19 integrales multiples
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INTEGRALES MÚLTIPLES. 1.- Definición de integral doble. Dada una función f definida sobre una región R acotada en el plano x y, entonces la integral doble de f sobre R se define como n i i i i R y x y x f A d y x f 1 1 ) , ( lim ) , ( 0 cuando tal límite existe. 2.- Propiedades de las integrales dobles. Si f y g son continuas sobre la región acotada R del plano, entonces 1.- R R A d y x f c A d y x f c ) , ( ) , ( 2.- R R R A d y x g A d y x f A d y x g y x f ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [ 3.- 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( R R R A d y x f A d y x f A d y x f donde R 1 y R 2 son una partición de R. 3.- Áreas en el plano mediante integrales iteradas. Región limitada por Región limitada por b x a , ) ( ) ( x g y x f d y c , ) ( ) ( y g x y f b a x g x f x d y d A ) ( ) ( d c y g y f y d x d A ) ( ) ( 4.- Área de una superficie. Si f es diferenciable sobre una región R del plano x y, entonces el área de la superficie ) , ( y x f z , con base R, está dada por R y x A d y x f y x f S 2 2 ] , ( [ ] , ( [ 1 5.- Centros de masa y momentos de inercia. Sea ) , ( y x la densidad de una lámina que ocupa una región plana R, entonces la masa de la lámina viene dada por R A d y x m ) , ( 6.- Momentos y centro de masa de una lámina plana. Sea ) , ( y x la densidad de una lámina que ocupa una región plana R. Entonces los momentos de la lámina respecto a los ejes x e y vienen determinados por R x A d y x y M ) , ( y R y A d y x x M ) , ( Además, si m es la masa total de la lámina, el centro de masa es dado por m M m M y x x y , ) , ( . Los momentos x M y y M que aparecen al calcular el centro de masa se llaman a veces momentos primeros respecto a los ejes x e y, respectivamente 7.- Momentos de inercia. Sea ) , ( y x la densidad de una lámina que ocupa una región plana R. Entonces los momentos de inercia respecto a los ejes x e y vienen determinados por R x A d y x y I ) , ( 2 e R y A d y x x I ) , ( 2 8.- Momento polar de inercia. El momento polar de inercia I 0 se define por R y x A d y x y x I I I ) , ( ) ( 2 2 0 9.- Radio de giro. Los momentos x I e y I determinan el radio de giro. Denominaremos x el radio de giro de R respecto al eje y y y el radio de giro de R respecto al eje x. m I x y e m I y x donde m denota la masa de la lámina en consideración. 10.- Definición de integral triple. Si f es continua sobre una región sólida S, entonces la integral triple de f sobre S se define como n i i i i i i i z y x z y x f s V d z y x f 1 ) , , ( lim ) , , ( 0 donde la diferencial V d representa cualquiera de las seis combinaciones z d y d x d y d z d x d z d x d y d x d z d y d x d y d z d y d x d z d 11.- Momentos y centro de masa de un sólido. Sea ) , , ( z y x la densidad de un sólido que ocupa una región sólida S. Entonces la masa del sólido es S V d z y x m ) , , ( y los momentos de la lámina respecto a los planos xz, xz y xy vienen determinados por S xz V d z y x y M ) , , ( , S yz V d z y x x M ) , , ( y S xy V d z y x z M ) , , ( Además, si m es la masa total de la lámina, el centro de masa es dado por m M m M m M z y x xy xz yz , , ) , , ( . 12.- Momentos de inercia. Sea ) , , ( z y x la densidad de un sólido que ocupa una región sólida S. Entonces los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z vienen determinados por S x A d z y x z y I ) , , ( ) ( 2 2 , S y A d z y x z x I ) , , ( ) ( 2 2 e S z A d z y x y x I ) , , ( ) ( 2 2 Para regiones sólidas los momentos primeros se toman respecto a planos, mientras que los momentos de inercia se toman respecto de rectas. Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] / PIN: 58B3CF2D – 569A409B. http://www.slideshare.net/asesoracademico& Abril 2016.
