20141ILN270T200_Clase 4 - Preferencias

PreferenciasEl Problema del Consumidor

Enfoque DualRelacion entre Problema Primal y Dual

ElasticidadesEl Excedente del Consumidor

Microeconoma I

Teora del Consumidor

Profesora: Triana Yentzen

Primavera 2013

Profesora: Triana Yentzen Microeconoma I




Contenidos

1 Preferencias

2 El Problema del Consumidor

3 Enfoque Dual

4 Relacion entre Problema Primal y Dual

5 Elasticidades

6 El Excedente del Consumidor





Relacion de PreferenciasFuncion de UtilidadElasticidad de Sustitucion

Las Preferencias

Con el objetivo de representar el comportamiento de los consumido-res definimos los siguientes conceptos:

Canastas de consumo: Se pueden representar como vectoresreales positivos, x Rn

Relacion de preferencias: Para seleccionar una canasta los indi-viduos son capaces de ordenarlas segun sus preferencias.

Restriccion presupuestaria: El dinero con el que cuento parasatisfacer mis preferencias.






Las Preferencias

Sea % una relacion binaria entendida como: al menos tan preferi-do. Esta relacion permitira describir las preferencias de las personasen relacion a canastas de consumo x = (x1, ..., xn).

x % y : x es al menos tan preferido que y

Con x , y Rn+ canastas de consumo.

El conjunto de las canastas al menos tan preferidas como x , sedefine como:

% x {x\x % x }






Las Preferencias

La capacidad de eleccion exige ciertos atributos de las prefe-rencias, los cuales describen el supuesto de Racionalidad:

1 Completitud:

x % y y % x x , y Rn+

Capacidad para ordenar/jerarquizar las canastas.2 Transitividad:

(x % y y % z) x % z x , y , z Rn+

Consistencia en la eleccion.El supuesto de racionalidad es necesario para poder escribir las preferencias como una funcion, la quees frecuentemente llamada como Funcion de utilidad. Una vez que puedo escribir las preferenciascomo funcion se dice que el supuesto de transitividad impide que las curvas de indiferencia se cortenentre s.






Supuestos adicionales sobre %:

Continuidad: Si un individuo afirma que A es preferido a B,las situaciones suficientemente cercanas a A tambien deben

preferirse a B.

Si la canasta consiste en 2 bienes, el supuesto de continuidad implicaque si un consumidor sufre de una disminucion muy pequena (infi-nitesimal) en la cantidad de un bien, siempre existira un aumentoinfinitesimal del otro que lo dejara indiferente.

Este supuesto es necesario si queremos analizar las respuestas delos individuos a cambios relativamente pequenos de la renta y losprecios.







No saciedad local:

> 0, y x , y % x

Esto quiere decir, que para todo x, existe una canasta en suvecindad que es estrictamente preferida. No hay zonas de indi-ferencia, el conjunto debe ser una curva.

Monotonicidad: mas es preferido a menos (UMg 0)

% monotonas: x >> y x y% monotonas estrictas: x y x 6= y x % y

Si una canasta tiene mas de cada uno de sus elementos queotra, entonces es preferida. Esto se conoce como monotonicidadestricta, la no estricta es cuando al menos un elemento de lacanasta es mayor, entonces sera preferida.







Convexidad: % es convexa en X si x X , {y % x} es unconjunto convexo.

y % x z % x y + (1 )z % x (0, 1)

Homoteticidad: % es homotetica si el mapa de curvas de in-diferencia son expansiones proporcionales entre s a lo largo deun rayo.

x % y = x % y 0






Funcion de Utilidad

Intentaremos representar las preferencias de los individuos atraves de una funcion. Para esto se necesita fundamentalmenteel supuesto de racionalidad que implica completitud y transiti-vidad.

A esta funcion se le llama: Funcion de utilidad






Funcion de Utilidad

La funcion u : X R es una funcion de utilidad que representauna relacion de preferencia % si:

x % y = u(x) u(y) x , y X

Una relacion de preferencia % puede ser representada por unafuncion de utilidad ssi es racional. Esta funcion ordena las ca-nastas, por lo que diremos que es de cracater ordinal






Funcion de Utilidad

Cual debera ser la forma de la funcion de utilidad?

