LAS MATEMATICAS CONSTITUYEN UNA ACTIVIDAD REGIDA POR LAS MISMAS REGLAS IMPUESTAS A LAS SINFONIAS DE BEETHOVEN, LAS PINTURAS DE PICASSO Y LAS POESIAS DE HOMERO. LAS MATEMATICAS ALCANZAN PINACULOS TAN ELEVADOS COMO LOS LOGRADOS POR LA IMAGINACION

PAGE DETERMINANTES 3 - 61DETERMINANTES

DETERMINANTES

CONTENIDO2.1 Definiciones. Propiedades

2.2 Ejercicios

2.3 Mtodos para el desarrollo de un determinante

2.4 Ejercicios

2.5 Producto de determinantes. Determinante de Vandermonde

2.6 Ejercicios

2.1 DETERMINANTES. PROPIEDADES

Es evidente que una regla que asocie a cada matriz un nmero concreto definir una funcin de valores numricos de las matrices. Una de las funciones con valores numricos ms importante enttre las que se definen para laas matrices cuadradas es la funcin determinante. Esta funcin ha sido objeto de un estudio exhaustivo durante ms de 200 aos. El hecho ms asombroso de la historia de los determinantes es que el concepto de determinante se haya adelantado ms o menos 100 aos al concepto de matriz. En realidad, hasta principios de este siglo, ambos conceptos se confundan.

Si designamos los n primeros elementos del conjunto de los nmeros naturales, existe una permutacin ordinaria de dichos elementos que se denomina permutacin fundamental o principal, la cual corresponde a la sucesin ordenada y creciente de los nmeros naturales; entonces, la permutacin fundamental viene dada por 1 2 3 ... n. Se dice que dos elementos de cualquiera de las n! Permutaciones posibles forman inversin cuando se suceden en un orden distinto al que presentan en la permutacin fundamental; as, por ejemplo, en la permutacin 2 3 1 4, los pares de elementos {2, 1} y {3, 1} forman inversiones. Si todos los pares de elementos forman inversin, es decir, si todos los elementos estn colocados en orden contrario al natural, se trata de ua permutacin inversa, como 4 3 2 1. La clase de una permutacin viene dada por la paridad del nmero total de inversiones que existan entre cada dos elementos de la permutacin; as, una permutacin es de clase par o de clase impar, segn sea par o impar dicho nmero de inversiones. Al cambiar entre s de lugar la posicin de dos elementos de una permutacin se ha originado una transposicin.

TEOREMA 2.1.1Si en una permutacin arbitraria se efecta una transposicin, la permutacin cambia de clase.

DEMOSTRACION

En efecto, si se verifica la transposicin entre dos elementos consecutivos se origina un aumento o una disminucin en el nmero total de inversiones de la permutacin, segn que dicho par de elementos estuvieran o no en el orden natural previamente establecido; por otra parte, no existen ms variaciones en el nmero total de inversiones, ya que tanto los elementos anteriores como los posteriores a los que se transponen siguen teniendo respecto a los elementos del par transpuesto la misma posicin relativa que tenan antes de la transposicin. Si entre los elementos que se transponen existen otros k elementos intercalados, para intercambiarlos de lugar basta hacer avanzar k + 1 lugares al elemento ms retrazado, lo que equivale a efectuar k + 1 transposiciones y, a continuacin, debe hacerse retroceder k lugares el elemento ms avanzado, lo que representa otras k nuevas transposiciones, con lo que el nmero total de transposiciones efectuadas asciende a k + 1 + k = 2k + 1, que es un nmero impar, siendo, por tanto, impar el nmero de cambios de la permutacin original; la permutacin debe cambiar de clase. (

Finalmente, se puede probar fcilmente que es posible obtener las n! Permutaciones del conjunto {1, 2, ..., n} a partir de la permutacin principal y cambiando, para formar una nueva permutacin, dos elementos de la anterior, as: 1 2 3, 1 3 2, 3 1 2, 3 2 1, 2 3 1, 2 1 3, son las 3! = 6 permutaciones de {1, 2, 3}; por tanto, como se cambia de clase al conseguir una nueva permutacin, entre las n! permutaciones posibles existen n! de clase par y otras de clase impar.

DEFINICIN 2.1.1

Formados todos los productos posibles de n elementos elegidos entre los n2 de la matriz dada, de modo que en cada producto haya un factor de cada fila y uno de cada columna, y anteponiendo a cada producto el signo + o el -, segn que las permutaciones que indican las filas y las columnas sean de la misma o distinta clase, el polinomio que tiene como trminos todos los productos as formados con sus signos correspondientes, se llama determinante de la matriz dada. Es decir, para el conjunto de las matrices cuadradas de orden n se puede establecer una aplicacin inyectiva de forma que a cada matriz A corresponda una funcin escalar de sus elementos y se representa escribiendo sta entre barras:

Det(A) = (A(.

DEFINICIN 2.1.2

Se dice que dos determinantes son iguales, si al ser evaluados ambos dan el mismo nmero.

La definicin aceptada permite dasarrollar cualquier determinante, pero en la prctica no debe utilizarse directamente para los de orden superior a tres.

DEFINICIN 2.1.3

El valor del determinante de una matriz

A =

de 2 x 2 se define mediante la expresin

Det(A) = a(1, 1)a(2, 2) a(1, 2)a(2, 1).

Un determinante de segundo orden es un nmero que se calcula a partir de los cuatro elementos de una ordenacin cuadrangular.

EJEMPLO 2.1.1Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A =

SOLUCION

Evaluamos el determinante de la matriz A utilizando la correspondiente definicin

Det(A) = (a2 + ab + b2)(a - b) - (a2 - ab + b2)(a + b)

= a3 - a2b + a2b - ab2 + ab2 - b3 - a3 - a2b + a2b + ab2 - ab2 - b3

= - 2b3. (EJEMPLO 2.1.2Demostrar que, siendo a, b, c y d reales, las races de la ecuacin

= 0.

Sern reales.

SOLUCION

= (a - x)(b - x) - (c + id)(c - id) = 0

ab - ax - bx + x2 - c2 + icd - icd + i2d2 = 0

ab - ax - bx + x2 - c2 - d2 = 0 ( x2 - (a + b)x + (ab - c2 - d2) = 0

x1,2 = = .

Como (a - b)2 + 4(c2 + d2) ( 0, entonces las races son reales. (DEFINICIN 2.1.4

El valor del determinante de una matriz

A =

de 3 x 3, se define de la siguiente manera

Det(A) = a(1, 1)a(2, 2)a(3, 3) + a(1, 2)a(2, 3)a(3, 1) + a(1, 3)a(2, 1)a(3, 2)

- a(1, 3)a(2, 2)a(3, 1) a(1, 1)a(2, 3)a(3, 2) a(1, 2)a(2, 1)a(3, 3)

Un determinante de tercer orden es un nmero que se calcula a partir de los elementos de una ordenacin cuadrangular de 3 x 3. Obsrvese que el primer trmino est compuesto por los elementos de la diagonal principal; y cada paralela a ella, con el elemento del vrtice opuesto, compone otro trmino con signo +. Anlogamente se deducen los otros tres que llevan signo -, partiendo de la diagonal secundaria. Esta regla muy til se llama regla de Sarrus.

