mecanismos que originan los terre-

motos, y de cómo se trasmiten sus efectos al terreno que rodea a la zona

de ruptura, no les corresponde a los ingenieros estructurales, sino a los

geofísicos, geólogos y sismólogos. En diversas instituciones de inves-

tigación, profesionales y oficiales, existen organismos que realizan los

estudios de sismología, sismicidad y riesgo sísmico, necesarios para de-

terminar las acciones de diseño que se mencionan anteriormente; estos

estudios se ponen en conocimiento de los ingenieros que proyectarán

las estructuras por medio de un reglamento de construcciones, de carác-

ter legal y obligatorio. Toda la información obtenida mediante estudios

laboriosos y complicados, realizados a lo largo de años de mediciones de

temblores reales, de interpretación de la información obtenida y de de-

sarrollo y aplicación de complejos y elegantes modelos matemáticos, se

reduce a dos datos principales, en los que se basa el diseño estructural:

el coeficiente sísmico y el espectro de diseño.

31

El coeficiente sísmico, Cs, es un índice de la acción de diseño; es la

base de los espectros de diseño y se usa directamente para evaluar, con

métodos estáticos, las acciones horizontales que habrán de ser resistidas

por la estructura.

1.4 Amenaza sísmica

Por amenaza sísmica de una zona se entiende cualquier descripción

de los efectos provocados por los terremotos en el suelo de dicha zona

(Udías y Mezcua, 1986; Bertero, 1992). Estos efectos pueden ser re-

presentados mediante la aceleración, la velocidad o el desplazamiento

sísmico del terreno. Para evaluar la amenaza es necesario analizar los fe-

nómenos que ocurren desde la emisión de las ondas sísmicas en el foco,

hasta que dichas ondas alcancen la zona en estudio.

Figura 1.1 Propagación de la energía sísmica desde el hipocentro

o foco hasta la estructura*

*Todas las figuras, imágenes y tablas fueron elaboradas por el autor;

con excepción de la Figura 1.8

En la Figura 1.1 se observa el mecanismo de propagación de la

ener gía de un sismo desde el epicentro hasta la base de una estructura.

Cuando se produce un terremoto con determinadas características (pro-

32

fundidad del foco, mecanismo focal, magnitud, etc.), parte de la energía

disipada se convierte en ondas sísmicas. Al propagarse por el suelo, di-

chas ondas se reflejan, refractan, atenúan o amplifican y llegan en forma

de excitación sísmica, X1, al basamento rocoso que se encuentra debajo

del edificio. Las ondas sufren un nuevo filtrado a través de la función de

transferencia, A, correspondiente a las capas de suelo que se encuentran

entre el basamento y la superficie, por lo que se obtiene la señal X2. De-

bido al fenómeno de interacción suelo-estructura, descrito por una fun-

ción de transferencia I, la señal tendrá nuevos cambios hasta obtenerse

la señal X3, que será la excitación en la base del edificio.

El objetivo del estudio de amenaza sísmica es evaluar el movimien-

to del terreno en un lugar determinado como consecuencia de un te-

rremoto probable o, como mínimo, proporcionar una estimación de la

severidad del mismo (Canas, Pujades y Banda, 1994). Los estudios de

amenaza sísmica a escala regional evalúan el parámetro X1, mientras que

los estudios de microzonificación tienen como objetivo la determinación

de la función de transferencia A, y por ende, la señal X2.

La amenaza sísmica de una región está asociada con una probabili-

dad de excedencia de un parámetro descriptivo del sismo. La NSR-10

seleccionó los siguientes parámetros: la aceleración pico efectiva, Aa, y

la velocidad pico efectiva, Av, calculadas a nivel del basamento rocoso.

Se definen para un nivel de amenaza tal que hay una probabilidad del

10% de que sea excedida en un lapso de cincuenta años, para lo cual el

período de retorno del sismo de diseño resulta ser de 465 años. Esta de-

finición es tomada del Código ATC-3, documento que sirvió de modelo

para la elaboración de la NSR-10.

Para determinar el nivel de amenaza sísmica la edificación debe lo-

calizarse en una de las tres zonas de amenaza sísmica en las cuales se ha

dividido el territorio colombiano (NSR-10, Sec. A.2.3):

�� es el conjunto de lugares en donde tanto

Aa como A

v son inferiores o iguales a 0.10.

�� es el conjunto de lugares en donde

Aa o A

v, o ambos, son mayores que 0.10 y ninguno de los dos excede

de 0.20.

�� es el conjunto de lugares en donde Aa o

Av, o ambos, son mayores que 0.20.

33

Figura 1.2 Mapa de amenaza sísmica en Colombia

Para definir los coeficientes sísmicos, Aa y A

v, debe consultarse la

Tabla A.2.3-2 de la NSR-10 para todas las capitales de departamento,

y su apéndice A-4 para todos los municipios del país. En la Tabla 1.1 se

indican los valores de Aa y A

v esperados en las principales ciudades de

Colombia.

34

Tabla 1.1 Valores de Aa y A

v para algunas ciudades capitales de departamento,

para otras ciudades véase el apéndice A-4 de la NSR-10

Ciudad Aa

Av

Zona de amenaza sísmica

Armenia 0.25 0.25 Alta

Barranquilla 0.10 0.10 Baja

Bogotá D. C. 0.15 0.20 Intermedia

Bucaramanga 0.25 0.25 Alta

Cali 0.25 0.25 Alta

Cartagena 0.10 0.10 Baja

Cúcuta 0.35 0.30 Alta

Ibagué 0.20 0.20 Intermedia

Manizales 0.25 0.25 Alta

Medellín 0.15 0.20 Intermedia

Montería 0.10 0.15 Intermedia

Pasto 0.25 0.25 Alta

Pereira 0.25 0.25 Alta

Popayán 0.25 0.20 Alta

Santa Marta 0.15 0.10 Intermedia

San Andrés, Isla 0.10 0.10 Baja

1.4.1 Espectro de respuesta sísmica

Para poder estimar la respuesta sísmica de una estructura, el ingeniero

civil especialista en estructuras se vale de un modelo matemático en el

cual las propiedades mecánicas y dinámicas sean las mismas que posee

la estructura. Uno de los modelos más simples y más empleados para

estimar la respuesta sísmica de edificios es el sistema de un grado de li-

bertad. Este modelo se caracteriza por ser un sistema dinámico en el que

se concentra la masa participante a una altura equivalente (sólo existe

una masa) (Figura 1.3a).

35

Con fines de ingeniería estructural, el sistema de un grado de liber-

tad está representado como una estructura de un solo piso, en la cual las

columnas no tienen masa, pues ésta se incluye en la masa total, y están

empotradas en su base. Toda su masa se encuentra localizada en la parte

superior del modelo, el cual se considera rígido.

Si a esta estructura se le aplica una fuerza lateral P, que produce

un desplazamiento lateral uo y luego se retira en forma repentina, esta

estructura oscilaría de un lado para otro, con la misma amplitud, en un

movimiento que se conoce de vibración libre no amortiguada. Esto no es

real, ya que, intuitivamente se espera que la amplitud de las oscilaciones

disminuya poco a poco hasta detenerse por completo. Con el objeto de

introducir este fenómeno al sistema de un grado de libertad se le agrega

un elemento que disipa energía. Normalmente el tipo de elemento que

se considera es un amortiguador de tipo viscoso.

Así, entonces, los elementos que forman el sistema de un grado de

libertad son los siguientes: una masa M, una estructura de un piso con

rigidez lateral K y un amortiguador de tipo viscoso con un coeficiente de

amortiguamiento C (Figura 1.3b).

Se dice que el sistema de un grado de libertad es lineal cuando la

rigi dez permanece constante, o sea que el desplazamiento lateral siem-

pre es proporcional a la fuerza lateral. Cuando se aplica la fuerza P

se produce un movimiento de la masa, esto genera la aparición de las

siguien tes fuerzas: la fuerza externa P(t), la fuerza elástica resistente Fe

que es la fuerza que las columnas ejercen sobre la masa cuando ésta se

mueve; la fuerza de amortiguamiento Fa que es la fuerza que el amorti-

guador ejerce sobre la masa, y la fuerza de inercia, Fi. En todo instante

debe existir equilibrio dinámico entre estas fuerzas (Figura 1.3c).

Figura 1.3 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento

36

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia es

directamente proporcional a la masa, Fi = M * ü(t), donde M es la masa

del sistema y ü(t) es la aceleración total. La fuerza de amortiguamiento

está dada por Fa = C * �(t), en donde C es el coeficiente de amortigua-

miento y �(t) es la velocidad relativa de la masa con respecto al suelo.

Para un sistema lineal, la fuerza elástica está dada por Fe = K * u(t),

K es la rigidez lateral del sistema y u(t) es el desplazamiento relativo de

la masa respecto al suelo.

Fi + F

a + F

e = P(t)

M * ü(t) + C * �(t) + K * u(t), = P(t)

En el caso de una excitación sísmica no existe fuerza externa,

P(t) = 0, la solicitación del sistema obedece al movimiento del terreno

sobre el cual se apoya la estructura. Como resultado de esta excitación

la base de la estructura tiene un desplazamiento igual al del suelo, ug(t),

y a su vez la estructura se deforma, u(t), así que el desplazamiento total

de la masa es igual a u(t) = u g(t) + u(t), reemplazando:

M * { üg(t) + ü (t) } + C * �(t) + K * u(t), = 0

M * ü(t) + C * �(t) + K * u(t), = – M * üg(t) (1.1)

Esta es la ecuación dinámica del movimiento que gobierna la res-

puesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado, sujeto al

movimiento del terreno. La solución de esta ecuación se conoce como

la respuesta de la estructura y está fuera del alcance de este texto; Juan

Carlos Botero (2011) presenta una discusión amplia sobre los métodos

de solución.

Para fines de diseño sismo resistente interesa conocer la respuesta

máxima de la estructura. Por ejemplo, nos interesa conocer el desplaza-

miento lateral máximo, el cortante basal máximo, la aceleración máxima,

etc.

Una de las herramientas más útiles para evaluar la severidad de la

respuesta máxima de una estructura a un sismo dado es el espectro de

respuesta. Un espectro de respuesta es la representación gráfica de la

37

respuesta máxima de la estructura, medida en valor absoluto, modelada

como un sistema de un grado de libertad, en función del período natural

de vibración del sistema (T). Esto es, el espectro de respuesta nos da

información de la respuesta máxima para toda una familia de sistemas de

un grado de libertad, sometido a un solo sismo.

La forma en la que se calcula un espectro de respuesta se ilustra en

la Figura 1.4, para el caso de un espectro de desplazamientos. En este

caso, para cada período, se calcula la historia de desplazamientos y sólo

se selecciona la máxima respuesta absoluta, que es la que se grafica para

el período natural de vibración correspondiente. Obsérvese que los pun-

tos máximos no ocurren al mismo tiempo.

En la Figura 1.4 se muestra el espectro de desplazamientos para el

acelerograma medido en el temblor de El Centro, California, el 18 de

mayo de 1940. En el primer ejemplo, se tiene un sistema de un grado

de libertad con un período natural de vibración igual a 0.5 segundos y

con un 2% del amortiguamiento crítico (� = 0.02). Se calcula toda la

historia de desplazamientos y se selecciona el máximo, que en este caso

es 2.48 pulgadas (6.3 cm).

Con la abscisa T = 0.5 segundos y Sd = 2.48 pulgadas se forman las

coordenadas de un punto en el espectro de respuesta. En el segundo

ejemplo se tiene un sistema de un grado de libertad con un período

natural de vibración igual a 1.0 segundos; se calcula toda su historia de

desplazamientos cuando al sistema se le somete el mismo acelerograma

y se obtiene su respuesta máxima de 6.61 pulgadas (16.8 cm). Si este

proceso se repite para toda una familia de sistemas de un grado de liber-

tad con diferentes períodos de vibración y con el mismo amortiguamien-

to, se obtiene el espectro de respuesta.

Una vez calculado el espectro de respuesta de desplazamiento pue-

de saberse de manera inmediata el desplazamiento aproximado que ten-

dría una estructura al ser sometida a dicho movimiento de terreno.

Este espectro de respuesta permite también evaluar la magnitud

del desplazamiento máximo de una estructura en cierto período, en

comparación con el desplazamiento máximo de otra estructura sometida

al mismo movimiento de terreno. Por ejemplo, si se tiene una estructura

con un período de vibración de 1.0 segundos y otra con un período de

1.5 segundos, con el espectro de respuesta de la Figura 1.4 vemos que

38

si ambas estructuras se sometieran al mismo movimiento de terreno, la

estructura con período de 1.0 segundos estaría sometida a un desplaza-

miento mayor que el de la otra estructura, a pesar de que ambas tengan

el mismo movimiento en su base.

Figura 1.4 Espectro de respuesta de desplazamiento

Así como se puede calcular la historia de los desplazamientos, se

puede calcular la historia de las aceleraciones. De modo que para cada

sistema de un grado de libertad se puede calcular la historia de las ace-

leraciones y de ahí seleccionar la aceleración máxima para poder graficar

el espectro de aceleraciones.

39

Figura 1.5 Espectro de aceleraciones, sismo de El Centro, California,

mayo 18 de 1940

La Figura 1.5 muestra el cálculo de tres puntos del espectro de re-

puesta de aceleraciones. Por ejemplo, para el caso de un sistema de un

grado de libertad con un período natural de vibración de 0.3 segundos,

o sea una estructura que tarda 0.3 segundos en completar un ciclo de

vibración, y con un amortiguamiento del 5%, cuando es sometido a la

40

historia de aceleraciones del temblor de El Centro, California, tiene una

aceleración máxima de 0.75 veces la aceleración de la gravedad. Así, la

pareja de coordenadas constituída por la abscisa T = 0.3 segundos y la

ordenada 0.75 g son un punto en el espectro de respuesta de aceleracio-

nes. Si se repite el mismo proceso para sistemas de un grado de libertad

con períodos naturales de vibración de 0.5 y 1.0 segundos se obtienen

aceleraciones máximas de 1.02 g y 0.48 g, respectivamente. Si esto se re-

pite para toda una familia de sistemas dinámicos de un grado de libertad

con períodos entre 0 y 2 segundos, se obtiene el espectro de aceleracio-

nes mostrado en la parte inferior de la Figura 1.5.

Es importante aclarar que la aceleración espectral representa la ace-

leración en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima

aceleración del terreno. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la

máxima aceleración del terreno está representada como la ordenada del

espectro para un período igual a 0 (Figura 1.6). Dicho período correspon-

de a un sistema infinitamente rígido, de modo que el movimiento que

se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual al del

terreno.

Figura 1.6 Espectro de respuesta de aceleraciones

41

Por ejemplo, para el espectro de aceleraciones mostrado en la Figu ra

1.6, la aceleración máxima de terreno es igual al 20% de la aceleración

de la gravedad. Así mismo, puede verse que estructuras con períodos de

vibración menores a 1.45 segundos son sometidas a aceleraciones ma-

yores a las del terreno, o sea, sufren una amplificación de aceleraciones,

mientras que estructuras con períodos de vibración mayores a 1.45 se-

gundos tienen aceleraciones máximas en la estructura que son menores

a la máxima aceleración del terreno.

El tipo de terreno en que se haya obtenido el acelerograma es muy

importante, pues las características dinámicas de la excitación varían en

función de éste. En suelos firmes las vibraciones son rápidas y la velo-

cidad de onda de cortante es alta, mientras que en suelos blandos las

oscilaciones son de menor frecuencia, esto es, su período es relativamen-

te más largo. Esto modifica la forma de los espectros de respuesta. Se

conoce como amortiguamiento crítico el que tiene una estructura que, al

separarla de su posición y soltarla, no oscila sino que regresa a la posición

de equilibrio; las estructuras de hormigón suelen tener amortiguamiento

del orden de 3% a 10% del crítico, y es el 5% el valor más empleado.

1.4.2 Espectro elástico de diseño

El espectro de diseño es la herramienta que permite diseñar las cons-

trucciones teniendo en cuenta las condiciones sismo-tectónicas regiona-

les y las condiciones locales de la respuesta del subsuelo de fundación.

Para efectos de diseño se requieren los espectros de respuesta a ni-

vel de la cimentación y no a nivel del basamento rocoso. Para poder ade-

lantar estudios de esta naturaleza se necesita determinar la aceleración

local máxima probable en terreno firme y las formaciones dominantes

en un área determinada a partir de una microzonificación. Conocidas las

propiedades mecánicas del suelo dominante se propagan los acelerogra-

mas de diseño de la roca hasta la superficie o cota de cimentación. Este

tipo de estudios están por fuera del alcance del presente texto.

Los espectros de los temblores, como el de la Figura 1.6, tienen

forma irregular y presentan variaciones bruscas en la respuesta máxima

en función del período natural. Por tanto, es posible que dos estructuras

que tengan casi las mismas características dinámicas respondan de ma-

nera bastante diferente a un sismo dado.

42

En la práctica, este hecho tiene menos importancia de lo que pare-

ce a primera vista, gracias a la influencia del amortiguamiento que hace

menos bruscas las variaciones de los espectros, a que no se conoce con

certeza el período natural por las incertidumbres que existen en el cál-

culo de masas y rigideces, y a que las incursiones de la estructura en

el rango inelástico, así como la interacción suelo-estructura, modifícan

el período natural de vibración.

Por lo expuesto, para fines de diseño, los reglamentos de construc-

ción prescriben espectros suavizados en los que se ensanchan los picos y

se suprimen los valles (Figura 1.7).

Figura 1.7 Espectro elástico promedio de aceleraciones

El mejor modo de describir el sismo de diseño en forma cuantitativa

para niveles de servicio, es la respuesta espectral promedio o suavizada.

Se obtiene a partir de un estudio estadístico de los espectros de respues-

ta lineales para sismos de magnitudes similares, obtenidos en condicio-

nes parecidas de suelos y distancias epicentrales.

Seed e Idriss (1982) estudiaron ampliamente las formas de los es-

pectros de respuesta y presentaron las envolventes correspondientes a

las diferentes posibilidades de localización de los acelerógrafos que re-

43

gistraron las señales. Los resultados de estos investigadores han servido

de base para una buena parte de los códigos de construcciones sismo

resistentes de la actualidad. Los investigadores conciben el espectro de

diseño como la envolvente de los valores máximos a partir de ciertas

dispersiones de los datos. Por tanto, el resultado corresponde a líneas

curvas suavizadas y no a los característicos dientes de sierra del espectro

de respuesta.

El procedimiento propuesto por los autores consiste en determinar

una aceleración máxima del terreno y obtener el espectro de diseño em-

pleando directamente los espectros normalizados de la Figura 1.8. Estas

son funciones de las características de suelos locales y corresponden a

un amortiguamiento del 5%. Este procedimiento simple se desarrolló a

partir de un estudio estadístico de ciento cuatro registros que incluían

las tres condiciones de suelos indicadas en la Figura 1.8.

Figura 1.8 Espectro de diseño suavizado

Fuente: adaptado de B. Seed e I. Idriss (1982). ��!�. Berkeley: Engineering Monographs on Earthquake Criteria, Structural Design

and Strong Motions Record, EERI.

Desde el punto de vista económico, resulta casi imposible diseñar

todas las estructuras para que se comporten elásticamente durante terre-

44

motos fuertes, sin daños estructurales ni deformaciones permanentes. Es

necesario considerar la posibilidad de disipar energía al incursionar la es-

tructura en el rango inelástico; en este caso las deformaciones inelásticas

deben mantenerse dentro de límites que permitan a la estructura defor-

marse según su capacidad, considerando el daño no estructural asociado.

Aparece, entonces, la necesidad de derivar un espectro inelástico

suavizado. Derivarlo a partir del espectro elástico no es correcto porque

el tipo de solicitación que produce el máximo elástico es diferente al

que produce el máximo inelástico. La información utilizada para obte-

ner el espectro inelástico a partir del elástico no es suficiente y debe

complementarse con datos como la duración del movimiento fuerte y el

número y secuencia de los pulsos. La NSR-10 propone para Colombia el

espectro de diseño elástico mostrado en la Figura 1.9, el cual es calcula-

do a nivel de fundación. En él:

Aa, A

v = coeficientes que representan la aceleración y velocidad ho-

rizontal pico efectiva, para diseño, al nivel de roca.

I = coeficiente que mide la importancia de la edificación para la co-

munidad, entre más importante es la edificación mayor es la resistencia

que debe tener.

Fa = coeficiente de amplificación que afecta la aceleración en la

zona de períodos cortos, debido a los efectos de sitio, adimensional.

Fv = coeficiente de amplificación que afecta la aceleración en la zona

de períodos intermedios, debido a los efectos de sitio, adimensional.

T = período de vibración, en segundos, del sistema elástico.

Tc = período de vibración, en segundos, correspondiente a la

transición entre la zona de aceleración constante y la parte descendente

del mismo.

Tl = período de transición, en segundos, correspondiente al inicio

de la zona de desplazamiento aproximadamente constante del espectro

de diseño para períodos largos.

Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período

de vibración dado. Máxima aceleración horizontal de diseño expresada

como porcentaje de la gravedad, para un sistema de un grado de libertad

con un período de vibración T.

45

Figura 1.9 Espectro elástico de diseño para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6

1.4.3 Espectro inelástico de diseño

Las recomendaciones del ATC-3 (Applied Technology Council) adop-

tan el método de modificar un espectro de respuesta lineal elástico para

obtener un espectro de respuesta no lineal. La manera más simple de

hacerlo es reducir las fuerzas de diseño obtenidas a partir del espectro

elástico de diseño, por un factor constante, que no depende del período.

Existen otros métodos para obtener espectros de respuestas inelás-

ticos a partir de los elásticos. Después de evaluar la respuesta de siste-

mas elastoplásticos de un grado de libertad, se han propuesto factores

de modificación que dependen del período y de la ductilidad. Dado que

el número de registros es limitado, se debe ser cauteloso al aplicarlos a

estructuras con ciclos histeréticos y amortiguamiento muy diferentes, o

ante movimientos de suelos diferentes.

A partir de estudios analíticos, Newmark y Hall (1982) concluyeron

que para estructuras de período corto, cualquier reducción de la fuerza

elástica requerida significaría un requerimiento de ductilidad excesivo.

Para estructuras de período intermedio, la energía obtenida por el

sistema elástico en su desplazamiento máximo es aproximadamente

igual a la obtenida por un sistema elástico resultante al aplicar un factor

de modificación a la resistencia de: 12/1 �� =1/R.

46

Figura 1.10 Procedimientos simplificados para obtener espectros

inelásticos de diseño

Para períodos largos, los desplazamientos máximos lineales y los no

lineales son parecidos y el factor de modificación es 1/μ = 1/R.

Las normas colombianas siguen los lineamientos del ATC-3 y pro-

ponen el siguiente espectro de diseño inelástico, calculado a nivel de

fundación:

Figura 1.11 Espectro de diseño inelástico para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6

47

R: es un coeficiente de modificación de respuesta, obtenido en for-

ma empírica, en el que se intenta considerar el amortiguamiento y la

capacidad de la estructura para desarrollar deformaciones inelásticas. Su

discusión se realizará en las secciones que tratan los temas: “Configura-

ción estructural de la edificación y coeficiente de capacidad de disipa-

ción de energía para ser empleado en el diseño, R” y “Coeficiente de

capacidad de disipación de energía básico, Ro”, del presente texto.

Ductilidad, μ: se define como la capacidad que tiene la estructura

de incursionar en el rango inelástico. Para su cuantificación se analiza el

comportamiento del pórtico de la Figura 1.12 al someterse a cargas hori-

zontales, gradualmente crecientes; en ella se distinguen tres etapas en el

comportamiento de la estructura:

Figura 1.12 Comportamiento de una estructura aporticada

ante cargas monotónicas

Etapa (a): para niveles bajos de carga la estructura tiene un compor-

tamiento elástico y el desplazamiento horizontal, d, es proporcional a la

carga horizontal.

Etapa (b): al incrementarse la carga se incrementa el desplazamien-

to. Para cierto valor de la carga una sección cualquiera agota su capaci-

dad de resistencia y se plastifica, de allí en adelante esta sección girará

libremente sin absorber más carga. En este instante se calcula el des-

plazamiento en la parte superior, �y , y el giro en la sección que se ha

plastificado, Øy .

Etapa (c): al incrementarse nuevamente la carga, la estructura no

colapsa y las otras secciones empiezan a plastificarse hasta que se forma

el mecanismo de colapso de la estructura, en este instante se calcula el

desplazamiento en la parte superior de la estructura, �u , y el giro final en

la sección que primero se plastificó, Øu.

48

Se conoce como ductilidad global por desplazamiento a la relación:

(1.2)

Y como ductilidad local a la relación:

(1.3)

�� "��#��$�%�&'�()*+$��,�-,.,/0

Este coeficiente mide la importancia de la edificación para la comuni-

dad, y de los niveles de seguridad y funcionabilidad requeridos. Es una

clara indicación del reconocimiento de que en el caso de un desastre

mayor, la destrucción de algunos edificios causa más perjuicios que la de

otros. La NSR-10 adopta para Colombia la misma clasificación dada por

el International Building Code (IBC), el cual cataloga las estructuras en

los siguientes cuatro grupos.

Grupo IV: edificaciones indispensables. Comprende aquellas edifi-

caciones de atención a la comunidad que deben funcionar durante y des-

pués de un sismo, y cuya operación no puede ser trasladada rápidamente

a un lugar alterno. Pertenecen a este grupo:

�� Todas las edificaciones que componen hospitales, clínicas y centros

de salud que dispongan de servicios de cirugía, salas de cuidados

intensivos, salas de neonatos y atención de urgencias.

� ��global

u

y�

� ��local

u

y�

Imagen 1.1 En el sismo de El Salvador, en 1986, muchos hospitales

quedaron fuera de servicio

49

�� Todas las edificaciones que componen aeropuertos, estaciones fe-

rroviarias y de sistemas masivos de transporte, centrales telefónicas,

de telecomunicación y radiodifusión.

�� Edificaciones designadas como refugios para emergencias, cen-

trales de aeronavegación. Hangares de aeronaves de servicios de

emergencia.

�� Edificaciones de centrales de operación y control de líneas vitales

de energía eléctrica, agua, combustibles, información y transporte

de personas y productos.

�� Edificaciones que contengan agentes explosivos, tóxicos y dañinos

para el público.

En este grupo deben incluirse las estructuras que alberguen plantas

de generación eléctrica de emergencia, los tanques y estructuras que

formen parte de sus sistemas contra incendios, y los accesos peatonales

y vehiculares de las edificaciones tipificadas en los literales a, b, c, d, y e

del presente numeral.

Grupo III: edificaciones de atención a la comunidad. Este grupo

comprende aquellas edificaciones y sus accesos, que son indispensables

después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud

y la seguridad de las personas, exceptuando las incluidas en el Grupo IV.

Este grupo debe incluir:

�� Estaciones de bomberos, defensa civil, policía, cuarteles de las fuer-

zas armadas y sedes de las oficinas de prevención y atención de

desastres.

Imagen 1.2 En el sismo de Armenia, Colombia, en 1999,

las instalaciones de los bomberos colapsaron

50

�� Garajes de vehículos de emergencia.

�� Estructuras y equipos de centros de atención de emergencias.

�� Guarderías, escuelas, colegios, universidades y otros centros de en-

señanza.

�� Aquellas del Grupo II para las que el propietario desee contar con

seguridad adicional.

�� Aquellas otras que la administración municipal, distrital, departa-

mental o nacional designe como tales.

Grupo II: estructuras de ocupación especial. Pertenecen a este grupo:

�� Edificaciones en donde se puedan reunir más de doscientas perso-

nas en un mismo salón.

�� Graderías al aire libre donde pueda haber más de dos mil personas a

la vez.

�� Almacenes y centros comerciales con más de 500 m2 por piso.

�� Edificaciones de hospitales, clínicas y centros de salud, no cubiertas

en el Grupo IV.

�� Edificaciones en donde trabajen y residan más de tres mil personas.

�� Edificios gubernamentales.

Grupo I: estructuras de ocupación normal. Todas las edificaciones

cubiertas por el alcance de la NSR-10, pero que no están incluidas en los

grupos IV, III y II.

Tabla 1.2 Valores del coeficiente de importancia, I

Grupo de usoCoeficiente de

importancia, I

IV 1.50

III 1.25

II 1.10

I 1.00

�� "��$�1a�2�1v�&'�()*+$��,�-,.,30

El cálculo de la amplificación debida a condiciones locales está basa-

da en la clasificación de sitios y factores de amplificación propuesto en

51

1997 por NEHRP (National EarthquakeHazards Reduction Program) y

adoptada por el International Building Code (IBC).

La onda de corte viaja a través de los diferentes tipos de suelos a

diferentes velocidades, su velocidad es mayor cuando viaja a través de

roca y suelos duros, y disminuye cuando lo hace a través de suelos blan-

dos, por esta razón la velocidad de la onda de corte se utiliza como una

medida del tipo de suelo.

La NEHRP define un esquema estandarizado para la clasificación de

la geología local y especifica factores de amplificación para la mayoría de

las clases de sitios.

La NEHRP y la NSR-10 especifican seis tipos de perfiles de suelos,

identificados con las letras A, B, C, D, E y F, para cada uno de ellos de-

finen los coeficientes de sitio. El perfil del suelo debe ser determinado

por un ingeniero geotecnista a partir de datos geotécnicos debidamente

sustentados.

Se prescriben dos factores de amplificación del espectro por efectos

de sitio, Fa y F

v, los cuales afectan la zona del espectro de períodos cortos

y períodos intermedios respectivamente. Los efectos locales de la res-

puesta sísmica de la edificación deben evaluarse con base en los perfiles

de suelos, independientemente del tipo de cimentación.

Los parámetros utilizados en la selección del perfil del suelo corres-

ponden a los 30 m superiores del perfil, de acuerdo a ensayos de mues-

tras tomadas cada 1.50 m de espesor del suelo, para los perfiles tipo A a

E. Para el perfil tipo F se aplican otros criterios y la respuesta no debe

limitarse a los últimos 30 m superiores del perfil.

Vs = velocidad media de la onda de corte en m/s.

N = número medio de golpes de ensayos de penetración estándar

en golpes/pie a lo largo de todo el perfil.

Nch

= para los estratos de suelos no cohesivos representa el número

medio de golpes del ensayo de penetración estándar.

Su = para los estratos cohesivos representa la resistencia media al

corte obtenida del ensayo para determinar su resistencia no drenada en

kPa.

IP = índice de plasticidad.

W = contenido de agua en porcentaje.

52

Tabla 1.3 Clasificación de los perfiles del suelo

Tipo de

perfilDescripción Definición

A Perfil de roca competente Vs � 1500 m/s

B Perfil de roca de rigidez media 1500 m/s > Vs � 760 m/s

C

Perfiles de suelos muy densos o roca

blanda, que cumplan con el criterio de

la velocidad de la onda de cortante

760 m/s > Vs � 360 m/s

Perfiles de suelos muy densos o roca

blanda, que cumplan con cualquiera de

los dos criterios

N � 50 o

Su � 100 kPa

D

Perfiles de suelos rígidos, que cumplan

con el criterio de la velocidad de la onda

de cortante

360 m/s > Vs � 180 m/s

Perfiles de suelos rígidos, que cumplan

con cualquiera de los dos condiciones

50 > N � 15 o

100 kPa > Su � 50 kPa

E

Perfiles que cumplan con el criterio de

la velocidad de la onda de cortante180 m/s > V

s

Perfil que contiene un espesor total H

mayor de 3 m de arenas blandas

IP > 20

W � 40%

50 kPa > Su

F

Los perfiles de suelo tipo F requieren una evaluación realizada

explícitamente en el sitio por un ingeniero geotecnista de acuerdo

con el procedimiento de la NSR-10, Sec. A.2.10. Se contemplan

las siguientes subclases:

F1 – Suelos susceptibles a la falla o colapso causado por la excitación

sísmica, tales como suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos

dispersivos o débilmente cementados, etc.

F2 – Turba y arcillas orgánicas y muy orgánicas (H > 3 m para turba

o arcillas orgánicas y muy orgánicas)

F3 – Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m con índice de

plasticidad IP >75)

F4 – Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda

(H > 36 m)

53

Tabla 1.4 Criterios para clasificar suelos dentro de los perfiles

de suelo tipo C, D o E

Tipo de

perfilV

sN o N

chS

u

C Entre 360 y 760 m/s Mayor de 50 Mayor de 100 kPa

D Entre 180 y 360 m/s Entre 15 y 50 Entre 100 y 50 kPa

E Menor de 180 m/s Menor de 15 Menor de 50 kPa

Nota 1: para valores intermedios de Aa se permite interpolar linealmente entre valores del

mismo tipo de perfil

Nota 2: 1 kPa = 0.01 kgf/cm2

Tabla 1.5 Valores del coeficiente Fa, para zonas de períodos cortos del espectro

Tipo de

perfil

Intensidad de los movimientos sísmicos

Aa � 0.1 A

a = 0.2 A

a = 0.3 A

a = 0.4 A

a � 0.5

A 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8

B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

C 1.2 1.2 1.1 1.0 1.0

D 1.6 1.4 1.2 1.1 1.0

E 2.5 1.7 1.2 0.9 0.9

F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota

Nota 1: para valores intermedios de Aa se permite interpolar linealmente entre valores del

mismo tipo de perfil

Nota 2: 1 kPa = 0.01 kgf/cm2

54

Tabla 1.6 Valores del coeficiente Fv , para zonas de períodos intermedio

del espectro

Tipo de perfilIntensidad de los movimientos sísmicos

Aa � 0.1 A

a = 0.2 A

a = 0.3 A

a = 0.4 A

a ��0.5

A 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8

B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

C 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3

D 2.4 2.0 1.8 1.6 1.5

E 3.5 3.2 2.8 2.4 2.4

F Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota Ver nota

Nota: para el perfil tipo F debe realizarse una investigación geotécnica particular para el lugar

específico y debe llevarse a cabo un análisis de amplificación de onda de acuerdo a lo especi-

ficado en la NSR-10, Sec. A.2.10.

�� 4� ��$�5�&'�()*+$��,�-,3,.0

El valor del período fundamental de la edificación debe obtenerse a

partir de las propiedades de su sistema de resistencia sísmica, en la di-

rección en consideración, de acuerdo con los principios de la dinámica

estructural, utilizando un modelo matemático linealmente elástico de la

estructura.

El anterior requisito puede obviarse por medio del uso de la siguien-

te expresión:

(1.4)

Los valores de fi representan las fuerzas horizontales calculadas por

el método de la Fuerza Horizontal Equivalente. Los desplazamientos

horizontales �i se deben calcular para las fuerzas f

i. El valor de T

r no debe

exceder de Cu * T

a, donde C

u se calcula por medio de la expresión (1.5)

y Tu se calcula mediante la expresión (1.6)

55

(1.5)

Alternativamente, el valor del período fundamental de la edifica-

cion, T, puede ser igual al período fundamental aproximado, Ta, que se

obtiene por medio de la expresion 1.6:

(1.6)

Donde Ct y � tienen los valores dados en la Tabla 1.7.

Tabla 1.7 Valores del coeficiente Ct, y � para el cálculo

del período aproximado Ta

Sistemas estructurales de resistencia sísmica

Ct

�

Pórticos resistentes a momentos de hormigón refor-

zado que resisten la totalidad de las fuerzas sísmicas

y que no están limitados o adheridos a componentes

más rígidos estructurales o no estructurales, que

limiten los desplazamientos horizontales al verse

sometidos a las fuerzas sísmicas

0.047 0.90

Pórticos resistentes a momentos de acero estruc-

tural que resisten la totalidad de las fuerzas sísmicas

y que no están limitados o adheridos a componentes

más rígidos estructurales o no estructurales, que

limiten los desplazamientos horizontales al verse

sometidos a las fuerzas sísmicas

0.072 0.80

Pórticos arriostrados de acero estructural con diago-

nales excéntricas restringidas a pandeo0.073 0.75

Todos los otros sistemas estructurales basados en

muros de rigidez similar o mayor a la de muros de

hormigón o mampostería

0.049 0.75

Alternativamente, para estructuras que tengan

muros estructurales de hormigón reforzado o de

mampostería estructural, pueden emplearse los

siguientes parámetros Ct y �, donde C

w se calcula

utilizando la expresión (1.7)

1.00

�a t nT = C * h

0.0062

� Cw

Cu

= 1.75 – 1.2 Au

Fu

&��'<?

56

(1.7)

En la cual:

AB = área de la edificación en la base.

Awi

= área mínima de cortante de la sección de un muro estructural

i, medida en un plano horizontal, en el primer nivel de la estructura y, en

la dirección en estudio, en m2.

hn = altura en metros, medida desde la base, al piso más alto del

edificio.

hwi

= altura del muro i, medida desde la base, en metros.

nw = número de muros de la edificación efectivos para resistir las

fuerzas sísmicas horizontales en la dirección bajo estudio.

lwi

= longitud medida horizontalmente, en metros, de un muro es-

tructural i en el primer nivel de la estructura y en la dirección en estudio.

Alternativamente, para edificios de doce pisos o menos, con altura

de piso hp, no mayores de 3 m cuyo sistema estructural de resistencia

sísmica está compuesta por pórticos resistentes a momento de hormigón

reforzado o acero estructural, el período de vibración aproximado, Ta, en

segundos puede determinarse mediante la siguiente expresión:

(1.8)

El valor del período obtenido,T, utilizando las ecuaciones anteriores,

es un estimativo inicial del período estructural para predecir las fuerzas

a aplicar sobre la estructura con el fin de dimensionar su estructura de

resistencia sísmica.

Una vez dimensionada la estructura debe calcularse el valor ajusta-

do del período,T, mediante la aplicación del análisis modal o mediante

la expresión (1.4) para compararlo con el estimativo inicial; si el período

inicial de la estructura difiere en más del 10% del período estimado ini-

Ta = 0.1 * N

57

cial, debe repetirse el proceso de análisis, utilizando el último período

calculado como nuevo estimativo, hasta que se converja en un resultado

dentro de la tolerancia del 10% señalada.

�� "��#��#��6�� 7��$�(o

El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, es uno

de los parámetros de mayor importancia en el cálculo de las cargas sísmi-

cas inelásticas utilizadas en el proceso de diseño o evaluación estructural

de un edificio. El factor Ro se utiliza para reducir la intensidad de las

cargas elásticas usadas para diseño a niveles inelásticos.

Durante la respuesta inelástica a la acción de cargas dinámicas, las

estructuras disipan energía y hay tres factores esenciales en su compor-

tamiento: la ductilidad (�), la sobre-resistencia (�) y la redundancia ()

que afectan al coeficiente de capacidad de disipación de energía básico.

Se asocia con cada uno de estos parámetros un componente del factor Ro,

de tal forma que puede definirse de la siguiente forma:

Ro = R

o� * R

o� * Ro�

(1.9)

En esta sección se presenta un enfoque para determinar el factor

Ro, según conceptos simples de energía a partir de la curva de comporta-

miento carga-desplazamiento.

�� "��#��#��6�� 7��(Ro�)

Figura 1.13 Modificación de la respuesta debido a la ductilidad

El coeficiente de capa-

cidad de disipación de

energía básico, Ro, debido

a la ductilidad traslacio-

nal (Ro�

) de una estruc-

tura se define como la

relación entre la fuerza

máxima elástica (Pue

) que

puede resistir una estruc-

tura y la fuerza máxima

inelástica (Pu) que puede

resistir esa misma estruc-

58

tura si tuviese un comportamiento inelástico. Debido a que tradicional-

mente se ha representado dicho comportamiento de manera bilineal,

suele decirse que Pu = P

y.

Ro�

= Pue

/ Py

(1.10)

Una de las investigaciones de mayor trascendencia en torno al com-

ponente de la ductilidad del factor Ro proviene de Newmark y Hall

(1982). Allí se establece que este parámetro es sensitivo al período na-

tural de la estructura.

�� Criterio de iguales desplazamientos (largos períodos de vibración)

De acuerdo con la curva de fuerza-desplazamiento descrita anteriormen-

te, se puede generalizar que para aquellas estructuras con períodos natu-

rales mayores de 1 segundo existe una relación simple y directa entre el

factor Ro y la ductilidad (� = �

u / �

y), de forma que se puede establecer

la siguiente relación:

Ro = μ

Esta relación fue presentada por Newmark y Hall (1982) para una

estructura con comportamiento perfectamente elasto-plástico. El fun-

damento básico se explica porque, para períodos largos, los desplaza-

mientos máximos lineales, y los no lineales, son parecidos; el factor de

modificación se calcula de la siguiente manera:

Figura 1.14 Criterio de igualdad de desplazamientos

OEC = OAB + ABCD + AED

Ro = P

u / P

y

� = �u / �

y

59

(1.11)

�� Q �� [�� \<'?��]�̂ �]�\<_��`�

El área bajo la curva de comportamiento elástico debe ser igual al área

bajo la curva de comportamiento elasto-plástico, es decir, que para es-

tructuras de período intermedio, la energía obtenida por el sistema elás-

tico en su desplazamiento máximo es aproximadamente igual a la obte-

nida por un sistema elástico:

Figura 1.15 Criterio de igualdad de energía

OEC = OAB + ABDF

K = Rigidez

K = Pue

/ �ue

= Py / �

y

Ro = P

ue / P

y

(1.12)

60

Es importante observar que existen rangos de períodos que estas

ecuaciones no cubren. De acuerdo con Newmark y Hall (1982), para pe-

ríodos estructurales muy bajos, menores de 0.03 segundos, debe tomarse

Ro = 1, y para valores intermedios entre 0.03 y 0.12 segundos o entre

0.50 y 1.00 segundos es válido hacer una interpolación lineal.

Estudios recientes han obtenido resultados para las curvas Ro�

–� –T

muy similares a los de Newmark y Hall; entre éstos se pueden mencionar:

Krawinkler y Nassar (1992) se basaron en el análisis estadístico de

quince movimientos sísmicos con magnitudes entre 5.7 y 7.7, actuando

en sistemas de un grado de libertad. La importancia de este trabajo fue

la correlación existente entre los sistemas de un grado de libertad y sis-

temas de múltiples grados de libertad.

Miranda y Bertero (1994) obtuvieron curvas Ro�

– � –T para dife-

rentes condiciones de suelo: roca, suelo aluvial y suelo blando. Los re-

sultados obtenidos son consistentes con los obtenidos por Krawinkler y

Nassar, y en todas las curvas las relaciones obtenidas tienen una particu-

laridad: el valor máximo para Ro�

ocurre para un período cercano a T = 1

segundo.

Figura 1.16 Variación del factor Ro�

con la ductilidad y el período

�� Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico debido a

la sobre resistencia (Ro�)

Generalmente, la respuesta lateral máxima de todo edificio suele ser

mayor que la resistencia de diseño. Tanto los métodos de diseño como

61

las especificaciones de los códigos y los requisitos para control de des-

plazamientos, entre otros, conducen a elementos estructurales de mayor

tamaño y refuerzo que los que resultan de un análisis debido estricta-

mente a cargas verticales y horizontales (sísmicas).

La herramienta para determinar la reserva de resistencia es el

análisis elástico no lineal (Pushover Analysis). Debe disponerse de un

programa computacional que permita detectar paso a paso las fallas es-

tructurales de los elementos. Generalmente se toman como parámetros

de control las derivas de entrepiso y la rotación máxima de las rótulas

plásticas. Sin embargo, no necesariamente estos dos parámetros repre-

sentan la totalidad del comportamiento debido a que hay otros tipos de

falla estructural que suelen pasar desapercibidas si el software utilizado

no las considera, como por ejemplo: las fallas por cortante, por anclajes

deficientes y longitudes de desarrollo inadecuadas del refuerzo.

El factor Ro�

se calcula como el coeficiente entre el cortante basal

máximo alcanzado por la estructura, antes de llegar a cualquiera de los

estados límites, y el cortante basal de diseño.

Ro�

= Vu / V

diseño (1.13)

Es importante tener en cuenta que a pesar de que se han realizado

diferentes estudios orientados a determinar valores razonables del factor

de sobre resistencia, los mismos no han arrojado una tendencia fiable de

valores característicos que se puedan asignar a los diferentes tipos de

sistemas estructurales, materiales y diferentes demandas de ductilidad

(Osteraas y Krawinkler, 1990; Uang y Maarouf, 1993; Hwang y Shino-

zuka, 1994).

El análisis no lineal para el diseño de estructuras sismo resistentes

resulta extremadamente importante y su inclusión como procedimiento

obligatorio en los códigos de construcción está muy cercana. Sin este

análisis es imposible obtener el factor de sobre resistencia, Ro�

.

�� Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico debido a

la redundancia (Ro

)

El componente de modificación de respuesta a partir de la redundancia

resulta muy difícil de establecer y existen muy pocos estudios que ayu-

den a determinar la forma de cuantificarlo. Los estudios hechos al res-

62

pecto tienden a demostrar que la redundancia tiene mucha relación con

la cantidad de líneas verticales de resistencia sísmica (ejes de columnas)

y principalmente con la cantidad de rótulas plásticas requeridas para

formar el mecanismo de colapso de la estructura.

Se establece como regla general que el factor de redundancia pue-

de ser inferior a 1 y en aquellos sistemas con adecuada redundancia

puede asumirse Ro

= 1.0. El ATC-19 (1995) propone valores tentati-

vos para el factor de redundancia de la siguiente forma:

Tabla 1.8 Valores del coeficiente básico debido a la redundancia, Ro�

N.ode ejes de columnas Factor Ro�

2 0.71

3 0.86

4 1.00

El cálculo del factor debido a la redundancia, Ro

, requiere un mayor

estudio e investigación.

��Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, R0, según

la NSR-10

Por los inconvenientes mencionados en los numerales anteriores para

determinar el coeficiente básico de diseño, las normas consideran sólo el

factor de ductilidad Roμ

.

El ATC-3 utiliza un factor de reducción constante sobre todo el

período, a pesar de que en el método de Newmark depende de él. Para

espectros de respuesta elásticos comparables, el ATC-3 da fuerzas de

diseño menores para períodos cortos.

Los métodos del ATC-3 y de Newmark y Hall son aproximados. Los

resultados indican que la respuesta no lineal depende del tipo de movi-

miento y de las características mecánicas y dinámicas de la estructura.

La diferencia entre las respuestas máximas obtenidas es tan grande que

los métodos aproximados no pueden dar límites confiables a la ductili-

dad requerida.

63

Estos métodos sirven para orientar al ingeniero, si se tiene en cuenta

sus limitaciones. La gran dispersión de resultados enfatiza la necesidad

de una adecuada elección del sistema estructural y de los materiales, de

manera que al diseñar una estructura dúctil, ésta sea capaz de sobrepasar

la capacidad que se le suministra al utilizar un espectro no lineal cons-

truido como ya se ha visto.

La cuantificación de las fuerzas sísmicas según los códigos actua-

les no atienden con suficiente claridad el verdadero valor del factor Ro,

que debe ser asignado a una estructura en particular, sino que generaliza

los valores correspondientes por grupos de sistemas estructurales. Los

coeficientes que se sugieren provienen exclusivamente de la experien-

cia y poseen muy poco rigor cuantitativo, razón por la cual pueden llevar

a sobre-estimar o reducir excesivamente las cargas sísmicas de diseño.

La norma colombiana sigue los lineamientos del ATC-3, es decir,

utiliza un factor de reducción constante sobre todo el período. Los valo-

res recomendados por la NSR-10 para el coeficiente de capacidad de di-

sipación de energía básico, Ro, se resumen en las Tablas 1.10 a 1.13. Este

coeficiente depende del sistema estructural y de la ductilidad global del

sistema. La NSR-10 reconoce cuatro tipos generales de sistemas estruc-

turales de resistencia sísmica y tres grados de capacidad de disipación de

energía.

Dependiendo del tipo de material estructural y de la característica

del sistema de resistencia sísmica se establecen los grados de capacidad

de disipación de energía mínimos (DES, DMO y DMI) que debe cumplir el

material en las diferentes zonas de amenaza sísmica.

Los sistemas estructurales de resistencia sísmica que reconoce la

NSR-10 son los siguientes:

�� Sistema de pórticos: es un sistema estructural compuesto por un

pórtico espacial, resistente a momentos, esencialmente completo,

sin diagonales, que resiste todas las cargas verticales y fuerzas hori-

zontales.

�� Sistema de muros de carga: es un sistema estructural que no dispone

de un pórtico esencialmente completo y en el cual las cargas vertica-

64

les son resistidas por los muros de carga y las fuerzas horizontales son

resistidas por muros estructurales o pórticos con diagonales.

Figura 1.17 Sistemas estructurales de pórticos y de muros de carga

�� Sistema combinado: es un sistema estructural en el cual:

– Las cargas verticales son resistidas por un pórtico no resistente

a momentos, esencialmente completo, y las fuerzas horizonta-

les son resistidas por muros estructurales o pórticos con diago-

nales.

– Las cargas verticales y horizontales son resistidas por un pórtico

resistente a momentos, esencialmente completo, combinado,

con muros estructurales o pórticos con diagonales que no cum-

plen los requisitos de un sistema dual.

�� Sistema dual: es un sistema estructural que tiene un pórtico es-

pacial resistente a momentos y sin diagonales, combinado con muros

estructurales o pórticos con diagonales. Para que el sistema estructural

se pueda clasificar como sistema dual se deben cumplir los siguientes

requisitos:

– El pórtico espacial resistente a momentos, sin diagonales, esen-

cialmente completo, debe ser capaz de soportar las cargas verti-

cales.

– Las fuerzas horizontales son resistidas por la combinación de

muros estructurales o pórticos con diagonales, con el pórtico

65

resistente a momentos. El pórtico resistente a momentos, ac-

tuando independientemente, debe diseñarse para ser capaz de

resistir como mínimo 25% del cortante sísmico en la base.

– Los dos sistemas deben diseñarse de manera que actuando en

conjunto sean capaces de resistir la totalidad del cortante en la

base, en proporción a sus rigideces relativas, considerando la in-

teracción del sistema dual en todos los niveles de la edificación.

Pero en ningún caso la responsabilidad de los muros estructura-

les, o de los pórticos con diagonales, puede ser menor del 75%

del cortante sísmico en la base.

Figura 1.18 Sistemas estructurales dual

El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, de-

pende del sistema estructural y varía entre 1 y 8. Este coeficiente es

una medida de la capacidad del sistema para disipar energía en el rango

inelástico, de su redundancia y de su sobre resistencia, pero debe re-

cordarse que esa disipación de energía está asociada a daños en la edi-

ficación.

En zonas de amenaza sísmica alta no se permiten ciertos tipos de

sistemas estructurales, tales como edificios de hormigón reforzado sin

ductilidad, o sistemas reticulares celulados.

66

Imagen 1.3 Daños en una edificación debido a la flexibilidad del sistema

estructural aporticado. Armenia, Colombia, 1999

Imagen 1.4 Sistema reticular celulado, no recomendado para zonas

con amenaza sísmica debido a su alta flexibilidad y al mal comportamiento

durante el sismo de México, en 1985

67

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erí

a re

forz

a-

da

de b

loq

ue d

e p

erf

. ve

rtic

al,

DE

S, c

on

tod

as l

as c

eld

as r

ell

en

as

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DE

S4

.52

.5S

í3

0 m

Sí

35

mS

í4

5 m

g.

Mu

ros

de m

amp

ost

erí

a re

forz

ada

de b

loq

ue d

e p

erf

. ve

rtic

al,

DM

O

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DE

S3

.52

.5S

í3

0 m

Sí

35

mS

í4

5 m

Tab

la

1.1

0 S

iste

ma

est

ruct

ura

l co

mb

inad

o, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-2 (c

on

tin

uac

ión

)

72

Sis

tem

a d

ual

R0

(2)

|0

(3)

Zon

as d

e a

men

aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

tale

s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

vert

ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

2.

Mu

ros

est

ruct

ura

les

h.

Mu

ros

de m

amp

ost

erí

a re

forz

ada

de b

loq

ue d

e p

erf

. ve

rtic

al,

DM

O

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DM

O2

.52

.5N

o s

e p

erm

ite

Sí

30

mS

í4

5 m

i.

Mu

ros

de m

amp

ost

erí

a co

nfi

nad

a,

DM

O

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DM

O2

.02

.5N

o s

e p

erm

ite

Gru

po

11

8 m

Gru

po 1

21

m

j.

Mu

ros

de m

amp

ost

erí

a co

nfi

nad

a,

DM

O

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DM

I2

.02

.5N

o s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Gru

po 1

18

m

k.

Mu

ros

de m

amp

ost

erí

a d

e c

avid

ad

refo

rzad

a co

n D

ES

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DM

O4

.02

.5N

o s

e p

erm

ite

Sí

30

mS

í4

5 m

l.

Mu

ros

de m

amp

ost

erí

a d

e c

avid

ad

refo

rzad

a co

n D

ES

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

DM

I2

.02

.5N

o s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Sí

45

m

m.

Mu

ros

de c

ort

ante

con

pla

ca d

e

acero

, D

ES

Pórt

icos

de a

cero

, re

-

sist

en

tes

a m

om

en

tos

7.0

2.0

Sí

50

mS

íS

in

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

n.

Mu

ros

de c

ort

ante

com

pu

est

o c

on

pla

cas

de a

cero

y h

orm

igón

Pórt

icos

de a

cero

re-

sist

en

tes

o n

o a

mo-

men

tos

6.5

2.5

Sí

50

mS

íS

in

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

Tab

la

1.1

0 S

iste

ma

est

ruct

ura

l co

mb

inad

o, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-2 (c

on

tin

uac

ión

)

73

Sis

tem

a d

ual

R0

(2)

|0

(3)

Zon

as d

e a

men

aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

tale

s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

vert

ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

2.

Mur

os e

stru

ctur

ales

o.

Mu

ros

de

ho

rmig

ón

re

forz

ado

,

DE

S, m

ixto

s co

n e

lem

en

tos

de

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Pórt

icos

de a

cero

re-

sist

en

tes

o n

o a

mo-

men

tos

6.0

2.5

Sí

50

mS

í6

0 m

Sí

Sin

lím

ite

p.

Mu

ros

de H

orm

igón

refo

rzad

o,

DM

O,

mix

to c

on

ele

me

nto

s d

e

acero

Pórt

icos

de a

cero

re-

sist

en

tes

o n

o a

mo-

men

tos

5.5

2.5

No s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

q.

Mu

ros

de

ho

rmig

ón

re

forz

ado

,

DM

I, m

ixto

co

n e

lem

en

tos

de

acero

Pórt

icos

de a

cero

re-

sist

en

tes

o n

o a

mo-

men

tos

5.0

2.5

No s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

3.

Pórt

icos

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

as

a.

Pórt

icos

de a

cero

con

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gon

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con

cén

tric

as,

DE

S

Pór

tico

s d

e a

cero

no

re-

sist

en

tes

a m

om

en

tos

5.0

2.5

Sí

30

mS

í4

5 m

Sí

60

m

b.

Pórt

icos

de a

cero

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

as,

DM

I

Pór

tico

s d

e a

cero

no

re-

sist

en

tes

a m

om

en

tos

4.0

2.5

No s

e p

erm

ite

Sí

10

mS

í6

0 m

c.

Pórt

icos

mix

tos

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

as,

DE

S

Pórt

icos

de a

cero

re-

sist

en

tes

o n

o a

mo-

men

tos

5.0

2.0

Sí

50

mS

íS

in

lím

ite

Sí

Sin

lí

mit

e

Tab

la

1.1

0 S

iste

ma

est

ruct

ura

l co

mb

inad

o, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-2 (c

on

tin

uac

ión

)

74

Tab

la

1.1

0 S

iste

ma

est

ruct

ura

l co

mb

inad

o, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-2 (c

on

tin

uac

ión

)

(2)

Par

a ed

ific

acio

nes

cali

fica

das

com

o i

rregu

lare

s el

valo

r d

e R

0 d

eb

e m

ult

ipli

cars

e p

or

� a, �

p y

�r,

R =

�a � p

�r R

0.

(3)

L

os

pórt

icos

losa

-colu

mn

a in

clu

yen

el

reti

cula

r ce

lula

do.

[~`�

��

��

��

��|

0 p

ued

e r

ed

uci

rse r

est

ánd

ole

0.5

en

est

ruct

ura

de d

iafr

agm

a fl

exib

le, p

ero

no d

eb

e s

er

men

os

de 2

.0.

(4)

S

e p

erm

ite h

asta

un

a al

tura

de 2

0 m

en

ed

ific

ios

de u

n p

iso (

nav

es

ind

ust

rial

es

o s

imil

ares)

qu

e n

o s

ean

del

Gru

po d

e u

so I

V.

Sis

tem

a d

ual

R0

(2)

|0

(3)

Zon

as d

e a

men

aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

tale

s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

vert

ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ram

áx.

Uso

Alt

ura

máx

.

3.

Pórt

icos

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

as

d.

Pórt

icos

mix

tos

con

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gon

ales

con

cén

tric

as,

DM

I

Pórt

icos

de a

cero

re-

sist

en

tes

o n

o a

mo-

men

tos

3.0

2.0

No s

e p

erm

ite

(5)

No s

e p

erm

ite

(5)

Sí

Sin

lí

mit

e

e.

Pórt

icos

de a

cero

con

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gon

ales

con

cén

tric

as r

est

rin

gid

as a

pan

-d

eo, c

on

con

exio

nes

viga-

colu

mn

a re

sist

en

tes

a m

om

en

to

Pórt

icos

de a

cero

no

resi

sten

tes

a m

om

en

-to

s7

.02

.5S

í3

0 m

Sí

45

mS

íS

in

lím

ite

f.

Pórt

icos

de a

cero

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

as r

est

rin

gid

as a

pan

-d

eo, c

on

con

exio

nes

viga-

colu

mn

a n

o r

esi

sten

tes

a m

om

en

to

Pórt

icos

de a

cero

no

resi

sten

tes

a m

om

en

-to

s6

.02

.5S

í3

0 m

Sí

45

mS

íS

in

lím

ite

g.

