2 Diferenciación - unsl.edu.arcalculo1/teorias/capitulo2A4.pdf · variable dependiente (VD) (dicho...

2 Diferenciación

2.1 Razón de Cambio

Cuando dos variables están hermanadas por una relación funcional, interesa saber cuánto in-fluyen en una los cambios de la otra. Vamos a distinguir como variable independiente (VI) ala que se mueve primero y cuyo cambio origina el movimiento de la otra, a la que llamaremosvariable dependiente (VD) (dicho esto desde nuestra observación). La VI toma valores en eldominio y la VD en el codominio de la función que las relaciona. Si queremos medir con unnúmero la influencia que la VI tiene sobre la VD, es razonable que ese número sea directamenteproporcional al cambio experimentado por la VD e inversamente proporcional al cambio de laVI que fue su causa. Por eso se toma el cociente (razón) entre esas dos cantidades y se lo llamarazón de cambio.

Al pasar la variable x de un valor x a otro x0, experimenta un cambio ∆x = x0 − x.A su vez, y cambiará de f (x) a f (x0), con un cambio ∆y = f (x0) − f (x) . En definitiva,reordenando un poco la notación, la razón de cambio de la variable y respecto de la variablex en el intervalo [x, x+∆x] 1 es el cociente

∆y

∆x=

f (x+∆x)− f (x)

∆x. (1)

Los problemas de "regla de tres" que nos acompañaron en la escuela primaria, se referíansiempre a relaciones funcionales lineales, donde la razón de cambio permanece constante. Unabomba que llena un tanque con un caudal de 20 litros por minuto se representa con una función

V = f (t) = 20t,

donde V es el volumen de líquido en el tanque, medido en litros, y t es el tiempo en minutosque estuvo funcionando la bomba. Cualquiera sea el intervalo [t, t+∆t] que consideremos, larazón de cambio del volumen respecto del tiempo será

∆V

∆t=20 (t+∆t)− 20t

∆t= 20.

1A pesar de que escribamos [x, x+∆x] como si el cambio ∆x fuera positivo, los incrementos ∆x bien puedenser negativos en cuyo caso el intervalo sería [x+∆x, x]. No hay que ocuparse de considerar los casos de acuerdocon el signo de ∆x. Todo se arregla solo.

Capítulo 2 - Diferenciación

En otros casos, la razón de cambio depende del intervalo en que se considere la variación.Si hacemos un viaje en automóvil de 275 kilómetros y empleamos un tiempo de 2 horas y 45minutos, tendremos una variación total de espacio recorrido (en kilómetros) de 275, contra unavariación de tiempo (en horas) de 2.75 .Esto da una razon de cambio del espacio recorridorespecto del tiempo de 275

2.75 = 100. Decimos en ese caso que hemos viajado a una velocidadpromedio de 100 km/h. Pero hemos visto durante el viaje a la aguja del velocímetro marcandovelocidades muy diversas. Esas velocidades instantáneas, se obtienen por un procedimientolímite, considerando razones de cambio en intervalos más y más pequeños. Eso será tarea delas próximas secciones, después de echar una ojeada por el concepto de límite.

Ejercicios:

1. Una posible función para el ejemplo del automóvil que estamos considerando es la siguiente

x = f (t) =

100t si 0 ≤ t ≤ 1100 si 1 ≤ t ≤ 1.253503 (t− 1.25) + 100 si 1.25 ≤ t ≤ 2.75

(a) Halle la razón de cambio de x respecto de t en los intervalos [0, 1] , [0.75, 1.10] , [1, 2]y [2, 2.5]

(b) ¿En qué intervalos se mantuvo quieta la aguja del velocímetro y en qué valor?

2. Compute la razón de cambio para la función y = x2 en el intervalo [x, x+∆x]. ¿Aqué valor (dependiente de x) se aproxima esa razón de cambio cuando ∆x se torna máspequeño, acercándose a 0?

3. Para cualquier función y = f (x), considere los puntos P = (x0, f (x0)) y Q =(x0 +∆x, f (x0 +∆x)) , ambos pertenecientes al gráfico Gr (f). Demuestre que la razónde cambio ∆y

∆x correspondiente al intervalo [x0, x0 +∆x] coincide con la pendiente dela recta que pasa por P y Q. ¿Qué fórmula define la función afín (S (x) = mx+ b) quecoicide con f en los puntos x0 y x0 +∆x?

2.2 Límite y continuidad

No creemos necesario en este nivel trabajar con una definición formal del concepto de límite.Una idea intuitiva y una enumeración de las principales propiedades serán suficientes paranuestros fines. Ante todo, un poco de vocabulario. Vamos a querer que una variable x seacerque hacia un punto a, que tome valores cercanos a a. Para eso tendrá que moverse dentrode un intervalo abierto que contenga a a, digamos un intervalo de la forma (a− δ, a+ δ),definido por una inecuación |x− a| < δ . Un tal intervalo abierto alrededor del punto a sellamará un entorno de a. Y muchas veces no nos interesará lo que ocurre cuando la variabletoma el mismo valor a. Nos interesará lo qué pasa en un entorno de a excluido a mismo.Un conjunto de la forma (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ), que se describe con la doble condición 0 <|x− a| < δ. A un entorno de a al que se le ha quitado el punto a se lo llama un entornoreducido de a.

38

2.2. Límite y continuidad

Si f es una función definida en un entorno reducido del punto a, diremos que el límite def (x) para x tendiendo hacia a es igual a l, o que f (x) tiende hacia l cuando x tiendehacia a,

limx→a

f (x) = l ó f (x)→ l para x→ a,

si |f (x)− l| se hace muy pequeño tomando x suficientemente cerca (pero distinto) de a.Las funciones "buenas" con que trabajamos habitualmente, tienden en general a su propio

valor en el punto a cuando la variable independiente tiende hacia a: limx→3 sinx = sin 3,por ejemplo. Esas funciones se llaman continuas. Más precisamente, una función definida enun entorno del punto a es continua en a si

limx→a

f (x) = f (a) .

Si la función es continua en todos los puntos de un conjunto S, se dice que la función es continuaen S.

Los límites interesantes se producen, en cambio, cuando, reemplazando en la fórmula quedefine a la función la variable x por el valor límite al cual ella tiende, se produce una expresiónimposible de calcular. Por ejemplo,

limx→0

sinx

x.

Debe notarse que no siempre existe límite. Por ejemplo la función signo

sg (x) =|x|x,

no tiene límite para x→ 0. Si se mira el gráfico, se ve que la función pega un salto en x = 0y que, entonces, se obtendrían distintos valores límite para sg (x) según nos acercásemos a 0desde la izquierda o desde la derecha.

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

figura 2.1. y = sg (x)

Estos límites, que consideran solamente los valores de la función en un semi-entorno del punto,se llaman límites laterales.

limx→0+

sg (x) = 1, limx→0−

sg (x) = −1.

El límite limx→a f (x) existe si y sólo si existen y son iguales los dos límites laterales limx→a+ f (x)y limx→a− f (x) . Los semi-entornos considerados para los límites por la derecha son intervalosde la forma (a, a+ δ) y por la izquierda (a− δ, a), ambos con δ > 0.

La carencia de una definición formal de límite será superada con las propiedades del límite,que enunciamos a continuación y que son fácilmente justificables desde la descripción intuitiva

39


del concepto. Como una primera aproximación, podríamos decir que las operaciones hechascon funciones que tienen límite en un punto conducen a funciones que también tienen límite enese punto y que éste resulta de hacer la misma operación (ahora numérica) con los límites.