EJEMPLO 2.1.3Evaluar el siguiente determinante:

A = .

SOLUCION

Haciendo uso de la definicion correspondientes evaluamos el determinante la matriz A:

Det(A) = (a + x)(b + x)(c + x) + x3 + x3 - x2(b + x) - x2(a + x) - x2(c + x)

= cx2 + c(a + b)x + abc + x3 + (a + b)x2 + abx + 2x3 - x2(b + x + a + x + c + x)

= cx2 + acx + bcx + abc + x3 + ax2 + bx2 + abx + 2x3 - bx2 - x3 - ax2 - x3 - cx2 - x3= (ac + bc + ab)x + abc. (

A continuacin enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades mas importantes de los determinantes.

TEOREMA 2.1.2

El valor de un determinante no vara si se sustituye cada elemento por su conjugado, es decir, si se cambian las filas por columnas, y stas por aqullas, sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una.

DEMOSTRACION

En efecto; todo trmino del primer determinante est formado por n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, luego pertenece tambin al segundo determinante. Las dos permutaciones que indican filas (columnas) en el segundo determinante, son las mismas que indican las columnas (filas) en el primero, luego el signo de dicho trmino en ambos determinantes es + o -, segn que ambas permutaciones sean de la misma o distinta clase. (

Al multiplicar cada elemento de la i-sima fila o de la j-sima columna por un nmero r, Det(A) queda multiplicado por r. Consecuentemente, si cada elemento de una matriz A de orden n x n se multiplica por un nmero k, entonces Det(A) queda multiplicado por rn.

TEOREMA 2.1.3

Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo nmero, el valor del determinante queda multiplicado por dicho nmero.

DEMOSTRACION

Supongamos que b(j) = ra(j), mientras que b(k) = a(k) para k ( j. Entonces, en particular, b(1, j) = ra(1, j). Si k ( j, B(1, k) se obtiene a partir de A(1, k) multiplicando una columna por r y como B(1, k) y A(1, k) son matrices (n 1) x (n 1), tenemos que

Det(B(1, k)) = r Det(A(1, k)).

Por otra parte, B(1, j) = A(1, j) y b(1, k) = a(1, k) si k ( j. Por tanto, para todo k,

b(1, k)Det(B(1, k)) = r a(1, k)Det(A(1, k)).

Por tanto,

Det(B) = = = r Det(A). (EJEMPLO 2.1.4Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:

= mnp.

SOLUCION

Extraemos m de la primera fila de la matriz, n de la segunda fila y p de la tercera fila. Es decir

= m = mn = mnp. (

En el teorema siguiente podemos ver que un intercambio de dos filas o dos columnas es una matriz de orden n x n cambia el signo del determinante.

TEOREMA 2.1.4

Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos filas (o dos columnas) adyacentes sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una, entonces el valor absoluto del determinante no vara, pero cambia su signo.

DEMOSTRACION

Supongamos que A y B son iguales, excepto que a(j) = b(j+1) y a(j+1) = b(j). Si k ( j y k ( j+1, tenemos que b(1, k) = a(1, k) y Det(B(1, k)) = -Det(A(1, k)) por la hiptesis de induccin, de modo que

(-1)k+1b(1, k)Det(B(1, k)) = -(-1)k+1a(1, k)Det(A(1, k))

Por otra parte, b(1, j) = a(1, j+1), B(1, j) = A(1, j+1), de modo que

(-1)j+1b(1, j)Det(B(1, j)) = (-1)j+1a(1, j+1)Det(A(1, j+1)) = -(-1)j+2a(1, j+1)Det(A(1, j+1)).

De la misma manera,

(-1)j+2b(1, j+1)Det(B(1, j+1)) = -(-1)j+1a(1, j)Det(A(1, j)).

Por tanto, cada trmino de la expresin para Det(B) es igual al negativo de un trmino en la expresin para Det(A). Por tanto, Det(B) = -Det(A). (EJEMPLO 2.1.5Sin desarrollar los determinantes, demostrar la siguiente identidad:

= .

SOLUCION

Multiplicando la primera, segunda y tercera filas por a, b y c, respectivamente, obtenemos

= =

luego, intercambiando las columnas 1 y 3, obtenemos la identidad

= - = = . (TEOREMA 2.1.5

Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el valor de su determinante es cero.

DEMOSTRACION

Cada uno de los productos en que se desarrolla el determinante contiene un elemento de esa fila, as que cada producto es nulo en la hiptesis hecha. De aqu que su suma es cero; es decir Det(A) = 0. (TEOREMA 2.1.6

Si en una matriz cuadrada, los elementos correspondientes de dos filas (o dos columnas) son idnticos, entonces el valor de su determinante es cero.

DEMOSTRACION

Suponga que a(i, k) = a(j, k) para todo k o que a(i, k) = a(i, j) para todo i; si intercambiamos las dos filas o las dos columnas iguales, la matriz A no ha cambiado. Pero el signo del determinante cambia:

Det(A) = - Det(A) o Det(A) + Det(A) = 0.

El nico nmero real para el cual se satisface esta ecuacin es Det(A) = 0. (EJEMPLO 2.1.6Evaluar el determinante de la siguiente matriz:

A =

SOLUCION

Sumando la columna 3 a la columna 1, obtenemos:

= .

Sumando la columna 2 a la columna 1, obtenemos:

= = 2.

Como el determinante resultante tiene dos columnas iguales, entonces el determinante es igual a cero. (TEOREMA 2.1.7

Un determinante es nulo si los elementos de una fila (o columna) son proporcionales a los trminos de una paralela a ella.

DEMOSTRACION

Si los trminos de una fila son iguales a los correspondientes de otra, multiplicados por r, separando este nmero como factor del determinante, queda otro con dos filas idnticas, y, por tanto, es nulo. (TEOREMA 2.1.8

Sean A, B y C matrices iguales, excepto para la columna j, y supongase quela columna j de C es la suma de las columnas de j de A y B. Entonces

Det(C) = Det(A) + Det(B).

DEMOSTRACION

Tenemos que

c(1, j) = a(1, j) + b(1, j) y C(1, j) = A(1, j) + B(1, j).

Para k ( j,

c(1, k) = a(1, k) = b(1, k) y C(1, k) = A(1, k) = B(1, k),

excepto para una columna que es la suma de las columnas correspondientes de A(1, k) y B(1, k). Por tanto, si k( j, Det(C(1, k)) = Det(A(1, k)) + Det(B(1, k)) por hiptesis de induccin. Si k = j tenemos

c(1, k)Det(C(1, k)) = c(1, k)Det(A(1, k)) + c(1, k)Det(B(1, k))

= a(1, k)Det(A(1, k)) + b(1, k)Det(B(1, k))mientras que

c(1, j)Det(C(1, j)) = a(1, j)Det(C(1, j)) + b(1, j)Det(C(1, j))

= a(1, j)Det(A(1, j)) + b(1, j)Det(B(1, j))

Por tanto

Det(C) =

= +

= Det(A) + Det(B). (EJEMPLO 2.1.7Sin desarrollar los determinantes, demostrar la siguiente identidad

= .