Pórt

icos

de h

orm

igón

con

dia

go-

nal

es

con

cén

tric

as c

on

DM

O

Pórt

icos

de h

orm

igón

co

n D

MO

3.5

2.5

No s

e p

erm

ite

Sí

24

mS

í3

0 m

75

Sis

tem

a d

e p

órt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

R0

(2)

|0

(4)

Zon

as d

e a

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aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

tale

s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

vert

ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

1.

Pórt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

con

cap

acid

ad e

speci

al d

e d

isip

ació

n d

e e

nerg

ía (

DE

S)

a. D

e h

orm

igón

con

DE

SE

l m

ism

o7

.03

.0S

íS

in

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

b.

De a

cero

con

DE

SE

l m

ism

o7

.0

(3)

3.0

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

c. M

ixto

s

Pó

rtic

os

de

ace

ro o

mix

tos

resi

sten

tes

o

no a

mom

en

tos

7.0

3.0

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

d.

De

ace

ro c

on

ce

rch

as

dú

cti

les

(DE

S)

Pó

rtic

os

de

ace

ro o

mix

tos

resi

sten

tes

o

no a

mom

en

tos

6.0

3.0

Sí

30

mS

í4

5 m

Sí

Sin

lím

ite

2.

Pórt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

con

cap

acid

ad m

od

era

da

de d

isip

ació

n d

e e

nerg

ía (

DM

O)

a. D

e h

orm

igón

con

DM

OE

l m

ism

o5

.03

.0N

o s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

Tab

la

1.1

1 S

iste

mas

est

ruct

ura

les

de p

órt

ico a

mom

en

tos,

NS

R-1

0, T

abla

A.3

.3

76

Tab

la

1.1

1 S

iste

mas

est

ruct

ura

les

de p

órt

ico a

mom

en

tos,

NS

R-1

0, T

abla

A.3

.3 (c

on

tin

uac

ión

)

Sis

tem

a d

e p

órt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

R0

(2)

|0

(4)

Zon

as d

e a

men

aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

tale

s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

vert

ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

2.

Pórt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

con

cap

acid

ad m

od

era

da

de d

isip

ació

n d

e e

nerg

ía (

DM

O)

b.

De a

cero

con

DM

OE

l m

ism

o5

.0

(3)

3.0

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

c. M

ixto

s co

n c

on

ex

ion

es

ríg

idas

(DM

O)

Pó

rtic

os

de

ace

ro o

mix

tos

resi

sten

tes

o

no a

mom

en

tos

5.0

3.0

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

3.

Pórt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

con

cap

acid

ad m

ínim

a d

e d

isip

ació

n d

e e

nerg

ía (

DM

I)

a. D

e h

orm

igón

con

DM

IE

l m

ism

o2

.53

.0N

o s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

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ite

b.

De a

cero

con

DM

IE

l m

ism

o3

.02

.5N

o s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

c. M

ixto

s co

n c

on

exio

nes

tota

lmen

te

rest

rin

gid

as a

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en

to (

DM

I)

Pó

rtic

os

de

ace

ro o

mix

tos

resi

sten

tes

o

no a

mom

en

tos

3.0

3.0

No s

e p

erm

ite

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

77

Sis

tem

a d

e p

órt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

R0

(2)

|0

(4)

Zon

as d

e a

men

aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

tale

s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

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ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

3.

Pórt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

con

cap

acid

ad m

ínim

a d

e d

isip

ació

n d

e e

nerg

ía (

DM

I)

d.

Mix

tos

con

con

exio

ne

s p

arcia

l-

men

te r

est

rin

gid

as a

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en

to

Pó

rtic

os

de

ace

ro o

mix

tos

resi

sten

tes

o

no a

mom

en

tos

6.0

3.0

No s

e p

erm

ite

Si

30

mS

í5

0 m

e.

De a

cero

con

cerc

has

no d

úct

iles

El

mis

mo

1.5

1.5

No s

e p

erm

ite

(5)

No s

e p

erm

ite

(5)

Sí

12

m

f. D

e a

cero

con

perf

iles

de l

ámin

a

dob

lad

a en

frí

oE

l m

ism

o1

.51

.5N

o s

e p

erm

ite

(5)

No s

e p

erm

ite

(5)

Sí

Sin

lím

ite

g.

Otr

as e

stru

ctu

ras

de c

elo

sía

tale

s

com

o v

igas

y c

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has

No s

e p

ued

en

usa

r co

mo p

arte

del

sist

em

a d

e r

esi

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cia

sís

mic

a a

no s

er

qu

e t

en

gan

con

exio

nes

rígid

as a

colu

mn

as,

en

cu

yo c

aso s

erá

n

trat

adas

com

o p

órt

icos

de c

elo

sía

Tab

la

1.1

1 S

iste

mas

est

ruct

ura

les

de p

órt

ico a

mom

en

tos,

NS

R-1

0, T

abla

A.3

.3 (c

on

tin

uac

ión

)

78

Sis

tem

a d

e p

órt

icos

resi

sten

tes

a m

om

en

tos

R0

(2)

|0

(4)

Zon

as d

e a

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aza

sísm

ica

Sis

tem

a re

sist

en

cia

sísm

ica

(fu

erz

as h

ori

zon

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s)

Sis

tem

a re

sis -

ten

te p

ara

carg

as

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ical

es

Alt

aIn

term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

4.

Pórt

icos

losa

-colu

mn

a (i

ncl

uye

reti

cula

r ce

lula

do)

a. D

e h

orm

igón

con

DM

OE

l m

ism

o2

.53

.0N

o s

e p

erm

ite

Sí

15

mS

í2

1 m

b.

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DM

IE

l m

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o1

.53

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5.

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(3)

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Sí

Sin

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Sí

Sin

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Sí

Sin

lím

ite

b.

Pórt

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igón

co

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ES

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mis

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2.5

2.0

Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

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c. P

órt

icos

de a

cero

re

sist

en

tes

a

mom

en

tos

con

DM

OE

l m

ism

o1

.5

(3)

2.0

No s

e p

erm

ite

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

ite

Tab

la

1.1

1 S

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est

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en

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0, T

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(3)

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.

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(5)

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79

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(2)

|0

(3)

Zon

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ica

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ica

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Sis

tem

a re

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carg

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vert

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Alt

aIn

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ed

iaB

aja

Uso

Alt

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máx

.U

soA

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máx

.U

soA

ltu

ra

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.

1.

Mu

ros

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igón

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Sí

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lím

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Sí

Sin

lím

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DE

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Pórt

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sist

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DE

S

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2.5

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Sin

lím

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Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

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Mu

ros

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orm

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DM

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órt

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O

6.0

2.5

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Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

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igón

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O)

Pórt

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sist

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om

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DM

O

6.0

2.5

No s

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Sí

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lím

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Sí

Sin

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Mu

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Sí

45

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5 m

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Mu

ros

de m

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ost

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. vert

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as ce

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DE

S

Pórt

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sist

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45

mS

í4

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Sí

45

m

Tab

la

1.1

2 S

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, T

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Zon

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sísm

ica

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Sis

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1.

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35

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Mu

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5 m

Sí

35

m

i.

Mu

ros

de m

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e p

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DM

O

Pórt

icos

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sist

en

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a m

om

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DM

O

3.5

2.5

No s

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ite

Sí

30

mS

í3

0 m

j.

Mu

ros

de m

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DM

O

Pórt

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Sí

30

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Sí

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Si

Sin

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Sí

Sin

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S

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2.5

Sí

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Si

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Sí

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Tab

la

1.1

2 S

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est

ruct

ura

les

du

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SR

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, T

abla

A.3

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81

Sis

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a d

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R0

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(3)

Zon

as d

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ica

Sis

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sísm

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iaB

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.U

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máx

.U

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1.

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,

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es

rígid

as,

DE

S

6.0

2.5

Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

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n.

Mu

ros

de

ho

rmig

ón

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forz

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DM

I, m

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acero

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S

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No s

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ite

No s

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Sí

Sin

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Mu

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No s

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Sí

Sin

lím

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Sí

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2.5

Sí

Sin

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Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

ite

Tab

la

1.1

2 S

iste

mas

est

ruct

ura

les

du

al, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-4 (c

on

tin

uac

ión

)

82

Tab

la

1.1

2 S

iste

mas

est

ruct

ura

les

du

al, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-4 (

con

tin

uac

ión

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Sis

tem

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ual

R0

(2)

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Zon

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Sí

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lím

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Sí

Sin

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c.

Pórt

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cero

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gon

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icas

si

las

con

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nes

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las

colu

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or

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íncu

lo

son

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a m

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Pórt

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cero

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tes

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O

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2.5

Sí

Sin

lím

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Sí

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lím

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Sí

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3.

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cero

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lím

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Sí

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Sis

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R0

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Zon

as d

e a

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aza

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ica

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tem

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sísm

ica

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erz

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zon

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Sis

tem

a re

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term

ed

iaB

aja

Uso

Alt

ura

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.U

soA

ltu

ra

máx

.

3.

Pórt

icos

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

as

e.

Pórt

icos

de a

cero

con

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gon

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con

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est

rin

gid

as a

l p

an-

deo

Pórt

icos

de a

cero

, con

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a ll

en

a, c

on

con

ex-

ion

es

rígid

as,

DE

S

7.0

2.5

Sí

Sin

lím

ite

Sí

Sin

lím

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Sí

Sin

lím

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f.

Pórt

icos

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con

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gon

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con

cén

tric

as,

DE

S

Pórt

icos

de a

cero

, con

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a ll

en

a, c

on

con

ex-

ion

es

rígid

as,

DE

S

6.0

2.5

No s

e p

erm

ite

Sí

10

mS

í3

0 m

g.

Pórt

icos

mix

tos

con

dia

gon

ales

con

cén

tric

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Pórt

icos

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cero

, con

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a ll

en

a, c

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50

mS

í3

0 m

Sí

Sin

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Pórt

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gon

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con

cén

-

tric

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El

mis

mo

3.0

2.5

No s

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erm

ite,

nota

(4

)

(2)

Cu

and

o s

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rate

de e

stru

ctu

ras

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don

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sold

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ob

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valo

r d

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ipli

-

cars

e p

or

0.9

.

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ued

e r

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uci

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ánd

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0.5

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est

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agm

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or

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.0.

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S

e p

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asta

un

a al

tura

de 1

2 m

en

ed

ific

ios

de u

n p

iso, (n

aves

ind

ust

rial

es

o s

imil

ares)

qu

e n

o s

ean

del

Gru

po d

e u

so I

V.

Tab

la

1.1

2 S

iste

mas

est

ruct

ura

les

du

al, N

SR

-10

, T

abla

A.3

-4 (

con

tin

uac

ión

)

84

1.5 Configuración estructural de la edificación y coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, R

1.5.1 Asimetrías del sistema estructural de resistencia sísmica

Debido al número infinito de variables en la configuración de una

edificación, no ha sido práctico para los códigos de construcción definir

parámetros o reglas que se apliquen a cualquier tipo de construcción. Sin

embargo, por la gran utilización de estructuras irregulares en la arqui-

tectura moderna y la importancia de la construcción en la economía de

cada país, las versiones recientes de códigos como el SEAOC, UBC, y ATC-3,

han cuantificado más de veinte configuraciones irregulares críticas.

Edificios con irregularidades severas se han comportado mal du-

rante los sismos de Venezuela, Nicaragua, México, Chile, Haití, Eu-

ropa y Asia. Es necesario analizar estas estructuras irregulares, no con el

método de cargas estáticas equivalentes (pues se llegaría a resultados

totalmente erróneos y poco conservadores) sino con métodos más preci-

sos como el método de análisis modal (elástico o inelástico), teniendo

en cuenta el espectro de diseño de terremotos (elástico o inelástico).


en planta en forma de U, El Salvador, 1986

85

Es importante recalcar que una edificación simétrica no es nece-

sariamente calificada como regular por los códigos de construcción. Por

ejemplo, edificaciones en forma de T, E, L, +, U, son consideradas

como irregulares. Vista en planta, las aletas o extremos de estas edifica-

ciones son más flexibles que la parte central, como sucede con la forma

en cruz. Además los efectos torsionales en las formas T, E, L, + y U ha-

cen que las columnas más alejadas del centro estén sometidas a grandes

derivas, mientras la parte central está sometida a gran concentración

de tensiones por su gran rigidez.

Las estructuras deben ser simétricas y de forma simple para clasifi-

carse como regulares, esto es, edificaciones con esquinas obtusas no son

regulares por la gran concentración de tensiones en esas esquinas.

Hay necesidad de enfatizar que no solamente la simetría está en

la forma de la edificación, sino también en los detalles de diseño y cons-

trucción. Estudios y experiencias indican que el comportamiento sísmi-

co es bastante sensitivo a pequeñas variaciones en la simetría. Muchas

edificaciones simétricas y simples durante el terremoto de la ciudad de

México sufrieron grandes daños por la localización excéntrica de los

puntos fijos (taco de escaleras y muros de ascensores).


en planta en forma de E, palacio presidencial, Haití, 2010

86

Cuando las columnas y los muros estructurales sufren fisuramiento,

el centro de rigidez y la distribución de la resistencia de los miembros

a fuerzas laterales pueden cambiar significativamente, crear asimetría

dinámica y efectos torsionales aun en edificaciones regulares.

En muchos casos, las condiciones de diseño arquitectónicas hacen

que una edificación sea altamente asimétrica. En tales situaciones, para

reducir los efectos negativos, como los debidos a la torsión, es aconse-

jable dividir la edificación en partes más simples y menos asimétricas.

Este problema es más común en edificaciones de baja a mediana altura,

porque en los edificios de gran altura la tendencia es hacia formas simé-

tricas y simples.

Para efectos de diseño toda estructura se debe clasificar como regu-

lar o irregular (NSR-10, Sec. A.3.3.1). Cuando una estructura es clasifi-

cada como irregular debe proporcionársele una mayor rigidez, mediante

la reducción del coeficiente de capacidad de disipación de energía bási-

co, Ro, al multiplicarlo por los siguientes factores menores o iguales a la

unidad:

R = �a * �

p * �

r * R

o (1.14)

La NSR-10 cuantifica los valores de los coeficientes �a y �

p, los cua-

les pueden obtenerse de las Figuras 1.19 y 1.20. Debe reducirse el valor

del coeficiente R0 multiplicándolo por �

p, debido a irregularidades en

planta, por �a, debido a irregularidades en altura y por �

r, debido a la au-

sencia de redundancia. Cuando una edificación tiene simultáneamente

varios tipos de irregularidades en planta, se aplicar7 el menor valor de

�p. Análogamente, cuando una edificación tiene simultáneamente varios

tipos de irregularidades en altura, se aplicar7 el menor valor de �a.

�� 8�#��'�()*+$��,�-,9,9,/,*

Cuando, para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor que

1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba, puede considerarse

que no existen irregularidades en altura de los tipos 1aA, 1bA, 2A o 3A,

tal como se define en la Figura 1.20, en este caso se aplica �a = 1.0. No

hay necesidad de considerar en esta evaluación las derivas de los dos

87

pisos superiores de la edificación ni los sótanos que tengan muros de

contención integrados a la estructura en toda su periferia. Las derivas

utilizadas en la evaluación pueden calcularse sin incluir los efectos de

la torsión.

�� "��6��'�()*+$��,�-,9,.

Cuando se combinen sistemas estructurales en altura se presentan dos

casos:

– Estructura flexible apoyada sobre una estructura con mayor rigidez:

pueden utilizarse cuando cumplan los requisitos consignados en la

Tabla 1.14.

– Estructura rígida apoyada sobre una estructura de menor rigidez:

este tipo de combinación de sistemas estructurales en la altura pre-

senta inconvenientes en su comportamiento sísmico. No es acepta-

ble como solución estructural.

– Combinación de sistemas estructurales en planta.

Pueden combinarse sistemas estructurales en planta, sin que esto

de pie a que la estructura se clasifique como irregular, con las siguientes

limitaciones:

– Los dos sistemas deben coexistir en toda la altura de la edificación.

– Cuando la estructura tiene un sistema de muros de carga únicamen-

te en una dirección, el valor de R para diseñar la dirección ortogonal

no puede ser mayor que 1.25 veces el valor de R del sistema estruc-

tural de muros de carga.

– Cuando la estructura tiene dos sistemas de muros de cargas diferen-

tes en la misma dirección, para el sistema que tiene el mayor valor

de R el valor a emplear no puede ser mayor que 1.25 veces el valor

de R del sistema con el menor valor de R.

– Cuando la estructura tiene sistemas diferentes al de muros de carga

en ambas direcciones, para el sistema que tiene un mayor valor de

R, el valor a emplear no puede ser mayor que 1.25 veces el valor

de R del sistema con el menor valor de R.

88

Tabla 1.13 Mezcla de sistemas estructurales en altura

Descripción de la combinación Requisitos

Estructura flexible apoyada sobre una estructura con mayor rigidez

Pueden utilizarse los siguientes requi-

sitos dados aquí si la estructura cumple

las siguientes condiciones:

a. Ambas partes de la estructura, con-

sideradas separadamente, pueden

ser clasificadas como regulares.

b. El promedio de las rigideces de

piso de la parte baja sea por lo me-

nos diez veces el promedio de las

rigideces de piso de la parte alta.

c. El período de la estructura consi-

derada como un todo, no debe ser

mayor que 1.1 veces el período de

la parte superior, al ser considerada

como una estructura independien-

te empotrada en la base.

Si no se cumplen las condiciones

anteriores la estructura se considera

irregular

Se permite que esta combinación de

sistemas estructurales no se considere

irregular (�p = �

a = 1.0), y el sistema

puede diseñarse sísmicamente utili-

zando el método de la fuerza horizon-

tal equivalente.

1. La parte superior flexible puede

ser analizada y diseñada, como una

estructura separada, apoyada para

efecto de las fuerzas horizontales

por la parte más rígida inferior,

usando el valor apropiado de R0

para su sistema estructural.

2. La parte rígida inferior debe ser

analizada y diseñada como una es-

tructura separada, usando el valor

apropiado de R0 para su sistema

estructural, y las reacciones de la

parte superior, obtenidas de su

análisis, deben ser amplificadas por

la relación entre el valor de R0 para

la parte superior y el valor de R0 de

la parte inferior

Estructura rígida apoyada sobre una estructura con menor rigidez

Corresponde a edificaciones en las cua-

les se suspende antes de llegar a la base

de la estructura, parcial o totalmente,

un sistema estructural más rígido que

el que llega a la base de la estructura

Este tipo de combinación de sistemas

estructurales en la altura presenta

inconvenientes en su comportamiento

sísmico. No es aceptable como solución

estructural

3. No es aceptable como solución

estructural

89

Figura 1.19 Irregularidades en planta

� � � ��

� � ��

� � � � � ��

� ��

� ��

� ��

� � ��

� � ��

��

� � ��

90

Figura 1.20 Irregularidades en altura

43na htCT ��

2IA

TISA1.2

SIA2.5 aaaa

��

��

b

a

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

b

a

Tipo 1aA - Piso flexible - �a = 0.9

0.60 Rigidez KD � Rigidez KC < 0.70 Rigidez KD, ó

0.70 (KD+KE+KF)/3 � Rigidez KC < 0.80 (KD+KE+KF)/3

Tipo 1bA - Piso flexible - �a = 0.8

Rigidez KC < 0.60 Rigidez KD, ó

Rigidez KC < 0.70 (KD+KE+KF)/3

Tipo 2A – Distribución masa - �a = 0.9

mD � 1.50 mE

ó

mD � 1.50 mC

Tipo 3A – Geométrica - �a = 0.9

a � 1.30 b

Tipo 4A – Desplazamiento dentro del plano de acción, �a = 0.8

b � a

Tipo 5aA – Piso débil - �a = 0.9

0.65 Resist. Piso C � Resist. Piso B < 0.80 Resist. Piso C

Tipo 5bA – Piso débil extremo - �a = 0.8

Resist. Piso B < 0.65 Resist. Piso C

91

1.5.2 Redundancia del sistema estructural de resistencia

sísmica

Debe reducirse el valor del coeficiente R0 multiplicándolo por �

r, debido

a la ausencia de redundancia en el sistema estructural de resistencia sís-

mica, en las dos direcciones principales en planta de la siguiente manera:

NSR-10, Sec. A.3.3.8.1: en edificaciones con un sistema estructural

con capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se le asigna un

valor igual a la unidad, �r = 1.0.

NSR-10, Sec. A.3.3.8.2: en edificaciones con un sistema estructural

con capacidad de disipación de energ ��(DMO) y especial (DES)

se le asigna un valor igual a la unidad, �r = 1.0 cuando en todos los pisos

que resistan más del 35% del corte, en la dirección bajo estudio, el siste-

ma estructural de resistencia sísmica cumpla las siguientes condiciones

de redundancia:

a) �� #��#��#6�� :��, La

falla de cualquiera de las diagonales o sus conexiones al pórtico no

resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuer-

zas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en

planta tipo 1bP.

b) �� #�� #�� #6�� 8�:��, La

pérdida de resistencia a momento o a cortante (para el caso de vín-

culos a corte) de los dos extremos de un vínculo no resulta en una

reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales

del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta tipo 1bP.

c) ��#6��, La pérdida de resistencia a

momento en la conexión viga-columna de los extremos de una viga

no resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante

fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional

en planta tipo 1bP.

d) ��6��, La falla de un

muro estructural o de una porción del que tenga una relación de la

altura de piso a su longitud horizontal mayor de la unidad, o de los

elementos colectores que lo conectan al diafragma, no resultan en

una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas hori-

zontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta

tipo 1bP.

92

En los sistemas estructurales que no cumplan las condiciones enun-

ciadas en los literales (a) a (d) el factor de reducción por ausencia de

redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica, �r, se le

debe asignar un valor de �r = 0.75.

Aunque no se cumplan las condiciones enunciadas en los literales

(a) a (d) se le asignará al factor de ausencia de redundancia, �r, un valor

�r = 1.0 en todos los pisos que resistan más del 35% del cortante basal,

en la dirección bajo estudio, si el sistema estructural es simétrico y tiene

al menos dos vanos (tres ejes de columnas) localizadas en la periferia en

las dos direcciones principales. Cuando se trata de muros estructurales

para efectos de contar el número de vanos equivalentes se calcula como

la longitud horizontal del muro dividida por la altura del piso.

1.5.3 Recomendaciones para una buena estructuración

Cuando se habla de estructuración no solamente se refiere a la simetría

de la estructura, pues hay otros factores que deben tenerse en cuenta

para lograr que la estructura tenga un buen comportamiento sísmico.

Con base en la experiencia obtenida en muchos sismos ocurridos en di-

ferentes partes del mundo, se ha elaborado una serie de recomendacio-

nes sobre estructuración, para lograr un mejor comportamiento sísmico;

entre ellas se cuenta:

��

�� "� �� !�

��

�� !�� "��

�� "��

�� !�� -

tales antes que en los verticales

�� "��

la estructura

�� Q�� "��"��

Se recomienda que las estructuras sean livianas, pues las fuerzas de-

bidas al sismo surgen como consecuencia de la inercias de las masas al

desplazarse, por lo cual entre menos peso, menores serán los efectos de los

sismos en ellas. El peso de los muros y de los acabados representa aproxi-

madamente el 50% del peso de la estructura. Son estos los ítems a los que

debe prestarse especial atención para reducir el peso de la estructura.

93

Imagen 1.7 Las pesadas divisiones tradicionales, ladrillos de arcilla,

deben reemplazarse por divisiones modulares, en yeso, muy livianas

Imagen 1.8 La localización de las acometidas de agua, teléfono, luz, gas

y televisión deben ubicarse adecuadamente para no obligar a la colocación

de pesados materiales de nivelación de los pisos

94

Las estructuras deben ser sencillas, para que los modelos matemáti-

cos sean realistas, pues una estructura muy compleja, que mezcla distin-

tos tipos de sistemas estructurales y materiales, no es fácil de modelar;

debe procurarse que sean simétricas para reducir los efectos de torsión,

por lo que se deben evitar las plantas en forma de L, T, y C. También se

debe intentar que no sean muy alargadas en planta y elevación: en plan-

ta, para reducir la posibilidad de que el movimiento en un extremo del

edificio sea diferente a la del otro, y en altura, para reducir el momento

de volcamiento que encarece la cimentación.

Imagen 1.9 Colapso en Armenia, Colombia, en 1999.

Muros estructurales dispuestos en una sola dirección

Conviene que la resistencia y la rigidez de la estructura estén re-

partidas uniformemente, sin concentrarse en unos cuantos elementos.

Entre más hiper-estaticidad tenga la estructura, es mayor el número de

secciones que deben fallar antes que la estructura colapse.

95

Imagen 1.10 Daños en acabados por flexibilidad del primer piso,

Pereira, Colombia, 1999

Se recomienda intentar que las propiedades dinámicas de la estruc-

tura sean congruentes con las del suelo en la cual está cimentada; en

general, se dice que en suelos firmes se comportan mejor las estructuras

flexibles y en suelos blandos las estructuras rígidas. Lo que se trata es de

evitar la posible resonancia por coincidencia de las propiedades dinámi-

cas de la estructura y del suelo.

Finalmente, es recomendable que lo que se construya sea congruen-

te con lo que se proyecta. En algunos casos la colaboración de los muros

divisorios evita el colapso de estructuras sub-diseñadas, si su colocación

es relativamente simétrica y tiene continuidad de un piso a otro. Pero

cuando su colocación es asimétrica, como ocurre en los muros de linde-

ros en edificios localizados en las esquinas o cuando son discontinuos,

como ocurre en algunas construcciones en el primer piso porque se des-

tinan a estacionamientos o comercio, la colaboración de los muros divi-

sorios puede ser causa de daños muy graves o aun del colapso total de la

estructura, al propiciar efectos torsionantes importantes.

96

1.6 Evaluación de la deriva máxima

Las derivas son los desplazamientos relativos entre dos pisos consecuti-

vos de una estructura, se evalúan para las cargas horizontales sin dividir-

las por el factor de modificación de respuesta R.

Al someter una estruc-

tura a la acción de las cargas

sísmicas, fi, los entrepisos

sufren desplazamientos ho-

��i. Las derivas de

entrepiso, �i, para la estruc-

tura de la figura, se calculan

de la siguiente manera:

Piso 1: �1��

1

Piso i: �i��

i��

i-1

En estructuras regulares e irregulares que no tengan irregularidades

en planta tipo 1aP o 1bP o edificaciones con diafragma flexible, la deriva

máxima corresponde a la mayor deriva de las dos direcciones principales

en planta, evaluadas en el centro de masa.

En estructuras irregulares que tengan irregularidades en planta tipo

1aP o 1bP la deriva máxima en cualquier punto del piso i se calcula por

medio de la expresión (1.11).

(1.15)

1.6.1 Límites de la deriva máxima

La magnitud de la deriva debe limitarse, entre mayor sea su valor mayo-

res serán los daños en los elementos no estructurales y en los acabados.

Daños estos que son muy costosos de reparar y su magnitud puede ser

tal que con posterioridad a un evento sísmico la estructura puede llegar

a ser inhabitable. Los límites de las derivas no pueden exceder las espe-

cificaciones de la Tabla 1.15.

Figura 1.21 Derivas de entrepiso

97

Tabla 1.14 Derivas máximas como porcentaje de hpi

Hormigón reforzado, metálicas, de

madera y mampostería que cumplan

los requisitos de la Nota 1

De mampostería que cumplan los re-

quisitos de la Nota 2

Nota 1: se permite emplear en edificaciones construidas en mampostería estructural, cuando

estas estén compuestas por muros cuyo modo prevaleciente de falla sea la flexión ante fuerzas

paralelas al plano del muro, diseñados como elementos verticales esbeltos que actúan como

voladizos apoyados en su base o cimentación.

Nota 2: cuando se trate de muros de mampostería estructural poco esbeltos, o cuyo modo

prevaleciente de falla sea causado por esfuerzos cortantes.

1.6.2 Separación entre estructuras adyacentes por

consideraciones sísmicas

Las estructuras deben construirse tal como se diseñan, permitiéndoles

un desplazamiento lateral; por ello, las estructuras vecinas deben estar

separadas, sin interferencias entre sí, de lo contrario se presentaran cam-

bios no previstos en su diseño que pueden llevarlas al colapso parcial o

total.

La NSR-10, Sec. A.6.5, es muy clara en los requisitos que deben

cumplirse en la separación entre edificaciones vecinas, entre estos re-

quisitos están:

a) Cuando el paramento del lote sea colindante con vía pública o zona

verde pública no requiere separación sísmica con respecto al para-

mento en ese costado o costados.

b) Cuando en la colindancia haya un cerramiento, y la edificación nue-

va esté separada de este cerramiento en una distancia que supere la

señalada para el piso crítico en la Tabla 1.15, no se requiere separa-

ción sísmica.

c) Las edificaciones con uno o dos pisos aéreos en la colindancia no

requieren separación sísmica.

Estructura de Deriva máxima

98

d) Las edificaciones de más de dos pisos aéreos en la colindancia de-

ben separarse del paramento con las distancias especificadas en la

Tabla 1.15.

e) En el caso de edificaciones objeto de reforzamiento y rehabilitación

sísmica, el ingeniero diseñador de la rehabilitación debe dejar cons-

tancia de que estudió el potencial efecto nocivo de la interacción

con las edificaciones vecinas colindantes, y que tomó las medidas

apropiadas según su mejor criterio.

f) El paramento del lote y la separación sísmica requerida deben que-

dar claramente indicados en los planos arquitectónicos que se pre-

sentan a la autoridad competente, o curaduría, para la obtención de

la licencia de construcción.

Tabla 1.15 Separación sísmica mínima en la cubierta entre edificaciones

colindantes que no hagan parte de la misma construcción

Altura

de la

edificación

nueva

Tipo de colindancia

Existe edificación vecina

que no ha dejado la separación sísmica

requerida

No existe edifica-

ción vecina o la que

existe ha dejado la

separación sísmica

requeridaCoinciden las losas

de entrepiso

No coinciden las

losas de entrepiso

1 y 2 pisos No requiere

separación

No requiere

separación

No requiere

separación

3 pisosNo requiere

separación

0.01 veces la altura

de la edificación

nueva (1% hn)

No requiere

separación

Más de

3 pisos


de la edificación

nueva (2% hn)


de la edificación

nueva (3% hn)


de la edificación

nueva (1% hn)

99

Figura 1.22 Medición de la separación sísmica (vista en elevación)

Imagen 1.11 Daños por separación insuficiente de construcciones vecinas,

Armenia, Colombia, 1999

100

Imagen 1.12 Daños por separación insuficiente, edificio Facultad de Ingeniería

Universidad de Concepción, Chile, febrero 27 de 2010

101

Capítulo 2

Filosofía del diseño sísmico

2.1 Sistemas estructurales

La configuración estructural tiene que ver con la geometría en planta y

en altura de la edificación, con la distribución de las masas, con el tama-

ño relativo de los elementos estructurales que la conforman y con sus

uniones (nudos).

Edificios asimétricos, esto es, con irregularidades, han sufrido mucho

más daños por sismos que edificaciones simétricas; por ello, los códigos

de construcción penalizan la utilización de configuraciones irregulares,

en planta y en elevación, y recomiendan el empleo de una configuración

regular. Entre más sencilla sea la configuración más real es el modelo

matemático de la estructura.

Imagen 2.1 La disposición asimétrica de muros en edificios de esquina

puede inducir torsión en la estructura

Es importante que cuando existan discontinuidades en la distribu-

ción, ya sea en las inercias (masas), en la geometría o en la rigidez en

cualquiera de las tres dimensiones, éstas sean incluidas en el diseño me-

102

diante un análisis más detallado de los efectos de estas irregularidades,

y en tal caso, debe hacerse un diseño más conservador y un cuidadoso

detallado de las zonas de mayor posibilidad de falla.

En toda edificación se distinguen tres sistemas estructurales: uno

que soporta las cargas verticales o de gravedad (cargas vivas y muertas),

otro que soporta las cargas horizontales de viento y de sismo, y la funda-

ción que distribuye las cargas en el suelo. Comúnmente, y para reducir

los costos de construcción, el sistema vertical y horizontal es el mismo,

el cual se denomina como la superestructura del edificio. Los sistemas

más comunes y aceptados por los códigos de construcción, tales como el

ATC-3-06, son los siguientes:

2.1.1 Sistema de muros

En este sistema los muros soportan tanto las cargas verticales como las

horizontales. Los muros que soportan las cargas verticales se denominan

muros cargueros; mientras que los que soportan las cargas horizontales

son muros estructurales reforzados. En el sistema de muros no existen

columnas ni vigas, y si se presentan son pocas y transmiten cargas muy

pequeñas. Este sistema es popular en estructuras de mampostería o de

concreto reforzado (sistema túnel).

Imagen 2.2 Sistema estructural con muros de cortante

103

Imagen 2.3 Sistema estructural con pórticos dúctiles de hormigón

2.1.2 Sistema de pórticos dúctiles a flexión

Consiste en un pórtico tridimensional de alta ductilidad que soporta las

cargas por la flexión de las vigas y columnas, tanto para cargas vertica-

les como horizontales. Este pórtico puede tener ductilidad intermedia o

alta (especial). Los pórticos con alta ductilidad requieren un detallado

muy especial del refuerzo, tanto en los elementos como en las uniones.

Este sistema es común en acero y en hormigón reforzado.

2.1.3 Sistema de pórticos

En este sistema los pórticos soportan las cargas verticales, y las hori-

zontales son soportadas por pórticos arriostrados con diagonales. Es un

sistema popular en estructuras de acero.

104

Imagen 2.4 Sistema estructural con pórticos de acero arriostrados (arriba).

Disponibilidad de espacios en una estructura con pórticos dúctiles

de hormigón (abajo)

2.1.4 Sistema dual

Consiste en un pórtico tridimensional acoplado con muros estructura-

les, ambos de alta ductilidad y resistencia. Los pórticos deben soportar

105

al menos el 25% de las cargas horizontales. El pórtico acoplado con los

muros estructurales debe soportar la totalidad de las cargas laterales.

2.1.5 Sistema combinado

Consiste en un pórtico tridimensional acoplado con muros estructurales,

ambos de alta ductilidad y resistencia en los cuales los pórticos no alcan-

zan a soportar el 25% de la carga horizontal.

La experiencia ha indicado que el comportamiento de edificaciones

de concreto reforzado con sistemas duales, y de configuración regular, es

uno de los más adecuados para zonas de alta sismicidad. Este sistema ha

sido muy investigado en Japón y en Estados Unidos tanto experimen-

tal, como analíticamente. El sistema dual es un sistema racional que

ofrece: dos niveles de defensa contra sismos (los muros estructurales y

los pórticos especiales), gran estabilidad y ductilidad, y alta resistencia

que excede las especificaciones mínimas de los códigos de construcción.

Si el sistema estructural es regular y los elementos y nudos se diseñan

de acuerdo con las especificaciones, el sistema es bastante noble, es

decir, poco susceptible de deterioro prematuro por terremotos de gran

capacidad destructiva. Por otra parte, ubicar estratégicamente los mu-

ros permite gran versatilidad en el manejo de espacios, pues da lugar a

soluciones flexibles que conducen a proyectos muy comerciales, ya que

los diseños pueden adecuarse a los requerimientos de los clientes. A la

utilización de este sistema se debe el éxito de la ingeniería chilena, la

cual desde un principio se decidió por las estructuras rígidas.

Los pórticos dúctiles bien diseñados han respondido adecuadamen-

te ante terremotos severos; su inconveniente estriba en que su alta duc-

tilidad conduce a grandes deformaciones que han ocasionado muchos

daños en los elementos no estructurales, lo cual hace costosas las repara-

ciones. Los códigos de construcción tratan de obviar este inconveniente

al limitar las derivas de los pisos y aislar los elementos no estructurales,

regularmente rígidos, de la estructura flexible. Al igual que el sistema

dual, este sistema es muy flexible, permite el manejo de espacios am-

plios y ofrece múltiples soluciones desde el punto de vista comercial.

106

Imagen 2.5 Limitaciones en la distribución de espacios en un sistema de muros

El sistema de muros es un sistema muy rígido, que además de su

excelente comportamiento ante cargas horizontales permite procesos

constructivos muy acelerados que le dan ventajas económicas si se le

compara con el aporticado y el dual. Su desventaja está en la arquitectu-

ra rígida, en el manejo de espacios reducidos, y en las limitaciones cons-

tructivas de parqueaderos en los primeros niveles, pues los muros deben

iniciarse desde la cimentación. Este sistema no permite realizar diseños

de acuerdo con las necesidades de los clientes, por lo que se obtienen

proyectos menos comerciales desde este punto de vista.

Este sistema es una solución ideal para proyectos de vivienda de

interés social o de unidades residenciales en las cuales los parqueaderos

se construyen en estructuras aporticadas independientes.

2.2 Métodos de análisis

El efecto de las fuerzas sísmicas sobre la estructura debe evaluarse por

medio del análisis de un modelo matemático de la estructura que repre-

sente adecuadamente las características del sistema estructural. El aná-

lisis realizado de acuerdo con los principios de la mecánica estructural

debe tener en cuenta, como mínimo:

107

�� "��

combinen elementos verticales de resistencia sísmica con diferen-

cias apreciables en su rigidez.

�� -

ta de manera flexible o rígida.

��

sistema de resistencia sísmica causados por las fuerzas sísmicas.

�� <

�� !��!�� <

�� !��

fuerzas sísmicas y el grado de capacidad de disipación de energía.

Como resultado del análisis de la estructura debe obtenerse, como

mínimo:

�� "��

efectos torsionales que se emplean para evaluar si la estructura

cumple con los requisitos exigidos.

�� !�� "�� -

nales, a todos los elementos verticales del sistema de resistencia

sísmica.

�� !�<

�� -

zas cortantes y fuerzas axiales para todos los elementos del sistema

de resistencia sísmica.

Los métodos de análisis reconocidos por la NSR-10 son los si-guientes:

�� $��

�� $��

�� $��

Según las características de la estructura que se desea analizar, debe

seleccionarse el método de análisis más adecuado.

El método de análisis dinámico inelástico está fuera del alcance del

presente texto; este método se utiliza en aquellos casos en los cuales

se presentan variaciones en la capacidad de disipación de energía en el

rango inelástico, que sólo son posibles de identificar por este método.

108

2.2.1 Método de la Fuerza Horizontal Equivalente

En el caso de cargas de sismo, tanto las cargas como su distribución se

calculan según lo especificado en la Sección 1.6; este procedimiento

se denomina Fuerza Horizontal Equivalente (FHE). La NSR-10, Sec.

A.3.4.2.1, especifica que este método se puede utilizar en el análisis de

las siguientes edificaciones:

1. Todas las edificaciones, regulares e irregulares, en la zona de amena-

za sísmica baja.

2. Todas las edificaciones, regulares e irregulares, pertenecientes al

grupo de uso I, localizadas en la zona de amenaza sísmica inter-

media.

3. Edificios regulares, de veinte niveles o menos, y 60 m de altura, o

menos, medidos desde la base, en cualquier zona de amenaza sís-

mica, excepto las edificaciones localizadas en lugares que tengan un

perfil de suelo tipo D, E o F con período de vibración mayor de 2Tc.

4. Edificaciones irregulares que no tengan más de seis niveles o 18 m

de altura medidos desde la base.

5. Estructuras flexibles apoyadas sobre estructuras más rígidas que

cumplan los requisitos de la NSR-10, Sec. A.3.4.2.3.

En el método de la Fuerza Horizontal Equivalente la magnitud y

distribución de las cargas están basadas en factores y expresiones em-

píricas, y en la suposición de que el comportamiento estructural está

controlado por el primer modo de vibrar, y de que la distribución de las

fuerzas horizontales tiende a una distribución de forma triangular. Es el

procedimiento más general para el análisis de estructuras regulares. Pero

el método de la Fuerza Horizontal Equivalente no es recomendable para

el análisis de estructuras irregulares o estructuras críticas localizadas en

zonas sísmicas.

2.2.2 Método del análisis dinámico elástico

Este método debe utilizarse para analizar las estructuras que no están

cubiertas en el numeral anterior, incluyendo las siguientes:

�� \��

excepción de las edificaciones mencionadas en el numeral 2.2.1 (1)

y (2).

109

�� Edificaciones que tengan irregularidades verticales de los tipos 1A,

2A y 3A.

�� $��

las Figuras 1.20 y 1.21.

�� ?\�� -

calizadas en zonas de amenaza sísmica alta, que no tengan el mismo

sistema estructural en toda su altura.

��

un perfil de suelo D1 E o F y un período mayor de 2Tc. En este caso,

el análisis debe incluir los efectos de interacción suelo- es tructura.

En el método dinámico la magnitud y distribución de las cargas son

funciones de las características dinámicas de la estructura y del sismo

de diseño. En la determinación de las cargas y en su distribución se

incluyen los efectos de la geometría, condiciones de apoyo, materiales y

distribución de las masas.

La diferencia entre estos dos métodos de análisis está en la manera

como las cargas laterales son determinadas y aplicadas a lo largo de la

altura de la estructura.

2.3 Aspectos generales del diseño sísmico

Es deber de los estados salvaguardar la vida, honra y bienes de sus ciu-

dadanos. En la reglamentación se encuentra el medio para garantizar el

cumplimiento de los requisitos mínimos de este objetivo. Estos regla-

mentos, llamados códigos o normas, son escritos por hombres honestos,

de buena voluntad y están sometidos a las fragilidades humanas; es de-

cir, no deben considerarse verdades evangélicas pues sólo representan

una síntesis del conocimiento actual.

Un reglamento no es un conjunto de reglas preparado por unos pocos

para la regulación de otros ingenieros, sino una síntesis del conocimien-

to, las prácticas y las técnicas contemporáneas. Consecuentemente, un

reglamento no puede ser mejor que nuestro conocimiento colectivo, ob-

tenido ya sea por la teoría, la investigación o la experiencia en la práctica.

El gobierno colombiano, a través de la Ley 400 de 1997 (modifi-

cada por la Ley 1229 de 2008) y del Decreto 926 del 19 de marzo del

110

2010, promulgó las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sis-

mo Resistente (NSR-10), con las cuales se reglamenta el ejercicio de

las profesiones afines con la construcción, y se formulan los requisitos

mínimos que deben cumplirse para el diseño de estructuras en acero,

madera, hormigón y mampostería; igualmente se formulan los requisitos

mínimos para la construcción de viviendas de uno y dos pisos.

Uno de los materiales más empleado en la construcción de edificios

es el hormigón reforzado, pero este material tiene el inconveniente de

que no posee las propiedades esenciales que se necesitan para lograr un

buen comportamiento sísmico. Para esto hay que prestar mucha aten-

ción a ciertas características de estructuración y refuerzo que van más

allá de las normales para zonas no sísmicas. Se requiere de gran cantidad

de detalles de refuerzo que son costosos y constructivamente difíciles

de lograr.

� �� -

dío, el 25 de enero de 1999, es el ejemplo más claro de este comporta-

miento defectuoso de estructuras de hormigón cuando no se cumplen

ciertos requisitos especiales. Estos requisitos pueden clasificarse en tres

niveles: estructuración, diseño y ductilidad.

�� !��

de elementos estructurales más apropiado para resistir las fuerzas

sísmicas. Debe tener una resistencia y rigidez alta a carga lateral y

debe evitar llevar la estructura a un colapso con falla frágil.

�� <�

Los requisitos en cuanto a resistencia y rigidez son los mismos para

todas las estructuras.

�� -

migón en zonas sísmicas. Para que una estructura de hormigón ten-

ga un buen comportamiento sísmico hay que cuidar los siguientes

tres factores: resistencia, rigidez y ductilidad. Una estructura debe

tener una capacidad de resistencia bastante alta para soportar las

cargas laterales, pero también debe tener un comportamiento dúctil

para evitar que se presente un colapso total si se excede por alguna

razón su capacidad.

Es prácticamente imposible diseñar una estructura para que resista

las máximas fuerzas sísmicas que pudiesen llegar a presentarse; no se

puede prever con suficiente confianza cuál va a ser el nivel máximo que

111

pueden alcanzar y, aun, en el caso hipotético de que se conociese, la solu-

ción sería una estructura no funcional por lo voluminoso de las columnas,

con costos elevadísimos que la harían inalcanzable para la comunidad.

Para resolver el problema se fija un nivel de resistencia, previendo la po-

sibilidad de que las fuerzas inducidas por los sismos puedan exceder ese

nivel, pues es imposible ponerle límite al desplazamiento del terreno.

Imagen 2.6 Comportamiento dúctil de un edificio de hormigón reforzado

Si las fuerzas exceden los límites de resistencia que se han previsto,

se pretende que la estructura no presente una falla frágil, sino que sea

capaz de disipar la energía adicional que le pueda introducir un sismo, a

través de su comportamiento inelástico, de fluencia o de daños locales,

pero nunca debe llegar al colapso.

2.3.1 Comportamiento de las estructuras hiperestáticas

El comportamiento de las estructuras hiperestáticas puede ilustrarse de

manera muy sencilla: considérese el caso más simple de las estructuras

hiperestáticas, como es el de una viga continua de dos luces. Olvidando

por ahora el efecto del sismo, se asume que sobre la viga actúa una carga

uniforme que aumenta desde cierto valor hasta el máximo que puede

alcanzar (Figura 2.1).

Los valores del diagrama de momentos aumentan proporcionalmen-

te con la carga W cuando la rigidez relativa entre elementos adyacentes

112

permanece constante. Estrictamente, esta proporcionalidad no existe

porque la rigidez cambia; al aumentar la carga aumentan las secciones

que se fisuran y esto hace que los valores de los diagramas de momentos

varíen ligeramente. Si se omiten estas pequeñas diferencias, se puede

pensar que al aumentar el valor de la carga los momentos aumentan pro-

porcionalmente y se mantienen las diferencias relativas.

Figura 2.1 Viga hiperestática de dos luces continuas

Esta proporción se mantiene hasta que alguna sección alcance su

máxima capacidad, el valor de su momento de fluencia; asumiendo que

esta sección es el apoyo B, a partir de este instante esta sección no pue-

de tomar más momento. Si se aumenta ahora el valor de la carga W el

refuerzo de esta sección fluye y ella gira, manteniendo su momento de

fluencia, Myb

. Para fines prácticos esto es equivalente a tener una articu-

lación plástica en este apoyo, y para cargas superiores a las que causaron

este momento, la viga se comporta como una viga continua con una arti-

culación en este apoyo (Figura 2.2) y en este caso entonces el diagrama

de momentos cambia porque Myb

se mantiene fijo.

Figura 2.2 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo B

Al formarse la articulación plástica en el apoyo B la viga no ha falla-

do, sigue siendo estable. De aquí en adelante el tramo BC se comporta

como si fuera una viga simplemente apoyada pero con capacidad de so-

portar aún más carga. Al incrementar ahora la carga los otros momentos

113

se incrementan, hasta que otra sección alcance su momento de fluencia,

supongamos que es la luz L2.

Dejando fijo el momento Myb

se puede au-

mentar la carga e incrementar, a su vez, el valor del momento en la luz

L2, hasta que se forme allí una nueva articulación plástica (Figura 2.3),

se crea ahora un mecanismo de falla que deja la viga inestable, así tenga

más capacidad de rotación.

Figura 2.3 Viga continua de dos luces con articulación plástica

en el apoyo B y la L2

Del análisis anterior se concluye que en las estructuras de hormigón

reforzado, jugando con el refuerzo, se pueden definir los momentos re-

sistentes de estas secciones de manera que se obtenga la secuencia de

articulaciones deseada. El criterio de ingeniería, con manipulación de los

factores de seguridad, define cuál es el mecanismo de falla más conve-

niente para la estructura, y los resultados del análisis elástico sirven sólo

como orientación para esta decisión.

2.3.2 Ejemplo numérico

Para la viga anteriormente mencionada se asumen los siguientes valores

numéricos: W = 3 t/m, L1 = 6 m, L

2 = 5 m, ƒ’

c = 21 MPa, ƒ

y = 420 MPa,

b = 30 cm, h = 40 cm, d’ = 6 cm. Del análisis se obtienen los resultados

elásticos indicados en la Figura 2.4.

Figura 2.4 Demanda de resistencia a la flexión en t-m

114

Lo primero que se debe decidir es la secuencia deseada de forma-

ción de las articulaciones plásticas; arbitrariamente se define que se for-

me la primera articulación plástica en el apoyo B y luego en la luz L2. Es

importante resaltar, nuevamente, que la secuencia deseada de formación

de las articulaciones plásticas es una decisión de ingeniería y el resultado

del análisis elástico es sólo una orientación para el diseño.

Las secciones que se desean mantener elásticas, secciones en A y L1,

se protegen con el factor de seguridad que se considere apropiado, por

ejemplo 1.4. La sección menos protegida es el apoyo B, allí se ha decidido

que se debe formar la primera articulación plástica, luego en ella se toma

un factor de seguridad de 1.0. Para la sección en L2 se toma un factor de

seguridad de 1.2, con ello se pretende garantizar que en este punto la

articulación plástica se forma después de la del apoyo B y las otras seccio-

nes de la viga permanecen en el rango elástico. Para lograr lo anterior, los

momentos obtenidos del análisis elástico, Figura 2.4, se multiplican por

el correspondiente factor de seguridad y se procede al diseño.

Tabla 2.1 Proporcionamiento de sobre resistencia

Sec.M

elástico

t-m

Factor de

seguri-dad

desea-do

Mmayorado

t-mA

s

cm2

As colocado

cm2 Mresistente

Factor de

seguri-dadreal

Ma

8.90 1.4 12.46 11.12 4N.o6 12.69 1.426

L1

4.45 1.4 6.23 5.152N.o 5

+1N.o 46.38 1.434

Mb

9.20 1.0 9.20 7.87 4N.o 5 9.33 1.014

L2

5.34 1.2 6.41 5.312N.o 5

+1N.o 46.38 1.195

Cuando se incremente el valor de la carga W, la primera sección que

agotará su resistencia es el apoyo B, que corresponde a la sección de

menor factor de seguridad (Tabla 2.1). Como los momentos son propor-

cionales a las cargas, la carga W1 que agota la capacidad de resistencia del

apoyo B será W1 = 1.014*W = 3.04 t/m. Cuando la carga W sobrepase

este valor, la sección en B girará sin tomar más momento (Figura 2.5).

115

Figura 2.5 Formación de la primera articulación plástica en el apoyo B

La sección del apoyo B agota su resistencia cuando la carga W alcan-

za el valor de 3.04 t/m, pero las otras secciones permanecen en el rango

elástico. Ahora, se incrementa nuevamente el valor de la carga W1 hasta

que la siguiente sección agote su capacidad de resistencia, para ello se

realizan los cálculos consignados en la Tabla 2.2.

Tabla 2.2 Sobre-resistencia residual

Sec.M

elástico

t-mM

resistente

t-m

Factor deseguridadresidual

Momentosobre-resistente

DM (t-m)

Ma

9.02 12.69 1.407 3.67

L1

4.51 6.38 1.415 1.87

L2

5.42 6.38 1.177 0.96

La siguiente articulación plástica se generará en aquella sección que

tenga el menor factor de seguridad, en este caso es la luz 2. Para deter-

�� [��`��

resistencia en L2, debe considerarse que el tramo BC se comporta como

una viga simplemente apoyada. Para la abscisa indicada se obtiene que

��\<~~��

la viga en estudio es: W2 = W

1��~<~��<

Del ejemplo anterior se puede concluir lo siguiente: en una estruc-

tura de hormigón existen ciertas relaciones fijadas por la estática que

determinan la resistencia, y puede proporcionarse la resistencia que se

desee alcanzar suministrándole a las secciones individuales capacidades

diferentes, de manera que propicien el modo de falla que más conviene;

así que si la estructura alcanza el mecanismo de falla, llegará al menos

desfavorable, uno que dé lugar a una falla dúctil, que sea capaz de disipar

116

energía y que no ocasione un colapso; entonces, a través de la manipula-

ción de las resistencias individuales de las secciones se puede proporcio-

nar el mecanismo de falla más conveniente.

2.4 Filosofía del diseño sísmico según la NSR-10

Si en el pórtico que se muestra en la Figura 2.6a se asume que se cono-

cen exactamente las cargas laterales y su distribución, entonces, como

resultado del análisis elástico se obtiene cierto diagrama de momentos,

tanto en vigas como en columnas. A partir de estos momentos elásticos

se pueden obtener tres comportamientos extremos:

Figura 2.6 Diferentes tipos de mecanismos de falla en estructuras

aporticadas de hormigón reforzado

Tanto a las vigas como a las columnas se les proporciona exactamen-

te la resistencia demandada por el análisis elástico.

Si las cargas laterales se incrementan, se incrementarán los despla-

zamientos y con ellos el valor de los momentos hasta que todas las sec-

ciones lleguen simultáneamente a la fluencia y se forme un mecanismo

de falla (esto es posible si a todas las secciones se les proporciona un

momento resistente exactamente igual al momento elástico). Sería una

casualidad que esto sucediera, por simples aproximaciones, redondeo de

varillas o por requisitos constructivos esto nunca se obtiene en la rea-

lidad, pues siempre hay unas secciones que quedan más sobradas que

otras (Figura 2.6b).

Se les proporciona a las vigas una resistencia mayor a la que deman-

da el análisis elástico; se aumenta por ejemplo en un 20%, y a las colum-

nas se les proporciona exactamente la resistencia que éste indica.

117

Al aumentar las cargas las vigas permanecen elásticas y para cierto

nivel de carga se forman articulaciones plásticas en las columnas; basta

que se formen estas articulaciones en un entrepiso para que la estruc-

tura se vuelva inestable. A este mecanismo de falla se le conoce con el

nombre de mecanismo de columna (Figura 2.6c).

Se les proporciona a las vigas una resistencia exactamente igual a

la que indica el análisis elástico, y a las columnas se les suministra una

resistencia mayor de la que éste demanda, se incrementa en un 20%,

30% o 40%.

Al incrementar las cargas, y cuando los momentos en las vigas alcan-

cen su valor de fluencia, se formarán articulaciones plásticas en sus extre-

mos; si todas se proporcionan iguales éstas se formarán simultáneamente

o secuencialmente de acuerdo con la resistencia suministrada. Esto no

quiere decir que se forme un mecanismo de falla, pues las columnas que-

dan como unas barras en voladizo y, finalmente, para que la estructura

colapse se tienen que formar articulaciones plásticas en las bases de las

columnas. A este mecanismo de falla se le conoce con el nombre de me-

canismo de viga (Figura 2.9d).

En estos tres casos se logran mecanismos de falla diferentes, depen-

diendo de la forma como se han reforzado las secciones o de los factores

de seguridad, que pueden ser diferentes de un lugar a otro. ¿Cuál de los

tres mecanismos de falla es más ventajoso desde el punto de vista del

comportamiento sísmico de estructuras?

Mientras más articulaciones plásticas se necesiten para llegar al me-

canismo de colapso, se tiene más disipación de energía y se requiere me-

nor disipación individual de cada una de las articulaciones; la disipación

se reparte entre muchas articulaciones y se requiere menor demanda de

ductilidad local. Por otra parte, el mecanismo de falla deseable es aquel

que involucra mecanismos de falla en los elementos que tengan más

capacidad de rotación.

El mecanismo de viga es el mejor por las siguientes razones: las vi-

gas tienen mayor capacidad de rotación que las columnas y el mecanis-

mo disipa más energía por tener una mayor cantidad de articulaciones

plásticas.

Lo que interesa es que la ductilidad global de la estructura alcance

cierto valor, �, esto es, que el desplazamiento, medido en el nivel supe-

rior, sea m veces el valor correspondiente al de la formación de la primera

118

articulación plástica. ¿Cuántas veces se necesita exceder la rotación de

fluencia en esta primera articulación? En el mecanismo de columna para

alcanzar cuatro veces la deformación de fluencia global se necesita un

factor de ductilidad de 125 en la articulación más crítica (que rote 125

veces su giro de fluencia). Eso es imposible de lograr en una sección de

hormigón cualquiera y menos en una columna que está sometida a carga

axial.

En el mecanismo de viga, para que la estructura alcance cuatro ve-

ces su deformación de fluencia global, se necesita que la sección más crí-

tica tenga ocho veces la deformación de fluencia, es decir, el doble; pero

en una viga es razonable, mientras que en el de columna es imposible

alcanzar 125 de ductilidad local.

En el mecanismo ilustrado en la Figura 2.6b se tiene un mecanismo

de colapso claramente definido por la formación simultánea de articula-

ciones plásticas en todas las secciones críticas. Por las razones anterior-

mente expuestas es un mecanismo difícil de lograr que no presenta las

ventajas del mecanismo de viga.

Imagen 2.7 Las grandes deformaciones de las estructuras dúctiles van asociadas

a graves daños en acabados y en elementos estructurales

119

2.5 Procedimiento para el diseño a flexión de vigas y columnas

2.5.1 Diseño a flexión de vigas

En el diseño sísmico conviene diseñar las vigas con los resultados del

análisis elástico. Se diseñan las secciones en las cuales se acepta que se

formen articulaciones plásticas con el momento elástico exacto y con el

factor de sub resistencia dado por la NSR-10 (� = 0.90 NSR-10, Sec.

C.9.3.2.1).

2.5.2 Diseño a flexo-compresión de columnas

En las secciones de columnas no se desea un comportamiento inelástico,

por ello deben protegerse mediante factores de seguridad adecuados.

Existen dos maneras de proceder:

�� -

tico pero aumentando los factores de seguridad; este procedimiento

es muy sencillo porque se basa en los resultados elásticos, pero no

es estrictamente riguroso porque no se puede asegurar que se forme

todo el mecanismo previo, no se sabe si el factor de seguridad es

suficiente.

