UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD E INGENIERIA CIVIL EAP: INGENIERIA CIVIL

ANALISIS ESTRUCTURAL IIDOCENTE: ING. ANTONIO DOMIGUEZ MAGINO AUTOR: OWNER HABACUC SALVADOR SALAZAR

Obteniendo los desplazamientos encontraremos las fuerzas en las barras

Obteniendo los desplazamientos encontraremos las reacciones

AR=ARS+ARDD

El Mtodo nos propone que el vector ADS incluye : -El efecto de cargas -Temperatura -Deformacin Previa - Desplazamiento de los apoyos

ADS=ADL+ADT+ADP+ADRDel mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija debidas a todas las causas:

AMS=AML+AMT+AMP+AMR ARS=ARL+ART+ARP+ARR

MARCO PLANO

MARCO TRIDIMENSIONAL

Se supone que las fuerzas aplicadas en el marco estn en el plano de la estructura (x-y).

Las cargas pueden ser de cualquier tipo y orientacin (x-y-z)

Se enumeran los nudos y miembros de la estructura

Se enumeran nudos y miembros del mismo modo que en sistemas planos.

Existe la posibilidad de que hayan 03 desplazamientos independientes en cada nudo. Translaciones en las direcciones x-y y giros en el sentido z.

Existe la posibilidad de que hayan 06 desplazamientos independientes en cada nudo; translaciones en x-y-z y las rotaciones en los sentidos x-y-z.

MARCO PLANO El nmero n de grados de libertad se calcula:

MARCO TRIDIMENSIONAL El nmero n de grados de libertad se calcula:

n=3nj-nr

n=6nj-nr

RIGIDECES DE MIEMBROS DE MARCOS EN EL ESPACIOEste es el caso mas general para el anlisis de estructuras. Parte del principio de 6 movimientos (giros y desplazamientos) en cada extremo de las barras que componen la estructura ;para conseguir la rigidez relativa producida debido a dicho movimientos.

Ejemplo de calculo de matriz de rigidez

SM: matriz de rigidez de miembro en la posicinnormal indicada en la figura anterior

SMD: matriz de rigidez de miembro para los ejes de laestructura, es lo mismo que la matriz SM x la matriz de rotacin de ejes R

SMD = SM*RMARCO EN EL ESPACIOk Y j i

i: miembro tpico con cosenos directores positivos J, k: extremos del miembro.X

El calculo de la matriz de rotacin

Z

R depender de la orientacin delos miembros

11 8k

10 7 9 12

5 2 1 4Y j

i

3 6X

11 10 1 4 5 2j i

7k

8 9

Z

12

6Y X Z

3

OBTENCION DE LA MATRIZ RY YM ROTACION DE EJES PARA UN MIEMBRO EN EL ESPACIO

YS Y XM ,Xi j k

: rotacin de XS y zs respecto al eje yS : rotacin de x y y respecto al eje z : rotacin de z y y respecto al eje x

XS X

Z,Z

ZS

YM Y ZM coinciden conZMlos ejes principales de la seccin transversal

OBTENCION DE LA MATRIZ RYS Y

cos

0 sin 1 0 0 cos

R=i j k

0 -sin

XSSon los cosenos directores

Z

X ZS

de los ejes (x, y, z ) con respecto a los ejes (xs, ys, zs )

Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (ix)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz cos =cx/(cx^2+cz^2) sin =cz/(cx^2+cz^2)

OBTENCION DE LA MATRIZ RY Yi j Lo anterior muestra los cosenos directores de los k

XM , X

cos sin 0

R=

-sin cos 0 0 0 1

Z, Z X

ejes (x, y, z ) con respecto a los ejes (x, y, z )

Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (ix)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz y para este caso cos =(cx^2+cy^2) sin =cy

OBTENCION DE LA MATRIZ RYM Yp ZLo anterior muestra los cosenos directores de los ejes finales (xM, yM, zM ) con respecto a los ejes

