UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALPRÁCTICA CALIFICADA N° 1Jueves, 25 de agosto de 2011 Hora: 3 p.m.Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordan.a) x2−3 x3+x 4=0

x1+ x2−x3+4 x4=0−2 x1−2x2+2 x3−8 x4=0

b) x− y+2 z=32 x−2 y+5 z=4x+2 y−z=−32 y+2 z=1

(2 puntos c/u)

2. Hallar el valor(es) de p y q para que el siguiente sistema:

x+ p ( y+z )=qy+ p ( x+z )=qz+ p (x+ y )=q

a. Tenga infinitas soluciones. b. Tenga solución única.c. No tenga solución. (4 puntos)

3. El conjunto solución de un sistema homogéneo de tres ecuaciones con cuatro incógnitas es un plano que pasa por los puntos (−2,1,0,0) y (1,0 ,−3,1).a. ¿Cuál es el rango de la matriz de coeficientes y cuál es la solución completa del sistema

homogéneo?b. ¿Cuál es la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema lineal?

(4 puntos)

4. Un distribuidor tiene 2 almacenes donde guarda lavadoras que vende a 3 hipermercados. La cantidad de lavadoras disponibles en cada almacén es de 30 y 20 respectivamente, mientras que la demanda de cada hipermercado es de 10, 20 y 20 unidades respectivamente. Plantee un sistema de ecuaciones lineales para encontrar la cantidad de lavadoras que se debe enviar desde cada uno de los almacenes a cada uno de los hipermercados de manera que se satisfaga la demanda de éstos. Luego resuélvalo utilizando el método de Gauss – Jordan. (el sistema tendrá infinitas soluciones).

(4 puntos)

Escoja y responda sólo 5 de las 6 preguntas. Se descontará 4 puntos si responde todas.

5. Sean: a1=[ 10−2] ; a2=[036] ; a3=[−4−23 ] y b=[ 41−4] y sea W el conjunto de todas las

combinaciones lineales de los vectores a1 , a2 y a3 . ¿Cuántos vectores tiene W ? ¿Está b en W?

(4 puntos)

(continúa en la siguiente página)

6. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta .a. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única entonces el número de

ecuaciones es igual al número de incógnitas.b. Si la forma escalonada de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales tiene

una fila con puros ceros, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.c. Para que un sistema lineal homogéneo tenga soluciones no triviales es necesario que el

número de incógnitas sea mayor que el número de ecuaciones. d. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única entonces el sistema homogéneo

asociado a la matriz de coeficientes de dicho sistema admite sólo la solución trivial. (1 punto c/u)

Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas.- Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALPRÁCTICA CALIFICADA N° 2Jueves, 8 de setiembre de 2011 Hora: 3 p.m.Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. El conjunto solución de A x=0 para una matriz A de tamaño 2 x 3 es un plano de R3 que pasa por los puntos (−2,1,0) y (1,0,1).

d. ¿Cuál es el rango de A y cuál es la solución completa de A x=0 .e. ¿Cuál es la forma escalonada reducida de la matriz A?

(4 puntos)

2.Dados los siguientes vectores: v1=[ 12−1] ; v2=[−2−50 ] ; v3=[−4−5

k ] ; v4=[021]Se pide hallar el valor de k

a. Para que el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 } sea linealmente independiente.b. Para que el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 } genere todo el espacio R3.c. Para que la matriz [ v1v2 v3 ] sea invertible.

(4 puntos)

3. Supongamos que la solución a la ecuación A x=[242] es:

x=[200]+s[110]+ t [

001 ]

a. ¿Cuál es el rango de la matriz A?b. ¿Cuál es la matriz A?c. Describir con exactitud todos los vectores b para los cuales A x=b tiene solución

encontrando un conjunto generador linealmente independiente para el espacio de esos vectores b.

(4 puntos)

4. Encontrar una matriz A de tamaño 3 x 3 tal que la ecuación A x=b tenga como solución:

x=[120]+t [131]

para b=(b1 ,b2 , b3) tal que b1+b2=b3 (4 puntos)

5. Dada la matriz A=[ 1 −2 −4 22 −5 −5 4

−1 0 11 −2]Se pide encontrar dos matrices L y U tal que A=LU donde U es una forma escalonada de A y L es una matriz triangular inferior con “unos” en su diagonal principal.

