1_Esfuerzos y Deformaciones (1)

7/24/2019 1_Esfuerzos y Deformaciones (1)

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ANALISIS DE ESFUERZOS Y

DEFORMACIONES

Ing. David Crdova Rojas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y Metalrgica

SIDAD

UNIVER

GE

SC

BO

IA

NIER

718 6

R

ON

NA

IA

NT

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CI A

L DE

LA

ET IN


2/22

ANALISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

La base de las teoras matemticas de elasticidad, viscosidad y reologa est

formada por la relaciones esfuerzo/deformacin.

Las propiedades mecnicas de las rocas son gobernadas por la reaccin de lasrocas a las fuerzas que actan sobre ellos. Estas fuerzas inducen a las rocas a un

e s t a d o d e e s f u e r z o s , una cantidad con dimensiones de fuerza por unidad de

rea y un e s ta d o d e d e f o r m a c io n e s , una cantidad adimensional que expresa la

deformacin en trminos de la dimensin original.

Para el entendimiento de esfuerzos y deformaciones y los principios del anlisisde esfuerzos y deformaciones es por consiguiente esencial para que el ingeniero

disee sus estructuras en roca.

INTRODUCCION


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ESFUERZOS (O TENSIONES)

Definiciones

Esfuerzo (o Tensin):Es la fuerza interna por unidad de rea cuando dicha reatiende a cero.

Esfuerzo normal (s): Es la componente normal del esfuerzo, es decir, la

componente perpendicular al plano sobre el cual acta el esfuerzo.

Esfuerzo tangencial (t):Es la componente tangencial del esfuerzo, es decir, lacomponente paralela al plano sobre el que acta el esfuerzo.


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A

FLimP 0AO

Componentes de esfuerzos en un punto

F= Resultante de todas las fuerzas

ejercidas en A

POes el esfuerzo actuando en 0 en

una direccin normal al plano A.

(PO= Vector cantidad)

Consideramos un plano un plano de orientacin aleatoria en el cuerpo y un reainfinitesimal Ala cual contiene al punto O.

Luego para cada punto en un cuerpo existe un vector POque define la magnitud

del esfuerzo en cada direccin.

O

P

F

A

o


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Desde quePOes un vector, ste puede ser representadas por 3 componentes: una

componente direccional y una componente de esfuerzo normal y tangencial

mutuamente en ngulos rectos, o si la orientacin del plano es conocida, por 3

componentes de esfuerzos.

A fin de que estos esfuerzos puedan ser analizados fcilmente el plano sobre el

cual acta puede ponerse en coordenadas rectangulares X, Y, Zdnde Zes el eje

vertical,Xe Yson mutuamente perpendiculares en el eje horizontal, as :

F cae en el plano YZ

PO =s x es normal a A

A= componente esfuerzo normal

txy,txz actan en el plano YZy son

los componentes esfuerzo

tangencial ( o de corte,

cizallamiento, etc).

xzyx ,, tss Ecuacin 1

xsY

xzt

X

txy

Z

F


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Simultneamente si Acae en el plano X Zlas componentes de esfuerzos normal y

de corte, en O, sern:

y e n e l p l a n o XY:

Luego los esfuerzos en un punto pueden ser representados completamente en 3

dimensiones como:

Grficamente tenemos:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

,,

,,

,,

stt

tst

tts

Ecuacin 4

yzyyx ,, tst

zyzzx ,, stt Ecuacin 3

Ecuacin 2


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En el caso det , el primer sufijo denota la componente del esfuerzo normal

correspondiente, luego xydenota un esfuerzo normal en la direccin Xe yxen la

direccinYen los planos YZy XZrespectivamente.

Las componentes de esfuerzos mostrados sobre las 3 caras visibles son todas

positivas y para satisfacer el equilibrio rotacional:

zxxzyzzyxyyx ,, tttttt Ecuacin 5

z

sz

zxt

txz

tyx

zyt

txy

sx

ys

yzt

sx

txyy

s

txz

yzt

tzy

tzx

yxt s esfuerzo normal

t esfuerzo tangencial


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Estos pares de esfuerzos de corte son denominados esfuerzos d e c o r te

conjugados. Entonces, para definir en forma completa el estado de esfuerzos

actuando sobre el elemento cbico, necesitamos conocer sus 6 cantidades

independientessx ,sy ,sz ,tx y ,ty z ,tzxconocidos como los componentes d e

e s f u e r zo s e n u n punto.

Los ejes a los que nos hemos referido se llaman ejes p r i n c i p a le s d e esfuerzos

y los correspondientes planos paralelos a las caras del elemento de volumen se

llaman planos principales. Los esfuerzos sobre las caras del elemento del

volumen que son puramente normales se denominanesfuerzos principales.