�� -

troducen en las secciones que se desean proteger cuando las vigas

lleguen a la fluencia, y diseñar para estos valores con un factor de

seguridad. Este es una especie de diseño plástico o de diseño en

dos etapas: primero se diseñan por métodos elásticos las secciones

que se desea plastificar (las vigas) y después, cuando se plastifiquen

estas secciones, se observa qué acciones mecánicas se presentan en

los otros elementos (columnas) y se diseña para ellas.

Figura 2.7 Equilibrio de momentos en un nudo, �Mcol

= �Mvig

120

La NSR-10 acepta los dos procedimientos, y exige el segundo de

ellos para diseño a cortante de vigas y columnas en estructuras con de-

manda especial y moderada de ductilidad. Para el diseño a flexión de

columnas se acepta el primer procedimiento pero debe cumplirse la es-

pecificación de la NSR-10 consignada en la Tabla 2.3.

La NSR-98 requería que la resistencia de diseño se evaluara en el

centro del nudo, por su parte la NSR-10 especifica calcularla en las caras

de los nudos; los dos procedimientos conducen a resultados similares,

siendo el procedimiento de la NSR-10 más fácil de evaluar.

Para estructuras con demanda moderada, DMO; y especial de ducti-

lidad, DES, y con el fin de lograr que se forme el mecanismo de viga, la

norma especifica que los momentos nominales de las columnas sean un

20% superiores a los momentos nominales vigas que lleguen al nudo.

Tabla 2.3 Especificaciones para diseño a flexión de columnas según la NSR-10

Resistencia mínima a la flexión de las columnas

Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico

Mínima - DMIModerada – DMO

Sec. C.21.3.6.2

Especial – DES

Sec. C.21.6.2.2

No hay requisitos

especiales�M

n col

� 1.2 �Mn vigas

�Mn col

� 1.2 �Mn vigas

�Mn vigas

= suma de momentos, resistentes nominales a flexión de

las vigas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo

(� = 1 y fs = f

y).

�Mn col

= suma de momentos, resistentes nominales a flexión de las

columnas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo

(� = 1 y fs = f

y).

Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, la

NSR-98 no especificaba ningún requisito especial, no se exigía el em-

pleo de factor de seguridad alguno, y si se diseñaba de acuerdo con los

resultados elásticos se llegaría a un estado de falla no aceptable: se pre-

sentaría falla simultánea de vigas y columnas. No se deben diseñar es-

tructuras con DMO sin emplear un factor de seguridad apropiado para

poder garantizar una falla dúctil, esta deficiencia de la NSR-98 fue co-

121

rregida por la NSR-10, la cual especifica un factor de seguridad de 1.2;

su objetivo es proteger las columnas de la falla a flexión y proporcionarle

ductilidad a la estructura. La resistencia a la flexión de las columnas

debe determinarse a partir de la resistencia real de las vigas y no a partir

de los requerimientos por resistencia, Diseñar las columnas a flexión con los valores de los momentos

elásticos es inapropiado. Por simple redondeo del área de refuerzo, la

resistencia de las vigas es mayor que la requerida por el diseño elástico;

por otra parte, el diseño de las vigas se realiza a partir de la resistencia

nominal de fluencia del refuerzo. Realmente las siderurgias suministran

aceros con puntos de fluencia muy superiores al nominal; SIMESA, por

ejemplo, producía aceros con límites de fluencia superiores en un 18%

del valor nominal, con una desviación estándar de 1.23 MPa; este solo

aspecto puede absorber el factor de seguridad para estructuras con de-

manda de ductilidad especial, en las cuales la resistencia a la flexión de

las columnas puede llega a ser inferior a la de las vigas.

A juicio del autor una factor de seguridad de 1.2 para estructuras

con demanda especial de ductilidad, DES, puede ser bajo puesto que la

sobre resistencia de los aceros nacionales supera en algo más del 10% el

valor del esfuerzo de fluencia de los aceros y absorbe cerca del 50% del

valor de seguridad propuesto. Por otra parte, estas estructuras tienen

grandes deformaciones y pueden llegar a incursionar en la zona de en-

durecimiento por deformación de los aceros por lo que los momentos

resistentes de las vigas deberían ser los probables, fs máx

= 1.25 fy, y no los

nominales, fs = f

y, tal como lo prescribía la NSR-98.

Para estructuras con demanda mínima de ductilidad, DMI, no hay

necesidad de proporcionar ductilidad a la estructura pues los efectos

sísmicos no son de importancia comparados con los efectos de las cargas

gravitacionales.

2.6 Procedimiento para el diseño a cortante de vigas y columnas

2.6.1 Estructuras con Demanda Moderada de Ductilidad

(DMO)

El objetivo del diseño es reducir el riesgo de la falla por cortante en vigas

y columnas durante un sismo, la falla por cortante es indeseable por ser

122

imprevisible y violenta. Se proponen dos opciones para determinar la

fuerza cortante mayorada. La NSR-10, Sec. C.21.3.3, especifica, para

este tipo de estructuras, que el cortante de diseño (Vu) no debe ser me-

nor que el menor valor de:

a) La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos

nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre

y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas.

b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de di-

seño que incluyan los efectos sísmicos, E, considerando E como el

doble del valor prescrito en el título A de la NSR-10.

En la norma NSR-98 se exigía cumplir cualquiera de los dos pro-

cedimientos mencionados, la NSR-10 modifica este aspecto y obliga a

realizar los dos procedimientos para estructuras con demanda moderada

de ductilidad (DMO).

Los cálculos para estructuras con demanda moderada de ductilidad,

DMO, se basan en los momentos resistentes nominales, mientras que para

las estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, los cálculos se

basan en los momentos resistentes probables (Tablas 2.4 y 2.5).

Para la aplicación del literal (a) se procede de la siguiente manera:

El máximo cortante que se puede introducir por sismo es aquel que

se presenta cuando los dos momentos de extremo alcanzan su valor de

fluencia. En este caso la suma de los momentos de extremo no puede

pasar de la suma de sus valores de fluencia y, por tanto, el cortante que

se introduce nunca podrá exceder de esta suma dividida por la longitud

libre, independiente de qué tan fuerte es el sismo.

En todas las aplicaciones los cortantes de diseño se deben calcular

suponiendo que los momentos de extremo actúan en el mismo sentido,

actuando tanto en el sentido de las manecillas del reloj como en sentido

contrario a las manecillas del reloj.

La NSR-10 especifica que el valor de los momentos de fluencia

debe corresponder al valor de los momentos nominales resistentes a fle-

xión, estos momentos se calculan empleando un factor de sub resisten-

cia = 1 y un esfuerzo de fluencia en el acero fs = f

y.

Como para calcular el cortante de diseño se requiere determinar

previamente el valor de los momentos resistentes nominales hay necesi-

123

dad de hacer primero el diseño a flexión, tanto de las vigas como de las

columnas, para saber qué refuerzo se ha de colocar en estas secciones.

Figura 2.8 Cortante de diseño en vigas y columnas

En el caso de vigas, si al cortante por carga vertical se le suma el del

sismo, mayorado por un adecuado factor de seguridad, y se diseñan los

estribos para que soporten este cortante, se logra que la viga nunca falle a

cortante, independientemente de qué tan grande o pequeño sea el sismo.

Por equilibrio estático, esta viga no podrá fallar a cortante, pues el

que se introduce por sismo está limitado por la fluencia de las seccio-

nes de extremo; es decir, existe una especie de fusible que impide que

entre más cortante del que puede resistir la viga, pues antes fallaría por

flexión. Si se diseña con este concepto se está forzando a que la viga

presente un modo de falla dúctil.

Para la determinación del valor del cortante de diseño para una co-

lumna se debe seleccionar la fuerza axial mayorada, Pu, que desarrolle

la mayor resistencia a momento de la columna. Como la resistencia a

124

momento de la columna es, como mínimo, 20% mayor que la resistencia

a momento de las vigas, este procedimiento garantiza que la columna

nunca fallará a corte pues primero fallaran las vigas a flexión.

Imagen 2.8 Articulación plástica en vigas

Para la aplicación del literal (b) se procede de la siguiente manera:

La Figura 2.8 muestra sólo una de las dos condiciones que deben

considerarse para cada elemento. La opción (b) determina Vu con base

en las combinaciones de carga que incluye el efecto sísmico, E, el cual

debe duplicarse. Por ejemplo, de las combinaciones de cargas definidas

en la Sección C.9.2.1 de la NSR-10; las expresiones C.9.5 y C.9.7 que-

dan en este caso:

Wu = 1.2D + 2.0E + 1.0L

Wu = 0.9D + 2.0E + 1.6H (2. 1)

D = carga muerta, L = carga viva, E = f/R = carga sísmica,

H = empuje lateral

En este caso el cortante se calcula con los resultados del análisis

elástico: al cortante debido a las cargas gravitacionales se le suma el co-

rrespondiente al sismo, multiplicado por un factor de seguridad de 2.0.

125

Este procedimiento utiliza los resultados del análisis elástico y no

requiere el diseño previo a flexión de los elementos. Con este proce-

dimiento no se tiene control sobre los factores de seguridad, algunas

secciones pueden quedar sobradas a cortante y otras deficientes. El pro-

cedimiento indicado en el literal (a) es un procedimiento racional que

garantiza, por sí solo, la seguridad a cortante de los elementos estruc-

turales, por tanto, el procedimiento indicado en el literal (b) no tiene

sentido y podría suprimirse de la norma sin afectar la seguridad de la

estructura

2.6.2 Estructuras con Demanda Especial de Ductilidad (DES)

La fuerza cortante de diseño se debe determinar a partir de las fuerzas

estáticas en la parte del elemento comprendida entre las caras del nudo.

Se debe suponer que en las caras de los nudos, localizados en los extre-

mos del elemento, actúan momentos de signo opuesto correspondiente

a la resistencia probable, Mpr

, y que el elemento está cargado con cargas

aferentes gravitacionales mayoradas a lo largo de la luz.

En estas estructuras no se permite usar los resultados del análisis

elástico, se requiere diseñar primero los elementos a flexión y a par-

tir de allí calcular los momentos probables de diseño empleando un

factor de sub-resistencia � = 1 y un esfuerzo de fluencia en el acero

fs = 1.25f

y .

Debido a que la resistencia real del refuerzo longitudinal puede ex-

ceder la resistencia de fluencia especificada, y a que es probable que

ocurra endurecimiento por deformación del refuerzo en un nudo, some-

tido a grandes rotaciones, la resistencia al cortante requerirá un esfuerzo

de al menos 1.25fy para el refuerzo longitudinal. En todos los casos, los

cálculos de los momentos de fluencia deben hacerse con el acero real-

mente colocado en la viga.

El procedimiento de cálculo se indica en la Figura 2.8, pero deben

utilizarse los momentos resistentes probables a cambio de los momentos

resistentes nominales indicados en dicha figura. En las Tablas 2.4 y 2.5

se indican las expresiones a utilizar para su cálculo.

126

Tabla 2.4 Especificaciones para diseño a cortante de vigas según la NSR-10

Resistencia mínima a cortante de las vigas

Mínima - DMI DMI

Moderada - DMO Especial - DES

No hay

requisitos

especiales

El momento nominal

de fluencia se calcula para

�= 1.0 y ƒs = ƒ

y

El momento probable

de fluencia se calcula para

= 1.0 y ƒs = 1.25 ƒ

y

Tabla 2.5 Especificaciones para diseño a cortante de columnas según la NSR-10

Resistencia mínima a cortante de las columnas

Mínima - DMI Moderada - DMO Especial – DES

No hay

requisitos

especiales

El momento de fluencia

se calcula para = 1.0

El momento de fluencia

se calcula para = 1.0 y

ƒs = 1.25 ƒ

y

� 4��#��;

Asumiendo que en las columnas, de estructuras aporticadas resis-

tentes a momento, los puntos de inflexión se presentan en la mitad de

su altura, se tiene en el punto medio una articulación, pero más que una

articulación ese es un punto de inflexión en la columna; entonces, por

equilibrio estático se tiene que el cortante que entra a la columna mul-

tiplicado por la altura H es igual a la suma de los momentos de las vigas

que llegan al nudo (Figura 2.9). Si se determina cuál es el momento ne-

gativo de la viga de un lado y el positivo de la del otro lado, se suman y se

divide por la altura H, se obtiene el valor del cortante que se introduce

127

en la columna; y si se diseña para este cortante, con un adecuado factor

de seguridad, se garantiza que esa columna no puede fallar a cortante

porque las vigas no le pueden introducir más cortante, pues primero

fallan por flexión.

Figura 2.9 Cortante en las columnas Vc = (M

vi + M

vd) / H

(2.2)

En el caso de estructuras con demanda moderada de ductilidad,

DMO, valores de los momentos de fluencia a flexión de las vigas corres-

ponderán a los valores de los momentos nominales y para el caso de

estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, a los momentos

probables.

Existen algunas observaciones adicionales a las expresadas en el nu-

meral anterior y que son propias del diseño de las columnas, como son:

la localización de los puntos de inflexión de las columnas, asumidos en la

mitad de un entrepiso, se cumple aproximadamente para pisos interme-

dios pero no en el primero ni el último piso. Por otro lado, debe prestar-

se mucha atención al proceso constructivo de los muros no estructuras

reales, pues si se adosan a la columna pueden reducir peligrosamente la

altura H, lo cual conduce a un exagerado incremento del cortante que

puede producir la llamada falla por columna corta (Imagen 2.9).

128

Imagen 2.9 Fallas de columna corta, Armenia, Colombia, enero de 1999

129

Capítulo 3

Análisis tridimensional

3.1 Introducción

El análisis estructural se considera como el conjunto de actividades que

llevan a la determinación de la respuesta de la estructura ante las dife-

rentes acciones exteriores que puedan afectarla.

El análisis tiene tres etapas básicas:

�� !�� ! �-

co, factible de ser analizado por los procedimientos de cálculo dis-

ponibles.

�� !��<

�� !��-

lo de la estructura elegido.

Las estructuras de los edificios son tridimensionales y podrían ana-

lizarse, como tales, empleando el Método del Elemento Finito (MEF).

Con este método pueden idealizarse losas, columnas, vigas, muros, etc.

mediante diferentes tipos de elementos. Sin embargo, en la práctica

existen algunos inconvenientes:

�� ¡ �� -

dos de procesos, así como de entrada y salida de datos.

��

que inducen a errores difíciles de localizar.

�� !�� <

Un análisis tridimensional de tal naturaleza está reservado para es-

tructuras muy especiales o partes limitadas de un edificio de caracterís-

ticas poco usuales.

La denominación de método “exacto” se refiere a la precisión nu-

mérica dentro del marco de ciertas hipótesis. En el análisis de edificios,

dicho término alude a resultados precisos de modelos en los que las car-

gas y las propiedades mecánicas de los materiales son conocidas y se

supone un comportamiento elástico lineal.

130

Los reglamentos modernos consideran que ante temblores severos

las estructuras de los edificios muy probablemente incursionarán dentro

del rango inelástico. Además, existen incertidumbres en las predicciones

de las acciones sísmicas y en el cálculo de las propiedades como masas,

inercias, etc. Por tales motivos, aun empleando los más refinados pro-

gramas de computador, se obtienen solamente modelos aproximados de

las estructuras y sus solicitaciones. Es concebible que, bajo ciertas cir-

cunstancias, un método “aproximado” represente a una estructura con

precisión similar a la de un método “exacto”.

En edificios, para hacer el análisis tridimensional, la práctica más

frecuente es idealizar la estructura como un conjunto de sub estructuras

(pórticos y muros) planas, ligadas por los sistemas de piso, que se con-

sideran indeformables en su plano, es decir, funcionan como diafragmas

infinitamente rígidos en planta.

3.2 Hipótesis del modelo matemático

En este capítulo se desarrolla un modelo matemático para el análisis

tridimensional lineal de estructuras aporticadas, y la estructura se sub-

divide como un conjunto de pórticos planos acoplados por un sistema de

entrepiso rígido en su plano. Para generalizar el estudio a los sistemas

combinado y dual, basta con hacer las modificaciones correspondientes

a la matriz de rigidez, lo que puede consultarse en los textos de análisis

estructural. Una vez planteado el modelo, se desarrolla, paso a paso, un

ejemplo de análisis.

El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis:

�� <�� "��

son conocidas y se asume un comportamiento lineal elástico de la

estructura; es decir, existe linealidad entre las cargas impuestas y las

deformaciones causadas.

�� ! ��

planos dúctiles, acoplados por un sistema de entrepiso rígido.

�� -

nifica que los diafragmas de entrepiso sólo sufren traslaciones o des-

plazamientos sobre los ejes X y Y, y rotaciones respecto al eje Z,

131

pero no se deforman. Como consecuencia de ello, las vigas no sufren

deformaciones axiales.

La NSR-10 define en su Sección A.3.6.7.2 qué debe entenderse por

diafragma rígido en su propio plano:

El diafragma puede suponerse rígido en su propio plano cuando se

dispone su rigidez y su resistencia de tal manera que este actúe

como una unidad y sus propiedades de masa y rigidez se puedan

concentrar en el centro de masa y en el centro de rigidez. En

las edificaciones que tengan irregularidades del tipo 2P y 3P la

consideración de diafragma rígido debe evaluarse cuidadosamen-

te, pues en la mayoría de los casos estas irregularidades inhiben

el comportamiento como diafragma rígido en los entrepisos de

la edificación. El diafragma puede suponerse flexible, cuando la

máxima deflexión horizontal dentro de diafragma, al verse some-

tido a las fuerzas sísmicas, F, es más de dos veces el promedio de

sus deflexiones horizontales.

Figura 3.1 Los efectos sísmicos se analizan independientemente

en dos direcciones ortogonales

132

�� <

��

de masa.

�� <

Las anteriores hipótesis traen como consecuencia la consideración

de sólo tres grados de libertad en cada entrepiso de una estructura: dos

desplazamientos horizontales (mx, m

y) y un giro alrededor de un eje ver-

tical (fz), por consiguiente, el número de incógnitas de una estructura

será de tres veces el número de pisos de la misma.

3.3 Definiciones

�� Q�� [Q<�<`¢��Q��

de aplicación de la fuerza sísmica en un nivel considerado. Para una

distribución uniforme de la masa, el centro de masa coincide con el

centro geométrico del entrepiso (centro de gravedad).

�� Q�� Q� ��[QQ`¢�� Q�� Q� ��

punto de aplicación de la fuerza cortante sísmica del entrepiso. La

localización de este punto depende de la localización de los centros

de masa o de gravedad de cada entrepiso y no de la rigidez de la

estructura.

�� Q�� ̂ ��!��[Q^`¢�� -

tante de entrepiso para que el movimiento de todos ellos sea ex-

clusivamente de traslación (fz = 0). La localización del centro de

torsión, también conocido como centro de rigidez, depende de la

distribución de la rigidez de la estructura.

Los Centros de Masa y de Cortante se refieren a la aplicación de

las acciones sísmicas, mientras que el Centro de Torsión se asocia con la

aplicación de la resistencia.

�� ¢�� -

de que la excentricidad estática será la diferencia entre las coorde-

nadas de los centros de cortante y de torsión. En forma simbólica,

para la excentricidad estática en el eje X se tiene:

133

eX = X

C.C. – X

C.T. (3.1)

�� £�¤c ]

j: es el resultado de la condensa-

ción estática de la matriz de rigidez del pórtico j, y relaciona los des-

plazamientos del piso “i” (�i)

j con las fuerzas laterales (f

i)

j. Es una

matriz cuadrada de orden “n”, donde “n” es el número de pisos. Es

indispensable que el lector esté familiarizado con el procedimiento

para obtener esta matriz, pues su deducción está fuera del alcance

del presente texto.

{ fi }

j��£�¤

c ]

j * { �

i }

j (3.2)

3.4 Sistema global de coordenadas

Se adopta el sistema de coordenadas indicado en la Figura 3.2 como sis-

tema global de coordenadas. Las fuerzas y desplazamientos serán positi-

vos cuando su sentido coincida con el de los ejes X y Y, y los momentos y

giros serán positivos cuando su sentido coincida con el del eje Z.

Figura 3.2 Sistema global de coordenadas

134

3.5 Procedimiento de análisis, diagrama de flujo

Figura 3.3 Diagrama de flujo

135

3.6 Matriz de rigidez de la estructura

3.6.1 Fundamentos

Una excitación sísmica es un efecto dinámico que induce movimientos

en las estructuras, a estos movimientos las estructuras se oponen por su

inercia y por su rigidez. La determinación del valor y ubicación de las

fuerzas de reacción a este movimiento es obtenida por algún método es-

tático o dinámico que se asume conocido. Supongamos que la estructura

indicada en la Figura 3.4a se somete a una excitación sísmica, la cual se

cuantifica por su cortante basal, Vsy, que actúa en la dirección del eje Y

y que las fuerzas que se oponen a este movimiento son las indicadas en

la Figura 3.4b.

Figura 3.4 Efectos de las acciones sísmicas sobre las estructuras

La fuerza sísmica que se presenta en el pórtico “j”, fj, genera un

momento torsor respecto al eje Z, el valor de este momento es igual al

producto de la fuerza por la distancia que existe entre el origen de coor-

denadas y la línea de acción del pórtico j, rj.

Para calcular la distancia rj debe definirse el sistema local de coor-

denadas del pórtico j, con este fin se selecciona arbitrariamente el nudo

inicial y final del pórtico; el resultado es independiente de esta elección.

El valor de rj suele expresarse en términos de las coordenadas del

punto medio, Pjm

(Xjm

, Yjm

), para su deducción se proyecta la estructura

sobre el plano XY.

136

Figura 3.5 Análisis de la torsión, momento torsor

Las coordenadas del punto medio se calculan mediante la siguiente

expresión:

(3.3)

El ángulo que forma el eje del pórtico “j” con el eje X se denomina

zj, se mide del eje X al eje del pórtico y su sentido positivo es contrario

al de las manecillas del reloj.

(3.4)

Figura 3.6 Distancia del pórtico j al origen de coordenadas, rj

137

(3.5)

Aquí rj es una cantidad vectorial, como tal puede tener valores posi-

tivos o negativos.

3.6.2 Desplazamientos de los entrepisos

La Figura 3.7 corresponde a un entrepiso cualquiera de un edificio, nivel

i-ésimo; en ella se indican los desplazamientos que sufre el entrepiso

referidos al sistema global de coordenadas. Se pretende ahora obtener

los desplazamientos de los pórticos, en el nivel i-ésimo, a partir de los

desplazamientos del entrepiso.

Figura 3.7 Desplazamientos del entrepiso, nivel i-ésimo

Figura 3.8 Vista en planta del pórtico j en el nivel i-ésimo

de una estructura cualquiera

rj = ab = ac – bc = X

jm * Sen

zj – Y

jm * Cos

zj

138

A cada nivel i del pórtico j se le puede asociar un desplazamiento

en el plano del pórtico, dji , en función de los tres grados de libertad del

nivel i ( �xi

, �yi

, zi

). Considerando que el ángulo de torsión, zi

, es

pequeño, se obtiene:

Figura 3.9 Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función

de los desplazamientos del nivel i

(3.6)

zj

= ángulo que forma el pórtico j con el eje X

zi = ángulo de torsión del entrepiso i- ésimo

�Xi

, �Yi = desplazamientos en X y Y del entrepiso i-ésimo

dji = desplazamiento del pórtico j en el entrepiso i-ésimo

3.6.3 Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales

De acuerdo con el método de las rigideces:

(3.7)

Sustituyendo (3.6) en (3.7):

(3.8)

139

El vector {fj} representa el conjunto de fuerzas laterales que es ne-

cesario aplicar al pórtico j para obtener el vector de desplazamiento {dj}.

{Fj} = � {f

j} representa la fuerza sísmica (obtenida por algún méto-

do estático o dinámico que se asume conocido) correspondiente al nivel

i-ésimo y que actúa en el centro de masa del nivel i.

Figura 3.10 Fuerza aplicada al pórtico j para producir el desplazamiento dji

Si se descompone el vector fji se obtiene:

(3.9)

Reemplazando (3.8) en (3.9):

Al emplear la notación matricial obtenemos finalmente la matriz

lateral de la estructura de tamaño 3n*3n, donde n es el número de pisos.

Si reemplazamos Cos zj por C y Sen

zj por S se obtiene:

(3.10)

140

La matriz de rigidez también suele expresarse con la siguiente

notación:

(3.11)

Cada término de la matriz total es una sub-matriz de orden n*n, en

�� $ ��£¦xx

] se obtiene

como:

(3.12)

� � �� £¦xx

] se suman las matrices condensadas

de cada pórtico, multiplicadas por el Cos zj correspondiente a cada uno

de ellos.

3.7 Vector de cargas

3.7.1 Coordenadas del centro de cortante

Si se conocen la fuerza sísmica y la posición del Centro de Masa (C.M.)

de cada nivel, por estática se obtienen las coordenadas del Centro de

Cortante (CC):

(3.13)

En la cual:

(Xcc

, Ycc

)i = coordenadas del centro de cortante del entrepiso i

(X.cm

, Ycm

)k = coordenadas del centro de masa del entrepiso k

Vi = fuerza cortante del entrepiso i

Fk = fuerza sísmica del nivel k

141

3.7.2 Coordenadas del centro de torsión

El planteamiento hasta aquí expresado es de carácter general en el aná-

lisis tridimensional de estructuras. La dificultad del análisis de la torsión

radica en la determinación del vector de momentos, {Mzi}, indispensa-

ble para poder resolver el sistema de ecuaciones.

Para determinar la localización del centro de rigidez, también lla-

mado centro de torsión, se deben considerar dos direcciones ortogonales

del sismo, por comodidad se seleccionan las direcciones de los ejes X y Y.

-�7��6��<

Se considera como Centro de Torsión (CT) el punto donde al aplicar la

fuerza cortante sísmica el desplazamiento de los entrepisos es exclusiva-

mente de traslación (zi

= 0).

Para el sismo que actúa en la dirección del eje X:

{Fxi} = {V

i}

{Fyi} = {0}

{zi} = {0}

En donde el vector {Vi} es el vector de las fuerzas cortantes sísmicas

de entrepiso.

De acuerdo con la expresión (3.11) se obtiene:

(3.14)

Y al expandir la parte superior de la expresión (3.14):

(3.15)

La solución del sistema de ecuaciones anteriores permite obtener

los desplazamientos de entrepiso. Cuando se expande la parte inferior

de la expresión (3.14) se tiene:

142

(3.16)

Como el vector de momentos {Mzi} está referido al origen del sis-

tema global de coordenadas, se puede obtener la coordenada YCT

del

entrepiso i después de dividir el momento Mzi por el cortante de entre-

piso Vi.

El signo negativo en la expresión (3.17) obedece a que cuando el

sismo actúa en dirección del eje X, el momento torsor, Mzi, coincide con

la dirección negativa del eje Z.

Figura 3.11 Análisis del sismo en X

(3.17)

-�7��6��

El desarrollo es análogo al sismo en X. Ahora:

{Fxi} = {0}

{Fyi} = {V

i}

{�zi} = {0}

De acuerdo con la expresión (3.11) se obtiene:

(3.14a)

143

Al expandir la parte superior de la expresión (3.14a):

(3.18)

La solución del sistema de ecuaciones anteriores permite obtener

los desplazamientos de entrepiso. Si se expande la parte inferior de la

expresión (3.14a) se tiene:

(3.19)

Como el vector de momentos {Mzi} está referido al origen del siste-

ma global de coordenadas, se puede obtener la coordenada Yct del entre-

piso, i, si dividimos el momento Mzi por el cortante de entrepiso V

i:

Figura 3.12 Análisis del sismo en Y

3.7.3 Excentricidades estáticas y de diseño

Una vez localizados los centros de cortante y de torsión, se aplica la

expresión (3.1) y se determinan las excentricidades estáticas de cada

entrepiso, i:

(3.21)

(3.20)

144

Esta excentricidad se deduce con buen rigor matemático a partir de

un modelo elástico, bajo la hipótesis de un sistema de entrepiso de rigi-

dez infinita, pero la localización del centro de rigidez o centro de torsión

es muy imprecisa, pues se han omitido aspectos trascendentales, por

ello puede afirmarse que la excentricidad estática deducida tiene una

pobre aproximación pues la rigidez de los elementos puede ser alterada

por agrietamientos locales al incursionar la estructura en el rango inelás-

tico, por la contribución de elementos no estructurales (muros) y por la

incertidumbre en la localización de las masas dentro de los entrepisos.

El análisis realizado para la excentricidad se basa en procedimientos

elásticos y el efecto sísmico es de carácter dinámico. Debido a que el

efecto de la vibración es de carácter dinámico, el momento torsor que ac-

túa en cada entrepiso puede verse en general amplificado y, por tanto, la

excentricidad efectiva puede ser mayor que la calculada estáticamente.

Por las dos razones expuestas, las normas modernas de análisis sís-

mico proponen que el momento torsor de entrepiso se calcule no con la

excentricidad estática sino con una excentricidad efectiva calculada de

acuerdo con la siguiente expresión:

ediseño

= � ee ± � D (3.22)

ee = excentricidad estática calculada a partir de los valores teóricos

de los centros de cortante y de torsión, de acuerdo con la ex-

presión (3.21).

� = factor que cubre la amplificación dinámica de la torsión.

D = longitud de la estructura en dirección normal a la del análisis.

b = es un coeficiente igual a 0.05 o 0.10, dependiendo del código.

La primera parte de excentricidad de diseño, expresión (3.22), tie-

ne en cuenta el efecto dinámico de la vibración; y la segunda parte,

que se conoce como excentricidad accidental, cubre aspectos como el

comportamiento no lineal de la estructura, la incertidumbre en la loca-

lización de las masas de entrepiso, el efecto de los elementos no estruc-

turales, etc.

� * ee = excentricidad dinámica

145

La NSR-10, Sec. A.3.6.7, especifica: “Debe suponerse que la masa

de todos los pisos está desplazada transversalmente hacia cualquiera de

los dos lados, del centro de masa calculado de cada piso, una distancia

igual al 5% (0.05) de la dimensión de la edificación en ese piso, medida

en la dirección perpendicular a la dirección en estudio”.

ediseño

= ee ± 0.05*D (NSR-10) (3.23)

La excentricidad de diseño según la NSR-10 no tiene en cuenta el

efecto dinámico de la vibración. El término D se refiere a la dimensión

de la estructura normal, a la dirección en estudio medida en cada entre-

piso.

Las siguientes son las especificaciones para calcular la excentricidad

de diseño en diferentes códigos:

ex = 1.5 e

e ± 0.10*D (México D.F.)

ex = (1.7 e

e – e

e 2 / D) ± 0.10*D (Nueva Zelanda)

ex = 1.5 e

e ± 0.05*D (Canadá)1

ex = e

e ± 0.05*D (ATC3)

La norma colombiana adopta la expresión propuesta por el ATC3.

Figura 3.13 Excentricidades de diseño según las diferentes normas

1 Si la excentricidad de diseño excede de 0.25*D se duplica el efecto torsional.

146

3.7.4 Momentos torsores

-�7��6��<

La condición de carga para esta dirección queda determinada de la si-

guiente forma:

Para obtener {Mzi} de la expresión (3.17) para el entrepiso i-ésimo:

Figura 3.14 Análisis del sismo en X

{YCCi

}1 = {Y

CTi} + {E

Yi}

1

{ YCCi

}2 = {Y

CTi} + {E

Yi}

2

(3.24)

Por tanto:

{Mzi}

1 = - V * { Y

CCi }

1

{Mzi}

2 = - V * { Y

CCi }

2

(3.25)

Lo anterior implica que para el sismo en X se debe resolver dos ve-

ces el sistema para los siguientes estados de carga:

-�7��6��=

La condición de carga para esta dirección queda determinada de la si-

guiente forma:

147

Para obtener {Mzi} de las expresiones (3.20) para el entrepiso

i-ésimo:

Figura 3.15 Análisis del sismo en Y

{XCCi

}1 = {X

CTi} + {E

Xi}

1

{ XCCi

}2 = {X

CTi} + {E

Xi}

2

(3.26)

Por tanto:

{Mzi}

1 = - V

yi * { X

CCi }

1

{Mzi}

2 = - V

yi * { X

CCi }

2

(3.27)

En suma, se resolverá el sistema dos veces para los siguientes esta-

dos de carga:

3.8 Análisis de los pórticos planos

3.8.1 Desplazamientos de los entrepisos

Una vez determinadas las fuerzas sísmicas y los momentos torsores que

actúan sobre la estructura, se deben aplicar a los diferentes elementos

de resistencia sísmica para proceder a su diseño, para esto debe anali-

zarse la estructura, para cada uno de los cuatro casos de carga sísmica

mencionados (dos para sismo en X y dos para sismo en Y), y obtenerse

los dos desplazamientos y el giro de cada uno de los entrepisos. Estos

cálculos se realizan empleando la expresión (3.11):

148

(3.11)

3.8.2 Desplazamientos de los pórticos planos

Determinados los desplazamientos y giros de cada entrepiso, se calculan

los desplazamientos que tienen los diferentes pórticos, en cada nivel,

para cada uno de los cuatro casos de carga. Estos cálculos se realizan

aplicando la expresión (3.6):

Figura 3.16 Desplazamientos de los nudos

(3.6)

3.8.3 Cortantes y fuerzas sísmicas en los pórticos

Obtenidos los desplazamientos de cada pórtico, se calculan los cortantes

con la expresión (3.7):

{Vi}

j��£¦

c]

j * {d

i}

j (3.7)

Figura 3.17 Cortantes y fuerzas horizontales

149

3.9 Control de derivas

El primer objetivo del diseño sismorresistente es proporcionar a la es-

tructura la capacidad de disipar la energía que induce en ella un sismo

severo sin que ésta sufra un colapso o daños irreparables. Esta capacidad

puede lograrse diseñando la estructura para que tenga una resistencia

menor, pero cuente con propiedades de ductilidad que le permitan disi-

par la energía introducida por el sismo mediante ciclos de histéresis en

etapas inelásticas. El logro de este objetivo se pretende alcanzar en los

siguientes capítulos.

El segundo objetivo básico del diseño sismorresistente consiste en

evitar daños ante sismos moderados; este objetivo se pretende lograr

limitando los desplazamientos laterales de la estructura. El índice más

importante para la determinación de la magnitud de los posibles daños

es la deriva de entrepiso, o sea el desplazamiento relativo entre dos pi-

��i . Si la deriva se divide por la altura de entrepiso, H

pi , se

obtiene el ángulo de distorsión del entrepiso (�i��

i / H

pi).

El objetivo es limitar las derivas a valores que no causen daños en

elementos estructurales y no estructurales, no para el sismo de diseño

sino para uno de mucha menor intensidad. Para poder emplear los mis-

mos resultados del análisis ante el sismo de diseño, la distorsión angular

se multiplica en la NSR-10 por un factor del orden de cinco, con respec-

to a las que realmente se quieren controlar.

Experimentalmente se ha determinado que en muros de mam-

postería y en recubrimientos frágiles de muros divisorios se provoca

agrietamiento cuando las distorsiones exceden de �i = 0.002; la NSR-

10, Sec. A.6.4.2, exige que el valor de la distorsión calculada, para es-

tructuras de hormigón reforzado, no exceda el valor de: �i = 0.01. Para

estructuras de mampostería este valor se reduce a la mitad.

3.10 Ejemplo

Primera parte, evaluación de cargas

Se estudiará el edificio de cuatro niveles mostrado en la figura. Para el

análisis sólo se consideran las deformaciones por flexión y el sistema de

piso será considerado de rigidez infinita en su plano. Las divisiones y la

fachada serán tradicionales, ladrillos de arcilla huecos (mampostería).

150

Localización................... Medellín, Aa = 0.15, A

v = 0.20 (NSR-10, Apéndice A.4)

Zona de amenaza sísmica Intermedia

Uso................................. Residencial

Sistema estructural........ Pórticos dúctiles de hormigón resistentes a momento

Capacidad de ductilidad Moderada (DMO)

Perfil del suelo............... C Fa = 1.2, F

V = 1.6 (NSR-10, Tabla A.2.4-3)

Grupo de uso................. 1 Coeficiente Importancia. I = 1.0

Peso de particiones........... 3.0 KN/m2 (300 kgf/m2) NSR-10, Sec.B.3.4.3

Peso de acabados............. 1.6 KN/m2 (160 kgf/m2) NSR-10, Sec. B.3.4.3

Carga viva......................... 1.8 KN/m2 (180 kgf/m2) NSR-10, Sec. B.4.2.1

Hormigón....................... f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2)

Acero............................. fy = 420 MPa (4,200 kgf/cm2)

151

Planta primer piso

152

Planta segundo piso

153

Planta tercer piso

154

Vigas de........................ 30 x 40 cm

Columnas eje 4............. 30 x 30 cm

Columna 2B.................. Lx = 30, L

y = 50 cm

Columnas eje 4………… Lx = 30, L

y = 30 cm

Otras columnas............. Lx = 50, L

y = 30 cm

Solución:

�� !�� 2

Por la configuración del sistema de entrepiso, ubicación de vacíos y vola-

dizos, se consideró que el sistema más apropiado para estructurar la losa

Corte A-A

155

es el de armado en una dirección. Para deducir su peso será empleada

una losa aligerada, y como aligerantes se usarán casetones de madera no

recuperables.

La sección más representativa de la losa es la indicada en la figura

inferior, ella será tomada como base para evaluar las cargas gravitaciona-

les. Para las cargas producidas por acabados y particiones se adoptarán los

valores mínimos sugeridos por la NSR-10, pero se recomienda evaluarlos

para cada estructura; en este caso no se hizo por tratarse de un ejemplo

académico, pero ellas representan cerca del 50% de la masa del edificio.

Loseta superior 0.05 * 1.00 * 2,400 = 120 kgf/m2

Torta inferior 0.02 * 1.00 * 2,300 = 46

Nervio 0.33 * 0.10 * 2,400 = 79

Casetones 32 * 0.9 = 29

----------

Peso de la losa = 274

Acabados (NSR-10, Sec. B.3.4.3) = 160

Particiones (NSR-10, Sec. B.3.4.3) = 300

====

Total carga muerta de servicio: CM = 734 kgf/m2

Carga viva de servicio (NSR-10, Sec. B.4.2.1) = 180 kgf/m2

Cargas por m2 de losa:

Carga de servicio Ws = CM + CV = 734 + 180 = 914 kgf/m2

Carga última de diseño Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 1,168.8 kgf/m2

Factor de seguridad promedio de carga

Wu / W

s = 1,168.8 / 914 = 1.28

La carga última de diseño para la losa es de 1,168.8 kgf/m2, en esta

carga no está incluido el peso de las vigas, el cual debe adicionarse cuan-

do se trate su diseño (Capítulo 4).

Para evaluar la masa de un entrepiso, a la carga muerta de la losa debe

adicionársele la masa de las vigas y de las columnas aferentes al mismo.

156

�� !�� "� ��

entrepisos

A la masa de la losa de cada entrepiso se le adicionan las masas de las

vigas y de las columnas aferentes (mitades de la longitud del entrepiso

inferior y superior).

Piso 1

Planta primera losa

Área total de la losa (no incluye buitrones, ni vacío del ascensor) = 198.80 m2

Área de la losa (no incluye buitrones, vacío del ascensor ni vigas) = 170.40 m2

Longitud de vigas de 30 x 40 = 94.70 m Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.5 + 9 * 1.2) = 24.30 m Longitud columnas de 30 x 30 (3 * 1.5 + 3 * 1.2) = 8.10 m

Peso de la losa = 170.40 * 734 = 125,073.6 kgf Peso vigas = 94.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400 = 27,273.6 kgf Peso columnas = 24.30 * 0.30 * 0.50 * 2,400 = 8,748.0 kgf Peso columnas = 8.10 * 0.30 * 0.30 * 2,400 = 1,749.6 kgf ========= Peso del primer entrepiso = 162,844.8 kgf

157

Piso 2

Planta segunda losa

Área de la losa

(no incluye buitrones ni vacío del ascensor) = 171.20 m2

Área de la losa (no incluye buitrones,

vacío del ascensor ni vigas) = 142.80 m2

Longitud de vigas de 30 x 40 = 94.70 m

Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2 + 9 * 1.2) = 21.60 m

Longitud columnas de 30 x 30 (3 * 1.2) = 3.60 m

Peso de la losa = 142.80 * 734 = 104,815.2 kgf

Peso vigas = 94.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400 = 27,273.6 kgf

Peso columnas = 21.60 * 0.30 * 0.50 * 2,400 = 7,776.0 kgf

Peso columnas = 3.60 * 0.30 * 0.30 * 2,400 777.6 kgf

=========

Peso del segundo entrepiso = 140,642.4 kgf

158

Piso 3

Planta tercera y cuarta losa

Área de la losa

(no incluye buitrones ni vacío del ascensor) = 163.90 m2

Área de la losa (no incluye

buitrones, vacío del ascensor ni vigas) = 142.09 m2


Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2 + 9 * 1.2) = 21.60 m


Peso vigas = 72.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400 = 20,937.6 kgf

Peso columnas = 21.60 * 0.30 * 0.50 * 2,400 = 7,776.0 kgf

=========

Peso del tercer entrepiso = 133,007.7 kgf

159

Piso 4

Por tratarse de una terraza no se considera el peso de los muros divi-

sorios, por esta razón el peso de la carga muerta en este nivel es de

434 kgf/m2.

Área de la losa,

no incluye buitrones ni vacío del ascensor = 163.90 m2

Área de la losa, no incluye

buitrones, ni vacío del ascensor, ni vigas = 142.09 m2


Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2) = 10.80 m


Peso vigas = 72.70 * 0.30 * 0.40 * 2400 = 20,937.6 kgf

Peso columnas = 10.80 * 0.30 * 0.50 * 2400 = 3,888.0 kgf

=========

Peso del cuarto entrepiso = 86,492.7 kgf

Los centros de masa, que para el modelo asumido coinciden con los

centros de gravedad, han sido determinados con ayuda del programa Au-

tocad y sus resultados aparecen en los planos anteriores. Como resumen

de estos cálculos se tiene:

EntrepisoPesos

(kgf)

Centro de Masa (CM)

X C.M.

Y C.M.

1 162 844.8 773 581

2 140 642.4 668 575

3 133 007.7 631 576

4 86 492.7 631 576

Peso del edificio 522 987.6

Masa del edificio = peso del edificio / gravedad = 522,987.6/ g

160

�� Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Hori-

zontal Equivalente

Cortante basal (Vs):

NSR-10, Sec. A.4.3.1 Vs = S

a * g * M

M = masa del edificio, calculada en el numeral anterior (522,987.6

kgf / g)

g = aceleración de la gravedad

Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período

de vibración dado. Se expresa como una fracción de la acele-

ración de la gravedad.

Para poder obtener Sa se requiere determinar el período de vibra-

ción de la estructura, el cual puede calcularse en forma aproximada con

la siguiente ecuación, dada para estructuras aporticadas de hormigón:

NSR-10, Sec. A.4.2.2

hn = altura en metros, medida desde la base al piso más alto. Para

pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado: Ct = 0.047

y � = 0.9 (NSR-10, Tabla A.4.2-1)

hn = 3.4 + 3*2.8 = 11.80 m

La anterior expresión proporciona un valor del período fundamental

muy aproximado. De acuerdo con esta ecuación, todos los edificios que

tengan 11.80 m de altura tienen el mismo período, en todas las direccio-

nes, independiente de su rigidez. Como el cortante basal depende del

período, éste debe evaluarse lo más real posible.

El período fundamental de una estructura, T, con un modelo lineal-

mente elástico, puede obtenerse de manera más precisa empleando los

conceptos de la dinámica estructural. Si no se realiza un análisis dinámi-

co, la NSR-10, Sec. A.4.2.1, sugiere el uso de la siguiente expresión, pero

limita el valor de T a un valor máximo de Cu T

a, donde C

u = 1.75 – 1.2

Av F

v, pero C

u no debe ser menor de 1.2:

161

� � !

!��

�

n

1i ii

n 2ii

�*f

1i�*m

2�T

NSR-10, Sec. A.4.2.1

Al final del presente capítulo, una vez evaluada la rigidez de la es-

tructura, se volverá sobre este tema y se hará la evaluación dinámica del

período de vibración de la estructura.

Definido cuál es el período natural de vibración de la estructura se

emplea el espectro de diseño para evaluar el cortante basal.

Aa = 0.15, A

v = 0.20

Sa = 2.5 A

a F

a I = 2.5*0.15*1.20*1.0 = 0.45

Vs = S

a * M * g = 0.45 *(522.99/g)* g

= 235.34 t

�� Método de la Fuerza Horizontal Equivalente

Este método permite obtener las fuerzas sísmicas horizontales, Fi, en

cualquier nivel, i, para la dirección en estudio.

NSR-10, Sec. A.4.3.2

k es un exponente que se relaciona con el período fundamental, T,

de la estructura (NSR-10, Sec. A.4.3.2)

Para: T � 0.5 segundos k = 1.0

Para: 0.5 < T � 2.5 segundos k = 0.75 + 0.5T

Para: T > 2.5 segundos k = 2.0

Para este ejemplo T = 0.43 segundos: k = 1.0

Este método es muy conocido por los ingenieros, razón por la cual

no hay necesidad de entrar en detalle sobre su aplicación. Los cálculos

realizados se resumen en la siguiente tabla:

s0.851.2*0.151.60.20

0.48FAFA

0.48Taa

vvc �

��

� !�

�

n

1iii

iivi

k

k

h*m

h*mC

162

Entrepiso hi m m

i t m

i h

ik C

vi F

i t V

i t

1 3.4 162 85 553.69 0.152 35.77 235.34

2 6.2 140 64 871.97 0.239 56.32 199.57

3 9.0 133 01 1 197.09 0.329 77.33 143.25

4 11.8 86 49 1 020.58 0.280 65.92 65.92

============================

� 522 99 3,643.33 1.000 235.34

Las fuerzas sísmicas, Fi, son fuerzas inerciales que actúan en el cen-

tro de masa o centro de gravedad de cada uno de los entrepisos, puntos

estos que han sido previamente calculados en el literal anterior.

�� Q�� Q� ��

El Centro de Cortante (C.C.) es el punto de aplicación de la fuerza cor-

tante de un entrepiso. En el entrepiso 4, por ser Fi = V

i, los centros de

masa y de cortante coinciden. En el entrepiso 3, como las fuerzas Fi de los

pisos 3 y 4 están en la misma línea de acción, el centro de cortante y de

masa coinciden. Para los otros entrepisos, tomando momentos de las fuer-

zas sísmicas, Fi, respecto al origen de coordenadas se tiene:

Para el entrepiso 1:

Para el entrepiso 2:

163

B C

2.80 m

2.80 m

2.80 m

4.45 m 7.20 m

3.40 m

A

En resumen:

EntrepisoF

iV

iCoord.CM Coord. CC

(t) (t) X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm)

1 35.77 235.34 773.00 581.00 661.44 576.52

2 56.32 199.57 668.00 575.00 641.44 575.72

3 77.33 143.25 631.00 576.00 631.00 576.00

4 65.92 65.92 631.00 576.00 631.00 576.00

�� Cálculo de la matriz de rigidez condensada de cada uno de los

pórticos

Unidades de los términos de rigidez en t/m.

Pórticos 1 y 3:

Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4

5 332.290 -3 729.964 870.737 -111 009

-3 729.964 6 168.097 --3 811.510 721.585

870.737 --3 811.510 5 800.278 -2 756.129

-111.009 721.585 -2 756.129 2 131.900

Pórtico2:


8 258.898 -5 861.617 1 593.501 -223,386

-5 861.617 9 328.843 -5 952.104 1 278.566

1 593.501 -5 952.104 8 550.975 -3 978.795

-223.386 1 278.566 -3 978.795 2 893.509

B C

2.80 m

2.80 m

2.80 m

4.45 m 7.20 m

3.40 m

A

Vigas: b = 30 cm h = 40 cm

Columnas: b = 50 cm h = 30 cm


Columnas A y C: b = 50 cm h = 30 cm

Columna B: b = 30 cm h = 50 cm

164

Pórtico 4:


3 163.733 -1 767.870 0 0

-1 767.870 1 507.234 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Pórtico A y C:


15 158.100 -10 678.260 3 008.614 -462.605

-10 678.260 15 812.610 -9 933.807 2 384.915

3 008.614 -9 933.807 13 231.110 -5 849.771

-462.605 2 384.915 -5 849.771 3 857.136

Pórtico B:


12 220.380 -8 537.994 2 281.197 -347.887

-8 537.994 12 609.190 -7 739.772 1 803.572

2 281.197 -7 739.772 10 347.670 -4 539.145

-347.887 1 803.572 -4 539.145 3 028.792

Se ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura. Para cada

pórtico debe obtenerse el término rj, para ello se debe trazar la proyec-

ción del edificio sobre el plano XY.

A

2.80 m

3.40 m

B C

4.45 m 7.20 m


Columnas: b = 30 cm h = 30 cm

Vigas: b = 30 cm, h = 40 cm

Columnas 1,2,3 b = 30 cm h = 50 cm

Columna 4: b = 30 cm h = 30 cm


Columnas 1,3: b = 30 cm h = 50 cm

Columnas 2: b = 50 cm h = 30 cm

Columnas 4: b = 30 cm h = 30 cm

165

En la anterior planta de fundaciones se ha definido, arbitrariamente,

la orientación de cada uno de los pórticos; el resultado es independiente

del sentido que se asuma. Para cada pórtico se calculan las coordenadas

del nudo inicial, nudo final, punto medio y el ángulo de orientación del

pórtico, , medido respecto al eje X, positivo en sentido antihorario.

Pórtico 1: Ni (0,0), N

f (0, 11.65), P

m (0, 5.825), Tan

1 = (Yf – Yi) / (Xf – Xi)

1 = 90°, Cos

1 = 0 (C

1 = 0), Sen

1 = 1 (S

1 = 1)

r1 = X

m1 * S

1 - Y

m1 * C

1 = 0 * 1 - 5.825 * 0 = 0 (r

1 = 0)

Pórtico 2: Ni (6.15 , 0), N

f (6.15, 11.65), P

m (6.15, 5.825)

2 = 90°, Cos

2 = 0 (C

2 = 0), Sen

2 = 1 (S

2 = 1)

r2 = X

m2 * S

2 - Y

m2 * C

2 = 6.15 * 1 - 5.825 * 0 = 6.15 (r

2 = 6.15 m)

Pórtico 3: Ni (11.55, 0), N

f (11.55, 11.65), P

m (11.55, 5.825)

3 = 90°, Cos

3 = 0 (C

3 = 0); Sen

3 = 1 (S

3 = 1)

r3 = X

m3 * S

3 - Y

m3 * C

3 = 11.55 * 1-5.825 * 0 = 11.55 (r

3 = 11.55 m)

Pórtico 4: Ni (16.05 , 0), N

f (16.05, 11.65), P

m (16.05, 5.825)

4 = 90°, Cos

4 = 0 (C

4 = 0), Sen

4 = 1 (S

4 = 1)

r4 = X

m4 * S

4 - Y

m4 * C

4 = 16.05 * 1-5.825 * 0 = 16.05 (r

4 = 16.05 m)

Pórtico A: Ni (0, 0), N

f (16.05, 0), P

m (8.025, 0)

A = 0°, Cos

A = 1 (C

A = 1); Sen

A = 0 (S

A = 0)

rA = X

mA * S

A - Y

mA * C

A = 8.025 * 0-0 * 0 = 0 (r

A = 0 m)

166

Pórtico B: Ni (0 , 4.45), N

f (16.05, 4.45), P

m (8.025, 4.45)

B = 0°, Cos

B = 1 (C

B = 1); Sen

B = 0 (S

B = 0)

rB = X

m1 * S

B - Y

mB * C

B = 8.025 * 0-4.45 * 1 = -4.45 (r

B = - 4.45 m)

Pórtico C: Ni (0 , 11.65), N

f (16.05, 11.65), P

m (8.025, 11.65)

C = 0°, Cos

C = 1 (C

C = 1); Sen

C = 0 (S

C = 0)

rC = X

mC*S

C - Y

mC *C

C = 8.025 * 0 -11.65 * 1 = -11.65 (r

C = - 11.65 m)

Las unidades de la anterior matriz están en t/m. La relación se pue-

de escribir de manera abreviada, separando los desplazamientos de los

giros, de la siguiente forma:

FXi

=

KXX

KXY

KX

*

�Xi

FYi

KYX

KYY KY

�Yi

MZi

KX

KY

Kf

Zi

�� Q��Q�� ̂ ��!��[Q^`

El centro de torsión es el punto en donde al aplicar la fuerza cortante

del entrepiso no se presenta torsión, (�Zi

= 0). Para su determinación

se analiza el sismo en dos direcciones ortogonales independientes, la

dirección X y la dirección Y.

�� !��¨

La fuerza sísmica se aplica en la dirección positiva del eje X, {FXi

}

= {VXi

}, en la dirección Y no hay fuerza sísmica, {FYi} = {0}, y por

condición del análisis no se presenta torsión, {�Zi

} = {0}. Al expandir

la parte superior de esta ecuación se obtiene la expresión (3.15):

235.34

=

425.366 -298.945 82.984 -12.731 0 0 0 0

x

μX1

199.57 -298.945 442.344 -276.074 65.734 0 0 0 0 μX2

143.25 82.984 -276.074 368.099 -162.387 0 0 0 0 μX3

65.92 -12.731 65.734 -162.387 107.431 0 0 0 0 μX4

0 0 0 0 0 220.872 -150.894 33.350 -4.454 μY1

0 0 0 0 0 -150.894 231.722 -135.751 27.217 μY2

0 0 0 0 0 33.350 -135.751 201.515 -94.911 μY3

0 0 0 0 0 -4.454 27.217 -94.911 71.573 μY4

FXi

=K

XXK

XY*

�Xi

0 KYX

KYY

�Yi

167

4

69

37

.44

5

-35

81

0.1

56

88

34

9.0

23

-58

41

3.8

01

-26

55

.97

7

16

19

7.4

86

-56

30

2.8

83

42

41

8.3

79

-92

93

28

3

50

40

21

68

-14

01

99

44

0

97

73

17

28

3

-45

20

1.6

80

15

01

70

.84

4

-20

01

89

.57

8

88

34

9.0

23

19

85

7.0

53

-80

62

8.3

91

11

95

81

.55

5

-56

30

2.8

83

62

99

38

76

-22

35

09

64

8

30

97

85

85

6

-14

01

99

44

0

2

16

23

95

.87

5

-24

03

27

.67

2

15

01

70

.84

4

-35

81

0.1

56

-10

75

04

.36

7

15

28

04

.75

0

-80

62

8.3

91

16

19

7.4

86

-27

93

04

99

2

39

59

76

25

6

-22

35

09

64

8

50

40

21

68

1

-23

09

72

.51

6

16

23

95

.87

5

-45

20

1.6

80

69

37

.44

5

16

31

57

.81

3

-10

75

04

.36

7

19

85

7.0

53

-26

55

.97

7

41

37

98

40

0

-27

93

04

99

2

62

99

38

76

-92

93

28

3

Y4 0 0 0 0

-4.4

54

27

.21

7

-94

.91

1

71

.57

3

-26

55

.97

7

16

19

7.4

86

-56

30

2.8

83

42

41

8.3

79

Y3 0 0 0 0

33

.35

0

-13

5.7

51

20

1.5

15

-94

.91

1

19

85

7.0

53

-80

62

8.3

91

119581.5

55

-56

30

2.8

83

Y2 0 0 0 0

-15

0.8

94

23

1.7

22

-13

5.7

51

27

.21

7

-10

75

04

.36

7

15

28

04

.75

0

-80

62

8.3

91

16

19

7.4

86

Y1 0 0 0 0

22

0.8

72

-15

0.8

94

33

.35

0

-4.4

54

16

31

57

.81

3

-10

75

04

.36

7

19

85

7.0

53

-26

55

.97

7

X4

-12

.73

1

65

.73

4

-16

2.3

87

10

7.4

31

0 0 0 0

69

37

.44

5

-35

81

0.1

56

88

34

9.0

23

-58

41

3.8

01

X3

82

.98

4

-27

6.0

74

36

8.0

99

-16

2.3

87

0 0 0 0

-45

20

1.6

80

15

01

70

.84

4

--2

00

18

9.5

78

88

34

9.0

23

X2

-29

8.9

45

44

2.3

44

-27

6.0

74

65

.73

4

0 0 0 0

16

23

95

.87

5

-24

03

27

.67

2

15

01

70

.84

4

-35

81

0.1

56

X1

42

5.3

66

-29

8.9

45

82

.98

4

-12

.73

1

0 0 0 0

-230972.5

16

16

23

95

.87

5

-45

20

1.6

80

69

37

.44

5

Mat

riz

rigid

ez

en

coord

en

adas

glo

bal

es

(t/m

)

168

Resolviendo:

μX1

=

6.631

μX2

12.412

μX3

16.419

μX4

18.822

μY1

0

μY2

0

μY3

0

μY4

0

Conocidos los desplazamientos de los entrepisos, se calculan los

momentos torsores que los cortantes de entrepiso generan respecto al

eje Z. Después de expandir la parte inferior de la relación matricial se

obtiene la expresión (3.16):

MZi

= K�X

K�Y

* �Xi

�Yi

Mz1

=

-230972.516 162395.875 -45201.680 6937.445 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977 6.631

Mz2

162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 12.412

Mz3

-45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023 19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883 16.419

Mz4

6937.445 -35810.156 88349.023 -58413.801 -2655.977 16197.486 -56302.883 42418.379 18.822

0

0

0

0

Determinados los momentos torsores, respecto al eje Z, se puede de-

terminar la ordenada de la fuerza cortante respecto al eje Z, mediante

la expresión (3.17):

MZ1

=

-128,792

MZ2

--107,444

MZ3

-77,359

MZ4

-35,709

cm

t-cm

cm

169

�� !��ª

Se procede de manera similar que para el eje X. En este caso:

{FXi

} = {0}, {FYi} = { V

Yi}, {�

Zi} = {0}

Si aplicamos la expresión (3.18):

0

=

425.366 -298.945 82.984 -12.731 0 0 0 0

x

μX1

0 -298.945 442.344 -276.074 65.734 0 0 0 0 μX2

0 82.984 -276.074 368.099 -162.387 0 0 0 0 μX3

0 -12.731 65.734 -162.387 107.431 0 0 0 0 μX4

235.34 0 0 0 0 220.872 -150.894 33.350 -4.454 μY1

199.57 0 0 0 0 -150.894 231.722 -135.751 27.217 μY2

143.25 0 0 0 0 33.350 -135.751 201.515 -94.911 μY3

65.93 0 0 0 0 -4.454 27.217 -94.911 71.573 μY4

Resolvemos:

μX1

=

0

μX2

0

μX3

0

μX4

0

μY1

10.991

μY2

19.100

μY3

24.222

μY4

26.462

170

Los momentos de entrepiso se calculan con la expresión (3.19):

Mz1

=

-230972.516 162395.875 -45201.680 6937.445 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977 0

Mz2

162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 0

Mz3

-45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023 19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883 0

Mz4

6937.445 -35810.156 88349.023 -58413.801 -2655.977 16197.486 -56302.883 42418.379 0

10.991

19.100

24.222

26.462

Determinación de las abscisas del centro de torsión según la expre-

sión (3.20):

�� Q�� ¢�� !��

(3.1)

La excentricidad estática se define como la diferencia entre las coorde-

nadas del Centro de Cortante (punto en el cual está aplicado el cortante

de entrepiso) y el Centro de Torsión, punto en el cual debería estar apli-

cado el cortante de entrepiso para que no se presente torsión.

