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ESCUELA POLITCNICA DEL EJRCITO

INGENIERA ELECTROMECNICA

GALO FABARA SEXTO ELECETROMECNICA

DEBER N6

TEMA: Ejercicios del captulo 2 (Modelado mecnico en el dominio de la frecuencia).

OBJETIVO GENERAL Realizar el cuestionario de las preguntas de repaso que se presentan en captulo 2.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Resolver los ejercicios propuestos en el libro de Norman S. Nise.

Aplicar los conceptos aprendidos en clase.

Responder las preguntas correctamente.

RESUMEN La resolucin de ejercicios en sistemas mecnicos es muy parecida a los elctricos ya que lo

primordial es ubicar los elementos a trabajar con orden y as de esta manera empezar a plantear la

matriz del sistema. De esta forma obtendremos la ecuacin caracterstica de dicho sistema en que

estemos enfocando el trabajo.

ABSTRACT

The resolution of exercises on mechanic systems is almost the same than electric system, first of

all we must localize the elements to work with an order by this way we can begin to solve the

systems matrix. Then well get the equation characteristic of that system where we are working .

MARCO TERICO

FUNCION DE TRANSFERENCIA

Una funcin de transferencia es un modelo matemtico que a travs de un cociente relaciona la

respuesta de un sistema (modelada) a una seal de entrada o excitacin (tambin modelada). En

la teora de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las

relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante

ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

La podemos definir formalmente como:

La funcin de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el

cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada,

bajo la suposicin de que las condiciones iniciales son nulas.

El pico formado por los modelos de la seal de salida respecto de la seal de entrada, permite

encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las races en las que cada uno

de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la regin frontera a la que no




debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitacin al mismo; ya que de lo contrario llegar

ya sea a la regin nula o se ir al infinito, respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitacin al sistema tarda un tiempo en generar

sus efectos en el sistema en cuestin y que ste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta

condicin es vista a travs de un proceso de convolucin, formado por la excitacin de entrada

convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un

intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolucin), se tiene que observar que la

funcin de transferencia est formada por la deconvolucin entre la seal de entrada con el

sistema. Dando como resultado la descripcin externa de la operacin del sistema considerado. De

forma que el proceso de contar con la funcin de transferencia del sistema a travs de la de

convolucin, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la seudoinversa de la matriz o

vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del

sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que

la convolucin discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una

matriz o vector mvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

Uno de los primeros matemticos en describir estos modelos fue Laplace, a travs de su

transformacin matemtica.

Por definicin una funcin de transferencia se puede determinar segn la expresin: donde H (s)

es la funcin de transferencia (tambin notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de

la respuesta y X (s) es la transformada de Laplace de la seal de entrada.

La funcin de transferencia tambin puede considerarse como la respuesta de un sistema

inicialmente inerte a un impulso como seal de entrada:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

y la respuesta como funcin del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):




Cualquier sistema fsico (mecnico, elctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores

matemticos a travs de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a

valores concretos. Por ejemplo, en anlisis de circuitos elctricos, la funcin de transferencia se

representa como:

DESARROLLO 23. Encuentre la funcin de transferencia, G(s) = X1(s)/F(s), para el sistema mecnico de la

traslacin que se ilustra en la figura.

(s2+s+1)X1(s) -X2(s) = 0 (1)

-X1(s) +X2(s) = F(s) (2)

De (1)

X2(s)=(s2+s+1)X1(s)

En (2)

(s2+s)X1(s) = F(s)

Entonces:

24. Encuentre la funcin de transferencia G(s) = X2(s)/F(s), para la red mecnica traslacional que

se encuentra en la figura.

(s 2 + s + 1)X1 (s) (s + 1)X2 (s) = F(s) (s + 1)X1(s) + (s2 + s + 1)X2(s) = 0




[

]

[

]

Entonces:

25. Encuentre la funcin de transferencia, G(s) = X2(s)/F(s), para el sistema mecnico de la

traslacin que se ilustra en la figura. (Sugerencia: ponga una masa cero en X2(t).)

2x1(s) 2x2 (s) = F(s) 2X1(s) + (5s + 2)X2(s) 5sX3(s) = 0 5sX2 (s) + (10s2 + 7s)X3(s) = 0

[

]

[

]

Entonces:




26.- Para el sistema de la figura 2.12, encuentre la funcin de transferencia G(s)=X1(s)/F(s)

[

] [

[ ]

[ ]

] *

+

[

]

[

]

27.- Encuentre la funcin de transferencia G(s)=X3(s)/F(s), para el sistema mecnico traslacional

que se muestra en la figura P2.13




[

]

[

]

28.- Encuentre la funcin de transferencia X3(s)/F(s) para cada uno de los sistemas que se

muestran en la figura P2.14




a.

|

|

|

|

( )

b.

|

|

|

|




29. Escriba, pero no resuelva, las ecuaciones de movimiento para el sistema mecnico

traslacional que se muestra en la figura P2.15

[

] [

[ ]

[ ]

] [

]

=0

=




ANALISIS DE RESULTADOS Podemos definir a un modelo matemtico como un conjunto de ecuaciones con las que

representamos dentro del sistema mecnico con precisin su funcin de transferencia, con lo cual

vemos la aplicacin aproximada del modelo fsico mediante los clculos matemticos

correspondientes a cada ejercicio o sistema con el que estemos tratando, siendo estos mecnicos

para la actividad.