Propiedades del límite

1. (a) Si la función f es constante en un entorno reducido de a (f (x) = c∀x), entonceslimx→a f (x) = c.

(b) También, obviamente, x→ a para x→ a o, dicho de otro modo, limx→a x = a

2. Si existenlimx→a

f (x) y limx→a

g (x)

entonces también existe

limx→a

(f + g) (x) = limx→a

[f (x) + g (x)] = limx→a

f (x)+ limx→a

g (x) .

(Recordar la definición de suma de funciones en el capítulo 1).

(a) Si existenlimx→a

f (x) y limx→a

g (x)

entonces también existe

limx→a

f · g (x) = limx→a

[f (x) · g (x)] = limx→a

f (x) · limx→a

g (x)

(b) Si uno de los límites es 0, la condición sobre la otra función puede ser más débil.Si f está acotada en un entorno reducido de a (i.e. |f (x)| ≤ M,∃M > 0) ylimx→a g (x) = 0 entonces existe

limx→a

f · g (x) = limx→a

[f (x) · g (x)] = 0.


f (x) y limx→a

g (x)

y limx→a g (x) 6= 0, entonces también existe

limx→a

f

g(x) = lim

x→a

·f (x)

g (x)

¸=limx→a f (x)

limx→a g (x)


f (x) y limx→a

g (x)

y además, en un entorno reducido de a vale la desigualdad f (x) ≤ g (x), entonces

limx→a

f (x) ≤ limx→a

g (x)

5. Si existen y son igualeslimx→a

f (x) = limx→a

g (x)

y además, en un entorno reducido de a vale la desigualdad f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) paracierta función h, entonces también existe

limx→a

h (x) = limx→a

f (x) = limx→a

g (x) .

40


6. Si existen limx→a f (x) = b y existe limy→b g (y) , entonces existe

limx→a

g ◦ f (x) = limy→b

g (y) .

En particular, si g es continua en b,

limx→a

g ◦ f (x) = g (b)

o, lo que es lo mismo,

limx→a

g [f (x)] = g³limx→a

f (x)´.

Las propiedades descriptas son también válidas para límites laterales, en cuyo caso, lascondiciones impuestas en entornos reducidos de a deberán cumplirse en semi-entornos de a.

No vamos a demostrar estas propiedades. Nos mantendremos en un nivel intuitivo, acordecon la informalidad de la definición. Pero el lector debería mirarlas con actitud crítica yconvencerse (intuitivamente) de su validez. En ayuda a este proceder, permítasenos decir, conrelación a la propieded 2, que si limx→a f (x) = u y limx→a g (x) = v, entonces |f (x)− u|y |g (x)− v| se pueden hacer arbitrariamente chicos tomando x suficientemente cerca de a.Ahora bien,

|(f + g) (x)− (u+ v)| = |(f (x)− u) + (g (x)− v)| ≤ |f (x)− u|+ |g (x)− v| ,

podrá entonces también hacerse tan chico como se quiera con tal de tomar x suficientementecerca de a.

Ejemplos:

1. Si c es una constante, limx→a cf (x) = limx→a c·limx→a f (x) = c limx→a f (x). (Propiedades3 y 1).

2. Para un monomio, limx→a cxn = can. (Ejemplo 1, propiedad 3 iterada n veces y segunda

parte de propiedad 1). Usando entonces la propiedad 2,

limx→a

(c0 + c1x+ ...+ cnxn) = c0 + c1a+ ...+ cna

n.

Esto significa que los polinomios son funciones continuas en todo R.

3. Como cociente de funciones continuas, una función racional (cociente de polinomios) serácontinua en todos los puntos donde no se anule su denominador, esto es, en todo sudominio.

4. Las funciones radicales: y = n√x, son también continuas (aceptaremos esto provision-

almente sin una justificación) en su dominio. Esto es en todo R si n es impar y enR+ si n es par. Como composición de potencias y radicales, las funciones potencialesde exponente racional son también continuas. Se concluye finalmente que toda funciónalgebraica es continua en su dominio.

5. sg (x) fue nuestro primer ejemplo de límite inexistente. Un segundo ejemplo, muy simple:limx→0 1x . La función

1x tiene en el origen un salto de altura "infinita" (ver gráfico). Sin

necesidad de saltos vertiginosos, tampoco existe limx→0 1x2 , pero es claro que cuando x

41


se acerca hacia 0, 1x2

crece más y más sin ninguna posibilidad de acercarse a un númerodeterminado.

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

figura 2.2.a y = 1x

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

figura 2.2.b y = 1x2

6. Un ejemplo más dramárico de inexistencia de límite: limx→0 sin¡1x

¢. A pesar de man-

tenerse acotada entre −1 y 1, la función oscila rabiosamente cuando x se acerca a0.

210-1-2

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

figura 2.3. y = sin 1x

7. Un ejemplo de existencia de límite un poco más interesante: limx→1 x2−1x−1 : La función no

está definida en el punto x = 1. Pero factorizando el numerador, x2−1x−1 =

(x+1)(x−1)x−1 = x+1

para x 6= 1. Al tomar un límite, la variable está inhibida de tomar el valor hacia el cualtiende, de modo que la simplificación es absolutamente válida y

limx→1

x2 − 1x− 1 = lim

x→1 (x+ 1) = 2.

8. Aquí la función no está definida para x ≤ 0, de modo que se trata de un límite lateral

limx→0+

x+ x3√x− 3x = lim

x→0+x¡1 + x2

¢√x (1− 3√x) = lim

x→0+

√x¡1 + x2

¢(1− 3√x) =

=limx→0+

√x · limx→0+

¡1 + x2

¢limx→0+ 1− 3 limx→0+

√x

=0 · 11− 0 = 0

42


9. Otros límites se resuelven con técnicas de racionalización:

limx→4

x− 4√x− 2 = lim

x→4(x− 4) (√x+ 2)(√x− 2) (√x+ 2) = lim

x→4(x− 4) (√x+ 2)

x− 4 = limx→4

¡√x+ 2

¢= 4

10. La función del ejemplo 6. está acotada, de modo que, de acuerdo con la propiedad 3.(b),

limx→0

µx sin

1

x

¶= 0

figura 2.4. y = x sin 1x

Ejercicios:

4. Utilizar simplificaciones algebraicas para evaluar los siguientes límites, en caso de existir

a) limx→0 x2+x3x b) limx→2 x2−4

x−2 c) limx→2 x4−16x2−3x+2

d) limk→4 k2−16√k−2 e) limx→1 x2−3x+2√

x−1 f) limx→3 2x3−6x2+x−3

x−3

g) limx→25√x−5

x−25 h) limx→0√1+x2−√1−x2

x i) limx→1+√x+3−√3x+1√

x−1

5. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes:

(1) limx→a f (x) = l (2) limx→a (f (x)− l) = 0(3) limh→0 f (a+ h) = l (4) limh→0 (f (a+ h)− l) = 0.

El paso de (1) a (3) se conoce como "cambio de variable". Poniendo x = a+ h, resultah = x − a, que tenderá hacia 0 cuando x tienda hacia a. La conversión se justificausando la propiedad 7. La primera fila se puede pensar como un cambio en la variabley. y → l si y sólo si z = y − l → 0. Se justifica en la propiedad 2 (con - en vez de+). Estas conversiones son parte del lenguaje y su uso simplifica drásticamente muchosrazonamientos.