EntrepisoCoord. CC Coord. C.T. Excentricidad = CC – CT

X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) ex (cm) e

y (cm)

1 661.44 576.52 639.68 547.26 21.75 29.26

2 641.44 575.72 1065.73 538.38 -424.29 37.34

3 631.00 576.00 592.32 540.03 38.68 35.97

4 631.00 576.00 589.78 541.70 41.22 34.30

t-cm

MZ1

=

150 542

MZ1

212 688

MZ1

84 850

MZ1

38 878

171

Estas excentricidades se han obtenido por un procedimiento elás-

tico. No se ha tenido en cuenta el efecto dinámico del movimiento

sísmico, tampoco el comportamiento no lineal de la estructura, ni los

daños en los elementos no estructurales que pueden afectar el centro

de rigidez.

En el sentido del eje X la estructura tiene pequeñas excentricida-

des, ey , relativamente iguales en todos los pisos debido a que no se pre-

sentan irregularidades importantes en este sentido.

En el sentido del eje Y, el segundo piso presenta una excentricidad

muy grande, ex = -424 cm, que refleja la asimetría de la estructura en

este nivel. Para reducir los efectos torsionales es aconsejable hacer una

junta de dilatación tal como se indica en la gráfica anterior.

��

�8�� ; la excentricidad accidental la define la

NSR-10 como el 5% de la dimensión de la estructura en cada entrepiso,

medida en dirección perpendicular a la dirección en estudio.

Sismo en X:

Todos los entrepisos: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1165 = ± 58.25 cm

Sismo en Y:

Entrepiso 1 y 2: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1605 = ± 80.25 cm

Entrepiso 3 y 4: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1155 = ± 57.75 cm

172

La excentricidad accidental define una franja en la que se espera

esté localizado el Centro de Cortante, por esta razón existen dos condi-

ciones de borde para cada una de las direcciones en estudio. Se distin-

guen cuatro casos: dos para sismo en X y dos para sismo en Y.

EntrepisoSismo en X Sismo en Y

eY1

cm eY2

cm eX1

cm eX2

cm

1 87.51 -28.99 102.00 -58.50

2 95.59 -20.91 -344.04 -504.54

3 94.22 -22.28 96.43 -19.07

4 92.55 -23.95 98.97 -16.53

�� Q�� [��`

Las ordenadas de los nuevos Centros de Cortante se calculan adicionán-

dole a las coordenadas del Centro de Torsión el valor de la excentricidad

mayorada. Los momentos torsores se calculan mediante las siguientes

expresiones:

Sismo en X: {Moz

}i = - {V

i} * {Y

CC}

i

Sismo en Y: {Moz

}i = + {V

i} * {X

CC}

i

�8��2��>�;

173

piso ViSismo en Y Sismo en X

Caso N.o 1 Caso N.o 2 Caso N.o 3 Caso N.o 4

t Xcc

cm Moz

t-cm Xcc

cm Moz

t-cm Ycc

cm Moz

t-cm Ycc

cm Moz

t-cm

1 235.34 634.77 -149,390.4 518.27 -121,972.6 741.68 174,552.3 581.19 136,779.4

2 199.57 633.97 -126,526.8 517.47 -103,275,8 721.69 144,034.8 561.19 112,002.3

3 143.25 634.25 -90,858.4 517.75 -74,169.4 688.75 98,665.7 573.25 82,120.0

4 65.92 634.25 -41,813.4 517.75 -34,133.1 688.75 45,406.4 573.25 37,792.0

�� !�� "��

Se deben resolver cuatro casos, las condiciones de carga para cada uno

de ellos son:

Sismo en X: Caso 1: {Fxi}

1 = {V}

i, {F

yi}

1 = {0}, {M

zi}

1

Caso 2: {Fxi}

2 = {V}

i, {F

yi}

2 = {0}, {M

zi}

2

Sismo en Y: Caso 3: {Fxi}

3 = {0}, {F

yi}

3 = {V}

i, {M

zi}

3

Caso 4: {Fxi}

4 = {0}, {F

yi}

4 = {V}

i, {M

zi}

4

Se distinguen los siguientes cuatro casos de carga, fuerzas en t y

momentos en t-m:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

""""""""

#

""""""""

$

%

""""""""

&

""""""""

'

(

418.13-

908.58-

1,265.27-

1,493.90-

0

0

0

0

65.92

143.25

199.57

235.34

""""""""

#

""""""""

$

%

""""""""

&

""""""""

'

(

�

�

�

�

341.33

741.69

1,032.76

1,219.73

0

0

0

0

65.92

143.25

199.57

235.34

""""""""

#

""""""""

$

%

""""""""

&

""""""""

'

(

454.06

986.66

1,440.35

1,745.52

65.92

143.25

199.57

235.34

0

0

0

0

""""""""

#

""""""""

$

%

""""""""

&

""""""""

'

(

377.92

821.20

1,120.02

1,367.79

65.92

143.25

199.57

235.34

0

0

0

0

174

Cada uno de los casos anteriores de carga se resuelve para desplaza-

mientos empleando la siguiente expresión de rigidez. Las unidades de la

matriz de rigidez están expresadas en t/m, por lo cual los desplazamien-

tos deben expresarse en m y los momentos en t-m:

FXi

=

KXX

KXY

KXf

*

mXi

FYi

KYX

KYY KYf

mYi

MZi

KfX

KfY

Kff

�Zi

Resultados: desplazamientos en cm y giros en radianes.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

�� "��

de los pórticos

Deducidos los desplazamientos de los entrepisos para caso de carga, se

calculan ahora los desplazamientos que sufre cada uno de los pórticos

para cada caso de carga. Según la expresión (3.6) se tiene:

dji = m

xi * Cos q

zj + m

yi * Sen q

zj + r

j * f

zi

Por ejemplo: d

33 = - 3.4653 * 0 + 29.1296 * 1.0 + 1155 * (-0.006406) = 21.73 cm

�

( %" " ( %" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" "" " " "' $ ' $" " " "" " " "" " " "" " "�" " "�" " "

" " "� & #" "�" "& #

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

z4

6.833212.768416.887319.1516-0.2828-0.5027-0.6389-0.70680.00037010.00065210.00085870.0009700

��

""""

( %" " ( %" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" "" " " "' $ ' $" " " "" " " "" " " "" " "�" " "�" " "

" " "� & #" "�" "& #

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

z4

5.861811.018114.564916.52681.08821.9913=2.55292.8265-0.0014226-0.0025818-0.0034336-0.0038813

��

""""

( %" " ( %" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" "" " " "' $ ' $" " " "" " " "" " "" " "�" " "�" " "

" " "� & #" "�" "& #

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

z4

-1.6044-2.9806-3.4653-3.601613.257923.3490=29.129631.5390-0.002961-0.005506-0.006406-0.006660

��

"""""

( %" " ( %" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" " " "" "" " " "' $ ' $" " " "" " "" " "" " "�" " "�" " "

" " "� & #" "�" "& #

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

z4

-0.4029-0.8601-0.7358-0.562811.563820.3288=25.358627.4168-0.0007437-0.001588-0.001361-0.001043

�� "

"""""

175

Caso N.o

Pórtico j 1 2 3 4 A B C

Coseno zj

0 0 0 0 1 1 1

Seno zj

1 1 1 1 0 0 0

rj (cm) 0.000 615 1155 1605 000 -445 -1165

1

dj1 (cm) -0.2827 -0.0551 0.1447 0.3112 6.8315 6.6669 6.4005

dj2 (cm) -0.5026 -0.1016 0.2504 0.5438 12.7656 12.4755 12.0061

dj3 (cm) -0.6387 -0.1107 0.3529 ---------- 16.8840 16.5020 15.8838

dj4 (cm) -0.7067 -0.1103 0.4134 ---------- 19.1480 18.7165 18.0182

2

dj1 (cm) 1.0879 0.2132 -0.5548 -1.1948 5.8604 6.4933 7.5173

dj2 (cm) 1.9908 0.4034 -0.9905 -2.1520 11.0157 12.1643 14.0228

dj3 (cm) 2.5524 0.4411 -1.4127 ---------- 14.5620 16.0897 18.5614

dj4 (cm) 2.8260 0.4394 -1.6561 ---------- 16.5237 18.2506 21.0446

3

dj1 (cm) 13.2579 11.4369 9.8380 8.5056 -1.6044 -0.2868 1.8451

dj2 (cm) 23.3489 19.9629 16.9898 14.5123 -2.9806 -0.5305 3.4336

dj3 (cm) 29.1295 25.1902 21.7312 --------- -3.4653 -0.6149 3.9971

d2 (cm) 31.5389 27.4434 23.8473 ---------- -3.6016 -0.6382 4.1566

4

dj1 (cm) 11.5637 11.1063 10.7047 10.3701 -0.4029 -0.0719 0.4636

dj2 (cm) 20.3287 19.3520 18.4943 17.7796 -0.8601 -0.1533 0.9902

dj3 (cm) 25.3586 24.5216 23.7866 ---------- -0.7358 -0.1301 0.8498

dj4 (cm) 27.4167 26.7754 26.2123 ---------- -0.5628 -0.0897 0.6521

Deducidos los desplazamientos horizontales de los pórticos, se

calculan los cortantes de entrepiso mediante el sistema de ecuaciones:

{Vi}

j��£¦

c]

j * d

ji��£¦

c]

j es la matriz de rigidez condensada del

pórtico.

176

Caso

N°.

Cortante

Vji (t)

Portico

1

Portico

2

Portico

3

Portico

4

��Vj

(t)

Portico

A

Portico

B

Portico

C��V

j (t)

Vj1 -1.10 -0.11 0.99 0.23 0 91.78 60.89 82.67 235.34

1 Vj2 -1.21 -1.07 -0.42 2.70 0 68.52 64.19 66.86 199.57

Vj3 -0.88 0.09 0.79 ------ 0 51.25 44.51 47.49 143.25

Vj4 -0.77 0.04 0.74 ------ 0 23.74 19.64 22.54 65.92

Vj1 2.84 0.01 -3.10 0.25 0 73.71 58.46 103.17 235.34

2 Vj2 5.33 4.49 1.49 -11.31 0 63.59 63.28 72.70 199.57

Vj3 3.75 -0.38 -3.37 ------ 0 42.15 43.12 57.98 143.25

Vj4 3.06 -0.16 -2.90 ------ 0 21.10 19.24 25.58 65.92

Vj1 54.67 114.51 53.62 12.53 235.34 -12.52 -1.55 14.07 0

3 Vj2 62.97 43.45 24.79 68.36 199.57 -41.65 -6.33 47.98 0

Vj3 45.83 56.12 41.30 ------ 143.25 0.01 -0.14 0.13 0

V4 23.29 21.50 21.13 ------ 65.92 0.13 0.01 -0.14 0

Vj1 48.73 113.86 59.00 13.76 235.34 11.24 1.68 -12.92 0

4 Vj2 53.86 37.09 23.98 84.64 199.57 -33.31 -4.90 38.21 0

Vj3 41.09 56.62 45.54 ------ 143.25 8.88 1.24 -10.12 0

Vj4 19.43 21.70 24.79 ------ 65.92 2.69 0.40 -3.09 0

En esta tabla se ha verificado que la solución es precisa, matemáti-

camente, puesto que el valor de los cortantes de entrepiso es el corres-

pondiente a los valores de diseño.

Finalmente, se obtienen las fuerzas sísmicas que actúan en cada uno

de los pórticos para los cuatro casos de cargas estudiados:

177

Caso

N.o

Fuerza

fji (t)

Portico

1

Portico

2

Portico

3

Portico

4

Portico

A

Portico

B

Portico

C

1

fj1 0.10 0.95 1.40 -2.46 23.25 -3.30 15.81

fj2 -0.33 -1.16 -1.20 2.69 17.27 19.68 19.38

fj3 -0.10 0.05 0.05 --------- 27.52 24.87 24.95

f4 -0.77 0.04 0.74 --------- 23.73 19.65 22.54

2

fj1 -2.48 -4.48 -4.59 11.56 10.12 -4.83 30.47

fj2 1.58 4.87 4.86 -11.31 21.44 20.17 14.72

f3 0.69 -0.22 -0.47 --------- 21.05 23.87 32.40

fj4 3.06 -0.16 -2.90 --------- 21.10 19.24 25.58

3

fj1 -8.30 71.06 28.84 -55.83 29.13 4.78 -33.91

fj2 17.14 -12.66 -16.51 68.37 -41.65 -6.20 47.84

fj3 22.54 34.62 20.17 --------- -0.13 -0.15 0.28

fj4 23.29 21.50 21.13 --------- 0.13 0.01 -0.14

4

fj1 -5.13 76.77 35.02 -70.89 44.55 6.58 -51.12

fj2

12.77 -19.53 -21.56 84.65 -42.19 -6.14 48.33

fj3 21.66 34.93 20.74 ---------- 6.19 0.84 -7.03

fj4 19.43 21.70 24.80 ---------- 2.69 0.40 -3.09

Se ha verificado que la solución cumple la relación de equilibrio en

cada uno de los pisos, en los cuatro casos de cargas analizados. Para vi-

sualizar estos resultados se indican, en el siguiente gráfico, dos de las

soluciones encontradas para la fuerza cortante de entrepiso:

Entrepiso 2, caso 1 Entrepiso 3, caso 3

� Fx = 66.86 + 64.19 + 68.52 = 199.57 t � � F

x = 0.13 – 0.14 + 0.01 = 0 t �

� Fy = -1.21 – 1.07 – 0.42 + 2.70 = 0 t � � F

y = 45.83 + 56.12 + 41.30 = 143.25 t �

178

La solución es satisfactoria, pues la sumatoria de fuerzas en ambas

direcciones corresponde a los valores de las fuerzas cortantes deducidas

en el literal “c”.

Para el diseño de vigas, columnas, nudos y fundaciones se deben

combinar los resultados obtenidos para los cuatro casos de sismo con los

de las cargas gravitacionales según la NSR-10, Sec. B.2.4.

Fuerzas sísmicas en pórticos en el sentido del eje X (valores en to-

neladas):

Al sumar los cortantes en la base, para un caso de carga, se obtienen

los cortantes de diseño a nivel de fundación. Los dos primeros casos

179

corresponden al análisis del sismo en el sentido X y los últimos casos al

análisis del sismo en Y (Vy = 0).

Vx caso 1 = 235.34 t V

x caso 2 = 235.34 t

Vy caso 3 = 0 t V

y caso 4 = 0 t

Fuerzas sísmicas en pórticos en el sentido del eje Y (valores en tone-

ladas):

Procediendo de manera similar se obtiene:

180

Los dos primeros casos corresponden al análisis del sismo en el sen-

tido X (Vx = 0), y los dos últimos al análisis del sismo en Y:

VX caso 1 = 0 t V

x caso 2 = 0 t

VY caso 3 = 235.34 t V

y caso 4 = 235.34 t

Hasta ahora se ha analizado el sismo en dos direcciones indepen-

dientes, en la dirección del eje X y en la dirección del eje Y. Para con-

siderar el efecto tridimensional del fenómeno sísmico, la NSR-10, Sec.

A.3.6.3.2, recomienda tomar el 100% del sismo en una dirección y adicio-

narle el 30% del efecto del sismo en la dirección ortogonal.

Lo anterior conduce a un gran número posible de combinaciones de

cargas, como ejemplo de ello se indican en el literal “o” las combinacio-

nes básicas asumidas por los autores del programa RCB- Building.

�� Q��

Las derivas corresponden a los desplazamientos horizontales, en las dos

direcciones principales en planta, que tiene el centro de masa del edi-

ficio (NSR-10, Sec. A.6.2.1.1). Para su cálculo se permite que el coefi-

ciente de importancia, I, tenga un valor igual a la unidad (NSR-10, Sec.

A.6.2.1.2).

El análisis de las fuerzas sísmicas se realizó en la sección “Determi-

nación de las fuerzas sísimicas, Método de la Fuerza Horizontal Equiva-

lente” (p. ) para un coeficiente de importancia igual a la unidad.

Derivas en la dirección del eje X: {Fi«��£¦

xx] * {d

i}

35.77

=

425.366 -298.945 82.984 -12.731

*

d1

56.32 -298.945 442.344 -276.074 65.734 d2

77.33 82.984 -276.074 368.099 -162.387 d3

65.92 -12.731 65.734 -162.387 107.431 d4

181

di cm Deriva cm Deriva permitida cm

Piso 1 2.62 2.62 (0.77%) 3.4

Piso 2 5.37 2.75 (0.98%) 2.8

Piso 3 7.83 2.46 (0.88%) 2.8

Piso 4 9.47 2.28 (0.81%) 2.8

Derivas en la dirección del eje Y: {Fi«��£¦

yy] * {d

i}

35.38

=

220.872 -150.894 33.350 -4.454

*

d1

57.82 -150.894 231.722 -135.751 27.217 d2

81.00 33.350 -135.751 201.515 -94.911 d3

69.78 -4.454 27.217 -94.911 71.573 d4

di cm Deriva cm Deriva permitida cm

Piso 1 4.24 4.24 (1.25%) 3.4

Piso 2 8.08 3.84 (1.37%) 2.8

Piso 3 11.28 3.20 (1.14%) 2.8

Piso 4 13.07 1.79 (0.64%) 2.8

La deriva máxima en cada piso corresponde a la mayor deriva de las

dos direcciones principales en planta (NSR-10, Sec. A.6.3.1.1). En este

ejemplo las derivas máximas en los pisos 1, 2 y 3 se presentan en la direc-

ción del eje Y, mientras que en el piso 4 corresponde a la dirección X.

La deriva máxima para cualquier piso no puede exceder, en estruc-

turas de hormigón, del 1% de la altura de entrepiso, hp; en consecuen-

cia, las derivas de los pisos 1, 2 y 3, en la dirección Y, no cumplen este

requisito de la NSR-10 y la estructura debe rigidizarse, en este sentido,

hasta que se cumpla con el límite permitido; este proceso se omite en el

presente texto.

182

Imagen 3.1 Daños en la mampostería debido a la ductilidad de la estructura

La restricción de la deriva al 1% (NSR-10, Tabla A.6.4-1) de la altu-

ra de entrepiso es un requisito difícil de cumplir en estructuras aporti-

cadas, pues la característica de este sistema estructural es precisamente

su gran ductilidad.

Una vez realizado el análisis, y considerando la rigidez de los nudos,

si la deriva aún no cumple ese requisito debe rigidizarse la estructura

aumentando las dimensiones de los elementos de resistencia sísmica o

acoplando muros al sistema estructural.

Debido a esta alta ductilidad se presentan daños frecuentes y cuan-

tiosos en los elementos no estructurales. Los daños en la mamposte-

ría de ladrillos de arcilla obedece a que los muros son muy rígidos y la

estructura es muy flexible; el problema tiene dos soluciones: una de

ellas es aislar los muros de la estructura para que ésta pueda deformarse

libremente y la otra es cambiar las divisiones tradicionales hechas con la-

drillos de arcilla por paneles de yeso, los cuales además de ser más fáciles

y económicos de reparar, tienen la gran ventaja de su poco peso, lo cual

disminuye el efecto sísmico.

�� !�� "��

En todo proyecto debe existir concordancia entre lo proyectado y

lo construido. Si el análisis está basado en un comportamiento dúctil de

la estructura, en la construcción ésta debe aislarse de las construcciones

vecinas para que pueda deformarse. La separación que debe tener una

estructura del lindero es la calculada en el literal anterior.

183

Las oficinas de plantación urbana deben ser estrictas y obligar al

cumplimiento de este requisito con el mismo rigor que exigen cumplir la

separación del eje de la vía. En México D.F. fueron numerosos los casos

de falla de estructuras por el incumplimiento de este requisito.

La NSR-10, Sec. A.6.5, reglamenta la separación entre estructuras

adyacentes en Colombia. Si no existe edificación vecina y por ser la edi-

ficación de más de tres pisos debe dejarse una separación del lindero

igual al 1% de la altura del edificio, para el caso 11.8 cm (NSR-10, Tabla

A.6.5-1).

Imagen 3.2 Falla en los pisos superiores por falta de separación

en las estructuras adyacentes. México D.F. 1985

�� Q�� ¬��'\�� <�

B.2.4.2

La NSR-10, Sec. B.2.4, exige diseñar para las siguientes combinaciones

de cargas, deducidas de sus ecuaciones B.2.4-1, B.2.4-4 y B.2.4-5:

1. 1.2CM + 1.6CV

2. 1.20CM + 1.00CV + Sx1

+ 0.3 Sy1

3. 1.20CM + 1.00CV - Sx1

- 0.3 Sy1

4. 1.20CM + 1.00CV + Sx1

- 0.3 Sy1

5. 1.20CM + 1.00CV - Sx1

+ 0.3 Sy1

184

6. 1.20CM + 1.00CV + Sx2

+ 0.3 Sy2

7. 1.20CM + 1.00CV - Sx2

- 0.3 Sy2

8. 1.20CM + 1.00CV + Sx2

- 0.3 Sy2

9. 1.20CM + 1.00CV - Sx2

+ 0.3 Sy2

10. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx1

+ Sy1

11. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx1

- Sy1

12. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx1

+ Sy1

13. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx1

- Sy1

14. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx2

+ Sy2

15. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx2

- Sy2

16. 1.20CM + 1.00CV - 0.3 Sx2

+ Sy2

17. 1.20CM + 1.00CV + 0.3 Sx2

- Sy2

18. 0.90CM + Sx1

19. 0.90CM - Sx1

20. 0.90CM + Sx2

21. 0.90CM - Sx2

22. 0.90CM + Sy1

23. 0.90CM - Sy1

24. 0.90CM + Sy2

25. 0.90CM - Sy2

CM = Carga Muerta de servicio CV = Carga Viva de servicio

Sx1

= resultados del caso 1 para sismo en X, divididos por R (E = fi/R)

Sx2

= resultados del caso 2 para sismo en X, divididos por R (E = fi/R)

Sy1

= resultados del caso 3 para sismo en Y, divididos por R (E = fi/R)

Sy2

= resultados del caso 4 para sismo en Y, divididos por R (E = fi/R)

185

Imagen 3.3 Daños por separación insuficiente o inexistente entre

construcciones adyacentes. Armenia, Colombia, 1999

3.11 Análisis del período natural de vibración, T

3.11.1 Métodos empíricos

El período de vibración de la estructura puede calcularse en forma

aproximada empleando la siguiente ecuación, dada para estructuras

aporticadas de hormigón:

Ta = 0.047 h

n 0.9 (NSR-10, Sec. A.4.2.2, Ecuación A.4.2-3)

hn: altura en metros, medida desde la base hasta el piso más alto.

hn = 3.4 + 3*2.8 = 11.80 m

Ta = 0.047 h

n 0.9 = 0.047 * 11.80.9 = 0.43 s

El valor del período depende de la altura del edificio y no tiene

en cuenta de manera explícita la rigidez de la estructura. Este valor es

único, cualquiera que sea la dirección de análisis del sismo, e igual para

todas las estructuras de igual altura.

186

Alternativamente, para edificaciones de doce pisos o menos, con

alturas de piso, hp, no mayores de 3 m, cuyo sistema estructural de re-

sistencia sísmica está compuesto por pórticos resistentes a momentos

de hormigón reforzado, el período de vibración aproximado, Ta, en s, la

NSR-10 permite determinarlo por medio de la expresión A.2.4-5:

Ta = 0.1 N (NSR-10, Sec. A.4.2.2, Ecuación A.4.2-5)

N = número de pisos

Si obviamos que para el presente ejemplo la altura del primer piso

supera el límite de 3 m, el período aproximado aplicando esta expresión

es:

Ta = 0.1 * 4 = 0.40 s

El valor del período aproximado al emplear las expresiones ante-

riores es un estimativo inicial para calcular las fuerzas a aplicar sobre la

estructura con el fin de dimensionar su sistema de resistencia sísmica.

3.11.2 Método de análisis dinámico

Una vez dimensionada la estructura, debe calcularse el valor ajustado del

período mediante la aplicación del análisis modal, para compararlo con

el estimativo inicial, si el período de la estructura diseñada difiere en

más del 10% con el estimado inicialmente; debe repetirse el proceso de

análisis, utilizando el último período calculado como nuevo estimativo,

hasta que se converja en un resultado dentro de la tolerancia del 10%

señalada (NSR-10, Sec. C.4.2.3).

�� !�

La relación que gobierna la respuesta de un sistema de un grado de

libertad en el caso de una excitación sísmica ha sido discutida en la Sec-

ción 1.4.1:

� £�®�¯�²[�`��£Q®�¯��[�`��£¦®�¯��[�`��£�®�¯�²g(t) (1.1)

Para obtener las frecuencias y períodos naturales de la estructura

basta con estudiar el caso de vibración libre (üg(t) = 0 ) no amortiguada

(C = 0):

£�®�¯�²[�`��£¦®�¯��[�`��\

187

Una solución de esta ecuación diferencial es:

� ��³�£¦®��£�®�¯��2 } * A = 0 (3.28)

La solución no trivial es:

det �£¦®��£�®�¯��2 = 0 (3.29)

La expresión (3.29) es una expresión algebraica de grado n, (n =

número de pisos de la estructura); la incógnita es v2, la cual se satisface

para n valores de v2. Esta ecuación es conocida como ecuación caracte-

rística del sistema. Para cada valor de v2 que satisfaga la ecuación (3.29)

se resuelve la expresión (3.28), para A1, A

2…..A

n, en términos de una

constante de proporcionalidad arbitraria. Estas soluciones representan

los modos de vibrar de la estructura.

� �� £�®�� "�� -

�� [��`�"�£¦®��

de rigidez de la estructura en la cual se analiza el sismo. Debe tenerse

cuidado en la concordancia de unidades.

T = 2�/� (3.30)

�� !��¨

Unidades de la matriz de rigidez t/cm

Unidades de la matriz de masa t * s2/cm


-


* �2= 0

425.365 -298.945 82.984 -12.731 0.16616 0 0 0

-298.945 442.344 -276.074 65.734 0 0.14352 0 0

82.984 -276.074 368.099 -162.387 0 0 0.13572 0

-12.731 65.734 -162.387 107.431 0 0 0 0.08826

AMPLITUD

Modo 1 2 3 4

Período, s +,?.9 0.242 .123 0.080

Piso 1 0.2775 -0.6863 1.0317 -1.2857

Piso 2 0.5710 -0.7487 -0.3295 2.0729

Piso 3 0.8300 0.0458 -0.9605 -1.7649

Piso 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Solución:

T = 0.72 s

188

�� !��ª


-


* �2 =0

220.872 -150.894 33.350 -4.454 0.16616 0 0 0

-150.894 231.722 -135.751 27.217 0 0.14352 0 0

33.350 -135.751 201.515 -94.911 0 0 0.13572 0

-4.454 27.217 -94.911 71.573 0 0 0 0.08826

AMPLITUD

Modo 1 2 3 4

Período, s 0.869 0.294 0.160 0.080

Piso 1 0.3311 -0.7564 0.9083 -1.0796

Piso 2 0.6284 -0.7214 -0.4258 1.8125

Piso 3 0.8703 0.1593 -0.8397 -1.6279

Piso 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

3.11.3 Método de Rayleigh

�� !�

El método de Rayleigh puede utilizarse para determinar la frecuencia

natural de un sistema continuo de modelos discretos.

Este método lo permite la NSR-10, Sec. A.4.2.1; es un método di-

námico que corresponde a un oscilador simple. La expresión dada por la

NSR-10 es la siguiente:

(3.31)

Fi = fuerzas horizontales distribuidas aproximadamente de acuerdo

con el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente.

di = desplazamientos horizontales calculados utilizando las fuerzas

fi en la dirección considerada.

T = 0.87 s

Solución:

189

Procedimiento para su aplicación:

a) Se asume un período cualquiera de la estructura.

b) Se calcula el cortante basal empleando el espectro de diseño.

c) Se aplica el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente para obte-

ner las fuerzas de entrepiso.

�`� �� ³�«��£¦®¯³�«<

e) Se aplica la expresión (3.31) para obtener el período.

Nota: el resultado es independiente del valor del período que se

asume en el literal (a).

Cálculos: de la sección “Determinación de las fuerzas sísmicas, Mé-

todo de la Fuerza Horizontal Equivalente” para este ejemplo se toman

los siguientes parámetros:

Entrepiso hi m m

i t m

i h

ik C

vi F

i t

1 3.4 162.85 553.66 0.152 35.77

2 6.2 140.64 871.97 0.239 56.25

3 9.0 133.01 1,197.09 0.329 77.43

4 11.8 86.49 1,020.58 0.280 65.90

===========================

� 522.99 3,643.30 1.000 235.35

Período en la dirección del eje X: {Fi«��£¦

xx] * {d

i}

35.77

=

425.366 -298.945 82.984 -12.731

*

d1

56.24 -298.945 442.344 -276.074 65.734 d2

77.43 82.984 -276.074 368.099 -162.387 d3

65.90 -12.731 65.734 -162.387 107.431 d4

Solución:

Peso t Fuerza t di cm Wi di2 Fi * di

Piso 1 162.85 35.77 2.618 1,116.16 93.65

Piso 2 140.64 56.24 5.374 4,061.67 302.23

Piso 3 133.01 77.43 7.827 8,148.45 606.04

Piso 4 86.49 65.90 9.466 7,749.95 623.81

21,076.23 1625.73

190

Masa = W / g, reemplazando:

T = 2 �

Período en la dirección del eje Y: {Fi«��£¦

yy] * {d

i}

35.77

=

220.872 --150.894 33.350 -4.454

*

d1

56.24 -150.894 231.722 -135.751 27.217 d2

77.43 33.350 -135.751 201.515 -94.911 d3

65.90 -4.454 27.217 -94.911 71.753 d4

Solución:

Peso t Fuerza t di m Wi di2 Fi * di

Piso 1 162.85 35.77 4.196 2,867.20 150.09

Piso 2 140.64 56.24 7.986 8,969.48 449.13

Piso 3 133.01 77.43 11.135 16,491.67 862.18

Piso 4 86.49 65.90 12.879 14,345.98 848.73

42,674.33 2,310.13

T = 2�

3.11.4 Restricciones de la NSR-10

La NSR-10, Sec. A.4.2.1, especifica que el período determinado por

procedimientos dinámicos no puede ser superior a Cu * T

a , en donde

Cu = 1.75 – 1.2 A

v F

v.

Cu = 1.75 – 1.2*0.20*1.6 = 1.366

Ta = 0.43 s (calculado en la Sección 3.11.1)

T máx

. = 1.366*0.43 = 0.59 s

En el método dinámico el valor del período fundamental es superior

al período aproximado, pero la NSR-10 restringe su aplicación al limitar

su valor a 0.59 s.

191

3.11.5 Revisión del período

Una vez se cumpla con los requisitos de deriva debe revisarse el período

estimado inicialmente para calcular las fuerzas sísmicas, para este caso:

El período aproximado inicialmente estimado = 0.43 s < Tc = 0.85 s

El período calculado con análisis modal = 0.59 s < Tc = 0.85 s

Como la diferencia entre el período estimado y el resultado del aná-

lisis modal supera la tolerancia permitida del 10% debe tomarse como

nuevo período de diseño el valor obtenido en el análisis modal, que es

de 0.59 s, con este cambio los cálculos realizados, en este ejemplo, no

sufren modificación pues el valor del período es inferior al período de

transición Tc , y el valor de S

a se mantiene igual a 0.45 (véase sección

“Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal

Equivalente” de este ejemplo).

193

Capítulo 4

Análisis y diseño de vigas

4.1 Introducción

Dado que las solicitaciones que el sismo de diseño impone a las estruc-

turas son muy elevadas, y de características muy aleatorias, no es econó-

mico diseñar las estructuras para que resistan, sin daño, un sismo con un

período de retorno muy largo (495 años).

Para evitar daños y pánico a los ocupantes de una edificación, du-

rante sismos moderados, que pueden ocurrir varias veces durante su vida

útil, se diseña la estructura para un sismo de menor intensidad preten-

diendo que la estructura permanezca elástica con deformaciones latera-

les pequeñas. Este análisis se realiza para un sismo de menor intensidad,

que se llama sismo en condiciones de servicio. Como los métodos de

análisis son elásticos las deformaciones que se tendrán para un sismo “n”

veces inferior al de diseño, serán “n” veces inferiores a las calculadas para

el sismo de diseño.

Por lo anterior, las normas de diseño no consideran la realización

de dos análisis, uno para el sismo de diseño y otro para condiciones de

servicio, sino que aceptan que se realice sólo el análisis para el sismo

en condiciones de servicio y se hagan las correcciones necesarias para

tener en cuenta la intensidad del sismo para el cual se desea proteger la

estructura contra deformaciones excesivas. Esto se hace dividiendo las

fuerzas obtenidas para el sismo de diseño por el coeficiente de capacidad

de disipación de energía, R, por lo que las deformaciones para el sismo

de diseño son R veces superiores a los valores obtenidos para un análisis

elástico de las fuerzas reducidas por ductilidad. Habrá deformaciones

inelásticas tanto mayores cuánto más grande sea la reducción por ductili-

dad. Para que las estructuras estén en capacidad de sufrir estas deforma-

ciones inelásticas sin colapsar, son muchos los detalles del refuerzo que

deben tenerse en cuenta en las estructuras de hormigón reforzado; estos

detalles son costosos y difíciles de lograr.

194

En las estructuras de hormigón los códigos especifican el conjunto

más amplio y detallado de requisitos por ductilidad. La experiencia de

campo y de laboratorio ha mostrado que sólo con cuidados muy estric-

tos se puede lograr que las estructuras de hormigón desarrollen duc-

tilidades importantes. Los requisitos prescritos por los códigos de los

diversos países tienden a uniformizarse y coincidir; sin embargo, aún

existen diferencias importantes; por ejemplo, las que establece el código

de Nueva Zelanda son mucho más estrictas que las de los contenidos en

el Código ACI. La NSR-10 está basada en este último.

Para estructuras en las que la resistencia a cargas laterales sea pro-

porcionada por un sistema de pórticos resistentes a momentos de hormi-

gón reforzado, la NSR-10 especifica los siguientes valores para el coefi-

ciente de capacidad de disipación de energía básico: para estructuras

con demanda moderada de ductilidad, DMO, Ro � 5, y para estructuras

con demanda especial de ductilidad, DES, Ro � 7 (Capítulo 1, Tabla 1.12).

De conformidad a lo tratado en el Capítulo 1, Sección 1.5, el coefi-

ciente de capacidad de disipación de energía, R, se calculará de acuerdo

con la expresión (1.10).

Ro� = P

ue / P

y

R = �a * �

p* �

r* R

0 (1.14)

�a = factor de irregularidad en altura.

�p = factor de irregularidad en planta.

�r = factor de redundancia.

En los siguientes numerales se comentarán los requisitos especi-

ficados en la NSR-10 para el diseño de vigas, sólo se hará énfasis a los

requisitos relativos al dimensionamiento y detallado del refuerzo; sin

embargo, se recuerda que la NSR-10 establece, además, requisitos de

regularidad y uniformidad de la estructura que ya se han comentado en

el Capítulo 1 de este texto.

195

4.2 Materiales

El empleo de hormigones de elevada resistencia es favorable en estruc-

turas en zonas sísmicas, en cuanto disminuye la posibilidad de fallas

frágiles por compresión o por tensión diagonal del hormigón y favorece

el desarrollo de la capacidad total del acero de refuerzo, cuya fluencia

gobierna el comportamiento inelástico de la estructura. Sin embargo, la

condición anterior se puede lograr para hormigones de cualquier resis-

tencia, siempre que se sigan los criterios adecuados de dimensionamien-

to de las secciones.

Debe exigirse un control de calidad estricto de la resistencia del

hormigón para evitar que la variabilidad de la misma pueda dar lugar a

zonas mucho más débiles que el resto de la estructura; en dichas zonas

se llegaría a concentrar la disipación inelástica de energía, la cual redun-

daría en una menor ductilidad del conjunto. El hormigón debe dosifi-

carse por peso y con procedimientos que garanticen que la desviación

estándar de la resistencia no exceda de 35 kgf/cm2.

Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada

(DMO) y especial (DES) la NSR-10, Sec. C.21.1.4.2, exige que la resisten-

cia a la compresión del hormigón no deba ser inferior a 210 kgf/cm2 (21

MPa) y exime de esta restricción a las estructuras hasta de tres pisos

cuyo sistema de resistencia sísmica consista en muros de carga.

La limitación de resistencia mínima que se impone en la NSR-10,

��’c�&?'\�¤��2 (21 MPa), tiene como intención evitar hormigones en

los que se suele tener poco control de calidad sobre la resistencia, más

que propiciar resistencias elevadas.

En lo que respecta al acero de refuerzo, la NSR-10, Sec. C.3.5, exige

que el refuerzo debe ser corrugado, el refuerzo liso sólo se puede utilizar

en estribos, espirales y refuerzo de repartición y temperatura. Las barras

corrugadas deben ser de acero de baja aleación que cumplan con la nor-

ma NTC 2289 (ASTM A706M).

Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada

(DMO) y especial (DES) la NSR-10, Sec. C.21.1.5, especifica que todo

refuerzo corrugado que resista fuerzas axiales y de flexión, inducidas por

sismo, debe cumplir con las especificaciones de la norma NTC 2289

(ASTM A706M), Grado 4,200 kgf/cm2 (420 MPa) y especialmente:

196

�� "��"� �

que fy en 1,250 kgf/cm2 (125 MPa).

�� !�� !��"��

real de fluencia no sea menor de 1.25.

Los valores de fy, usados en los cálculos de diseño, no deben exceder

de 5,500 kgf/cm2 (550 MPa), (NSR-10, Sec.C.9.4).

4.3 Requisitos de diseño

Los requisitos que aquí se describen se aplican a elementos que trabajan

esencialmente en flexión, lo que incluye las vigas y aquellos elementos

con cargas axiales muy bajas, que no excedan de 0.10 ��’c A

g, en donde A

g

es el área bruta de la sección de hormigón (b*h).

4.3.1 Requisitos geométricos

La Figura 4.1 resume los requisitos geométricos de la NSR-10 para las

vigas.

Las relaciones Llibre

/ bw

y h / d tienen como objetivo controlar la

esbeltez de la viga para evitar que su ductilidad se vea limitada por pro-

blemas de pandeo lateral.

Los requisitos sobre un ancho mínimo de la base, además de preten-

der evitar el pandeo lateral de la viga, persiguen que en pórticos dúctiles

la sección de la viga tenga una zona de compresión que le permita desa-

rrollar ductilidad elevada.

La NSR-10 limita, en pórticos dúctiles, el ancho de las vigas res-

pecto del ancho de la columna que le sirve de apoyo, con esto pretende

asegurar que la transmisión de momentos entre viga y columna pueda

realizarse sin la aparición de tensiones importantes por cortante y tor-

sión. Para tal objeto, se requiere que el refuerzo longitudinal de las vigas

cruce la columna por el interior de su núcleo confinado.

La limitación del valor de la excentricidad, que el eje de la viga

puede tener con respecto al de la columna, tiene como finalidad lograr

una transmisión directa de momentos entre la viga y la columna, y evi-

tar los problemas torsionales en el nudo, esta limitación debe cumplirse

tanto en los pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO, como

en los de demanda especial, DES; a pesar que la NSR-10 no incluye esta

197

limitante para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, se

sugiere conservar la especificación de la NSR-98.

Figura 4.1 Requisitos geométricos para las vigas de pórticos dúctiles

de hormigón reforzado

4.3.2 Requisitos generales para el refuerzo longitudinal

La ductilidad que es capaz de desarrollar una sección de hormigón re-

forzado es mayor a medida que la sección sea más sub reforzada. Es por

ello que se limita la cuantía máxima de refuerzo, tanto superior como

inferior, al 75% del valor que corresponde al de la falla balanceada. Para

estructuras con demanda moderada y especial se limita su valor a un

máximo de 0.025 para evitar congestionamiento del refuerzo.

Figura 4.2 Envolvente de momentos para vigas de pórticos dúctiles de hormigón

(a) Ductilidad mínima (b) Ductilidad moderada (c) Ductilidad especial

198

Para los pórticos dúctiles se requiere de un refuerzo mínimo, tanto

positivo como negativo en toda la longitud de la viga, y deben disponer-

se, al menos, dos barras tanto en la parte superior como en la inferior.

La NSR-10, Sec.C.21.3.4.3, especifica que este refuerzo debe tener un

diámetro mínimo de ½” para estructuras con demanda moderada de

ductilidad, DMO, mientras que para las estructuras con demanda especial

de ductilidad, DES, no especifica su diámetro (NSR-10, Sec.C.21.5.2.1);

se sugiere conservar la especificación de la NSR-98, Sec.C.21.3.2.a, que

recomienda emplear un diámetro mínimo de 5/8” para estructuras con

demanda especial de ductilidad, DES.

La distribución de los momentos flectores a lo largo de la viga varía

considerablemente durante un sismo y puede diferir significativamente

de la que se obtiene en el análisis. Por ello, para proporcionar una míni-

ma ductilidad, se recomienda:

Para pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO, la resis-

tencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que

1/3 de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La

resistencia a momento, tanto positiva como negativa, en cualquier sec-

ción a lo largo de la viga, no puede ser menor que 1/5 de la resistencia

máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos (NSR-10,

Sec.C.21.3.4.4).

Para pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, la resisten-

cia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que 1/2

de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La

resistencia a momento, tanto positiva como negativa, en cualquier sec-

ción a lo largo de la viga, no puede ser menor que 1/4 de la resistencia

máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos (NSR-10,

Sec.C.21.5.2.2).

Figura 4.3 Zonas confinadas y de traslapos en vigas de pórticos resistentes

a momentos DMO y DES

199

Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el hormi-

gón que reducen su resistencia a cortante. Por ello, para estructuras con

demanda especial de ductilidad, DES, la NSR-10 no los admite en las

zonas donde se pueden formar articulaciones plásticas; como son los ex-

tremos de las vigas en una longitud de dos veces su altura, 2h, medidos

a partir de la cara del nudo, ni los admite dentro de los nudos. Fuera de

esas zonas, cuando se requieran traslapos deberán colocarse estribos ce-

rrados a una separación no mayor de 10 cm ni de ¼ de la altura efectiva

de la viga, d/4 (NSR-10, Sec. C.21.5.2.3).

Figura 4.4 Distribución de estribos en vigas de pórticos

con demanda especial de ductilidad, DES

Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, la NSR-10

no admite los traslapos dentro de los nudos, ni exige la colocación de

estribos de confinamiento a lo largo de la longitud de traslapo. En es-

tructuras con demanda mínima de ductilidad no hay restricciones para

los traslapos.

200

Figura 4.5 Distribución de estribos en vigas de pórticos

con demanda moderada de ductilidad

Figura 4.6 Recubrimiento y separación del refuerzo longitudinal en vigas

Es importante que el refuerzo longitudinal esté ubicado con el recu-

brimiento y la separación entre barras que permitan una fácil colocación

del hormigón y una adecuada transmisión de tensiones de adherencia.

Se recomienda no colocar paquetes de más de dos barras, con la finalidad

de evitar concentraciones de tensiones de adherencia y favorecer una

distribución uniforme del refuerzo longitudinal, para que proporcione

un buen confinamiento al hormigón.

Entre las funciones de los estribos están la de fijar la posición del

refuerzo longitudinal durante el vaciado y la de proporcionar la resis-

tencia necesaria para evitar una falla del hormigón por tensión diagonal.

201

Una buena disposición de estribos incrementa la ductilidad al confinar

el núcleo de hormigón y evitar el pandeo del refuerzo longitudinal que

trabaja a compresión.

4.3.3 Detallado del refuerzo en flexión

"�� 78��2� ��>��8�6�

En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe

tener una cuantía, , inferior a la que se obtiene por la ecuación 4.5

(NSR-10, Sec. C.10.3), ni debe exceder de 0.025. Para pórticos con de-

manda moderada de ductilidad, DMO (NSR-10, Sec. C.21.3.4.3) debe

haber al menos dos barras continuas tanto arriba como abajo, estas barras

deben tener como mínimo un diámetro de N.o 4 (1/2”) o 12M (12mm).

Para pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, la NSR-10, Sec.

C.21.5.2.1, no especifica el diámetro de este refuerzo, pero un diámetro

de 5/8”, tal como lo prescribía la NSR-98, es apropiado.

(4.1)

El límite a la cuantía de refuerzo de 0.0025 pretende evitar el con-

gestionamiento del refuerzo en vigas principales, mientras que el requi-

sito de al menos dos barras de refuerzo arriba y abajo tiene como objetivo

facilitar el proceso constructivo y proteger todas las secciones de la viga

de un modo de falla frágil por flexión.

La ductilidad de una sección de hormigón reforzado es mayor en

secciones sub reforzadas, y entre más sub reforzada es la sección, mayor

es su ductilidad. Por esta razón se limita la cuantía máxima de diseño a

una fracción de la cuantía balanceada, al 75% de su valor.

(4.2)

Para ��’c � 280 kgf/cm2, � = 0.7225 y decrece a razón de 0.04 por

cada 70 kgf/cm2 de exceso sobre 280 kgf/cm2.

��#��7��@+A

�� $�DMI,�2��$�DMO$��

El principal inconveniente en los nudos exteriores, para el refuerzo lon-

gitudinal de las vigas, es satisfacer las condiciones de anclaje. Por con-

202

diciones geométricas el refuerzo debe doblarse en este extremo, para lo

cual se emplea un gancho estándar de 90°.

La NSR-10 no formula ninguna especificación sobre la localización

de las secciones críticas, por lo que puede asumirse que debe tomarse

en la cara de la columna de apoyo; sin embargo, para estructuras con alta

demanda de ductilidad, DES, el recubrimiento del refuerzo pierde rápi-

damente su eficiencia y en este caso la sección crítica debe tomarse en

el borde del núcleo confinado.

Figura 4.7 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos exteriores

Figura 4.8 Dimensiones mínimas de vigas y columnas para anclaje en nudos exteriores

Tabla 4.1 Dimensiones de los ganchos estándar

db

Lg. cm A cm

Pulg. cm 17.5db

16db

1/2” 1.270 22 20

5/8” 1.588 28 25

3/4” 1.905 33 30

7/8” 2.222 39 36

1” 2.540 44 41

203

En este diseño deben considerarse los siguientes aspectos:

�� !�� !��

columna, el anclaje de las varillas de la viga se debe suponer que se

inicia dentro de la columna.

�� -

lumnas poco profundas, es recomendable:

� Usar varillas de diámetro pequeño.

� Emplear placas de anclaje soldadas a los extremos de las

varillas.

� Colocar pequeñas varillas en el radio interior del doblez para

retrasar el aplastamiento o desprendimiento del hormigón en

ese lugar.

� Colocar una cantidad suficiente de estribos horizontales para

restringir el movimiento del gancho.

�� ´\¶�� <�

El detalle de ubicar el doblez hacia afuera del nudo, es decir, hacia

la columna, no es apropiado en zonas sísmicas.

�� Q��

columna, pero debe quedar dentro del núcleo confinado de la co-

lumna o del elemento de borde.

�� Q��

gran altura lleguen a columnas esbeltas, se recomienda terminar las

varillas de las vigas en pequeñas extensiones en la fachada. Este de-

talle mejora notablemente las condiciones de anclaje de las varillas,

lo que se traduce en un comportamiento superior del nudo.

Según la NSR-10, Sec. C.12.5.1, la longitud de desarrollo, Ldh

, para

una barra corrugada a tracción que termine en gancho estándar no debe

ser menor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión

(NSR-10, Sec. C.12.5.2):

(4.3)

La NSR-10, Sec. C.12.5.3, permite multiplicar esta longitud de de-

sarrollo, Ldh

, por uno o varios de los siguientes coeficientes:

204

a) Por 0.7 para ganchos de barras 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) con recu-

brimiento lateral, normal al plano del gancho, no menor de 6.5 cm y

para ganchos de 90°, con recubrimiento en la extensión de la barra

más allá del gancho no menor de 5 cm.

b) Por 0.8 para ganchos de 90° de barras N.o 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm)

y menores que se encuentran confinados por estribos perpendicu-

lares a la barra que se está desarrollando, a lo largo de Ldh

a no más

de 3db; o bien, rodeado con estribos paralelos a la barra que se está

desarrollando y espaciados a no más de 3 db a lo largo de la longitud

de desarrollo del extremo del gancho más el doblez.

c) Por 0.8 para ganchos de 180° de barras N.o 11 (1 3/8”) o 36M

(36 mm) y menores que se encuentran confinados con estribos per-

pendiculares a la barra que está desarrollando, espaciados a no más

de 3 db a lo largo de L

dh.

d) Por As colocado

/ As requerido

, cuando se coloca acero en exceso. Este factor

es sólo aplicable a estructuras con demanda mínima de ductilidad,

DMI; y debe aplicarse sólo donde no se requiera o no se necesite an-

clar o desarrollar específicamente fy.

La Tabla 4.2 se ha calculado para un recubrimiento al estribo, según

la NSR-10, Sec. C.7.7.1.c, de 40 mm (4 cm) y para diámetros de los es-

tribos de �3/8” (0.95 cm).

Tabla 4.2 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas

para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado

con gancho estándar a 90°, DMI y DMO

Barra

N.o

Diá-

metro

db en

cm

Ldh

, cm hmín.

columna en cmh

min

viga

cm

No se

cumplen

(a) y (b)

Se

cumple

(a)

Se

cumple

(a) y (b)

No se

cumple

ni (a) ni (b)

Se

cumple

(a)

Se

cumple

(a) y (b)

4 1.27 27.6 19.3 15.5 32.6 24.3 20.4 25.3

5 1.59 34.6 24.2 19.4 39.6 29.2 24.3 30.4

6 1.91 41.5 29.1 23.2 46.5 34.0 28.2 35.5

7 2.22 48.3 33.8 27.0 53.3 38.8 32.0 40.5

8 2.54 55.2 38.6 30.9 60.2 43.6 35.9 45.6

Cálculos para fy = 420 MPa (4200 kgf/cm2), f ’

c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A L

dh

se le adicionan 4.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm

en el extremo del nudo y 0.95 cm del diámetro del estribo (�3/8”).

205

�� #��$�DES

Los requisitos para el anclaje de barras corrugadas con gancho estándar

de 90° son más estrictos para estructuras con demanda especial de duc-

tilidad, DES; la NSR-10, Sec. C.21.7.5.1, especifica que la longitud de

desarrollo, Ldh

, no debe ser menor que el mayor valor entre 8db, 15 cm y

la longitud requerida por la expresión (4.4). Esta expresión es válida para

barras de 3/8”, (No 3), a barras de 1-3/8” (N.o 11).

(4.4)

A esta expresión se le han incorporado los coeficientes: 0.7 (por re-

cubrimiento del hormigón) y 0.8 (por estribos) relacionados en la sec-

ción anterior. Por otra parte, la longitud de desarrollo calculada por la

expresión (4.3) se ha incrementado en la expresión (4.4) para reflejar el

efecto de las inversiones de carga.

Tabla 4.3 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas

para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado

con gancho estándar a 90°, DES

Barra

N.o

Diámetro

db en cm

Ldh

cm

hmin

columna

(cm)h

min viga (cm)

4 1.27 21.4 30.4 25.3

5 1.59 26.8 35.8 30.4

6 1.91 32.2 41.2 35.5

7 2.22 37.4 46.4 40.5

8 2.54 42.8 51.8 45.6

Cálculos para fy = 420 MPa (4,200 kgf/cm2), f ’

c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A L

dh

se le adicionan 8.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en cada cara

y 0.95 cm del diámetro del estribo (�3/8”).

��#��6�

�� $�DMI$�2��$�DMO, de ductilidad

La NSR-10, Sec. C.12.2.2, formula las expresiones básicas para el cálcu-

lo de la longitud de desarrollo, Ld, especificando que esta no debe ser

inferior a 30 cm.

206

Para barras � N.o 6

(4.5)

Para barras > N.o 6

(4.6)

Estas expresiones son aplicables a estructuras con demanda míni-

ma, DMI, y moderada DMO de ductilidad; se excluyen las estructuras con

demanda especial de ductilidad, DES, las cuales deben cumplir las espe-

cificaciones especiales de la sección de la NSR-10, Sec. C.21.7.5.2.

Para el refuerzo horizontal se colocan más de 30 cm de hormigón

fresco debajo de la longitud de desarrollo, )t =1.3. Para otros casos

)t =1.0. Para el refuerzo sin recubrimiento o recubierto con zinc (galva-

nizado) )e =1.0. Para las barras con recubrimiento epóxico, con menos

de 3db de recubrimiento o separación libre, menos de 6d

b, )

e =1.5; para

otros casos con recubrimiento epóxico )e =1.2.


sin recubrimiento epóxico ()e = 1.0), hormigón de peso normal (* = 1.0),

fy = 4,200 kgf/cm2, f ’

c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda mínima,

DMI y moderada DMO de ductilidad

Barra Diámetro Ld cm

N.o db en cm

Otras barras

)t = 1.0

Barras altas

)t = 1.3

4 1.27 56 73

5 1.59 70 91

6 1.91 84 109

7 2.22 121 158

8 2.54 139 181

Además deben cumplirse los siguientes requisitos:

�� Q��

mínimos a flexión en las zonas no confinadas (ver la Sección 4.3.2 de

este capítulo).

207

�� !��

debe ser inferior al diámetro db, no menor de 25 mm ni menor de

1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10, Sec.

C.7.6.1).

�� \��

(4 cm) en vigas y columnas no expuestas a la intemperie (NSR-10,

Sec. C.7.7.1.c).

��#��$�DES


sin recubrimiento epóxico ()e = 1.0), hormigón de peso normal (* = 1.0),

fy = 4,200 kgf/cm2, f ’

c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda especial

de ductilidad, DES

Barra Diámetro Ld cm

N.o db en cm Otras barras Barras altas

4 1.27 54 70

5 1.59 67 87

6 1.91 81 105

7 2.22 94 122

8 2.54 106 137

Para barras No 3 (3/8”) o 10M (10 mm) a No 11 (1-3/8”) o 36M (36

mm), la longitud de desarrollo en tracción para una barra recta, Ld, no

debe ser menor que:

�� ?<_�� !��[�<�`��

hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra,

no excede de 30 cm.

�� ~<?_�� !��[�<�`��

de hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la

barra, excede de 30 cm (barras altas).

Además deben cumplirse los siguientes requisitos:

�� Q��

mínimos a flexión en las zonas no confinadas (ver la Sección 4.3.2 de

este capítulo).

208

� La separación libre entre barras paralelas, colocadas en una capa,

no debe ser inferior al diámetro db, no menor de 25 mm ni me-

nor de 1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10,

Sec. C.7.6.1).

�� \��

(4 cm), en vigas y columnas no expuestas a la intemperie (NSR-10,

Sec. C.7.7.1.c).

�� !�� -

to menor de 3db o separación libre entre barras, menor de 6d

b, las

longitudes de desarrollo deben multiplicarse por el factor )e = 1.5

para las otras barras con recubrimiento epóxico )e = 1.2 (NSR-10,

Sec. C.21.7.5.4).

�� $��

del núcleo confinado de la columna o elemento de borde. Cualquier

porción de Ld fuera del núcleo confinado debe incrementarse me-

diante un factor de 1.6 (NSR-10, Sec. C.21.7.5.3).

��

Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos so-

metidos a flexión son los puntos en donde se presentan esfuerzos máxi-

mos y puntos de la luz donde termina o se dobla el refuerzo adyacente

(NSR-10, Sec. C.12.10.2).

El refuerzo debe extenderse más allá del punto en el que ya no se

requiera para resistir flexión, una distancia igual a la altura efectiva del

elemento, d o 12db, la que sea mayor, excepto en los de vigas simplemen-

te apoyadas y en el extremo libre de voladizos (NSR-10, Sec. C.12.10.3).

Lo anterior se debe a que existen diferencias entre los diagramas teóri-

cos, obtenidos en el análisis, y los que se presentan realmente, ocasio-

nadas por la incertidumbre en la magnitud y distribución de las cargas y

por las aproximaciones usadas en el análisis.