(4 puntos)

UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALEXAMEN PARCIALJueves, 29 de setiembre de 2011 Hora: 2 p.m.Duración: 3h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. Una empresa tiene tres minas con material de las siguientes composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)Mina A 1 2 3Mina B 2 5 7Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? Plantee un sistema de ecuaciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss – Jordan.

(3 puntos)

2. Dada A=[1 2 32 4 73 6 103 6 10

]a. Encontrar la solución completa de A x=[347

7]

b. Encontrar un conjunto generador para el espacio de todos los vectores u tal que Au=0 .

c. Encontrar una factorización LU de la matriz A.(1 punto c/u)

3. En cada caso encontrar una matriz A sabiendo que:

a. Los vectores (0,2,0); (−2,1,1); (−4,02) son algunas soluciones particulares de

A x=[24] b. H=Gen {[121]} representa el conjunto de todos los vectores b para los cuales A x=b

es compatible y W=Gen{[111]} es el conjunto solución de A x=0

Nota: Un apartado no tiene nada que ver con el otro. En cada uno, si la matriz A no existe debe explicar por qué no existe.

6

(1.5 puntos c/u)

Continúa en la siguiente página

7

4. Suponga que una matriz A de tamaño 3 x 3 tiene: fila 1 + fila 2 = fila 3

a. Explique por qué A x=[100] no puede tener solución.

b. Encuentre un conjunto generador para todos los vectores b para los cuales A x=b tiene solución. De la mejor respuesta que pueda basándose en la información alcanzada.

c. Por qué A es no invertible?(1 punto c/u)

5. Comprobar que:

|1 t t 2 t 3

t 1 t t 2

t 2 t 1 tt 3 t 2 t 1

|=(1−t 2)3

(2 puntos)

6. En el estudio de ingeniería de control de sistemas físicos, un conjunto estándar de ecuaciones diferenciales se transforma por medio de transformaciones de Laplace en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

[A−s I n BC Im][ xu ]=[ 0y ] ………. (1)

Donde A es n x n, B es n x m, C es m x n y s es una variable . El vector u∈Rm es la “entrada” del sistema, el vector y∈Rm es la “salida” y el vector x∈ Rn es el vector de “estado”. Suponga que A−s I n es invertible y vea (1) como un sistema de dos ecuaciones matriciales. Resuelva la ecuación superior para x y sustitúyala en la ecuación inferior. El resultado es una ecuación de la forma W ( s)u= y donde W (s) es una matriz que depende de s. W (s) es la función de transferencia del sistema, porque transforma la entrada u en la salida y . Encuentre W(s).

(3 puntos)

7. Explique por qué:

a. El siguiente sistema tiene solución única para cualquier valor de b1 y b2 : x+2 y=b12 x+3 y=b2

b. El conjunto de vectores {v1 , v2 , v3 } es linealmente independiente si la forma escalonada de la matriz [ v1v2 v3 ] tiene un pivote en cada columna.

c. Si A x=0 tiene soluciones no triviales entonces |A|=0 .(1 punto c/u)

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UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALPRÁCTICA CALIFICADA N° 3Jueves, 20 de octubre de 2011 Hora: 3 p.m.Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. Dados los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios lineales.

a. H 1= {(x , y )∈ R2/ xy=0 }

b. H 2={[abcd] : a=2b−4 c2a=c+3d }

c. El conjunto de todos los vectores de R3 cuyos dos primeros componentes son iguales.

d. El plano de R3 : 2 x− y−z=0(2 puntos c/u)

2. Sean: v1=[ 2−23 ] ; v2=[ 4−57 ] ; v3=[320] ; v4=[−502 ] ;W 1=Gen {v1 , v2 } ; W 2=Gen {v3 , v4 }

Entonces W 1 y W 2 son subespacios de R3 . De hecho, W 1 y W 2 son planos en R3 que pasan por el origen y se intersecan en una línea que también pasa por el origen. Encuentre un vector u distinto de cero que genere dicha línea.

