04/10/03Jorge Baralt-Torrijos1 Teoría Axiomática General de Agregados (V) Jorge Baralt-Torrijos...

04/10/03 Jorge Baralt-Torrijos 1

Teoría Axiomática General de Agregados (V)

Jorge Baralt-Torrijos

Universidad Simón BolívarOctubre 2003


Contenido Axioma de Reemplazo Funciones Naturales según Peano Naturales según Zermelo Agregados Bien Fundados Políadas


Axioma de Reemplazo


Df. EsUnvc EsUnvc(y)(x) =a z (z Intsc(y)(Dom(x))

!u (u x EsParOrd(u) z = Prm(u))) EsUnvc(y)(x) =s x es unívoco en y


Ts. EsUnvc EsVacio(Intsc(y)(Dom(x))) EsUnvc(y)(x) EsMinimal(x) EsMinimal(y) EsUnvc(y)(x) EsUnvc(y)(x) z y EsUnvc(z)(x) EsUnvc(y)(x) z x EsUnvc(y)(z)


Ax. de Reemplazo EsUnvc(a)(x) EsClase(Img(x)(a))

EsElemento(Img(x)(a))


Resumen de Axiomas (I) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio


Resumen de Axiomas (II) 9. Reemplazo


Ts. de Reemplazo EsElemento(0Z) EsIntegrante(0Z) EsConjunto(0Z)


El vacío es un conjunto

0Z

Integrantes

Minimales Agrupaciones

Maximales

Clases

Agregados

Individuos

Elementos


Si todo agregado es clase

0Z

Integrantes


Maximales

Clases

Agregados

Individuos

Elementos


El universo de NBG

0Z

Integrantes


Maximales

Clases

Agregados

Individuos

Elementos


Funciones


Df. ResAp ResAp(z)(y)(x) =a u (u z

EsParOrd(u) u = ParOrd(y)(x) )

ResAp(z)(y)(x) =s x es un resultado de aplicar z a y


Ts. ResAp x ResAp(z)(y)(x) y Dom(z)


Df. EstaDef EstaDef(y)(x) =a z ResAp(x)(y)(z)

EstaDef(y)(x) =s x está definido para y


Ts. EstaDef EstaDef(y)(x) y Dom(x)


Df. EstaDet EstaDet(y)(x) =a !z ResAp(x)(y)(z)

EstaDet(y)(x) =s x está determinado para y


Ts. EstaDet EstaDet(y)(x) EstaDef(y)(x)


Df. DomS DomS(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y EstaDet(z)(x))DomS(x) =s el dominio de singularidad de x


Ts. DomS y (y x ¬EsParOrd(y)) DomS(x) = 0Z EsMinimal(x) DomS(x) = 0Z DomS(x) = y EsAgregado(y)

y Dom(x) DomS(Nucleo(x)) = y EsUnvc(y)(x) (EsUnvc(z)(x) Intsc(z)(Dom(x)))

y)


Df. Ap Ap(y)(x) = z =a EstaDet(x)(y) ResAp(y)(x)(z)

Ap(y)(x) =s la aplicación de y a xy(x) =a Ap(y)(x)


Ts. Ap Ap(y)(x) = z ResAp(y)(x)(z) DomS(y) = u x u !z Ap(y)(x) = z


Df. EsFuncion EsFuncion(x) =a EsRelacion(x) EsUnvc(Dom(x))(x)

EsFuncion(x) =s x es una función


Ts. EsFuncion EsFuncion(x) DomS(x) = Dom(x) DomS(x) = Dom(x) EsFuncion(Nucleo(x))


Df. EsOperacion EsOperacion(x) =a EsFuncion(x) EsRelacion(Dom(x))

EsOperacion(x) =s x es una operación


Naturales según Peano


Df. EsFunSuc EsFunSuc(x) =a EsFuncion(x) Rng(x) Dom(x)

EsFuncion(Inv(x)) y (y Dif(Rng(x))(Dom(x))

z (z Dom(x) y z u (u x (Prm(u) z Sgd(u) z))

Dom(x) z ) )

EsFunSuc(x) =s x es una función de sucesión


Ts. EsFunSuc EsFunSuc(x) y Dif(Rng(x))(Dom(x))

z (z Dif(Rng(x))(Dom(x)) z = y) EsFunSuc(x) !y (y Dif(Rng(x))(Dom(x))


