ANALISIS

ESTRUCTURAL

II

ANALISIS

ESTRUCTURAL

II

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN

FACULTAD E INGENIERIA CIVIL

EAP: INGENIERIA CIVIL

IIII

SALVADOR SALAZAR

AUTOR:

OWNER HABACUC

SALVADOR SALAZAR

DOCENTE:

ING. ANTONIO

DOMIGUEZ MAGINO

Obteniendo los desplazamientos encontraremos las fuerzas en las barras

AR=ARS+ARDD

Obteniendo los desplazamientos encontraremos las reacciones

ADS=ADL+ADT+ADP+ADR

El Método nos propone que el vector ADS incluye :-El efecto de cargas -Temperatura-Deformación Previa - Desplazamiento de los apoyos

Del mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija

AMS=AML+AMT+AMP+AMR

ARS=ARL+ART+ARP+ARR

Del mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija debidas a todas las causas:

MARCO PLANO

Se supone que las fuerzas aplicadas en el marco están en el

plano de la estructura (x-y).

MARCO TRIDIMENSIONAL

Las cargas pueden ser de cualquier tipo y orientación (x-y-z)

(x-y).

Se enumeran los nudos y miembros de

la estructura

Existe la posibilidad de que hayan 03 desplazamientos

independientes en cada nudo. Translaciones en las direcciones

x-y y giros en el sentido z.

Se enumeran nudos y miembros del mismo

modo que en sistemas planos.

Existe la posibilidad de que hayan 06 desplazamientos independientes en cada nudo;

translaciones en x-y-z y las rotaciones en los sentidos x-y-z.

MARCO PLANO

El número n de grados de libertad se calcula:

n=3nj-nr

MARCO TRIDIMENSIONAL

El número n de grados de libertad se calcula:

n=6nj-nrn=3n -n

RIGIDECES DE MIEMBROS DE MARCOS EN EL ESPACIO

Este es el caso mas general para el análisis de estructuras.

Parte del principio de 6 movimientos (giros y desplazamientos) en cada

extremo de las barras que componen la estructura ;para conseguir la rigidez

relativa producida debido a dicho movimientos.

Eje

mp

lo d

e c

alc

ulo

de

ma

triz

de

rig

ide

zE

jem

plo

de

ca

lcu

lo d

e m

atr

iz d

e r

igid

ez

SM: matriz de rigidez de miembro en la posición normal indicada en la figura anterior

SMD: matriz de rigidez de miembro para los ejes de la

estructura, es lo mismo que la matriz SM x la matriz de rotación de ejes R

SMD = SM*RMARCO EN EL ESPACIO

Z

X

Yk

ij

i: miembro típico con cosenos

directores positivos

J, k: extremos del miembro.

El calculo de la matriz de rotación

R dependerá de la orientación de

los miembros

ZX

Y

k

i

j

12

3

7

8

9

4

5

10

6

11

7 810

11

12

Z

ZX

Y

k

i

j

1

2

3

9

4

5

6

12

OBTENCION DE LA MATRIZ R

ji k

γα XM

YM

,Xγ

YS

Yβ

YγROTACION DE EJES PARA UN

MIEMBRO EN EL ESPACIO

β: rotación de XS y zs

respecto al eje yS

γ: rotación de xβ y yβj

α ββ

γ

ZM

Xβ

XS

ZS

,ZγZβ

γ: rotación de xβ y yβrespecto al eje zβα: rotación de zγ y yγrespecto al eje xγYM Y ZM coinciden con los ejes principales de la sección transversal

OBTENCION DE LA MATRIZ Rβ

ji k

γ XS

YS

Yβ

Z

cos β 0 sin β

0 1 0

-sinβ 0 cosβ

R β =

ββ

XβZS

Zβ Son los cosenos directores

de los ejes β (xβ, yβ, zβ ) con respecto a los ejes

(xs, ys, zs )

Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (i x)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz

cos β=cx/√(cx^2+cz^2) sin β=cz/√(cx^2+cz^2)

OBTENCION DE LA MATRIZ Rγ

ji k

γ

Yγ Yβ

Z

cosγ sinγ 0

-sinγ cosγ 0

0 0 1R β =

γ , XγXM

, Z

Xβ

Zβ

Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (i x)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz y para este caso

cos γ=√(cx^2+cy^2) sin γ=cy

, Zγ Lo anterior muestra los cosenos directores de los

ejes γ (xγ, yγ, zγ ) con respecto a los ejes

(xβ, yβ, zβ )

