2 ANÁLISIS DEL TECHO DE UN AUDITORIO … · deformaciones unitarias con los 8 desplazamientos...

2. ANÁLISIS DEL TECHO DE UN AUDITORIO MEDIANTE FEM

El Objetivo es analizar el techo en forma de cono con abertura de un auditorio circular de diámetro igual a 16m,la altura total del cono sería 2.25m, pero a causa de que existe una abertura al final, la altura como de untronco de cono es 1.96875m con un espesor de 0.15m. Un modelo en 3D se muestra en el siguiente gráfico

Es posible modelar la estructura con distintos elementos finitos, en el presente, se realizará un cálculomediante el Método de los Elementos Finitos modelándolo la estructura como un sólido de revolución, ya quela estructura es completamente simétrico respecto del eje "z". Con este fin se busca una seccióncaracterística de revolución de toda la estructura, por ejemplo, cuando se le hace un corte de la mitad como enel gráfico siguiente.

la secciones resaltadas representan completamente la estructura si hago que gire 180 grados respecto al eje

Autor:Edmundo Canchari Gutiérrez

Comentarios:[email protected]

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"z", es posible simplificar aún más el modelo.

ahora, será necesrio girar 360º la sección característica para obtener la estructura completa. En eso se basael Método de los Elementos Finitos para las estructuras con simetría respecto al eje "z", se trabaja sobre lasección característica de revoución como en un plano, todas las condiciones a que está sometido la estructuradebe ser asignado a esta sección característica de revolución.

Siguiendo el procedimiento clásico para un análisis mediante Elementos Finitos, se discretiza la seccióncaracterística de revolución con elementos rectangulares de cuatro nodos, antes se toma un sistema dereferencia global en la que estarán representados todos los elementos de la estructura, luego se identifica losnudos y elementos, se asigna las condiciones de contorno, las cargas, con esto debe quedar completamenterepresentado nuestra estructura.

Identificación de elementos




Numeración de nudos

El análisis con tre elementos rectángulos de cuatro nodos es solamente con fines ilustrativos, para un análisisreal se deberá discretizar con tantos elementos hasta que satisfaga un resultado adecuado.

2. ARGUMENTOS

2.1 nudos

las coordenadas de todos los nudos, cada fila representa un punto, donde:Columna 1: coordenada radial "r"Columna 2: coordenada axial "z"

NODE1 2

12

3

4

5

6

7

8

8 08 0.15

4 1.12

4 1.27

2 1.68

2 1.83

1 1.96

1 2.11

:=

2.2 Elementos

Identificación de todos los elementos en el sistema, cada fila representa a un elemento, donde:Columna 1: número del nudo global, correspondente al nudo local 1Columna 2: número del nudo global, correspondente al nudo local 2Columna 3: número del nudo global, correspondente al nudo local 3Columna 4: número del nudo global, correspondente al nudo local 4

MEMB1 2 3 4

12

3

7 5 6 85 3 4 6

3 1 2 4

:=




2.3 Propiedades

Módulo de elasticidad del material:

kg

m2E 2.1 109⋅:=

Coeficiente de Poisson: ν 0.30:=

Espesor(en radianes) t 2 π⋅:= radianes

2.4 Condiciones de contorno

Define los grados de libertad restringidos en la estructura, donde:Columna 1: número del nudo donde existe restricción del desplazamientoColumna 2: "UR?" ¿existe desplazamieto en la dirección radial?Columna 3: "UW?" ¿existe desplazamiento en la dirección axial?, para ambos, la condición: 0 es libre y 1restringido

SUPP1 2 3

12

1 1 12 1 1

:=

2.5 cargas

2.5.1 Cargas puntuales.[kgf]

Las cargas puntuales actuan directamente sobre los nudos, deben ser ingresados directamente en elsistema de orientación global, cada columna representa:Columna 1: Número del nudo donde actúa la cargaColumna 2: Carga puntual en la dirección radialColumna 3: Carga puntual en la dirección axial

Estas cargas son en realidad distribuidas linealmente en toda la longitud de la circunferencia de radio Ri_m,entonces sus equivalentes puntuales para cada nodo será

NLF1 2 3

12

3

4

8 0 3-1.57·106 0 3-7.853·10

4 0 4-3.1415·10

2 0 4-5.0265·10

:=




3. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO

Reference:D:\FEM\Sólido de revolución C4N\0 Solido de Revolucion C4N - Funciones.xmcd

Se obtiene la matriz de rigidez local para el elemento: m 1:=

3.1 Propiedades del elemento Matriz de proiedades

Espesor

t 2 π⋅→ D

2.827 109×

1.212 109×

0

1.212 109×

1.212 109×

2.827 109×

0

1.212 109×

0

0

8.077 108×

0

1.212 109×

1.212 109×

0

2.827 109×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

3.2 Matriz del elemento "B" "Deformación unitaria desplazamiento" de 4x8 - que relaciona las cuatrodeformaciones unitarias con los 8 desplazamientos nodales y está dado por.