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INTEGRALES MÚLTIPLES.
1.- Definición de integral doble.
Dada una función f definida sobre una región R acotada en el plano x y, entonces la integral doble de f
sobre R se define como
n
i
iiiR
yxyxfAdyxf
1
1),(lim),(
0
cuando tal límite existe.
2.- Propiedades de las integrales dobles.
Si f y g son continuas sobre la región acotada R del plano, entonces
1.- RR
AdyxfcAdyxfc ),(),(
2.- RRR
AdyxgAdyxfAdyxgyxf ),(),()],(),([
3.-
21
),(),(),(RRR
AdyxfAdyxfAdyxf donde R1 y R2 son una partición de R.
3.- Áreas en el plano mediante integrales iteradas. Región limitada por Región limitada por
bxa , )()( xgyxf dyc , )()( ygxyf
b
a
xg
xfxdydA
)(
)(
d
c
yg
yfydxdA
)(
)(
4.- Área de una superficie.
Si f es diferenciable sobre una región R del plano x y, entonces el área de la superficie ),( yxfz ,
con base R, está dada por R
yx AdyxfyxfS 22 ],([],([1
5.- Centros de masa y momentos de inercia.
Sea ),( yx la densidad de una lámina que ocupa una región plana R, entonces la masa de la lámina
viene dada por R
Adyxm ),(
6.- Momentos y centro de masa de una lámina plana.
Sea ),( yx la densidad de una lámina que ocupa una región plana R. Entonces los momentos de la
lámina respecto a los ejes x e y vienen determinados por R
x AdyxyM ),( y
R
y AdyxxM ),(
Además, si m es la masa total de la lámina, el centro de masa es dado por
m
M
m
Myx xy
,),( .
Los momentos xM y
yM que aparecen al calcular el centro de masa se llaman a veces momentos
primeros respecto a los ejes x e y, respectivamente
7.- Momentos de inercia.
Sea ),( yx la densidad de una lámina que ocupa una región plana R. Entonces los momentos de
inercia respecto a los ejes x e y vienen determinados por R
x AdyxyI ),(2 e
R
y AdyxxI ),(2
8.- Momento polar de inercia.
El momento polar de inercia I0 se define por R
yx AdyxyxIII ),()( 22
0
9.- Radio de giro.
Los momentos xI e
yI determinan el radio de giro. Denominaremos x el radio de giro de R respecto
al eje y y y el radio de giro de R respecto al eje x.
m
Ix
y e
m
Iy x
donde m denota la masa de la lámina en consideración.
10.- Definición de integral triple.
Si f es continua sobre una región sólida S, entonces la integral triple de f sobre S se define como
n
i
iiiiii zyxzyxfs
Vdzyxf
1
),,(lim),,(
0
donde la diferencial Vd representa cualquiera de las seis combinaciones
zdydxd
ydzdxd
zdxdyd
xdzdyd
xdydzd
ydxdzd
11.- Momentos y centro de masa de un sólido.
Sea ),,( zyx la densidad de un sólido que ocupa una región sólida S. Entonces la masa del sólido es
S
Vdzyxm ),,(
y los momentos de la lámina respecto a los planos xz, xz y xy vienen determinados por
S
xz VdzyxyM ),,( ,
S
yz VdzyxxM ),,( y
S
xy VdzyxzM ),,(
Además, si m es la masa total de la lámina, el centro de masa es dado por
m
M
m
M
m
Mzyx
xyxzyz,,),,( .
12.- Momentos de inercia.
Sea ),,( zyx la densidad de un sólido que ocupa una región sólida S. Entonces los momentos de
inercia respecto a los ejes x, y y z vienen determinados por
S
x AdzyxzyI ),,()( 22 ,
S
y AdzyxzxI ),,()( 22 e
S
z AdzyxyxI ),,()( 22
Para regiones sólidas los momentos primeros se toman respecto a planos, mientras que los momentos
de inercia se toman respecto de rectas.
Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] /
PIN: 58B3CF2D – 569A409B. http://www.slideshare.net/asesoracademico&
Abril 2016.
