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17/08/03 Jorge Baralt-Torrijos 1

Teoría Axiomática General de Agregados (VI)

Jorge Baralt-Torrijos

Universidad Simón BolívarAgosto 2003


Contenido Axioma de Membresía Ax. de Clausura de Apareamiento Axioma de Herencia de Elementos Teorema General de Clases Teoremas de Conjuntos


Axioma de Membresía


Df. Mbrs Mbrs = x =a EsRelacion(x)

y (y x a b (y = ParOrd(b)(a) b a))Mbrs =s la relación de membresía


Ax. de Membresía x Mbrs = x


Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio


Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía


Ts. Mbrs x Dom(Mbrs) EsElemento(x) a a x x Rng(Mbrs) EsElemento(x) a x a EsClase(Dom(Mbrs)) EsClase(Rng(Mbrs))


Axioma de Clausura de Apareamiento


Ax. de Clausura de Apareamiento

EsElemento(Par(b)(a))


Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de Apareamiento


Ts. Clausura de Apareamiento (1)

EsConjunto(Par(b)(a)) EsElemento(Atm(a)) EsConjunto(Atm(a)) EsNatZ(x) EsConjunto(x)


Ts. Clausura de Apareamiento (2)

EsElemento(ParOrd(b)(a)) EsConjunto(ParOrd(b)(a)) EsClase(PrC(Y)(X)) EsClase(Mbrs) EsElemento(x) a x a x Rng(Mbrs) EsElemento(x)


Df. Elems Elems =a Rng(Mbrs)

Elems =s el universo de elementos


Ts. Elems x Elems EsElemento(x) EsClase(Elems) EsParte(Elems)(x) EsClase(x) Dom(Mbrs) Elems Union(Y)(X) =UnEn(Elems)(Y)(X) EsClase(Union(Y)(X)) EsClase(Intsc(Y)(X)) EsClase(Dif(X)(Elems)) Dif(Elems)(X) = 0Z


Df. Cmp Cmp(X) =a Union(Rng(X))(Dom(X))

Cmp(X) =s el campo de X


Ts. Cmp Cmp(X) = Cmp(Nucleo(X))


Axioma de Herencia de Elementos


Ax. de Herencia de Elementos x a EsElemento(x)


Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de Apareamiento 12. Herencia de Elementos


Ts. Herencia de Elementos EsAgrupacion(x) EsElemento(x) EsClsX(x) EsAgrupacion(x) EsElemento(x)

EsConjunto(x) EsAgrupacion(x) EsElemento(x) a a x

EsConjunto(x) EsAgrupacion(x) x Dom(Mbrs) EsConjunto(x) EsAgrupacion(x)


Herencia de Elementos

0Z

Integrantes

Minimales Agrupaciones

Maximales

Clases

Agregados

Individuos

Elementos


Df. Cnjnts Cnjnts =a Union(1Z)(Dom(Mbrs)) Cnjnts =s el universo de conjuntos


Ts. Cnjnts EsClase(Cnjnts) x Cnjnts EsConjunto(x)


Ts. de clases (1) EsClase(Dom(X)) EsClase(Rot(X)) EsClase(Trp(X)) EsClase(Inv(X)) EsClase(Rng(X)) EsClase(Nucleo(X))


Ts. de clases (2) EsClase(RstrP(x)(X)) EsClase(RstrS(x)(X)) EsClase(Rstr(x)(X)) EsClase(Img(Y)(x)) EsUnvc(a)(X) EsElemento(Img(X)(a)) EsClase(ImgP(Y)(x)) EsClase(PImg(Y)(x)) EsClase(PImgP(Y)(x))


Teorema General de Clases


Df. PtC PtC(1)(x) =a Dom(PrC(x)(x))

PtC(Suc(Suc(n)))(x) =a PrC(x)(PtC(Suc(n))(x))PtC(Suc(n))(x) =s la potencia cartesiana Suc(n) de x


Ts. PtC EsClase(PtC(Suc(n))(X))


Df. Cmpl Cmpl(Suc(n))(X) =a Dif(X)(PtC(Suc(n))(Elems))

Cmpl(Suc(n))(X) =s el complemento de la potencia cartesiana Suc(n) de X


Ts. Cmpl EsClase(Cmpl(Suc(n))(X)) EsClase(Cmpl(1)(X))


Df. {<x1,x2,…,xn> | (xn) …(x2)(x1)}

{<x1,x2,…,xn> | (xn)…(x2)(x1)} =a {x | x1 x2 … xn (x = <x1,x2,…,xn> (xn)…(x2)(x1))}{<x1,x2,…,xn> | (xn)…(x2)(x1)} =s el agregado de políadas de adicidad n que satisfacen


Ts. de clases (1) Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs) =

{<a1,a2,<b1,b2,…,bm1 >> | a2 a1} Rot(PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs)) =

{<b1,b2,…,bm1,a1,a2 > | a2 a1} X = {<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)}