El refuerzo que continúa debe tener una longitud embebida no me-

nor de Ld, más allá del punto donde no se requiera refuerzo de tracción

para resistir flexión (NSR-10, Sec. C.12.10.4). Por lo menos 1/3 del re-

fuerzo total por tracción en el apoyo proporcionado para resistir momen-

to negativo, debe tener una longitud embebida, más allá del punto de

inflexión, no menor que la altura efectiva del elemento, d, 12 db o 1/16

de la luz libre, la que sea mayor (NSR-10, Sec. C.12.12.3).

209

Figura 4.9 Desarrollo del refuerzo negativo en un apoyo interior

(��$�DES

En las estructuras con demanda especial de ductilidad, el efecto de las

cargas sísmicas prima sobre el de las cargas de gravedad; por ello, en

este tipo de estructuras se presenta con frecuencia el siguiente tipo de

diagrama de momentos:

Figura 4.10 Diagrama de momentos flectores con inversión en el apoyo central

En un nudo interior, para estructuras con demanda especial de duc-

tilidad, una barra de refuerzo colocada en la parte superior de la viga

210

pasa de trabajar a tracción en una cara de la columna, a compresión en la

otra cara, por lo que se necesita un espesor mínimo de la columna para

que dentro del nudo la barra pueda invertir sus tensiones. Para que esta

inversión de tensiones sea posible, se necesita garantizar un espesor mí-

nimo de la columna con el fin de proporcionar la adherencia necesaria

para que la barra pueda cambiar de tensión dentro del nudo.

Para lograr lo anterior, la NSR-10, Sec. C.21.7.2.3, establece en pór-

ticos con demanda especial de ductilidad, DES, una relación mínima de

20 entre el ancho de la columna o viga y el diámetro de la barra que los

atraviese.

hv = 20 * d

b2

hc = 20 * d

b1

Figura 4.11 Dimensiones mínimas de vigas y columnas en uniones interiores,

pórticos de hormigón con DES

(��$�DMO

Para el diseño de estructuras aporticadas de hormigón con demanda mo-

derada de ductilidad, DMO, se exigen las mismas cuantías de diseño que

para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES; la diferencia

está en que no existen restricciones para el dimensionamiento por adhe-

rencia de las vigas y columnas en nudos interiores, de allí se infiere que

en la NSR-10 se asume que el efecto de las cargas sísmicas no domina

sobre el de las cargas verticales y que los diagramas de momento no pre-

sentan inversión en los nudos centrales.

211

Figura 4.12 Diagrama de momentos flectores sin inversión en el apoyo central

En este caso, una barra colocada en la parte superior de la viga traba-

ja a tracción a ambos lados del nudo o de la columna, no presenta inver-

sión de momentos y por tanto no existen problemas de adherencia que

obliguen a la exigencia de dimensiones mínimas para vigas y columnas,

como es el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad. No

obstante, debe analizarse si la estructura aporticada presenta o no inver-

sión de momentos y de presentarse debe aplicarse este requisito.

En las estructuras con demanda mínima de ductilidad dominan las

cargas verticales, y en las de demanda especial de ductilidad, las cargas

sísmicas. En las estructuras con demanda moderada de ductilidad no se

tiene certeza sobre cuál de ellas domina el diseño.

No tiene sentido cuidar la resistencia, rigidez y ductilidad de los

elementos estructurales si estos no se unen entre sí, de manera que

estas características se puedan desarrollar plenamente.

(��#��B��

Los estribos cumplen las funciones de fijar la posición del refuerzo lon-

gitudinal y de proporcionar resistencia a tensión en la viga para evitar

una falla frágil por cortante.

Una distribución adecuada de estribos cerrados incrementa sus-

tancialmente la ductilidad de las secciones de hormigón en flexión al

proporcionar confinamiento al hormigón del núcleo y restringir el pan-

deo del refuerzo longitudinal en compresión. El suministro de estribos

cerrados a una separación no mayor de “d/2” es requisito para vigas

de pórticos dúctiles y es recomendable en cualquier viga con función

estructural.

212

Los requisitos ilustrados en las Figuras 4.4 y 4.5 se refieren esen-

cialmente a separación de los estribos de confinamiento en las zonas de

posible formación de articulaciones plásticas. Estos deben ser cerrados,

de una pieza, se deben rematar con dobleces a 135° o más, con una ex-

tensión de 6de pero no menor de 75 mm (NSR-10, Sec. C.7.1.4), como

se indica en la Figura 4.13. El remate a 135° es necesario para impedir

que el estribo se abra al ser sometido a la presión producida por la expan-

sión del hormigón del núcleo interior, con lo cual perdería su función de

proporcionar confinamiento. La ejecución de estos dobleces en la obra

presenta ciertas dificultades, por lo que el detalle es frecuentemente

objetado por los constructores. Sin embargo, se trata de un requisito

importante que debe ser respetado.

Figura 4.13 Estribos de confinamiento

(��#��>�

En el diseño de vigas a cortante se tiene como objetivo principal evitar

la posibilidad de una falla frágil por tracción diagonal en el hormigón.

Las especificaciones para el diseño a cortante no se basan en los valores

obtenidos del análisis, sino que se fundamentan en el valor de las fuerzas

cortantes que aparecen cuando se forman las articulaciones plásticas en

los extremos de las vigas. Para su cálculo deben diseñarse primero las

vigas y luego, de acuerdo con el refuerzo colocado, se determina el valor

de los momentos de fluencia en los extremos de las vigas, para calcular

213

después el cortante máximo que entra a la viga cuando estos extremos

se plastifican.

Las vigas tienen que ser capaces de soportar los cortantes que se

presentan cuando se forma el mecanismo de falla aceptado, que consiste

en la aparición de una articulación plástica de momento negativo en un

extremo y, posteriormente, de una articulación plástica de momento po-

sitivo en el otro extremo o cerca de él.

Aplicando el principio de superposición se pueden analizar, de ma-

nera separada, el efecto de la carga de gravedad y el de las cargas sís-

micas, cuando éstas predominan. De esta superposición, indicada en la

Figura 4.15, se deduce que el máximo cortante que entra a la viga está

dado por la siguiente expresión:

� (4.7)

Figura 4.14 Acciones en las vigas de pórticos dúctiles debidas al efecto

simultáneo de cargas de gravedad y cargas sísmicas

214

Los valores de los momentos de fluencia se calculan a partir de las

siguientes expresiones:

Muy= � As fy*(d - a / 2), a=(� / 0.85) * c, c=+* fy * d / � f ’c (4.8)

El máximo cortante que se introduce en la viga, Vu máx.

, es aquel que

se presenta cuando los dos momentos de extremo, Ma y M

b, alcanzan su

valor máximo, el de fluencia. Es decir, que su valor no se deduce del aná-

lisis, sino que debe hacerse primero el diseño a flexión de la viga y una

vez seleccionado el refuerzo en los apoyos, se calcularán los momentos

para los cuales este acero fluye. En este caso, la suma de los momentos

de extremo no puede pasar de sus valores de fluencia y, por tanto, el cor-

tante que se introduce nunca podrá exceder de esta suma, dividida por

la longitud libre de la viga, L. Este valor es independiente del sismo.

Figura 4.15 Superposición de los efectos de cortante en una viga dúctil

de hormigón reforzado

Al cortante por carga vertical, isostático, se le debe sumar el corres-

pondiente cortante hiper-estático, mayorado por un adecuado factor de

seguridad, y con este valor se procede al diseño de los estribos. Así se

pretende garantizar que la viga nunca va a fallar a cortante porque pri-

mero falla a flexión.

215

Para pórticos con ductilidad moderada, DMO, los momentos de

fluencia se calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte en las

secciones extremas, para el cual la tensión de fluencia del acero se toma-

rá igual a su valor nominal, el factor de sub resistencia se tomará igual a

la unidad, (� = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se

denominan momentos nominales, Mn (NSR-10, Sec. C.21.3.3.1).

Para pórticos con ductilidad especial, los momentos flectores se cal-

culan tomando la tensión de fluencia del acero igual a 1.25 veces su valor

nominal, y el factor de sub-resistencia igual a la unidad, (� = 1.0). Los

momentos calculados con estos parámetros se denominan momentos

probables, Mpr, (NSR-10, Sec. C.21.5.4.1).

Para pórticos con ductilidad mínima, los momentos flectores se cal-

culan tomando la tensión de fluencia del acero igual a su valor nominal,

y el factor de sub resistencia igual al especificado para flexión, (� = 0.9).

El cálculo del cortante último de diseño, por el procedimiento ante-

rior, puede resultar poco familiar, pero es el procedimiento racional que

posibilita hacer un diseño sísmico seguro, que le permite al ingeniero cal-

culista saber qué factor de seguridad está usando en cada caso y con ello

controlar el mecanismo de falla. Este procedimiento racional es el único

recomendado por la NSR-10 para pórticos con ductilidad especial DES. Para pórticos con ductilidad moderada, DMO, recomienda tomar

como cortante de diseño el menor valor entre:

�� La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos

nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre

y el cortante calculado para cargas mayoradas (expresión (4.7).

�� El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de di-

seño que incluyen E, considerando E como el doble del prescrito

por el título A de la NSR-10.

(��#��6�

Para estructuras con ductilidad especial, se prescribe ignorar la contribu-

ción del hormigón a la resistencia al cortante, cuando el cortante sísmico

domine sobre el cortante de la carga vertical. Lo anterior, para tomar

en cuenta que la repetición de ciclos de carga alterna, producidos por

el sismo, puede llegar a degradar el mecanismo con el cual el hormigón

contribuye a la resistencia a cortante, después de que se han llegado a

formar grietas de tensión diagonal.

216

La NSR-10, Sec. C.21.5.4.2, especifica que la contribución del hor-

migón a cortante debe considerarse nula cuando:

�� La fuerza cortante introducida por el sismo representa la mitad o

más de la resistencia máxima a cortante requerida.

�� La fuerza axial de compresión mayorada, Pu, incluyendo los efectos

sísmicos, es menor que 0.1 f ’c A

g.

Es recomendable considerar nula la contribución del hormigón a la

resistencia a cortante (Vc) en los extremos de las vigas donde se pre-

tenda que la sección de la viga sea capaz de alcanzar más de una vez

rotaciones inelásticas elevadas, que provocan un deterioro significativo

de la contribución del hormigón a cortante. Cuando se considere la con-

tribución del hormigón, ésta se puede calcular con la expresión dada por

la NSR-10, Sec. C.11.2.1.1:

(4.9)

(4.10)

Imagen 4.1 Falla por tensión diagonal, en una viga, debido a sobrecargas

Se requiere un refuerzo transversal poco espaciado para evitar el

agrietamiento por tensiones diagonales, para restringir el pandeo del re-

217

fuerzo longitudinal que trabaje a compresión y para proporcionar confi-

namiento al hormigón. No deben realizarse cortes ni traslapos en las zo-

nas de formación de las articulaciones plásticas para evitar que aparezcan

tensiones en el hormigón por la transmisión de tensiones de adherencia,

lo que reduciría su capacidad de rotación.

4.4 Tuberías embebidas

Se permite, previa aprobación del ingeniero calculista, embeber cual-

quier material que no sea perjudicial para el hormigón, siempre y cuando

se considere que no reemplaza al hormigón y no debilita significativa-

mente la resistencia de la estructura (NSR-10, Sec. C.6.3).

Se deben cumplir los siguientes requisitos:

�� Los ductos y tuberías, junto con sus conexiones, embebidas en una

columna, no deben ocupar más del 4% del área de la sección trans-

versal que se empleó para calcular su resistencia, o la requerida para

la protección contra el fuego.

Imagen 4.2 Colocación prohibida de tuberías atravesando los elementos

de resistencia sísmica, DMO y DES

�� No deben tener dimensiones exteriores mayores que 1/3 del espe-

sor total de la losa, muro o viga donde están embebidos.

218

�� No deben estar espaciados a menos de tres veces su diámetro o an-

cho medido de centro a centro.

�� El recubrimiento del hormigón para las tuberías, conductos y sus

conexiones no debe ser menor de 40 mm para hormigón en contacto

con el suelo, o de 20 mm cuando el hormigón no está expuesto a la

intemperie o en contacto con el suelo.

�� Debe colocarse refuerzo en la dirección normal a la tubería, con un

área no menor de 0.002 veces el área de la sección de hormigón.

�� En losas macizas las tuberías deben colocarse entre las capas de re-

fuerzo superior a menos que se requieran para irradiar calor.

4.5 Sistema de losas aligeradas o nervadas

Estas losas deben cumplir los siguientes requisitos, según la NSR-10,

Sec. C.8.13.

Figura 4.16 Dimensiones mínimas de losas aligeradas

El ancho mínimo de un nervio es de 10 cm en su parte superior y su

ancho promedio no debe ser inferior a 8 cm. Su altura libre no puede ser

superior a cinco veces su ancho promedio (NSR-10, Sec. C.8.13.2).

Para losas nervadas en una dirección la separación máxima entre

nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 2.5 veces la

altura total de la losa, sin exceder de 1.20 m (NSR-10, Sec. C.8.13.3).

Para losas nervadas en dos direcciones la separación máxima entre

nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 3.5 veces la al-

tura total de la losa, sin exceder de 1.50 m (NSR-10, Sec. C.8.13.3).

Cuando se trate de losas en una dirección deben colocarse nervios

transversales de repartición con una separación máxima de diez veces

el espesor total de la losa, sin exceder de 4.00 m. Estos nervios trans-

219

versales deben diseñarse, a flexión y a cortante, de tal manera que sean

capaces de transportar la carga total (muerta más viva) de cada nervio a

los dos nervios adyacentes (NSR-10, Sec. C.8.13.3.1).

Cuando se utilicen aligerantes de arcilla cocida u hormigón, que

tengan una resistencia unitaria a la compresión por lo menos igual al ��’c

de las viguetas, se debe cumplir:

�� La porción vaciada en el sitio de la loseta superior debe tener al

menos 4.5 cm de espesor, pero ésta no debe ser menor de 1/20 de

la distancia libre entre los nervios. Cuando se utilicen bloques de

aligeramiento permanentes de hormigón o de arcilla recocida, la

parte de la loseta superior vaciada en el sitio puede tomarse de 4 cm

(NSR-10, Sec. C.8.13.5.2).

�� La loseta superior debe tener, como mínimo, el refuerzo de retrac-

ción y temperatura especificados por la NSR-10, Sec. C.7.12. Para

mallas electro-soldadas esta cuantía es de 0.0018.

Cuando se utilicen aligerantes removibles que no cumplan lo ante-

rior se debe cumplir:

�� El espesor de la loseta superior no debe ser menor que 1/12 de la

distancia libre entre las nervaduras, ni menor de 5 cm (NSR-10,

Sec. C.8.13.6.1).

�� La loseta superior debe tener, como mínimo, el refuerzo de re-

tracción y temperatura especificados por la NSR-10, Sec. C.7.12

(NSR-10, Sec. C.8.13.6.2).

Imagen 4.3 Recubrimiento insuficiente del refuerzo de temperatura

en una losa aligerada

220

El refuerzo positivo de los nervios, para las luces más frecuentes,

está constituido por una sola barra. Se recomienda llevar y anclar este re-

fuerzo en los apoyos para prevenir que un error constructivo en el control

del recubrimiento lleve a una falla por adherencia.

Para las vigas paralelas a los nervios, en losas aligeradas en una di-

rección, además de las cargas propias de su función, debe considerarse el

efecto de la carga que puedan transportar los nervios transversales. Este

efecto puede tenerse en cuenta considerando una carga aferente sobre

la viga, equivalente al doble de la que lleva un nervio (NSR-10, Sec.

C.8.13.3.3).

En losas nervadas puede considerarse que �Vc es un 10% mayor que

lo especificado por la NSR-10 para elementos sometidos a flexión y corte

en su Sección C.11.2.1.1.

Imagen 4.4 El recubrimiento insuficiente del refuerzo longitudinal

se manifiesta en una fisura paralela al refuerzo y la posterior pérdida

del recubrimiento

Los apoyos extremos de los nervios deben modelarse como apoyos

simples para evitar generar torsión en la viga de apoyo, no obstante lo an-

terior este apoyo debe llevar un refuerzo mínimo (�3/8”) para controlar

las posibles fisuras que puedan presentarse.

221

Los extremos de los nervios que terminan en voladizos deben deta-

llarse colocándoles, además del refuerzo negativo, una cantidad mínima

de refuerzo positivo para absorber las tracciones que puedan presentarse

en la fibra inferior.

Imagen 4.5 Desprendimiento del refuerzo longitudinal en nervios

por falta de recubrimiento y de estribos

Imagen 4.6 Apoyo extremo de nervios con refuerzo negativo en exceso,

lo cual ocasionó torsión en la viga indicada en la Imagen 4.4

222

Imagen 4.7 Colapso estructural por torsión en la viga de borde.

Obsérvese la verticalidad de la baranda respecto a la arista de la viga

Imagen 4.8 Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999

223

4.6 Requisitos de diseño sismo resistente para vigas, NSR-10

Tabla 4.6 Requisitos geométricos para las vigas


Mínima - DMI Moderada - DMO Especial - DES

1. La separación entre los

apoyos laterales de una

viga no debe exceder

de cincuenta veces el

menor ancho b del ala

o cara de compresión

NSR-10, Sec. C.10.4.1

1. La fuerza axial mayorada

en el elemento no debe

exceder de 0.10 f ’c A

g

NSR-10, Sec. C.21.3.2

1. La fuerza axial mayorada

en el elemento no debe

exceder de 0.10 f ’c A

g

NSR-10, Sec. C.21.5.1.1

2. La luz libre del ele-

mento, Ln, no debe ser

menor de 4h

NSR-10, Sec. C.10.7.1

2. La luz libre del elemento,

Ln, no debe ser menor de 4h

NSR-10, Sec. C.21.5.1.2

3. bw / d 0.30

NSR-10, Sec. C.21.5.1.3

2. bw ³ 0.20 m

NSR-10, Sec. C.21.3.4.1

4. bw ³ 0.25 m

NSR-10, Sec. C.21.5.1.3

5. El ancho del elemento, bw,

no debe exceder el ancho

del elemento de apoyo,

c2, más una distancia a

cada lado del elemento

de apoyo que sea igual al

menor valor de:

a. El ancho del elemento

de apoyo, c2.

b. 0.75 veces la dimen-

sión total del elemen-

to de apoyo c2

NSR-10, Sec. C.21.5.1.4

3. La excentricidad respec-

to a la columna que le da

apoyo no debe ser mayor

que el 25% del ancho

del apoyo, medido en la

dirección perpendicular

a la dirección del eje

longitudinal de la viga

NSR-10, Sec. C.21.3.4.2

224

Tabla 4.7 Refuerzo longitudinal en vigas



1. Las vigas deben tener

al menos dos barras lon-

gitudinales continuas

colocadas a lo largo de

ambas caras superior e

inferior. Estas barras

deben desarrollarse en

la cara del apoyo

NSR-10, Sec. C.21.2.2

1. En cualquier sección de

la viga el refuerzo supe-

rior e inferior no debe

tener una cuantía, , in-

ferior a la que se obtiene

con la ecuación C.10-3,

ni debe exceder 0.025.

Debe haber al menos

dos barras continuas de

diámetro igual o superior

a N.o 4 (1/2”) o 12M (12

mm) tanto arriba como

abajo

NSR-10, Sec. C.21.3.4.3

1. En cualquier sección de

un elemento a flexión,

excepto por lo dispues-

to en C.10.5.3, para el

refuerzo tanto superior

como inferior, el área

de refuerzo no debe ser

menor que la dada por

la ecuación C.10-3 ni

menor que 1.4 bwd/f

y, y

la cuantía de refuerzo, ,

no debe exceder 0.025.

Al menos dos barras de-

ben disponerse en forma

continua tanto en la parte

superior como inferior

NSR-10, Sec. C.21.5.2.1

2. La resistencia a momen-

to positivo en la cara del

nudo no debe ser menor

que 1/3 de la resistencia

a momento negativo en

la misma cara del nudo.

La resistencia a momen-

to negativo o positivo,

en cualquier sección a lo

largo de la viga, no puede

ser menor que 1/5 de

la resistencia máxima a

momento proporcionada

en la cara de cualquiera

de los nudos

NSR-10, Sec. C.21.3.4.4

2. La resistencia a momento

positivo en la cara del

nudo no debe ser menor

que 1/2 de la resistencia

a momento negativo pro-

porcionada en esa mis-

ma cara. La resistencia

a momento negativo o

positivo, en cualquier

sección a lo largo de la

longitud del elemento no

debe ser menor que 1/4

de la resistencia máxima a

momento proporcionada

en la cara de cualquiera

de los nudos

NSR-10, Sec. C.21.5.2.2

225



1. Las vigas deben tener

al menos dos barras lon-

gitudinales continuas

colocadas a lo largo de

ambas caras superior e

inferior. Estas barras

deben desarrollarse en

la cara del apoyo

NSR-10, Sec. C.21.2.2

3. No se permite empalme

por traslapo dentro de

los nudos

NSR-10, Sec. C.21.3.4.5

3. No se permite empalme

por traslapo en los si-

guientes lugares:

,+ Dentro de los nudos.

,+ Dentro de una distancia

igual a 2h de la cara del

nudo.

,+ Donde el análisis in-

dique fluencia por fle-

xión causada por des-

plazamientos laterales

inelásticos del pórtico

NSR-10, Sec. C.21.5.2.3

4. Sólo se permiten em-

palmes por traslapo

del refuerzo de flexión

cuando se proporcio-

nan estribos cerrados

de confinamiento en la

longitud de empalme

por traslapo. El espa-

ciamiento del refuerzo

transversal que confina

las barras traslapadas no

debe exceder de d/4 o

100 mm

NSR-10, Sec. C.21.5.2.3

5. Los empalmes mecáni-

cos deben cumplir los

requisitos C.21.1.6 y los

empalmes soldados de-

ben cumplir con C-21-

1-7

NSR-10, Sec. C.21.5.2.4

226

Tabla 4.8 Refuerzo transversal en vigas



No hay requisitos

especiales

1. Deben colocarse estribos

cerrados de confinamien-

to, en ambos extremos

del elemento, al menos

de diámetro N.o 3 (3/8”)

o 10M (10 mm) en lon-

gitudes iguales a 2h, me-

didos desde la cara del

elemento de apoyo hacia

el centro de la luz

NSR-10, Sec. C.21.3.4.6

1. Deben disponerse estri-

bos cerrados de confina-

miento en las siguientes

regiones de los elemen-

tos pertenecientes a pór-

ticos:

a. En una longitud igual a

2h, medida desde la cara

del elemento de apoyo

hacia el centro de la luz

en ambos extremos del

elemento en flexión.

b. En longitudes iguales

a 2h a ambos lados de

una sección en donde

puede ocurrir fluencia

por flexión debido a des-

plazamientos laterales

inelásticos del pórtico

NSR-10, Sec. C.21.5.3.1

2. El primer estribo cerra do

de confinamiento debe

estar situado a no más de

50 mm de la cara del ele-

mento de apoyo. El espa-

ciamiento de los estribos

cerrados de confinamien-

to no debe exceder el

menor valor de:

,+d/4.

,+8db de la barra longitudi-

nal de menor diámetro.

,+24 de de la barra del es-

tribo de confinamiento.

,+300 mm

NSR-10, Sec. C.21.3.4.6

2. El primer estribo cerra-

do de confinamiento

debe estar situado a no

más de 50 mm de la cara

del elemento de apo-

yo. El espaciamiento de

los estribos cerrados de

confinamiento no debe

exceder de:

,+ d/4.

,+ 6db de la barra longi-

tudinal más pequeña.

,+ 150 mm

NSR-10, Sec. C.21.5.3.2

227



No hay requisitos

especiales

3. Las barras longitudinales

del perímetro deben te-

ner el soporte lateral con-

forme a C.7.10.5.3, donde

se requieran estribos ce-

rrados de confinamiento

NSR-10, Sec. C.21.3.4.7

3. Cuando se requieran es-

tribos cerrados de confi-

namiento, las barras lon-

gitudinales principales

para flexión más cercanas

a las caras de tracción y

compresión deben tener

soporte lateral conforme

a C.7.10.5.3 o C.7.10.5.4.

El espaciamiento entre

barras longitudinales con

soporte lateral no debe

exceder de 350 mm

NSR-10, Sec. C.21.5.3.3

1. El espaciamiento

del refuerzo de

cortante colocado

perpendicularmente

al eje del elemento

no debe exceder de d/2

NSR-10, Sec. C.11.4.5.1

4. Deben colocarse estribos

con ganchos sísmicos en

ambos extremos, espa-

ciados a no más de d/2

en toda la longitud del

elemento

NSR-10, Sec. C.21.3.4.8

4. Cuando no se requie-

ran estribos cerrados de

confinamiento deben

colocarse estribos con

ganchos en ambos ex-

tremos, espaciados a no

más de d/2 en toda la

longitud del elemento

NSR-10, Sec. C.21.5.3.4

2. Donde Vs sobrepase

��\<~~¸� ¹c b

wd (MPa)

la separación de los

estribos no debe exceder

de d/4

NSR-10, Sec. C.11.4.5.3

5.Los estribos que se requie-

ran para resistir cor tante

deben ser estribos ce-

rrados de confinamiento

colocados en los lugares

dentro de los elementos

descritos en C.21.5.3.1

NSR-10, Sec. C.21.5.3.5

228

Tabla 4.9 Tensiones cortantes en vigas



No hay requisitos

especiales

1. El �Vn de vigas que resisten

efectos sísmicos, E, no debe

ser menor que el menor

valor de (a) y (b):

a. La suma del cortante debido a

flexión, en curvatura inversa,

asociado con el desarrollo de

los momentos nominales de

la viga, Mn, en cada extremo

restringido de la luz libre y

el cortante calculado para

cargas gravitacionales ma-

yoradas.

b. El cortante máximo obtenido

de las combinaciones de car-

gas de diseño que incluyan,

E, considerando E como el

doble del prescrito por el

título A de la NSR.

NSR-10, Sec. C.21.3.3.1

1. La fuerza cortante de diseño,

Ve, se debe determinar a

partir de las fuerzas estáticas

en la parte del elemento

comprendida entre las caras

del nudo. Se debe suponer

que en las caras de los nudos

actúan momentos de signo

opuesto correspondientes a

la resistencia probable, Mpr, y

que el elemento está además

cargado con cargas aferentes

gravitacionales mayoradas a

lo largo de la luz

NSR-10, Sec. C.21.5.4.1

2. El refuerzo transversal iden-

tificado en C.21.5.3.1 debe

diseñarse para resistir cor-

tante suponiendo Vc = 0

cuando se produzcan simul-

táneamente (a) y (b):

a. La fuerza cortante induci-

da por el sismo calculada

de acuerdo con C.21.5.4.1

representa la mitad o más

de la resistencia máxima a

cortante requerida en esas

zonas.

229

4.7 Ejemplo de diseño

Segunda parte: diseño de vigas

En esta segunda parte se evalúan con detalle las cargas gravitacionales,

muertas y vivas, y se analiza el pórtico 1, para cinco combinaciones de

cargas. Igualmente, se realizan ejemplos de diseño de escaleras, nervios,

N2, y vigas, V4.



No hay requisitos

especiales

b. La fuerza axial de compre-

sión mayorada, incluyendo

los efectos sísmicos, es

menor que: 0.05 f ’c A

g

NSR-10, Sec. C.21.5.4.2

Donde el refuerzo longitudinal

de una viga atraviesa un nudo

viga-columna, la dimensión de

la columna paralela al refuerzo

de la viga no debe ser menor

que veinte veces el diámetro de

la barra longitudinal de viga de

mayor diámetro, para hormigón

de peso normal

C.21.7.2.3

230

Planta tercera y cuarta losa

231

Planta segunda losa

232

Planta primera losa

233

�� Diseño de la escalera

En este tipo de escalera se analiza su proyección horizontal, como si se

tratase de una viga simplemente apoyada.

Materiales:

Acero: fy =4,200 kgf /cm2

Hormigón: f ’c=210 kgf /cm2

Cargas:

Acabados: 160 kgf /m2

Carga viva: 300 kgf /m2

Dimensionamiento:

NSR-10, Tabla C.9-1.a

h L / 20=255 / 20=12.8 cm

Se asume h = 15 cm

NSR-10, Sec. C.7.7.1.c

Recubrimiento: r = 2 cm, d = h - r - db/2, Se asume d = 12 cm

Peso total de la escalera por metro de profundidad:

Carga muerta (Pcm

):

Peso de la losa horizontal: 0.95 * 0.15 * 2,400 = 342.0 kgf

Peso de la losa inclinada: 1.80 * 0.15 * 2,400 = 648.0

Peso de los peldaños: 5 * (0.187 * 0.30/2) * 2,300 = 322.6

Peso de los acabados: 160 * (0.95 + 1.70) = 424.0

=======

Pcm

= 1,36.6 kgf

Carga viva (Pcv

): Pcv = 2.55 *300 = 765 kgf

Carga última (Pu): P

u = 1.2 * P

cm + 1.6 * P

cv = 3,307.9 kgf

Wu = P

u / L = 3,307.9 / 2.55 = 1,297 kgf/m

Armadura por retracción de fraguado y cambios de temperatura:

NSR-10, Sec. C.7.12.2.1: As temp

=0.0018 * b * h= 0.0018 * 100 * 15= 2.70 cm2

Refuerzo �3/8” (0.71 cm2): se requieren: (2.70 / 0.71) 3.8 barras cada (100 / 3.8) 26.3 cm

Solución: colocar 1�3/8” cada 25 cm

NSR-10, Sec. C.7.12.2.2: smáx.

� 5h = 5 * 15 = 75 cm �

smáx.

� 45 cm �

234

Diseño a flexión: Mu = W

u * L2 / 8 = 1.2975 * 2.552 / 8 = 1.06 t-m = 106 t-cm

K = Mu / bd2 = 0.00734 t / cm2 �+++ = 0.001955

mín

= 0.80 ��/ fy 14 / fy = 0.003333

As = * bd = 0.00333 * 100 * 12 = 4.00 cm2

La armadura requerida por la flexión (4.00 cm2) no debe ser inferior

a la requerida para controlar los cambios de temperatura (2.70 cm2). Se

requiere colocar (4.00/1.29) 3.1 barras de �1/2” cada (100/3.1) 32 cm.

Solución: colocar: 1�1/2” c/30 cm.

NSR-10, Sec. C.7.6.5: smáx

� 3h = 3 * 15 = 45 cm �

smáx

� 50 cm �

Diseño a cortante: �Vc=0.53*� * bd=0.53*0.75 * *100* 12=6,912.4 kgf

Cortante crítico a la distancia “d” del borde del apoyo:

Vu critica

=1,297 *(2.55/2 – 0.15/2 – 0.12)=1,400.8 kgf, �Vc>Vu �

�+Vc > Vu � no requiere estribos

c'f

'cf � 210

235

�� !��

Las cargas sobre los nervios fueron evaluadas en la Sección 3.10, Pri-

mera Parte, evaluación de cargas, y se obtuvo una carga de diseño de 1.17

t/m. Todos los nervios se diseñan para la carga anterior excepto el nervio

N4 que se diseña para la carga de la escalera (1.65 t/m) y la mitad del

valor de la carga de los nervios (0.59 t/m) debido al vacío de las escalas.

N1:

N2:

N3:

N4:

N7:

La evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 1, se obtienen

sumando las reacciones de los nervios y dividiendo por la luz de la viga,

entre ejes:

V7 (C-B) = (2.08 + 2*2.05 + 2.29 + 2*1.82) / 7.20 = 1.76 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3

V7 (B-A) = (2*2.08 + 2.05) / 4.45 = 1.40 t/m 2N1 + N2

V6 (C-B) = (6.00 + 2*6.13 + 4.97 + 2*7.29) / 7.20 = 5.25 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3

V6 (B-A) = (2*6.00 + 6.13) / 4.45 = 4.07 t/m 2N1 + N2

V5 (C-B) = (7.82 + 2*7.36 + 12.27 + 2*2.48) / 7.20 = 5.52 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3

V5 (B-A) = (2*7.82 + 7.36) / 4.45 = 5.17 t/m 2N1 + N2

236

V4 (C-B) = (2.89 + 2*5.25 + 9.74 + 2*4.92) / 7.20 = 4.58 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N6

V4 (B-A) = (2*2.89 + 5.25) / 4.45 = 2.48 t/m 2N1 + N2

La evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 2 y 3 se obtiene�siguiendo el mismo procedimiento, se analizan los nervios N8 a N14 y

luego se evalúan las cargas de diseño sobre las vigas.

N8:

N9:

N10:

N11:

N12:

N14:

Cargas sobre las vigas:

V9 (C-B) = (5.49 + 5.57 + 6.68 + 7.31 + 6.28 + 5.99) / 7.20 = 5.18 t/m N8+N9+N10+ N11+N13+N14

V9 (B-A) = (5.49 + 5.57 + 6.62) / 4.45 = 3.97 t/m N8 + N9 + N12

V8 (C-B) = (7.73 + 7.31 + 6.84 + 2.31 + 2.64 + 11.47) / 7.20 = 5.32 t/m N8+N9+N10+N11+N13+N14

V8 (B-A) = (7.73 + 7.31 + 7.15) / 4.45 = 4.99 t/m N8 + N9 + N12

V10 (C-B) = (2.90 + 5.26 + 5.33 + 9.86 + 2*4.92) / 7.20 = 4.61 t/m N8+N9+N10+N14+ 2N6

V10 (B-A) = (2.90 + 5.26 + 4.14) / 4.45 = 2.76 t/m N8 + N9 + N12

237

Evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 4:�la losa 4 es una

losa de cubierta, no lleva muros divisorios, por ello debe modificarse el

valor de la carga muerta. Este análisis se hizo en la Sección 3.10 y se

obtuvo:

CM = 434 kgf/m, CV = 180 kgf/m, Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 808.8 kgf/m � 0.81 t/m

Por ser el análisis lineal y tener la misma geometría (las losas 3 y

4) los resultados de la losa de cubierta, losa 4, pueden deducirse de los

obtenidos de la losa 3, multiplicando estos resultados por la relación que

existe entre las cargas: 0.81/1.17 = 0.69.

Cargas sobre las vigas:

V9 (C-B) = 5.18 * 0.69 = 3.93 t/m N8+N9+N10+ N11+N13+N14

V9 (B-A) = 3.97 * 0.69 = 3.01 t/m N8 + N9 + N12

V8 (C-B) = 5.32 * 0.69 = 3.67 t/m N8+N9+N10+N11+N13+N14

V8 (B-A) = 4.99 * 0.69 = 3.44 t/m N8 + N9 + N12

V10 (C-B) = 4.61 * 0.69 = 3.18 t/m N8+N9+N10+N14+ N6

V10 (B-A) = 2.76 * 0.69 = 1.90 t/m N8 + N9 + N12

Cargas gravitacionales últimas (mayoradas) sobre los pórticos en t/m

(1.2*CM + 1.6*CV, no incluyen el peso de las vigas):

Se aconseja diseñar las vigas en los ejes A, B, C y las losas 1, 2 y 3,

para una carga igual al doble de la de los nervios, es decir, de 2.64 t/m, y

en la cubierta, losa 4, el 68% de este valor, o sea de 1.80 t/m. Esta suge-

rencia se debe a la posible transmisión de cargas de los nervios NT.

238

�� !��"�� ¬?

f ’c=210 kgf/cm2, f

y=4,200 kgf/cm2, b=15 cm, h=40 cm, d=37 cm, d’=3 cm

* Diagramas de fuerza cortante y de momento flector;

entre paréntesis se indica el área de acero de refuerzo requerido a flexión en cm2

En la siguiente figura se muestra la selección del refuerzo y los re-

quisitos de anclaje para el refuerzo negativo:

Las barras superiores deben considerarse como barras altas por te-

ner más de 30 cm de hormigón por debajo, el recubrimiento para el re-

fuerzo de las losas es de 2 cm.

Como ejemplo de corte de barras se suprimirá una barra del refuer-

zo negativo en el apoyo 2 (1�5/8”) y una de refuerzo positivo (1�1/2”)

239

en la primera luz. Los momentos que resiste un nervio, reforzado con

cada una de estas barras, son: 1�5/8” (As = 2 cm2), M = 2.68 t-m y para

1�1/2” ( As = 1.29 cm2) M = 1.75 t-m. De la Tabla 4.4 se obtiene que

la longitud de desarrollo para 1�1/2” ld = 56 cm, y para una barra alta de

1�5/8” ld = 91 cm.

Corte del refuerzo en el apoyo 2:

la longitud de la barra corta será el mayor de los siguientes valores:

L 2 * 91 = 182 cm

L (38 + 37)+(32+37)=144 cm

Longitud de la barra = 182 cm

La longitud de la barra larga

será el mayor de los siguientes

valores:

L (38 + 91) + (32 + 91) = 252 cm

L (155 + 37) + (119 + 37) = 348 cm Longitud de la barra = 348 cm

Corte del refuerzo en la luz 1:

la longitud de la barra a cortar será

el mayor de los siguientes valores:

L 2 * 56=112 cm

L (135+37)+(135+37)=334 cm

Longitud de la barra = 334 cm

La barra que no se corta debe llevarse

hasta los apoyos y penetrar en estos

un mínimo de 15 cm.

Análisis del cortante:

�Vc�\<_~��¸� ¹

c ¯��\<_~�¯�\<�_�¯�¸?'\�¯�'_�¯�~��~<_?��

En losas nervadas puede considerarse

que �Vc es un 10% mayor que lo

especificado: �Vc = .1*3.52 = 3.87 t.

Solamente a la izquierada del apoyo 2

se requieren estribos.

Vud

= 3.96 – 1.17 * (0.37 + 0.15) = 3.35 t

Vud

< �Vc � no se requieren estribos

240

�� "� �� !�� º�� '��

pórtico 1, primer entrepiso

Para poder emplear las combinaciones de cargas especificadas en

la NSR-10 en su Sección B, se necesita reorganizar las cargas de diseño

deducidas en el literal “b” con el fin de adicionar, a las cargas muertas, el

peso propio de las vigas.

Pisos 1, 2, 3 CM=734 kgf / m, CV=180 kgf / m, Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 1,168.8 kgf / m

% de la CM de servicio = 734 / 1,168.8 » 0.63, % de la CV = 180 / 168.8 = 0.15

Piso 4 CM = 434 kgf / m, CV = 180 kgf / m, Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 808.8 kgf / m

% de la CM de servicio = 434 / 808.8 � 0.54 % de la CV = 180 / 808.8 = 0.22

Peso de la viga: CM = 0.30 * 0.40 * 2.4 � 0.29 t/m (carga de servicio)

Cargas verticales: el cálculo de las cargas de servicio se hace a par-

tir de los valores deducidos en el literal “b” de esta segunda parte del

ejemplo.

Carga muerta:

Piso 1 (C-B) = 4.58*0.63 + 0.29 = 3.18 t/m (B-A) = 2.48*0.63 + 0.29 = 1.85 t/m

Piso 2,3 (C-B) = 4.61*0.63 + 0.29 = 3.19 t/m (B-A) = 2.76*0.63 + 0.29 = 2.03 t/m

Terraza (C-B) = 3.18*0.54 + 0.29 = 2.01 t/m (B-A) = 1.90*0.54 + 0.29 = 1.32 t/m

Carga viva:

Piso 1 (C-B) = 4.58*0.15 = 0.69 t/m (B-A) = 2.48*0.15 = 0.37 t/m

Pisos 2,3 (C-B) = 4.61*0.15 = 0.69 t/m (B-A) = 2.76*0.15 = 0.41 t/m

Terraza (C-B) = 3.18*0.22 = 0.70 t/m (B-A) = 1.90*0.22 = 0.42 t/m

Cargas horizontales: las cargas sísmicas ya fueron analizadas en el

Capítulo 3. Los valores obtenidos deben dividirse por el coeficiente de

capacidad de disipación de energía, R:

241

R = Ro * �

p * �

a * �

r = 5 * 1.0 * 0.9 * 1.0 = 4.5

Los valores de las cargas sísmicas de diseño, ya divididas por el factor

de ductilidad, R, se indican en la siguiente figura. Por efectos puramente

académicos se seleccionan arbitrariamente cinco (5) combinaciones de

cargas.

Ro: factor de ductilidad básico, para

pórticos dúctiles de hormigón

con DMO, su valor máximo es de

5.0.

+ �p: factor de irregularidad en planta

= 1.0, por ser la estructura regu-

lar en planta.

�a: factor de irregularidad en altura

= 0.9, presenta irregularidad del

tipo 3A.

�r: factor de redundancia = 1.0, por

tener el sistema al menos tres

ejes de columnas en cada di-

rección.

Para el análisis y diseño se utilizarán las siguientes cinco combina-

ciones de cargas NSR-10, Sec. C.9.2.1:

1.2*CM + 1.6*CV

1.2*CM * 1.0*CV + SX1 + 0.3 SY

1

1.2*CM * 1.0*CV – SY1 + 0.3 SX

1

0.90*CM – SX2

0.90*CM + SY2

242

Para el análisis del pórtico 1 hay necesidad de recurrir a un programa

de análisis lineal de pórticos planos.

Dimensiones: vigas de b = 30, h = 40 cm y columnas de b = 50, h = 30 cm

243

Diagramas de momentos para las cinco combinaciones de cargas; viga 4, pórtico 1

Envolvente de momentos para demanda moderada de ductilidad:

Tramo C-B Mc+ M

c– / 3 = 22.31 / 3 = 7.44 t-m

Mb

+ Mb

– / 3 = 19.56 / 3 = 6.52 t-m

Máximo momento negativo = 22.31 t-m

En todas las abscisas de la viga M+ y M– 22.31 / 5 = 4.46 t-m

Tramo B-A Mb

+ Mb

– / 3 = 16.06 / 3 = 5.35 t-m

Ma+ M

a– / 3 = 10.91 / 3 = 3.64 t-m


En todas las abscisas de la viga M+ y M- 16.06 / 5 = 3.21 t-m

La siguiente figura nos muestra el envolvente de momentos para las

cinco combinaciones de cargas; viga 4, pórtico 1:

244

La siguiente tabla especifica el diseño a flexión de la viga V4, pórti-

co 1, entrepiso 1:

VIGA V4 (C-B) Piso 1

L = 7.20 m Sección: b = 30 cm, h = 40 cm

Lu = 6.90 m d = 34 cm, d’= 6 cm

X m 0.15 0.84 1.53 2.22 2.91 3.60 4.29 4.98 5.67 6.36 7.05

Mu (-) t-m 22.31 11.57 4.48 4.46 4.46 4.46 4.46 4.46 4.46 9.33 19.58

Mu (+) t-m 7.44 4.46 4.97 7.57 10.49 11.36 9.94 7.81 4.46 4.46 6.53

As (-) cm2 21.30 10.20 3.62 3.62 3.62 3.62 3.62 3.62 3.62 8.00 18.72

As (+) cm2 6.24 3.62 4.06 6.36 9.12 9.99 8.58 6.58 3.62 3.62 5.42

VIGA V4 (B-A) Piso 1

L = 4.45 m Sección: b = 30 cm, h = 40 cm

Lu = 4.15 m d = 34 cm, d’= 6 cm

X m 0.15 0.57 0.98 1.40 1.81 2.23 2.64 3.06 3.47 3.89 4.30

Mu (-) t-m 16.06 11.65 7.68 4.17 3.21 3.21 3.21 3.32 5.56 8.09 10.91

Mu (+) t-m 5.35 4.10 3.58 3.21 3.21 3.21 3.71 5.44 6.73 7.57 7.97

As (-) cm2 15.14 10.26 6.46 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 4.57 6.83 9.54

As (+) cm2 4.38 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 4.46 5.60 6.36 6.72

Criterio para el despiece del refuerzo negativo en los apoyos: el re-

fuerzo negativo se coloca en la parte superior de la viga y debe conside-

rarse como alto cuando tenga más de 30 cm de hormigón por debajo. Una

barra de refuerzo negativa debe considerarse como alta cuando:

hviga

> r + de + d

b + 30 cm

r = recubrimiento, para estribo de vigas y columnas, para interiores r = 4 cm.

de = diámetro del estribo, usualmente de �3/8” (0.95 cm).

db = diámetro de la barra, valor máximo de �1” (2.54 cm).

hviga

= 4 + 0.95 + 2.54 + 30 = 37.5 cm

245

Las barras del refuerzo negativo, en vigas que tengan altura superior

a 37.5 cm, deben considerarse como barras altas para el cálculo de las

longitudes de desarrollo y de traslapo.

-#�2��"�

El punto crítico para el despiece de esta viga es el apoyo C, por ser

aquel que requiere mayor cantidad de refuerzo (As = 21.30 cm2); al se-

leccionar el refuerzo debe verificarse que éste pueda desarrollarse ade-

cuadamente en la columna de apoyo y que quepa dentro de la misma.

De acuerdo con la Tabla 4.2 se observa que el mayor diámetro que

se puede desarrollar en una columna de 30 cm es el de �3/4”, pero si se

colocan barras de �3/4” en el apoyo C se requieren 7 barras, cantidad

que no se puede colocar en una viga con un ancho de 30 cm, por ello,

deben modificarse las dimensiones de la columna con la finalidad de

seleccionar una barra de mayor diámetro y reducir el número de barras

de refuerzo que se colocarán.

Se opta por colocar como refuerzo negativo del apoyo C: 4�7/8” +

2�3/4” (21.16 cm2), que obliga a aumentar la altura de la columna C1 a

35 cm y la base de la viga V4 a 40 cm, dimensiones con las que sí se pue-

den satisfacer las condiciones de anclaje y de separación entre las barras.

-#�2��C

Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, en los apo-

yos centrales, la NSR-10 no exige revisar el ancho de la columna para

controlar las tensiones de adherencia, ocasionadas por la inversión de

momentos. Se debe revisar la separación entre las barras, 3�1”+ 2�3/4”

para que puedan colocarse adecuadamente en una viga de 40 cm de an-

cho, empleando estribos de �3/8”.

-#�2��-

La altura de la columna del apoyo A, 30 cm, es suficiente para desa-

rrollar y colocar las 4�3/4” que se requieren.

En la siguiente figura se muestran las secciones críticas y la selec-

ción del acero de refuerzo V4 (área en cm2):

246

Despiece del refuerzo negativo en los apoyos:

-#�2��"�

Se calcula la longitud teórica del refuerzo de �7/8”, igual a la longi-

tud de la barra dentro de la columna, más la longitud de desarrollo a par-

tir de la cara del nudo, y se verifica si allí se puede suspender el refuerzo

o si requiere de una longitud adicional (Tabla 4.2).

Para una barra de 7/8” y estribos de 3/8”:

r= 4 cm, db = 2.22 cm, de = 0.95 cm

Lg = 39 cm (Tabla 4.1)

Ldh

= 27 cm (Tabla 4.2)

Ld = 158 cm (Tabla 4.4)

Lbarra embebida en el nudo

=Lg + hc –(r+de+4db)


=39 + 35 –(4+0.95+4*2.22)


=60 cm

Barra �7/8”:

Longitud mínima = Lbarra embebida en el nudo

+ Ld

Longitud mínima = 60 + 158 = 218 cm (abscisa 1.58 + 0.15 =1.73 m).

En la tabla de diseño se observa que en la abscisa 1.73 m se requie-

ren 3.62 cm2; este refuerzo se proporciona con 2�3/4”, por lo que las

barras de �7/8” pueden suspenderse.

-#�2��C�

Las barras de �1” deben tener una longitud mínima de 2Ld + el

ancho de columna.

L = 2*181 (Tabla 4.4) + 30 cm (ancho de la columna) = 392 cm.

Se verifica si allí se puede suspender el refuerzo o si requiere de una

longitud adicional.

247

-#�2��-

Las barras seleccionadas de 4�3/4” pueden desarrollarse en la co-

lumna de 30 cm, se decide suspender dos de las cuatro barras de ¾”.

Barras 2�3/4”:

Lg = 33 cm (Tabla 4.1)

Ldh

= 23 cm (Tabla 4.2)

Ld = 109 cm (Tabla 4.4)


= Lg + h

c –(r+d

e+4d

b)


= 33 + 30 –(4+0.95+4*1.91)


= 50 cm

Para el refuerzo negativo del apoyo se observa que 2�3/4” son sufi-

cientes hasta la abscisa 3.47 m (ver la tabla de la página de este mismo

capítulo). A partir de allí deben colocarse las dos barras adicionales de

�3/4”, con una longitud mínima de: L = (4.30 – 3.47) + 0.50 = 1.33 m.

Debe verificarse que a partir del borde de la columna la barra tenga

una longitud superior o igual a la longitud de desarrollo: (4.30 – 3.47)

= 0.83 m < Ld = 1.09 m; debe proporcionarse la longitud de desarrollo:

L = 109 + 50 = 159 cm.

Despiece de refuerzo positivo en las luces:

Luz 1 Se llevan de apoyo a apoyo 2�7/8” (As = 7.74 cm2); la otra

barra de 1�3/4” se requiere cuando el área de refuerzo soli-

citado sea mayor al proporcionado por las 2�7/8” (7.74 cm2),

esto ocurre entre las abscisas 2.22 y 4.98 m (ver la tabla de la

página 244 de este mismo capítulo).

La longitud mínima de las barras de �3/4” es de 4.98 – 2.22

= 2.76 m. Debe verificarse que a ambos lados de la sección

de momento positivo máximo, la longitud de estas barras sea

Ld = 0.84 m (Tabla 4.4, barras bajas).

El momento máximo ocurre en la abscisa 3.60 m (ver la tabla

de la página 244 de este mismo capítulo), luego la barras de

�3/4” deben cubrir las abscisas 3.60 – 0.84 = 2.76 m y 3.60

+ 0.84 = 4.44 m, límites que efectivamente cumplen las

abscisas 2.22 y 4.98 m.

248

Para estructuras con demanda moderada de ductilidad la

NSR-10 sólo restringe los traslapos en la zona de los nudos,

sin embargo, es recomendable hacerlos en la zona no confi-

nada para no inducir tensiones adicionales en las zonas en las

cuales se esperan altas tensiones debido a su plastificación.

La siguiente figura nos muestra el despiece teórico de la viga V4

(40x40), pórtico 1, piso 1:

Realizado el despiece debe verificarse si se cumplen los requisitos

de resistencia exigidos para pórticos dúctiles con demanda moderada de

ductilidad, para ello deben determinarse los momentos resistentes en

las diferentes secciones de acuerdo con el acero realmente colocado.

Apoyo C Apoyo B Apoyo A

La siguiente tabla muestra los momentos resistentes en t-m:

Sección C L1

B L2

A

Asuperior

(cm2) 21.16 5.68 19.30 5.68 11.36

Asinferior

(cm2) 7.74 11.74 11.74 4 6.84

M - (t-m) 23.14 7.11 21.45 7.06 13.18

M+ (t-m) 9.32 13.58 13.58 5.25 8.35

249

Envolvente de momentos para demanda moderada de ductilidad:

Tramo C-B Mc+ = 9.32 t-m M

c– / 3 = 23.14 / 3 = 7.71 t-m �

Mb

+ = 13.58 t-m Mb

– / 3 = 23.14 / 3 = 7.71 t-m �


En todas las abscisas de la viga M+ y M– 23.14/ 5 = 4.63 t-m �

Tramo B-A Mb

+ = 13.58 t-m Mb

– / 3 = 21.45 / 3 = 7.15 t-m �

Ma+ = 8.35 t-m M

a– / 3 = 13.18 / 3 = 4.39 t-m �


En todas las abscisas de la viga M+ y M– 23.14 / 5 = 4.63 t-m �

Se cumplen los requisitos de resistencia a flexión exigidos para pór-

ticos dúctiles con demanda moderada de ductilidad, se procede ahora al

diseño a cortante.

�� ¢

La NSR-10, Sec. C.21.3.3.1, especifica que el cortante sísmico para vigas

y columnas de estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO,

que resisten efectos sísmicos, E, no debe ser menor que el menor valor

calculado en (a) y (b):

a. La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos

nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre y el

cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas.

Al cortante por carga vertical debe adicionársele el cortante que se

presenta cuando se forma el mecanismo de colapso, es decir, cuando los

extremos se plastifican, se debe calcular para el momento actuando tan-

to en el sentido de las manecillas del reloj como en el sentido contrario

a las manecillas del reloj.

La siguiente tabla muestra los momentos nominales y probables en

los apoyos de la viga 4 (t-m), pórtico 1, piso 1:

Sección Momento resistente Momento nominal Momento probable

M– M+ M– M+ M– M+

Apoyo C 23.14 9.32 25.71 10.36 31.10 12.65

Apoyo B 21.45 13.58 23.83 15.09 29.15 19.54

Apoyo A 13.18 8.35 14.64 9.28 17.95 11.32

250

b. El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carga de

diseño que incluyan E, considerando E como el doble del prescrito por

el título A de la NSR-10.

Para el presente ejemplo se analizó el pórtico con el programa RCBE

Building para las siguientes combinaciones de carga:

1.2*CM + 1.6*CV

1.2*CM * 1.0*CV + 2SX1 + 0.6 SY

1

1.2*CM * 1.0*CV – 2SY1 + 0.6 SX

1

0.90*CM – 2SX2

0.90*CM + 2SY2

El resultado del análisis es el siguiente:

El procedimiento que se sigue en el punto (a) es un procedimiento

racional, que garantiza que la viga nunca fallará a cortante, pues primero

251

lo hará a flexión, es el procedimiento aceptado para estructuras con de-

manda especial de ductilidad, DES. El procedimiento del punto (b) es un

procedimiento que no permite determinar el valor del factor de seguri-

dad con el cual se está diseñando, este procedimiento no se acepta para

estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, y según el criterio

del autor no debería aceptarse para estructuras con demanda moderada

de ductilidad, DMO.

Para el diseño, según la NSR-10, puede tomarse el menor valor ob-

tenido en los pasos (a) y (b), para este caso los menores valores del cor-

tante se obtienen en el punto (a) y son los adoptados para el diseño.

�� Q�À

Diseño en el borde de la columna (zona confinada), Vu = 22.88 t:

�+Vc��\<_~�¸� ¹

c��\<_~�¯�\<�_�¯�¸?'\�¯��\�¯�~��Â~��¤��

�+ Vs = V

u – � V

c = 22,880.00 – 7,834 = 15,046 kgf

Para estribos de �+3/8” de 2 ramas con fy = 4,200 kgf/cm2 se tiene:

s = �+ Av f

y d / � V

s = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 15,046 = 10.11 cm

La separación máxima permitida para efectos de confinamiento es:

d/4 = 8.5 cm < 10.11 cm.

Diseño a la distancia 2h de la cara de la columna, (80 cm), (zona no

confinada):

Vud

= Vu – W

u * 2h = 22,880 – 4.920 * 0.80 = 18.944 kgf

� Vs = V

u – � V

c = 18.944 – 7.834 = 11.110 kgf

s = � Av f

y d / � V

s = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 11,110 = 13.70 cm

La separación máxima permitida para efectos de confinamiento es:

d/2 = 17 cm.

Solución: para el tramo C-B, en las zonas confinadas: colocar 11

(80 / 8.5 + 1) estribos �3/8” cada 8.5 cm y en la zona no confinada 40

£[�<´\��?¯\<Â\`��<'~®�� 3/8” cada 13 cm.

�� À��

Diseño en el borde de la columna (zona confinada), Vu = 13.81 t: en

esta zona dominan los requisitos de confinamiento según el diseño del

apoyo C.

252

La separación máxima permitida en la zona de confinamiento:

d/4 = 8.5 cm.

Diseño a la distancia 2h de la cara de la columna, (80 cm), (zona no

confinada):

Vu = V

ud – W

u * 2h = 13,810 – 2,810 * 0.80 = 11,562 kgf

� Vs = V

u – �V

c = 11,562 – 7,834 = 3,728 kgf

s = f Av f

y d / �V

s = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 13,728 = 40.80 cm

La separación máxima permitida en la zona no confinada:

d/2 = 17 cm.

Solución: para el tramo B-A colocar en la zona confinada 10 (80 / 8.5

+ 1) estribos �~�Â��Â<_��"��'_�£[�<'_��

2*0.80) /.17] estribos �3/8” cada 17 cm.

En la figura vemos la V4 (40x40), pórtico 1, piso 1:

�� !��"�� º?�[~\��\`��! ��À�� -

trepiso

La viga 2 ubicada en el pórtico B, primer piso, debe analizarse y di-

señarse para facilitar el desarrollo del presente ejemplo en los capítulos

posteriores.

253

Cargas verticales: como este pórtico lleva la misma orientación de

los nervios, sobre las vigas debe considerarse una carga vertical igual al

doble de la de los nervios. Esta consideración se hace para prever la po-

sible carga que los nervios NT le transfieren.

Pisos 2,3,4 luces 2-3 y 3-4 CM=2*0.734+0.29=1.76 t/m, Peso de la viga=0.29 t/m

CV = 2*0.18 = 0.36 t/m

Piso 5 luces 2-3 y 3-4 CM=2*0.434+0.29 1.16 t/m, Peso de la viga=0.29 t/m

CV = 2*0.18 = 0.36 t/m

Para la luz 1, por simplicidad, las reacciones de los nervios 3 y 4 se

convierten en carga uniforme sobre la viga. Conforme a lo expuesto en

la Sección 3.10 para la cubierta se lleva solo el 68% de este valor y los

resultados se descomponen en cargas vivas y muertas de acuerdo con los

porcentajes allí deducidos.

Como se consideran las reacciones de los nervios N13 y 2N4, sólo se

adiciona una carga vertical igual a una de la de los nervios.