U es creciente, si y solo si % son estrictamente monotonas

U es cuasiconcava, si y solo si % son convexas

Por que asumir preferencias convexas?

Por lo general los bienes necesarios se representan con preferen-cias convexas (Bienes compuestos-mas real)Por lo general si puedo dejar de consumir un bien, puedo repre-sentarlo con otro tipo de preferencias.






Funcion de Utilidad

Que supuestos cumple y que supuestos no cumple esta relacionde preferencias? Explique su respuesta






Algunas funciones de Utilidad

Cobb-Douglas:U = xy

Leontieff (proporciones fijas):

U = mn{x , y}

Lineal:U = x + y

CES (constant elasticity of substitution):

U = (x + y)1






Curvas de Indiferencia

Curva de indiferencia o isoutilidad es la frontera del conjunto{x X/u(x) u}.

Es decir, la isoutilidad corresponde a: {x X/u(x) = u}

Son conjuntos de canastas que dejan a un individuo con igualnivel de bienestar. Curvas de nivel (de utilidad).

Por el supuesto de transitividad de las preferencias, por cadacanasta de consumo solo pasa una curva de indiferencia.

La funcion utilidad relaciona el consumo de los distintos bie-nes que componen la canasta con la satisfaccion o bienestarderivado:

U = U(x1, x2)

Siendo la curva de indiferencia, un nivel determinado de satis-faccion.






Curvas de Indiferencia






Tasa Marginal de Sustitucion (TMS)

Corresponde a cuantas unidades de bien x2 el consumidor es-tara dispuesto a entregar a cambio de una unidad adicional debien x1, manteniendo el mismo nivel de utilidad. Representa lavaloracion relativa entre los bienes.

En una curva de indiferencia cualquiera:

U = U(x1, x2)

dU = 0 =U

x1dx1 +

U

x2dx2

dx2

dx1=

Ux1Ux2

= UMg1

UMg2

La TMS es la pendiente de la curva de indiferencia en un punto.







El supuesto de monotonicidad implica que la TMS es:

positiva?

NO, es negativa...

El supuesto de convexidad, implica que la TMS es decrecienteen valor absoluto.







Por el supuesto de monotonicidad, la TMS es negativa. Porel supuesto de convexidad la TMS es no creciente en valorabsoluto.

TMS = UMg1

UMg2< 0

dTMS

dx1< 0

La convexidad de las curvas de indiferencia refleja la preferen-cia por canastas intermedias por sobre la especializacion en elconsumo.







Vimos la forma de la funcion de utilidad:

Intuitivamente: Bienes necesarios, canastas intermedias.

Graficamente: La forma de la funcion de utilidad, representaun tipo particular curva de indiferencia

Matematicamente: El efecto cruzado es positivo. (DerivarTMS)







Vimos la forma de la funcion de utilidad:

Elasticidad?

Ponderamos el cambio marginal calculado a traves de la pen-diente por la cantidad del bien

Una medida de cuanto cambiara el consumo de un bien, frentea cambios en el otro. (Cambio proporcional)






Elasticidad de Sustitucion

Corresponde a la facilidad con que un consumidor puede susti-tuir los bienes que consume entre s, manteniendo inalterado subienestar. Esto es, como cambian las proporciones de consumode los bienes, a lo largo de una curva de indiferencia.

Mide el grado de curvatura de las curvas de indiferencia:

x1,x2 =%

(x2x1

)%TMS1,2

=d ln

(x2x1

)d ln

(UMg1UMg2

)=

(x2/x1)

TMS1,2TMS1,2

x2/x1






Homogeneidad y Homoteticidad

Una funcion u : Rn+ R es homogenea de grado r ssi:

u(x1, ..., xn) = ru(x1, ..., x2) > 0

Una funcion u : Rn+ R es homotetica cuando se obtiene me-diante una transformacion monotonica positiva de una funcionhomogenea de grado 1:

u(x) = g(f (x))

con f fn. hdg1, y g > 0Las preferencias homoteticas se reconocen cuando su TMS de-pende de la razon

(yx

)y no de las cantidades de los bienes

(mapa de curvas de indiferencia como traslados de s mismas).Es decir, la TMS se mantiene a lo largo de curvas de indiferen-cia, mientras no vare la proporcion de consumo x2/x1.