43


6. Calcular:limx→0

sinx

2 + cos πx.

Límites de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son continuas en su dominio. Basta recordar que estándefinidas a expensas de las coordenadas (x, y) del punto en que el lado libre del ánguloθ corta al círculo unidad. Si x = f (θ) , y = g (θ), estas dos son funciones continuas de θ :

limθ→θ0

f (θ) = f (θ0) , limθ→θ0

g (θ) = g (θ0) .

Como consecuencia, seno y coseno son funciones continuas en toda la recta real y, por consigu-ientem lo es también la tangente en todo punto donde no se anule el coseno, es decir, en todosu dominio.

Hay dos límites no triviales y particularmente importantes:

Teorema 1.limh→0

sinh

h= 1 y lim

h→01− cosh

h= 0.

Demostración: Supongamos primero que h es positivo y pequeño. Colocamosun ángulo de medida h en posición estándar y trazamos un círculo de radio r =1.Consideramos a continuación las áreas de los dos triángulos OAP y OBQ y delsector circular OBP de la siguiente figura.

O A B

PQ

h

1=r

figura 2.5

Se trata de un cálculo sencillo porque:

OA = cosh, OB = 1, BQ = tanh, AP = sinh, y el arco BP mide h.

Luego, llamando |F | al área de la figura F , se tiene:

|OAP | = cosh sinh

2, |OBP | = h

2, |OBQ| = 1 tanh

2.

(Para el área del sector nos remitimos a la fórmula (8) en la sección 1.3.). Atento ala relación de inclusión existente entre las tres figuras, se obtienen las desigualdades

cosh sinh ≤ h ≤ tanh = sinh

cosh.

44

2.3. Razón de cambio en un punto. Recta tangente

Dividiendo entre sinh, que es positivo, resulta

cosh ≤ h

sinh≤ 1

cosh.

Ahora se toma límite para h→ 0 y, considerando la continuidad de las funcionestrigonométricas y la propiedad 6 de los límites, resulta

limh→0

h

sinh= 1.

de donde sigue la primera igualdad en (1) . Si h < 0, h = −k con k > 0. Entoncessinhh = sin(−k)

−k = sin kk → 0 cuando h (y por consiguiente k)→ 0.

El segundo límite en (1) se calcula de la siguiente manera:

1− coshh

=1− cosh

h

1 + cosh

1 + cosh=

1− cos2 hh (1 + cosh)

=sinh

h

sinh

1 + cosh→ 1 · 0

2= 0 ¥

2.3 Razón de cambio en un punto. Recta tangente

Retomando el argumento de la seción 2.1., dada la función y = f (x), la razón de cambio dey con respecto a x en un intervalo, digamos, [a, a+ h] se convertirá en la razón de cambiopuntual en el punto a si dejamos que la amplitud h del intervalo tienda hacia 0. Cuando lavariable independiente representa al tiempo se dice instantánea en vez de puntual (y también,muchas veces, cuando la v.i. no es el tiempo). El valor de la razón de cambio puntual es unnúmero, que depende de la función f y del punto a donde se considera. Se la define entoncescon un nombre que depende de esas dos cosa:

f 0 (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)

h. (2)

Naturalmente, ese límite puede o no existir. Cuando existe se dice que la función es diferen-ciable en ese punto. El ejemplo que mejor explica el concepto es cuando una función x = s (t)describe la posición en el instante t de un punto que se mueve sobre una recta provista de unsistema de coordenadas. En ese caso,

s0 (t0) = limh→0

s (t0 + h)− s (t0)

h,

representa la velocidad del punto en el instante t = t0.La interpretación geométrica de f 0 (a) surge del ejercicio 3. El cociente f(a+h)−f(a)

h esla pendiente de la recta secante por los puntos (a, f (a)) y (a+ h, f (a+ h)) del gráficode f . Tomando intervalos más y más pequeños con un extremo fijo en a, el valor límite deestas pendientes, que acabamos de definir como f 0 (a) , es llamado la pendiente de la curva"y = f (x)" en el punto (a, f (a)) . En este punto deberíamos reconocer que, salvo para círculos,no tenemos un concepto geométrico muy preciso de recta tangente. De manera que vamos apermitir que el Cálculo ayude a la Geometría definiendo de este modo:

Dada una curva de ecuación y = f (x) , si en un punto (a, f (a)) de la curva existe lapendiente f 0 (a), llamaremos recta tangente a la curva en ese punto a la recta que, pasandopor el punto, tiene la misma pendiene que la curva. Su ecuación resulta ser

y − f (a) = f 0 (a) (x− a) . (3)

T (x) = f (a) + f 0 (a) (x− a) ,

45


es un polinomio de grado 1 cuyo gráfico es la recta tangente.

a ha + ha 2+

figura 2.6

Para mejor apreciar el ajuste entre las funciones f y T , hay que considerar su diferencia:

(f − T ) (x) = f (x)− f (a)− f 0 (a) (x− a) .

Esta función no sólo se anula en x = a, sino que aún dividida por (x− a) (que también seanula en a) tiene límite 0 en ese punto. En efecto,

limx→a

(f − T ) (x)

x− a= lim

x→a

·f (x)− f (a)

x− a− f 0 (a)

¸= 0,

ya que limx→af(x)−f(a)

x−a = f 0 (a) . El gráfico de f − T luce de la siguiente manera:

a

figura 2.7 f − T

Para que en un punto se pueda trazar una recta tangente, el gráfico debe ser suficientementesuave: la función debe ser continua.

Teorema 2 . Si f es diferenciable en a entonces es continua en ese punto.

Demostración. Se debe probar que limx→a [f (x)− f (a)] = 0.

limx→a

[f (x)− f (a)] = limx→a

·f (x)− f (a)

x− a(x− a)

¸=

= limx→a

f (x)− f (a)

x− alimx→a

(x− a) = f 0 (a) · 0 = 0 ¥

46

2.3. Razón de cambio en un punto. Recta tangente

La continuidad es necesaria para la diferenciabilidad, pero no es suficiente. Una funcióncontinua se dibuja "sin levantar el lápiz". Una diferenciable es aún más suave. Tiene tangente(no vertical). Ejemplo de funciones continuas no diferenciables en un punto son y = |x| oy = 3√x.

2.51.250-1.25-2.5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

fig.2.8.a. no hay tangente

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

fig. 2.8.b. tangente vertical

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

fig.2.8.c. función derivable

Ejemplos:

1. Consideremos la función f (x) =¯̄x2 − 1¯̄ y averigüemos si es diferenciable en el punto

x = 1. Para ello habrá que estudiar

limh→0

¯̄̄(1 + h)2 − 1

¯̄̄− 0

h= lim

h→0

¯̄h2 + 2h

¯̄h

= limh→0

|h| |h+ 1|h

= limh→0

sg (h) |h+ 1| = limh→0

sg (h) .

Sabemos que este límite no existe y por lo tanto f no es derivable en ese punto. Peroexisten límites laterales no coincidentes:

limh→0+

|h| |h+ 1|h

= limh→0+

h (h+ 1)

h= 1

limh→0−

|h| |h+ 1|h

= limh→0−

−h (h+ 1)h

= −1

Estos límites laterales se llaman pendientes laterales. Su cálculo es un recurso habitualpara averiguar diferenciabilidad en un punto. La notación que usaremos para las pendi-entes laterales será la siguiente:

D+f (a) = limh→0+

f (a+ h)− f (a)

h, D−f (a) = lim

h→0−f (a+ h)− f (a)

h. (4)

2. Veamos la diferenciabilidad en el origen de la función

g (x) =

½2x+ x2 si x ≤ 02x− x2 si x > 0

.