SOLUCION

Restando la fila 1 de la fila 2 y la fila 1 de la fila 3, obtenemos:

=

extraemos (b a) de la segunda fila y (c a) de la tercera fila

(b - a)(c - a)

descomponemos el determinante en suma de determinantes con respecto a la tercera columna

podemos observar en la expresin que esta entre llaves, que el segundo determinante es cero por tener dos filas iguales, lo cual permite llegar a demostrar la identidad.

(b - a)(c - a) . (

El teorema siguiente nos da una manera eficiente para calcular el determinante de una matriz grande.

TEOREMA 2.1.9

Si C y A son matrices n x n y C se obtiene de A sumando un mltiplo numrico de una columna a otra, entonces Det(C) = Det(A).

DEMOSTRACIONSupongamos que la matriz C es igual a la matriz A, excepto que c(j) = a(j) + ra(i). Sea la matriz obtenida de A remplazando a(j) por ra(i). Por el teorema anterior, Det(C) = Det(A) + Det(B). El Det(B) es r veces el determinante de una matriz con dos columnas iguales. Por tanto, Det(B) = 0 y Det(C) = Det(A). (EJEMPLO 2.1.8Verifique la siguiente identidad

=

SOLUCION

Multiplicamos las columnas 1, 2 y 3 por abc

De la fila 1 extraemos a, de la 2 extraemos b y de la 3 extraemos c

De las columnas 2 y 3 extraemos bc

A la columna 1 le sumamos la columna 2 multiplicada por a + b + c

A la columna 1 le restamos la columna 3

De la columna 1 extraemos ab + bc + ca

. (2.2 EJERCICIOS

2.2.1 Demostrar que si A es una matriz hermtica, entonces Det(A) es real.

2.2.2 Sea A una matriz de n x n y sea k un nmero cualquiera. Forme B a partir de A multiplicando todos los elementos de A por k. Esto es, B = kA. Demuestre que

Det(B) = knDet(A).

2.2.3 Si A y B son matrices triangulares superiores de n x n tales que

Det(aA + bB) = aDet(A) + bDet(B)

para todo a, b en K, demuestre que Det(A) = Det(B) = 0.

2.2.4 Dada la matriz

A =

Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A) = Det(AB).

2.2.5 Dada la matriz

A =

Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A + B) = Det(A) + Det(B).

2.2.6 Calcule los siguientes determinantes:

a.- ; b.- .

2.2.7 Sin desarrollar los determinantes, demostrar la siguiente identidad:

a.- ; b.-;

c.- ; d.- ;

e.- ; f.- ;

g.- ; h.- ;

i.- ; j.- ;

k.- ; l.- ;

m.- ;

n.- ;

o.- .

2.3 METODOS PARA EL DESARROLLO DE UN DETERMINANTE

Nos interesa generalizar la nocin de determinante a ordenaciones de n x n. En los casos de arreglos de 2 x 2 y 3 x 3 se observa que un determinante es una suma de trminos cada uno de los cuales contiene uno y slo un elemento de cada fila y de cada columna de la ordenacin rectangular. Adems, el nmero de elementos de cada trmino es el mismo que el de fila de la ordenacin, es decir, que no hay elementos repetidos. Notamos tambin una alternacin en los signos de los trminos.

No es fcil evaluar numricamente un determinante cuando n es grande. La labor de encontrar todas las permutaciones y asignar los signos correspondientes es realmente difcil. Entonces, desarrollaremos mtodos para evaluar determinantes, que tiene una enorme importancia terica, y simplifica el procedimiento.

DEFINICIN 2.3.1

El cofactor Det(A(i, j)) del elemento a(i, j) de cualquier matriz cuadrada A es (-1)i + j veces el determinante de la submatriz de A obtenida al omitir la fila i y la columna j.

DEFINICIN 2.3.2

Si en una matriz cuadrada de orden n x n se suprimen la fila que ocupa el lugar i y la columna j, se obtiene una matriz cuadrada de orden n 1 x n 1, cuyo determinante se llama menor complementario del elemento a(i, j) comn a la fila y columna suprimidas. Lo designaremos Det(A(i, j)). Si en el desarrollo de un determinante sacamos factor comn a(i, j) en todos los trminos en que figura, aparece multiplicado por un polinomio que se llama adjunto de a(i, j).

Nos ser de mucha utilidad darles nombres a los determinantes de orden n 1 x n 1, que aparecen en la evaluacin de Det(A), paso a paso, por medio del desarrollo por cofactores; los llamaremos los menores complementarios de la matriz A.

DEFINICIN 2.3.3

El adjunto de un elemento a(i, j) es igual a su menor complementario, con signo + o -, segn que i + j sea par o impar. Por esta razn, el adjunto de a suele llamarse tambin complemento algebraico, lo designaremos por Det(A(i, j)).

I. DESARROLLO POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA

Si en la definicin del determinante de 3 x 3 se saca factor comn a los elementos de la primera fila, se tiene

Det(A) = a(1, 1)(a(2, 2)a(3, 3) a(2, 3)a(3, 2)) + a(1, 2)(a(2, 3)a(3, 1) a(2, 1)a(3, 3)) +

+ a(1, 3)(a(2, 1)a(3, 2) a(2, 2)a(3, 1))

= a(1, 1)(-1)1 + 1 + a(1, 2)(-1)1 + 2 +

+ a(1, 1)(-1)1 + 3

= a(1, 1)Det(A(1, 1)) + a(1, 2)Det(A(1, 2)) + a(1, 3)Det(A(1, 3))

en donde cada Det(A(1, i)) es el determinante que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna i, afectado de un signo + o segn que 1 + i sea un nmero par o impar.

Se puede comprobar, para todos los casos posibles, que el determinante de 3 x 3 es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna de la matriz del determinante por sus adjuntos respectivos. Este resultado se puede generalizar al caso de un determinante cualquiera de n x n, sacando tambin factor comn a los elementos de una fila o columna y comprobando que cada uno de ellos multiplica a su correspondiente adjunto, con lo que se consigue el desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna.

TEOREMA 2.3.1

El smbolo Det(A) se llama determinante de la matriz A de n x n y significa la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna y sus respectivos cofactores; es decir

Det(A) = a(i, 1)Det(A(i, 1)) + a(i, 2)Det(A(i, 2)) + + a(i, n)Det(A(i, n))

o bien

Det(A) = a(1, j)Det(A(1, j)) + a(2, j)Det(A(2, j)) + + a(n, j)Det(A(n, j)).

