2015 Refuerzo de Nivel Clase 10 Ecuaciones Diofanticas Sin Clave
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ECUACIONES DIOFÁNTICAS O DIOFANTINAS PROF: JORGE HUASASQUICHE REYES. Una ecuación diofantina se identifica cuando todos sus términos (constantes y variables) son números enteros. Pueden ser de dos, tres o más incógnitas e incluso mayores que el primer grado; por ejemplo la ecuación diofantina: Ax² + By² = C² (cuando A = B = 1) es llamada también ecuación pitagórica (Pitágoras estudió este tipo de ecuaciones paralelamente desde el punto de vista geométrico) Examinemos particularmente la ecuación diofántica en dos variables: Ax + By = C ...... (I) La condición necesaria y suficiente para que tenga solución (I), es que el MCD de A y B sea un divisor de C(llamado término independiente). Ejemplo: Resolver la ecuación 34x + 38y = 250 .... (I) Solución: FORMA GENERAL DE RESOLUCIÓN 1. Simplificando al máximo la ecuación, dividiendo miembro a miembro entre el MCD (34 y 38)=2 Entonces: 17 x + 19 y = 125 .......... (II) 2. Convenientemente expresemos la ecuación en función del múltiplo del menor coeficiente. De (II): 0 17 + ( 0 17 + 2) y 0 17 + 6 0 17 + 0 17 + 2y = 0 17 + 6 2(y-3) = 0 17 , entonces y – 3 = 0 17 y = 0 17 + 3 En particular si 0 17 0 , entonces yo = 3 Reemplazando en (II): 17x + 19(3) = 125, entonces xo = 4 La solución general es: x = 4 + 19t Donde t (entero cualquiera) y = 3 –17t Basta reemplazar “t” por valores enteros, para determinar todas las soluciones posibles, así: t ...... -2 -1 0 1 ...... x ...... -34 -15 4 23 ...... y ...... 37 20 3 -14 ...... Vamos tigres: 1) Resuelva la siguiente ecuación diofántica: 36x+28y=52 Valores de n ...... -2 -1 0 1 ...... x= ...... ...... y= ...... ...... 2) Resuelva la siguiente ecuación diofántica: 5x+2y=17 Valores de n ...... -2 -1 0 1 ...... x= ...... ...... y= ...... ...... 3) Resuelva la siguiente ecuación diofántica: 25x - 35y=100 Valores de n ...... -2 -1 0 1 ...... x= ...... ...... y= ...... ...... MÉTODOS PRÁCTICOS A.- CRITERIO DE LA CIFRA TERMINAL: siempre que uno de los coeficientes sea múltiplo de 5. Resuelva la siguiente ecuación diofántica 5x+49y=37 casos 1er 2do 3ero 4to … x (razón 49) … y (razón -5) … B.- CRITERIO DE MULTIPLICIDAD: Cuando el término independiente de la ecuación es múltiplo de uno de los coeficientes. Resuelve la siguiente ecuación diofántica 4x+7y=20 casos 1er 2do 3ero 4to … x (razón 7) … y (razón -4) … C.-CRITERIO DE AGRUPACIÓN: Se busca reagrupar los términos de tal modo que la ecuación se reduzca a alguna de los casos anteriores. Resuelva la siguiente ecuación diofántica 6x-13y=49 casos 1er 2do 3ero 4to … x (razón 13) … y (razón 6) …
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ECUACIONES DIOFNTICAS O DIOFANTINAS
PROF: JORGE HUASASQUICHE REYES. Una ecuacin diofantina se identifica cuando todos sus
trminos (constantes y variables) son nmeros enteros.
Pueden ser de dos, tres o ms incgnitas e incluso
mayores que el primer grado; por ejemplo la ecuacin
diofantina:
Ax + By = C (cuando A = B = 1) es llamada tambin
ecuacin pitagrica (Pitgoras estudi este tipo de
ecuaciones paralelamente desde el punto de vista
geomtrico)
Examinemos particularmente la ecuacin diofntica en dos variables: Ax + By = C ...... (I) La condicin necesaria y suficiente para que tenga solucin (I), es que el MCD de A y B sea un divisor de C(llamado trmino independiente). Ejemplo: Resolver la ecuacin 34x + 38y = 250 .... (I) Solucin: FORMA GENERAL DE RESOLUCIN 1. Simplificando al mximo la ecuacin, dividiendo miembro a miembro entre el MCD (34 y 38)=2 Entonces: 17 x + 19 y = 125 .......... (II) 2. Convenientemente expresemos la ecuacin en funcin del mltiplo del menor coeficiente.