(4 puntos)

3. Encontrar una matriz A tal que H contenga todos los vectores b para los cuales A x=b es compatible y W sea el espacio nulo de A.

H=Gen {[−22−3] ,[ 4−68 ]} ; W=Gen{[ −6−5 /210

] , [ −5−3 /201

]}(3 puntos)

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4. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.

i. W=Gen {v1 , v2, v3 } es un subespacio lineal sólo si los vectores v1 , v2 , v3 son linealmente independientes.

ii. El conjunto solución de A x=0 es un subespacio lineal.iii. Si los vectores v1 , v2 , v3 ,…,v p son vectores de Rm entonces Gen {v1 , v2 , v3 ,…,v p }

es un subespacio lineal de Rm. (1 punto c/u)

Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas o demostradas.- Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

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UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALPRÁCTICA CALIFICADA N° 4Jueves, 3 de noviembre de 2011 Hora: 3 p.m.Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. Encontrar una base para los siguientes subespacios lineales:

a. La intersección del plano x−2 y+3 z=0 en R3 con el plano xy.b. El conjunto de todas las matrices simétricas de tamaño 2x2.

(2 puntos c/u)

2. Sea el subespacio W={(x1 , x2 , x3 , x4 )∈R4/ x1+x2+x3+ x4=0 } . Averiguar si los vectores

(2,0,0 ,−2), (2,0 ,−2,0 ) y (8 ,−2 ,−4 ,−2) forman una base para W .(3 puntos)

3. ¿Bajo qué restricción o restricciones para a y b el conjunto {a+ax+a x2 ,b x2 ,1 } generan todo el espacio de polinomios en x de grado ≤2?

(4 puntos)

4. Considere dos bases B= {b1 ,b2 } y C={c1 , c2 } de un subespacio de R3. Existe un vector u que pertenece al subespacio tal que: u=2c1+c2=5b1+8b2Si se tiene que c1=b1+2b2 , encuentre la matriz de cambio de base de C a B , es decir la matriz M tal que: xB=M xC.

(4 puntos)

5. Sea T :R6→R6 la transformación expresada por:

T (a ,b , c , d , e , f )=(d−b ,0 ,0 , e−d , f , b−e)

Hallar una base para el Núcleo y una base para el Rango de la Transformación.(4 puntos)

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UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALPRÁCTICA CALIFICADA N° 5Jueves, 17 de noviembre de 2011 Hora: 3 p.m.Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. ¿Qué matriz tiene el efecto de rotar cada vector de R2 un ángulo de 90° y luego proyectar el resultado sobre el eje x? ¿Qué matriz representa la proyección sobre el eje x seguida de la proyección sobre el eje y? Graficar.

(5 puntos)

2. Se tiene una transformación lineal donde la imagen de (1 ,−2) es (5,7 ,−6) y la imagen de (−2,1) es (−10 ,−11 ,−6). Si se tiene una base B= {(1,0,0 ) , (2,3,0 ) ,(4,5,6)} ¿Qué matriz M permite obtener [T (x)]B a partir de x?

[T (x)]B=M x(5 puntos)

3. Dada A=[1 −2 −5 12 4 10 3]

a. Encontrar la solución de A x=0 más cercana a (5,5,11,11).b. Encontrar una base ortonormal para el espacio nulo de A.

(5 puntos)

4. Encuentre el mejor ajuste por una recta a las siguientes mediciones, y dibuje su solución:y=2 en t=−1 , y=0 en t=0

y=−3 en t=1 , y=−5 en t=2Luego suponga que en lugar de, por medio de una recta, los datos anteriores se ajustan por una parábola y=a t2+bt+c. En el sistema incompatible A x=b proveniente de las cuatro mediciones, indicar cuál es la matriz de coeficientes A, cuál es el vector desconocido x y cuál es el vector de datos b. No es necesario calcular x.