D+g (0) = limh→0+

g (h)− 0h

= limh→0+

2h− h2

h= lim

h→0+(2− h) = 2,

D−g (0) = limh→0−

g (h)− 0h

= limh→0−

2h+ h2

h= lim

h→0+(2 + h) = 2.

47


Al coincidir las dos pendientes laterales, la función es diferenciable en 0 con g0 (0) = 2.

3210-1

3

2

1

0

x

y

x

y

figura 2.9.a. y = f (x)

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

figura 2.9.b. y = g (x)

Ejercicios:

7. Hallar las pendientes de las siguientes curvas en los puntos indicados. En todos los casosobtener la ecuación de la recta tangente y trazar las gráficas aproximadas de ambas

(a) y = 2x2 en el punto (1, 2)

(b) y = 2x− 7 en el punto (2,−3)(c) y = 1

x en el punto¡2, 12

¢(d) y = x2 en el punto (2, 4)

8. Determinar si las siguientes funciones son diferenciables en 0. Si es así hallar la razón decambio puntual. Hacer las gráficas e interpretar los resultados obtenidos

a) y = |x| b) y = x |x| c) y = x2 |x|

d) f(x) =½2x si x ≤ 0x2 si x > 0

9. Una partícula se mueve sobre una línea recta en la que se fija un sistema de coordenadas.s(t) = 4t2 + 3t representa la posición de la partícula en el instante t respecto de esesistema. El tiempo t está medido en segundos y la distancia al origen de coordenadas,|s(t)|, en centímetros.

(a) Calcular la velocidad media de la particula en los siguientes intervalos de tiempo:

[1, 1.2] , [1, 1.1] , [1, 1.01] , [1, 1.001] .

(b) Calcular la velocidad de la partícula en el instante t = 1.

48

2.4. La función derivada

(c) Determinar los intervalos de tiempo en los que la partícula se mueve en sentidopositivo.

(d) Idem en sentido negativo.

10. Calcular f 0 (a):1) f (x) =

√x 2) f (x) = 1

x

3) f (x) = 8− x2 4) f (x) = xx+1

2.4 La función derivada

Si la función f es diferenciable en cada punto x de un intervalo (a, b), la aplicaciónx 7→ f 0 (x) define una nueva función derivada de la anterior que se llamará f 0. El uso de lapalabra derivada irá ocupando todos los huecos. La función f 0 se llamará función derivada yel número f 0 (x) se llamará derivada de la función f en el punto x. Derivable será sinónimode diferenciable

En la práctica, es usual que una función venga dada por una relación entre variables sinque se establezca un nombre para esa función. Hay una manera para expresar la derivada enesos casos, en los que no hay letra a quien ponerle la "prima"̇: la notación de Leibnitz 2. Si larelación funcional es, por ejemplo, y = 2x2, se pone

dy

dx=

d¡2x2¢

dx:= lim

h→02 (x+ h)2 − 2x2

h

El origen de esta notación, debida a uno de los dos creadores del Cálculo, es claro: dydx es el

límite de ∆y∆x .

La notación de Leibnitz no pierde su utilidad aún cuando la función tiene nombre. No haypor qué perder el principio que dice: "en una fórmula, una parte puede ser reemplazada poruna expresión que sea igual a dicha parte". De modo que si y = f (x), aceptaremos todas lassiguientes igualdades:

dy

dx=

df (x)

dx=

d

dxf (x) = f 0 (x) .

El concepto de función derivada, nacido de pensar globalmente las derivadas en cada punto,calculadas como límites, pasará rápidamente a primer plano. Se verá que basta calcular lasderivadas de algunas funciones simples y que la mayoría de las funciones, obtenidas a partirde las más simples a través de operaciones con funciones (ver sección 1.2.), se derivan conreglas que indican cómo se comporta una derivada frente a una operación funcional. Entoncesla derivada en un punto se calculará con un límite en algunos pocos casos excepcionales. Engeneral, será más fácil obtener la función derivada y evaluarla en el punto.

Ejemplo 1: Si volvemos a mirar desde esta óptica el ejercicio 10.1., con f (x) =√x,

f 0 (x) =1

2√xy

d√x

dx=

1

2√x.

Para volver a mirar la derivada en el punto como un número se especializa la funciónen ese punto, lo cual tiene, para el caso de la notación de Leibnitz, una formaparticular:

f 0 (9) =1

2√9=1

6,

d√x

dx

¯̄̄̄x=9

=1

2√9=1

6.

2Gottfried Leinitz, matemáticoalemán, 1646-1716

49


Reglas de derivación

Hay algunas pocas reglas que simplifican el cálculo de derivadas.1.- Constantes.- Según se vió en el ejercicio 2.4.

dc

dx= 0

2.- Sumas.- La función suma, definida en la sección 1.2. [ver (4)] , es derivable donde losean ambos sumandos, y la derivada se calcula del siguiente modo:

(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g0 (x) . (5)

En notación de Leibnitz,

d [f (x) + g (x)]

dx=

df (x)

dx+

dg (x)

dx. (6)

La demostración es fácil.

(f + g) (x+ h)− (f + g) (x)

h=

f (x+ h)− f (x)

h+

g (x+ h)− g (x)

h→ f 0 (x) + g0 (x) para h→ 0

3.- Productos.- Si las funciones f y g son derivables en un intervalo, también lo será suproducto f · g (ver definición en sección 1.2. (6)). La derivada se calcula con la siguinte regla:

(f · g)0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g0 (x) (7)

Si queremos escribir la ecuación (7) como igualdad de funciones, prescindiendo de la variable,pondremos

(f · g)0 = f 0 · g + f · g0.

En notación de Leibnitz,

d [f (x) g (x)]

dx=

df (x)

dxg (x) + f (x)

dg (x)

dx.

Todavía otra escritura alternativa, usando letras de variables: u = f (x) , v = g (x)

duv

dx=

du

dxv + u

dv

dx. (8)

También esta vez es fácil hacer una demostración. Lo dejamos para el lector, pero lo guiamoscon este dibujo:

50


Sean u = f (x) , v = g (x) , p = uv. Entonces ∆p = u∆v + v∆u + ∆u∆v (ver figura).Luego, ∆p

∆x = u∆v∆x + v∆u

∆x +∆u∆x∆v. Dejando ∆x→ 0 resulta (8)

u u∆

v∆

v

vu∆ vu∆∆

uv uv∆

figura 2.10.

4.- Casos particulares.

1. Después de las constantes, la función más simple para derivar es la función identidad:f(x) = x. En este caso,

f (x+ h)− f (x)

h=

x+ h− x

h=

h

h→ 1.

Esto es,dx

dx= 1

2. Para el producto de una constante por una función

d [a · f (x)]dx

=da

dxf (x) + a

df (x)

dx

= 0 + adf (x)

dx= a

df (x)

dx

(las constantes son transparentes para la derivación)

3. Una expresión del tipo af (x) + bg (x) con a y b constantes y f y g funciones esuna combinación lineal de f y g

d [af (x) + bg (x)]

dx= a

df (x)

dx+ b

dg (x)

dx

4. En particular,d [mx+ b]

dx= m,

como era de prever.