Se acostumbra tambin denominar aszpors1 , asxpors2y asypors3 , por

convencin se escoge as1para el esfuerzo principal mayor, as 3para el esfuerzo

principal menor y as 2para el esfuerzo principal intermedio.

Luego s 1>s 2>s 3 .


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Esfuerzos en un punto

Estado de esfuerzos bidimensional: lo complicado del clculo que significa elestudio de problemas de esfuerzos tridimensionales, puede ser superado

considerando la distribucin de esfuerzos bidimensionales en uno de los planos

principales, esto puede suministrar una gua til para la naturaleza de la

distribucin de esfuerzos tridimensionales.

La condicin para un estado de esfuerzos plano puede ser definido a partir delsiguiente esquema:

Aqus y=t yx=t yz=0

Este modelo de esfuerzos existe por ejemplo en los modelos fotoelsticos o

fsicos de una excavacin, en la cual una placa perforada es cargada por fuerzas

aplicadas en el plano de la placa.

Z

XY


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Considerando el estado de esfuerzos plano, enseguida analizamos los esfuerzos

en un punto, considerando como plano de anlisis, el plano XY.

Tomando momentos en O:

0dxdydxdy2

dx

2

dx

2

dy

2

dyM yxxy

2

y

2

y

2

x

2

x ttssss

yxxy tt

En primer lugar demostraremos

la igualdad en los e sf u er zo s d e

c o r t e conjugadosconsiderando el

equilibrio.

Ecuacin 6

xyttyx

sytyx

ys

xs

yxt

dy

O


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Luego, considerando la siguiente figura, determinaremos la magnitud y sentido

desq

ytq

en funcin des x ,s y ,t yq .

Las ecuaciones del equilibrio son:

0sencos

dycos

cos

dytandydyF xx

q

qtq

qsqts qq

0coscos

dysen

cos

dydytandyF yy

q

qtq

qstqs qq

q

x

qt

sq

s

sy

t

dy

dx


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Despejandosq

ytq

tenemos:

Suponemos ques xes positivo (+).

De6a y 6bobservamos que sq

y tq

varan conq , esta variacin puede

determinarse estudiando los mximos y mnimos detq

. Luego derivandosq

respecto deq e igualando a cero tenemos:

O sea los mximos y mnimos se producen en planos cuyos ngulos estn en

funcin des x,s yyt .

Hay 2 valores2q que verifican la ecuacin(7)y que se diferencian en 180 hay

2 valores deq que verifican la ecuacin y que se diferencian en 90.

qtq

ssss

sq 2Sen2Cos22

yxyx

qtqss

tq

2Cos2Sen2

yx

Ecuacin 6a

Ecuacin 6b

yx

22Tg

ss

tq

Ecuacin 7


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Al sustituir los dos valores deq ensq

, uno de los valores ser el mximo y el

otro el mnimo y al sustituir los ngulosq entq

(ecuacin6b), en ambos casostq

= 0, o sea: paras q mximo o mnimo,t q =0.

Los planos correspondientes a los ngulos sealados se denominan planos

principales y los esfuerzos normales correspondientes a ellos esfuerzos

principales. Los esfuerzos principales mximo, mnimo e intermedio se

simbolizan respectivamente pors 1 ,s 3ys 2.La convencin de signos tpicamente

utilizado por la mecnica de rocas es la siguiente: positivo(+) para el esfuerzocomprensivo y negativo (-) para el esfuerzo de traccin, lo contrario de la

convencin de signos usada por la resistencia de materiales y clculo

estructural.

Podemos expresar sq

y tq

en funcin des 1 ,s 3 yq , esta ltima que

define el ngulo de orientacin del plano donde actas q yt q .

qssss

sq 2Cos22

3131

qss

tq 2Sen

2

31

Ecuacin 7a

Ecuacin 7b


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222 b0a qq ts

Simplificando las ecuaciones7ay7b:

elevando al cuadrado y sumando:

qt

qs

qsssss

q

q

q

2Senb

2Cosba

2Cosba:2

b,2

a 3131

Crculo de Mohr de esfuerzos

La ecuacin (8) es la ecuacin deuna circunferencia de centro(a, 0),

radiob, x =sq

, y =tq

este es elcirculo d eMohr.

Ecuacin 8

a

0

s1 3

s+2 2

-s31s

sC

E

Db

ABs

3 1s


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El circulo de Mohr representa el lugar geomtrico de los esfuerzossq

ytq

que

existe en un punto. De la figura podemos deducir lo siguiente:

A es el esfuerzo principal mayors 1= a + b, dondet q = 0

B es el esfuerzo principal menors 3= ab, dondet q = 0

El puntoEtiene como coordenadassq

,tq

en el planoq .