DEMOSTRACION

La demostracin se lleva a cabo por induccin. La proposicin es verdadera para un determinante de 2 x 2. Suponiendo que es verdadera para un determinante de n 1 x n 1, probaremos que es verdadera para un determinante de n x n. Desarrllese Det(A) por la i-sima fila. Un trmino tpico es este desarrollo es

a(i, k)Det(A(i, k)) = (-1)i + ka(i, k)Det(M(i, k)).

El menor Det(M(i, k)) de a(i, k) en Det(A) es un determinante de n 1 x n 1. Por la hiptesis de induccin, puede desarrollarse por cualquier fila. Desarrllese por la fila correspondiente a la j-sima fila de Det(A). Esta fila contiene los elementos a(j, r) (r ( k). Es la (n 1)-sima fila de Det(B(i, k)), porque Det(B(i, k)) no contiene elementos de la i-sima fila de Det(A) y i < j. Tiene que distinguirse entre dos casos:

Caso I. Si r < k, entonces el elemento a(j, r) pertenece a la r-sima columna de Det(A(i, k)). De aqu que el trmino que contiene a(j, r) en este desarrollo es

a(j, r)(cofactor de a(j, r) en Det(B(i, k)) = (-1)(j - 1) + ra(j, r)Det(B(i, k, j, r))

donde Det(B(i, k, j, r)) es el menor de a(j, r) en Det(B(i, k)). Como este menor se obtiene de Det(B(i, k)) eliminando la fila y columna de a(j, r), se obtiene en Det(A) eliminando el i-sima y el j-sima filas y la k-sima y r-sima columnas de Det(A). introdzcanse los desarrollo de los Det(B(i, k)) en el de Det(A). Entonces se deduce que los trminos de la representacin resultante de Det(A) son de la forma

(-1)i + k + j + r - 1a(i, k)a(j, r)Det(B(i, k, j, r)) r < k.

Caso II. Si r > k, la nica diferencia es que entonces a(j, r) pertenece a la (r 1)-sima columna de Det(B(i, k)), porque Det(B(i, k)) no contiene elementos de la k-sima columna de Det(A) y k < r. Esto produce un signo menos adicional y, por tanto, se obtiene

-(-1)i + k +j + r 1a(i, k)a(j, r)Det(B(i, k, j, r)) r > k.

De forma anloga se demuestra el desarrollo referente a las columnas. (

En esta forma, Det(A) se define en trminos de n determinantes de n 1 x n 1, cada uno de los cuales, a su vez, se define en trminos de n 1 determinantes de n 2 x n 2, y as sucesivamente; finalmente se llega a determinantes de 2 x 2, en los que los cofactores de los elementos son elementos sencillos de Det(A). Adems, de la definicin se concluye que puede desarrollarse Det(A) por cualquier fila o columna. El mtodo expuesto para el desarrollo de un determinante complica extraordinariamente el proceso de clculo a medida que aumenta el orden del determinante.

EJEMPLO 2.3.1Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A = .

SOLUCION

Para desarrollar este determinante, elegimos la primera fila, es decir:

Det(A) = 2(-1)1+ 1 + (-5)(-1)1+ 2 + (-1)1+ 3 +

+ 2(-1)1+ 4

= 2(28 + 42 36 + 48 49 - 18) + 5(-12 28 + 20 32 + 21 + 10)

+ (54 + 196 120 + 144 126 70) + 2(27 + 56 + 30 36 36 35)

= - 9. (TEOREMA 2.3.2

El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una fila (columna) cualquiera multiplicados por sus adjuntos correspondientes.

DEMOSTRACION

Fijmonos, por ejemplo, en la fila que ocupa el lugar i. En cada termino de A hay un elemento de eta fila, y slo uno; luego podemos clasificar los n! Trminos del siguiente modo: todos los que contienen a(i, 1) forman el producto a(i, 1)Det(A(i, 1)); los que contienen a(i, 2) forman a(i, 2)Det(A(i, 2)), ..., los que contienen a(i, n) componen a(i, n)Det(A(i, n)), luego:

Det(A) = a(i, 1)Det(A(i, 1)) + a(i, 2)Det(A(i, 2) + + a(i, n)Det(A(i, n)) = . (TEOREMA 2.3.3

La suma de los elementos de una fila (o columna), multiplicados por los adjuntos de los elementos de una paralela a ella, es cero.

DEMOSTRACION

En efecto, la suma

a(k, 1)Det(A(i, 1)) + a(k, 2)Det(A(i, 2) + + a(k, n)Det(A(i, n))

en el desarrollo del determinante obtenido poniendo en Det(A), en vez de la fila a(k, 1) a(k, 2) a(k, n), la fila a(i, 1) a(i, 2) a(i, n); este determinante tiene, pues, esta fila idntica a la que ocupa el lugar k, luego es nulo. (

La aplicacin de este teorema, para el desarrollo de Det(A), se simplifica observando que siendo (-1)i + j el signo que lleva el menor complementario de a(i, j) y siendo i constante o j si se desarrolla por los elementos de una columna y tomando j los valores 1, 2, ..., n, este signo es alternativamente + y -.

TEOREMA 2.3.4

Sea A (a(i, j)) una matriz cuadrada de n x n. Entonces

Det(AT) = Det(A).

DEMOSTRACION

Para la demostracin de este teorema, utilizaremos el principio de induccin matemtica en n. El teorema resulta evidente en el caso de n = 1. Supongamos que sea vlido para todas las matrices cuadradas de m x m, con m < n. Puesto que el elemento a(i, j) de AT es a(j, i), tenemos que

Det(AT) =

Observemos que AT(i, j) = (A(i, j))T, y que, en consecuencia resulta

Det(AT(i, j)) = Det(A(j, i))T = Det(A(j, i))

Puesto que A(i, j) es una matriz cuadrada de n 1 x n 1. Tenemos que cada i = 1, 2, ..., n, que

Det(AT) =

y, al sumar ambos miembros de esta ltima igualdad para i = 1, 2, ..., n, obtendremos

= = .

Si intercambiamos el orden de sumacin de i y j en el miembro a la derecha de la ltima frmula, veremos que

nDet(AT) = .

Por otra parte,

.

Es el desarrollo de Det(A) por la fila j-sima, y, en consecuencia

= nDet(A).

Es as como nDet(AT) = nDet(A) y, por lo tanto, Det(AT) = Det(A). (EJEMPLO 2.3.2Si A es antisimtrica, qu puede decirse acerca de Det(A)?

SOLUCION

Se sabe que una matriz es antisimtrica si AT = - A, por lo que

Det(AT) = Det(-A) = (-1)nDet(A).

Por otra parte, Det(AT) = Det(A), as que Det(A) = (-1)nDet(A). Si n es par, no se puede afirmar nada. Sin embargo, si n es impar se tiene Det(A) = - Det(A) y, por lo tanto, Det(A) = 0. (EJEMPLO 2.3.3Dada la expresin

= .

calcular A, B y C.