51


5. dx2

dx =d(x·x)dx = dx

dxx+ xdxdx = 2x

dx3

dx =d(x2·x)

dx = 2x · x+ x2 · 1 = 3x2dx4

dx =d(x3·x)

dx = 3x2 · x+ x3 · 1 = 4x3Siguiendo el procedimiento, se llega a que

dxn

dx= nxn−1, n ∈ N (9)

Nótese que el ejercicio 9.2 muestra que este resultado también vale para n = −1 y elejercicio 9.1 extiende la validez de la fórmula (9) al caso n = 1

2 . Más adelante se veráque no es casualidad.

6. En particular, para un polinomio

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n,

dP (x)

dx= a1 + 2a2x+ 3a3x

2 + ...+ nanxn−1.

7. Si g tiene derivada en el punto x y g (x) 6= 0, podemos calcular la derivada de lafunción 1

g(x) . Se comienza haciendo el cociente de Newton

1g(x+h) − 1

g(x)

h=

g (x)− g (x+ h)

hg (x) g (x+ h)=

−1g (x) g (x+ h)

g (x+ h)− g (x)

h

Tomando límite para h→ 0 y observando que g es continua en x, resulta

d

dx

µ1

g (x)

¶= − g0 (x)

[g (x)]2

5.- Cociente.Si f y g son derivables y g (x) 6= 0, el cociente f(x)

g(x) se puede escribir como el producto

f (x) · 1g(x) . Combinando entonces la regla para derivar productos con el caso particular n

o7,

d

dx

f (x)

g (x)= f 0 (x)

1

g (x)− f (x)

g0 (x)[g (x)]2

=

=f 0 (x) g (x)− f (x) g0 (x)

[g (x)]2

Ejercicio 11: Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

1) 3x− 2x3 2) 4x5 − 7x3 + x2 − 2 3) 25x−1 + x12

4) 2x3 + 5x7 5) 4x4 − 7x3 + x− 12 6) 35x2 − 2x8

7) 3x4 − 2x2 + x− 11 8) πx7 − 8x5 + x+ 1 9)¡x3 + x

¢(x− 1)

10)¡2x2 − 1¢ ¡x4 + 1¢ 11) (2x+ 3)

¡1x2+ 1

x

¢

52


Diferenciación de las funciones trigonométricas

1. y = sinxSe debe calcular

limh→0

sin (x+ h)− sinxh

= limh→0

sinx cos h+ sinh cosx− sinxh

= cosx limh→0

sin h

h− sinx lim

h→01− cos h

h

Usando el teorema 1. se concluye que

d sinx

dx= cosx

2. y = cosxAhora el cálculo involucra el límite para h→ 0 de

cos (x+ h)− cosxh

=cosx cos h− sinx sin h− cosx

h

= − sinxsin h

h− cosx1− cos h

h

Usando nuevamente el teorema 1 se concluye entonces que

d cosx

dx= − sinx

3. y = tanxSe deriva con la regla del cociente:

d

dx

sinx

cosx=

sin0 x cosx− cos0 x sinxcos2 x

=cos2 x+ sin2 x

cos2 x=

=1

cos2 x

Ejercicio 12: Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) sinx cosx b) 1sinx+cosx

c) tanxx2+3x d) sinx√

x

53


Diferenciación de funciones compuestas. Regla de la cadena

La diferenciación tiene también un buen comportamiento con la operación de composición defunciones, definida en la sección 1.2., fla.(8). Si dos funciones son diferenciables, su composicióntambién lo es. Lo que sigue es una presentación heurística.

Consideremos dos funciones u = g (y) con y = f (x). Entonces, u = g◦f (x). Suponiendoque ambas son derivables se quiere calcular la derivada de la composición. Teniendo en cuentalos ”incrementos” que aparecen al formar los cocientes de Newton de las variables "intermedias",

∆u = g(y +∆y)− g (y)

∆y = f (x+∆x)− f (x) ,

deberemos finalmente pensar a la variable u como función de x y estudiar el comportamientolímite del cociente ∆u

∆x . Si olvidamos que ∆y podría anularse y multiplicamos y dividimos porese valor, obtenemos

∆u

∆x=∆u

∆y

∆y

∆x.

Cuando el incremento ∆x → 0, por el teorema de continuidad de las funciones derivables(teorema2), ∆y → 0. En consecuencia,

du

dx= lim

∆x→0∆u

∆x= lim

∆y→0∆u

∆ylim

∆x→0∆y

∆x= (10)

=du

dy

dy

dx,

donde debe entenderse que dudy está calculada en el punto y = f (x) . Un enunciado más preciso

sería de la manera siguiente.

Teorema 3: Sean f y g funciones definidas en sendos intervalos abiertos. Seaa ∈ Dom (f) tal que b = f (a) ∈ Dom (g). Supongamos que f es diferenciable enel punto a, y que g es diferenciable en el punto b. Entonces la función g ◦ f esdiferenciable en a y se tiene

(g ◦ f)0 (a) = g0 (b) · f 0 (a) (11)

En los ejercicios del capítulo se puede encontrar un conjunto de instrucciones parala demostración del teorema.

Cuando las condiciones se cumplen en todos los puntos de ambos dominios, la funcióncompuesta es derivable y la expresión (11) toma la forma más usada

(g ◦ f)0 (x) = g0 (f (x)) · f 0 (x) . (12)

Sin embargo insistimos en la utilidad práctica de la versión (10) de la regla.Ejemplos.-

2. Ya se dijo que ddyy

−1 = − 1y2 = −y−2. Ahora 1

g(x) puede considerarse como una composi-

ción: [g (x)]−1. Luegod

dx

1

g (x)=

−1[g (x)]2

g0 (x) .

Se recupera por otro camino el caso particular no 7 de las reglas de derivación.

54


3. x−n = (xn)−1. Nuevamente, usando la regla de la cadena,

dx−n

dx= − (xn)−2 .nxn−1 = (−n)x−2n+n−1 == (−n)x−n−1.

Esto es, llamando m = −n,dxm

dx= mxm−1.

La fórmula (9) es válida para potencias enteras, no sólo para naturales.

4. Si aceptamos provisionalmente la hipótesis de que m√x es derivable, digamos para x > 0

(para no meternos con los casos de paridad de m), como ( m√x)

m= x, derivando miembro

a miembro y usando la regla de la cadena tendremos

m¡m√x¢m−1 · d m

√x

dx= 1.

Luego,

d m√x

dx=1

m

1

( m√x)

m−1 .

Pensando la raíz como un exponente fraccionario, el denominador ( m√x)

m−1=h(x)

1m

im−1=

x1−1m . Esto extiende la validez de la fórmula (9) a este tipo de exponentes:

dx1m

dx=1

mx1m−1.

5. Pero aceptada la derivabilidad de las raíces, si r = nm es cualquier racional, xr = (xn)

1m .

Volviendo a usar la técnica de derivación de la composición se obtiene

dxr

dx=1

m(xn)

1m−1 · nxn−1 = n

mx

nm−n+n−1.