Determinacin del ngulo :

de la ecuacin (7a)

De las ecuaciones(7a)y(9)tenemos que

aCosCEOCCDOCOD

assss

sq Cos22

3131

qssss

sq 2Cos22

3131

Ecuacin 9

qa 2


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Estado de esfuerzos en un punto

2

43

1

s

4

3

2

1 Compresin simple o uniaxial.

Traccin uniaxial.

Compresin triaxial.

Cortante puro esfuerzo de torsin


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Deformacin:Desplazamiento Es el movimiento absoluto o relativo de un punto

en un cuerpo, o bien, la variacin de una dimensin lineal (extensin o

contraccin).

Deformacin unitaria: Es el desplazamiento o la deformacin por unidad de

longitud. Ejemplo:

L

L

DEFORMACIONES

Definiciones

Deformacin unitaria =L

L


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Deformacin unitaria normal ():Es la deformacin unitaria en la direccin de

la deformacin.

Deformacin unitaria tangencial (g): es la variacin relativa del ngulo que

forman los lados de un elemento infinitesimalg = tan ; o bien, siguiendo la

definicin general de deformacin unitaria podemos definirla como la

deformacin por unidad de longitud, cuando la longitud sobre la que se

produce la deformacin es perpendicular a la direccin de la deformacin que

se toma.

ag tanyx

a

t

L


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El tratamiento de este problema es anlogo al de los esfuerzos, no siendo por

tanto necesario de detallarlo.

Las deformaciones en un punto o lo que es lo mismo, el anlisis combinado de

deformaciones lo visualizamos tambin como un fenmeno biaxial, desde que

las deformaciones laterales sern siempre inducidas por una deformacin

normal. La representacin ms simple de una deformacin plana en un punto es

similar al anlisis combinado de esfuerzos planos. Definiendo una deformacin

normal q y otra de corte gq en el plano XZ con referencia a una direccinespecificadaq tenemos:

qgqeegq 2Cos2Sen xzzz

Componentes de deformaciones en un punto

Deformaciones en un punto

qeqqgqeeq2

zxz

2

x SenCosSenCos Ecuacin 10a

Ecuacin 10b


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Estas ecuaciones son perfectamente compatibles con las ecuaciones para el

esfuerzo normal y el esfuerzo de corte y su diferenciacin da un valor limitante

deq , en la cualg llega a ser cero (0), esto ocurre cuando:

a partir del cual podemos definir los ejes principales de deformacin,

direcciones en la cual la deformacin de corte es cero (0).

Las deformaciones normales pueden ser considerados como deformaciones

principales 1 y 3. Haciendo por ejemplo z = 1 y x = 3 ,g xz = 0, las

deformaciones normaly de corteen la direccinq a la deformacin principal

mxima son dadas por:

qeeg

qeeee

e

q

q

2sen

2cos22

31

3131

XZ

XZ2tanee

gq

Ecuacin 11a

Ecuacin 11b


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Las ecuaciones(11a)y(11b)generan el circulo d e M o h r d e deformacionesque

tambin es una analoga delcrculo d e M o h r d e esfuerzos.

Esta notacin parecera extraa desde que la deformacin es medida en trminos

de elongacin por tcnicas de liberacin de esfuerzos (en mediciones de

deformaciones en roca). Sin embargo, la deformacin principal mayor (en la

direccin del esfuerzo principal mayor) representa una contraccin, si el

esfuerzo es compresivo.

Crculo de Mohr de deformaciones

La notacin de signos para las

deformaciones es la siguiente:

Positivo (+) para compresin

Negativo (-) para traccin

2qe3 1e

2 eq , qg /2)(s

1 -2

3s

s3

2

+1s e


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Las ecuaciones11ay11bpueden ser usadas para determinar experimentalmente

las deformaciones principales y su direccin sobre la superficie del slidodeformado utilizando los strain gauges en forma de roseta en determinadas

direcciones. Si el strain gauge (o banda extensomtrica) es colocado en ngulos

a 45 unos de otros, en 3 direcciones: A, B y C. Luego si A, B y C son las

deformaciones medidas en cada direccin, se puede demostrar que:

Como en el caso de esfuerzos, la teora de deformaciones en un punto puede ser

desarrollada en el caso tridimensional, mostrando 3 ejes principales de

deformacin y 3 deformaciones principales 1, 2y 3actuando en un punto de un

cuerpo slido.

CA

CBA

21

2

CA

2

CBA31

CA31

22tan

2

ee

eeeq

eeeeeee

eeee

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