SOLUCION

Eligiendo la primera columna, desarrollamos el determinante

= (-a)(-1)2+1 + (-b)(-1)3+1 +

+ (-c)(-1)4+1 =

a(- bef + cdf + af2) - b(- be2 + cde + aef) + c(adf - bed + cd2) =

af(- be + cd + af) - be(- be + cd + af) + cd(af - be + cd) =

(af - be + cd)2 = ( af - be + cd =

= f ( A = f2; = e ( B = e2; = - d ( C = d2. (II. DESARROLLO GAUSSIANO

TEOREMA 2.3.5

El determinante de una matriz de la forma triangular o diagonal, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

DEMOSTRACION

Sea A una matriz triangular superior. En virtud de que los elementos a(2, 1), a(3, 1), ..., a(n, 1) de la primera columna de A son 0, la definicin del determinante de A origina

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)).

La submatriz A(1, 1) de A es tambin una matriz triangular superior, pero de n 1 x n 1. Por consiguiente, merced al principio de induccin

Det(A(1, 1)) = a(2, 2)a(3, 3) ... a(n, n)

el producto de sus elementos. Por lo tanto,

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)) = a(1, 1)a(2, 2) ... a(n, n)

el producto de los elementos diagonales de A.

Sea A una matriz triangular inferior. En virtud de que los elementos a(1, 2), a(1, 3), ..., a(1, n) de la primera fila de A son 0, la definicin del determinante de A origina

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)).

La submatriz A(1, 1) de A es tambin una matriz triangular inferior, pero de n 1 x n 1. Por consiguiente por induccin, es igual al producto de los elementos diagonales

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)) = a(1, 1)a(2, 2) ... a(n, n).

Para el caso de la matriz diagonal, la demostracin es anloga. (EJEMPLO 2.3.4Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A = .

SOLUCION

Mediante operaciones elementales entre filas, llevaremos la matriz a la forma triangular, de manera que podamos aplicar directamente la propiedad correspondiente:

( (

(

Det(A) = (6/4) (2)(-1)(1)(3) = - 9. (

Los efectos que tienen las operaciones de filas o columnas en el valor del determinante pueden resumirse de la siguiente manera:

El intercambio de dos filas o columnas de una matriz cambia el signo del determinante.

La multiplicacin de una fila o columna de una matriz por un escalar tiene el efecto de multiplicar el valor del determinante por ese escalar.

La suma de un mltiplo de una fila o columna a otra no cambia el valor del determinante.

III. DESARROLLO CON RESPECTO A UNA FILA Y UNA COLUMNA

Supongamos que se trata de la primera fila y de la primera columna, pues a este caso se reduce cualquier otro, por transposiciones convenientes. Dado el determinante

Det(A) =

todos los trminos en que entra a(1, 1) estn comprendidos en la expresin a(1, 1)Det(A(1, 1)); cada uno de los dems contiene uno de los elementos a(1, 2), a(1, 3), ..., a(1, k), ..., a(1, n) restantes de la primera fila, y uno de los a(2, 1), a(3, 1), ..., a(r, 1), ..., a(n, 1) de la primera columna. Hallemos todos los trminos que contengan el producto a(1, k)a(r, 1). Todos los trminos de Det(A) que contienen a(1, k) forman la expresin (-1)1 + ka(1, k)Det(A(1, k)); desarrollemos ahora el menor Det(A(1, k)) por los elementos de su primera columna a(2, 1) ... a(r, 1) ... a(n, 1); como el menor complementario de a(r, 1) resulta de suprimir en Det(A) la primera fila, la primera columna, la fila r y la columna k, este menor es tambin el complementario de a(r, k) en el determinante Det(A(1, 1)); y designndolo por Det(B(r, k)), todos los trminos del desarrollo de Det(A(r, k)) que contienen el elemento a(r, 1) componen la expresin (-1)ra(r, 1)Det(B(r, k)).

En resumen, todos los trminos de Det(A) que contienen los elementos a(1, k)a(r, 1), forman la expresin (-1)k + r + 1a(1, k)a(r, 1)Det(B(r, k)) y observando que en el determinante Det(A(1, 1)) el adjunto de Det(A(r, k)) es Det(C(r, k)) = (-1)(r - 1) + (k - 1)Det(B(r, k)), la expresin (-1)k+r+1a(1, k)a(r, 1)Det(B(r, k)) adopta la forma sencilla -a(1, k)a(r, 1)Det(C(r, k)). Por consiguiente

Det(A) = a(1, 1)Det(A(1, 1)) - ,

donde r = 2, 3, ..., n y k = 2, 3, ..., n.

Con este anlisis, podemos asegurar lo siguiente: El desarrollo de un determinante por los elementos de la primera fila y la primera columna, es igual a su elemento comn a(1, 1) por su menor complementario Det(A(1, 1)), menos todos los productos positivos de cada elemento a(1, k), restante de la primera fila, por cada elemento a(1, 1) restante de la primera columna, por el adjunto Det(A(1, 1)) del elemento a(1, k) en que se cruzan la columna y la fila encabezadas por ambos elementos. Si la fila y la columna elegidas son las determinadas por el elemento a(i, j), llevando ste al primer lugar, el determinante obtenido sera (-1)i + jDet(A), luego el desarrollo por la fila i y columna j est dado por la misma regla anterior, cambiando el signo al resultado si es i + j impar.

EJEMPLO 2.3.5Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A = .

SOLUCION

Para desarrollar este determinante, elegimos la primera fila y la primera columna, es decir:

Det(A) = (-1)1+1 2 + (-1)2+2+1 15 + (-1)2+3+1 (-3) +

+ (-1)2+4+1 (-6) + (-1)3+2+1 (- 25) + (-1)3+3+1 5 +

+ (-1)3+4+1 10 + (-1)4+2+1 (- 20) + (-1)4+ 3+1 4 +

+ (-1)4+4+1 8 = - 9. (IV. DESARROLLO POR MENORES COMPLEMENTARIOS

Un nuevo mtodo para el desarrollo de un determinante de n x n es el conocido con el nombre de desarrollo por menores complementarios; dicho mtodo exige elegir k filas o columnas de la matriz y formar determinantes de orden k con todas las posibles matrices cuadradas de orden k que sean submatrices de la de orden k x n que se ha seleccionado; a cada uno de estos determinantes de orden k le corresponde un menor complementario o determinante de la matriz de orden n k x n k, cuyos elementos no pertenecen a las filas y columnas de la primera matriz cuadrada de orden k, aunque s a todas las dems filas y columnas de la matriz total de orden n.

DEFINICIN 2.3.4

Si en una matriz de orden n se suprimen varias filas, e igual nmero de columnas, se obtiene otra matriz de orden inferior, llamada menor de la primera. Para determinar una menor basta dar los nmeros i1, i2, ..., ik que designan las filas que contiene, y los j1, j2, ..., jk que expresan sus columnas. Si en la matriz primera se suprimen las filas de lugares i1, i2, ..., ik y las columnas que ocupan los lugares j1, j2, ..., jk, se obtiene otra menor, llamada complementaria de la anterior. La suma de los rdenes de dos matrices complementarias es evidentemente n.