Esto es,

dxr

dx= rxr−1, x > 0, r ∈ Q (13)

Ejercicios:

55


13. Hallar las derivadas de las funciones siguientes:

1) (x+ 1)8 2) (2x− 5) 12 3) (senx)3

4) sen 2x 5) sen¡√

x+ 1x

¢6) x+1

sen 2x

7)¡2x2 + 3

¢3 8) cos (sen 5x) 9) senh(2x+ 5)2

i10) sen [cos (x+ 1)] 11) 1

(3x−1)4 12) 1(4x)3

13) 1(sen 2x)2

14) 1sen 3x 15) (senx) (cosx)

16)¡x3 + 2x

¢(sen 3x) 17) 1

sen x+cosx 18) x+1cos 2x

19) x3+1x−1 20) x2−1

2x+3 21) sen¡x2 + 5x

¢14. Dar la ecuación de la recta tangente a las curvas siguientes en el punto indicado.

1. y = sinx, x = π2 2. y = cosx, x = π

6

3. y = tan 3x, x = π4 4. y = 1

tanx , x =π4

5. y = tan x2 , x =

π2 6. y = cos πx3 , x = 1

7. y = sinπx, x = 12

2.5 Algunas aplicaciones

Diferenciación implícita

Como se vió hacia el final de la sección 1.3., muchas veces una curva plana viene descriptapor una ecuación en dos variables (F (x, y) = 0) y no como gráfico de una función. En general,dado un punto (x0, y0) de la curva, habrá un intervalo (a, b) alrededor de x0 en el cualla curva coincide con el gráfico de una función y = ϕ (x). En ese caso la pendiente d elacurva en el punto (x0, y0) sería ϕ0 (x0), y estaríamos listos para calcular la recta tangente.Las condicioes teóricas que debe cumplir la ecuación para que una de las variables se puedaponer en función de la otra es un interesante problema matemático que excede los objetivos deeste libro. Pero más interesante aún es ver que, aplicando la regla de la cadena (y admitiendola existencia) es posible calcular la derivada de la función que explicitaría a la variable. Estopermite calcular la recta tangente también en casos de curvas implícitas.

Ejemplos.

1. Tomemos un ejemplo muy simple. La ecuación implícita es x2 + y2 = 1. Conocemosla curva. Se trata de un círculo de radio 1 con centro en el origen. Despejando y enla ecuación, el semicírculo superior (sin los puntos extremos) es el gráfico d ela función

56

2.5. Algunas aplicaciones

ϕ : (−1, 1) → R dada por ϕ (x) =√1− x2; el inferior responde a ψ (x) = −√1− x2.

En cualquier punto (x, y) distinto de (1, 0) y de (−1, 0) se puede calcular la pendiente

dy

dx= ± −2x

2√1− x2

= ∓ x√1− x2

= ∓ x

±y = −x

y.

Lo que decimos ahora es que, usando la regla de la cadena y la suposición de que la funciónexplícita (ϕ) existe, también se puede calcular la pendiente sin hacer antes el despeje dela variable y. En efecto, sabiendo que y = ϕ (x) , usamos la regla de la cadena paraderivar miembro a miembro la ecuación x2 + y2 = 1. Se obtiene:

2x+ 2ydy

dx= 0.

Sigue que dydx = −x

y . Resultado ya confrmado por el método explícito. La primera obser-vación es que la pendiente queda en función de las dos variables. La segunda observaciónes que no se puede calcular cuando y = 0.. Hay exactamente dos puntos en los que no esposible explicitar (localmente, cerca del punto) y en función de x. Son aquellos en loscuales la tangente al círculo es vertical. La condición "y = 0" los identifica, pues sumadocon que el punto verifique la ecuación del círculo y = 0⇒ P = (1, 0) o P = (−1, 0)

Tangentes verticales

(1,0) punto donde y=0

figura 2.11

En cualquier otro punto hay tangente no vertical y la técnica permite calcularla. ¿Cómose resuelve la cuestión de que dy

dx dependa de y?. Depende del caso. Si el objeto delproblema es calcular la recta tangente en un punto de absisa , por ejemplo, 12 , hay dos

de esos puntos. Resolviendo¡12

¢2+y2 = 1, surgen y =

√32 , y = −

√32 . Eso da dos rectas

tangentes:

y −√3

2= −

12√32

µx− 1

2

¶, y +

√3

2= −

12

−√32

µx− 1

2

¶.

Esto es,

y −√3

2= −√3

3

µx− 1

2

¶, y +

√3

2=

√3

3

µx− 1

2

¶.

57


210-1-2

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

figura 2.12

2. Consideremos la curva implícita x3+3x2y+2xy2+2y3 = 8. No parece razonable intentardespejar y. Con derivación implícita, suponiendo que y = y (x) ,

3x2 + 3

µ2xy + x2

dy

dx

¶+ 2

µy2 + 2xy

dy

dx

¶+ 6y2

dy

dx= 0.

dy

dx

¡3x2 + 4xy + 6y2

¢+¡3x2 + 6xy + 2y2

¢= 0.

dy

dx= −3x

2 + 6xy + 2y2

3x2 + 4xy + 6y2.

Los ptos que quedan excluidos del cálculo de pendiente verifican la ecuación de la curvay anulan el denominador de la derivada. El punto (1, 1) pertenece a la curva y no anulael denominador. Se puede calcular la pendiente de la curva en ese punto

dy

dx

¯̄̄̄(1,1)

= −1113

.

La recta tangente a la curva dada en el punto (1, 1) tiene ecuación

y − 1 = −1113(x− 1) .

58


Mostramos a continuación un gráfico de curva y recta generados con un ordenador.

543210-1-2-3-4-5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.50

-0.5

-1

-1.5

-2

x

y

x

y

figura 2.13. x3 + 3x2y + 2xy2 + 2y3 = 8

Ejercicios

15. Hallar dydx en términos de x y y en las siguientes ecuaciones.

a) x2 + xy = 2 b) (x− 3)2 + (y + 1)2 = 37

c) y2 + 2x2y + x = 0 d) x2y2 = x2 + y2

16. Hallar la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados.

(a) x2y2 = 9, en (−1, 3) .(b) 2x2 − y3 + 4xy − 2x = 0, en (1,−2) .

Razones de cambio relacionadas

En muchas situaciones aparece un grupo de magnitudes variables relacionadas por ecua-ciones y todas ellas dependientes de otra variable (por lo general el tiempo). Interesa extraerinformación acerca de la razón de cambio de una variable a partir de la razón de cambioconocida de otra, ambas razones respecto de la variable independiente común. Estos proble-mas suelen encontrar interesantes soluciones con técnicas de diferenciación implícita. Veamosalgunos ejemplos.

Ejemplos:

59


3. Para una escena de una película, se necesitó calcular la velocidad con que viajaba el haz deluz de un faro por cierta carretera. Por supuesto no se trata de una velocidad constante; enel punto de la carretera más cercano al faro la velocidad es mínima y aumenta alejándosede él. Hubo que poner un sistema de coordenadas sobre la carretera y la respuesta alproblema fue calcular dx

dt , siendo x (t) la posición de la intersección del haz de luz conla carretera en el instante t. Los dos únicos datos necesarios son la distancia del faro alpunto más cercano de la carretera (2km) y el tiempo de una revolución de la luz del faro(3min).Se tomó el origen de coordenadas en el punto más cercano al faro y la orientación positivaen el sentido de viaje del haz de luz. Se adoptaron como unidades de medición: minutospara el tiempo, metros para las distancias y radianes para los ángulos.

x

0

faro

carretera

2000m

θ

figura 2.14

El esquema adoptado implica que x2000 = tan θ. La velocidad de giro del faro significa que

dθdt =

2π3 , constante. Para obtener

dxdt , se deriva (respecto de t) la expresión x = 2000 tan θ.

dx

dt= 2000

1

cos2 θ

dθ

dt=4000π

3 cos2 θ.