Df. Naturales de Peano 0P(x) = y =a EsFunSuc(x)

y Dif(Rng(x))(Dom(x)) 0P(x) =s el cero de Peano de x

1P(x) = y =a EsFunSuc(x) y = x(0P(x))1P(x) =s el uno de Peano de x

… ’P(x) = y =a EsFunSuc(x) y = x(P(x))

’P(x) =s el ’ de Peano de x


Diagrama de función de sucesión

0P(x) 1P(x) 2P(x) 3P(x) 4P(x) x x x x x


Naturales según Zermelo


Df. SucZ SucZ(x) = y =a EsAgregado(y)

z (z y z = x)SucZ(x) =s el sucesor de x según Zermelo


Ts. SucZ SucZ(x) = Atm(x) EsIntegrante(x) y SucZ(x) = y x SucZ(a) = x SucZ(x) = y EsIntegrante(y) EsIndivQ(x) SucZ(x) = x


Df. EsNatZ EsNatZ(x) =a x = 0Z y (EsNatZ(y) x = SucZ(y))

EsNatZ(x) =s x es natural según Zermelo


Ts. EsNatZ SucZ(x) = y y 0Z SucZ(x) = SucZ(y) x = y EsFuncion(x) z (z x EsNatZ(Prm(z))

Sgd(z) = SucZ(Prm(z)) ) EsFunSuc(x)


Df. de naturales Zermelo 1Z =a SucZ(0Z)

2Z =a SucZ(1Z) 3Z =a SucZ(2Z)...’Z =a SucZ(Z)

Z

:

2Z

1Z

0Z

EsMbr


Df. NatZ NatZ = x =a EsAgregado(x) y (y x EsNatZ(y))

NatZ =s los naturales según Zermelo


Agregados Bien Fundados


Df. AgrBnFnd EsAgrBnFnd(x) =a EsVacio(x)

y (y x z (z y z x)) EsAgrBnFnd(x) =s x es un agregado bien fundado


Ts. AgrBnFund EsAgrBnFnd(x) EsAgregado(x) EsVacio(x) EsAgrBnFnd(x) ¬ EsAgrBnFnd(x) EsAgrupacion(x) EsIndividuo(x) x (EsMinimal(x) x y) EsAgrBnFnd(y) ¬ EsAgrBnFnd(x) y (y x EsAgrupacion(y))


Df. AgrNoBnFnd EsAgrNoBnFnd(x) =a EsAgregado(x)

¬ EsAgrBnFnd(x) EsAgrNoBnFnd(x) =s x es un agregado no bien

fundado


Ts. AgrNoBnFnd EsAgrNoBnFnd(x) EsAgrupacion(x)

y (y x z (z y z x)) x x EsAgrNoBnFnd(Atm(x)) x y y x EsAgrNoBnFnd(Par(y)(x)) Atm(x) = x x x x1 x2 x2 x3 … xn-1 xn xn x1

y (y z y = x1 y = x2 … y = xn-1 y = xn) EsAgrNoBnFnd(z)

EsIndivQ(x) EsAgrNoBnFnd(x)


Ts. AgrBnFnd (2) EsNatZ(x) SucZ(x) x EsNatZ(x) x x EsNatZ(x) EsAgrBnFnd(x NatZ = x EsAgrBnFnd(x)


Políadas


Notación de naturales 0 =a 0P(x) 0Z … 1 =a 0P(x) 0Z … 2 =a 0P(x) 0Z … … n =a P(x) Z … Suc(n) =a ’P(x) ’Z …


Df. EsPoliAdi EsPoliAdi(n)(x) =a (¬ EsParOrd(x) n = 1)

(EsParOrd(x) (k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x)) n =Suc(k)))

EsPoliAdi(n)(x) =s x es una políada de adicidad n


Df. Pol Pol(x1) =a x1

Pol(y)(xn)…(x2)(x1) = z =a x = Pol(xn)…(x2)(x1) z = ParOrd(y)(x)

x1,x2,…,xn =a Pol(xn)…(x2)(x1)


Ts. EsPoliAdi ¬ EsParOrd(x) EsPolAdi(1)(x)

EsPolAdi(2)(x,y) EsPolAdi(3)(x,y,z) …


Políadas de adicidad n x1 =a x1

x1,x2 = x1,x2 x1,x2,x3 =a x1,x2,x3 ... x1,x2,…,xn =a x1,x2,…,xn

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