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Iniciacion al Algebra Abstracta

Dr. Jose Antonio Martnez Garca

August 21, 2015


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PRESENTACION

El siguiente papel de trabajo esta escrito para los futuros profesores dematematica, quienes inician su formacion en el area de Algebra, en el Insti-tuto Pedagogico Rural El Macaro.

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UNIDAD 1: NOCIONES ELEMENTALES DE

LOGICA MATEMATICA

Este primer captulo trata sobre el manejo de la informacion matematica,esto es, se estudian las formas de abordar el lenguaje utilizado para la co-municacion de conceptos matematicos . Es importante esta tematica, yaque durante el proceso de formacion de un profesor de matematica se usaun lenguaje no contradictorio, ni ambivalente que regula el razonamiento.noident Se consideran dos fines didacticos

1. logica proposicional

2. logica funcional

1.- Logica Proposicional

Las oraciones sobre las que podemos decidir, unvocamente, sobre su ve-racidad ( o verdadero o falso) se conocen como proposiciones. As, unaproposicion es una proposicion es una frase que es verdadera (V) o falsa (F), no existiendo la posibilidad de obtener ambas deciciones conjuntamente(Principio del tercer excludo).

Las proposiciones, generalmente, se denotan con las letras p,q,r que re-sumen, en un contexto particular, una informacion.

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Ejemplo 1.1.1 p resume, en este ejemplo, a la proposicion Hoy es sabado15 de agosto, lo que se denota p:Hoy es sabado 15 de agosto

Ejemplo 1.1.2 Las siguientes frases son proposiciones

1. q: x+6=10 y x=4

2. r: Si x es un numero real, entonces x2 es no negativo.

Nota: Las expresiones interrogativas y las exclamativas no son proposi-ciones. Por que?

1.1.- Conectivos

Las proposiciones pueden ser atomicas o compuestas segun expresen una ovarias acciones. Las proposiciones compuestas indican acciones atribuidas auno o mas sujetos. Estas pueden expresarse en varias proposiciones atomicasligadas por conectivos, que son smbolos utilizados en la logica para crearnuevas proposiciones a partir de las atomicas.

Los conectivos son

: se lee no

: se lee y

: se lee o

: se lee .si..., entonces...

: se lee ...si y solo si...

Nota: El smbolo no es conectivo, dado que se aplica a una sola proposicion.Algunos autores indican que es una constante logica.

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Prof. Jose Antonio Martnez IPR El Macaro

Si p, q, r, s son proposiciones, tambien lo son

1. p2. pq3. pq4. p(qr)

1.2.- Tablas de Verdad

Las proposiciones compuestas tambien tienen su valor de verdad. Paraestas, la determinacion de los valores de verdad quedan sujetas a las defini-ciones de los conectivos, los cuales se dan en forma tabular o en Tablas de laVerdad, tal como se muestra a continuacion.

Tabla de Verdad de la Negacion ()

Dada la proposicion atomica p, existe la negacion de ella, denotada p,que se lee no p; tabla correspondiente es

p pV F

Es claro que el valor veritativo de p es el contrario de p. Por ejemplo, sip es

p: Turmero es ciudad de Aragua

es verdadero, entonces p esp:Turmero no es ciudad de Aragua es falso.

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Tabla de Verdad de la Conjuncion ()

Dadas las proposiciones p y q, la proposicion compuesta pq sedefine por la tabla

p q pqV V VV F FF V FF F F

Tabla de Verdad de la Disyuncion Inclusiva ()


p q pqV V VV F VF V VF F F

Tabla de Verdad de la Disyuncion Exclusiva ()

Dadas las proposiciones p y q, la proposicion compuesta pYq sedefine por la tabla

p q pYqV V FV F VF V VF F F

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Tabla de Verdad de la Implicacion ()


p q pqV V VV F FF V VF F V

Tabla de Verdad de la Equivalencia ()


p q pqV V VV F VF V VF F V

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UNIDAD 2: TEORIA DE CONJUNTOS

2.1.- Nocion de Conjunto

El concepto de Conjunto se trata, en este trabajo, desde un punto devista intuitivo, dejando para discusiones posteriores el tratamiento formaldel mismo.