Restriccion PresupuestariaMaximizacion de la UtilidadDemanda MarshallianaFuncion de Utilidad Indirecta

El Problema del Consumidor

El objetivo del consumidor es alcanzar el maximo bienestar po-sible sujeto a la restriccion de ingreso.

Un consumidor racional que satisface el supuesto de monotoni-cidad, buscara la combinacion de bienes que le permitan gastartodo su ingreso.






Restriccion Presupuestaria

Conjunto Presupuestario: Es el conjunto de canastas facti-bles, que dados los precios p1, p2 y el ingreso I , satisfacen:

p1x1 + p2x2 I

La recta presupuestaria es el lugar geometrico de todas las ca-nastas que safisfacen p1x1 + p2x2 = I

La pendiente de la recta presupuestaria es: dx2dx1

= p1p2

deno-ta una relacion de intercambio o sustitucion objetiva entre losbienes, dada por el mercado.






Restriccion Presupuestaria






Cambios en el ingreso






Cambios en los precios






El Problema de Maximizacion de Utilidad

Objetivo: Alcanzar la maxima utilidad posible sujeto a la restriccionde ingreso.

max{x1,x2}

U(x1, x2)

s.a. p1x1 + p2x2 I

Lo que equivale a:

max{x1,x2,}

L = U(x1, x2) (p1x1 + p2x2 I )






El Problema de Maximizacion de Utilidad

C.P.O.:

L

x1= UMg1 p1 = 0

L

x2= UMg2 p2 = 0

L

= I p1x1 p2x2 = 0

Las C.P.O. son suficientes si las preferencias son convexas.






Demanda Marshalliana

La condicion de equilibrio del problema es:

TMS1,2 =UMg1

UMg2=

p1

p2

Es decir, la utilidad marginal del ultimo peso gastado en el bien x1debe ser igual a la del bien x2.

Esta condicion, junto a la restriccion presupuestaria, permiten obte-ner los equilibrios optimos de consumo (bajo ciertos supuestos sobrelas preferencias):

x1 = x1(p1, p2, I )

x2 = x2(p1, p2, I )






Equilibrio






La Funcion de Demanda

Como resultado de una eleccion optimizadora, se obtiene la demandade un individuo:






La Funcion de Demanda Marshalliana

A partir de la condicion de optimalidad: TMSx ,y =PxPy, el con-

sumidor determina sus demandas marshallianas por los bienesde consumo.

En la determinacion de este equilibrio, se asume constante I ,p1, p2, y las preferencias.

Bajo preferencias monotonicas, la funcion de demanda marsha-lliana cumple con:

Es homogenea de grado cero en (p, I ):

x(p1, p2, I ) = x(p1, p2, I ) > 0

Ley de Walras:p1x + p2x2 = I






La Funcion de Demanda Marshalliana

PropuestoDetermine la funcion de demanda asociada a las siguientes prefe-rencias U(x1, x2):

1 (1x1 + 2x

2 )

1 1, 2 > 0

2 x11 x22

3 1x1 + 2x2






Taxonoma de los bienes segun el Ingreso

Bien Normal:

dxi

dI> 0 :

{d2xidI 2

0 Bien normal necesariod2xidI 2

> 0 Bien normal superior

Bien Neutro:dxi

dI= 0

Bien Inferior:dxi

dI< 0






Curva de Engel

Si las preferencias son homoteticas, entonces el bien puede ser nor-mal e inferior pero jamas sera neutro?

?

La respuesta se puede entender de forma grafica.

La curva de Engel muestra como se mueve la curva de indife-rencia con cambios en los ingresos.






Curva de Engel

x

I

Bien normal

Bien neutro

Bien inferior

I'

I''






Curva Ingreso-Consumo (senda de expansion)

x

y

I /px

I /py

U

x

I /py1

I /py0

0I /px1I /px2

2

0

2

1UU

2x

1 x0






Curva de Engel

x

II

x

I1 I 02

2

x1

x0

x

II I1 I 02

x2

x1

x0

Bien Normal Necesario Bien Normal Superior






Funcion de Utilidad Indirecta

La funcion de utilidad indirecta corresponde al maximo valor quealcanza la utilidad, dado los precios y el ingreso:

V (p1, p2, I ) = maxU(x1, x2) s.a. p1x1 + p2x2 = I

Propiedades de V (P , I ):

Continua en P e I (P , I > 0)

No creciente en P , creciente en I

h.d.g. 0 en P e I






Identidad de Roy

Si V (P , I ) es diferenciable y VI6= 0, entonces:

xmi (P , I ) =

VpiVI

Demostracion: teorema de la envolvente.