La velocidad viene en función del ángulo θ, que es mejor que en función de t. Si se quiereconocer en función de la posición x, habría que saber despejar θ en x = 2000 tan θ. Esose verá pronto, en el capítulo sobre funciones inversas.

4. Cierto hongo invade la gramilla creciendo en círculo desde el punto de invasión. Sucapacidad de crecimiento está limitada por la longitud del círculo que puede defendermcírculo que puede aumentar a una tasa fija de 43cm por día. ¿Con qué rapidez estáaumentando el área invadida cuando su diámetro mide 4m?Si llamamos A al área del disco y C a su sircunferencia, las relaciones con el radio rson: C = 2πr y A = πr2. Diferenciando respecto de t se obtiene

dA

dt= 2πr

dr

dt,

dC

dt= 2π

dr

dt= 0.43.

LuegodA

dt= 2πr · 0.43

2π= 0.43r.

dA

dt

¯̄̄̄r=4

= 0.43 · 2 = 0.86

Como hemos tomado todos los tiempos en días y las distancias en metros, el resultadoobtenido debe interpretarse en esas unidades. El área invadida está creciendo a razón de0.86 metros cuadrados por día.

60


Ejercicios:

Algunas fórmulas útilesVolumen de una bola de radio r: 4

3πr3

Area de una esfera de radio r: 4πr2

Volumen de un cono de altura h y radio de la base r: 13πr

2hArea de un disco de radio r: πr2

Longitud de una circunferencia de radio r: 2πr

17. En el triángulo rectángulo de la figura, suponer que θ está decreciendo a razón de130rad/seg. Hallar cada una de las derivadas indicadas:

x

y

θ

z

figura 2.15

(a) dydt , cuando θ =

π3 si x es constante, x = 12

(b) dzdt , cuando θ =

π4 si y es constante, y = 10

√2

(c) dxdt , cuando x = 1 si x e y están cambiando, pero z es constante, z = 2

18. Un cubo se expande de manera que su lado está cambiando a razón de 5cm/seg. Hallarla razón de cambio de su volumen cuando la arista mide 4cm.

19. Hay un farol en lo alto de un poste a 6.10m del suelo. Una mujer de 1.53m de alturacamina alejándose del poste. Hallar la razón a la que cambia su sombra si ella camina arazón de 1.22m/seg.

20. Un depósito tiene forma de cono con el vértice hacia abajo, de 3.3m de altura y con laboca, circular, de 1.22m de radio. Se vierte agua en el depósito a razón de 0.15m3/min.¿Con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando la profundidad es de 1.5m?

Vector tangente

Para una curva paramétrica, tal como fue definida al final de la sección 1.3.,½x = f (t)y = g (t)

a < t < b,

se define el vector tangente en el punto (f (t0) , g (t0)) por

V = (f 0 (t0) , g0 (t0)).

61


Una curva paramétrica es la versión matemática de la posición en el instante t de un punto(x, y) que se mueve en el plano. El vector tangente así definido es el vector velocidad. Suscomponentes son las velocidades de las "sombras" del punto sobre los ejes coordenados.

Todo vector tiene un módulo. Si V = (x, y) , |V | =px2 + y2. Entonces se lo puede

representar como el producto de un escalar no negativo por un versor, un vector de módulo 1que lleva la información de dirección y sentido

V = |V | · V

|V |

En nuestro caso, |V | informa la rapidez y T = V|V | , que da dirección y sentido, es llamado el

vector tangente unitario.

Ejemplo: Calcular el vector tangente a la curva

½x =√2 sin t

y = cos 2t

en el punto correspondiente a t = 0.

dx

dt

¯̄̄̄t=0

=√2 cos t

¯̄̄t=0

=√2,

dy

dt

¯̄̄̄t=0

= −2 sin 2t|t=0 = 0.

Luego V =¡√2, 0¢. Para una representación gráfica, conviene notar que y = cos2 t − sin2 t.

De modo que y + x2 = cos2 t + sin2 t = 1. Esto prueba que la curva está contenida en laparábola y = 1− x2.

1.510.50-0.5-1-1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

figura 2.16

62

2.6. Derivadas de orden superior

Ejercicio 21: Calcular el vector tangente a la curva dada en el punto indicado

1)½

x = cos ty = sin t

en³√

22 ,

√22

´2)

½x = cos 2ty = sin 2t

en³√

22 ,

√22

´3)

½x = 5ty = −5t2 + 5t en t = 0 y en t = 1 4)

½x = cos 2ty = sin t

en t = 3π2

2.6 Derivadas de orden superior

Si la función f es derivable en un intervalo, es posible que su derivada f 0 sea a su vez derivable.Si así ocurre, tendremos la función derivada de f 0, digamos (f 0)0, a la que denotaremosdirectamente f 00 (f segunda). Y esto cuantas veces se pueda, da orige a derivadas de ordensuperior. La definición de estas derivadas sucesivas es inductiva, y se usan las notaciones quedescribimos a continuación:

f (n) (x) =hf (n−1)

i0(x) .

dny

dxn=

d

dx

µdn−1ydxn−1

¶.

Para valores chicos de n se usan primas repetidas: f 0, f 00, f 000 en vez de f (1), f (2), f (3). Parala simetría de algunas fórmulas es también conveniente aceptar f (0) = f .

Las derivadas de orden superior son de utilidad para aproximación de funciones. Por elmomento, nos interesamos especialmente en la derivada segunda por su significado físico. Six = s (t) es la posición en el instante t de un punto que se mueve sobre una recta, la razónde cambio instantánea v (t) = s0 (t) es la velocidad. La razón de cambio de la velocidad,a (t) = v0 (t) = s00 (t) es la aceleración. Aquí se comienza a vislumbrar la obra de Newton3.Su segunda ley postula que mientras una fuerza F actúa sobre una partícula de masa m, seproduce una aceleración a tal que

F = ma. (14)

Si la fuerza que actúa es constante (como en la caída libre), la aceleración también lo es. Poreso son interesantes los movimientos uniformemente acelerados. Supongamos entonces un casode fuerza (luego aceleración) constante. Pensando físicamente uno espera que, si se conoce laposición y la velocidad de una partícula en el instante inicial (x0 y v0), y se conoce ademásla fuerza que actúa sobre ella, podremos predecir dónde está la partícula en cada instanteposterior. Se comienza tratando de encontrar la velocidad v (t) en el instante t. Se buscaentonces una función tal que:

v0 (t) = a, t > 0 (ED)

v (0) = v0. (CI)

(ED) es una ecuación diferencial. La incógnita no es un número sino una función y en laecuación aparecen derivadas (de algún orden) de la función. (CI) es una condición inicial.Ambas,(ED) + (CI), constituyen un problema de valores iniciales. Una solución de (PVI) seráuna función v que satisfaga ambas condiciones. En este caso, una solución evidente para (ED)es v (t) = at+k, con k cualquier constante. Para que satisfaga también (CI), de a ·0+k = v0,

3 Isaac Newton , inglés, 1642-1727

63


se deduce que debe ser k = v0. Tenemos así una solución: v (t) = v0 + at. Se puede intentarrepetir la adivinación. ¿Conocemos una función s (t) tal que:½

s0 (t) = v0 + ats (0) = x0

? (PVI1)

Nuevamente hay soluciones evidentes: s (t) = v0t +12at

2 + k, con k cualquier constante essolución de la ED. Para satisfacer también la CI volvemos a reemplazar 0 en t para obtener:x0 = s (0) = v0 · 0 + 1

2a · 02 + k = k. Luego,

x = s (t) = x0 + v0t+1

2at2.