OBTENCION DE LA MATRIZ Rα

YMYβ

1 0 0

0 cosα sinα

0 -sinα cosαRα=

Zγ

αYpγ

Ypγ

ROTACION DE UN MIEMBRO DE UN MARCO EN EL ESPACIO

RESPECTO AL EJE XM

Lo anterior muestra los cosenos directores de los

ejes finales ( xM, yM, zM ) con respecto a los ejes

y

zM

α

Luego R = Rα* Rγ* Rβ, remplazando los datos respectivamente y operando se obtiene la siguiente matriz

R=

-cx Cy Cz

(cx*cy cosα-czsinα)/ √(cx^2+cz^2)

√(cx^2+cz^2)cosα (-cz*cycosα+cxsinα)/ √(cx^2+cz^2)R= √(cx^2+cz^2) √(cx^2+cz^2)

(cx*cy sinα-czcosα)/ √(cx^2+cz^2)

√(cx^2+cz^2)sinα (cz*cysinα+cxcosα)/ √(cx^2+cz^2)

Los cosenos directores de la anterior matriz cx, cy, cz se obtienen fácilmente dependiendo de las característi cas espaciales de los marcos y α siempre debe ser dato del problema. Luego la matriz de rotación transformada s erá:

R 0 0 0

0 R 0 0

0 0 R 0RT=

0 0 0 R

FINALMENTE:

SMD = RT’*SM*RT

Siendo P un punto arbitrario e el plano XM - YM

ji k

XM

YMYS

P (XP, YP, ZP)XPS=XP-Xj

YPS=YP-Yj

ZPS=ZP-Zj

Luego:

XPY XPSYj

ZM

XS

ZS

(Xj, Yj, Zj)

XPY

YPY

ZPY

= RY*Rβ*XPS

YPS

ZPS

LUEGO RELACIONANDOESTOS DATOS GEOMETRICAMENTE

Sinα= zpy/√(ypy^2+ zpy^2)

cosα= ypy/√(ypy^2+ zpy^2)

XPS

YPS

ZPS

0 Cy 0

-cy*cosα 0 sinαRVERT =

-cy*sinα 0 cosα

R

Sinα= zps/√(xps^2+ zps^2)

cosα= -zps/√(xps^2+ zps^2)

a.-ingresamos las coordenadas de los nudos

a.-ingresamos otros datos adicionales

c.-Designaciones de miembro, propiedades y orientaciones

d.-Restricciones de nudo

a.- datos de cargab.-acciones aplicadas a los nudos

NUDO 1

NUDO 1

PARA LAS CARACTERISTICAS DEL EJERCICIO

DESPLAZAMINIENTOS DE NUDOS DESCONOCIDOS

Por lo que nos resta calcular ADL (acciones de extremo en la estructura fijacorrespondiente a los desplazamientos desconocidos y debid o a todas lasCargas, excepto aquellos que corresponden a los desplazamientosdesconocidos )

a.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt (barra 1)

luego

Donde R=matriz de rotación

b.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt ( barra 2)

Donde R=matriz de rotación

luego

C.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt ( barra 3)

Donde R=matriz de rotación

luego

SMD1=

NUDO 1

NUDO 2

SMD2=

NUDO 3

NUDO 1

SMD3=

NUDO 3

NUDO 1

A =A +SDAD=ADS+SD

(AD-ADS)=SD

(S^-1)(AD-ADS)=D

Donde:D{d,1} = Matriz de Desplazamientos Desconocidos.

AD{d,1} = Matriz de Cargas en la estructura Original asociado a los “Di”.

ADL{d,1} = Matriz de Cargas en la Estructura Fija asociado a los “Di”.

S{d,d} = Acciones en la estructura Fija correspondientes a los desplazamientos y debidos a valores unitarios de los desplazamientos (COEFICIENTES DE RIGIDEZ)

AM{m,1} = Acciones de extremo de los miembros de la estructura real.m: número de acciones de extremo

AML{m,1}= Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas AML{m,1}= Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos “Di”.

AMD{m,d}= Acciones de extremos debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de nudo.

AR{r,1} = Reacciones en los apoyos de la estructura real.

ARL{r,1} = Reacciones en la estructura fija debidas a todas las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos “Di”.

ARD{r,d} = Reacciones de apoyo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de nudo D.