2 Pre-Lectura Teoría de Conjuntos
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INTRODUCCIN A LA TEORA DE
CONJUNTOSi
La teora de conjuntos surge como resultado de las
investigaciones acerca de los nmeros y sus
propiedades. Los inicios de la teora de conjuntos se
asocian con George Cantor (1845-1918) quien sent
las bases para su desarrollo como teora matemtica
de importancia fundamental. Despus de Cantor la
teora de conjuntos alcanz su fundamentacin
definitiva.
Muchos de los temas de la teora de conjuntos
pueden ser identificados en las matemticas griegas,
pero se incorporan al cuerpo organizado del saber
matemtico en los finales del siglo XIX y los principios
del siglo XX.
En la actualidad el lenguaje de la teora de conjuntos
es de suma importancia para dotar a las matemticas
de un lenguaje formal, claro y preciso.
NOTACIN Los conjuntos se denotan con letras maysculas: A, B,
C,... X, Y, Z. Los elementos de los conjuntos se
representan con letras minsculas: a, b, c,,y, z; se pueden representar por medio de diagramas de Venn
o encerrando sus elementos entre llaves.
Intuitivamente, un conjunto es una lista, coleccin o clase de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: nmeros, personas, letras, ros, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
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Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:
Ejemplos:
1. Determinar por comprensin el conjunto M = {0, 5,
10, 15, 20}
Solucin
M = {x/x es un mltiplo de 5 menor que 25}
La expresin x/x se lee equis tal que equis
2. Determinar por extensin el conjunto P = {a, m, o, r}
Solucin
P = {x/x es una letra de la palabra aroma}
Cabe anotar que aunque en la palabra aroma, la a
es un elemento que aparece dos veces, al nombrar al
conjunto por extensin, este elemento se escribe una
sola vez
PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA
Si un elemento forma parte de un conjunto o cumple
con la o las caractersticas que definen el conjunto se
dice que el elemento pertenece al conjunto. Esta
relacin se nota con el smbolo , que significa
pertenece a.
Si un objeto o elemento no forma parte de un
conjunto, se dice que ese elemento no pertenece al
conjunto, y se nota con el smbolo , que significa no
pertenece a.
IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los
mismos elementos, es decir, si cada elemento que
pertenece a A pertenece tambin a B y si cada
elemento que pertenece a B pertenece tambin a A.
Se denota A=B.
INCLUSIN ENTRE CONJUNTOS (Contenencia)
Dados dos conjuntos A y B decimos que A est
incluido en B, si todos los elementos que pertenecen a
A pertenecen tambin a B. Su notacin es A B.
Si los elementos de A son algunos de los elementos de
B, pero no todos, se dice que A est incluido
propiamente en B o que A es un subconjunto propio
de B, y se denota A B.
CLASES DE CONJUNTOS De acuerdo con el nmero de elementos, los
conjuntos se clasifican en:
Conjunto vaco: Conjunto que carece de elementos. Este conjunto se nota con la letra griega , que se lee fi, o con un par de llaves sin elementos en su interior, as { }. Por ejemplo:
1. Por extensin, enunciando el nombre de cada uno de sus elementos y sus elementos se separan por comas.
2. Por comprensin, cuando se enuncia una ley, propiedad o predicado que hayan de cumplir los elementos del conjunto.
Conjunto: vaco, conjunto unitario, conjunto finito Conjunto infinito, conjunto universal
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A = {x/x es un nmero par primo mayor que 7}
Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Por ejemplo:
S = {x/x es una vocal de la palabra luz} S = {u}
Conjunto finito: Un conjunto es finito si consta de un cierto nmero de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito. M = {x/x es una letra del alfabeto} Finto
R = {x/x es un nmero par} Infinito
Conjunto referencial o universal: Es el conjunto que sirve como referencia para otros conjuntos. Se nota
con la letra U.
Si A = {x/x es un colegio de Bogot}, un conjunto
que le sirve como referencia es U = {x/x es un colegio
de Colombia}, pues el conjunto de todos los colegios
de Bogot, es una parte del conjunto formado por
todos los colegios de Colombia. Esto es, todo colegio
de Bogot es un colegio de Colombia. El conjunto
universal se representa grficamente por medio de un
rectngulo.
OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE CONJUNTOS
Sean, U el conjunto referencial o universal, A, B y C, tres conjuntos.
Unin de conjuntos: La Unin de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen A o B o a
ambos; se nota A U B. La unin entre A y B se
determina por comprensin as
Por ejemplo, dados A = {1, 2, 3, 7} y B = {6, 7, 8, 9}
A U B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}
Interseccin de conjuntos: La interseccin de A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B,
esto es, aquellos elementos que pertenecen a A,
como a B. La interseccin entre los conjuntos A y B se
nota A B. Se determina por comprensin as: A B =
Por ejemplo,
dados A = {1, 2, 3, 6, 7} y B = {6, 7, 8, 9}
A B = {6, 7}
Complemento de conjuntos: El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no
pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto
Universal U y del A. El complemento se denota Ac y se
lee A complemento. Simblicamente,
Ac = U - A = { x / x U, , x A }
Si U = {x / x es un nmero dgito} y A = {1, 3, 5, 6}, hallar Ac.
Solucin Ac = {0, 2, 4, 7, 8, 9}.
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Diferencia de conjuntos: la diferencia entre A y B , se define como el conjunto formado por los elementos
que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al
conjunto B . Se nota A-B y se determina por
comprensin as: A - B = {x/ x A, , x B}
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {2, 4, 5, 7, 9, 10} y B = {4, 7, 10, 13, 15} la diferencia entre A y B es A - B = {2, 5, 9}
Diferencia simtrica de conjuntos: se define la
diferencia simtrica entre AyB, como el conjunto
formado por los elementos que pertenecen a la unin
entre A y B y no pertenecen a la interseccin entre A
y B. La diferencia simtrica se nota A B y se
determina por comprensin as:
A B = {x/ x (A U B), , x (A n B)}
Por ejemplo, dados A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {6, 8, 10, 12, 14}
A B = (A U B) - (A B) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} - {6, 8, 10} = {2, 4, 12, 14}
Conjuntos disjuntos: Si A B = , se dice que los conjuntos A y B son disjuntos.
REPRESENTACIN GRFICA DE CONJUNTOS
UNIN INTERSECCIN DIFERENCIA
SIMTRICA
DIFERENCIA
Conjuntos disyuntos
Elementos comunes
A subconjunto de B
i Tomado y adaptado de: Lipschutz S. (1977). Teora y problemas de Teora de Conjuntos y temas afines. Serie de compendios Schaum. McGraw Hill, Inc, U.S.A. Impreso en Colombia. Muoz (1994). Introduccin a la Teora de Conjuntos. Tercera Edicin. Universidad Nacional de Colombia.