No hemos probado que las soluciones encontradas "a ojo" sean las únicas. Pero lo son. Laprueba es una deuda. El problema se podría haber planteado de una sola vez

s00 (t) = a, t > 0s0 (0) = v0s (0) = x0

(PVI2)

Ejercicios

22. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:

(a) segunda derivada de¡x2 + 1

¢5.

(b) séptima de x7 + 5x− 1.(c) d3

dx3

¡x3 + 2x− 5¢ .

(d) cuarta derivada de cosx

(e) f (7)(x), para f(x) =sen x.

23. Sea n un entero no negativo. Calcular

dkxn

dxky

dkxn

dxk

¯̄̄̄x=0

,

para k ∈ Z, 0 ≤ k < n, k = n y k > n

24. Una partícula se mueve de modo que en el instante t su posición está dada por

s(t) = t3 − 2t¿En qué instantes es la aceleración iguala a

a) 1 b) 0 c) −5

25. Un objeto viaja sobre una recta con una velocidad dada por la función v(t) = 4t5. Hallarla aceleración en el instante t = 2.

26. Dado un polinomiop (x) = a0 + a1x+ ...+ anx

n, (15)

encontrar una función f tal que f 0 (x) = p (x) .

64

2.7. Complementos

27. Dado un polinomio como en (15) y un número real b encontrar una función f queresuelva el problema de valores iniciales (PVI)½

f 0 (x) = p (x)f (0) = b

28. En el instante t = 0, un objeto pasa hacia arriba por una plateforma a 10m de altura,con una velocidad de 2m/seg. Sólo actúa sobre él la fuerza de la gravedad, que le imprimeuna aceleración de 9.8m/seg2. ¿Cuándo llegará al suelo?

2.7 Complementos

Ejercicios

29. Probar que limx→a f (x) = 0 si y sólo si limx→a |f (x)| = 0Hint. |y| = sg (y) · y con sg una función acotada.

30. Si limx→a f (x) = 0, dado ε > 0 en cualquier entorno reducido de a existe x tal que|f (x)| < ε.Hint. Usar la propiedad 4 con las funciones |f | y ε.

31. Una escalera de 5.20m de largo está apoyade en una pared vertical. Si el extremo inferiorde la escalera se está alejando a razón de 0.92m/seg, ¿con qué rapidez desciende la partesuperior cuando el extremo inferior se encuentra a 2.45m de la pared?

32. Una rueda de feria de 15m de diámetro efectúa una revolución cada 2min. Si el centrode la rueda está a 9mts del suelo, con qué rapidez se mueve verticalmente un pasajerocuando la rueda está a 13mts sobre el suelo?.

33. Un globo se está elevando desde el punto P . Un observador O, situado a 91m de esepunto, dirige su mirada hacia el globo, y el ángulo θ que forma con el globo crece a razónde 0, 3 rad/seg. Hallar la razón con la que está creciendo la distancia del globo al suelocuando:

1. θ = π4 2. θ = π

3 3. cos θ = 0.2

4. sin θ = 0.3 5. tan θ = 4

34. Una escalera de 9m de largo está apoyada sobre una pared. Suponiendo que la parteinferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 0.9m/s, Con quérapidez está cambiando el ángulo entre la escalera y el suelo cuando la parte inferior estáa 4.5m de la pared?.

35. Hallar

(a) f 0(x), la pendiente de la gráfica de f en el punto de absisa 2 y la recta tangente enese punto.para f(x) = x2 + 1.

(b) d(2x3)dx

(c) ddx(

2x+1).

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(d) dcdx , donde c es una constante cualquiera

36. Consideremos el polinomio de primer grado T definido en (3) .Observar que T (a) = f (a)y T 0 (a) = f 0 (a) . ¿Puede haber otro polinomio de primer grado distinto con estas dospropiedades?

37. Otra manera de mirar la aproximación de f por T : Probar que si f es diferenciableen el punto a, entonces existe una función (x) tal que:

1.- limx→a (x) = 02.- (f − T ) (x) = (x) (x− a).

Deducir de allí que, en este caso,

f (x)− f (a) =£f 0 (a) + (x)

¤(x− a) (16)

38. Seguir estas instrucciones para completar una demostración de la regla de la cadena:

(a) Aplicando (16) a f en a y a g en b, se tendrán dos funciones , η conlimx→a (x) = limy→b η (y) = 0, tales que, además de (16), también vale

g (y)− g (b) =£g0 (b) + η (y)

¤(y − b) . (17)

(b) Con estos elementos se puede hacer una buena evaluación del incremento de la com-posición:

g ◦ f (x)− g ◦ f (a) = g (f (x))− g (b) =£g0 (b) + η (f (x))

¤[f (x)− f (a)] =£

g0 (b) + η (f (x))¤ £f 0 (a) + (x)

¤(x− a) ,

y, a fortiori, del cociente incremental

g ◦ f (x)− g ◦ f (a)x− a

=£g0 (b) + η (f (x))

¤ £f 0 (a) + (x)

¤.

(c) Para terminar, sólo habrá que dejar que x→ a, observando que, por diferenciable,f es continua y limx→a f (x) = b.

39. Comprobar que las funciones

u (t) = cosωt

u (t) = sinωt

son soluciones de la ecuación diferencial (ED)

d2

dt2u+ ω2u = 0 (18)

Comprobar que cualquier combinación lineal

u (t) = A cosωt+B sinωt

es también solución de (18)

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2.7. Complementos

40. Encontrar una solución del PVI d2

dt2u+ ω2u = 0

dudt

¯̄t=0

= A

u (0) = B

41. Un resorte (ideal) suspendido del techo se estira 1cm cuando se le cuelga una pesa de 1din.Lo descolgamos y trabaja ahora horizontalmente y sin rozamiento, con una masa de 1gren su extremo libre. En el instante t = 0 está comprimido 1cm y se sigue comprimiendoa razón de 0.1 cmseg . Suponiendo que el origen de coordenadas (lineales) está puesto en elpunto de equilibrio del resorte, el cual se comprime hacia la izquierda y se estira hacia laderecha, calcular la función posición x = x(t).Recordar que 1 dina es la fuerza que provoca a una masa de 1 gramo una aceleración de 1 cm/seg2

y que la aceleración de la gravedad es aproximadamente 1000cm/seg2.

42. Consideramos el polinomio de (15) y sus n primeras derivadas en el origen:

p0 (0) , p00 (0) , ..., p(n) (0) .

Encontrar relaciones entre p(j) (0) y aj , j = 0, 1, ..., n (p(0) (x) := p (x)). Deducir que unpolinomio de grado no mayor que n queda determinado por los valores de sus derivadasde orden 0 hasta n en el origen (n + 1 números). Esto es, dados n + 1 númerosc0, ..., cn existe un único polinomio P con grP ≤ n tal que P (k) (0) = ck, k = 0, 1, ..., n.

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