De (II): 0
17 + (0
17 + 2) y 0
17 + 6
0
17 + 0
17 + 2y = 0
17 + 6
2(y-3) = 0
17 , entonces y 3 =0
17 y = 0
17 + 3
En particular si 0
17 0 , entonces yo = 3 Reemplazando en (II): 17x + 19(3) = 125, entonces xo = 4 La solucin general es: x = 4 + 19t
Donde t (entero cualquiera) y = 3 17t Basta reemplazar t por valores enteros, para determinar todas las soluciones posibles, as:
t ...... -2 -1 0 1 ......
x ...... -34 -15 4 23 ......
y ...... 37 20 3 -14 ......
Vamos tigres:
1) Resuelva la siguiente ecuacin diofntica: 36x+28y=52
Valores de n
...... -2 -1 0 1 ......
x= ...... ......
y= ...... ......
2) Resuelva la siguiente ecuacin diofntica: 5x+2y=17
Valores de n
...... -2 -1 0 1 ......
x= ...... ......
y= ...... ......
3) Resuelva la siguiente ecuacin diofntica: 25x - 35y=100
Valores
de n
...... -2 -1 0 1 ......
x= ...... ......
y= ...... ......
MTODOS PRCTICOS A.- CRITERIO DE LA CIFRA TERMINAL: siempre que uno de los coeficientes sea mltiplo de 5. Resuelva la siguiente ecuacin diofntica 5x+49y=37
casos 1er 2do 3ero 4to
x (razn 49)
y (razn -5)
B.- CRITERIO DE MULTIPLICIDAD: Cuando el trmino independiente de la ecuacin es mltiplo de uno de los coeficientes. Resuelve la siguiente ecuacin diofntica 4x+7y=20
casos 1er 2do 3ero 4to
x (razn 7)
y (razn -4)
C.-CRITERIO DE AGRUPACIN: Se busca reagrupar los
trminos de tal modo que la ecuacin se reduzca a
alguna de los casos anteriores.
Resuelva la siguiente ecuacin diofntica
6x-13y=49
casos 1er 2do 3ero 4to
x (razn 13)
y (razn 6)
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A practicar tigres:
1) Halle el menor valor positivo de x en la siguiente
ecuacin diofntica:
2x+3y=15
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2) Halle el nico par de valores positivos que cumplen
las ecuaciones diofnticas .De como respuesta la suma
de ambos.
5x+8y=31
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
3) Se compra libros de S/.15 y S/.13, gastando
exactamente S/.367.Cul es el mximo nmero de
libros que se pudo comprar?.
a) 24 b) 25 c) 26
d) 27 e) 28
4) Determinar el valor de a+b si a y b son enteros,
26
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escalera si la diferencia entre los saltos de dio Carlos y
los que dio Rafael es el mnimo nmero primo posible?
a) 23 b) 36 c) 27
d) 18 e) 29
REFUERZA TU NIVEL TIGRE:
1) Resuelve la ecuacin diofntica: (Por forma
general)
27x+63y=45
Valores de n
...... -2 -1 0 1 ......
x= ...... ......
y= ...... ......
2) Resuelve la ecuacin diofntica: (criterio cifra
terminal)
13x-25y=54
casos 1er 2do 3ero 4to
x (razn 25)
y (razn 13)
3) Resuelve la ecuacin diofntica: (criterio de
multiplicidad)
8x-3y=36
casos 1er 2do 3ero 4to
x (razn 3)
y (razn 8)
4) Resuelve la ecuacin diofntica: (criterio de
agrupacin)
8x+3y=47
casos 1er 2do 3ero 4to
x (razn 3)
y (razn -8)
5) Calcule las soluciones enteras de la ecuacin
diofntica 66x+550y=88.
De cmo respuesta el mnimo valor positivo de la
variable x.
a) 5 b) 6 c) 17
d) 18 e) 9
6) Una falda cuesta S/.19.Si el comprador no tiene ms
que monedas de S/.3, y la cajera solo tiene 20 monedas
de S/.5 para dar vuelto, de cuantas formas puede
realizar la compra recibiendo su respectivo vuelto?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 7 e) 10
7) En un baile se recaud S/.475.Se sabe que la tarjeta
para una pareja vale S/.15, la tarjeta personal vale S/.
10 para hombres y S/.6, para mujeres. Si se han
vendido 55 tarjetas, Cuntas de ellas, como mximo,
eran de S/.6?
a) 40 b) 38 c) 33
d) 36 e) 35