Las funciones de forma

Matriz Jacobiano, que representa la transformación del sistema cartesiano al sistema normalizado

la matriz "B" está dado por




3.3 matriz de rigidez está dado por.

devido a que la integral anterior al ser evaluado explícitamente es muy pesado, se opta por evaluar la funciónnuméricamente, para cada elemento de la matriz de rigidez.




GDL m( )T 13 14 9 10 11 12 15 16( )=

k 1( )

0.218

0.128

0.096

0.068

0.151−

0.101−

0.174−

0.094−

0.128

0.518

0.049

0.3

0.112−

0.315−

0.103−

0.503−

0.096

0.049

0.222

0.073

0.242−

0.115−

0.077−

6.344− 10 3−×

0.068

0.3

0.073

0.698

0.161−

0.704−

0.017−

0.294−

0.151−

0.112−

0.242−

0.161−

0.319

0.204

0.095

0.07

0.101−

0.315−

0.115−

0.704−

0.204

0.722

0.051

0.298

0.174−

0.103−

0.077−

0.017−

0.095

0.051

0.166

0.069

0.094−

0.503−

6.344− 10 3−×

0.294−

0.07

0.298

0.069

0.499

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1011⋅=

..... de igual manera para todos los elementos




4. MATRIZ DE RIGIDEZ ENSAMBLADO


Todas las matrices de rigidez de los elementos se ensambla en una sola, simbólicamente se podríarepresentar así K ki∑← Seguidamente se muestra un código compacto para que ensambla la matriz de

rigidez.

la matriz de rigidez ensamblado es

K

11 12 13 14 15 16

56

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

10-3.627·10 10-1.311·10 0 0 0 010-1.522·10 11-1.191·10 0 0 0 0104.177·10 102.58·10 0 0 0 0102.199·10 111.204·10 0 0 0 010-9.547·10 10-5.011·10 99.609·10 94.863·10 9-7.664·10 8-6.344·1010-5.646·10 11-2.72·10 96.767·10 103·10 9-1.692·10 10-2.939·10109.973·10 105.392·10 10-1.512·10 10-1.121·10 99.49·10 96.978·10105.392·10 112.725·10 10-1.015·10 10-3.152·10 95.075·10 102.977·1010-1.512·10 10-1.015·10 102.176·10 101.283·10 10-1.737·10 9-9.445·1010-1.121·10 10-3.152·10 101.283·10 105.177·10 10-1.029·10 10-5.025·1099.49·10 95.075·10 10-1.737·10 10-1.029·10 101.655·10 96.907·1096.978·10 102.977·10 9-9.445·10 10-5.025·10 96.907·10 ...

=




5. VECTOR DE FUERZAS NODALES

Se procede de manera similar, simbólicamente se puede expresar mediante F cargas_nodales_equivalentes∑← El programa siguiete ensambla solamente las cargas que actuan en los

nudos

el vector resultante es.

F

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

00

04-5.027·10

0

0

04-3.142·10

0

0

03-7.853·10

0

0

03-1.57·10

=




6. DESPLAZAMIENTOS


6.1 Imposición de las condiciones de contorno

La matriz de rigidez de toda la estructura "K" fue ensamblado sin tomar en cuenta los grados de libertadrestringidos, modificando la matriz para los grados de libertad con desplazamiento restringido, se tiene.

Km

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

3071·10 111.948·10 11-4.015·10 11-2.117·10 111.715·10111.948·10 3071·10 11-2.303·10 12-1.13·10 109.811·1011-4.015·10 11-2.303·10 3071·10 112.473·10 11-1.88·1011-2.117·10 12-1.13·10 112.473·10 3071·10 11-1.116·10111.715·10 109.811·10 11-1.88·10 11-1.116·10 113.918·10109.05·10 114.844·10 11-1.159·10 11-4.887·10 112.119·1011-1.582·10 10-7.781·10 111.71·10 109.135·10 11-3.865·1010-7.359·10 11-4.802·10 109.896·10 114.834·10 11-2.068·10

0 0 0 0 104.2·10

0 0 0 0 102.157·10

0 0 0 0 10-3.627·10

0 0 0 0 10-1.311·10

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ...