En lo cotidiano entendemos la idea de Conjunto como una agrupacion,reunion, coleccion de Elementos, de modo que queda implcita una relacionintrnseca entre Conjunto y Elemento. Esta relacion se conoce como Relacionde Pertenecia, concepto que, junto a los anteriores, permite desarrollar laTeora intuitiva de Conjuntos

Los Conjuntos los denotaremos con letras mayusculas, los elementos conletras minusculas y se usa el smbolo para indicar si un elemento pertenecea un Conjunto y / para cuando no pertenece, como se indica en el siguienteejemplo:

A={ a,b,6,M }. bA,m /A2.2.- Observaciones sobre la nocion de Conjunto

2.2.1.- Se dice que un conjunto esta bien definido si se puede asegurar enun memento dado si un determinado objeto es un elemento o no del conjunto,esto es, si no hay dudas acerca de la pertenencia de un elemento al conjunto.

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Por ejemplo, el conjunto B={3,17,c,m} esta bien definido, ya que podemosdecir sin vacilacion que 17B, pero 5/B. En cambio, el conjunto M ={losalumnos excelentes del IPR El Macaro} no esta bien determinado, dado queun estudiante del IPREM puede ser excelente para un profesor pero no paraotro. Esto se debe a que la condicion de pertenecia al conjunto depende deun juicio valorativo

2.2.2.- La proposicion xx es falsa. Por que?

2.3.- Determinacion de conjuntos. Los conjuntos quedan determinadospor la descripcion de sus elementos, lo que permitira discernir si un objetoesta o no en el conjunto. Esta descripcion puede ser por observacion o porconocimiento de una caracterstica comun de los elementos del conjunto.En el primer caso, se dice que los conjuntos se dan por Extension y en elsegundo por Comprension. El inconveniente para este metodo de listadoo enumeracion de los elementos del conjunto es que estos deben poseer unnumero finito de elementos y, en la practica, por un numero muy pequeno.Que hacer cuando los elementos del conjunto no pueden enumerarse o sepueden enumerar pero son muchos?

Cuando el numero de elementos del conjunto no se puede precisar (como elde los numero impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabrasque pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el metodo de definicionpor intension, que consiste en la descripcion de un conjunto como la extensionde un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado)que caracterizan a los elementos de ese conjunto.

2.3.1.- Un conjunto puede ser elemento de otro conjunto. Puedes dar unejemplo y discutirlo con sus companeros de clase?

2.4.- Conjuntos particulares. .- Se denomina Conjunto Universal al quees utilizado como referencia al mencionar un conjunto cualquiera. Se denotacon el smbolo U.

Se denomina Conjunto vaco al que no posee elementos. Se denota conla letra griega

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2.5.- Inclusion de Conjuntos.Definicion: Sean A y B dos conjuntos. Se dice que B es subconjunto de

A o que B esta contenido en A si cada elemento de B es elemento de A. Estose denota por BA. En notacion simbolica

B A (xU)(x B xA)

U

A

B

Si no se da esta condicion, se dice que B NO es subconjunto de A lo quese simboliza como

B*A (xU)(xBx/A)

U

A B

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2.6.- Igualdad de Conjuntos.

Se dice que dos conjuntos A y B son iguales, lo que denotamos A=B, siTODOS los elementos de A son elementos de B y viceversa. Simbolicamente

B =A (xU)(x B xA)2.7.- Operaciones con Conjuntos.

Dados, al menos, dos conjuntos es posible construir otro mediante Opera-ciones entre Conjuntos. Estas se definen a continuacion.

2.7.1.- Union de Conjuntos.

Sean los conjuntos A y B. El conjunto

AB={xU|xA xB}se conoce como A union B

A B

A B

En atencion a esta definicion, es inmediato que

xAB (xAx B)

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2.7.2.- Interseccion de conjuntos


AB={xU|xA xB}

se conoce como A union B

A B

A B


xAB (xAx B)

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2.7.3.- Diferencia de conjuntos.


A-B={xU|xA x/B}

se conoce como A union B

A B

AB


xA-B (xAx/ B)

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2.7.4.- Diferencia Simetrica de conjuntos.


A4B={xU|x(A B) x/(AB)}

se conoce como Diferencia simetrica de A y B

A B

A4B


xA4B (x(A B) x/(AB))

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En la teora conjuntista hay proposiciones que se conocen como Ax-iomas. Estas son verdaderas para cualquier conjunto; no ameritan una de-mostracion para verificarla. Por elejmplo,

A,A

Notemos que la proposicion x xA. Por que?. Como justifica laverdad del axioma?

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UNIDAD 3: RELACIONES BINARIAS

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UNIDAD 4: FUNCIONES

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UNIDAD 5: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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REFERENCIAS

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