CONCLUSIONES

Al realizar la funcin de transferencia comprendemos el funcionamiento, y la

funcin que realiza el sistema mecnico a estudiar.

La funcin de transferencia nos facilita los clculos pero se pierde informacin.

Un sistema mecanico que puede ser representado por una ecuacin diferencial

lineal e invariante con el tiempo se puede modelar como una funcin de

transferencia.

RECOMENDACIONES

Organizar la matriz de ecuaciones caractersticas del sistema.

Minimizar los procesos para obtener la funcin.

Trabajar en el dominio de la frecuencia.

BIBLIOGRAFA NORMAN S. NISE. (2006). SISTEMAS DE CONTROL PARA INGENIERA TERCERA

EDICIN. CIUDAD DE MEXICO. EDITORIAL CONTINENTAL.

www.wikipedia.com

http://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/laplace.pdf




DEBER N7

TEMA: Resolucin de los ejercicios del captulo 2 (Modelado en el dominio de la frecuencia).

OBJETIVO GENERAL Resolver los ejercicios que se plantean al final del captulo.

OBJETIVOS ESPECFICOS Leer todo el captulo 2 del libro gua de trabajo es decir Norman S. Nise.

Revisar la resolucin de circuitos por mallas y nodos.

Utilizar el software MATLAB.

Resolver los ejercicios.

RESUMEN Aplicamos la funcin de transferencia al modelo matemtico de circuitos elctricos, que incluyen

redes pasivas y circuitos con amplificadores operacionales. Abarcando sistemas mecnicos y

electromecnicos.

Las funciones de transferencia se obtienen mediante la ley de corrientes de Kirchhoff y sumando

las corrientes que influyen de los nodos. Este mtodo se lo conoce como anlisis de nodos.

Estudiaremos mtodos como la funcin de transferencia en el domino de la frecuencia y

ecuaciones en el dominio del tiempo.




ABSTRACT

We apply the transfer function to the mathematical model of electric circuits, including passive

networks and circuits with operational amplifiers. Encompassing mechanical and

electromechanical systems.

The transfer functions are obtained by Kirchhoff's current law and summing currents influencing

nodes. This method is known as analysis nodes.

We will study methods such as the transfer function in the frequency domain and equations in the

time domain.

MARCO TERICO

FUNCION DE TRANSFERENCIA

MatLab es una potente herramienta para el anlisis de sistemas descritos por funciones de

transferencia.

La funcin de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo, relaciona la

transformada de Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada en un sistema

de ecuaciones diferenciales a condiciones iniciales nulas. En forma genrica se representa de la

siguiente forma:

En sistemas reales o fsicamente realizables m




% Introducir una funcin de transferencia polinmica

b) g=zpk(z,p,k)

Donde z es un vector que contienen los ceros del numerador de G(s), p es un vector que tiene

los polos de G(s) y k es la ganancia esttica de G(s)

Ejemplo de sintaxis en MatLab

%Cargar en Matlab una G(s) que tiene ceros en -1 y -2, polos en -10, -3+/-3i

% y ganancia esttica k=5

c) s=tf(s)

A partir de esta instruccin de puede utilizar la s en las expresiones polinmicas de G(s) para que

Matlab las interprete como funciones de transferencia.

Ejemplo de sintaxis en MatLab

% Introducir una funcin de transferencia polinmica




LCK. Ley de corrientes de Kirchhoff.

La ley de corrientes de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las corrientes hacia un nodo

es cero en todo instante.

Es importante mencionar las direcciones de las corrientes, a las corrientes salientes del nodo se les

considera corrientes negativas y a las entrantes positivas.

El primer paso para analizar un circuito es asignar las direcciones de las corrientes en cada

resistencia en el sentido que creamos es correcto, en caso de haber equivocado el sentido el

anlisis nos dar una corriente negativa, esto no indica un error grave, solo que el sentido de la

corriente es en sentido contrario al asignado. Una vez hecho esto se le asigna una cada de tensin

o voltaje en cada resistencia.

LVK. Ley de voltajes de Kirchhoff.

La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero

en todo instante.

La palabra algebraica indica la dependencia respecto a la polaridad de los voltajes que se

encuentran al recorrer la trayectoria.

El sentido de la polaridad se le asigna por convencin pasiva, y depende del sentido de la corriente

que se le asigne a la resistencia.

RESOLUCIN DE CIRCUITOS

Anlisis por mallas

Supongamos que tenemos el siguiente circuito




Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:

Anlisis por nodos

Se hace de igual forma que con redes resistivas.