Y Yp

1

0

0

R=

0 0

cos sin -sin cos

zM

yROTACION DE UN MIEMBRO DE UN MARCO EN EL ESPACIO RESPECTO AL EJE XM

Luego R = R* R* R, remplazando los datosrespectivamente y operando se obtiene la siguiente matriz

-cx

Cy

Cz

R=

(cx*cy cos-czsin)/ (cx^2+cz^2)cos (-cz*cycos+cxsin)/ (cx^2+cz^2) (cx^2+cz^2)

(cx*cy sin-czcos)/ (cx^2+cz^2)sin (cz*cysin+cxcos)/ (cx^2+cz^2) (cx^2+cz^2)

Los cosenos directores de la anterior matriz cx, cy, cz se obtienen fcilmente dependiendo de las caractersticas espaciales de los marcos y siempre debe ser dato del problema. Luego la matriz de rotacin transformada ser:

R

0 R 0 0

0 0 R 0

0 0 0 R

RT=

0 0 0

FINALMENTE:

SMD = RT*SM*RT

Siendo P un punto arbitrario e el plano XM - YM XPS=XP-Xj YPS=YP-Yj ZPS=ZP-ZjLuego:

YM

YS

P (XP, YP, ZP) XM

i j

k

YPS XS

(Xj, Yj, Zj) ZPS XPS ZS ZM

XPY YPY ZPY

= RY*R*

XPS YPS ZPS

LUEGO RELACIONANDO ESTOS DATOS GEOMETRICAMENTE Sin= zpy/(ypy^2+zpy^2) cos= ypy/(ypy^2+zpy^2)

0

Cy 0 0 0 sin cos

RVERT =

-cy*cos -cy*sin

Sin= zps/(xps^2+zps^2) cos= -zps/(xps^2+zps^2)

a.-ingresamos las coordenadas de los nudos

a.-ingresamos otros datos adicionales

c.-Designaciones de miembro, propiedades y orientaciones

d.-Restricciones de nudo

b.-acciones aplicadas a los nudos a.- datos de carga

NUDO 1

NUDO 1

PARA LAS CARACTERISTICAS DEL EJERCICIO

DESPLAZAMINIENTOS DE NUDOS DESCONOCIDOS

Por lo que nos resta calcular ADL (acciones de extremo en la estructura fija correspondiente a los desplazamientos desconocidos y debido a todas las Cargas, excepto aquellos que corresponden a los desplazamientos desconocidos )

a.- hallamos la matriz de rotacin transformada Rt (barra 1)

Donde R=matriz de rotacin

luego

b.- hallamos la matriz de rotacin transformada Rt (barra 2)

Donde R=matriz de rotacin

luego

C.- hallamos la matriz de rotacin transformada Rt (barra 3)

Donde R=matriz de rotacin

luego

NUDO 1

SMD1=NUDO 2

NUDO 3

SMD2=NUDO 1

NUDO 3

SMD3=NUDO 1

AD=ADS+SD (AD-ADS)=SD (S^-1)(AD-ADS)=D

Donde: D{d,1} AD{d,1}

= =

Matriz de Desplazamientos Desconocidos. Matriz de Cargas en la estructura Original asociado a los Di. Matriz de Cargas en la Estructura Fija asociado a los Di. Acciones en la estructura Fija correspondientes a los desplazamientos y valores unitarios de los desplazamientos (COEFICIENTES DE RIGIDEZ) Acciones de extremo de los miembros de la estructura real. m: nmero de acciones de extremo Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos Di. Acciones de extremos debidas a los valores unitarios de los desplazamientos

ADL{d,1} = S{d,d} = debidos a AM{m,1} =

AML{m,1}=

AMD{m,d}= de nudo. AR{r,1} =

Reacciones en los apoyos de la estructura real. Reacciones en la estructura fija debidas a todas las cargas menos a los a los desplazamientos Di. Reacciones de apoyo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de

ARL{r,1} = correspondientes ARD{r,d} = nudo D.