Wu (1-2) = (2*3.36 + 2.64) / 6.15 = 1.52 t/m

Pisos 2,3,4 Luz 1 CM = 0.734 + 0.29 + 1.52*0.63 = 1.98 t/m

CV = 0.18 + 1.52*0.15 = 0.41 t/m

Piso 5 Luz 1 CM = 0.434 + 0.29 + (0.69*1.52) * 0.54 = 1.29 t/m

CV = 0.18 + (0.69*1.52) * 0.22 = 0.41 t/m

254

Cargas horizontales: sus valores fueron deducidos en el Capítulo 3.

Dividiendo estos valores por el factor de ductilidad, R = 4.50, se obtie-

nen los siguientes valores de diseño:

Para el análisis y diseño se utilizarán las siguientes cinco combina-

ciones de cargas:

1.2 CM + 1.6 CV

1.2 CM * 1.0 CV + SX1 + 0.3 SY

1

1.2 CM * 1.0 CV – SY1 + 0.3 SX

1

0.90*CM – SX2

0.90*CM + SY2

Los resultados obtenidos del diseño se resumen en el siguiente es-

quema de despiece:

255

4.8 comentarios sobre la NSR-10

4.8.1 Secciones críticas para el diseño del refuerzo negativo

La NSR-10 no formula ninguna especificación sobre la localización de las

secciones críticas, se asume que deben tomarse en la cara de la columna;

sin embargo, para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES,

el recubrimiento del refuerzo pierde rápidamente su eficiencia y en este

caso la sección crítica debe tomarse en el borde del núcleo confinado.

4.8.2 Longitud de desarrollo para barras terminadas con gancho

estándar, estructuras con demanda especial de ductilidad

Según la NSR-10, Sec. C.21.5.4.a:�“La longitud de desarrollo Ldh

, para

una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor de 8 db, 150 mm

o la longitud dada por la siguiente expresión para barras No. 3 a No.11”:

La figura muestra la V2 (30x40), pórtico B, piso 1:

La NSR-98 adopt� esta expresión del ACI, pero le falt� aclarar que

ya incluye los factores de 0.7 (recubrimiento) y 0.8 (confinamiento con

estribos). De no ser así esta expresión proporcionaría longitudes de de-

sarrollo menores que las obtenidas para demanda moderada de ductili-

dad, conclusión ilógica ya que esta expresión debe considerar los efectos

de inversión de carga.

La NSR-10, Sec. C.21.7.5.1, adopta esta misma expresión pero en

sus comentarios aclara que los coeficientes de 0.7 (por recubrimiento

256

de hormigón) y 0.8 (por estribos) se han incorporado en la constante

empleada en esta ecuación.

4.8.3 Espesores mínimos de vigas y columnas en uniones

interiores, estructuras con demanda moderada de ductilidad

La NSR-98, Sec. C.21.5.1.d, y la NSR-10, Sec. C.21.7.2.3, establecen

que en pórticos con demanda especial de ductilidad, una relación mí-

nima de 20 debe cumplirse entre el ancho de la columna y el diámetro

de la mayor barra longitudinal de la viga que lo atraviese (no hay ningún

requerimiento para regular la altura mínima de las vigas).

hc = 20 * d

bv

En un nudo interior, para estructuras con demanda especial de duc-

tilidad, una barra de refuerzo colocada en la parte superior de la viga pasa

de trabajar a tracción en una cara de la columna, a compresión en la otra

cara, por lo que se necesita un espesor mínimo de la columna para que

dentro del nudo la barra pueda invertir sus tensiones.

Si la inversión de momento se acepta que se presenta en las vigas,

esta también se presentará en las columnas que lleguen al nudo, de allí

que este requisito debe aplicarse a los espesores mínimos de las vigas.

hv = 20 * d

bc

La NSR-10 no tiene ninguna especificación similar para estructuras

con demanda moderada de ductilidad, por lo cual puede asumirse que

se piensa que el efecto de la inversión de momentos en el nudo no es

importante en este tipo de estructuras.

El autor ha sido director de varios proyectos de grado y en los diseños

que ha realizado en la ciudad de Medellín (para el espectro de diseño

de esta ciudad y para estructuras aporticadas de hormigón con demanda

moderada de ductilidad), ha podido comprobar que este efecto es más

frecuente de lo que puede pensarse, pues en todos estos proyectos se ha

comprobado el caso de inversión de momentos. Para el ejemplo que se

ha desarrollado y para las veinticinco combinaciones de carga menciona-

das en la Sección 3.10, en la primera parte del ejemplo, se han encontra-

do los siguientes casos de inversión de momentos:

En el pórtico 1 se presentan 6 casos



257

En el pórtico A se presentan 14 casos

En el pórtico B se presentan 12 casos

En el pórtico C se presentan 14 casos

Los pórticos A, B y C presentan un mayor número de casos de in-

versión de momentos, las plantas estructurales obligaron a un armado de

las losas en una dirección y dado que no reciben cargas de gravedad, en

ellos predomina el efecto de la carga sísmica.

Este hecho no puede pasar inadvertido, pues es necesario regular

los espesores de vigas y columnas en estructuras de hormigón con de-

manda moderada de ductilidad, para garantizar que el refuerzo que pasa

a través de un nudo pueda invertir el sentido de sus tensiones dentro del

mismo sin que se presente falla por adherencia.

4.8.4 Método para evaluar el cortante de diseño en vigas de

estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO

El cálculo del cortante último de diseño, basado en los momen-

tos nominales y probables del acero realmente colocado, puede resultar

poco familiar, pero es el procedimiento racional que permite hacer un

diseño sísmico seguro, que le ayuda al ingeniero calculista a saber qué

factor de seguridad está usando en cada caso y con ello controlar el me-

canismo de falla. Este procedimiento racional es el único recomendado

por la NSR-10 para pórticos con ductilidad especial.

Para pórticos con ductilidad moderada, la NSR-10 recomienda que

el cortante de diseño no sea menor que el menor valor obtenido entre

el procedimiento anterior y el obtenido de la combinación de cargas de

diseño, con E como el doble del valor calculado.

Con esto se busca tener un factor de seguridad sustancialmente ma-

yor contra falla por cortante que contra falla de flexión, de manera que

la segunda sea la falla predominante. En estructuras con DMO, al calcular

el cortante del análisis, tomando para E el doble de su valor, se puede

llegar a resultados poco conservadores con respecto al procedimiento de

cálculo basado en los momentos nominales, ese método no es seguro, no

garantiza el valor del factor de seguridad a cortante y no tiene sentido

incluirlo en la norma.

258

4.8.5 Factor de seguridad a cortante para estructuras

aporticadas con demanda moderada de ductilidad

El máximo cortante que entra a la viga está dado por la siguiente

expresión:

Aplicando el principio de superposición se pueden analizar, de

manera separada, el efecto de la carga de gravedad y el de las cargas

sísmicas.

El segundo término es el cortante que se introduce en la viga por

efectos sísmicos, cuyo valor máximo es aquel que se presenta cuando

los dos momentos de extremo, Ma y M

b, alcanzan su valor máximo, el de

fluencia. Su valor no se deduce del análisis, sino que debe hacerse pri-

mero el diseño a flexión de la viga y, una vez seleccionado el refuerzo en

los apoyos, se calcularán los momentos para los cuales este acero fluye.

Para pórticos con ductilidad moderada, los momentos de fluencia se

calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte en las secciones

extremas, para el cual la tensión de fluencia del acero se tomará igual

a su valor nominal, y el factor de sub resistencia se tomará igual a la

unidad, (� = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se

denominan momentos nominales, Mn. El factor de seguridad empleado

está dado por la relación: 1.00 / 0.90 = 1.11.

En la evaluación de los momentos nominales no se tiene en cuen-

ta la contribución de la losa de entrepiso ni la sobre resistencia de los

aceros, por lo que los momentos que realmente soporta la viga son su-

periores a los nominales, de allí que sea importantísimo tomar un factor

de seguridad que garantice que la viga nunca fallará a cortante porque

primero fallará a flexión.

El factor de seguridad que actualmente especifica la NSR-10 de

1.11 parece ser insuficiente, pues la sola sobre resistencia de los aceros

comerciales (del orden del 12%) absorbe la totalidad del factor de segu-

ridad, lo cual deja abierta la posibilidad de una falla frágil a cortante.

259

4.8.6 Zonas de traslapos en vigas de estructuras con demanda

moderada de ductilidad

Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el hormigón

que reducen su resistencia a cortante, por ello debe evitarse su locali-

zación en las zonas en que se espera la fluencia del acero. La NSR-10

especifica que los traslapos en vigas de estructuras aporticadas de hormi-

gón, con demanda moderada de ductilidad, no se permiten dentro de los

nudos; se recomienda, sin embargo, extender esta restricción a las zonas

confinadas, pues allí existe gran concentración de tensiones.

261

Capítulo 5

Análisis y diseño de columnas

5.1 Definición

Las columnas están definidas por la NSR-10, Sec. C.2.2, como aquellos

elementos estructurales cuya solicitación principal es la carga axial de

compresión, acompañada o no de flexión, torsión o cortante, con una re-

lación de longitud a su menor dimensión lateral mayor de 3; no necesita

ser vertical, puede tener cualquier orientación en el espacio.

Las columnas sometidas a carga axial pura no existen. En estructuras

aporticadas las vigas de entrepiso y las columnas son fundidas monolí-

ticamente y esta situación produce algunos momentos en los extremos

restringidos de las columnas.

Las especificaciones para el diseño de columnas se aplican cuando

el valor de la carga axial exceda de 0.1 f ’c A

g. Para las columnas que hacen

parte de pórticos dúctiles la NSR-10 impone restricciones muy estrictas en

cuanto a su geometría, a su refuerzo longitudinal y a su refuerzo transversal.

5.2 Requisitos geométricos

En la Figura 5.1 se presentan en forma comparativa los requisitos exigidos

por la NSR-10.

Para estructuras de capacidad de disipación de energía moderada

(DMO) y especial (DES) se exigen las siguientes dimensiones mínimas:

,+ ��#��#��6�� $�DMO

NSR-10, Sec. C.21.3.5.1: la menor dimensión de la sección del elemento,

medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de

la sección, no debe ser menor de 25 cm. Las columnas en forma de T, C

o I pueden tener una dimensión mínima de 20 cm, pero su área no puede

ser menor que 625 cm2.

262

,+ ��#��#��#��6�� $�DES

NSR-10, Sec.C.21.6.1.1: la menor dimensión de la sección del elemento,

medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de

la sección, no debe ser menor de 30 cm. Las columnas en forma de T, C

o I pueden tener una dimensión mínima de 25 cm, pero su área no puede

ser menor que 900 cm2.

NSR-10, Sec.C.21.6.1.2: la relación entre la dimensión menor de la

sección transversal y la dimensión perpendicular no puede ser menor a

0.40 cm.

Se exige una dimensión mínima de la sección de la columna para

garantizar un tamaño mínimo del núcleo confinado (una vez descontados

los recubrimientos) que pueda mantener una capacidad significativa de

carga axial, aun después de fallado el hormigón de recubrimiento.

El requisito geométrico adicional para columnas de estructuras aporti-

cadas con demanda especial de ductilidad (b/h 0.4) tiene la finalidad de

evitar que los problemas de pandeo reduzcan la ductilidad de la columna.

Figura 5.1 Requisitos geométricos para las columnas

5.3 Requisitos para el refuerzo

5.3.1 Refuerzo longitudinal

Este refuerzo está constituido por barras longitudinales paralelas al eje

de la columna; su función es aumentar la capacidad de carga a flexocom-

presión, reducir la retracción del fraguado y el flujo plástico y mejorar el

confinamiento del hormigón.

263

"�� >�

La NSR-10, Sec.C.10.9.1, espe-

cifica que la cuantía de diseño, en

columnas, debe estar entre el 1% y el

4%. El ACI 318-08, Sec. 10.9, acepta

cuantías entre el 1% y el 8%, pero

reduce el límite máximo al 6% para

pórticos con ductilidad especial (Sec.

21.6.3.2).

El límite superior de la cuantía tie-

ne por objeto prevenir la congestión de

refuerzo y evitar el desarrollo de gran-

des tensiones cortantes en la columna.

Cuantías superiores al 3% constituyen

una solución poco económica.

Figura 5.2 Localización de la zona

de traslapos en columnas con DES

Se debe especificar una cantidad mínima de refuerzo longitudinal

con el propósito de evitar que este fluya para cargas inferiores a la de la

fluencia teórica, a causa del flujo plástico del hormigón que produce una

transferencia de tensiones entre este y el acero; también se pretende

darle a la columna una resistencia mínima a la flexión.

Se debe limitar la cantidad máxima de refuerzo longitudinal para

evitar el congestionamiento del refuerzo, tanto en las columnas como en

los nudos. Indirectamente también se pretende evitar que la columna esté

sometida a tensiones promedio de compresión muy elevadas. La ductilidad

de una columna disminuye rápidamente a medida que aumenta el nivel

de carga axial sobre ella, mientras más pequeña sea la tensión promedio

de compresión con respecto al máximo permitido, más garantía se tendrá

de un comportamiento dúctil.

'E��

La NSR-10, Sec.C.10.9.2, especifica que el número mínimo de barras del

refuerzo longitudinal debe ser de 4 para barras colocadas dentro de estribos

rectangulares o circulares, de 3 dentro de estribos triangulares y de 6 para

barras longitudinales ubicadas dentro de espirales que cumplan las espe-

cificaciones de la Sección C.10.9.3. La NSR-10, Sec.C.21.6.3.2, especifica

que en el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el

264

número de barras longitudinales es de 6 cuando se empleen estribos de

confinamiento circulares, las otras especificaciones no sufren alteración.

�#��6��2��La NSR-10, Sec.C.7.6.3, especifica que la separación libre entre las barras

longitudinales, s, no debe ser menor de 1.5 db, de 4 cm, ni de 4/3 del

tamaño del agregado grueso. Esta distancia libre entre barras debe apli-

carse entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.

Estos límites mínimos se establecieron con el fin de permitir el flujo rá-

pido del hormigón dentro de los espacios comprendidos entre las barras

y la formaleta (también entre las mismas barras) sin crear hormigueros,

y para evitar la concentración de barras en un mismo plano que puede

causar un agrietamiento por esfuerzo cortante y retracción.

La NSR-10, Sec.7.7.1, para proteger el acero de refuerzo de la agresi-

vidad del medio ambiente especifica los espesores mínimos del hormigón

de recubrimiento dependiendo de la agresividad del medio.

Figura 5.3 Separación y

recubrimiento del refuerzo

longitudinal en columnas

,+ Para hormigón no expuesto a la

intemperie, ni en contacto con

el suelo el recubrimiento del

refuerzo en vigas y columnas

no debe ser menor de 4 cm,

esta dimensión debe cumplir-

se para el refuerzo principal,

estribos o espirales.

,+ Para hormigón colocado contra

el suelo y expuesto permanen-

temente, el recubrimiento

mínimo debe ser de 7.5 cm.

,+ Para hormigón expuesto al suelo o a la intemperie:

Barras N.o 6 o mayores 5 cm

Barras N.o 5 y menores 4 cm

Debe prestarse atención a las columnas ubicadas en el primer piso

puesto que el recubrimiento del refuerzo debe incrementarse en la zona

en que estará en contacto permanente con el suelo, lo anterior obliga a

que toda columna debe llevar un pedestal para proporcionar un recubri-

miento mínimo al refuerzo de 7.5 cm. Para cumplir este requisito basta con

incrementar en 10 cm, 5 cm a cada lado, las dimensiones de la columna

por debajo del nivel de acabado de piso.

265

La buena protección del refuerzo no depende únicamente de un

buen espesor de recubrimiento, es importante controlar que este sea

impermeable, sin poros, para evitar que los elementos agresivos del medio

ambiente penetren a su interior, un buen vibrado es fundamental.

��6��#��Para pórticos con demanda de ductilidad moderada, DMO, la NSR-98 no

especificaba restricciones en la localización de los traslapos del refuerzo

longitudinal, aspecto que se modificó en la NSR-10, Sec.C.21.3.5.3,

al restringir los traslapos para estructuras con demanda moderada de

ductilidad, DMO, a la mitad central de la longitud de la columna y exigir

diseñarlos como empalmes por traslapo a tracción.

Para pórticos de ductilidad especial, DES, las longitudes de empalme

por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud

de la columna, deben calcularse como traslapos a tracción y deben estar

confinados dentro del refuerzo transversal de acuerdo con las NSR 10,

Sec. C.21.6.4.2 y NSR 10, Sec. C.21.6.4.3 (NSR-10, Sec. C.21.6.3.3).

5.3.2 Refuerzo transversal

El refuerzo transversal consiste en estribos o espirales formados de barras

de pequeños diámetros, dispuestos de modo que abracen el refuerzo lon-

gitudinal y lo mantengan vertical para evitar su pandeo durante el vaciado.

Entre sus funciones están el confinar el hormigón para proporcionarle

mayor ductilidad a la columna y darle soporte al refuerzo longitudinal

para evitar su pandeo. Al igual que las barras longitudinales, disminuye

la retracción del fraguado y el flujo plástico.

Figura 5.4 Estribos de confinamiento

con ganchos sísmicos

Especificaciones de la NSR-

10, Sec.C.7.1.4:

,+ El diámetro mínimo de los es-

tribos es el N.o 3 (3/8”) o 10M

(10 mm) cuando las barras

longitudinales sean menores

o iguales a la N.o 10 (1-1/4”).

,+ Para barras superiores a la N.o

10 y para paquetes de barras el

diámetro mínimo del estribo

es el N.o 4 (1/2”) o 12 mm.

266

,+ Se permiten estribos de diámetro N.o 2 (1/4”) en estructuras de ca-

pacidad de disipación de energía mínima, DMI, cuando las columnas

soportan únicamente uno o dos pisos.

Los estribos de confinamiento deben terminarse con ganchos sísmicos

de 135° o más, con una extensión de 6db pero no menor de 75 mm, que

abraza el refuerzo longitudinal y se proyecta hacia el interior de la sección

del elemento (NSR-10, Sec.C7.1.4).

En los ganchos suplementarios el doblez en los extremos debe ser un

gancho sísmico de 135° o más, con una extensión de 6db, pero no menor

de 75 mm, y se permite que en uno de sus extremos se utilice un gancho

de 90° o más, con una extensión de 6db (NSR-10, Sec. C.7.1.4).

Imagen 5.1 En una correcta colocación del gancho de un estribo no debe quedar

espacio entre el estribo y el refuerzo longitudinal; el alambre de amarre debe

doblarse hacia el núcleo de la columna

La mejor manera de dar confinamiento al hormigón es mediante el

empleo de refuerzo transversal en forma de estribos o de espirales, para

restringir la expansión lateral del hormigón cuando es sometido a tensiones

de compresión, cercanas a su máximo resistente. El refuerzo transversal

en espiral es práctico sólo para columnas circulares, pero se presentan

algunos problemas de orden constructivo en los nudos. Para columnas

rectangulares la forma más apropiada de proporcionar confinamiento

es mediante el empleo de estribos horizontales de confinamiento, de

267

varias ramas, o mediante la combinación de estribos de confinamiento y

suplementarios poco espaciados.

La Figura 5.5 ilustra los requisitos de distribución del refuerzo lon-

gitudinal y una de las formas de lograr el confinamiento con el empleo

de estribos de confinamiento múltiples.

La Figura 5.6 muestra un ejemplo del refuerzo transversal de una

columna constituido por un estribo de confinamiento y tres estribos su-

plementarios. Los estribos suplementarios con dobleces a 90° son menos

efectivos que si los dobleces fueran de 135°. El confinamiento puede

mejorarse si los dobleces de los ganchos a 90° se alternan.

Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longi-

tudinal de esquina y de barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado

por la esquina de un estribo con un ángulo no mayor de 135º, y ninguna

barra longitudinal debe estar separada a más de 15 cm libres de una barra

apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas

alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo

circular completo (NSR-10, Sec.C.7.10.5.3).

El espaciamiento vertical de los estribos, para columnas de pórticos

con demanda mínima de ductilidad, DMI, no debe exceder de 16 diámetros

de la barra longitudinal, 48 diámetros del estribo o la menor dimensión

de la columna (NSR-10, Sec.7.10.5.2). El principal objetivo del anterior

requisito es impedir que las barras longitudinales se pandeen hacia fuera

una vez el hormigón pierda el recubrimiento.

Figura 5.5 Ejemplo de confinamiento

empleando estribos

Figura 5.6 Ejemplo de confinamiento

con el empleo simultáneo de estribos

de confinamiento y ganchos

suplementarios

268

Figura 5.7 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en

pórticos dúctiles de hormigón con demanda mínima de ductilidad, DMI

Los extremos de las columnas requieren de un confinamiento especial

para asegurar su comportamiento dúctil en el evento de la formación de

una articulación plástica. También requieren de un adecuado refuerzo a

cortante para prevenir que se genere una falla por cortante antes que la

sección falle por fluencia del acero longitudinal. La cantidad del refuerzo

a cortante, su espaciamiento y localización, deben ser los adecuados para

garantizar su comportamiento dúctil e impedir el pandeo del refuerzo

longitudinal.

Imagen 5.2 Fallas en las columnas por falta de estribos o por excesiva separación

de los mismos. Armenia, Colombia, 1999

269

Para evitar que se presenten las fallas ilustradas en la Imagen 5.2,

las normas sísmicas exigen estrictos requisitos de diseño para el refuerzo

transversal de las columnas. Los requerimientos que deben seguirse

para garantizar el buen confinamiento del hormigón, y proporcionarle

un adecuado soporte lateral al refuerzo longitudinal, se encuentran en

la NSR-10, Sec. C.21. Estos requisitos pueden satisfacerse con refuerzo

de estribos de confinamiento sencillo o múltiple (Figura 5.4). Se pueden

utilizar estribos suplementarios del mismo diámetro del estribo de con-

finamiento y deben tener el mismo espaciamiento de estos (Figura 5.5).

La NSR-10 establece una longitud mínima, Lo, en ambos extremos

de la columna, la cual debe proporcionar un refuerzo transversal con un

menor espaciamiento para proteger estas zonas que son en las que gene-

ralmente se produce la fluencia por flexión.

El requisito de separación de estribos, en función del diámetro de la

menor barra longitudinal, tiene por objeto restringir el pandeo del refuerzo

longitudinal una vez se pierda el recubrimiento.

El requisito de separación de estribos en función de las dimensiones

transversales de la columna tiene por objeto confinar el hormigón.

270


pórticos dúctiles de hormigón con demanda especial de ductilidad, DES


pórticos dúctiles de hormigón con demanda moderada de ductilidad, DMO

271

Para el caso de columnas circulares, el refuerzo transversal esta consti-

tuido por espirales que deben cumplir los siguientes requisitos (NSR-10,

Sec.C.7.10.4):

,+ El diámetro mínimo de la espiral debe ser de 3/8” (NSR-10,

Sec.C.7.10.4.2).

,+ El espaciamiento entre espirales no debe exceder de 75 mm, no debe

ser menor de 25 mm, ni de 4/3 el tamaño máximo del agregado grueso

(NSR-10,Sec. C.7.10.4.3).

,+ La espiral debe anclarse por medio de 1.5 vueltas adicionales en cada

extremo (NSR-10, Sec.C.7.10.4.4).

,+ Los empalmes por traslapo del refuerzo en espiral deben ser: 48 de

para barras corrugadas, 72 de para barras lisas o para barras con recubri-

miento epóxico (NSR-10, Sec.C.7.10.4.5).

La NSR-10 eliminó la restricción de un diámetro mínimo para co-

lumnas circulares de 25 cm que especificaba la NSR-98; sin embargo,

esta dimensión mínima es una recomendación razonable y segura.

La cuantía de refuerzo en la espiral no debe ser inferior a (NSR-10,

Sec.C.10.9.3):

s = 0.45 * (A

g / A

ch – 1) * f ’

c / f

y (5.1)

5.4 Longitud de diseño, Lu

(NSR-10, Sec.C.10.10.1.1)

Figura 5.10 Longitud de diseño de las columnas

272

La longitud libre de una columna es la longitud de diseño; se mide

entre el piso y la parte inferior del capitel (para placas aligeradas) o la

distancia libre entre el piso y cualquier elemento capaz de proveerle

soporte lateral.

Todas las columnas deben llevarse desde la cimentación hasta el

nivel considerado en el diseño; no es aconsejable iniciar las columnas en

las vigas de entrepisos, a menos que se realice un juicioso análisis diná-

mico del comportamiento estructural.

5.5 Cambios de sección

(NSR-10, Sec.C.7.8)

Imagen 5.3 Inadecuado inicio de columna en la viga del segundo nivel.

Armenia, Colombia, 1999

Los cambios fuertes en la sección de la columna deben hacerse siem-

pre en los entrepisos. En dichos cambios, las barras que pasan del piso

inferior al superior deben doblarse de forma que su pendiente, respecto al

eje de la columna, sea máximo de 1:6. Las partes de las barras por encima

y por debajo de la reducción deben ser paralelas al eje de la columna.

273

Las barras dobladas en un cambio de sección deben figurarse antes

de ser colocadas, no se permite hacer el doblamiento de barras embebidas

en el hormigón.

Figura 5.11 Cambios de sección en las columnas

El soporte horizontal del acero longitudinal en el doblez debe ser

provisto por medio de estribos o espirales, y debe diseñarse para que

resista 1.5 veces la componente horizontal de la fuerza calculada en la

porción inclinada de la barra que se dobla. Los estribos o espirales deben

colocarse a una distancia no mayor de 15 cm de los puntos de doblado. Este

refuerzo es adicional al requerido por consideraciones sísmicas (NSR-10,

Sec. C.7.8.1.3).

Imagen 5.4 Escandaloso doblez del refuerzo longitudinal en la estructura

del Palacio Municipal de Armenia, Colombia, 1999

274

Cuando se disminuya el ancho de una columna, de manera que una de

sus caras quede a 7.50 cm o más de la correspondiente en la columna del

piso inferior, no pueden doblarse las barras longitudinales para adaptarse

a la reducción y es necesario emplear barras adicionales de empalme,

traslapadas por contacto con las barras longitudinales adyacentes a las

caras desplazadas de la columna (NSR-10, Sec.C.7.8.1.5).

5.6 Requisitos de diseño

5.6.1 Requisitos generales

La resistencia de diseño es igual a la resistencia nominal, multiplicada

por un coeficiente de reducción de resistencia (�). Para columnas se

recomienda (NSR-10, Sec.C.9.3.2.2):

Columnas con refuerzo en espiral: � = 0.75

Columnas reforzadas con estribos: � = 0.65

Las columnas reforzadas con estribos requieren un mayor coeficiente

de reducción de resistencia, en razón de que una columna con estribos

no espaciados en forma adecuada falla a una carga muy baja. Su falla va

acompañada de la ruptura del hormigón y de pandeo de las barras longi-

tudinales entre los estribos; es una falla violenta.

Las espirales presentan un paso pequeño que impide el pandeo de

las barras longitudinales. Al no fallar este refuerzo la columna continúa

transmitiendo carga, se producen grandes deformaciones, el hormigón del

núcleo oprime la espiral y esta reacciona confinándolo y proporcionándole

así más ductilidad a la columna.

La NSR-10, Sec.C.9.3.2.2, especifica que para columnas con refuerzo

simétrico de fy � 4.200 kgf / cm2, con (d – d’) / h 0.7 el valor del factor

de sub resistencia (�) puede aumentarse linealmente hasta 0.90 en la

medida en que Pu disminuya desde 0.1 f ’

c A

g hasta 0.

Las expresiones (5.2) y (5.3) fijan el valor de la carga máxima que se

puede emplear en el diseño. Estas expresiones reemplazaron los requisitos

de excentricidad mínima de carga axial que exigían los códigos anteriores

al ACI-318-77, en las cuales se requería cumplir con una excentricidad

mínima de 0.10*h para columnas con estribos y de 0.05*h para columnas

con espirales.

275

Imagen 5.5 Falla por cortante en una columna. Estribos insuficientes, pandeo

del refuerzo longitudinal y hormigón de baja calidad. Armenia, Colombia, 1999

La resistencia de diseño a carga axial de una columna con espiral no

puede ser mayor de (NSR-10, Sec.C.10.3.6.1):

Pu = �+P

n = 0.80 �+�£�\<Â_�� ¹

c (A

g - A

s total

) + fy A

s total

] (5.2)

La resistencia de diseño a carga axial de una columna con estribos

no puede ser mayor de (NSR-10, Sec. C.10.3.6.2):

Pu = �+P

n = 0.75 �+�£�\<Â_�� ¹

c (A

g - A

s total

) + fy A

s total

] (5.3)

5.6.2 Requisitos de diseño a flexión

La resistencia a la flexión que se le debe proporcionar a una columna debe

ser tal que garantice que primero llegan las vigas a la fluencia. Este reque-

rimiento obedece a que los desplazamientos laterales causados por fallas

de las columnas conllevan excesivos daños y fácilmente pueden ocasionar

276

el colapso total de la estructura. Por estas razones las columnas, para es-

tructuras con demanda especial, DES, y moderada, DMO, de ductilidad, son

diseñadas con un 20% más de resistencia a la flexión, comparadas con la

resistencia de las vigas que llegan a las caras de un nudo determinado. La

NSR-10, Sec.C.21.3.6.2 y Sec.C.21.6.2.2, y el ACI 318-08 exigen cumplir

la siguiente relación para estructuras con demanda especial de ductilidad:

Figura 5.12 Unión viga-columna de un pórtico con demanda de ductilidad especial

El ACI 318-08 y la NSR-10 especifican que en la anterior expresión

los momentos deben calcularse en la cara del nudo y corresponden a la

resistencia nominal (� =1.00).

El RDF de ciudad de México es aún más conservador y exige cumplir

una relación de 1.5 a cambio del 1.2 propuesto por el ACI; todos coinciden

que los momentos deben evaluarse en la cara del nudo y que corresponden

a sus valores nominales.

La NSR-10 y el ACI exigen diseñar las columnas con los momentos

correspondientes al acero realmente colocado en las vigas. Este es un

procedimiento racional y seguro para lograr un comportamiento dúctil

de la estructura.

El factor de seguridad empleado por la NSR es un valor que puede ser

muy bajo si se considera que la sobrerresistencia de los aceros nacionales

es del orden del 12%, con lo cual queda un remanente del factor de se-

guridad que no permite garantizar la fluencia inicial de las vigas.

En la expresión (5.4) la suma de los momentos debe realizarse de

modo que los momentos de las columnas se opongan a los de las vigas.

Esta condición debe cumplirse en los dos sentidos en que puede actuar el

sismo. No es necesario cumplir estos requisitos en los nudos de las terra-

(5.4)

277

zas (“Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de

Estructuras de Concreto”, Sec.7.3.2.1 (véase referencias bibliográficas)).

El momento resistente nominal de la columna debe calcularse para

cada dirección principal de acuerdo con la combinación de cargas que

conduce a la menor resistencia de la columna. Para realizar este cálculo es

indispensable disponer del software apropiado que facilite el análisis; en

este caso se ha empleado el programa de la PCA para columnas, versión 2.3.

Para estructuras con demanda de ductilidad mínima, DMI, no tienen

requerimientos especiales.

5.6.3 Requisitos de diseño a cortante

Figura 5.13 Cortante de diseño para columnas con DES

El refuerzo transversal en las columnas cumple varias funciones,

entre otras: proporcionar un adecuado confinamiento al hormigón, dar

soporte lateral al refuerzo longitudinal, e incrementar la resistencia para

soportar la máxima fuerza cortante que se presenta cuando se forman las

articulaciones plásticas en el pórtico.

Las columnas se deben dimensionar de modo que no fallen por fuerza

cortante antes que se formen articulaciones plásticas por flexión en sus

extremos.

(5.5)Vu =

Mpr sup

+ Mpr infp

Lu

278

La NSR-10, Sec.C.21.6.5.1, y el ACI 318-08 estipulan que para es-

tructuras con demanda especial de ductilidad, DES, la fuerza cortante de

diseño debe calcularse a partir del equilibrio de la columna en su altura

libre, suponiendo que en sus extremos actúan momentos flectores del

mismo sentido, numéricamente iguales a los momentos que representan

una aproximación a la resistencia real a flexión de estas secciones, con

factor de subrresistencia, �, igual a 1.0, y fs = 1.25 f

y, obtenidos con la

carga axial de diseño que conduzca al mayor momento flector resistente.

Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, la NSR-

10, Sec.C.21.3.3.1, especifica que el cortante de diseño no debe ser menor

que el menor valor de:

a) La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos

nominales (� = 1, fs = f

y) y el cortante calculado para cargas gravitacio-

nales mayoradas.

b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de

diseño que incluyan las fuerzas sísmicas E, considerando para E el doble

de su valor de diseño.

Figura 5.14 Análisis de los cortantes en las columnas de ductilidad moderada a

partir del método de Bowman, suponiendo la ubicación de los puntos de inflexión

de columnas en su punto medio

(5.6)V=M

n izq + M

n der

Lu

Al plantear la NSR-10 el cálculo del cortante de diseño para colum-

nas con DMO, a partir de los momentos nominales, se corre el riesgo de

279

no llegar a lograr el mecanismo de colapso propuesto, debido a que la

sobrerresistencia de los aceros nacionales supera en un 12% el valor del

esfuerzo fluencia; por otra parte, el autor considera que la alternativa de

diseño descrita en el literal (b) no tiene sentido puesto que el procedi-

miento desarrollado en el literal (a) es un procedimiento racional que con

un adecuado factor de seguridad garantiza la formación del mecanismo

de colapso deseado.

El cortante de las columnas se puede obtener a partir de los momen-

tos de las vigas, asumiendo que los puntos de inflexión de las columnas

están ubicados en el punto medio de los entrepisos. Esta es una solución

aproximada que se cumple para los pisos intermedios pero no para los

primeros y últimos entrepisos.

En columnas con demanda especial de ductilidad, el cortante que

resiste el hormigón debe despreciarse cuando se cumplan los siguientes

dos requisitos (NSR-10, Sec.C.21.6.5.2):

,+ El esfuerzo cortante inducido por sismo representa la mitad o más

de la resistencia máxima a cortante requerida dentro de Lo.

,+ La fuerza axial mayorada, incluyendo los efectos sísmicos, es menor

que fc A

g / 20.

5.6.4 Empalmes o traslapo del refuerzo

Los empalmes por traslapo deben diseñarse como empalmes de tracción

NSR-10, Sec. C.21.3.5.3 para DMO y Sec.C.21.6.4.4 para DES. La longitud mínima del empalme por traslapo a tracción debe ser la

requerida para empalmes por traslapo clases A o B, pero no menor de 30

cm (NSR-10, Sec.C.12.15).

Empalme por traslapo Clase A = 1.0 Ld

Empalme por traslapo Clase B = 1.3 Ld

Los empalmes por traslapo de barras corrugadas sometidas a tracción

deben ser empalmes Clase B, excepto que se admitan empalmes Clase

A (NSR-10, Sec.C.12.15) cuando:

,+ El área de refuerzo proporcionada es al menos el doble del valor

requerido por análisis a todo lo largo del empalme.

,+ La mitad, o menos, del refuerzo total esta empalmado dentro de la

longitud de empalme por traslapo.

280

Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en

tracción, la longitud del empalme por traslapo debe ser el mayor valor entre

Ld de la barra de mayor diámetro y el valor de la longitud del empalme

en tracción de la barra de menor diámetro (NSR-10, Sec.C.12.15.3).

La longitud de desarrollo, Ld, se calcula de acuerdo con lo especificado

por la NSR-10, Sec.C.12.2.2.

��#��#��$�� $�DMI�2��$�DMO$��'�()*+$��,�",*.,.,.�

La NSR-10, Sec.C.12.2.2, formula las expresiones básicas para el cálculo

de la longitud de desarrollo, Ld, especificando que esta no debe ser in-

ferior a 30 cm.

Para barras � N.o 6

(5.7)

Para barras > N.o 6

(5.8)

Tabla 5.1 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción,

estructuras con demanda mínima, DMI; y demanda moderada, DMO, de ductilidad,

)t = 1.0, )

e = 1.0

Barra

N.o

Diáme-

tro en

pulgadas

Diáme-

tro en

cm

Área

en

cm2

Longitud de desarrollo y de traslapo

a tracción en cm

f’c = 210 kgf/cm2 f ’

c = 280 kgf/cm2

Ld

Lt

Ld

Lt

N.o 3 3/8” 0.95 0.71 42 43 36 47

N.o 4 1/2” 1.27 1.29 56 73 48 63

N.o 5 5/8” 1.59 1.99 70 91 60 79

N.o 6 3/4” 1.91 2.84 84 109 73 94

N.o 7 7/8” 2.22 3.87 121 158 105 137

N.o 8 1” 2.54 5.10 139 181 120 156

281

Barra

N.o

Diáme-

tro en

pulgadas

Diáme-

tro en

cm

Área

en

cm2

Longitud de desarrollo y de traslapo

a tracción en cm

f’c = 210 kgf/cm2 f ’

c = 280 kgf/cm2

Ld

Lt

Ld

Lt

N.o 9 1-1/8” 2.87 6.45 157 204 136 177

N.o 10 1-1/4” 3.23 8.19 177 230 153 199

N.o 11 1-3/8” 3.58 10.06 196 255 170 220

Las anteriores expresiones son aplicables cuando el espaciamiento

libre entre las barras que se empalman no es menor de db, cuando el recu-

brimiento libre no es menor de db y tiene estribos a lo largo de la longitud,

Ld, no inferior al especificado en el título C de la NSR-10 o bien cuando

el espaciamiento libre entre las barras que se empalman no es menor de

2db y el recubrimiento libre no menor de d

b.

La NSR-10 para estructuras con demanda especial de ductilidad,

DES, y moderada, DMO, exige realizar el traslapo en la mitad central de la

columna; para columnas con demanda de ductilidad mínima, DMI, no hay

restricciones.

��#��#��$��#��$�DES$��'�()*+$��,",*.,.,.�

La NSR-10, Sec.C.21.7.5, especifica que para tamaño de barras No 3

(3/8”) a barras N.o 11 (1-3/8”) la longitud de desarrollo, Ldh

, para una

barra con gancho estándar de 90° en hormigón de peso normal, no debe

ser menor que el mayor valor entre 8db, 15 cm y la longitud requerida por

la siguiente expresión:

(5.9)

Para barras N.o 3 (3/8”) a N.o 11 (1-3/8”), la longitud de desarrollo,

Ld, en tracción para una barra recta no debe ser menor que (NSR-10, Sec.

C.21.7.5.2):

a) 2.5 veces la longitud, Ldh,

calculada si el espesor de hormigón co-

locado fresco, en una sola operación, debajo de la barra no excede de 30

cm (barras bajas).

282

b) 3.25 veces la longitud, Ldh,

calculada si el espesor de hormigón

colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra excede de 30

cm (barras altas).

Tabla 5.2 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción,

estructuras con demanda especial, DES, de ductilidad, cálculo según literal (a)

Barra

N.o

Diáme-

tro en

pulgadas

Diáme-

tro en

cm

Área

en cm2

Longitud de desarrollo y de traslapo a

tracción en cm

f’c = 210 kgf/cm2 f ’

c = 280 kgf/cm2

Ld

Lt

Ld

Lt

N.o 3 3/8” 0.95 0.71 40 52 35 45

N.o 4 1/2” 1.27 1.29 54 70 46 60

N.o 5 5/8” 1.59 1.99 67 87 58 76

N.o 6 3/4” 1.91 2.84 80 105 70 91

N.o 7 7/8” 2.22 3.87 94 122 81 106

N.o 8 1” 2.54 5.10 107 139 93 121

N.o 9 1-1/8” 2.87 6.45 121 157 105 136

N.o 10 1-1/4” 3.23 8.19 136 177 118 153

N.o 11 1-3/8” 3.58 10.06 151 196 131 170


5��#��;��>��

Como ejemplo se analiza y diseña

la columna B1 en las secciones

superior e inferior al nudo del

entrepiso 1.

En el capítulo anterior se han

deducido las cargas de diseño que

corresponden a las cinco combi-

naciones de cargas seleccionadas.

,+ Análisis lineal de los pórticos

1 y B para deducir las accio-

nes de diseño en la columna

B1.

283

Con la ayuda de un software de análisis lineal de pórticos planos se

obtienen los siguientes resultados para la columna B1, tanto en la parte

superior como en la inferior del entrepiso 1. En este caso se empleó el

programa RCB-Building.

Los resultados del pórtico 1, entrepiso 1, columna B1, momentos en

el eje del nudo son:

Caso

carga

Piso 2 Piso 1

Pu t M

ux t-m V

u t P

u t M

ux t-m V

u t

1 69.4 -9.28 -6.34 94.8 4.84 -2.24

2 61.6 -11.16 -7.71 84.0 6.51 -3.41

3 68.1 1.11 1.08 94.3 -3.04 2.83

4 39.7 -4.57 -3.10 54.7 2.42 -1.03

5 34.8 -13.57 -9.54 47.1 9.41 -5.60

Los resultados del pórtico B, entrepiso 1, columna B1, momentos en

el eje del nudo son:

Caso

carga

Piso 2 Piso 1

Pu t M

uy t-m V

u t P

u t M

uy t-m V

u t

1 24.7 5.79 4.08 34.0 -3.83 1.53

2 18.7 2.86 1.74 25.5 -0.12 -2.46

3 21.2 3.99 2.68 29.1 -2.70 0.23

4 18.1 6.26 4.67 25.4 -5.63 4.88

5 14.2 4.02 2.82 19.6 -1.77 0.67

Caso N.o Caso de carga analizado

1 1.2 CM + 1.6 CV

2 1.2CM * 1.0CV + SX1 + 0.3 SY

1

3 1.2CM * 1.0CV - SY1 + 0.3 SX

1

4 0.90*CM - SX2

5 0.90*CM + SY2

Mu en el borde = M

u en el eje – V

u * h viga / 2

284

Los resultados del pórtico 1, entrepiso 1, columna B1, momentos en

el borde del nudo:

Caso

carga

Piso 2 Piso 1

Pu t M

ux t-m P

u t M

ux t-m

1 69.4 -8.01 94.8 4.39

2 61.6 -8.62 84.0 5.94

3 68.1 0.89 94.3 -2.47

4 39.7 -3.95 54.7 2.21

5 34.8 -11.66 47.1 8.29

Los resultados del pórtico B, entrepiso 1, columna B1, momentos en

el borde del nudo:

Caso

carga

Piso 2 Piso 1

Pu t M

uy t-m P

u t M

uy t-m

1 24.7 4.97 34.0 -3.52

2 18.7 2.51 25.5 0.61

3 21.2 3.45 29.1 -2.65

4 18.1 5.33 25.4 -4.65

5 14.2 3.46 19.6 -1.64

Los resultados biaxiales para la columna B1, entrepiso 1:

Caso de

carga

Resultados biaxiales Piso 2 Resultados biaxiales Piso 1

Pu KN M

ux KN-m M

uy KN-m P

u KN M

ux KN-m M

uy KN-m

1 941 -80.1 49.7 1 288 43.9 -35.2

2 803 -86.2 25.1 1 095 59.4 6.1

3 893 8.9 34.5 1 234 -24.7 -26.5

4 578 -39.5 53.3 801 22.1 -46.5

5 490 -116.6 34.6 667 82.9 -16.4

,+ El diseño biaxial de la columna B1 se realiza empleando el programa

de análisis y diseño de columnas PCACOL; este diseño debe hacerse en la

columna en la parte superior del nudo y en la parte inferior de este. Como

refuerzo debe seleccionarse el mayor valor obtenido.

285

La siguiente gráfica muestra el resultado del diseño para la columna

B1, entrepiso 1, parte superior:

Esta gráfica corresponde al caso de carga N.o 5 que resultó ser el más

crítico para la columna B1 en la parte superior del nudo (piso 2), allí se

requiere un refuerzo de 38.57 cm2 (10 barras N.o 7) para una cuantía del

2.58%.

En la siguiente figura (resultado del diseño para la columna B1,

entrepiso 1, parte inferior) se registra el diseño para la columna B1 en

la parte inferior del nudo (piso 1), en este caso la combinación de carga

N.o 1 resultó ser la más crítica.

286

Esta gráfica corresponde al caso de carga N.o 5 que resultó ser el más

crítico para la columna B1 en la parte inferior del nudo (piso 1), allí se

requiere un refuerzo de 15.48 cm2 (12 barras N.o 4) para una cuantía del

1.03%.

En el nudo no se permiten traslapos, por tanto se debe seleccionar

el mayor refuerzo de estos dos análisis, que para el caso corresponde a

un refuerzo longitudinal de 10 barras N.o 7, con una cuantía de diseño de

2.58%.

Una vez realizado el diseño a flexión, debe revisarse la rigidez re-

lativa, a flexión, de las columnas respecto a las vigas. Esta revisión es

importante pues tiene como objetivo garantizar que el acero de las vigas

fluya primero que el de las columnas.

En la figura se puede ver la sección de la columna B1 en el entre-

piso 1:

,+ Revisión de la rigidez relativa a flexión de las columnas respecto a la

de las vigas que llegan al nudo. La NSR-10 exige hacer esta revisión para

estructuras con demanda moderada, DMO y especial, DES, de ductilidad;

la revisión debe hacerse en las direcciones de las cargas sísmicas.

Los momentos resistentes nominales de las vigas que llegan al nudo

han sido determinados en la segunda parte de este ejemplo.

Se deben determinar los momentos resistentes nominales de la co-

lumna, en cada una de las direcciones de las cargas sísmicas, para todas

las cargas axiales obtenidas de las diferentes combinaciones de cargas.

En la siguiente figura se registran los momentos nominales resistentes

para la carga axial del piso 2, caso de carga N.o 1:

287

La siguiente tabla nos muestra la columna B1, entrepiso 1 y los mo-

mentos resistentes para cada caso de carga:

Caso de

carga

Piso 2 M nx

Mny

Piso 1 Mnx

Mny

�M Pisos 1 y 2

Pu KN KN-m KN-m P

u KN KN-m KN-m �M

nx�M

nx

1 941 124.5 227.2 1 288 115.4 203.4 239.9 430.6

2 803 127.6 236.0 1 095 120.7 217.1 248.3 453.1

3 893 125.6 230.3 1 234 117.0 207.4 242.6 437.7

4 578 131.1 233.5 801 127.7 236.1 258.8 469.6

5 490 124.0 228.5 667 130.6 235.3 254.6 463.8

Una vez obtenidos los momentos nominales para cada combinación

de carga, se selecciona como la más desfavorable aquella que tenga la

menor rigidez a la flexión, la de menor sumatoria de momentos en cada

dirección. Para la dirección Y (pórtico 1) la condición crítica de carga es

la N.o 3 y para la dirección X (pórtico B) la condición crítica corresponde

al caso de carga N.o 1.

Al final de la segunda parte del ejemplo se han determinado los

momentos nominales de las vigas V2 y V4. Sus valores se trasladan a

los si guientes diagramas y se ubican en sentido opuesto al de los momentos

de las columnas.

288

Este coeficiente debe calcularse para controlar que efectivamente

el acero de la viga alcanza la fluencia antes que el de la columna. En la

dirección Y se cumple este requisito, pero en la dirección X es crítico el

diseño, la columna es muy débil comparada con la viga, lo que lleva al

peligroso mecanismo de columna débil-viga fuerte.

Esta verificación es obligatoria para estructuras con DES y DMO según

la NSR-10, su valor no debe ser inferior a 1.2, en cualquiera de las dos

direcciones. Disposición que obligará a tener columnas más voluminosas

y resistentes que las vigas, de lo contrario estará seriamente cuestionada

la ductilidad de este tipo de estructuras.

,+ Diseño a tensiones cortantes

,+ Estribos de confinamiento y suplementarios:

En la figura se define el arreglo de estribos de confinamiento y suple-

mentarios que satisface los requerimientos de la NSR-10. Se selecciona

289

como diámetro de los estribos el de 3/8” (10 mm) y se calcula cuál debe

ser su separación para cumplir los requisitos de ductilidad y cortante.

La longitud de la zona de confinamiento será el menor de los siguien-

tes valores:

Lo � Luz libre / 6 = 240 / 6 = 40 cm

� Mayor valor entre “b” y “h” = 50 cm

� 50 cm Lo = 50 cm

Máxima separación permitida para estribos en la zona de confina-

miento:

s1 �8d

b = 8 * 2.22 = 17.8 cm

�16de = 16*0.95 = 15.2 cm

�b / 3 = 30 / 3 = 10 cm

�15 cm

Máxima separación permitida para estribos en la zona no confinada:

s2 = 2s

1 = 20 cm (NSR-10, Sec.C.21.3.5.11)

Los estribos deben cumplir la siguiente relación en las dos direc-

ciones:

Ash

� 0.20 s hc (A

g / A

c - 1) * f ’

c / f

y (NSR-10, Sec.C.21.3.5.7)

Ash

� 0.06 s hc * f ’

c / f

y ,

hc = distancia medida entre los bordes externos del refuerzo transversal

hc = 50 – 2r = 50 – 2*4 = 42 cm (NSR-10, Sec.C.2.1)

bc = 50 – 2r = 30 – 2*4 = 22 cm

Ac = b

c * h

c = 924 cm2

Ag = b*h = 1500 cm2

Para s = 10 cm se tiene:

Estribos paralelos al eje Y (tres ramas):

Ash

= 0.20*10*42*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 2.62 cm2

Ash

= 0.06*10*42*210/4 200 = 1.26 cm2

Ash

= 2.62 cm2

(NSR-10, Sec.C.21.3.5.6)

(NSR-10, Sec.C.21.3.5.6)

s

1 = 10 cm

290

Se colocan tres ramas de 3/8” = 3*0.71 = 2.13 cm2 < 2.62 cm2, la

separación de 10 cm no es satisfactoria y debe reducirse.

0.20* s *42*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 2.13 cm2 s = 8 cm

Estribos paralelos al eje X (dos ramas):

Ash

= 0.20* 8 *22*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 1.10 cm2

Ash

= 0.06* 8 *22*210/4 200 = 0.53 cm2

Ash

= 1.10 cm2

Se colocan dos ramas de 3/8” = 2*0.71 = 1.41 cm2 > 1.10 cm2 ¡So-

lución satisfactoria!

Colocar 8E�3/8” cada 8 cm en la zona de confinamiento y cada 16 cm

en la zona no confinada.

,++ Estribos de confinamiento y suplementarios, requisitos de cortante

� Vc = 0.53 ��¸� ¹

c��£'��¬

u /(140 A

g)] (NSR-10, Sec.C.11.2.1.2)

Se toma el menor valor de las cargas axiales. Así a la combinación de

carga N.o 5 corresponden las siguientes cargas axiales mínimas:

Piso 2 : Pu = 490 KN = 49.0 t = 49 000 kgf

Piso 1 : Pu = 667 KN = 66.7 t = 66 700 kgf

Cortante que absorbe el hormigón:

El piso 2 es el más crítico al tener menor carga axial:

Sentido X: � Vc��\<_~�̄ �\<�_�̄ �̧ ?'\�̄ �~\�̄ ��£'��´�\\\��['�\¯'�_\\`®��́ �~��<Â�¤��

Sentido Y: � Vc��\<_~�̄ �\<�_�̄ �̧ ?'\�̄ �_\�̄ �?��£'��\\��['�\¯'�_\\`®��́ �'\�<´�¤��

"��E��<�2�=$��E��'�()*+

La fuerza cortante de diseño en la columna puede determinarse a

partir de los momentos resistentes en los extremos de la columna de acuer-

do con la expresión (5.5); para obtener un valor conservador se deduce a

partir de los momentos balanceados en cada una de las direcciones. Para

estructuras con demanda moderada de ductilidad se emplearán los mo-

mentos nominales, y para estructuras con demanda especial de ductilidad

los momentos probables:

291

Momentos nominales resistentes balanceados para la columna B:

Vuy

= 2 * 11.58 / 2.4 = 11.58 t

Vux

= 2 * 23.70 / 2.4 = 19.75 t

Los cortantes de diseño no necesitan exceder el valor obtenido a

partir de los momentos resistentes, nominales o probables (según si se

trata de demanda moderada o especial de ductilidad) de las vigas, en las

caras de los nudos, de acuerdo con la expresión (5.6):

292

Cálculo del cortante utilizando el método de Bowman, se obtiene:

En un pórtico resistente a momentos las columnas presentan puntos

de inflexión cercanos a la mitad de la altura del entrepiso, el método de

Bowman se basa en esta consideración y obtiene los cortantes en las co-

lumnas a partir de los momentos resistentes de las vigas, si se emplea un

factor de seguridad apropiado se garantiza que la columna nunca fallará

a cortante porque primero lo harán las vigas a flexión.

Cuando el cortante se calcula a partir de la resistencia de la columna,

entre más rígida sea la columna mayor será el cortante de diseño, este

cortante es mayor que el cortante obtenido por el método de Bowman, y

esta diferencia aumenta a medida que aumente la rigidez de la columna,

su cálculo no se basa en la rigidez a la flexión de las vigas sino en la rigidez

de la columna.

La NSR-10 pide calcular el cortante de la columna a partir de su rigi-

dez, sin embargo, el cortante calculado de acuerdo al método de Bowman

con un adecuado factor de seguridad proporciona resultados seguros.

V=M

n izq + M

n der

Ln

293

Revisión de los estribos:

La revisión se hace basados en los requisitos de la NSR-10:

En el sentido X: Vu = 19.75 t > � V

c = 9 107.9 kgf

� Vs = 19 750 - 9 107.9 = 10 642.1 kgf

Se colocarán, por requisitos de confinamiento, es-

tribos �3/8” de dos ramas:

s = �Av f

y d / � V

s =0.75 *1.42 * 4 200 * 24 / 10 642.1=10.1 cm

La separación de 8 cm es suficiente

En el sentido X: Vu = 11.58 t > � V

c = 9 377.8 kgf

�+Vs = 11 580 - 9 377.8 = 2 202.2 kgf

Se colocarán, por requisitos de confinamiento, es-

tribos �3/8” de tres ramas:

s = � Av f

y d /� V

s = 0.75 * 2.13 * 4 200 * 24 / 2 202.2 =73 cm

La separación de 8 cm es suficiente

,+ Longitud de traslapo

Se calcula siguiendo a la expresión (5.4), la cual es aplicable para barras de

diámetro superior a la N.o 7; en este caso se traslapa el 50% del refuerzo

longitudinal de las barras (de las 10 barras N.o 7 se traslapan 5 barras)

db

5/8” = 1.91 cm. Como se traslapa el 50% del refuerzo se trata de un

traslapo tipo B: Lt = 1.3 L

d.

294

Los traslapos del refuerzo longitudinal deben alternarse en los entre-

pisos, 50% en un entrepiso y el otro 50% en el siguiente. En estructuras

con DES deben colocarse estribos de confinamiento en toda la longitud

del traslapo, de este requisito se exceptúan las estructuras con DMO. El

cálculo de los estribos a colocar dentro de los nudos se explica en el si-

guiente capítulo.

El traslapo de estas barras se hará en la mitad central de la columna:

295

5.8 Especificaciones de diseño para columnas, NSR-10

Tabla 5.3 Requisitos geométricos



No hay requisitos

especiales

La fuerza axial mayorada en

el elemento es mayor que

0.10 f ’c A

g

NSR-10, Sec.C.21.3.2

La fuerza axial mayorada

en el elemento es mayor

que 0.10 f ’c A

g

NSR-10, Sec.C.21.6.1

La menor dimensión de la

sección del elemento, me-

dida en una línea recta que

pasa a través del centroide

geométrico de la sección, no

debe ser menor de 25 cm. Las

columnas en forma de T, C o I

pueden tener una dimensión

mínima de 20 cm, pero su

área no puede ser menor que

625 cm2

NSR-10, Sec.C.21.3.5.1

La menor dimensión de la

sección del elemento, me-

dida en una línea recta que

pasa a través del centroide

geométrico de la sección, no

debe ser menor de 30 cm.

Las columnas en forma de

T, C o I pueden tener una

dimensión mínima de 25

cm, pero su área no puede

ser menor que 900 cm2

NSR-10, Sec.C.21.6.1.1

La relación entre la dimen-

sión menor de la sección

del elemento y la dimen-

sión perpendicular a ella,

no debe ser menor que 0.4

NSR-10, Sec.C.21.6.1.2

El número mínimo de

barras longitudinales de-

be ser de cuatro barras

para estribos circulares o

rectangulares, tres para

barras dentro de estribos

triangulares y seis para ba-

rras rodeadas por espirales

NSR-10, Sec.C.10.9.2

En columnas con estribos

de confinamiento circu-

lares el número mínimo

de barras longitudinales

es seis

NSR-10, Sec.C.21.6.3.2

296

Tabla 5.4 Resistencia mínima a la flexión de las columnas



No hay

requisitos

especiales

Las columnas de pórticos resis-

tentes a momentos, con capa-

cidad moderada de disipación

de energía, DMO, deben cumplir

uno de los dos siguientes re-

quisitos:

1. La resistencia a la flexión de

las columnas debe cumplir la

siguiente ecuación:

�Muc

1.20 � Muv

(C.21-4)

�Muc

= suma de momen-

tos nominales de flexión de

las columnas que llegan al

nudo, evaluados en las caras

del nudo. La resistencia a la

flexión de la columna debe

calcularse para la fuerza axial

mayorada, congruente con

la dirección de las fuerzas

laterales consideradas, que

conduzca a la resistencia a la

flexión más baja.

�Muv

= suma de de los mo-

mentos, resistentes nomina-

les a flexión de las vigas que

llegan al nudo, evaluadas en

la cara del nudo.

Las resistencias a flexión

deben sumarse de tal ma-

nera que los momentos de

las columnas se opongan a

los momentos de las vigas.