PrC(Elems)(X) = {<a1,a2,…,an,b> | (an)…(a2)(a1)} Rot(PrC(Elems)(X)) =

{<b,<a1,a2,…,an-1>,an> | (an)…(a2)(a1)} Trp(Rot(PrC(Elems)(X))) =

{<a1,a2,…,an-1,b,an> | (an)…(a2)(a1)}


Ts. de clases (2) X = {<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)}

Y = {<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)} Intsc(Y)(X) =

{<a1,a2,…,an> |(an)…(a2)(a1) (an)…(a2)(a1)} Union(Y)(X) =

{<a1,a2,…,an> |(an)…(a2)(a1) (an)…(a2)(a1)} Dif(X)(PtC(Suc(n))(Elems)) =

{<a1,a2,…,an> | ¬(an)…(a2)(a1)}

Dom(X) = {<a1,a2,…,an-1> | an (an)…(a2)(a1)}


Ts. de clases (3) X = {a1 | a1 X}

PrC(Elems)(X) = {<a1,a2> | a1 X}

PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2 X}


Df. IdE IdE = x =a EsAgregado(x)

y (y x a b (y = ParOrd(b)(a) a = b) IdE =s la identidad de elementos


Ts. IdE (1) Mbrs = {<a1,a2> | a2 a1} PrC(Elems)(Mbrs) = {<a1,a2,a3> | a2 a1} Rot(PrC(Elems)(Mbrs)) = {<a1,a2,a3> | a3 a2} Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))) = {<a1,a2,a3> | a1 a3} Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1 a2} PrC(Elems)(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2,a3> | a1 a2} Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))) = {<a1,a2,a3> | a2 a3}


Ts. IdE (2) Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))

(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ={<a1,a2,a3> | a1 a3 a2

a3} Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))

(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) = {<a1,a2> | a3 (a1 a3 a2 a3)}

Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))))

) ) = {<a1,a2> | a3 (a1 a3 a2 a3)} Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))))

(Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) ) = {<a1,a2> | a1 = a2}


Ts. IdE (3) IdE = Cmpl(2)(Dom(Dif

(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) )

) x IdE = x EsClase(IdE) EsUnvc(x)(IdE)


Ts. IdE (4) Img(IdE)(x) = {a | a x} Img(IdE)(X) = X EsParte(IdE)(x) EsClase(x) EsParte(IdE)(x) EsUnvc(y)(x) EsParte(IdE)(RstrP(x)(IdE)) EsClase(RstrP(x)(IdE)) EsUnvc(y)(RstrP(x)(IdE))


Ts. IdE (5) Img(RstrP(x)(IdE))(y) = {a | a x a y} EsElemento(Img(RstrP(x)(IdE))(a)) EsElemento({b | b x b a}) EsElemento(Intsc(a)(x)) EsParte(a)(x) Intsc(a)(x) = x EsParte(a)(x) EsElemento(x) EsParte(a)(x) EsConjunto(x)


TG. de clases x (EsAgregado(x)

y (y x a1 a2…an (y = <a1,a2,…,an>

(an)…(a2)(a1) ) ) )

EsClase({<a1,a2,…,an> | (an)…(a2)(a1)}) EsClase({a | (a)}) EsClase({x | EsElemento(x) (x)}) EsClase({x | x Elems (x)})


Teoremas de Conjuntos


Ts. de Reemplazo (1) Nucleo(a) = {<a1,a2> | <a1,a2> a}

PrC(Elems)(Nucleo(a)) = {<a1,a2,a3> | <a1,a2> a}

IdE = {<a1,a2> | a1 = a2}

PrC(Elems)(IdE) = {<a1,a2,a3> | a1 = a2}

Rot(PrC(Elems)(IdE)) = {<a1,a2,a3> | a2 = a3}

Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))) = {<a1,a2,a3> | a3 = a1} Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))))

(PrC(Elems)(Nucleo(a))) ={<a1,a2,a3> | <a1,a2> a a3 = a1}


Ts. de Reemplazo (2) x = Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))))

(PrC(Elems)(Nucleo(a))) x = {<a1,a2,a1> | <a1,a2> a}

EsClase(x) EsFuncion(x) EsUnvc(y)(x)

Img(x)(a) = Dom(a) EsElemento(Img(x)(a))

EsConjunto(Dom(a))


Ts. de Reemplazo (3) Nucleo(a) = {<a1,a2> | <a1,a2> a} PtC(2)(Nucleo(a)) =

{<a1,a2,<a3,a4>> | <a1,a2> a <a3,a4> a }

Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))) ={<a1,a2,<a1,a2>> | <a1,a2> a}

Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a)))) ={<a1,a2,<a2,a1>> | <a1,a2> a}


Ts. de Reemplazo (4) x = Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))))

x = {<a1,a2,<a2,a1>> | <a1,a2> a} EsClase(x) EsFuncion(x) EsUnvc(y)(x)

Img(x)(a) = Inv(a) EsElemento(Img(x)(a))

EsConjunto(Inv(a))


Ts. de Reemplazo (5) EsConjunto(Rng(a)) EsConjunto(RstrI(x)(a)) EsConjunto(Img(a)(x))

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