DEFINICIN 2.3.5

Se dice que un menor Det(B) es de clase par o impar si la suma de los nmeros de orden de sus filas y columnas:

= i1 + i2 + ... + ik + j1 + j2 + ... + jkes par o impar.

Para hallar la clase de su complemento Det(C) formaremos la suma anloga

pero ik+1, ..., in designan las filas excludas por Det(B), es decir, aquellos de los nmeros 1, 2, 3, ..., n, que son distintos de i1, i2, ..., ik; por tanto

y, anlogamente

de donde

luego tiene la misma paridad que , es decir: dos menores complementarios son de la misma clase.

Por otra parte, el menor complementario recibe el nombre de adjunto si va afectado de un signo + o -, segn que la suma de los lugares que ocupan cada una de sus filas y cada una de sus columnas en la matriz de orden n sea un nmero par o impar.

DEFINICIN 2.3.6

Se llama adjunto o complemento algebraico de un menor Det(B) al menor complementario de Det(B), con el signo + o -, segn que sea de clase par o impar. En particular, si el menor dado se reduce a un solo elemento, tendremos el adjunto definido en el desarrollo de un determinante en suma de varios. Un menor de orden k se llama principal, cuando est formado por las k primeras filas y las k primeras columnas. Su adjunto coincide con su menor complementario, puesto que es de clase par igual a 2(1 + 2 + ... + k).

TEOREMA 2.3.6

El producto de un menor por su adjunto forma parte del determinante total.

DEMOSTRACION

Supongamos primero que un menor Det(B) est formado por las k primeras filas y las k primeras columnas

entonces es Det(B) de clase par y su adjunto es el menor complementario Det(C).

Multiplicando ambos determinantes menores, un trmino cualquiera del producto ser

(-1)(a(1, j1)a(2, j2) ... a(k, jk)(-1)(a(k+1, jk+1) ... a(n, jn) (1)

llamando ( al nmero de inversiones de la permutacin j1 j2 ... jk, que indica columnas elegidas en el trmino de Det(B), y ( al nmero de inversiones que ofrecen los ndices de las columnas en Det(C), y como stos aumentados en k son precisamente jk+1, jk+2, ..., jn, es tambin ( el nmero de inversiones de esta permutacin; por tanto, el nmero de inversiones de la permutacin j1 j2 ... jk jk+1 ... jn es ( + (, puesto que j1, j2, ..., jk son todos menor o igual a k, y, por tanto, no forman inversiones con los jk+1, jk+2, ..., jn, los cuales son mayores o iguales a k.

Conteniendo, el producto (1) un elemento de cada fila de Det(A), y uno de cada columna, y siendo adems su signo (-1)(+( el que le corresponde en el desarrollo de Det(A), dicho producto es un trmino de este desarrollo.

Sin el menor Det(B) no es principal, sino que est formado por las filas r1, r2, ..., rk, y columnas t1, t2, ..., tk, se puede convertirlo en principal, por cambios sucesivos de filas y columnas. Basta permutar la fila r1 con todas sus anteriores que son r1 1, hasta ocupar el primer lugar; la fila r2 con las r2 2 que le preceden, hasta llegar al segundo lugar; ...; la fila rk con las rk k que hay desde ella a la fila k. Haciendo lo mismo con las columnas hemos llevado el menor Det(B) al primer lugar, reduciendo este caso al anterior.

En el desarrollo del nuevo determinante Det(D), el adjunto del menor principal Det(B) es el menor Det(C), el cual no ha sufrido variacin, luego Det(D) = Det(B)Det(C) + ... y como de Det(D) se deduce el Det(A), mediante un nmero de transposiciones

(t1 1) + (t2 2) + ... + (tk k) + (r1 1) + (r2 2) + ... + (rk k) =

sera

Det(A) = =

y siendo el adjunto de Det(B), queda demostrado el teorema. (

A continuacin consideramos otra tcnica, ms general, para desarrollar determinantes conocidas como el mtodo de desarrollo de Laplace, que contempla como caso especial el desarrollo por cofactores. En vez de desarrollar por una sola fila o columna, desarrollamos por varias filas o columnas.

El determinante Det(A) se escribe como una suma de trminos, cada uno de los cuales es el producto de dos determinantes.

TEOREMA 2.3.7 LAPLACE

Todo determinante es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando todos los menores de orden k que se pueden formar con k filas paralelas, por sus adjuntos respectivos .

Todos los trminos de estos productos pertenecen al desarrollo de Det(A), en virtud del teorema anterior; todos son distintos, pues contienen elementos distintos; falta ver que en Det(A) no hay ms trminos que stos.

Un trmino cualquiera de Det(A) puede descomponerse en dos productos, agrupando en uno de los elementos que pertenecen a las k filas elegidas, y en otro los restantes. El primer producto es un trmino de uno de los menores formados con aquellas k filas, y el segundo producto es un trmino del complementario, luego ha sido ya obtenido en el producto de estos dos menores.

El teorema anterior reduce el desarrollo de un determinante al de otros de orden inferior. Para hacer el desarrollo por los menores de k filas, convendr elegir aqullas en que aparezca el mayor nmero posible de columnas formadas por elementos nulos; pues todo menor en que figure una de estas columnas, es nulo.

EJEMPLO 2.3.6Evaluar el determinante de la siguiente matriz

A = .

SOLUCION

Para desarrollar este determinante, elegimos las dos primeras columnas, es decir:

Det(A) = (-1)2+2 + (-1)3+2 + (-1)4+2

+ (-1)2+2 + (-1)3+2 + (-1)2+2

= (-1)(-3) - 7(-6) + 8(-15) + (-8)(0) - (-10)(3) + 6(6) = - 9. (V. REGLA DE CHIO

La regla de Sarrus es una regla prctica para desarrollar, nicamente determinantes de tercer orden. Sin embargo, slo disponemos de la propia definicin de determinantes para calcular el valor de los determinantes de rdenes superiores a tres. A continuacin explicamos la regla conocida con el nombre de Chio, la cual se basa, fundamentalmente, en todas las propiedades que tienen los determinantes. Esta regla consiste en conseguir que una de las filas del determinante est formada por elementos todos ellos nulos, excepto uno, que vale la unidad y se le llama elemento base. De esta forma, al desarrollar dicho determinante por los adjuntos de los elementos de esta fila, se anulan todos los sumandos, a excepcin del que corresponde al elemento base, que coincide con su adjunto. De esta manera, el determinante primitivo coincide con el adjunto del elemento base, reduciendo el determinante al clculo de otro cuyo orden es inferior en una unidad.