La ecuación anterior debe

cumplirsepara las dos direc-

ciones en el plano vertical

del pórtico que se considera

NSR-10, Sec. C.21.3.6.2

Las columnas de pórticos resis-

tentes a momentos, con capa-

cidad moderada de disipación

de energía, DES, deben cumplir

uno de los siguientes requisitos:

1.La resistencia a la flexión de

las columnas debe cumplir la

siguiente ecuación:

�Muc

1.20 � Muv

(C.21-4)

�Muc

= suma de momentos

nominales de flexión de las

columnas que llegan al nudo,

evaluados en las caras del nudo.

La resistencia a la flexión de la

columna debe calcularse para

la fuerza axial mayorada, con-

gruente con la dirección de las

fuerzas laterales consideradas,

que conduzca a la resistencia a

la flexión más baja.

�Muv

= suma de de los mo-

mentos, resistentes nominales

a fle xión de las vigas que llegan

al nudo, evaluadas en la cara

del nudo.

Las resistencias a flexión deben

sumarse de tal manera que los

momentos de las columnas se

opongan a los momentos de

las vigas. La ecuación anterior

debe cumplirse para las dos

direcciones en el plano vertical

del pórtico que se considera

NSR-10, Sec. C.21.6.2.2

297



No hay

requisitos

especiales

2. Cuando no se satisface lo anterior

en un nudo, la resistencia lateral

y la rigidez de las columnas que

soportan las reacciones prove-

nientes de dicho nudo deben ser

ignoradas al determinar la resis-

tencia y la rigidez de la estructura.

Estas columnas deben tener el

refuerzo de confinamiento en

toda su longitud, desde el nudo

donde no se satisface hasta la

cimentación. El incumplimiento

de este requisito sólo se permite

hasta en un 10% de las columnas

de un mismo piso

NSR-10, Sec. C.21.3.6.3

2. Cuando no se satisface lo

anterior en un nudo, la resis-

tencia lateral y la rigidez de

las columnas que soportan las

reacciones provenientes de di-

cho nudo deben ser ignoradas

al determinar la resistencia y

la rigidez de la estructura. Es-

tas columnas deben satisfacer

los requisitos para elementos

que no se designan como parte

del sistema de resistencia ante

fuerzas sísmicas (NSR-10,

Sec. C.21.13)

NSR-10, Sec. C.21.6.2.3

Tabla 5.5 Refuerzo longitudinal en las columnas



La cuantía de refuerzo

longitudinal, g, no debe

ser menor que 0.01 ni

mayor que 0.04

NSR-10, Sec. C.10.9.1

La cuantía de refuerzo lon-

gitudinal, g, no debe ser

menor que 0.01 ni mayor

que 0.04

NSR-10, Sec. C.21.3.5.2

La cuantía de refuerzo lon-

gitudinal, g, no debe ser

menor que 0.01 ni mayor

que 0.04

NSR-10, Sec. C.21.6.3.1

Los empalmes por traslapo

se permiten únicamente en

la mitad central de la longi-

tud del elemento y deben

diseñarse como empalmes

por traslapo de tracción.

Los empalmes mecánicos

y soldados deben cumplir

los requisitos C.21.1.6 y

C.21.1.7

NSR-10, Sec. C.21.3.5.3

Los empalmes por traslapo

se permiten sólo dentro de la

mitad central de la longitud

del elemento y deben dise-

ñarse como empalmes por

traslapo de tracción; deben

estar confinados dentro del

refuerzo transversal. Los

empalmes mecánicos y sol-

dados deben cumplir los re-

quisitos C.21.1.6 y C.21.1.7

NSR-10, Sec. C.21.6.3.3

Tabla 5.4 Continuación

298

Tabla 5.6 Refuerzo transversal en las columnas



Debe utilizarse refuerzo en

espiral o estribos de confina-

miento, a menos que se requie-

ran cantidades mayores por

esfuerzos cortantes. Cuando se

utilice refuerzo en espiral debe

cumplirse la expresión C.21-1.

Cuando se utilicen estribos de

confinamiento se debe cumplir

con C.21.3.5.6 a C.21.3.5.11.

La Sección C.21.3.5.12 se

aplica a todas las columnas y

la C.21.5.13 se aplica a todas

las columnas que soporten

elementos rígidos discontinuos

NSR-10, Sec. C.21.3.5.4

El refuerzo transversal de confi-namiento debe suministrarse en una longitud L

o medida desde la

cara del nudo y a ambos lados de cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia por flexión como resultado de desplazamientos laterales inelásticos del pórtico. La longitud L

o no debe ser menor

que el mayor valor de:

a. La altura del elemento en la cara del nudo o en la sección donde pueda ocurrir fluencia por flexión.

b. Un sexto de la luz libre del elemento

c. 45 cm

NSR-10, Sec. C.21.6.4.1

En ambos extremos del ele-

mento deben proporcionarse

estribos cerrados de confina-

miento con un espaciamiento

so por una longitud Lo, medida

desde la cara del nudo. El espa-

ciamiento so no debe exceder

el menor valor de:

a. Ocho veces el diámetro de la

barra longitudinal confinada de

menor diámetro.

b. Dieciséis veces el diámetro

de la barra del estribo cerrado

de confinamiento.

c. Un tercio de la menor di-

mensión de la sección trans-

versal de la columna.

d. 15 cm

NSR-10, Sec. C.21.3.5.6

El refuerzo transversal debe dispo-nerse mediante espirales sencillas o traslapadas, que cumplan con C.7.10.4, estribos cerrados de confinamiento con o sin ganchos suplementarios. Se pueden usar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra o con un diáme-tro menor y con el mismo espacia-miento de los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extre-mos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal. El espaciamiento de los ganchos suplementarios o ramas con estri-bos de confinamiento rectilíneos, hx, dentro de una sección del elemento no debe exceder de 35

cm, centro a centro

NSR-10, Sec. C.21.6.4.2

299




El espaciamien-

to vertical de los

estribos no debe

exceder de:

a. 16 db

b. 48 de

c. La menor di-

mensión de la

columna

NSR-10,

Sec. C.10.5.2

La longitud Lo no debe ser me-

nor que el mayor valor entre:

a. Una sexta parte de la luz

libre de la columna

b. La mayor dimensión de

la sección transversal de la

columna

c. 50 cm

NSR-10, Sec. C.21.3.5.6

La separación del refuerzo trans-

versal a lo largo del eje longitudi-

nal del elemento no debe exceder

el menor valor de:

a. La cuarta parte de la dimensión

mínima del elemento

b. Seis veces el diámetro de la

barra de refuerzo longitudinal

menor

c. So según lo definido en la ecua-

ción C.21-5 de la NSR-10

El valor de so no debe ser mayor

de 15 cm y no es necesario tomar-

lo menor de 10 cm

NSR-10, Sec. C.21.6.4.3

La cuantía volumétrica de re-

fuerzo en espiral o de estribos

cerrados de confinamiento

circulares, s, no debe ser

menor que:

y no debe ser menor que la re-

querida por la ecuación C.10.5:

NSR-10, Sec. C.21.3.5.5

Debe proporcionarse refuerzo

transversal en las cantidades

que se especifican de (a) a (b) a

menos que requieran una mayor

cantidad por cortante.

a. La cuantía volumétrica de

refuerzo en espiral o de estribos

cerrados de confinamiento circu-

lares, s, n no debe ser menor que:

y no debe ser menor que la reque-

rida por la ecuación C.10.5:

300




El espaciamiento

vertical de los es-

tribos no debe

exceder de:

a. 16 db

b. 48 de

c. La menor di-

mensión de la

columna

NSR-10,

Sec. C.10.5.2

El área total de la sección de

refuerzo de estribos cerrados

de confinamiento rectangula-

res, Ash

, no debe ser menor que

el requerido por:

NSR-10, Sec. C.21.3.5.7

b. El área total de la sección de

refuerzo de estribos cerrados de

confinamiento rectangulares,

Ash

, no debe ser menor que el

requerido por:

NSR-10, Sec. C.21.6.4.4

Fuera de la longitud, Lo, deben

colocarse estribos de confina-

miento con la misma disposi-

ción, diámetro de barra y resis-

tencia a la fluencia, fy, con un

espaciamiento centro a centro

que no debe ser mayor que dos

veces el espaciamiento utiliza-

do en la longitud Lo

NSR-10, Sec. C.21.3.5.11

Más allá de la longitud, Lo, el

resto de la columna debe conte-

ner refuerzo en forma de espiral

o de estribos cerrados de confi-

namiento que cumpla C.7.10,

con un espaciamiento, s, medido

centro a centro que no exceda al

menos de seis veces el diámetro

de las barras longitudinales de la

columna o quince cm, a menos

que se requieran mayores canti-

dades por confinamiento

NSR-10, Sec. C.21.6.4.5

301




Todas las barras deben

confinarse por estribos

transversales de diá-

metro mínimo N.o3

(3/8”) para barras lon-

gitudinales menores

o iguales a la N.o 11

(1 ¼”). Se permiten

estribos de barras N.o

2 (1/4”) cuando las

columnas soporten

úni camente uno o dos

pisos

NSR-10, Sec. C.7.10.5

El refuerzo transversal debe

disponerse mediante estribos

cerrados de confinamiento

rectilíneos, con un diámetro

mínimo N.o 3 (3/8”) o 10M

(10 mm) con o sin ganchos

suplementarios. Se pueden

usar ganchos suplementarios

del mismo diámetro de barra

con el mismo espaciamiento

de los estribos cerrados de

confinamiento. Cada extremo

del gancho suplementario

debe enlazar una barra perime-

tral del refuerzo longitudinal.

Los extremos de los ganchos

suplementarios consecutivos

deben alternarse a lo largo

del refuerzo longitudinal. El

espaciamiento de los ganchos

suplementarios o ramas con

estribos de confinamiento rec-

tilíneos dentro de una sección

del elemento no debe exceder

de 35 cm, centro a centro, en

la dirección perpendicular al

eje longitudinal del elemento

estructural

NSR-10, Sec. C.21.3.5.8

Las columnas que soportan

reacciones de elementos

rígidos discontinuos, como

muros, deben satisfacer

(a) y (b):

a. El refuerzo transver-

sal como se especifica en

C.21.6.4.2 a C.21.6.4.4,

debe proporcionarse en su

altura total, en todos los

niveles, debajo del nivel

en el cual ocurre la discon-

tinuidad, cuando la fuerza

mayorada de compresión

axial en estos elementos,

relacionada con el efecto

sísmico exceda 0.1 f ’c A

g.

Donde se hayan magnifi-

cado las fuerzas de diseño

para calcular la sobre re-

sistencia de los elementos

verticales del sistema de

resistencia ante fuerzas

sísmicas el límite de 0.1

f ’c A

g debe aumentarse a

0.25 f ’c A

g

302




Todas las barras deben

confinarse por estribos

transversales de diá-

metro mínimo N.o3

(3/8”) para barras lon-

gitudinales menores

o iguales a la N.o 11

(1 ¼”). Se permiten

estribos de barras N.o

2 (1/4”) cuando las

columnas soporten

úni camente uno o dos

pisos

NSR-10, Sec. C.7.10.5

Alternativamente a lo indi-

cado en C.21.5.7 y C.21.3.5.8

pueden colocarse estribos de

confinamiento N.o 3 (3/8”) o

10M (10 mm), con fy = 4,200

kgf/cm2 (420 MPa) con una

separación s de 10 cm. Si la

distancia horizontal entre

dos ramas paralelas de es-

tribo es mayor que la mitad

de la menor dimensión de la

sección de la columna o 20

cm, deben utilizarse cuantos

estribos suplementarios de

diámetro N.o 3 (3/8”) o 10M

(10 mm), con fy = 4,200 kgf/

cm2 (420 MPa) sean necesa-

rios para que esta separación

entre ramas paralelas no ex-

ceda la mitad de la dimensión

menor de la sección de la co-

lumna o 20 cm. Este proced-

imiento alterno sólo puede

emplearse en columnas cuyo

hormigón tenga un f ’c menor

o igual a 35 MPa

NSR-10, Sec. C.21.3.5.9

b. El refuerzo transversal

debe extenderse por lo

menos Ld dentro del el-

emento discontinuo, se

determina para la barra

longitudinal mayor de la

columna de acuerdo con

los requisitos de resistencia

a corte. Si el extremo infe-

rior de la columna termina

en un muro, el refuerzo

transversal requerido debe

extenderse dentro del muro

por lo menos Ld de la mayor

barra longitudinal de la

columna en el punto en

que termina. Si la columna

termina en una zapata o

una losa de cimentación,

el refuerzo transversal req-

uerido debe extenderse por

lo menos 30 cm en la zapata

o losa de cimentación

NSR-10, Sec. C.21.36.4.6

Cuando vigas o mén-

sulas concurran a una

columna desde cuatro

direcciones se permite

colocar el ultimo estri-

bo a no más de 7.5 cm

del refuerzo más bajo

de las vigas o ménsula

de menor altura

NSR-10,

Sec.C.7.10.5.5

El primer estribo cerrado de

confinamiento debe estar

situado a no más de so/2 de la

cara del nudo

NSR-10, Sec. C.21.3.5.10

303

Tabla 5.7 Requisitos para refuerzo a cortante en columnas



No hay

requisitos

especiales

La fuerza cortante de diseño,

Vu, de columnas que resistan

efectos sísmicos E, no debe

ser menor que el menor valor

de (a) y (b):

a. La suma del cortante debido

en curvatura inversa, asociado

con el desarrollo de los momen-

tos nominales de la columna

en cada extremo restringido

de la longitud libre. La resis-

tencia a flexión de la columna

debe calcularse para la fuerza

axial mayorada, consistente

con la dirección de las fuerzas

laterales consideradas, que

resulte en el mayor valor de la

resistencia a la flexión

b. El cortante máximo obte-

nido de las combinaciones de

carga de diseño que incluyan

E, con E incrementado por

��|�

NSR-10, Sec. C.21.3.2.2

La fuerza cortante de diseño, Vu,

debe determinar considerando

las máximas fuerzas que se pue-

dan generar en las caras de los

nudos en cada extremo del ele-

mento. Estas fuerzas en el nudo

se deben determinar usando las

resistencias a flexión máximas

probables, Mpr, en cada extremo

del elemento, correspondiente

al rango de cargas axiales ma-

yoradas, Pu, que actúan en el.

No es necesario que las fuerzas

cortantes en el elemento sean

mayores que aquellas determi-

nadas a partir de la resistencia

de los nudos, basada en Mpr

de

los elementos transversales que

llegan al nudo. En ningún caso Vu

debe ser menor que el cortante

mayorado determinado a partir

del análisis de la estructura

NSR-10, Sec. C.21.6.5.1

El refuerzo transversal en la

longitud, Lo, identificada en

C.21.6.4.1 debe diseñarse para

resistir el cortante suponiendo

Vc = 0 cuando (a) y (b) ocurren

simultáneamente:

a. El esfuerzo de cortante in-

ducido por sismo, calculado de

acuerdo con C.21.6.5.1 represen-

ta la mitad o más de la resistencia

máxima al cortante requerida

dentro de Lo.

b. La fuerza axial de compresión

mayorada, Pu, incluyendo el efec-

to sísmico es menor que: f ’c A

g/20

NSR-10, Sec. C.21.6.5.2

305

Capítulo 6

Uniones viga-columna

6.1 Introducción

Imagen 6.1 Falla por cortante en un nudo de esquina. Armenia, Colombia, 1999

Un nudo se define como la parte de la columna que está dentro de la

altura de la viga o vigas que se unen a ella. El nudo, al igual que las vigas,

las columnas y la cimentación, conforman el sistema de resistencia sísmica

de una estructura.

Los nudos son secciones muy críticas en un sistema estructural, pues

a través de ellos se asegura la continuidad de la estructura al transmitir

las fuerzas de un elemento a otro. La eficiencia en la transferencia de las

fuerzas depende del detallado de los nudos.

El diseño de los nudos no ha recibido la debida atención, y es común

que en los planos de construcción no se detallen las uniones y se deje en

306

manos del constructor la definición de detalles críticos que influyen en

el buen comportamiento de la estructura.

En el pasado, el diseño de los nudos de las estructuras aporticadas se

limitaba a satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo, no se le daba

mucha importancia porque los colapsos de las estructuras aporticadas de

hormigón reforzado se presentaban por diseños mal concebidos en vigas

y por un detallado inadecuado de las columnas. Sin embargo, los sismos

recientes, como el de México en 1985, el de San Salvador en 1986, el de

Loma Prieta en 1989, el de Los Ángeles en 1994, el de Kobe en 1995, el

de Armenia (Colombia) en 1999 y el de Haití en el 2010 han evidenciado

fallas por corte y por anclaje en las uniones viga-columna.

El empleo de materiales de alta resistencia, el uso de secciones cada

vez de menores dimensiones y la utilización de barras de refuerzo de

diámetros altos, hacen que sea necesario prestar mayor atención al diseño

y detallado de las uniones.

El diseño y detallado de un nudo depende de su ubicación dentro

de la estructura y de la demanda de ductilidad del sistema. A un nudo

ubicado en el interior de una estructura le llegan vigas por sus cuatro

caras; estas vigas pueden confinar el nudo y mejorar sustancialmente el

comportamiento del hormigón. Pero si el nudo se encuentra en una de las

caras externas de la estructura, le llegan vigas sólo por tres de sus cuatro

caras laterales y queda desconfinada una de las caras del nudo, lo que

disminuye la capacidad del hormigón para resistir tensiones diagonales.

El caso más crítico es el de los nudos de esquina, los cuales sólo tienen

vigas por dos caras adyacentes.

Figura 6.1 Uniones típicas viga-columna

Interior Exterior Esquina

307

6.2 Criterios de diseño

Los criterios de diseño de uniones viga-columna se pueden formular

como sigue:

,+ La resistencia del nudo debe ser mayor o igual que la máxima demanda

que corresponda a la formación del mecanismo de colapso del pórtico.

El nudo debe ser el elemento de mayor resistencia para eliminar la

necesidad de reparar una región inaccesible, que sufre deterioros de

resistencia y rigidez considerables si se somete a acciones cíclicas en

el intervalo inelástico.

,+ La resistencia de la columna no debe afectarse por una posible

degradación de resistencia de la unión.

,+ Ante sismos moderados, las uniones deben responder en el intervalo

elástico.

,+ Las deformaciones del nudo no deben contribuir significativamente

a la deriva del entrepiso.

,+ El refuerzo en el nudo, necesario para garantizar un comportamiento

satisfactorio, no debe dificultar su construcción. Una unión típica

conecta elementos provenientes de tres direcciones; se debe evitar

la interferencia de las varillas que vienen de todas las direcciones.

6.3 Comportamiento esperado de las uniones

Como la respuesta de las uniones viga-columna está controlada por

mecanismos de corte y adherencia, que tienen un comportamiento

histerético pobre, no es posible considerar a la unión como una fuente

importante de disipación de energía. Por tanto, la unión debe experimentar

bajos niveles de agrietamiento y plastificación.

Es común suponer en el análisis de edificios que las condiciones de

apoyo de las vigas en las columnas son iguales a un empotramiento. En

realidad, el refuerzo de las vigas se deslizará, aun para bajos niveles de

esfuerzo, de manera que un empotramiento perfecto no es posible.

308

Figura 6.2 Fuerzas en una unión viga-columna

La unión se deforma en cortante por causa de las fuerzas resultantes

que obran en ella (Figura 6.2(c)), éstas producen tracción a lo largo de

una diagonal del nudo y compresión a lo largo de la otra. Las primeras

grietas diagonales aparecen cuando las tensiones principales de tracción

exceden la resistencia a la tracción del hormigón.

Como las grietas en los nudos son similares a las grietas por cortante en

una viga, las primeras recomendaciones de diseño se basaron en ecuaciones

adaptadas de requerimientos de corte para vigas. Es importante notar

que las magnitudes de las fuerzas a las que se somete un nudo son varias

veces las aplicadas en vigas y columnas.

Los factores más importantes a considerar en el diseño de los nudos

son:

,+ Cortante

,+ Anclaje del refuerzo

309

,+ Transmisión de carga axial

,+ Adherencia

,+ Confinamiento del hormigón

,+ Aspectos constructivos

6.4 Clasificación de los nudos

6.4.1 Según su geometría y su confinamiento

Con base en su localización dentro de la estructura, los nudos se clasifican

en interiores, exteriores y de esquina. La anterior clasificación tiene que

ver con el número de vigas que llegan a sus cuatro caras laterales. En

un nudo interior llegan cuatro vigas, en uno exterior tres y en uno de

esquina dos. Para que un nudo interior se considere como tal, las vigas

que llegan deben confinarlo en las dos direcciones, y a un nudo exterior

deben confinarlo en una dirección. Ese confinamiento es importante

porque de él depende el trabajo del hormigón a tensiones cortante, a

mayor confinamiento mayor resistencia.

Figura 6.3 (a) Unión interior, (b) Unión exterior, (c) Unión de esquina

Un nudo interior se considera confinado por sus cuatros caras

mediante vigas, cuando el ancho de cada viga, en cada dirección, sea al

menos 0.75 veces el ancho respectivo de la columna. Si el anterior requisito

sólo se cumple en una dirección, el nudo debe clasificarse como exterior,

y si no se cumple en las dos direcciones, el nudo se clasifica como nudo

de esquina (NSR-10, Sec.C.21.7.4.1).

310

Figura 6.4 Requisitos de confinamiento para un nudo interior

(6.1)

Un nudo exterior se considera confinado por la viga continua cuando

el ancho de la viga sea al menos 0.75 veces el ancho respectivo de la

columna. Si el anterior requisito no se cumple, el nudo se clasifica como

nudo de esquina.

Figura 6.5 Requisitos de confinamiento para un nudo exterior

(6.2)

6.4.2 Clasificación del ACI según su comportamiento

El ACI 318M-08 clasifica los nudos en dos grupos, la cuales identifica

como: tipo 1 y tipo 2; la diferencia entre ellos es la condición de carga

y las deformaciones previstas en la junta al resistir las cargas laterales.

'��#��*

Un nudo tipo 1 conecta elementos diseñados para satisfacer los requisitos

de resistencia del Reglamento ACI 318M-08, en los cuales no se prevén

deformaciones inelásticas significativas.

El nudo tipo 1 es aquel que hace parte de una estructura continua

resistente a momento y la cual es diseñada con base en su resistencia,

sin considerar requisitos especiales de ductilidad. Cualquier unión en

311

un pórtico típico, diseñado para resistir cargas por gravedad y cargas de

viento, pertenece a esta categoría.

En la Figura 6.6 se indica un diagrama de momento propio de

estructuras sometidas a cargas gravitacionales. Nótese que en el nudo

central los momentos, tanto a la izquierda como a la derecha del eje central,

son negativos, quiere decir que no se presenta inversión de momentos en

las caras del nudo, por ello, una barra de refuerzo localizada en la parte

superior de la viga trabaja a tracción, tanto a la izquierda como a la derecha

del nudo, no presenta inversión de tensiones dentro del nudo y por ende

no hay problemas de adherencia.

Figura 6.6 En los nudos tipo 1, diagrama de momentos dominado por las cargas

gravitacionales, no se esperan deformaciones inelásticas de importancia

'��#��.

Un nudo tipo 2 conecta elementos necesarios para disipar energía a través

de deformación dentro del rango inelástico. A este grupo pertenecen las

uniones en estructuras de pórticos resistentes a momento, diseñadas para

resistir movimientos sísmicos, vientos fuertes o efectos de explosión.

Figura 6.7 Nudos tipo 2, diagrama de momentos dominado por los efectos

sísmicos, se esperan deformaciones inelásticas de gran importancia

312

En el nudo tipo 2 se presenta inversión de momentos en las caras de

los nudos, por ello, una barra de refuerzo, localizada en la parte superior

de la viga, trabaja a tracción a un lado del nudo, y a compresión en la cara

opuesta del mismo; se presenta inversión de tensiones dentro del nudo,

por lo tanto hay que prestar atención especial a la adherencia.

Para los nudos tipo 2 las recomendaciones de diseño se aplican sólo en

los casos en que el refuerzo de la viga esté situado dentro del núcleo de la

columna. Todos los resultados de investigaciones actualmente disponibles

son para uniones en las que el ancho de la viga es menor o igual al ancho

de la columna y en las que el eje de la viga pasa a través del centroide de

la columna.

Las uniones en las que la línea de eje de la viga no pasa a través

del centroide de la columna quedan incluidas cuando todas las varillas

de la viga están ancladas en el núcleo de la columna o pasan a través de

él. Sin embargo, debe tomarse en cuenta la torsión resultante de esta

excentricidad. El nudo en el que el refuerzo de la viga pasa fuera del

núcleo de la columna queda excluido como nudo tipo 2 debido a que

faltan datos sobre el anclaje de dicho refuerzo.

Aunque es preferible diseñar las uniones para que permanezcan en el

intervalo elástico, es muy posible que ocurran deformaciones inelásticas

en ellas si los elementos adyacentes, vigas o columnas, se deforman

plásticamente. En este caso las deformaciones inelásticas a lo largo de las

varillas penetrarán el nudo, esta unión será de tipo inelástico y corresponde

su clasificación al nudo tipo 2.

6.4.3 Clasificación de la NSR-10 según su comportamiento

La NSR-10 clasifica los nudos de acuerdo con la ductilidad del sistema de

resistencia sísmica, se identifican tres casos, demanda mínima, moderada

y especial de ductilidad.

'��#�� 2��

La NSR-10 no presenta especificaciones especiales para el diseño de los

nudos correspondientes a estos dos sistemas de resistencia sísmica, por

tal motivo pueden asemejarse a la clasificación de nudos tipo 1 del ACI.

Según la NSR-10 los nudos para estructuras con demanda mínima y

moderada de ductilidad deben cumplir sólo los requisitos generales de

diseño dados en las secciones C.7.9.

313

Para las estructuras con demanda mínima de ductilidad (DMI) no hay

lugar a dudas que no se presenta inversión de momentos porque dominan

los diagramas debido a las cargas gravitacionales.

El autor ha podido comprobar mediante el análisis de diferentes

estructuras aporticadas, para el espectro de diseño propuesto por la NSR-

10 para Medellín, que en este tipo de estructuras se da el caso de inversión

de momentos. Por lo anterior, es muy cuestionable el procedimiento de

diseño propuesto para los nudos de estructuras con demanda moderada

de ductilidad (uniones tipo 1), pues el nivel de tensiones y deformaciones

asemejan más su comportamiento a un nudo tipo 2 (DES).

'��#��#��

Las especificaciones de la NSR-10 son exactamente iguales a las

formuladas por el ACI para los nudos tipo 2 (especificaciones en las Tablas

6.6 a 6.9).

6.5 Análisis de los nudos para estructuras con ductilidad especial

6.5.1 Nudos interiores

Un pórtico de hormigón reforzado, diseñado según la NSR-10, debe

disipar energía ante cargas inducidas por sismos, mediante la formación

de articulaciones plásticas en las vigas. Cuando estas desarrollan sus

resistencias máximas, los nudos estarán sujetos a fuerzas cortantes

elevadas.

Figura 6.8 Inversión de momentos en una estructura con demanda especial

de ductilidad

314

En las estructuras con demanda de ductilidad especial se presenta en

los nudos interiores una inversión de momentos; una varilla de refuerzo

colocada en la parte superior de la viga debe pasar de tracción, en una

cara de la columna, a compresión, en la cara opuesta, y este cambio de

tracción a compresión debe ocurrir dentro del nudo.

Para que una barra cambie de tensión dentro del nudo se requiere

que este nudo tenga un espesor mínimo para poder garantizar que, por

adherencia, la varilla de refuerzo pueda invertir su tensión. En nudos

interiores el problema principal es la adherencia.

Figura 6.9 Transferencia de cortante en un mecanismo de puntal

en compresión diagonal

Para expresar el cortante del nudo en función del acero superior e

inferior de la viga debe considerarse la siguiente relación de equilibrio:

Cvd

= Tvd

Vnudo

= Tvi + T

vd – V

cs (6.3)

En donde VCS

es el promedio de las fuerzas cortantes de las columnas

superior e inferior, que puede suponerse igual a cero para fines de un

diseño conservador.

La transmisión del cortante en el nudo se hace mediante un

mecanismo conocido con el nombre de puntal diagonal. El mecanismo del

puntal diagonal de compresión se forma a lo largo de la diagonal principal

de la unión como resultante de las tensiones verticales y horizontales de

compresión que actúan en las secciones críticas de vigas y columnas. Es

315

importante notar que el puntal se desarrolla, independientemente de

las condiciones de adherencia de las varillas, dentro de la unión. En este

mecanismo, el nudo fallará cuando el puntal lo haga por compresión-

cortante, entonces debe mantenerse el confinamiento del nudo porque

su resistencia al cortante depende de la resistencia del hormigón, y ésta

se deteriora cuando se pierde confinamiento.

El ángulo de inclinación de los puntales diagonales depende de la

relación de aspecto del núcleo del nudo y del nivel de carga axial en la

columna. El equilibrio de un puntal inclinado típico depende de la presión

de confinamiento horizontal y vertical del nudo.

En condiciones de servicio, la presión lateral (horizontal) puede ser

provista por las vigas que llegan a las caras del nudo. En casos sísmicos,

las cargas cíclicas reversibles causan agrietamiento a flexión de las vigas,

lo que disminuye la capacidad de la viga para confinar el nudo. En este

caso la presión lateral de confinamiento lo debe proporcionar un refuerzo

transversal, estribos, que se deben colocar en una cantidad mínima dentro

del nudo, para mantener así la resistencia a corte del hormigón.

Si se incrementa la cantidad de estribos dentro del nudo, no se

obtienen mayores resistencias al corte. La carga axial en la columna

tampoco influye en la resistencia del nudo. La adherencia entre el refuerzo

horizontal y el hormigón afecta severamente la rigidez y la capacidad de

disipación de energía de la unión. Aun más, el deterioro en la adherencia

modifica el mecanismo de transmisión de fuerza cortante.

En general, el deterioro de la adherencia entre el acero longitudinal

y el hormigón puede provocar:

,+ Una disminución en la capacidad a cortante del nudo

,+ Pérdida de resistencia a flexión de vigas

,+ Degradación de rigidez lateral

,+ Disminución de la capacidad de disipación de energía

En el diseño de los nudos interiores debe prestarse cuidado especial

a la adherencia. Los parámetros que influyen en ella a través de los nudos

son:

,+ El confinamiento del nudo afecta significativamente el comportamiento

de la adherencia bajo condiciones sísmicas. La adherencia de las barras

316

de las vigas puede mejorarse si se aumenta el confinamiento por

medio del refuerzo longitudinal interior de la columna.

,+ El diámetro de la varilla no afecta significativamente la resistencia a la

adherencia, pero sí limita la fuerza máxima que puede ser transferida

por este mecanismo.

,+ La resistencia a la compresión del hormigón no afecta de manera

importante ya que la adherencia depende de la resistencia a la tracción

del hormigón.

,+ Si la separación entre barras de refuerzo es menor de cuatro veces su

diámetro, la resistencia de adherencia disminuye en un 20%.

,+ Tipo de corrugación: la reacción de la corrugación contra el hormigón

circundante es la fuente más importante de la adherencia. Debe

considerarse la posición de las varillas durante el vaciado; en efecto,

si se colocan 30 cm o más de hormigón por debajo de la varilla, la

resistencia a la adherencia disminuye.

Se puede llegar hasta el punto donde el 40% de la deformación lateral

de una estructura sea debida a la pérdida de adherencia. Se ha demostrado

experimentalmente que debe proporcionarse una relación h / db 20

para garantizar que el refuerzo longitudinal puede cambiar su trabajo de

tracción a compresión dentro del nudo.

h (columna)

/ db (barra de la viga)

20

(6.4)

h (viga)

/ db (barra de la columna)

20

La NSR-10, Sec.C.21.7.2.3, especifica que esta relación debe

cumplirse en los nudos de estructuras aporticadas con demanda especial

de ductilidad, con ello se trata de garantizar que no existirá deterioro de

la rigidez de la estructura por pérdidas de adherencia en los nudos.

La expresión (6.4) controla las dimensiones de las columnas y de las

vigas que llegan a un nudo. Para vigas con refuerzo de 1” (barra N.o 8) se

requiere un espesor mínimo de la columna, de 50.8 cm para satisfacer

los requisitos de adherencia en los nudos de estructuras con demanda

especial de ductilidad.

317

Tabla 6.1 Altura mínima para vigas o columnas basadas en la adherencia

del refuerzo longitudinal que pasa a través de un nudo interior

Barra Diámetro h(min) cm

N.o db en cm L

dh cm

4 1.270 25.4

5 1.588 31.8

6 1.905 38.1

7 2.222 44.4

8 2.540 50.8

10 3.226 64.5

6.5.2 Nudos exteriores

Se analizará la dirección del nudo exterior en la cual sólo llega una viga

al nudo. La fuerza cortante es menor que la que se aplica en uniones

interiores de dimensiones y refuerzo iguales:

Vnudo

= T - Vco

(6.5)

Las barras de refuerzo que llegan a este nudo deben anclarse mediante

ganchos estándar, con dobleces hacia el nudo (Figura 6.10); el gancho debe

colocarse lo más cerca posible de la cara externa de la columna, a menos

que ésta sea muy profunda.

Al resistir el nudo los momentos flectores y las fuerzas cortantes

sísmicas, se forma un puntal diagonal entre el radio del doblez de la varilla

superior y la esquina inferior derecha del nudo. En las uniones exteriores,

la mayor parte del cortante horizontal es transmitido al núcleo de la junta

mediante el puntal de compresión.

Figura 6.10 Mecanismo del puntal diagonal y confinamiento de un exterior

318

Para mantener este mecanismo de transferencia de carga es indis-

pensable confinar el nudo con refuerzo transversal. Usualmente, las barras

superiores desarrollan fluencia mediante ganchos estándar a 90° que se

doblan hacia abajo dentro del núcleo del nudo. Este tipo de anclaje es

adecuado para desarrollar la fluencia del refuerzo, pero existen algunos

posibles problemas:

,+ Una concentración de tensiones a compresión en la parte interior

del gancho (a menudo combinada con hormigón de relativa baja

resistencia debido a sedimentación) produce un aplastamiento local

del hormigón. Ante cargas cíclicas, esto conduce a un deterioro más

rápido que cuando se tiene un anclaje recto.

,+ Si se degrada la adherencia de la parte recta, se agrava el problema

ya que el gancho debe resistir toda la carga.

,+ Las tensiones de compresión sobre el doblez de la barra tienden a

provocar que el gancho trate de abrirse.

,+ Si el ancho de vigas y columnas es igual, los dobleces de los ganchos

de las vigas estarán junto al refuerzo longitudinal de columnas,

reduciendo la eficacia para resistir la adherencia.

Los estribos en nudos exteriores persiguen dos objetivos:

,+ Confinar el hormigón a compresión para incrementar su capacidad

de deformación y mantener su resistencia (quizás aumentarla).

,+ Confinar el tramo recto del gancho que tratará de salirse por la cara

externa de la columna.

Al diseñar un nudo exterior deben considerarse los siguientes as-

pectos:

,+ Si se espera la formación de una articulación plástica en la cara de

la columna, el anclaje de las varillas de la viga se debe suponer que

inicia dentro de la columna.

,+ Para garantizar un anclaje adecuado de las varillas de la viga, en

columnas poco profundas, es recomendable:

�+ Usar varillas de diámetro pequeño.

+ �+ Emplear placas de anclaje soldadas a los extremos de las varillas.

+ �+ Colocar pequeñas varillas en el radio interior del doblez para

retrasar el aplastamiento o desprendimiento del hormigón en

ese lugar.

319

+ �+ Colocar una cantidad suficiente de estribos horizontales para

restringir el movimiento del gancho.

,+ El refuerzo de las vigas debe doblarse hacia dentro del nudo. El detalle

de colocar el doblez hacia afuera del nudo, es decir, hacia la columna,

no es adecuado en zonas sísmicas.

,+ Colocar el doblez del gancho lo más cercano a la cara externa de la

columna.

,+ Cuando la arquitectura del edificio lo permita, o cuando las vigas

de gran altura lleguen a columnas esbeltas, se recomienda terminar

las varillas de las vigas en pequeñas extensiones en la fachada. Este

detalle mejora notablemente las condiciones de anclaje de las varillas,

lo que se traduce en un comportamiento superior del nudo.

,+ Para reducir las tensiones de adherencia, siempre es preferible el

empleo de varillas del menor diámetro posible. En uniones exteriores,

en la dirección en estudio, no es aplicable el requerimiento del

diámetro de la varilla en función de las dimensiones de la columna.

En general, es más fácil cumplir con los requisitos de anclaje en los

nudos exteriores que en los interiores.

6.5.3 Nudos de esquina

Los nudos de esquina están sometidos a carga axial y cortante bajas, por

lo que no presentan problemas de cortante ni de confinamiento.

El principal inconveniente de este tipo de nudos es que sólo está

confinado por las dos caras en las que le llegan vigas, y por ello basta la

presencia de pequeñas tensiones cortantes para que se agrieten.

Los nudos de las esquinas requieren un cuidadoso detallado, hay que

prestar mucha atención a un adecuado diseño del anclaje del refuerzo y

al confinamiento del hormigón. El refuerzo se debe anclar con ganchos

estándar y para confinar el hormigón deben colocarse estribos cerrados

horizontales dentro del nudo.

La falla de este tipo de uniones es el resultado del agrietamiento

por tensión diagonal, por falta de anclaje del refuerzo, por fluencia del

acero, por daño del anclaje o por aplastamiento del hormigón. Aunque la

tensión diagonal es a menudo ignorada, esta puede ser la causa de la falla

en esquinas que se abren.

320

Imagen 6.2 Falla en un nudo de esquina por falta de confinamiento y mala calidad

del hormigón. Armenia, Colombia, 1999

6.6 Diseño de las uniones viga-columna

6.6.1 Secciones críticas

La sección crítica para el desarrollo del retuerzo debe tomarse en la cara de

la columna, para uniones con demanda mínima y moderada de ductilidad,

DMI y DMO (nudo tipo 1), y en el borde exterior del núcleo de la columna,

para los nudos con demanda especial de ductilidad, DES (nudo tipo 2).

Durante cargas sísmicas intensas, se puede esperar inversión de

momento en las uniones viga-columna, que causan cambios de tensiones

en el refuerzo longitudinal dentro del nudo.

321

Figura 6.11 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos

Los resultados de varias investigaciones han demostrado que el recu-

brimiento de hormigón sobre el refuerzo de la columna pierde rápidamente

efectividad en el desarrollo de barras en nudos de estructuras con demanda

especial de ductilidad (nudo tipo 2); por lo que la sección crítica para el

desarrollo se debe tomar en la cara del núcleo.

6.6.2 Longitud de desarrollo

�� 2��Para estructuras con demanda mínima y moderada de ductilidad, la

NSR-10 no exige ningún requisito especial, basta entonces con cumplir

los requerimientos de anclaje para barras terminadas en gancho estándar

dados en la Sección C.12.5.2.

La longitud de desarrollo Ldh

, para barras corrugadas a tracción que

terminen en un gancho estándar de 90° no debe ser menor que el mayor

valor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión:

(6.6)

A partir de esta expresión se deducen los valores consignados en la

Tabla 6.2 que determinan el ancho mínimo que debe tener una columna

para satisfacer las condiciones de anclaje de una barra determinada.

El recubrimiento al estribo, según la NSR-10, Sec.C.7.7.1.c, para

barras N.o 11 y menores, debe ser de 40 mm (4 cm) si el hormigón no

está expuesto a la intemperie.

322

Tabla 6.2 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje

del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DMI y DMO

Barra Diámetro h (mín) columna en cm

N.o db en cm L

dh cm Estribos s > 3d

bEstribos s < 3d

b

4 1.270 27.9 32.8 27.3

5 1.588 34.9 39.8 32.8

6 1.905 41.8 46.8 38.4

7 2.222 48.8 53.7 44.0

8 2.540 55.8 60.7 49.6

10 3.226 70.8 75.8 61.6

Cálculos para fy = 420 MPa (4200 kgf/cm2), f ’

c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A L

dh

se adicionan 4.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en el extremo

del nudo y 0.95 cm del diámetro del estribo (3/8”). Para espaciamiento corto

de estribos Ldh

se reduce en un 20% (NSR-10, Sec.C.12.5.3.c).

��#��

Para estructuras con demanda especial de ductilidad la NSR-10,

Sec.C.21.7.5, exige cumplir los siguientes requisitos:

Para tamaño de barras N.o 3 a N.o 11 la longitud de desarrollo Ldh

,

para una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor de 8 db,

150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión:

(6.7)

El gancho de 90° debe estar colocado dentro del núcleo confinado

de una columna o elemento de borde.

323

Tabla 6.3 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje

del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DES

Barra Diámetro h (mín) columna en cm

N.o db en cm L

dh cm Estribos s > 3d

bEstribos s < 3d

b

4 1.270 23.2 32.4 27.8

5 1.588 29.0 38.2 32.4

6 1.905 34.7 44.0 37.1

7 2.222 40.5 49.8 41.7

8 2.540 46.3 55.6 46.3

10 3.226 58.8 68.1 56.3

Cálculos para a = 1.25, fy = 420 MPa (4 200 kgf / cm2), f

c = 28 MPa (280 kgf / cm2).

A Ldh

se adicionan 9.27 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en cada

cara y 1.27 cm del diámetro del estribo (1/2”). Para espaciamiento corto de estribos

Ldh

se reduce en un 20% (NSR-10, Sec.C.12.5.3.c).

6.6.3 Fuerza cortante en los nudos interiores

El nudo se debe diseñar para la interacción de las fuerzas multidireccionales

que los elementos le transfieren, incluyendo cargas axiales, de flexión, de

torsión y cortantes. Estas fuerzas son una consecuencia de los efectos de

cargas aplicadas externamente, así como de las resultantes de fluencia,

contracción, temperatura o asentamientos.

El nudo debe resistir todas las fuerzas que le puedan ser transferidas

por elementos adyacentes, y emplear aquellas combinaciones de cargas

que produzcan la distribución de fuerza más crítica en la unión, incluyendo

el efecto de cualquier excentricidad del elemento.

�� 2��

El comportamiento de los nudos de estas estructuras está gobernado por

las cargas gravitacionales, en ellos se espera una deformación inelástica

moderada y no se presenta inversión de momentos en las vigas que llegan

a los nudos.

324

Figura 6.12 Fuerzas en los nudos (DMI y DMO)

(6.8)

T = fuerza de tensión

C = fuerza de compresión

V = fuerza cortante

Como en los nudos no se permite hacer traslapos, el refuerzo, en

las caras opuestas de los nudos, es el mismo y por tanto Tvi = T

vd � el

cortante en el nudo será igual al cortante de la columna. Nótese que en

este caso, como no hay inversión de momentos, una barra colocada en la

parte superior de la viga estará a tracción a ambos lados del nudo.

��#��

En los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el

efecto sísmico es muy importante. En ellos se espera una alta deformación

inelástica e inversión de momentos en las caras de los nudos. En este

caso, el cortante que debe absorber el nudo es muy superior a los casos

con DMI y DMO.

325

Figura 6.13 Fuerzas en los nudos tipo 2 (DES)

(6.9)

T = fuerza de tensión

C = fuerza de compresión

V = fuerza cortante

En los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad,

DES, las fuerzas de diseño que los elementos transfieren al nudo no son

fuerzas determinadas en un análisis estructural convencional, sino que

deben calcularse con base en las resistencias nominales de los elementos,

calculadas a partir del acero realmente colocado, empleando un factor

de subrresistencia f = 1.0. En el refuerzo de flexión, en las caras de la

unión, se deben emplear esfuerzos de fluencia iguales a a fy, donde f

y es

la resistencia de fluencia especificada para las varillas de refuerzo y a es

un multiplicador de esfuerzo.

Para nudos tipo 1 (DMI y DMO) �+ 1.0

Para nudos para DES � 1.25

(6.10)

El factor � tiene como propósito considerar los siguientes hechos:

,+ La tensión efectiva de fluencia de una barra de refuerzo típica es

comúnmente del 10% al 25% mayor que el valor nominal.

326

,+ Las varillas de refuerzo alcanzan su endurecimiento por deformación

cuando ocurren desplazamientos del elemento, ligeramente mayores

a los que producen su fluencia.

Para los nudos del tipo 1 se permite un valor de � = 1.0 porque sólo

se requiere una ductilidad limitada en los elementos adyacentes a este

tipo de unión. Según la NSR-10 y el Comité ACI-ASCE 352, un valor

de � = 1.25 se debe considerar como el mínimo para uniones del tipo 2

(DES). Para aceros de refuerzo cuyas propiedades no están debidamente

controladas, puede ser adecuado un valor de � mayor que el mínimo

recomendado.

6.6.4 Resistencia del hormigón a tensiones cortantes

Un nudo confinado resiste cargas superiores a otros nudos. El esfuerzo

nominal obrará sobre un área definida por la profundidad de la columna y

un ancho efectivo, que es, por lo general, igual al promedio de los anchos

de la o las vigas y de la columna en la dirección de análisis. Los esfuerzos

máximos señalados se refieren a la resistencia a compresión-cortante del

hormigón en el mecanismo del puntal diagonal de compresión.

El Comité ACI-ASCE 352, propone evaluar la resistencia del

hormigón a tensiones cortantes de acuerdo con la siguiente expresión:

(6.11)

Los valores de parámetro - dependen del tipo de nudo y de su

confinamiento:

Tabla 6.4 Valores de - para el cálculo de la resistencia a cortante

de las uniones viga-columna

Tipo denudo

Tipo de nudo

Interior Exterior Esquina

1 24 20 15

2 20 15 12

La NSR-10, Sec.C.21.7.4.1, recomienda adoptar los siguientes

valores para el diseño de los nudos de estructuras con demanda especial

de ductilidad (DES):

327

(6.12)

Obsérvese que las expresiones sugeridas por la NSR-10 son muy

parecidas a las recomendadas por el Comité ACI-ASCE 352, para uniones

con demanda especial de ductilidad, uniones tipo 2.

La NSR-10 no hace ninguna sugerencia para evaluar el cortante que

absorbe el hormigón en estructuras con demanda mínima, DMI, y moderada,

DMO de ductilidad. Por lo anterior, se sugiere utilizar las especificaciones

del Comité ACI-ASCE 352 para el diseño de estructuras con demanda

moderada de ductilidad.

Aj = b

j * h = Área efectiva dentro del nudo, en un plano paralelo

al plano del refuerzo que genera el cortante en el nudo. La altura de

la sección efectiva del nudo debe ser la altura total de la sección de la

columna. En los casos en que una viga llegue a un nudo que tenga un

ancho mayor que la viga, el ancho efectivo del nudo no debe exceder al

más pequeño de los siguientes valores: al ancho de la viga más la altura

efectiva del nudo o dos veces la distancia perpendicular más corta, medida

desde el eje longitudinal de la viga al lado de la columna.

Figura 6.14 Determinación del ancho efectivo, bj, del nudo

328

6.6.5 Refuerzo transversal en los nudos

�� 2��

La NSR-98 exigía un área mínima de refuerzo transversal cuyo valor no

dependía de la resistencia del hormigón. Nuevos ensayos muestran la

necesidad de incrementar el área mínima de refuerzo a cortante a medida

que aumente la resistencia del hormigón para evitar las fallas repentinas de

cortante cuando se producen fisuras inclinadas. La NSR-10, Sec.C.11.4.6.3,

exige colocar un área mínima de refuerzo a cortante calculada según la

expresión:

(6.13)

��#��

En nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad debe

colocarse refuerzo de confinamiento dentro del nudo, igual al exigido

para columnas (NSR-10, Sec.C.21.6.4.4).

Cuando se utilicen estribos rectangulares de confinamiento, de

diámetro mínimo 3/8”, no pueden ser menores que:

(6.14)

La separación no debe exceder la cuarta parte de la menor dimensión

transversal del elemento, ni de l00 mm.

En los nudos interiores, confinado adecuadamente por vigas que

llegan a sus cuatro caras, el espaciamiento máximo de 100 mm puede

incrementarse a 150 mm (NSR-10, Sec.C.21.7.3.2).

Los requisitos anteriores buscan preservar la integridad del hormigón,

de manera que se mantenga el mecanismo de transferencia del puntal

diagonal de compresión. Es importante cumplir estrictamente con las

recomendaciones anteriores para evitar daños severos, difíciles de reparar,

en la unión.

329

6.7 Las uniones en los planos de construcción

Para evitar errores o malas interpretaciones durante la construcción

de los nudos, es necesario que el diseñador muestre los detalles de

las conexiones en los planos estructurales. Al momento de incluir

estos detalles, el diseñador es forzado a verificar que dicho detalle se

pueda construir. Esto se relaciona con la colocación del refuerzo, y con

la colocación y compactación del hormigón. Por ejemplo, una viga del

mismo ancho que el de la columna causará problemas al obrero de la

construcción si durante el diseño no se consideró que un recubrimiento

igual sobre el acero transversal de la viga y la columna provocará que los

refuerzos longitudinales de la columna y la viga coincidan. Si en este caso

se agrandara la sección transversal de la columna no habría problema.

La NSR-10 no requiere que se incluyan dibujos acotados y a escala

del retuerzo en uniones viga-columna.

330

6.8 Especificaciones de diseño para los nudos

Tabla 6.5 Requisitos generales para el diseño de las uniones viga-columna



1. En las conexiones de los elementos principales de pórticos (tales como vigas y columnas) de be disponerse de con finamiento para los em palmes del refuerzo que continúa y para el anclaje del refuerzo que termina en tales conexiones.

2. El confinamiento en las conexiones debe con sistir en hormigón ex terior, o en estribos ce rrados o es-pirales in teriores

NSR-10, Sec.C.7.9

1. En las conexiones de los elementos principales de pórticos (tales como vigas y columnas) debe disponerse de con fi na miento para los em palmes del refuerzo que continúa y para el anclaje del refuerzo que termina en tales conexiones.

2. El confinamiento en las conexiones debe consistir en hormigón exterior, o en estribos cerrados o es-pirales in teriores

NSR-10, Sec.C.7.9

1. Las fuerzas en el re-fuerzo longitudinal de las vigas en la ca-ra del nudo de ben determinarse su po-niendo que el esfuerzo en el re fuerzo de tracción por flexión es 1.25 �

y

NSR-10, Sec.C.21.7.2.1

3. Cuando se requiera re-fuerzo para cortante, o para resistencia, se debe colocar un área mínima a cortante calculada según la expresión:

NSR-10,Sec.C.11.4.6.3

3. Cuando se requiera re-fuerzo para cortante, o para resistencia, se debe colocar un área mínima a cortante calculada según la expresión:

NSR-10, Sec.C.11.4.6.3

2. El refuerzo lon g i -tudinal de una viga que termine en una columna debe pro-longarse hasta la cara más distante dentro del núcleo confinado de la columna y an-clarse en tracción de acuerdo con C.21.7.5, y en comprensión de acuerdo con el capítulo C.12

NSR-10, Sec.C.21.7.2.2

3. Cuando el refuerzo longitudinal de la viga pasa a través del nudo, la dimensión de la columna, paralela al refuerzo longitudinal de la viga, no puede ser menor que 20 d

b,

calculado para la barra longitudinal de mayor diámetro de la viga

NSR-10, Sec.C.21.7.2.3

331

Tabla 6.6 Requisitos para el refuerzo transversal en las uniones viga-columna



No hayrequisitosespeciales

No hay requisitos especiales

1. El refuerzo transversal del nudo debe satisfacer:

C.21.6.4.4.a. La cuantía volumétrica para refuerzo en espiral o estribos cerrados de confinamiento circulares no debe ser menor que:

C.21.6.4.4.b. El área total del refuerzo en estribos cerrados de confinamiento rectangulares no debe ser menor que:

Deben cumplirse los espaciamientos dados en C.21.6.4.7, excepto lo prescrito en C.21.7.3.2

NSR-10, Sec.C.21.7.3.1

2. Cuando existan elementos que lleguen en los cuatro lados del nudo y el ancho de cada elemento mide por lo menos ¾ del ancho de la columna, refuerzo transversal igual, por lo menos, a la mitad de la cantidad requerida en C.21.6.4.4.a y C.21.6.4.4.b, dentro del h del elemento de menor altura que llegue al nudo. En estos lugares, se permite que el espaciamiento especificado en C.21.6.4.3 se incremente a 15 cm

NSR-10, Sec.C.21.7.3.2

3. Debe proporcionarse refuerzo transversal que pase a través del nudo para pro-porcionar confinamiento al refuerzo longitudinal de viga que pasa fuera del núcleo de la columna que cumpla con los requisitos de espaciamiento de C.21.5.3.2 y los requisitos C.21.5.3.3 y C.21.5.3.6, cuando dicho confinamiento no es suministrado por una viga que llegue al nudo

NSR-10, Sec.C.21.7.3.3

332

Tabla 6.7 Requisitos para el diseño a cortante en las uniones viga-columna



No hay

requisitos

especiales

No hay

requisitos

especiales

La resistencia nominal al cortante en los

nudos de pórticos no puede ser mayor

que los valores que se dan a continuación:

,+ Nudos confinados por vigas en sus

cuatro caras:

,+ Nudos confinados por vigas en tres

caras o en dos caras opuestas:

,+ Otros nudos:

Se considera que una viga proporciona

confinamiento al nudo si al menos ¾

partes de la cara del nudo está cu bierta

por la viga que llega. Se per mite considerar

como elemento de con finamiento a las

extensiones de las vigas que sobresalen

al menos una altura total h hacia afuera

de la cara del nudo

NSR-10, Sec.C.21.7.4.1

(Kgf/cm)2

(Kgf/cm)2

(Kgf/cm)2

333

Tabla 6.8 Requisitos para el desarrollo del refuerzo dentro

de las uniones viga-columna



No hay

requisitos

especiales

No hay

requisitos

especiales

1. La longitud de desarrollo, Ldh

, para una barra

con un gancho estándar de 90°, no debe ser

menor que 8 db, 150 mm, o la longitud dada

por la ecuación C.21-9 para barras N.o 3

o 10M (10 mm), a N.o 11 (1-3/8”) o 32M

(32mm).

El gancho de 90° debe quedar localizado

dentro del núcleo confinado de una columna

o elemento de borde

NSR-10, Sec.C.21.7.5.1

2. Para barras N.o 3 o 10M (10 mm) a N.o 11

(1-3/8”) o 32M (32 mm) la longitud de

desarrollo, Ldh

, para barras rectas no puede

ser menor que:

,+ 2.5 veces la longitud dada en (1) si no hay

más de 300 mm de hormigón, vaciado en

una sola etapa, por debajo de la barra, o

,+ 3.5 veces la longitud requerida en (1) si

hay más de 300 mm de hormigón vaciado

en una sola etapa, por debajo de la barra

NSR-10, Sec.21.7.5.2

3. Las barras rectas que terminen en un nudo

deben pasar a través del núcleo confinado

de la columna o elemento de borde.

Cual quier porción de Ld fuera del núcleo

confinado debe incrementarse mediante

un factor de 1.6

NSR-10, Sec.C.21.7.5.3

4. Si se utiliza refuerzo con recubrimiento

epóxico, las longitudes de desarrollo

dadas en (1) a (3) deben multiplicarse

por el coeficiente apropiado de C.12.2.4 o

C.12.5.3

NSR-10, Sec.C.21.7.5.4

334


Cuarta parte, diseño de nudos

,+ E�#��>��8��

Se desea diseñar a cortante el nudo indicado, tanto en la dirección de

la viga A como en la dirección de la viga 1. Se hará un paralelo, a través

del ejemplo, del procedimiento a seguir para un nudo tipo 2 (DES) y uno

tipo 1 (DMI y DES). fy = 420 MPa y f ’

c = 21 MPa

Clasificación del nudo: geométricamente, el nudo corresponde a un

nudo exterior. Debe comprobarse que en la dirección del eje A el nudo

esté adecuadamente confinado.

El nudo se clasifica como

nudo exterior

Análisis de la dirección A

Momentos resistentes de la viga A: el refuerzo de la viga 1 se localiza

encima del refuerzo de la viga A, de allí los valores de d’:

by ¾ * hy 30 = ¾ * 40 cm �

335

Nudo tipo 2 (DES) Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO)

Revisión de la adherencia: se revisa la dimension del nudo en la

direccion de la viga A.