Demanda HicksianaFuncion de Gasto

Enfoque Dual: Minimizacion de Gasto

I /p1

I*/p2

U

I /p21

I /p20

0I /p1

1I*/p1

x1

x2

x2h

x1h






El Problema de Minimizacion de Gasto

Objetivo: minimizar el gasto sujeto a alcanzar cierto nivel de utilidad.

mn{x1,...,xn}

ni=1 pixi

s.a. U(x1, ..., xn) = U

Lo que equivale a:

mn{x1,...,xn,}

L =n

i=1

pixi (U(x1, ..., xn) U)







(n+1) C.P.O.:

L

xi= pi Ui = 0 i = 1, ..., n

L

= U U(x1, ..., xn) = 0

Las C.P.O. son suficientes si las preferencias son convexas.







Graficamente, como puedo derivar una curva de demanda de esteproblema? Es esta una demanda Marshaliana?

Para comenzar, ambas demandas tienen la misma pendiente?

En cada punto de la demanda Marshaliana, hay una demandaHicksiana.






Demanda Hicksiana

La condicion de equilibrio del problema es:

TMSi ,j =UMgi

UMgj=

pi

pj

Es decir, la utilidad marginal del ultimo peso gastado en el bien xidebe ser igual a la del bien xj .

Esta condicion, junto a alcanzar U, permiten obtener los equilibriosoptimos de consumo (bajo ciertos supuestos sobre las preferencias):

xhi = xi (P ,U)






Funcion de Gasto

La funcion de gasto corresponde al mnimo valor gasto requeridopara alcanzar U, dado los precios:

E (P ,U) = mn

ni=1

pixhi s.a. U(X ) = U

Propiedades de E (P ,U):

Continua en P y U (P ,U > 0)

No decreciente en P , creciente en U

h.d.g. 1 en P

Concava en P






Lema de Shepard

Si E (P ,U) es diferenciable, entonces:

xhi (P ,U) =E (P ,U)

pi

Demostracion: teorema de la envolvente.





Efecto Sustitucion e IngresoEcuacion de Slutsky


Hay algun punto en que la demanda Marshalliana se relacione conla Hicksiana?

En todos los puntos de la demanda Marshaliana estoy optimi-zando

En cada punto de la demanda Marshaliana hay una demandaHicksiana que se puede definir.






Max Utilidad vs. Min Gasto

E (P ,V (P , I )) = I

V (P ,E (P ,U)) = U

Luego:

xmi (P , I ) = xhi (P ,V (P , I ))

xhi (P ,U) = xmi (P ,E (P ,U))

En general:

Xm(P , I

I=E(P,U)

)= X h

(P ,U

U=V (P,I )

)Profesora: Triana Yentzen Microeconoma I





Efecto Sustitucion e Ingreso

xI/p

1

I/p2

I/p'1

U'

U

x'1 x1

p' > p1 1

1

x2







xI/p

1

I/p2

I/p'1

U'

U

x' 1xx''

p' > p1 1

1

x2

11







Compensacion a la Hicks: se debe asegurar alcanzar el mismonivel de utilidad.

Compensacion a la Slutsky: se debe asegurar la mismacanasta.







Una variacion en el precio de un bien, modifica la cantidad deconsumo optima. En particular, se generan 2 efectos:

- Cambio en los precios relativos: incentivo a susti-tuir consumo.

- Cambio en el poder adquisitivo del ingreso.Efecto Sustitucion: Mide como cambia la composicion de lacanasta de consumo de equilibrio del individuo, cuando varael precio relativo de los bienes, manteniendose el ingreso realconstante.

ES = x1 x1

Efecto Ingreso: Mide como cambia la composicion de la ca-nasta de consumo de equilibrio del individuo, debido a cambiosen el ingreso real.

EI = x 1 x1Profesora: Triana Yentzen Microeconoma I





Demanda Marshalliana y Hicksiana

x

y

I/px

I/py

0I/px1

0

1U

U

x1

x0x'

p >px

1 0x

x

p

x1 x0x'

x

px

px

0

1

xm

xh






Demanda Marshalliana u Ordinaria

Planteada por Alfred Marshall.