DESARROLLO 5.- Utilice el MATLAB y las rutinas de matemtica simblica para hallar la transformada de

Laplace de las siguientes funciones de tiempo.

a) f(t)=5t2 cos(3t+45o)

syms t f=5*t^2*cos(3*t+45); pretty(f) F=laplace(f); F=simple(F); pretty(F)

b)f(t)=5t e-2t Sen(4t+60o)

syms t f=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+60); pretty(f) F=laplace(f); F=simple(F); pretty(F)

12.- Utilice el MATLAB para generar funcin de transferencia

En las siguientes formas:

a) El cociente de factores

b) El cociente de polinomios




Programa:

'Factored' Gzpk=zpk([-15 -26 -72],[0 -55 roots([1 5 30])' roots([1 27 52])'],5) 'Polynomial' Gp=tf(Gzpk)

Literal a)

Literal b)

17.- Encuentre las funciones de transferencia G(s)=VL(s)/V(s), para cada red que se muestra en

la figura.

(s+1)I1(s) I2(s) = Vi(s) (1) VL(s) = sI2(s). -I1(s) + (s+2)I2(s) = 0 (2)

De (2)

I1(s) = (s+2)I2(s). de (3)

En (1) VL(s)/Vi(s) = s/(s2 + 3s + 1)

(s+1)(s+2)I2(s) I2(s) = Vi(s)

I2(s)/Vi(s) = 1/(s2 + 3s + 1) (3)




(

) (

)

(

) (

)

|

|

|

|

Entonces:

VL(s)=2s I2(s)

21.-Encuentre para cada uno de los circuitos amplificadores operacionales

que ilustra en la figura




22.- Encuentre la funcin de transferencia G(s)=Vo(s)/Vi(s) para cada uno de los circuitos

amplificadores operacionales que se ilustra en los grficos.




EJEMPLO 2.14

Funcin de transferencia y circuito amplificador operacional inversor.

PROBLEMA: Encuentre la funcin de transferencia, , para el circuito dado en la figura.

La funcin de transferencia del circuito amplificador operacional est dada por la ecuacin:

EJEMPLO 2.15

Funcin de transferencia y circuito amplificador operacional no inversor.

PROBLEMA: Encuentre la funcin de transferencia, , para el circuito dado en la figura.




(

)

(

)

(

) (

)

(

)




ANALISIS DE RESULTADOS Hallamos la funcin de transferencia en cada circuito planteado utilizando resolviendo los circuitos

ya sea por el mtodo de nodos o mallas. Hemos obtenido un modelo satisfactorio de una red fsica

como funcin de transferencia.

CONCLUSIONES

Las funciones de transferencia se pueden obtener si se usa las leyes de Kirchhoff y

se suman voltajes alrededor de las mallas.

En cualquier problema que se plantea lo que se debe determinar primero es ver

cual es la entrada y cual es la salida.

RECOMENDACIONES Realizar de forma ordenada los clculos para evitar confusin.

Utilizar las tablas para facilitar las transformadas.

Resolver los circuitos de forma matricial.

BIBLIOGRAFA NORMAN S. NISE. (2006). SISTEMAS DE CONTROL PARA INGENIERA TERCERA EDICIN.

CIUDAD DE MEXICO. EDITORIAL CONTINENTAL.

http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/

apunte%20matlab%20parte1%20y%202.pdf




Contenido DEBER N6 ................................................................................................................................... 1

TEMA: .............................................................................................................................................. 1

Preguntas de Repaso Captulo 2. .................................................................................................... 1

OBJETIVO GENERAL ......................................................................................................................... 1

OBJETIVOS ESPECFICOS .................................................................................................................. 1

RESUMEN ........................................................................................................................................ 1

ABSTRACT ........................................................................................................................................ 1

MARCO TERICO ............................................................................................................................. 1

FUNCION DE TRANSFERENCIA ........................................................................................................ 1

DESARROLLO ................................................................................................................................... 3

ANALISIS DE RESULTADOS ............................................................................................................... 9

CONCLUSIONES ............................................................................................................................... 9

RECOMENDACIONES ....................................................................................................................... 9

BIBLIOGRAFA .................................................................................................................................. 9

DEBER N7 ..................................................................................................................................... 10

TEMA: ............................................................................................................................................ 10

OBJETIVO GENERAL ....................................................................................................................... 10

OBJETIVOS ESPECFICOS ................................................................................................................ 10

RESUMEN ...................................................................................................................................... 10

ABSTRACT ...................................................................................................................................... 11

MARCO TERICO ........................................................................................................................... 11

DESARROLLO ................................................................................................................................. 15

ANALISIS DE RESULTADOS ............................................................................................................. 23

CONCLUSIONES ............................................................................................................................. 23

RECOMENDACIONES ..................................................................................................................... 23

BIBLIOGRAFA ................................................................................................................................ 23

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