Se asume que hay inversión Se asume que no hay inversión de

de momentos momentos

hn 20 d

b = 20 * 2.91 = 38.2 cm No hay requisitos especiales

La dimensión de 50 cm es aceptable No hay restricción

Cortante en la columna en la dirección A:

Cortante en el nudo:

336

� = 1.25 � = 1.00

Tvi = � A’

s f

y = 1.25*4*2.84*4 200 T

vi = � A’

s f

y = 1.00*4*2.84*4 200

Tvi = 59 640 kgf T

vi = 47 712 kgf

Cvd

= � A+s f

y = 1.25*2*2.84*4 200 T

vd = 47 712 kgf

Cvd

= 29 820 kgf

Vnudo

= Tvi + C

vd –V

c = 82 260 kgf V

nudo = T

vi - T

vd –V

c = 0.00 kgf


No hay especificación

bv =30 cm, b

c=40 cm

hn =50 cm, b

n=(40+30)/2=35 cm

An = 50*35 = 1 750 cm2 Colocar los estribos mínimos

+ �Vc=86 224 kgf>V

nudo=82 260 kgf� especificados para columnas

Cálculo de los estribos:

Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.4.b Cálculos según la NSR-10, Sec. C.21.3.5.7

Se colocarán estribos de cuatro ramas: Se colocarán estribos de cuatro ramas:

Ash

= 4 * 0.71 = 2.84 cm2 Ash

= 4 * 0.71 = 2.84 cm2

fyt = 4 200 kgf/cm2, s

máx = 10 cm f

yt =4 200 kgf/cm2, cálculos para s=10 cm

Recubrimiento = 4 cm Recubrimiento = 4 cm

bc = 32 cm, h

c = 42 cm b

c = 32 cm, h

c = 42 cm

Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2 A

g = b * h = 40x50 = 2 000 cm2

Ach

= bc* h

c = 32*42 = 1 344 cm2 A

ch = b

c* h

c = 32*42 = 1 344 cm2

Ash

= 3.08 cm2 > 1.89 cm2 Ash

= 2.05 cm2 > 1.26 cm2

No cumple Ash

> 2.84 cm2. Se puede Se puede aumentar la separación de los

reducir la separación a 9 cm, con lo cual: estribos a 14 cm, con lo cual:

Ash

= 2.77 cm2 < 2.84 cm2 � Ash

= 2.87 cm2 � 2.84 cm2 �

Revisión de la separación de estribos:

Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.3 Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.6

smax

� 15 cm smax

� 8 db = 8 * 1.91 = 15.28 cm

smax

� Menor dimensión/4 = 40/4 =10 cm smax

� 16 de = 16 * 0.95 = 15.20 cm

smax

� 6 db = 6 * 1.91 = 11.46 cm s

max � Menor dimensión/3=40/3 =13.3 cm

smax

� 15 cm

La solución E�3/8” c/9 cm, de cuatro La solución E�3/8” c/14 cm, de cuatro

ramas, es satisfactoria ramas, es satisfactoria

337


Análisis de la dirección 1

En la dirección A del nudo, era crítico el control de adherencia porque

las barras de ¾” cambian de tensión en el ancho del nudo. En la dirección

1 este caso no se presenta, pero ahora es crítico el anclaje de las barras

de refuerzo de la viga 1. Se asumió que el refuerzo de la viga 1 se localiza

encima del refuerzo de la viga A.

Momentos resistentes de la viga 1: el refuerzo de la viga 1 se localiza

encima del refuerzo de la viga A, de allí los valores de d’:

Revisión del anclaje para la barra 7/8”:

NSR-10, Sec.C.21.7.5.1 NSR-10, Sec.C.12.2.2

�=1.25, db=2.22 cm, r =4 cm � = 1.00, d

b = 2.22 cm, r = 4 cm

Ldh

= 46.8 cm Ldh

= 48.8 cm

Esta Ldh

puede multiplicarse por Esta Ldh

puede multiplicarse por el

el factor 0.7 dado en la NSR-10, factor 0.7 dado en la NSR-10,

Sec.C.12.5.3.a. Sec.C.12.5.3.a.

Cumple los requisitos exigidos Cumple los requisitos exigidos

� Ldh

= 0.7*46.8 = 32.76 cm � Ldh

= 0.7*48.8 = 34.16 cm

Sección crítica en el borde del Sección crítica en el borde del nudo

núcleo confinado confinado

bc=L

dh+2r+d

e=32.76+2*4+0.95 b

c=L

dh+r +d

e =34.16+4+0.95

bc = 41.71 cm b

c = 39.19 cm

Los 40 cm de columna no son sufi- Los 40 cm de la columna son

cientes para anclar las barras de 7/8” suficientes

338


Cortante en la columna en la dirección A:


� = 1.25 � = 1.00

Tvd

= � A’s f

y=1.25*4*3.87*4 200 T

vd = � A’

s f

y = 1.00*4*3.87*4 200

Tvd

= 81 270 kgf Tvd

= 65 016 kgf

Vnudo

= Tvd

– Vc = 74 650 kgf V

nudo = T

vd –V

c = 59 546 kgf


No hay especificación

bv =40 cm, b

c=40 cm

hj =40 cm, b

j=(50+40)/2=45 cm

Aj =40*45 = 1 800 cm2 Colocar los estribos mínimos

� Vc=86 687 kgf > V

nudo=74 650 kgf � especificados para columnas

339


Cálculo de los estribos:

Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.4.b Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.7

Se colocarán estribos de cuatro ramas: Se colocarán estribos de cuatro ramas:

Ash

= 4*0.71 = 2.84 cm2 Ash

= 4*0.71 = 2.84 cm2

fyt = 4 200 kgf/cm2, S

máx = 10 cm f

yt = 4 200 kgf/cm2, cálculos para s = 10 cm

Recubrimiento = 4 cm Recubrimiento = 4 cm

bc = 42 cm, h

c = 32 cm b

c = 42 cm, h

c = 32 cm

Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2 A

g = b * h = 40x50 = 2 000 cm2

Ach

= bc* h

c = 32*42 = 1 344 cm2 A

ch = b

c* h

c = 32*42 = 1 344 cm2

Ash

= 2.35 cm2 > 0.76 cm2 Ash

= 1.56 cm2 > 0.96 cm2

Cumple 2.84 cm2 > Ash

. Se puede aumen- Se puede aumentar la separación de los estri-

tar la separación de los estribos a 12 cm: bos a 15 cm, con lo cual:

Ash

= 2.81 cm2 � 2.84 cm2 � Ash

= 2.34 cm2 < 2.84 cm2 �

Revisión de la separación de estribos:

Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.3 Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.6

smáx

� 15 cm smáx

= 8 db = 8*1.91 = 15.28 cm

smáx

� menor dimensión /4 =40/4 =10 cm smáx

= 16 de = 16*0.95 = 15.20 cm

smáx

� 6 db = 6*1.91 = 11.46 cm s

máx = menor dimensión / 3 = 40/3 = 13.3 cm

smáx

= 15 cm

La solución E �+3/8” c/12 cm, de cuatro La solución E �+3/8” c/15 cm, de cuatro

ramas, es satisfactoria ramas, es satisfactoria

Conclusión

Como solución final se obtiene colocar estribos de 3/8”, de cuatro ramas,

espaciados cada 9 cm, en ambas direcciones, para los nudos tipo 2 (DES)

y cada 14 cm para los nudos tipo 1 (DMI y DMO). Con este refuerzo se

satisfacen los requisitos de la NSR-10, Sec.C.11.4.

La dimensión de la columna, de 40 cm, es insuficiente para anclar

las barras de 7/8”, en los nudos tipo 2, y por tanto esta dimensión debe

ampliarse como mínimo a 42 cm.

340

La diferencia fundamental entre un nudo tipo 1 (DMI y DMO) y un

nudo tipo 2 (DES) es el cambio radical en el valor del cortante, debido a

la inversión de momentos que presenta el nudo tipo 2. Esta situación es

más crítica en los nudos interiores y exteriores.

6.10 Observaciones sobre la NSR-10

La NSR-10 asimila el comportamiento de los nudos de estructuras con

DMI al de los nudos tipo 1. Un nudo tipo 1 corresponde a estructuras cuyo

comportamiento es gobernado por las cargas gravitacionales. En este

tipo de estructura no se presenta inversión de momentos y se esperan

deformaciones inelásticas de poca importancia.

El comportamiento de los nudos de estructuras con DES lo asimila la

NSR-10 al de los nudos tipo 2. Un nudo tipo 2 corresponde a estructuras

cuyo comportamiento es gobernado por las cargas sísmicas. En este tipo de

estructura se presenta inversión de momentos y se esperan deformaciones

inelásticas de gran importancia.

� Æ��$�� DMO?

Para responder esta inquietud, el autor, en su experiencia profesional

y académica, ha analizado con el espectro de diseño dado para Medellín

por la NSR-10 numerosas estructuras aporticadas y ha podido comprobar

que en ellas se presenta el caso de inversión de momentos.

Por otra parte, de acuerdo con el planteamiento formulado, se

espera que una estructura con DMO tenga un comportamiento entre

los dos extremos expuestos para DMI y DES, por lo que debe presentar

deformaciones inelásticas de importancia. El anterior planteamiento

concuerda con el elevado factor de ductilidad asumido para este tipo de

estructuras.

En conclusión, el comportamiento de los nudos de estructuras con

DMO de ductilidad no puede asimilarse al de estructuras con DMI, como

lo hace la NSR-10. Su comportamiento se asemeja más al de estructuras

con DES. Es indispensable revisar la NSR-10,

341

7. Anexo A

Teoría general de columnas

7.1 Columnas uniaxiales

7.1.1 Tipos de refuerzo

En toda columna se tienen dos tipos de refuerzo:

,+ (��#��#��Está constituido por barras longitudinales, paralelas al eje de la columna.

Su función es aumentar la capacidad de carga a flexocompresión y a la

vez reducir la retracción del fraguado y el flujo plástico, mejorando el

confinamiento del hormigón.

,++ (��B��

Consiste en estribos, también llamados cercos o espirales, formados por

barras de pequeños diámetros, dispuestos de modo que abracen el re-

fuerzo longitudinal y lo mantengan vertical para evitar su pandeo duran-

te el vaciado.

Su función es confinar el hormigón y proporcionarle mayor ducti-

lidad a la columna, en este sentido es más eficiente la espiral. Al igual

que las barras longitudinales disminuye la retracción del fraguado y el

flujo plástico. También evita el pandeo de las barras longitudinales y les

brinda confinamiento lateral.

7.1.2 Tipos de columnas

Los principales tipos de columnas de hormigón reforzado son:

,++ "�� ; en ellas las barras longitudinales se confinan

con refuerzo transversal en estribos espaciados cada cierta distancia.

Pueden ser cuadradas, rectangulares o poligonales.

,++ "��#��; en ellas las barras longitudinales se confinan

con refuerzo transversal en forma de espiral. Pueden ser circulares o

cuadradas con refuerzo circular.

342

,++ "��#��; en ellas se embebe el hormigón en un perfil de

acero. Pueden contener barras longitudinales con estribos o espirales.

,++ "�� ; en ellas el tubo se llena con hormigón

simple.

Figura 7.1 Tipos de columnas

Según el tipo de falla, las columnas se clasifican como:

,++ "��; son aquellas en las que su capacidad de carga está controlada

por las propiedades de los materiales que la conforman y por sus

dimensiones. Su falla es por aplastamiento.

,++ ��; son aquellas en las que la relación entre la longitud y las di-

mensiones laterales es muy alta, por ello, es posible una falla por

pandeo. La esbeltez de la columna hace que las solicitaciones se in-

crementen por la deformación propia del elemento. Su análisis se

hace mayorando las solicitaciones y con ellas se procede al diseño

como si se tratase de columnas cortas.

7.1.3 Columnas rectangulares uniaxiales, simétricas,

con refuerzo en dos caras

La condición general de carga de una columna está representada por un

momento flexionante, Mux

, y por una carga axial, Pu, transmitidas por la

placa o por las vigas de piso.

343

Figura 7.2 Acciones en columnas uniaxiales y biaxiales

El sistema de cargas puede transformarse colocando la carga axial,

Pu, con una excentricidad “e

y” tal que M

ux = P

u * e

y . En el caso de fle-

xión uniaxial, el eje neutro permanece paralelo a una de las caras de la

columna, situación que no se presenta en flexión biaxial.

Se asumen las siguientes hipótesis:

,++ Se desprecia la resistencia del hormigón a la tracción.

,++ El hormigón es utilizable hasta una deformación de 0.003 (NSR-10,

Sec.C.10.2.3).

,++ La deformación en el acero es igual a la del hormigón que lo rodea.

,++ Las secciones planas permanecen planas.

,++ En la zona elástica del acero es aplicable la Ley de Hooke.

,++ El módulo de elasticidad del acero se tomará como: Es = 2 000 000

kgf/cm2 (NSR-10, Sec.C.8.5.2).

,++ El módulo de elasticidad del hormigón se evaluará conforme a las

especificaciones de la NSR-10, Sec.C.8.5.1.

,++ Se asume una tensión uniforme de compresión en el hormigón de

0,85 f ’c, distribuida sobre una zona limitada por los bordes de la sec-

ción transversal y por una recta paralela al eje neutro a una distancia:

a = .1 * c (NSR-10, Sec.C.10.2.7.1).

,++ .1 se tomará como 0.85 para hormigones con f ’

c � 280 kgf/cm2. Para

resistencias superiores se reduce a razón de 0.05 por cada 70 kgf/

cm2 de exceso sobre 280 kgf /cm2 pero .1 no será inferior a 0.65

(NSR-10, Sec.C.10.2.7.3).

344

Figura 7.3 Acciones mecánicas en los elementos de hormigón reforzado

En el diseño se asume una tensión uniforme del bloque de compre-

siones de 0.85 f ’c en la cual f ’

c representa la resistencia de laboratorio, se

toma el 85% de este valor debido a:

,++ La forma y tamaño de las probetas de ensayo son diferentes a la de

las columnas, obteniéndose una resistencia mayor de la real.

,++ El vaciado vertical de una columna induce segregación y exudación,

lo cual desmejora la calidad del hormigón de la columna respecto a

la de la probeta, y en la misma columna se obtiene un mejor hormi-

gón en la parte inferior.

Despreciando el hormigón desalojado se obtiene:

Pu = C

c + C

s - T

s (7.1)

Pu = ��£�\<Â_�� ¹

c ab + A’

s f ’

s - As f

s ] (7.2)

Mu = P

u * e = ��£\<Â_�� ¹

c ab*(h/2 – a/2)+A’

s f ’

s*(d – d’)/2+A

s f

s *(d – d’)/2] (7.3)

Estas expresiones representan la capacidad de la columna para so-

portar carga externa, y pueden simplificarse si se emplea armadura si-

métrica, As = A’

s. Conocidos los valores de las solicitaciones externas, P

u

y Mu, la columna puede diseñarse a partir de estas expresiones, pero el

proceso es muy laborioso pues de la expresión (7.2) hay que despejar el

término “a” en función de la cuantía de acero y reemplazar su valor en la

expresión (7.3). Para obviar la anterior dificultad, tradicionalmente, se

ha recurrido a la elaboración de tablas y gráficos que permitan un análisis

rápido y sencillo. Hoy en día, con los medios computacionales que exis-

ten, estos métodos tradicionales pierden su utilidad.

345

Los gráficos utilizados son un conjunto de diagramas que relacionan

la carga y el momento de diseño, y se pueden hacer en forma dimensio-

nal o adimensional, según como se manejen las expresiones anteriores.

Estos gráficos se denominan diagramas de interacción y representan el

lugar geométrico de las cargas Pu y M

u, que representan la capacidad de

la columna.

En el proceso de diseño se conocen previamente las dimensiones y

los materiales de la columna, pues inicialmente ha sido necesario reali-

zar un análisis de estabilidad y de control de derivas; sólo cuando se han

satisfecho las condiciones generales de estabilidad se obtienen las accio-

nes sobre los elementos y se procede al diseño. A continuación analizare-

mos cómo se pueden trazar los diagramas dimensionales para columnas

uniaxiales, simétricas, con refuerzo en dos caras.

-�7��

La condición de falla balanceada existe cuando el refuerzo extremo en

tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy, al mismo

tiempo que el hormigón en compresión alcanza la deformación unitaria

última supuesta de 0.003. En este caso, la distancia de la fibra extrema

del hormigón a compresión al eje neutro se denomina cb, y la capacidad

de carga y momento Pb y M

b.

Figura 7.4 Diagrama de deformaciones para la condición de falla balanceada

Del diagrama de deformaciones:

/s = /

y /

uc = 0.003

/y = f

y /E

s, f ’

s= /’

s *

E

s, E

s=2 000 000 kgf/cm2

(7.4)

346

Cuando c < cb, el acero localizado en la zona de tracciones presenta

una deformación unitaria /s > /

y, (f

s = f

y) � El acero a tracción controla

el diseño. Por compatibilidad de deformaciones se obtiene:

Para: Es = 2 000 000 kgf/cm2:

fs = f

y (7.5)

Al reemplazar la expresión (7.5) en (7.2) y (7.3) se obtiene la capa-

cidad de carga de la columna.

Análisis de la falla a compresión

Cuando c > cb se presenta: /

s < /

y � f

s < f

y , �; por compatibi-

lidad de deformaciones se obtiene:

(7.6)

Para el acero a compresión se asume f ’s = f

y y se revisa que se cum-

pla esta suposición una vez calculada la profundidad del eje neutro.

-�7��6�

Analizando el diagrama de deformaciones:

Figura 7.5 Diagramas de deformación para condición de falla no balanceada

347

Si reemplazamos la expresión (7.6) en (7.2) y (7.5) obtenemos la

capacidad de carga de la columna.

5��6�

Para trazar los diagramas se acostumbra expresar la ecuación (7.3) res-

pecto al centro plástico de la sección. Se conoce como centro plástico al

centro de resistencia de la sección; este coincide con el centro geomé-

trico para secciones simétricas.

Estos diagramas se trazan seleccionando previamente los siguientes

parámetros:

,++ Dimensiones de la columna

,++ Materiales

,++ Cuantía de refuerzo

A manera de ejemplo trazaremos el diagrama de interacción para la

siguiente columna:

Figura 7.6 Diagrama de interacción

As total

= * bh = 0.015 * 30 * 40 = 18 cm2, A’s = A

s = 9 cm2

d’ = r + de + d

b / 2 = 4.00 + 0.95 + d

b / 2 � 6 cm

d = h – d’ = 40 – 6 = 34 cm

,++ -�7��

De (7.4):

348

De (7.2): Pb = ��£�\<Â_�� ¹

c a

b b + A’

s f ’

y - A

s f

y ]

Pb ��\<�_�£\<Â_�¯�?'\�¯�'��¯�~\®��_´�'�~�¤�� 59.17 t

De (7.3): (d – d’)/2 = 14 cm

Mb�\<�_�£\<Â_¯?'\¯'�¯~\¯[?\�'��?`�´¯��?\\¯['�`��´¯��?\\¯['�`®

Mb = 1 368.447 t-cm = 13.68 t-m

Con estos valores de Pb y de M

b se obtiene el punto A del gráfico.

,++ -�7��#��6�$��7��#��4��8

La máxima carga axial pura, sin excentricidad, (Mu = 0), que puede

soportar una columna con estribos es:

P0 = ��¯�£\<Â_�� ¹

c * (bh – A

s total) + A

s total * f

y ]

P0.��\<�_�¯�£\<Â_¯?'\�¯�[~\¯�\��'Â`��'Â�¯��?\\�®��'Â��?Â'�¤��

En la práctica las cargas axiales puras no existen, por ello las normas

exigen emplear una excentricidad mínima para el diseño, esta especifi-

cación se expresa indirectamente limitando la carga axial de diseño al

75% del valor obtenido para carga axial pura cuando se emplean estribos

de confinamiento: Pu máx.

= 0.75 * P0 (NSR-10, Sec.C.11.3.6.2).

Pu máx.

= 0.75 * ��¯�£\<Â_�� ¹c * (bh – A

s total) + A

s total * f

y ]

Pu máx.

��\<�_¯\<�_�̄ £�\<Â_¯?'\¯�[~\¯�\��'Â`��'Â¯��?\\�®�� 139 711 kgf

En esta zona que controla la compresión las tensiones en los aceros

obedecen a las siguientes relaciones:

f ’s = f

y = 4 200 kgf/cm2,

De la expresión (7.2) con a = .1 * c:

349

(7.2)

Reemplazando se obtiene: cmáx.

= 37.74 cm, a máx

= 0.85 * 37.74

= 32.08 cm.

Una vez obtenido el valor de “c” debe revisarse la tensión del acero

a compresión:

De (7.3):

Mu máx

=��£\<Â_�� ¹c a b*(h/2 – a/2) + A’

s* f

y *(d – d’)/2 + A’

s* f

s *(d – d’)/2 ]

Mu máx

�\<�_£\<Â_¯?'\¯~?<\Â¯~\¯[?\�'�<\�`�´¯��?\\¯'��´¯[�_´�<�`¯'�®

Mu máx

= 7 374.66 t-cm

Con estos valores de Pu

máx y de M

u máx se obtiene el punto H. Para

trazar la gráfica hay necesidad de localizar nuevos puntos, la zona de

compresiones está definida para valores de Pu comprendidos en el ran-

go: 139.71 t (Pu máx

) Pu 59.17 t (¨P

b); se procede ahora a asignarle

a Pu valores que estén dentro de este rango, y con las expresiones (7.2)

y (7.3) se localizan nuevos puntos. En este ejemplo se le asignan valores

a Pu de 70 t, 80 t, 90 t, 100 t, 110 t y 120 t.

,++ -�7��6�$��7��#��4u min

En esta zona las tensiones en los aceros obedecen a las siguientes re-

laciones:

fs = f

y = 4 200 kgf/cm2,

f ’c � 280 kgf/cm2, a = .1* c, .1 = 0.85, A’

s = A

s = 9cm2, d=34 cm, d’=6 cm

De (7.3):

Mu = ��£\<Â_�� ¹

c a b * (h/2 – a/2)+ A’

s* f ’

s * (d - d’)/2+ A

s* f

y * (d - d’)/2]

350

El valor de � = 0.65 se puede aplicar sólo en el siguiente rango: 0.10

* f ’c * bh � P

u � Pb Para valores de P

u inferiores a P

u mín.

= 0,10 * f ’c * bh,

f debe calcularse mediante la expresión:

(7.7)

Pu mín

= 0.10 * 210 * 30 * 40 = 25 200 kgf

� = 0.65 para valores de Pu entre: 25.2 t (P

u mín) � P

u � 59.17 t

(Pb). Para valores de P

u < 25.2 t (P

u mín) el valor de � debe calcularse con

la expresión (7.7).

Calculamos inicialmente el valor de “c” que corresponde al valor de

Pu mín

:

(7.2)

Reemplazando se obtiene:

cmin.

=11.27 cm, a mmin

= 0.85 * 11.31 = 9.58 cm

De (A.3):

Mu min

=��£\<Â_�� ¹c a b*(h/2 – a/2) +A’

s* f ’

s*(d - d’)/2 + A

s* f

y * (d - d’)/2]

Mu min

��\<�_�£�\<Â_¯?'\¯´<_Â¯~\¯[?\��<�´`��́ ¯?�Â\�<_~¯'��́ ¯[��?\\<\`¯'�®

Mu min

= 1 081.00 t-cm

Con estos valores de Pu mín

y de Mu min

se obtiene el punto N.o 4.

Para trazar la gráfica en la zona que controlan las tracciones hay ne-

cesidad de localizar nuevos puntos, la zona de tracciones está definida

para valores de Pu inferiores a P

b = 59.17 t; se procede ahora a asignarle

a Pu valores que estén dentro de los siguientes rangos:

Para: 25.2 cm (Pu mín

) � Pu � 59.17 t (P

b), rango en el cual � = 0.65

Para: 0 < Pu � 25.2 cm (P

u mín), rango en el cual � varía entre

0.65 y 0.90, ver expresión (7.7)

351

Para elaborar el gráfico se le asignan valores a Pu de: 0 t, 5 t, 10 t, 20 t,

30 t, 40 t y 50 t.

,++ -�7��6�$��7��#��4u H�+

Este caso corresponde al de una viga, � = 0.90

Localización del eje neutro: C = T, 0.85 f ’c ab + A’

s f ’

s = A

s f

s

Para este caso:

Reemplazando valores se obtiene: c = 6.84 cm, a = 5.83 cm y

f ’s = 736 84 kgf/cm2

Mu = ��£�\<Â_�� ¹

c ab * (d - a/2) + A’

s f ’

s * (d - d’)]

Mu=��£\<Â_¯?'\¯_<Â~¯~\�¯[~��?<´'_`�´¯�~�<Â��¯[~��`®¯'\-5= 10.41 t-m

Tabla 7.1 Cálculo de los puntos que definen el diagrama de interacción

Punto fc P

uf

sf ’

sM

uModo de

fallacm t kgf/cm2 kgf/cm2 t-m

H 0.65 37.74 139.71 - 594.60 4 200 7.37

Controla la

compresión

G 0.65 32.72 120.00 234.91 4 200 9.53

F 0.65 30.32 110.00 729.12 4 200 10.42

E 0.65 28.02 100.00 1 279.47 4 200 11.20

D 0.65 25.85 90.00 1 890.77 4 200 11.88

C 0.65 23.81 80.00 2 567.47 4 200 12.50

B 0.65 21.91 70.00 3 315.07 4 200 13.08

A 0.65 20.00 59.17 4 200 4 200 13.68 Balanceada

1 0.65 17.43 50.00 4 200 3 934.03 13.15

Controla la

tracción

2 0.65 14.78 40.00 4 200 3 563.95 12.36

3 0.65 12.35 30.00 4 200 3 084.08 11.35

4 0.65 11.27 25.20 4 200 2 806.53 10.81

5 0.70 9.90 20.00 4 200 2 362.22 10.79

6 0.80 8.04 10.00 4 200 1 521.83 10.63

7 0.85 7.38 5.00 4 200 1 121.29 10.53

8 0.90 6.84 0.00 4 200 736.84 10.41

352

Figura 7.7 Diagrama de interacción dimensional para una cuantía de 0.015,

considerando f ’c = 210 kgf/cm2, f

y = 4 200 kgf/cm2, d = 34 cm, d’ = 6 cm

Se ha calculado la curva correspondiente a una cuantía de 0.015,

pero puede trazarse una familia de curvas que representen diferentes

valores de la cuantía (0.01 � � 0.04). Para su aplicación en los ejem-

plos se han desarrollado estas gráficas variando la cuantía entre los lími-

tes permitidos a un intervalo de 0.005.

Una columna cuyas dimensiones y propiedades correspondan a la

analizada, puede diseñarse fácilmente buscando el punto del diagrama

que corresponda a las solicitaciones, Pu y M

u. Obtenida la cuantía se cal-

cula el refuerzo y se dispone simétricamente en dos caras.

353

Figura 7.8 Familia de curvas de interacción de columnas para cuantías

que varían entre 0.01, curva N.o 1, hasta 0.04, curva N.o 4

Hay necesidad de recurrir a la elaboración de un programa de com-

putador que permita resolver rápidamente el elevado número de opera-

ciones que conlleva el diseño de una columna. Uno de los mejores –sino

el mejor– de los programas comerciales que se encuentran en el mercado

es el PCACOL.

7.2 Columnas biaxiales

El método desarrollado en la sección anterior permite el diseño de co-

lumnas de secciones rectangulares cuando se presenta la flexión con res-

pecto a uno de los ejes principales; esta, sin embargo, no es la situación

general en el diseño de columnas. Ellas hacen parte de un entramado

espacial y están solicitadas a flexión, respecto a sus dos ejes principales.

Las columnas sometidas a carga axial pura no existen. En estructuras

aporticadas, las vigas de piso y las columnas son fundidas monolítica-

mente y esta situación produce algunos momentos en los extremos res-

tringidos de las columnas.

354

Figura 7.9 Flexión uniaxial sobre los ejes Y y X, respectivamente

Los ejes X y Y son los ejes principales de la sección. En la figura

7.9 (a) la sección se somete a flexión sobre el eje Y al aplicarse la carga

axial sobre el eje X, con una excentricidad ex, tal que M

uy = P

uz * e

x. El

diagrama de interacción de este caso corresponde a la curva ilustrada

como caso (a) de la figura 7.9, la cual muestra el diagrama de interacción

biaxial. Esta curva es calculada de acuerdo con el procedimiento descrito

en la sección anterior.

De manera análoga, en la figura 7.9, se ilustra como caso (b) la curva

que corresponde al diagrama de interacción para la flexión sobre el eje X,

al tener la carga axial una excentricidad ey, M

ux = P

uz * e

y.

El caso (c), ilustrado en la figura 7.10, corresponde al caso de fle-

xión biaxial en el cual la carga axial Puz

se aplica en un plano que forma

un ángulo a con el eje X.

� = arc tg (ex / e

y) = arc tg (M

uy / M

ux) (7.8)

En este caso la flexión se presenta con respecto al eje neutro que forma

un ángulo . con respecto al eje X. El ángulo a define un plano en la figura

7.9 que pasa por el eje Pu y forma un ángulo � con el eje X.

Para construir el diagrama tridimensional de interacción hay nece-

sidad de asignarle valores a la profundidad “c” del eje neutro y al ángulo

. de su inclinación, esto hace que su construcción sea mucho más di-

fícil, desde el punto de vista operativo, que el caso correspondiente a

columnas uniaxiales; su principal dificultad obedece a que el eje neutro

no va a ser perpendicular a la excentricidad, la zona de compresión es de

forma triangular o trapezoidal, y las deformaciones de cada barra serán

diferentes.

355

Para obviar las dificultades operativas de una solución exacta se uti-

lizan métodos aproximados, mucho más simples. Entre estos métodos se

pueden mencionar:

,++ Método de la carga de contorno o de la superficie de falla.

,++ Método de la carga inversa, desarrollado por Bresler.

Para el análisis y diseño de las columnas biaxiales se selecciona, en

este texto, el método de la ecuación de la superficie de falla presentado

en el I�� del ACI, de marzo y abril de 1988. Este método

se basa en el análisis uniaxial de columnas, tema ampliamente discutido

en las secciones anteriores; es sencillo de aplicar y proporciona una solu-

ción muy cercana a la exacta, con un error de precisión aceptable dentro

del campo de la seguridad.

7.2.1 Método de la superficie de falla

La ecuación que representa la superficie de falla del diagrama de in-

teracción para columnas de hormigón reforzado con estribos, sujetas a

flexión biaxial combinada con carga axial, es la siguiente:

(7.9)

Figura 7.10 Flexión biaxial, diagrama tridimensional de interacción

356

En donde:

Pu = carga axial mayorada, positiva para compresión y negativa para

tracción.

Mux

= momento flector mayorado sobre el eje X.

Muy

= momento flector mayorado sobre el eje Y.

Po = máxima carga axial teórica que puede soportar la columna,

positiva para compresión y negativa para tracción.

Pb = carga axial mayorada para condiciones balanceadas.

Mbx

= momento mayorado en condiciones balanceadas sobre el eje X.

Mby

= momento mayorado en condiciones balanceadas sobre el eje Y.

Figura 7.11 Método de la superficie de falla para el análisis biaxial de columnas

357

Figura 7.12 Diagrama de inteacción de columnas biaxiales en la zona

de cargas axiales de tracción

Cálculo de Po:

Para falla a compresión:

Po = 0.85 � *f ’

c * (A

g – A

st) + � * A

st * f

y � = 0.65 (7.10)

Para falla a tracción: Po = – � * A

st * f

y � = 0.90 (7.11)

Ag = b*h

Ast

= área total del refuerzo

Cálculo de Pb: se calcula tal como se explicó en la sección anterior:

se asume que el acero colocado en la capa externa a tracción alcanza su

deformación de cedencia (/y = 0.0021), al mismo tiempo que el hormi-

gón alcanza en su fibra extrema a compresión la máxima deformación

permitida (/uc

= 0.003).

,++ 4��>�

Deben definirse previamente las dimensiones de la sección y los

materiales a utilizar.

Mediante un análisis estructural se determinan los valores de dise-

ño Pu, M

ux y M

uy.

358

Se asume una cuantía de refuerzo entre los límites del 1% al 4%, se

selecciona el refuerzo y se procede a evaluar la carga para las condiciones

de falla balanceada.

Para una sección cuadrada con refuerzo simétrico, la carga balancea-

da es la misma para la flexión sobre el eje X y para la flexión sobre el eje Y.

Cuando la sección es rectangular, la carga balanceada evaluada para

la flexión sobre el eje X, Pbx

, es diferente al valor de la carga balanceada

evaluada para la flexión sobre el eje Y, Pby

, en este caso debe hacerse una

interpolación para evaluar el valor de la carga balanceada sobre el plano

de flexión, �.

Figura 7.13 Plano del diagrama de interacción en el caso de columnas biaxiales

� = arc tg (Muy

/ Mux

)

Pb = P

bx��

b

,++ Cálculo de Mbx

Se analiza la flexión sobre el eje X sin tener en cuenta la flexión sobre

el eje Y; con el valor de Pbx

determinado mediante la ecuación (7.3) se

calcula el valor de Mbx

.

,++ Cálculo de Mby

Se analiza la flexión sobre el eje Y sin tener en cuenta la flexión sobre

el eje X; con el valor de Pby

determinado mediante la ecuación (7.3) se

calcula el valor de Mby

.

359

Pu = C

c + C

s – T

s

(7.12)

(7.13)

Para mayor precisión en la expresión (7.6) debe adicionarse el tér-

mino que considera el hormigón desalojado por el acero.

,++ Controles al proceso de diseño

Cuando controla la compresión: debe comprobarse que la carga axial no

sobrepase el valor máximo permitido por la NSR-10; si este valor se so-

brepasa la sección es insuficiente.

Pu máx

= 0.80 ��£\<Â_�È¹c * (bh – A

s total

) + As total

* ƒy] (7.14)

Cuando controla la tracción: debe comprobarse que la carga axial no

sea inferior al valor mínimo dado por la NSR-10 (0.10 * f ’c* bh); de ser

así, puede calcularse el valor del factor de sub resistencia �, interpolando

linealmente entre 0.90 y 0.65.

(7.15)

7.3 Ejercicios

Ejercicio 1

Se desea diseñar la columna cuya sección transversal se indica en la si-

guiente figura. El acero de refuerzo se colocará en dos capas paralelas a

la base “b”, que estarán localizadas a 6 cm de los bordes de la sección.

Es = 2 000 000 kgf/cm2.

360

Debe calcularse el valor de la carga axial, para las condiciones balan-

ceadas, con el fin de determinar si el diseño es controlado por la tracción

o por la compresión.

�=0.65 .1=0.85 para f ’

c � 280 kgf/cm2 d=h – d’=40 – 6=34 cm

Se supone que f ’s = f

y , y al final se revisa si se cumple o no:

Pu>P

b�controla la compresión, �=0.65,

Solución:

100 000 / 0.65 =0.85 *210 *(0.85 *c *30 – A’s)+ A’

s * 4 200 - A

s*6 000 *(34 – c) / c

A’s = A

s = A

s total

/ 2

361

De donde:

Igualando las dos expresiones de As total

:

c = 28.26 cm, As total

= 18.00 cm2, = As total

/ bh = 0.015

fs = 1 219 kgf / cm2

Revision de f ’s:

� � el acero a compresión entra en cedencia tal como se supuso.

La ecuación de momentos referida al centro plástico es:

362

Solución empleando el programa del texto:

= 0.0015, As = 18 cm2:

Solución utilizando el programa de la PCACOL:

= 0.015, As = 18 cm2:

363

Ejercicio 2

Se desea resolver el ejercicio anterior para las siguientes solicitaciones:

Pu = 30.00 t, M

u = 20.20 t-m.

Debe analizarse si para esta condición de carga el diseño es con-

trolado por la tracción o por la compresión. En el ejercicio anterior

se ha deducido el valor de la carga axial en condiciones balanceadas.

Pb = 59.17 t.

Pu < P

b controla la tracción y debe determinarse el valor que se debe

tomar para el factor de sub resistencia, �:

Pu mín

= 0.10 f ’c A

g = 25 200 kgf P

u > P

u mín

� � = 0.65

Solución empleando el programa del texto:

= 0.035, As = 42.00 cm2:

364

Solución con el programa PCACOL: = 0.035, As = 42 cm2:

Ejercicio 3

Se desea calcular la pareja de valores Pu y M

u que corresponden a la con-

dición de Pmín

, Pb, y P

máx. La sección está reforzada con 16 barras de 1’’

dispuestas simétricamente en sus cuatro caras. Es = 2 000 000 kgf/cm2.

fy = 4 200 kgf/cm2 y f ’

c = 280 kgf/cm2.

,++ �B��6��6��$�4�

Para evaluar el valor de la

carga balanceada se numeran las

capas de acero. En estas condi-

ciones el acero de la capa exter-

na alcanza su deformación de

fluencia (/s5

= fy /E

s = 0.0021)

al mismo tiempo que el hormi-

gón alcanza en su fibra extrema

a compresión una deformación

de /uc

= 0.003.

Utilizando la proporciona-

lidad de las deformaciones se

calcula la profundidad del eje

neutro cb.

365

Deben determinarse las deformaciones del refuerzo interior para

obtener, a partir de ellas, sus tensiones de trabajo.

fs5

= 4,200 kgf/cm2, As1

=As5

=25.50 cm2, As2

=As3

=As4

=10.20 cm2

La solución “exacta” se obtiene considerando el concreto desaloja-

do por el acero localizado en la zona de compresiones (capas 1, 2 y 3 de

refuerzo).

Pb = ��£\<Â_�� ¹

c ab + A’

s1 f ’

s1 + A’

s2 f ’

s2 + A’

s3 f ’

s3 - {A’

s1 + A’

s2 + A’

s3}

* 0.85 f ’c – A

s4 f

s4 – A

s5 f

s5]

Para � = 0.65 � Pb = 196.86 t

366

Tomando momentos respecto al centro plástico:

Mb = ��£�\<Â_�� ¹

c ab (h/2 – a/2) + A’

s1 f ’

s1 (h/2 – 7.50) + A’

s2 f ’

s2 (h/2

– 17.5) + A’s3

f ’s3

(h/2 – 27.50) – A’s1

* 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) –

A’s2

* 0.85 f ’c (h/2 – 17.50) – A’

s3 * 0.85 f ’

c (h/2 – 27.50) + A

s4

fs4

(h/2 – 17.50) + As5

fs5

(h/2 – 7.50)]

Mb = ��£�\<Â_�¯�?Â\�¯�?~<�_�¯�__�¯�[?�<_\��?~<�_�?`��_�¯�_<'�¯��

200 * 20 + 2 * 5.1 * 2 242.08 * 10+ 2 * 5.1 * 94.72 * (0)– 5

* 5.1 * 0.85 * 280 * 20 – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 * 10 – 2 * 5.1 *

0.85 * 280 * (0) + 2 * 5.1 * 2 052.68 * 10 + 5 * 5.1 * 4 200

* 20]

Mb = 61.32 t-m

Evaluación de la condición de Pu = P

u máx

.

Pu máx

= � Pu = 0.75 * ��¯�£\<Â_�¯�f ’

c * (A

g – A

s total

) + fy A

s total

]

Pu máx

��\<�_�̄ �\<�_�̄ �£\<Â_¯?Â\¯[__¯__��'�¯_<'\`��?\\¯'�¯_<'®��

Pu máx

= 508.58 t

Domina la compresión; el acero localizado en la capa externa fluye,

f ’s1

= fy = 4 200 kgf/cm2. Si se considera el hormigón desalojado, para los

materiales empleados se cumple que a = .1*c = 0.85*c.

Se asume que el eje neutro se localiza entre la tercera y cuarta capa

de refuerzo (27.5 cm � cb � 37.5 cm).

� _\Â�_Â\��\<�_¯�£\<Â_¯� ¹c*ab - (A’

s1 + A’

s2 + A’

s3) * 0.85 f ’

c

+ A’s1

fy + A’

s2 f ’

s2 + A’

s3 f ’

s3 – A

s4 f

s4 – A

s5 f

s5]

782 430 = 11 126.50 *c - 10 924.20 + 5*5.1*4 200 + 2*5.1*6 000

* (c – 17.50) / c + 2*5.1*6 000 * (c-27.5) / c - 2*5.1*6 000 * (37.5

– c) / c - 5*5.1*6 000 * (47.5 – c) / c

11 126.50 * c2 – 349 654.97 * c –12 316 500.00 = 0 � c = 52.51 cm

El eje neutro no está localizado en la sección estimada. Todo el

refuerzo está trabajando a compresión, para un cálculo exacto hay que

367

replan tear la ecuación de equilibrio considerando que todas las cinco

capas de refuerzo desalojan concreto a compresión.

� _\Â�_Â\�\<�_¯�£\<Â_¯� ¹c*ab – (A’

s1+A’

s2 + A’

s3 + A’

s4 + A’

s5) * 0.85 f ’

c

+ A’s1

fy + A’

s2 f ’

s2 + A’

s3 f ’

s3 + A’

s4 f ’

s4 + A’

s5 f ’

s5]

11 126.50 * c2 – 358 151.57 * c –12 562 830.00 = 0 ��c=53.35 cm

��a = 45.35 cm

f ’s1

= 4 200 kgf/cm2, f ’s2

= 4 031.87 kgf/cm2,

f ’s3

= 2 907.22 kgf/cm2, f ’s4

= 1 782.57 kgf/cm2,

f ’s5

= 657.92 kgf/cm2

Momento respecto al centro plástico:

Mu = ��£�\<Â_�� ¹

c ab (h/2 – a/2) + A’

s1 f ’

s1 (h/2 – 7.50) + A’

s2 f ’

s2

(h/2 – 17.5) + A’s3

f ’s3

(h/2 – 27.50) – A’s4

f ’s4

(h/2 – 17.50) –

A’s5

f ’s5

(h/2 – 7.50) - A’s1

* 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’

s2 * 0.85

f ’c (h/2 – 17.50) – A’

s3 * 0.85 f ’

c (h/2 – 27.50) + A

s4 * 0.85 f ’

c

(h/2 – 17.50) + As5

* 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) ]

Mu = �� £\<Â_¯?Â\¯�_<~_'¯__¯[?�<_� �� _<~_� �� ?`� �� _¯_<'¯�� ?\\��

*(20) + 2*5.1*4 031.87*(10) + 2*5.1*2 907.22*(0)– 2

*5.1 *1 782.57*(10) – 5*5.1*657.92*(20) – 5*5.1*0.85

*280 *(20) –2*5.1* 0.85*280*(10) – 2*5.1*0.85*280

*(0) + 2*5.1*0.85*280*(10) + 5*5.1*0.85*280*(20)]

Mu = 31.85 t-m, e = M

u / P

u = 6.26 cm

Evaluación de la condición Pu = P

mín.

� es igual a 0.65 para valores de Pu superiores o iguales a P

u mín

= 0.10

*f ’c*bh = 0.10*280*55*55 = 84 700 kgf. En este caso P

u min

< Pb con-

trola la tracción, la capa N.o 5 del refuerzo fluye, fs5

= 4 200 kgf/cm2.

Luego de varias aproximaciones se deduce que el eje neutro se loca-

liza entre la segunda y tercera capa de refuerzo (17.5 cm � cb � 27.5 cm)

y que el refuerzo de las capas cuarta y quinta esta en fluencia.

368

� Â��\\��\<�_¯�£\<Â_¯� ¹c*ab – (A’

s1 + A’

s2) * 0.85 f ’

c + A’

s1 f ’

s1

+ A’s2

f ’s2

+ A’s3

f ’s3

– As4

fs4

– As5

fs5

]

134 461.54 = 11 126.50 * c – 8 496.60 + 5*5.1*6 000 * (c - 7.5) /

c + 2*5.1*6 000* (c – 17.50) / c + 2*5.1*6 000 *(c – 27.5) /

c – 2*5.1*4 200 – 5*5.1 * 4 200

11 126.50 * c2 – 13 344.29 * c – 3 901 500.00 = 0 � c = 19.36 cm,

a = 16.43 cm

f ’s1

= 3 672 kgf/cm2, f ’s2

= 568 kgf/cm2,

f ’s3

= - 2 536 kgf/cm2 (tracción), fs4

= 4 200 kgf/cm2,

fs5

= 4 200 kgf/cm2

Mu = ��£�\<Â_�� ¹

c ab (h/2 – a/2) + A’

s1 f ’

s1 (h/2 – 7.50) + A’

s2 f ’

s2 (h/2

– 17.5) + A’s3

f ’s3

(27.5 – h/2) + A’s4

fy (37.5 – h/2) + A’

s5 f

y

(47.5 – h/2) - A’s1

* 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’

s2 * 0.85 f ’

c (h/2 –

17.50)]

Mu = ��£�\<Â_�¯�?Â\�¯�'�<�~�¯�__�¯�[?�<_��'�<�~�?`��_�¯�_<'�¯�~�

672 *(20) + 2 * 5.1 * 568 * (10) + 2 * 5.1 * 2 536 * (0) + 2

* 5.1 * 4 200 * (10) +5 * 5.1 * 4 200 * (20) – 5 * 5.1 * 0.85

* 280 * (20) – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 *(10)]

Mu = 55.27 t-m

Evaluación de la condición Pu = 0.

Luego de varias aproximaciones se deduce que el eje neutro se loca-

liza entre la primera y segunda capa de refuerzo (7.5 cm � cb � 17.5 cm)

y que el refuerzo de la tercera, cuarta y quinta capa están en fluencia.

0.85*f ’c*ab – A’

s1 * 0.85 f ’

c + A’

s1 f ’

s1 = A

s2 f ’

s2 + A

s3 f ’

s3 –

As4

fs4

– As5

fs5

369

11 126.50 * c – 6.049 0 + 5*5.1*6 000 * (c – 7.5) / c = 2*5.1*

6 000* (17.5 - c) / c + 2*4 200 + 2*5.1*4 200 + 5*5.1 * 4 200

11 126.50 * c2 + 15 531.00 * c – 2 218 500.00= 0 � c=13.44 cm,

a = 11.424 cm

f ’s1

= 2 651.79 kgf/cm2, fs2

= 1 812.50 kgf/cm2,

fs3

= fs4

= fs5

= 4 200 kgf/cm2

Se toma momento en la capa cinco del refuerzo:

Mu

= ��£\<Â_�� ¹c ab(47.5 – a/2) + A’

s1 f ’

s1 (40) - A

s2 f

s2 (30) + A

s3 f

y

(20) + As4

fy (10) - A’

s1 * 0.85 f ’

c (40)]

Mu = �� £�\<Â_¯?Â\¯''<�?¯__¯[��<_��''<�?�?`��_¯_<'¯?��_'<�´�

*(40) - 2*5.1*1 812.50*(30) + 2*5.1*4 200*(20) + 2*5.1*

4 200*(10) – 2*5.1* 0.85*280*(40) ]

� = 0.90, Mu = 6.18 t-m

Solución con el programa de la PCACOL:

370

d’ = 6.00 cm d = h – d’ = 40.00 – 6.00 = 34.00 cm

Análisis de la profundidad del eje neutro para la condición

balanceada.

Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:

cb = 20 cm, /’

s = 0.0021

En consecuencia:

a = .1 c

b = 0.85 * 20 = 17 cm

f ’s = /’

s * E

s = 4 200 kgf/cm2

Ejercicio 4

Se desea diseñar la columna del Ejercicio 1 aplicando el método de

la superficie de falla. El acero de refuerzo se dispone en dos filas pa-

ralelas a “b” que estarán ubicadas a 6.0 cm del borde de la sección.

Es = 2 000 000 kgf/cm2.

371

La solución por el método de la superficie de falla es un proceso

iterativo en el cual hay que suponer el refuerzo y buscar la cantidad que

satisface la ecuación del método con precisión aceptable.

Para iniciar se asume una cuantía del 2.00% .

As total

= 0.020 * 30 * 40 = 24 cm2, As = A’

s = 12.00 cm2

Pu máx

=0.80 * �+¯�£\<Â_� ¹c*(bh–A

s total

)+As total

*fy] = 161,572.32 kgf

> 100 000 kgf

Pu > P

bx � controla la compresión

Para este caso, el momento Muy

= 0 � no hay necesidad de calcular

el Mby

.

Cálculo del momento Mbx

respecto al centro plástico.

Pu = ��£�\<Â_�¯�� ¹

c * ab + A’

s f ’

s – A

s f

s ]

Mbx

= ��£�\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s f ’

s * (h/2 - d’) + A

s * f

s

* (h/2 - d’)]

Mbx

� ��\<�_¯�£\<Â_¯?'\¯'�¯~\�¯�[?\��Â<_`��'?¯��?\\¯'��'?¯��

4 200*14]

Mbx

= 1 597 766.63 kgf-cm

Cálculo de Po:

Po = ��¯�£\<Â_�� ¹

c * (bh – A

s total

) + As total

* fy] = 201 965.54 kgf

Aplicación de la ecuación de la superficie de falla:

372

La solución no es satisfactoria, tiene un error del 14.8%; para au-

mentar el valor de la expresión anterior debe disminuirse el denomina-

dor, lo cual se logra reduciendo la cantidad de acero. Se selecciona ahora

una cuantía del 1.5%.

Se reduce la cuantía al 1.5% buscando que la expresión de la super-

ficie de falla se aproxime a la unidad con precisión aceptable.

As total

= 0.015*30*40 = 18.00 cm2 As = A’

s = 9.00 cm2

Pu máx

=0.80 �+¯£\<Â_�f ’c * (bh – A

s total

) + As total

* fy] = 149 025.24 kgf

> 100 000 kgf



Pu = ��£�\<Â_�¯�� ¹

c * ab + A’

s f ’

s - A

s f

s ]

Mbx

= �+£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s f ’

s * (h/2 - d’) + A

s * f

s *

(h/2 - d’)]

Mbx

��\<�_¯�£\<Â_�¯�?'\�¯�'��¯~\�¯�[?\��Â<_`��´¯��?\\¯'��´�¯

4 200*14]

Mbx

= 1 368 446.63 kgf-cm

Po = ��¯�£\<Â_�� ¹

c * (bh – A

s total

) + As total

* fy] = 186 281.55 kgf

373

El error con respecto a la solución exacta del Ejercicio 1 es mínimo,

la solución es correcta. As total

= 18 cm2.

Ejercicio 5

Se desea diseñar la columna del Ejercicio 2 aplicando el método de la

superficie de falla. El acero de refuerzo se dispone en dos filas paralelas

a “b” que estarán ubicadas a 6.0 cm del borde de la sección. Es = 2 000

000 kgf /cm2.

d’ = 6.00 cm d = h – d’ = 40.00 – 6.00 = 34.00 cm

Análisis de la profundidad del eje neutro para la condición

balanceada


cb = 20 cm, /’

s = 0.0021

En consecuencia:

a = .1 c

b = 0.85 * 20 = 17 cm

f ’s = /’

s * E

s = 4.200 kgf/cm2

374

La solución por el método de la superficie de falla es un proceso

iterativo en el cual hay que suponer el refuerzo y buscar la cantidad que

satisface la ecuación del método con precisión aceptable.

Para iniciar se asume una cuantía del 3.00%.

As total

= 0.030 * 30 * 40 = 36 cm2, As = A’

s = 18.00 cm2

Pu máx

=0.80 * ��¯�£\<Â_�� ¹c*(bh – A

s total

) As total

* fy] = 186 666.48 kgf

> 30 000 kgf

Pu < P

bx � controla la tracción



Pu = ��£�\<Â_�¯�� ¹

c * ab + A’

s f ’

s - A

s f

s ]

Mbx

= ��£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s f ’

s * (h/2 - d’) + A

s * f

s *

(h/2 - d’)]

Mbx

��\<�_¯�£\<Â_¯?'\¯'�¯~\�¯�[?\��Â<_`��'Â¯��?\\¯'��'Â¯��

4 200*14]

Mbx

= 2 056 406.63 kgf-cm

Para este caso, el momento Muy

= 0 � no hay necesidad de calcular

el Mby

.

Cálculo de Po:

Po = – � * A

s total

* fy = - 98 280.00 kgf


375

La solución no es satisfactoria, tiene un error del 15.9%, para reducir

el valor de la expresión anterior debe aumentarse el valor del denomina-

dor, lo cual se logra aumentando la cantidad de acero.

Se aumenta la cuantía al 3.5% buscando que la expresión de la su-

perficie de falla se aproxime a la unidad con precisión aceptable.

As total

= 0.035*30*40 = 42.00 cm2 As = A’

s = 21.00 cm2

Pu máx

=0.80 *��̄ £\<Â_�f ’c * (bh – A

s total

)+As total

*fy] = 199 213.56 kgf

> 30 000 kgf



Pu = ��£�\<Â_�¯�� ¹

c * ab + A’

s f ’

s - A

s f

s ]

Mbx

= ��£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s f ’

s * (h/2 - d’) + A

s * f

s *

(h/2 - d’)]

Mbx

� ��\<�_¯�£\<Â_¯?'\¯'�¯~\�¯�[?\��Â<_`��?'¯��?\\¯'��?'¯�

4 200*14]

Mbx

= 2 285 726.63 kgf-cm

Pu < P

bx � controla la tracción

Po = – �+* A

s total

* fy = -114 660.00 kgf

El error con respecto a la solución exacta del Ejercicio 2 es mínimo,

la solución es correcta. As total

= 42 cm2.

376

Ejercicio 6

Se desea revisar si el diseño de una columna corta con estribos, cuya

sección y propiedades se indican, es apropiada para las solicitaciones in-

dicadas, la columna ha sido reforzada con 8 barras N.o 8 (As = 40.80 cm2).

El análisis se hará por el método de la superficie de falla.

Pu máx

=0.80* ��£\<Â_�̄ �� ¹c * (bh – A

s total

)+As total

* fy ]=430 585.79 kgf

> 230 000 kgf

Análisis de la flexión sobre el eje X, para condiciones balanceadas

(b = 70 cm, h = 40 cm)


cb = 20 cm, /’

s = 0.0021, /’

s1 = 0.0000

En consecuencia:

a = .1 c

b = 0.85 * 20 = 17 cm

f ’s = e’

s * E

s = 4 200 kgf/cm2

f ’s1

= e’s1

* Es = 0.00 kgf/cm2

377

Mbx

= ��£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 – a/2) + A’

s* f ’

s * (h/2 – d’) + A’

s1*

f ’s1

* (h/2 - d1’) + A

s* f

s * (h/2 - d’)]

Mbx

��\<�_�¯�£\<Â_�¯�?Â\�¯�'��¯��\�¯�[?\��Â<_`��'_<~�¯��?\\�¯�'��

+ 10.2 * 0.00 * 0.00 + 15.3 * 4 200 * 14]

Mbx

= 3 286 601.50 kgf-cm

Análisis de la flexión sobre el eje Y, para condiciones balanceadas

(b = 40 cm, h = 70 cm)


cb = 37.647 cm, /’

s = 0.00252, /’

s1 = 0.000211

En consecuencia:

a =.1 c

b=0.85 * 37.647=32.00 cm

f ’s = /’

s * E

s = 4 200 kgf/cm2

fs1

= /s1

* Es = 421.87 kgf/cm2

Mby

= ��£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s f ’

s * (h/2 - d’) + A

s1 f

s1 *

(h/2 - d1) + A

s * f

s * (h/2 - d’)]

Mby

� ��\<�_�¯�£\<Â_�¯�?Â\�¯�~?�¯��\�¯�[~_��'�`��'_<~�¯��?\\�¯�?´

+ 10.2 * 421.87 * 0.00 + 15.3 * 4 200 * 29]

Mby

= 6 184 906.00 kgf-cm

378

Cálculo de Pb por interpolación

Hay necesidad de interpolar por ser Pbx

0 Pby

� = arc tg (Muy

/Mux

) = 5.33°

+ Pb = 184 917.55 kgf P

u > P

nb � controla la compresión

Cálculo de Po:

Po = ��¯�£\<Â_�� ¹

c * (bh – A

s total

) + As total

* fy] = 538 232.24 kgf


Solución satisfactoria.

En la siguiente figura se puede ver el resultado obtenido utilizando

el programa de la PCACOL, para el cual se obtuvo una cuantía de diseño de

1.46%, que corresponde a un área del refuerzo de 40.80 cm2, valor exacto

al obtenido por el método de la superficie de falla.

379

Ejercicio 7

Se desea revisar si el diseño de una columna corta con estribos, cuya sec-

ción y propiedades se muestran, es apropiada para las solicitaciones indi-

cadas, la columna ha sido reforzada con 8 barras N.o 7 (As = 30.96 cm2).

El análisis se hará por el método de la superficie de falla.

Pu máx

=0.80 *��£\<Â_¯�� ¹c*(bh – A

s total

)+As total

* fy ] = 286 553.03 kgf

> 70 00 kgf

Análisis de la flexión sobre el eje X para condiciones balanceadas,

(b = 60 cm, h = 30 cm)

380


cb = 14.12 cm, /’

s = 0.001725, /

s1 = 0.000188

En consecuencia:

a = .1 c

b = 0.85 * 14.11 = 12.00 cm

f ’s = /’

s * E

s = 3 445.00 kgf/cm2

fs1

= /s1

* Es = 375.00 kgf/cm2

Mbx

= ��£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s * f ’

s * (h/2 - d’) + A

s1 *

fs1

* (d1- h/2) + A

s * f

s * (h/2 - d’)]

Mbx

� ��\<�_¯�£\<Â_¯?Â\¯'?¯�\�¯�['_��`��''<�'¯~��_¯´��<��

* 0375.00 * 0.00 + 11.61*4 200*9]

Mbx

= 1 521 692.93 kgf-cm

Análisis de la flexión sobre el eje Y, para condiciones balanceadas

(b = 30 cm, h = 60 cm)


cb=31.765 cm, /’

s=0.002433, /’

s1=0.000167

En consecuencia:

a = .1 c

b = 0.85 * 31.764 = 27.00 cm

f ’s = /’

s * E

s = 4 200 kgf/cm2

f ’s1

= /’s1

* Es =333.33 kgf/cm2

381

Mby

= ��£\<Â_�� ¹c* a

* b * (h/2 - a/2) + A’

s f ’

s * (h/2 - d’) + A’

s1 f ’

s1

* (h/2 - d’1) + A

s * f

s * (h/2 - d’)]

Mby

� ��\<�_�¯�£\<Â_�¯�?Â\�¯�?��¯�~\�¯�[~\��'~<_`��''<�'�¯��?\\�

* 24 + 7.74 * 333.33 * 0.00 + 11.61 * 4 200 * 24]

Mby

= 3 588 939.90 kgf-cm

Cálculo de Pb por interpolación

Hay necesidad de interpolar por ser Pbx

0 Pby

� = arc tg (Muy

/Mux

) = 30.256°

Pb = 111 593.79 kgf P

u < P

b � controla la tracción

Cálculo de Po

Po = – � *A

s total

* fy = – 84 520.80 kgf

Aplicación de la ecuación de la superficie de falla

Solución satisfactoria.

382

En la siguiente figura se puede ver el resultado obtenido utilizando

el programa de la PCACOL, para el cual se obtuvo una cuantía de diseño de

1.72%, que corresponde a un área del refuerzo de 30.86 cm2, valor exacto

al obtenido por el método de la superficie de falla.

383

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