=

6.2 Resolución del sistema de ecuaciones

La matriz Km representa los coeficientes del sistema de ecuaciones que se formó tomando en cuenta todoslos grados de libertad, y el vector de fuerzas el término independiente. se podría resolver de muchas manerasel sistema de ecuaciones, para el presente se resolverá formando la matriz aumentada y por eliminación deGauss.

augment Km F, ( )

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3071·10 111.948·10 11-4.015·10 11-2.117·10 111.715·10111.948·10 3071·10 11-2.303·10 12-1.13·10 109.811·1011-4.015·10 11-2.303·10 3071·10 112.473·10 11-1.88·1011-2.117·10 12-1.13·10 112.473·10 3071·10 11-1.116·10111.715·10 109.811·10 11-1.88·10 11-1.116·10 113.918·10109.05·10 114.844·10 11-1.159·10 11-4.887·10 112.119·1011-1.582·10 10-7.781·10 111.71·10 109.135·10 11-3.865·1010-7.359·10 11-4.802·10 109.896·10 114.834·10 11-2.068·10

0 0 0 0 104.2·10

0 0 0 0 102.157·10

0 0 0 0 10-3.627·10

=




11

12

13

14

15

16

0 0 0 0 3.627 10

0 0 0 0 10-1.311·10

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ...

rref augment Km F, ( )( )

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ...

=

donde los desplazamientos están representados por la última columna

donde:Columna 1: nudoColumna 2: desplazamiento en XColumna 3: desplazamiento en Y

Q

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

00

0

0-73.039·10-5-8.589·10-6-4.013·10-5-8.553·10-6-7.705·10-4-1.48·10-5-1.162·10-4-1.476·10-5-1.372·10-4-1.714·10-5-1.653·10-4-1.706·10

=

Qo

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

3.039 10 7−×

4.013− 10 6−×

7.705− 10 6−×

1.162− 10 5−×

1.372− 10 5−×

1.653− 10 5−×

0

0

8.589− 10 5−×

8.553− 10 5−×

1.48− 10 4−×

1.476− 10 4−×

1.714− 10 4−×

1.706− 10 4−×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=




16 1.706 10

7. REACCIONES EN APOYOS

Las reacciones se obtienen mediante

donde:Columna 1: nudoColumna 2: reacción en XColumna 3: racción en Y

K Q⋅ F−

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

5-7.932·105-1.919·1057.46·1052.83·10

-71.441·10-7-1.267·10-7-1.416·10-71.155·10-81.754·10-91.863·10-8-2.095·10-99.313·10

-106.985·10-91.863·10

-10-2.328·10

0

= R

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

5-7.932·105-1.919·1057.46·1052.83·10

-71.441·10-7-1.267·10-7-1.416·10-71.155·10-81.754·10-91.863·10-8-2.095·10-99.313·10

-106.985·10-91.863·10

-10-2.328·10

0

= Ro1

2

7.932− 105×

7.46 105×

1.919− 105×

2.83 105×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=




9. CONLUSIONES


Los resultados obtenidos serán comparados con un análisis realizado en SAP2000 v12.0.0 educacional, parauna discretización inicial en 03 cuadriáteros decuatro nodos.

9.1 Desplazamientos

Joint OutputCase U1 U3Text Text m m

1 DEAD 0 02 DEAD 0 03 DEAD 3.039E-07 -0.0000864 DEAD -0.000004013 -0.0000865 DEAD -0.000007705 -0.0001486 DEAD -0.000012 -0.0001487 DEAD -0.000014 -0.0001718 DEAD -0.000017 -0.000171

TABLE: Joint Displacements

Qo

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

0

0.000004−

0.000008−

0.000012−

0.000014−

0.000017−

0

0

0.000086−

0.000086−

0.000148−

0.000148−

0.000171−

0.000171−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

donde los resultados tanto del análisis actual y los efectuados con sap2000 v12.0.0 son los mismos

9.2 Reacciones en los apoyos.

Joint OutputCase F1 F3Text Text Kgf Kgf

1 DEAD -793195.4 -191928.932 DEAD 745963.55 283031.93

TABLE: Joint Reactions

Ro1

2

793195.4−

745963.55

191928.93−

283031.93⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

con resultados idénticos, en esta parte no es necesario comparar los resultados con los del sap2000 v12.0.0,simplemente se debe comprobar el equilibrio estático de la estructura y cumple en el presente análisis.

con esto se garantiza implícitamente el equilibrio interiores al elemento y en cada nodo.

9.3 Tensiones

.... la evaluación de las tensiones para cada punto en el elemento, en las próximas versiones.

Finalmente, que los resultados coincidan solamente garantiza el éxito que se logró resolviendo el sistemapaso a paso, para una obtensión real de los resultados, se debe buscar el número de elementos necesariosrefinando la malla de los elementos finitos, hasta converger con un resultado aceptable.




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