Mantiene constante el ingreso nominal.

A lo largo de ella vara el ingreso real.

El ingreso real y utilidad de un consumidor, aumenta a medidaque el consumo aumenta a lo largo de la funcion.

Refleja tanto el efecto sustitucion como el efecto ingreso.






Demanda Hicksiana o Compensada

Planteada por J. Hicks.

Mantiene constante el ingreso real.

A lo largo de ella vara el ingreso nominal.

A medida que el consumo aumenta a lo largo de la funcion,el ingreso nominal disminuye y el nivel de utilidad permanececonstante.

Refleja solo el efecto sustitucion (excluye el efecto ingreso).






Ecuacion de Slutsky

xhi (P ,U) = xmi (P ,E (P ,U))

xhi (P ,U)

pj=

xmi (P , I )

pj+

xmiE

E

pj

xmi (P , I )

pj Efecto Total

=xhi (P ,U)

pj Efecto Sustitucion

xmi (P , I )

E Efecto Ingreso

xmj (P , I )





Elasticidad

La elasticidad de una funcion es un concepto matematico quese usa para medir en cuanto responde porcentualmente el valorde una variable dependiente o que deseamos explicar, cuandose introduce un cambio porcentual en el valor de la variableindependiente o explicativa de la primera.

Es un indicador del grado de sensibilidad o de respuesta de lavariable que se explica ante cambios en la variable explicativa.

El nivel de consumo individual depende del precio del mismobien, el precio de los bienes sustitutos, el precio de los bienescomplementarios, el ingreso, etc.

Existen tantas elasticidades de la demanda como variables ex-plicativas de este hecho economico.





Algunas Elasticidades

Elasticidad Precio: Es un indicador cuantitativo del grado desensibilidad o de respuesta de la cantidad consumida de unbien o servicio ante cambios de su propio precio. Su definicioneconomica y matematica es:

x ,p1 =%x

%p1=

x

p1

p1

x (, 0)

La elasticidad precio de la demanda es siempre un numero ne-gativo, por cuanto a lo largo de la funcion demanda-precio hayuna relacion inversa entre la cantidad que se desea comprar delbien y su propio precio.





Algunas Elasticidades

Elasticidad Ingreso:

x ,I =%x

%I=

x

I

I

x 0

Elasticidad Precio Cruzada:

x ,p2 =%x

%p2=

x

p2

p2

x 0





El Excedente del Consumidor

Problema: como medimos de forma monetaria las gananciaso perdidas que experimentan los individuos debido avariaciones en los precios?

Excedente del consumidor





Bienestar del Consumidor y Funciones de Gasto

Una forma de calcular el costo en bienestar de un incrementode precios consistira en comparar los gastos necesarios paraobtener el mismo nivel de utilidad en estas dos situaciones.

gastos con p01 = e0 = e(p01 , p2, u) (1)

gastos con p11 = e1 = e(p11 , p2, u) (2)

variacion del bienestar = e0 e1 (3)

e1 > e0 variacion negativa.






Lema de Shepard: e(p1,p2,u )

p1= xh1 (p1, p2, u)

Variacion en los gastos ante cambio de p1 viene dado por lacantidad demandada del bien x1.

variacion de gasto =

p11p01

xh(p1, p2u)

Que utilidad usamos? Con precios originales o nuevos?Depende de cual sea nuestro objetivo.





Variacion de Bienestar y Dda. Marshalliana





Variacion de Bienestar y Dda. Marshalliana

Compromiso: Excedente del Consumidor, Utilizar DemandaMarshalliana.

Razones: se encuentra entre una medida y otra, es masprobable disponer de informacion de la dda. marshalliana condatos del mundo real.


PreferenciasRelacin de PreferenciasFuncin de UtilidadElasticidad de Sustitucin

El Problema del ConsumidorRestriccin PresupuestariaMaximizacin de la UtilidadDemanda MarshallianaFuncin de Utilidad Indirecta

Enfoque DualDemanda HicksianaFuncin de Gasto

Relacin entre Problema Primal y DualEfecto Sustitucin e IngresoEcuacin de Slutsky


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