Para conseguir que los elementos de una fila sean todos nulos, excepto uno, que valga la unidad, se siguen los siguientes pasos:

a.- Se mira si algn elemento del determinante vale la unidad. En caso afirmativo se elige una de las dos filas o columnas, que contiene a dicho elemento. En caso negativo, nos fijamos en una fila que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos. Los elementos de esta fila se dividen por uno de ellos; de esta forma se consigue que dicha fila posea un elemento que valga la unidad. Despus de efectuada esta operacin, el determinante ha quedado dividido por este nmero, y este resultado, por tanto, tenemos que tenerlo en cuenta al final del proceso que vamos a seguir. Tambin se puede conseguir un elemento, del determinante, que valga uno, restando a una fila otra paralela a ella, siempre que existan dos elementos que ocupen el mismo lugar en ambas filas y que difieran en una unidad.

b.- Una vez elegido el elemento base, supongamos que ste sea el elemento a(1, 1), los dems elementos de la primera fila o primera columna deben ser nulos. Para ello, a la segunda, tercera, ..., n-sima columna se le resta la primera columna multiplicada sucesivamente por a(1, 2), a(1, 3), ..., a(i, n), con lo que el determinante no vara. Exactamente se procedera para conseguir que sean nulos los elementos de la primera columna, pero ahora, tendramos que cambiar la palabra columna por la de fila y los elementos seran a(2, 1), a(3, 1), ..., a(n, 1). Desarrollamos el determinante que nos resulta, por los adjuntos de los elementos de la primera fila, con lo que se obtiene:

Det(A) = 1.Det(A(1, 1)) + 0.Det(A(1, 2)) + ... + 0.Det(A(1, n)) = Det(A(1, 1))

Como el valor del determinante de A, el adjunto del elemento base, es decir, hemos reducido el problema a calcular el valor de un determinante de orden inferior en una unidad, el cual se obtiene suprimiendo la fila y la columna a la que pertenece el elemento base, anteponiendo los signos ms o menos, segn que la suma de los ndices relativos a dicho elemento sea par o impar.

EJEMPLO 2.3.7Calcular el valor del determinante

.

SOLUCION

Como elemento base se elige el a(3, 1) ya que la columna que contiene a ese elemento es la lnea con mayor nmero de ceros. Restando a la primera fila y a la segunda, la tercera multiplicada por 5 y 4 respectivamente, obtenemos

.

Seguimos el proceso anterior explicado para calcular el valor de este determinante de tercer orden, en lugar de aplicar la regla de Sarrus.

= 18

Se ha elegido la primera columna por ser la nica que contiene un elemento que vale uno. Sumamos a la primera fila la segunda multiplicada por dos y a la tercera se le resta la segunda multiplicada por dos. A continuacin pasamos al determinante de segundo orden suprimiendo la primera columna y la segunda fila, pero anteponemos el signo menos, ya que la suma de los ndices del elemento base suman 2 + 1 = 3 que es impar.2.4 EJERCICIOS

2.4.1 Verificar la siguiente identidad:

2.4.2 Evaluar los siguientes determinantes, utilizando los mtodos estudiados en esta seccin:

a.- ; b.- ; c.- ; d.- ;

e.- ; f.- ; g.- ;

h.- ; i.- .

2.5 PRODUCTO DE DETERMINANTES. DETERMINANTES DE VANDERMONDE

Una primera aplicacin del teorema de Laplace permite transformar un determinante de orden k < n en otro equivalente de orden n prolongando su diagonal principal con elementos unitarios y haciendo nulos los elementos que faltan para completar la matriz de orden n. Pero la aplicacin ms importante se debe a que permite demostrar que el determinante correspondiente a un producto de dos matrices del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrices factores.

DEFINICIN 2.5.1

El producto de dos determinantes de orden n est dado por la expresin

designando por c(i, j) el producto de la fila i del primero por la fila j del segundo

c(i, j) = a(1, 1)b(j, 1) + a(i, 2)b(j, 2) + . . . + a(i, n)b(j, n).

Ahora demostraremos el importante teorema de que el determinante del producto de dos matrices cuadradas de n x n es igual al producto de los determinantes de las matrices. Como un teorema sobre determinantes esto significa que el producto de dos determinantes de n x n puede escribirse como un determinante de n x n cuyos elementos se obtienen en la misma forma que los elementos de una matriz producto.

TEOREMA 2.5.1

Sean A y B, matrices cuadradas de orden n. Entonces

Det(AB) = Det(A)Det(B).

DEMOSTRACION

En efecto

Det(A)Det(B) =

=

cualesquiera que sean los nmeros d; pues desarrollando este determinante por los menores de las n primeras filas, como todos los menores, excepto el primero, tienen alguna columna de ceros, y, por tanto, son nulos, resulta el producto Det(A)Det(B). Para poder reducir el orden de este determinante, podemos suponer que los dos determinantes dados sean del mismo orden n, si es n > m, pues en caso contrario se puede transformar el de menor orden m en otro de orden n, prolongando su diagonal principal con n m elementos 1, y completando con ceros las nuevas filas y columnas. Adems, como podemos disponer de los nmeros indeterminados d, tomemos todos ellos iguales a 0, excepto los de la diagonal d(1, 1), d(2, 2), ..., d(n, n), que tomaremos iguales a 1. Finalmente, podemos cambiar las filas por columnas, en el determinante menor Det(B). Resulta as:

==

Si, mediante adiciones convencionales de filas o columnas, logramos reducir a 0 los elementos a(i, j), en vez del cuadro de ceros aparecer otro de nuevos elementos c(i, j), y el nuevo determinante de orden 2n ser igual al determinante de orden n formado por estas c(i, j), multiplicado por su complemento algebraico; mas, reducindose el menor complementario a su diagonal principal, su valor es (-1)n; tendremos, pues, el producto en forma de determinante de orden n. Esto se logra de la siguiente manera: sumemos a la primera fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas respectivamente por a(1, 1), a(1, 2), a(1, n), y obtenemos como primera la siguiente:

0, 0, ..., 0, a(1, 1)b(1, 1) + ... + a(1, n)b(1, n), ..., a(1, 1)b(n, 1) + ... + a(1, n)b(n, n).

Para simplificar, llamaremos producto de la fila i de Det(A) por la fila j de Det(B), y lo designaremos por c(i, j), a la suma de los productos de los trminos que ocupan iguales lugares en ambas. Es decir:

c(i, j) = a(i, 1)b(j, 1) + a(i, 2)b(j, 2) + ... + a(i, n)b(j, n).

Con esta notacin, la fila obtenida es la siguiente:

0, 0, ..., 0, c(1, 1), c(1, 2), ..., c(1, n).

Anlogamente, sumando a la segunda fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas por a(2, 1), a(2, 2), ..., a(2, n), respectivamente, resulta como nueva fila

0, 0, ..., 0, c(2, 1), c(2, 2), ..., c(2, n).

Finalmente; sumando a la fila n-sima las mismas filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas por a(n, 1), a(n, 2), ..., a(n, n), respectivamente, resulta

0, 0, ..., 0, c(n, 1), c(n, 2), ..., c(n, n).