(4 puntos)

5. Encontrar los autovalores, y una base para cada uno de los espacios propios de la matriz de 1s:

A=[1 1 11 1 11 1 1]

(4 puntos)

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UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALEXAMEN FINALViernes, 2 de diciembre de 2011 Hora: 2:00 p.m.Duración: 3h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. Los vectores x e y de R3 tienen las mismas componentes, las tres iguales a 1, pero el primero referido a la base natural y el segundo referido a la base B= {v1 , v2, v3 } siendo:

v1=e1v2=e1+e2

v3=e1+e2+e3

Se pide las componentes del vector x+ y referidas a la base B.(3 puntos)

2. La figura de la derecha es la imagen de la de la izquierda en una transformación T :R2→R2. Encontrar la matriz canónica de dicha transformación.

(2 puntos)

3. Se tiene una transformación lineal T :R3→R3 donde T (e1 )=(4,2,0) ; T (e2 )=(0,5,0) ; T (e3 )=(−2,4,5). Encontrar una base B de R3 de modo que la matriz M de la transformación lineal relativa a la base B sea una matriz diagonal. Explique.

[T ( x ) ]B=M xB(3 puntos)

4. Encuentre T ( p ( t )) el polinomio imagen de p (t )=1+2t+3 t 2 en una transformación lineal de Ρ2 en Ρ2 (espacio de polinomios de grado ≤2) si se sabe que la matriz M relativa a la base

B= {1+t+3 t 2, t+2t 2 ,5+6 t 2 } es:

M=[1 0 00 0 00 0 3]

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Nota: [T ( p (t ))]B=M [ p(t) ]B(4 puntos)

Continúa en la siguiente página

5. Dada A=[1 1 1 02 2 2 3 ]

c. Encontrar la solución de A x=0 más cercana a (1,1,1,1).d. Encontrar una base ortonormal para el espacio nulo de A.

(3 puntos)

6. Dada la hipérbola x1 x2=1 se pide encontrar una base de R2 de tal forma que en el nuevo sistema de coordenadas dado por dicha base, la ecuación de la hipérbola esté en su forma estándar (sin términos de producto cruzado). Dar dicha ecuación estándar y hacer un gráfico aproximado indicando claramente la posición de los ejes coordenados girados.

(4 puntos)

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UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERÍACURSO: ALGEBRA LINEALEXAMEN SUSTITUTORIOViernes, 09 de diciembre de 2011 Hora: 1:20 p.m.Duración: 3h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA Nombre: _________________________

1. Una matriz A de tamaño 3x3 es reducida a la Identidad por las siguientes operaciones de fila:

(1) Restando -2 veces la fila 1 de la fila 2.(2) Restando 3 veces la fila 1 de la fila 3.(3) Restando la fila 3 de la fila 2.(4) Restando 3 veces la fila 2 de la fila 1.

Se pide hallar A−1.(4 puntos)

2. Suponga que la solución general a A x=[ 31 /2−1 ] es x=[ 511−97

]+t [ eπ10].

a. Cuál es la dimensión del espacio de columnas de A y cuál la del espacio nulo de A.

b. Decir si es verdadero, falso o indecidible (faltan datos): A x=[010] es compatible.

Justifique su respuesta.(2 punto c/u)

3. La figura de la derecha es la imagen de la de la izquierda en una transformación T :R2→R2. Encontrar la matriz canónica de dicha transformación.

(2 puntos)

4. ¿Cuál punto del plano x+ y−z=0 es más cercano a b=(2,1,0)?(3 puntos)

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Continúa en la siguiente página

5. Encuentre T ( p ( t )) el polinomio imagen de p (t )=1+2t+3 t 2 en una transformación lineal de Ρ2 en Ρ2 (espacio de polinomios de grado ≤2) si se sabe que la matriz M relativa a la base B= {t ,−2+t 2 ,−1+2 t } es:

M=[5 0 00 5 00 0 4]

Nota: [T ( p (t ))]B=M [ p(t) ]B(3 puntos)

6. Dada B¿ [1 b1 −1]. Si S es invertible, Q es ortogonal y D es diagonal.

a. Para qué valor de b es imposible B=QDQT

b. Para qué valor de b es imposible B=SDS−1

(2 puntos c/u)

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