El determinante producto se ha transformado en el siguiente:

= (-1)k

siendo

k = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) + 1 + 2 + ... + n = n(2n + 1),

y como el valor del segundo menor es (-1)n, el factor que multiplica al primero es (-1)n + k = (-1)n(n + 1), nmero que es igual a 1, por ser n y n + 1 dos nmeros consecutivos, y, por tanto, su producto es par. (

Como el valor de un determinante no altera si se cambian entre s las filas y las columnas, puede hacerse tambin el producto por columnas; la frmula es la misma, designando c(i, j) el producto de la columna i del primero por la columna j del segundo. Finalmente, puede hacerse multiplicando las filas del primero por las columnas del segundo, o inversamente.

EJEMPLO 2.5.1Multiplicar los determinantes

.

SOLUCIONPodemos darnos cuenta que hay cuatro formas para multiplicar determinantes, y son las siguientes:

1.- Filas por columnas

.

2.- Filas por filas

.

3.- Columnas por columnas

.

4.- Columnas por filas

. (EJEMPLO 2.5.2Calcular el determinante elevndolo al cuadrado

.

SOLUCION

=

= (a2 + b2 + c2 + d2)4. (EJEMPLO 2.5.3Sean A y B matrices de 4 x 4 con Det(A) = 8 y Det(B) = - 1. Determine el valor de:

a.- Det(AB);

b.- Det(2AB).

SOLUCION

a.- Det(AB) = Det(A)Det(B) = 8(-1) = - 8.

b.- Det(2AB) = Det(2A)Det(B) = 24Det(A)Det(B) = (16)(8)(-1) = - 128. (EJEMPLO 2.5.4Si A2 = A, entonces A se llama idempotente. Mustre que si A es idempotente, entonces el determinante de A vale 1 o 0.

SOLUCION

Como A2 = A, Det(A2) = Det(A). Entonces

Det(A2) = Det(AA) = Det(A) ( Det(A)Det(A) = Det(A)

[Det(A)]2 Det(A) = 0 ( Det(A)[Det(A) 1] = 0

Det(A) = 0 y Det(A) 1 = 0, Det(A) = 1. (EJEMPLO 2.5.5Qu puede decirse del determinante de una matriz nilpotente?

SOLUCION

El determinante debe ser cero. Como

An = O, Det(An) = Det(O).

Entonces

Det(An) = Det(AA...A) = 0 ( Det(A)Det(A)...Det(A) = 0

[Det(A)]n = 0 ( Det(A) = 0. (DEFINICIN 2.5.2

Se denomina determinante de Vandermonde o determinante de las diferencias, al formado por las potencias sucesivas de n nmeros distintos:

A(2, 1), a(2, 2), a(2, 3), ..., a(2, n2), a(2, n-1), a(2, n),

ordenadas del siguiente modo:

V = ,

cuyo desarrollo est dado por

V =.

Podemos reducir a ceros los elementos de la primera columna, excepto el primero, restando de cada fila la anterior, multiplicada por a(2, 1), y obtenemos

determinante que se reduce a uno de orden n 1, el cual, separando los factores comunes, resulta

[a(2, 2) a(2, 1)] ... [a(2, n) a(2, 1)]

y observando que este determinante de orden n - 1 es de la misma forma que el anterior, se le puede aplicar la misma transformacin, resultando

[a(2, 2) a(2, 1)] ... [a(2, n-1) a(2, 2)]

Con ste, que es de orden n 2, se opera de igual modo, y as se sigue hasta llegar a uno de segundo orden

= a(2, n) a(2, n-1).

Por consiguiente

V = [a(2, 2) a(2, 1)][a(2, 3) a(2, 1)][a(2, 4) a(2, 1)] ... [a(2, n) a(2, n-1)] = .

EJEMPLO 2.5.6Expresar el determinante como producto de tres factores:

.

SOLUCION

A las filas 2 y 3 le restamos la fila 1:

= =

extraemos de la fila 2 el factor (b a) y de la tercera fila el factor (c a):

a la fila 3 le restamos la fila 2:

podemos observar que mediante este proceso, hemos transformado la matriz original a una matriz equivalente triangular superior, lo cual nos permite aplicar una de las propiedades para encontrar el valor del determinante:

V = (b - a)(c - a)(c - b). (EJEMPLO 2.5.7Expresar el determinante como producto de cuatro factores:

SOLUCION

En este problema, aplicaremos operaciones elementales entre columnas, es decir, a las columnas 2 y 3 le restamos la columna 1:

= =

a la columna 2 le extraemos (b a) y a la tercera columna (c a):

a la columna 3 le restamos la columna 2:

expresamos en factores el elemento a(3, 3):

como hemos reducido la matriz original a una matriz triangular inferior, aplicamos la correspondiente propiedad, para obtener el valor del determinante:

V = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c). (EJEMPLO 2.5.8Evaluar el determinante de Vandermonde:

SOLUCION

Procedemos a transformar todos los elementos de la matriz a ln 2:

=

extraemos de ln2 de la segunda columna, ln22 de la tercera columna y ln32 de la cuarta columna:

Este ltimo determinante lo resolvemos mediante operaciones elementales, obteniendo

. (EJEMPLO 2.5.9Multiplquense los determinantes

Det(A) = y Det(B) =

Siendo x una raz cbica imaginaria de la unidad.

SOLUCION

Multiplicando fila por fila, tenemos:

Det(AB) =

Pero

b + cx + ax2 = x2(a + bx + cx2) ( c + ax + bx2 = x2(a + bx + cx2)

b + cx2 + ax = x2(a + bx2 + cx) ( c + ax2 + bx = x2(a + bx2 + cx)

y, en consecuencia

Det(AB) =

Es decir:

Det(AB) = Det(A)Det(B) = - (a + b + c)(a + bx + cx2)(a + bx2 + cx)Det(A).

Siendo Det(A) un determinante de Vandermonde y, en consecuencia, distinto de cero, puede suprimirse y entonces

Det(B) = - (a + b + c)(a + b + cx2)(a + bx2 + cx). (2.6 EJERCICIOS

2.6.1 Para cada una de las proposiciones siguientes relativas a matrices cuadradas, dar una demostracin o poner un contraejemplo:

a.- Det[(A + B)2] = [Det(A + B)]2;

b.- Det[(A + B)2] = Det(A2 + 2AB + B2);

c.- Det[(A + B)2] = Det(A2 + B2).

2.6.2 Demostrar la siguiente identidad:

EMBED Equation.3 = 2a(b a)(c b)(d c)

2.6.3 Demostrar la siguiente identidad:

2.6.4 Evaluar los siguientes determinantes y expresar su resultado en factores:

a.- ; b.- ; c.- ; d.- ;

e.- ; f.- ; g.- ;

h.- ; i.- ; j.- ;

k.- .

2.6.5 Evaluar los siguientes determinantes de Vandermonde:

a.- ; b.- ; c.- .

2.6.6 Evaluar los siguientes determinantes:

a.- ; b.- ; c.- .

PAGE INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

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